ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ 1 -...

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1



« Επειδή πολλοί μαθητές του Γυμνασίου ενδιαφέρονται για τους διαγωνισμούς

που γίνονται κάθε χρόνο, αλλά δεν έχουν αποκτήσει την εμπειρία σχετικά με τα

θέματα που μπαίνουν, προτείνω να ξεκινήσουμε να βάζουμε θέματα που είτε

έχουν τεθεί παλιά ή είναι παρόμοιου επιπέδου αρχίζοντας με εύκολα, ώστε να

μπουν σιγά – σιγά στο νόημα οι αρχάριοι αλλά ταλαντούχοι μαθητές ».

Με αυτό το μήνυμα ξεκίνησε ο Δημήτρης ΙΩΑΝΝΟΥ την πρωτοβουλία

συλλογής θεμάτων για τους διαγωνισμούς της ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ.

Σε αυτή την προσπάθεια έδωσαν το παρόν αρκετοί συνάδελφοι, εξαίρετοι

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ όπως ο Θανάσης Κοντογιώργης και πολλοί ταλαντούχοι

μαθητές προτείνοντας και λύνοντας θέματα. Όλοι έχουν το ίδιο μικρόβιο, την

αγάπη για τα μαθηματικά .

Και φυσικά όταν έχεις το μικρόβιο, είσαι καταδικασμένος να δημιουργήσεις

κάποια στιγμή όμορφα πράγματα.

Ξεκίνησα την αποδελτίωση των θεμάτων πριν από ένα χρόνο με την

συμπαράσταση του Μιχάλη Νάννου, ο οποίος έφτιαξε και το εξώφυλλο.

Μέχρι στιγμής είναι έτοιμα τρία τεύχη από 100 ασκήσεις το καθένα

(1 – 100 , 101 – 200 , 201 – 300) και ελπίζω μέχρι το καλοκαίρι να είναι έτοιμο

το τέταρτο. Επειδή όλο και κάποιο λάθος ενδέχεται να έχει ξεφύγει σας

παρακαλώ να στέλνετε τις παρατηρήσεις σας στο [email protected].

Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με

Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Τσιφάκης Χρήστος : xr.tsif

mailto:[email protected]



ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΤΕΥΧΟΣ 1ο

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 - 100

Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με

Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Τσιφάκης Χρήστος : xr.tsif



ΘΕΜΑ 1 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ)

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 2

10 6 12 9 3 2A 2 : 2 3 : (3 ·3 5 3) 2 και

3 3 2B 5 2 1 8 3 20 8 5 15 .


Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 2n 2011 2n 2012 100 101

1 ( 1) 0,2 5A .


Αν x y 2003 , να βρείτε την τιμή της παράστασης:

Α = 6 10x 2 (4x y 3) 1

2003 2(x ) 2y3(x z) 3(y z) 3

.


Δίνονται οι αριθμοί:

998 499

1000

5001 2

A ( 2)2 3

3

2

και n n 1

B 2 3

όπου n άρτιος φυσικός αριθμός. Να συγκριθούν οι αριθμοί n

3 A , B .


Αν n

2

( 2)A

2n

και

n

2

( 2)B

2n 3

όπου n θετικός ακέραιος, να βρεθεί ποιος

από τους αριθμούς A και B είναι μεγαλύτερος.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

(α) Αν ένας αριθμός λήγει σε 0 ή 1 ή 5 ή 6 , τότε κάθε δύναμη που έχει βάση

τον αριθμό αυτό θα λήγει επίσης σε 0 ή 1 ή 5 ή 6αντίστοιχα.

(β) Ένας φυσικός αριθμός που λήγει σε 2 ή 3 ή 7 ή 8 , δεν μπορεί να είναι

τετράγωνος (δηλ. δεν μπορεί να πάρει την μορφή τετραγώνου φυσικού

αριθμού).




Αν 7 6 5 4 3 2 1000(8 9·8 9·8 9·8 9·8 9·8 1)α 9·8 και 200 1000

1024 625β , να συγκρίνετε τους αριθμούς 2α και β .


Να βρείτε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού 500α 129 .


Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1 2 3 101 2 3 .A ..10 δεν είναι τέλειο

τετράγωνο (ακεραίου).


Να βρεθεί το ψηφίο των μονάδων του αριθμού 101α 597 .


Να εξετάσετε αν ο αριθμός 100 100A 7 658 διαιρείται :

(α) με το 2 .

(β) με το 5 .


Οι ακέραιοι x και y είναι ανάλογοι προς τον αριθμητή και τον παρονομαστή

αντίστοιχα του κλάσματος που προκύπτει από την μετατροπή σε κλασματική

μορφή του δεκαδικού περιοδικού αριθμού α 4,333... .

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 6x 5y 21

Β6x 5y 31

.



ΘΕΜΑ 12 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ)

Να υπολογιστεί το ελάχιστο της παράστασης 2 2x 8xy 19y 6y 3 ,

προσδιορίζοντας ταυτόχρονα και τις τιμές των x,y για τις οποίες το έχουμε.


Έστω M,N τα μέσα των πλευρών DC,AB ενός τετράπλευρου ABCD.

Υπολογίστε την τιμή της παράστασης:

(AND) (BNC) (ABM)X

(ABM) (AND) (BNC)

(*) όταν έχουμε ευθύγραμμο σχήμα μέσα σε παρένθεση εννοούμε το εμβαδόν

του.


Έστω a,b,c,d ώστε 2 2 2 24a 13b 13c 9d 12(ab bc cd)

Να αποδειχθεί ότι : a πολ27 .


