ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ · 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΠΑΤΣΙΜΑΣ...

1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ

Υπολογισμός παραστάσεων

1. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων :

α) 4 6

β)

6 4

γ)

2

3 4

δ) 4 6

ε)

3 4


α) 2 3

β)

3 2

γ)

2

3 6

δ) 3 4

ε)

6

3. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών:

α) 75 β)15 γ) 105 δ) 195 ε) 165

4. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών:

α) 465 β)1155 γ) 465 δ) 555 ε) 795


α) 15 75 15 75

β) 65 20 65 20

γ)

5 5

8 8 8 8

δ)

17 13 17 13

90 90 90 90


α) 3 6 3 6

β) 3 3

16 16 16 16

γ)

3 3

8 8 8 8

δ) ημ20° · συν10° + συν20° · ημ10°


α) 3 12 3 12

β)

4 4

9 9 9 9

2


γ)

7 7

16 16 16 16

δ) ημ40° · συν5° + συν40° · ημ5°


α) 80 50

1 80 50

β)

50 85

1 50 85


α) 125 80

1 25 80

β)

10 20

1 10 20


α) 35 5

1 35 5

β)

40 20

1 40 20


α) 4 8 4 8

9 9 9 9

β) 4 17 4 17

18 18 18 18

γ)

3 7 3 7

16 16 16 16

δ) 2 5 2 5

7 7 7 7


α) 115 55 115 55

β) 28 17 28 17

γ) 51 6 6 51

δ) 28 107 28 107


α) 40 85 5 50

β) 28 17 72 163

γ) 51 6 84 129

δ) 52 38 52 128

Απλοποίηση παραστάσεων

14. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις :

α) A=συν7x · συν6x – ημ7x · ημ6x

β) B=4 4

x x x x

3


γ) Γ= 2 2

( )3 3

x x x x

δ) Δ= ημ(α + β) · ημβ + συν(α + β) · συνβ

ε) Ε=3 3 3 3

2 2 2 24 4 4 4

x x x x


α) Α= συν4x · συν(- 3x) - ημ4x · ημ(- 3x)

β) Β= 3 3

x x x x

γ) Γ= 6 6

x x x x

δ) Δ= ημ(α + β) · ημβ + συν(α + β) · συνβ

ε) Ε= 4 4 4 4

x x x x


α) 5 5

2 26 6 6 3

x x x x

β) Β= 2

2 23 3 6 3

x x x x

γ) Γ= 3 3

x x x x

δ) Δ= 2 2 2

3 2 3 23 6 3 3

x x x x

17. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις:

α) Α= 3 6

13 6

β) Β=

2

9 92

19 9

γ) Γ= 3 ( )

1 3 ( )

x x

x x

δ) Δ=

6 6

16 6

x x

x x

18. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις:

α) Α=

2

15 15

21

15 15

x x

x x

β) Β=

10 4

9 9

10 41

9 9

x x

x x

4


γ) Γ=

5

36 36

51

36 36

x x

x x

δ) Δ= 6 6

16 6

x x

x x


α) ημ2α · συνα - συν2α · ημα

β) ημ(α + 45°) · συν(α - 45°) - συν(α + 45°) · ημ(α - 45°)

γ) ημ(α + β) · ημβ + συν(α + β) · συνβ

δ) συν(α + β) · συν(α - β) - ημ(α + β) · ημ(α - β)

ε) συν2α — ημ2α · εφα ,με συνα 0

στ) 3

13

, με συνα 0

ζ) 1 1

2 2

Υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών αθροίσματος και διαφοράς γωνιών