Αν x,y,a,b 0 , x 2y , y 2x , a 3b , a 3b και αν ισχύει ότι

2x y 2y xk

a 3b a 3b

, να αποδείξετε ότι: x y 2k a , x y 2k b .


Είναι γνωστό, ότι

για να βρούμε το άθροισμα 1 2 3 ... 100 , παρατηρούμε ότι :

1 100 101 , 2 99 101 , 3 98 101 , ...

συνεπώς, παίρνοντας ανά ζεύγη τους πιο πάνω αριθμούς, (όπου τα ζεύγη είναι

50 στο πλήθος) βρίσκουμε το ζητούμενο άθροισμα ίσο με 50 101 , δηλαδή

5050 .



Γενικά, ας γνωρίζουμε ότι n (n 1)

1 2 3 ... n2

.

Στη συνέχεια, θα δούμε με ποιον τρόπο μπορούμε να βρούμε ένα πλήθος

αριθμών, όταν κάθε ένας από αυτούς (από τον δεύτερο και μετά) είναι

ίσος με τον προηγούμενό του συν ένα σταθερό αριθμό.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να βρεθεί το πλήθος των αριθμών: 4,9,14,...,1499 .

Παρατηρούμε ότι

1ος αριθμός: 4 4 0 5



.....

.....

.....

νιοστός αριθμός: 1499 4 (v 1) 5

Οπότε για να βρούμε το πλήθος v των αριθμών, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση

1499 4 (v 1) 5 από όπου βρίσκουμε v 300 .

Ας δούμε και ένα ακόμα παράδειγμα, που θα χρησιμοποιήσουμε την πιο πάνω

γνώση:

Να βρεθεί το άθροισμα: 3 7 11 ... 399 .

Έχουμε:

3 3 0 4

7 3 1 4

11 3 2 4

.....



.....

399 3 (ν 1) 4

Από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε ν 100 .

Με πρόσθεση τώρα κατά μέλη των παραπάνω ισοτήτων βρίσκουμε:

3 7 11 ... 399 100 3 1 4 2 4 ... 99 4

99(99 1)300 4 (1 2 3 ... 99) 300 4

2

300 4 4950 20100 .


Ο αριθμός Α προκύπτει από το γινόμενο δύο διαδοχικών θετικών ακεραίων και

είναι μικρότερος του 20 ενώ ο αριθμός Β προκύπτει από το γινόμενο τριών

θετικών διαδοχικών ακεραίων και είναι μικρότερος του 30 . Αν το πηλίκο Α

Β

έχει την ιδιότητα να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, να βρεθεί η τιμή της

παράστασης:

1000

2 2AΚ 1000 2004 A 2004 B

B

.


Να προσδιορίσετε το άθροισμα: A 200 198 196 194 ... 4 2 .


Δίνονται οι παραστάσεις: 3 4 5 2001

A 2 ...2 3 4 2000

και

1 1 1 1B 1 ...

2 3 4 2000 . Να βρείτε τον αριθμό: Α Β .


Το γινόμενο δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών, διαιρείται πάντα με το 2



Η απόδειξη της πρότασης αυτής είναι εύκολη και αφήνεται ως άσκηση (δείτε εξ

άλλου και το επόμενο)

Το γινόμενο τριών διαδοχικών φυσικών αριθμών, διαιρείται πάντα με το

3

Απόδειξη:

Έστωα ν(ν 1)(ν 2) .

Από την ευκλείδεια διαίρεση του ν με τον 3 , έχουμε ν 3κ υ , όπου

υ 0,1,2 . Άρα ν 3κ ή ν 3κ 1 ή ν 3κ 2 .

1η Περίπτωση: ν 3κ

Τότε α 3κ(3κ 1)(3κ 2) και άρα ο α διαιρείται με το 3 .

2η Περίπτωση: ν 3κ 1

Τότε α (3κ 1)(3κ 2)(3κ 3) 3(κ 1)(3κ 1)(3κ 2) και άρα ο

α διαιρείται με το 3 .

3η Περίπτωση: ν 3κ 2

Τότε α (3κ 2)(3κ 3)(3κ 4) 3(κ 1)(3κ 2)(3κ 4) άρα και πάλι ο α

είναι πολλαπλάσιο του 3 .

Γενικά, το γινόμενο ν διαδοχικών φυσικών αριθμών, διαιρείται με το

ν


Αν 1 1 1 1

α 1 ...2 3 4 1999

και 2 4 6 3996

b 1 ...4 6 8 3998

, να βρείτε

τον αριθμό α b

2

.




Αν για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει η ισότητα: 1 1 1

n (n 1) n n 1

,

να υπολογίσετε το άθροισμα: 1 1 1 1 1

S ...1·2 2·3 3·4 4·5 2000·2001

.


α) Να αποδείξετε ότι: 2 1 1 1 1

n (n 1) (n 2) n n 1 n 1 n 2

.

β) Να υπολογίσετε το άθροισμα:

1 1 1 1S ...

1 2 3 2 3 4 3 4 5 1999 2000 2001

.


Να εξετάσετε αν ο παρακάτω αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός:

A ( 13) ( 17) ( 21) ( 25) ... ( 4013) .


α) Να αποδείξετε ότι αν το τετράγωνο ενός θετικού ακεραίου αριθμού είναι

άρτιος, τότε και ο αριθμός αυτός είναι άρτιος.

β) Ο ακέραιος a δεν διαιρείται με το 5 και ο αριθμός 2

a 2a 3 είναι άρτιος.

Να βρείτε το ψηφίο των μονάδων του a .


α) Αν 1 1 1

x y 3 με x,y 0 να αποδείξετε ότι y 3 και

9x 3

y 3

.



β) Να προσδιορίσετε τους θετικούς ακέραιους x,y που ικανοποιούν τη σχέση

1 1 1

x y 3 .


Δίνεται η παράσταση: 2 2 2P(x) (α b) x 4(α b) x c 4 , όπου a,b,c

είναι ακέραιοι με a,b 0 και c 0 . Αν η παράσταση αυτή παίρνει την τιμή 0

για x 1 , να βρεθούν οι αριθμοί a,b,c .


Πόσοι από τους αριθμούς 1,2,3,...,1999 δεν διαιρούνται με το 5 ούτε με το 7 ;


Ο θετικός ακέραιος x είναι άρτιος και όταν διαιρείται με το 7 δίνει υπόλοιπο

2 . Να βρεθεί ο x αν είναι μεταξύ των αριθμών 512 και 521 .


Οι δύο διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι οι θετικοί ακέραιοι x και y . Αν

αυξήσουμε την μία διάσταση κατά 1 και την άλλη κατά 2 τότε το ορθογώνιο

που προκύπτει έχει εμβαδόν διπλάσιο του αρχικού. Να βρεθούν οι διαστάσεις x

και y .


Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός α = 2

222223 444441 222220 222216a

222222

είναι

ακέραιος και να βρεθεί.




Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός 2

333334 666663 333331 333327b

333333

είναι

ακέραιος και να βρεθεί.


Τριψήφιος αριθμός είναι μεγαλύτερος του 610 και μικρότερος του 650 και

διαιρούμενος με το 7 δίνει υπόλοιπο 3 . Να βρεθεί ο αριθμός αυτός, αν είναι

γνωστό ότι είναι πολλαπλάσιο του 5 .


Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός 2 2 2 2 2 2A 1998 1997 1996 1995 ... 2 1

είναι πολλαπλάσιο του 1999 .

[ Μια σπουδαία ισότητα (ταυτότητα) είναι η ακόλουθη (που λέγεται διαφορά

τετραγώνων) 2 2x y (x y)(x y) ].


Αν ο αριθμός n είναι θετικός ακέραιος, να δείξετε ότι ο αριθμός

1

A 11

11

1n

δεν είναι ποτέ ακέραιος.

ΘΕΜΑ 34 (ΣΩΚΡΑΤΗΣ ΛΥΡΑΣ)

Να προσδιορίσετε τις τιμές του θετικού ακέραιου n για τις οποίες ο αριθμός 3 2

A n n n 1 είναι πρώτος. ( Αρχιμήδης juniors)

Θεωρία:

Ο πρώτος αριθμός διαιρείται μόνο με τον αριθμό 1 και με τον εαυτό του.



Σημείωση: Υπενθυμίζουμε τις ταυτότητες: 2 2 2

(x y) x 2xy y και 2 2 2(x y) x 2xy y

3 3 2 2 3 3 3(x y) x 3x y 3xy y x y 3xy(x y) και

3 3 2 2 3 3 3(x y) x 3x y 3xy y x y 3xy(x y)

Δύο επίσης χρήσιμες ταυτότητες είναι και οι εξής: 3 3 2 2

x y (x y)(x xy y ) (άθροισμα κύβων) και η 3 3 2 2

x y (x y)(x xy y ) (διαφορά κύβων)

Επίσης η 2 2 2x y (x y) 2xy και 2 2 2 2

(x y z) x y z 2xy 2yz 2xz .


α) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: 4 4x 4y .

β) Αν x,y θετικοί ακέραιοι και y 2 να δείξετε ότι ο αριθμός 4 4x 4y είναι

σύνθετος (δηλαδή δεν είναι πρώτος).


Αν a και x είναι πραγματικοί αριθμοί και a 1 να δείξετε ότι 2

2

x a2

x a 1

.

Πότε ισχύει η ισότητα;


Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x,a,b,y ισχύει ότι xy ab 1 , να

αποδειχθεί ότι: 2 2 2 2a b x y ax by 1 .


Για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς x,y να αποδείξετε ότι: 3 3

2 2

x yx y

x xy y

.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Να τονίσουμε επί πλέον ότι οι αριθμοί:



2 2 2 2,x xy y x xy y είναι μη αρνητικοί για κάθε x,y πραγματικούς

αριθμούς (ενώ είναι μηδέν μόνο για x y 0 ).

Παρακάτω θα δούμε την απόδειξη της ανισότητας: 2 2x xy y 0 για κάθε

x,y .

Έχουμε:2 2 2 2 2 2

2 2 2x 2xy 2y x x 2xy y yx xy y 0

2 2

(δώστε μόνοι την εξήγηση) για κάθε x,y (όπου για να ισχύει η ισότητα, θα

πρέπει να είναι x 0 και x y 0 και y 0 , δηλαδή x y 0 ).

Επειδή λοιπόν στην εκφώνηση της άσκησης μας έδιναν ότι τα x,y είναι θετικοί

πραγματικοί αριθμοί, είναι φανερό ότι οι αριθμοί 2 2 2 2,x xy y x xy y

είναι θετικοί.


Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: 2 2 3A (2 x x ) x .


(α) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ότι:

22n n

2n 1 n 1

.

(β) Να αποδείξετε ότι:

22 4 6 2000 1

...3 5 7 2001 2001

.

ΘΕΜΑ 41 (komi)

Εάν a,b πραγματικοί μη μηδενικοί και 2 2 3 3 3 2(a b ) (a b ) να βρεθεί η τιμή

της παράστασης a b

b a .



ΘΕΜΑ 42 (komi)

Εάν a,b,c ακέραιοι πραγματικοί , να δείξετε ότι η παράσταση 2

A 4abc(b c a) [(b a)(c a)] είναι τέλειο τετράγωνο.


Το άθροισμα δύο ακεραίων αριθμών είναι 26 ενώ αν διαιρέσουμε τον

μεγαλύτερο με τον μικρότερο βρίσκουμε πηλίκο 4 και υπόλοιπο 1 . Να βρεθούν

οι αριθμοί.


Αν a είναι περιττός ακέραιος, να δείξετε ότι ο αριθμός 4 2a 6a 7 είναι

πολλαπλάσιο του 128 .

ΘΕΜΑ 45 (ΛΩΛΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ)

Αν a,b,c πλευρές τριγώνου και x,y,z πραγματικοί, νa δείξετε ότι: 2 2 2

a (x y)(x z) b (y z)(y x) c (z x)(z y) 0 .


Προτού δώσουμε μια λύση, είναι χρήσιμο να αποδείξουμε μια ανισότητα (που

καλό είναι να απομνημονευθεί).

Αν κ,μ πραγματικοί αριθμοί και λ, ν θετικοί, τότε ισχύει:

2 2 2κ μ (κ μ)

λ ν λ ν

.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:

Επειδή τα λ, ν είναι θετικοί αριθμοί, άρα το ΕΚΠ των παρονομαστών που είναι

λ ν (λ ν) θα είναι θετικός αριθμός. Οπότε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε

τα μέλη της ανισότητας που ζητάμε να αποδείξουμε με το ΕΚΠ και έτσι

ισοδύναμα, αρκεί να αποδείξουμε ότι:



2 2 2ν(λ ν)κ λ(λ ν)μ λν(κ μ)

2 2 2 2 2 2 2 2νλκ ν κ λ μ λνμ λνκ 2λνκμ λνμ

2 2 2 2 2ν κ λ μ 2λνκμ 0 (νκ λμ) 0 ,

πράγμα που είναι αληθές. Άρα αληθές είναι και το ζητούμενο.


(α)Τριγωνική ανισότητα: Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το

άθροισμα των δύο άλλων πλευρών (και μεγαλύτερη από την απόλυτη τιμή της

διαφοράς των άλλων πλευρών).

(β) Αν κ,μ πραγματικοί αριθμοί και λ, ν θετικοί, τότε ισχύει η ανισότητα:

2 2 2κ μ (κ μ)

λ ν λ ν

.

(την απόδειξη, την αφήνω ως άσκηση μιας και δεν έχει ιδιαίτερη δυσκολία)

(γ) Παρατηρείστε ότι αν x y ή y z ή z x τότε το ζητούμενο

αποδεικνύεται εύκολα. Θεωρείστε στη συνέχεια ότι x y z και προσπαθήστε

να οδηγήσετε την άσκηση στην παρατήρηση (β) η οποία θα αποδειχθεί με την

παρατήρηση (α).

δ) αν ένα πολυώνυμο της μορφής 2f (x) ax bx c , a,b,c πραγματικοί, έχει

a 0 και αρνητική Διακρίνουσα τότε f (x) 0 για κάθε πραγματικό x .


Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: 2 2 3A [1 x(1 x x )] x


Δίνεται το πολυώνυμο 2 2 2 2

P(x,y,z) x yz 3x y 2x z 6x 11xyz 22xz 33xy 66x

α) Να γράψετε το πολυώνυμο αυτό ως γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων

β) Για ποιες τριάδες φυσικών αριθμών (x,y,z) ισχύει ότι P(x,y,z) 2002 ;




Αν ο αριθμός p είναι πρώτος να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί για τους οποίους

ισχύει: 2n n p 1982 .

ΘΕΜΑ 49 (Socrates)

Χωρίζουμε το σύνολο A {1,2,3,...,19} σε δύο μη κενά σύνολα M και N έτσι

ώστε M N , M N A και για κάθε x M είναι x 10 M ή

x 10 M . Αν m το άθροισμα των στοιχείων του M και n το άθροισμα των

στοιχείων του N , να βρείτε την ελάχιστη τιμή του m n .


α) Να δείξετε ότι μπορούμε να τοποθετήσουμε 20 μη μηδενικούς ακεραίους, όχι

απαραίτητα διαφορετικούς, στη σειρά έτσι ώστε το άθροισμά τους να είναι

θετικό, ενώ το άθροισμα οποιονδήποτε τριών διαδοχικών να είναι αρνητικό.

β) Δείξτε ότι δε μπορούμε να κάνουμε το ίδιο σε ένα κύκλο.


Α) Να προσδιορίσετε τους φυσικούς αριθμούς n,m αν οι αριθμοί 42m 3 και

42n 5 είναι δίδυμοι πρώτοι, δηλαδή είναι πρώτοι αριθμοί που διαφέρουν

κατά 2 .

Β) Ποιο μπορεί να είναι το τελευταίο ψηφίο του 2

a ; Ποιο του 4a ;


Αν 1 2 n

x ,x ,...,x ακέραιοι τέτοιοι ώστε

1 2 n 1 2 n( x x ... x ) x x ... x 2 , να δείξετε ότι ένας τουλάχιστον

από αυτούς ισούται με 1 ή 1 .


Ένας σκύλος καταδιώκει μια αλεπού που απέχει εξήντα πηδήματα από αυτόν.

Όταν η αλεπού κάνει εννέα πηδήματα, ο σκύλος κάνει έξι πηδήματα. Αλλά τρία



πηδήματα του σκύλου ισούνται με επτά της αλεπούς. Μετά από πόσα πηδήματα

θα φτάσει ο σκύλος την αλεπού?


Έστω x πραγματικός αριθμός. Αν οι αριθμοί 3x x και 2

x 2x είναι ρητοί, να

αποδειχθεί ότι ο x είναι ρητός.


Για να την λύσουμε, θα χρησιμοποιήσουμε μόνο ότι :

Το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο ρητών, είναι ρητός (αρκεί

στο πηλίκο, ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός)


Το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 18 ισούται με το τετράγωνο του

αριθμού. Να βρεθεί ο αριθμός αυτός.


Δείξτε ότι η εξίσωση 2x x 2n 1 , όπου n είναι φυσικός αριθμός, έχει

πραγματικές ρίζες. Στη συνέχεια να εξετάσετε αν είναι δυνατόν οι ρίζες αυτής

της εξίσωσης να είναι ακέραιες (για κάποιονn φυσικό αριθμό)


Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης: 2 2

A a 10ab 27b 8b 8 .

Για ποιες τιμές των a,b λαμβάνεται η ελάχιστη τιμή της παράστασης A ;


Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του θετικού ακεραίου x για την οποία ο αριθμός x

13

διαιρεί τον αριθμό 500!. (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: n! 1 2 ... (n 1) n )


Τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρές ΑΒ x , ΑΓ x 2 και ΒΓ 10 . Αν ισχύει ότι



2 2(x 2) x 28 , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ορθή

την γωνία Α

.


Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x,y,z ισχύει ότι xyz 1 , να αποδείξετε

ότι 1 1 1

2y z x

y 1 z 1 x 1x 1 y 1 z 1

.

ΘΕΜΑ 61 (ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ)

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ όπου ΑΒ ΑΓ με oB 30

και σημείο Μ

στο εσωτερικό του , τέτοιο ώστε oMBΓ 30

και 3

M AB BAΓ4

. Να

αποδειχθεί ότι η γωνία οΑΜ Γ 150

.


Αν x,y,z [ 1, ) ώστε 1 x 1 y 2 1 z να δείξετε ότι x y 2z .



Να βρείτε τους πρώτους αριθμούς x,y αν ισχύει 3 3 2 2 2 2

x 2y 6y y 3 2xy x y 3x x .


Αν a,b 0 να δείξετε ότι a b a b 2(a b)

1 a b 1 a 1 b 2 a b

.





Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ οι γωνίες Α και Δ είναι ορθές ΑΒ α , ΑΔ β και

ΓΔ γ . Οι αριθμοί α,β,γ είναι ακέραιοι και ανάλογοι προς τους αριθμούς

1,2,3 αντίστοιχα και έχουν άθροισμα 30 .

Να βρεθεί το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ .


Αν a,b,x,y 0 και a b 1 τότε: 1

ax bya β

x y

. Πότε ισχύει το ίσον;

ΒΑΣΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ (1):

Για κάθε x,y R (δηλαδή για κάθε x,y που είναι πραγματικοί αριθμοί) ισχύει:

2 2x y 2xy . Η ισότητα ισχύει όταν x y .

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αν x,y 0 να αποδείξετε ότι x y 2 xy

ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Στην βασική ανισότητα (1) βάλτε στην θέση του x το x και

στη θέση του y το y .


Για κάθε x,y R ισχύει: 2 2

x y xy .

Ας δούμε μια απόδειξη: 2 2 2 2 2 2 2 2

x y xy 2(x y ) 2xy x y x y 2xy 0

2 2 2x y (x y) 0 .

Τούτο όμως ισχύει, οπότε θα ισχύει και το ζητούμενο

ΣΗΜ: Η ισότητα ισχύει όταν x 0 , y 0 , x y 0 δηλ. όταν x y 0 .




Για κάθε x,y,z R ισχύει : 2 2 2x y z xy xz zy .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

1ος Τρόπος: Από την ΒΑΣΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ (1) έχουμε: 2 2

x y 2xy

2 2z y 2zy

2 2x z 2xz

Με πρόσθεση κατά μέλη των ανισοτήτων αυτών, έχουμε: 2 2 2 2 2 2

2x 2y 2z 2xy 2xz 2zy x y z xy xz zy

2ος Τρόπος: Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ζητούμενης ανισότητας με το 2 ,

και με διασπάσεις και μεταφορά στο πρώτο μέλος, καταλήγουμε σε άθροισμα

τριών τετραγώνων μεγαλύτερο ή ίσο με το μηδέν, πράγμα που αληθεύει.


Αν x,y 0 τότε x y

2y x .

(Η απόδειξη είναι εύκολη , αν πολλαπλασιάσουμε ισοδύναμα τα μέλη της

αποδεικτέας με το x y ).


Για κάθε x,y,z 0 να αποδειχθεί ότι: x y x z y z

6y x z x z y


Για κάθε x,y,z 0 πραγματικούς αριθμούς ότι (x y)(y z)(z x) 8xyz .




Έστω ότι για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c ισχύει ότι:

a b b c a cab( c) bc( a) ca( b) 0

2 2 2

. Να αποδειχθεί ότι a b c .


Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση:

24 2 127 x x x (1 x) 4(3x x)

3 3 3

.


Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο διαιρείται σε 4 μικρότερα ορθογώνια με δύο

ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του. Τα τρία από αυτά τα τέσσερα

ορθογώνια έχουν εμβαδά 10,18 και 25 τετραγωνικές μονάδες. Να βρεθεί το

εμβαδόν του τέταρτου ορθογωνίου.

ΕΜΑ 72 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ)

Οι αριθμοί m,n είναι ακέραιοι.

(α) Να βρεθούν τα ζεύγη (m,n) που επαληθεύουν την εξίσωση : 3 2 3 2

m 4mn 8n 2m n .

(β) Από τα ζεύγη που θα βρείτε να προσδιορίσετε εκείνα που επαληθεύουν την

εξίσωση 2

m n 3 .

ΘΕΜΑ 73 (Ferma_96)

Να εξεταστεί κατά πόσο ένας ακέραιος αριθμός, μπορεί να έχει την ρίζα του

στους ρητούς αλλά όχι και στους ακέραιους αριθμούς.

(είναι διάσημο πρόβλημα, οπότε μάλλον πολλοί θα το ξέρετε).




Να λυθεί το σύστημα:

4 2 2 4

2 2

x x y y 91

x xy y 7

.


Να λυθεί η εξίσωση: 2

2

42x x

x x 1

.


Στον διαγωνισμό "ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ" της ΕΜΕ συμμετέχουν αγόρια και κορίτσια

που χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, στους "μικρούς" (με ηλικία κάτω των

15 ετών) και στους "μεγάλους". Τα αγόρια που λαμβάνουν μέρος στον φετινό

"ΑΡΧΙΜΗΔΗ" αποτελούν το 55% αυτών που συμμετέχουν. Ο λόγος του

πλήθους των "μικρών" αγοριών προς το πλήθος των "μεγάλων" αγοριών ισούται

με τον λόγο του πλήθους των "μικρών" προς το πλήθος των "μεγάλων".

Να βρεθεί ο λόγος του πλήθους των "μικρών" αγοριών προς το πλήθος των

"μικρών" κοριτσιών.


Να συγκρίνετε τους αριθμούς 3 33 3 33 3 3 3 , 2 3 λαμβάνοντας

σοβαρά υπ’ όψη ότι το εμφανισιακά μεγάλο δεν είναι πάντα και το μεγαλύτερο.


Στην προηγούμενη μαθηματική Ολυμπιάδα, για ένα από τα προβλήματα που

τέθηκαν, στο οποίο η μέγιστη βαθμολογία ήταν 5 , είχαμε τα παρακάτω

αποτελέσματα:

Ο μέσος όρος των βαθμών των αγοριών ήταν 4 ,

ο μέσος όρος των βαθμών των κοριτσιών ήταν 3,25 και

ο μέσος όρος των βαθμών του συνόλου των μαθητών ήταν 3,6 .

Να βρείτε πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια πήραν μέρος, αν ο αριθμός του

συνόλου των μαθητών ήταν μεταξύ 30 και 50 .




Δίνονται οι αριθμοί 41A 2 , 13

B 8 , 21C 4 , 8

D 32 .

α) Να βρείτε ποιος είναι ο μεγαλύτερος.

β) Να εκφράσετε το άθροισμα A B C D ως γινόμενο πρώτων

παραγόντων.


Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί n για τους οποίους ο αριθμός 2n 1

διαιρεί τον αριθμό 2n n 2 .

ΘΕΜΑ 81 (qwerty)

Δείξτε ότι δεν υπάρχει φυσικός αριθμός n με την ιδιότητα: 5 3

3n 3n 30000001 . (Θαλής 1996)


Τοποθετούμε τους αριθμούς 1,2,3,...,49 στα κελιά μιας 7x7 σκακιέρας, έναν

σε κάθε κελί. Υπολογίζουμε το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής και κάθε

στήλης. Κάποια από αυτά τα 14 αθροίσματα είναι άρτιοι αριθμοί και κάποια

περιττοί. Έστω A το άθροισμα των περιττών αθροισμάτων και B το άθροισμα

των άρτιων. Είναι δυνατόν να τοποθετηθούν οι αριθμοί στην σκακιέρα με τέτοιο

τρόπο ώστε να ισχύει A B ;


Αν a,b,c θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε b c

(a 1) (a 25) να δείξετε ότι ο

αριθμός b c είναι πολλαπλάσιο του 4 .


Θεωρούμε την διαδικασία: ξεκινώντας από μια τριάδα (a,b,c) (0,0,0)

παίρνουμε (την αντικαθιστούμε) την τριάδα (a b,b c,c a) . Δείξτε ότι αν

με, επανειλημμένη, εφαρμογή της διαδικασίας προκύψει η αρχική τριάδα, τότε

αυτό θα συμβεί μετά από ακριβώς έξι βήματα (εφαρμογές της διαδικασίας).



ΘΕΜΑ 85 (ΛΩΛΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ)

Οι φυσικοί αριθμοί από το 1 ως το 10 τοποθετούνται με τυχαία σειρά στην

περιφέρεια ενός κύκλου. Να δείξετε ότι υπάρχουν σε διπλανές θέσεις τρεις

αριθμοί με άθροισμα τουλάχιστον 18 .

ΘΕΜΑ 86 (Grigoris K.)

Βρείτε όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών (x,y) τα οποία ικανοποιούν την εξής

σχέση: x 2 5 4 y | y 2x |

y xy x xy

.

ΘΕΜΑ 87 (Grigoris K.)

Σε μια σκακιέρα 6x6 έχουν τοποθετηθεί φυσικοί αριθμοί. Κάθε κίνηση

συνίσταται στην επιλογή ενός τετραγώνου μεγαλύτερου από 1x1 ( το οποίο

αποτελείται από "κουτάκια" της σκακιέρας ) και στην αύξηση όλων των

φυσικών αριθμών που βρίσκονται στο επιλεγμένο τετράγωνο κατά 1 . Είναι

πάντα εφικτό να κάνουμε κάποιες κινήσεις ώστε να οδηγηθούμε σε μια

κατάσταση όπου όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι διαιρετοί από το 3 ;


Αν a,b,c 0 , να αποδείξετε ότι: 3 3 3 2 2 2a b c a b b c c a .

Ισχύει η ταυτότητα:

2 3 3 3 2 2 2

2a b a b 3 a b c a b b c c a .

Είναι κατανοητό ότι με βάση τη ταυτότητα αυτή η άσκηση επιλύεται αμέσως.

ΘΕΜΑ 89 (CARANUS)

Να εξετάσετε αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί a,b διάφοροι του μηδενός ,

τέτοιοι ώστε: 1 13 10

ab a b 32 3

. (ΘΑΛΗΣ 2006)




Αν a,b,c 0 , να αποδειχθεί ότι: b c a

(a )(b )(c ) 8ca ab bc

.

Να αποδειχθεί πότε ισχύει η ισότητα;


Να λυθεί ως προς x η εξίσωση: 2 327a x 2(x a) , a R* .

ΒΑΣΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ (Ανισότητα των μέσων: ΑΜ – GM – HM)

Επειδή πολύ συχνά οι μαθητές μας για να λύσουν κάποια ανισότητα

χρησιμοποιούν την ανισότητα με τον αριθμητικό, γεωμετρικό και αρμονικό

μέσο, ήρθε η ώρα να την κάνουμε γνωστή και στους υπόλοιπους μαθητές που

δεν την γνωρίζουν

Για τους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c ισχύει ότι:

3a b c 1abc

1 1 13

a b c

.

Έτσι όταν βλέπουμε κάπου να γράφει "από ΑΜ – GM" σημαίνει ότι

χρησιμοποιεί την ανισότητα:

3a b cabc

3

ή την ισοδύναμή της 3a b c 3 abc και αν σε αυτήν

θέσουμε όπου a το 3

a , όπου b το 3

b και όπου c το 3c έχουμε την ανισότητα

3 3 3a b c 3 abc .

Παρατήρηση:

α) Η ανισότητα αυτή γενικεύεται και για περισσότερους (n στο πλήθος)

θετικούς αριθμούς.

β) Η ισότητα ισχύει μόνο όταν οι αριθμοί αυτοί είναι ίσοι.




Αν a,b,c 0 , να αποδειχθεί ότι 1 1 1

(a b c)( ) 9a b c

.

Λύση:

Από ΑΜ – ΓΜ παίρνω:

3a b c 3 abc και 31 1 1 1

3a b c abc

Με πολλαπλασιασμό των 2 σχέσεων προκύπτει η ζητούμενη.

(Μπορεί να λυθεί πιο απλά με CS).

Β τρόπος

από AM – HM έχουμε

a b c 3

1 1 13

a b c

1 1 1(a b c)( ) 9

a b c

να προσθέσω στην ανισότητα AM GM HM

και το 2 2 2

a b cRM

3S

για το οποίο ισχύει RMS AM GM HM .

Γ τρόπος

κάνουμε χρήση της C – S. 21 1 1 1 1 1

(a b c) ( ) (a b c )a b c a b c

2RHS 3 9 που είναι και το ζητούμενο



Η άσκηση 92 μπορεί να γενικευτεί ως εξής:

1

2

1 2

n

n

2

1 1 1(x x ... x )( ..

x x x. ) n

και αποδεικνύεται άμεσα από Cauchy – Schwartz αφού

2

n2

1 2 n jj 1

1 2 n j

1 1 1 1(x x

x x x... x )( ... ) x n

x

.

Ανισότητα των Buniakowski – Cauchy – Schwarz (B-C-S)

Έστω τα σύνολα των πραγματικών αριθμών 1 2 n

{x ,x ,...,x } , 1 2 n

{y ,y ,...,y }

τότε ισχύει ότι : 2 2 2 2 2 2 2

1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n(x x x ) (y y y ) (x y x y x y )

με την ισότητα να ισχύει όταν,

1 1 2 2 n nR, x y και x y και ...x y .


Έστω a,b,c και οι τρεις αριθμοί διάφοροι του μηδενός. Αν οι αριθμοί ab ,bc

και ac είναι ρητοί, τότε και ο αριθμός 2 2 2

k a b c είναι ρητός.


Δίνονται οι αριθμοί a n(n 1) και 2b (n 1) , όπου n θετικός ακέραιος.

Να αποδειχθεί ότι οι αριθμοί a και b έχουν διαφορετικό άθροισμα ψηφίων.

Ευκλείδης 1997

1."Αν οι αριθμοί a και b έχουν το ίδιο άθροισμα ψηφίων, τότε η διαφορά

τους διαιρείται με το 3 ."



2."Το υπόλοιπο που αφήνει ένας αριθμός a διαιρούμενος με τον 3 είναι το

ίδιο με αυτό που αφήνει ο αριθμός που είναι το άθροισμα των ψηφίων του

a διαιρούμενο με τον 3 "


Αν a,b,c,d 0 και a b c d 1 τότε να αποδείξετε ότι

1 1 1 18

a b b c c d d a

.

Μεθοδολογικές αναφορές:

α) Όταν μάς δώσουν ότι ένας αριθμός, έστω ο x είναι ΑΡΝΗΤΙΚΟΣ ή μηδέν

τότε μπορούμε να εμφανίσουμε με θετικό μέρος δηλαδή να λάβουμε υπ’ όψη

ότι: x R x R και x x .

β) Όταν μας πουν ότι ένας αριθμός, έστω x είναι ΘΕΤΙΚΟΣ μας δίνουν το

ελεύθερο να γράψουμε 2

x x , με ότι αυτό συνεπάγεται.

Ας δούμε, κάτω από αυτό το πρίσμα, το γνωστό παράδειγμα που ακολουθεί:

1 2 n 1 2 n

1 2 n

1 1 1a ,a ,...,a 0 (a a ... a )( ... )

a a a

n

n

α α ... α ...

α α α

2

2

1 2 n

1 2 n

1 1 1a a ... a n

a a a

.

Ανισότητα των Buniakowski – Cauchy – Schwarz (B – C – S)

και μεθοδικές πινελιές.

● Επειδή ο στόχος της στήλης αυτής είναι διδακτικός προς την κατεύθυνση να

διδαχθούν οι juniors παντού σε όλη την Πατρίδα και όχι μόνο ελάχιστοι εντός

των πυλών Θεωρία και Μεθοδολογία του είδους, ας ήμαστε όσο μπορούμε

κατατοπιστικοί προς αυτή τη κατεύθυνση της παρουσίασης των λύσεων μας.



● Σκέψη:

Εδώ μας δίνουν την πληροφορία της θετικότητας των αριθμών. Άρα μπορούμε

να χρησιμοποιήσουμε την συνεπαγωγή: 2

x 0 x x , που οδηγεί στο

ΠΙΘΑΝΟ ενδεχόμενο εφαρμογής της βασικής ανισότητας B – C – S.

Όταν θέλουμε να αποδείξουμε μία ανισότητα ένας τρόπος είναι να

χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της ΑΝΑΛΥΣΗΣ, δηλαδή να θεωρήσουμε ότι

πράγματι ισχύει , έστω A B και να παράξουμε Αληθείς προτάσεις

συνδεόμενες με το ρήμα ΑΡΚΕΙ (αφού μας ενδιαφέρει η «λογική

νομιμοποίηση» της αντίστροφης πορείας προς την A B ), έως ότου φτάσουμε

σε ΑΛΗΘΗ ΠΡΟΤΑΣΗ.

● Λύση:

Με βάση την υπόθεση

a,b,c,d 0

και ,

a b c d 1

έστω ότι ισχύει

1 1 1 18,

a b b c c d d a

αρκεί

1 1 1 1 1

a b b c c d d a 8,2 a b b c c d d a

αρκεί

2 2 2 2

a b b c c d d a ,

2 2 2 2

1 1 1 116,

a b b c c d d a

B C S

2

αρκει 1 1 1 1 16,

που είναι πρόταση ΑΛΗΘΗΣ.

ΦΥΣΙΚΑ πρέπει να κάνουμε μετά και Σύνθεση δηλαδή ουσιαστικά να

"αντιγράψουμε" την αντίθετη πορεία.



Για παράδειγμα:

Αν

*

2

Aν x,y με x y 1,a,b *

τότε, ισχύει τι .

a ba b

x y

ό

Για να μην έχουμε λύση χωρίς να φαίνεται το πώς μας έκοψε , κάνουμε πρώτα

Ανάλυση

Έστω ότι με βάση τις (*) ισχύει η 2a b

a b .x y

Για να ισχύει αυτή Αρκεί να ισχύει:

2a b

x y a b ,x y

αρκεί να ισχύει

2 2

2 2 2a bx y a b ,

x y

αρκεί να ισχύει

2 2

a b a b , που είναι αληθής.

Σύνθεση.

Γράφουμε την τελευταία και φτάνουμε με τις προφανής συνεπαγωγές (αφού

λειτουργήσαμε Μαθηματικά Λογικά το ρήμα Αρκεί κατά την διαδικασία της

Ανάλυσης) στην σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε.



ΘΕΜΑ 95Α (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ)

Αν x,y 0 και 5x 6y 7 να υπολογιστεί το maximum (= Μέγιστο) της

παράστασης 2 3A x y .

ΘΕΜΑ 96 (ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ)

Οι αριθμοί: 1 2 7

a ,a ,...,a είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύουν:

1 2 7a a ... a 333 Να αποδείξετε ότι το πηλίκο δύο τουλάχιστον εξ αυτών

ανήκει στο διάστημα:2 5

,5 2

.


Για τους πραγματικούς αριθμούς a,b,c ισχύουν: abc 1 και

ab bc ca a b c . Να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς

αυτούς είναι ίσος με το 1 .


Να εξεταστεί αν ο συλλογισμός που ακολουθεί είναι ΣΩΣΤΟΣ ή ΛΑΘΟΣ

δίνοντας πλήρη εξήγηση της απάντησης σας.

« Υπάρχει τουλάχιστον μία τριάδα φυσικών αριθμών k, ,m με

(k )( m)(m k) 0 τέτοιοι ώστε: k m

2 2 2 »


Δίνονται τρείς περιττοί φυσικοί αριθμοί. Υπάρχει ένας άλλος περιττός

φυσικός αριθμός, ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των τεσσάρων αυτών

αριθμών να είναι επίσης τέλειο τετράγωνο;


Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς x,y,z και w , για τις οποίες ισχύουν:

2x 7y 35z 210w 839 , x 4 , y 5 και z 6 .

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ 1 -...

Documents

Transcript of ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ 1 -...