20. α) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α-β αν :

i) ημα =4

5 , ημβ =

12

13 , 0 < α <

2

και

2

< β < π

ii) συνα = 5

13 , ημβ =

3

5, 0 < α <

2

και

2

iii) ημα = 12

15 , συνβ =

24

25 , 0 < α <

2

και π < β <

3

2

21. α) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α+β αν :

i) ημα =4

5 , εφβ =

3

4 ,

2

< α <π και

3

2

ii) ημα = 12

13 , εφβ =

1

24 , 0 < α <

2

και

2

iii) εφα = 4

3 , ημβ =

24

25 , 0 < α <

2

και π < β <

3

2

22. α) Να υπολογίσετε το συν(α + β) και το συν(α - β) αν :

i) ημα =3

5 , ημβ =

8

17 , 0 < α <

2

και

2

< β < π

ii) ημ(90° - α) = 4

5 , ημ(90° - β) =

15

17, 0 < α <

2

και

3

2

< β < 2π

β) Αν ημα = 3

5 , ημβ =

7

25 , 0 < α <

2

και π < β <

3

2

, να υπολογίσετε:

i) το ημ(α + β) ii) το συν(α - β) iii) την εφ(α - β)

5


23. Να υπολογίσετε:

α) την εφ(45° + α) , αν 3

2

< α < 2π και συνα =

3

5 ,

β) το ημ(45°- α), αν π < α < 3

2

και ημα =

3

4 ,

γ) το συν(30° - α), αν εφα = 3

4 και π < α <

3

2

.

Αποδείξεις τριγωνομετρικών ταυτοτήτων

24. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες:

α) ημ(x - π) =- ημx β) συν(x - π) = - συνx

γ) συν(x + y) · συν(x - y) - συν2x · συν2y- ημ2χ · ημ2y

δ) ημ(x + y) · ημ(x - y) = ημ2x · συν2y - συν2x · ημ2y

ε) 2ημ(30° + α) = 3 · ημα + συνα στ) 2 ημ(45° - α)= συνα - ημα

ζ) 4 4

η)

1

4 1

25. Να αποδείξετε ότι:

α) ( )

β)

( )1

γ) ( )


α) 4

x xx

x x

β)

2 24

2 24

x x

x

x x

γ) 3 3

3 3

x x

x

x x

δ) 2 2

2 2

1011 9

1 10

x xx x

x x


α) 2 3

6 6 4x x x

β) 2 2 2 1

3 3 2x x x

γ) 7

6 6x x x

δ)

2 2

2 2

( ) ( )2

x y x yx y

x y


α) (y )3 6 3 6

x y x y x

6


β) (x y)4 4 4 4

x y x y

γ) 4 4

25

14 4

x x

x

x x


α) συν(45° -x) - ημ(45° + x) = 0

β) συν(45° +x) - ημ(45° - x) = 0

γ) (συνα - ημα)(συνβ - ημβ) = συν(α - β) - ημ(α + β)

δ) (συνα + ημα)(συνβ - ημβ) = συν(α + β) + ημ(α - β)

ε) ( )

1( )

στ) ( ) ( )

( ) ( )

η) ( ) ( )

( ) ( )


α) συνα - συν(α + 60°) + συν(α + 120°) = 0

β) ημα + ημ(α + 120°) + ημ(α + 240°) = 0

γ) συνα + συν(α + 120°) + συν(α + 240°) = 0

δ) συν68° · συν78° + συν22° · συν12° - συν10° = 0

ε) ημ30° - ημ47° · ημ13° + ημ43° · ημ77° = 1


α) ημ75° - ημ15° = ημ45° β) συν35° + συν25° = 3 · συν5°

γ) ημ15° + εφ30° · συν 15° =6

3 δ) ημ20° + 2ημ40° - ημ100° = ημ40°

32. α) Να υπολογίσετε τα παρακάτω:

i) συν(α - β + γ) ii) ημ(α + β + γ)

iii) ημ(α - β - γ) iv) συν(α + β — γ)

β) Για τις επιτρεπόμενες τιμές των γωνιών α, β και γ να αποδείξετε ότι

( )1

33. Για τις επιτρεπόμενες τιμές των α, β, α + β και α- β να αποδείξετε ότι:

α) ( )

( )

β) 2 ( )

( ) ( )

γ) 2 2

2 2( ) ( )

1

δ) εφ(α + β) - εφα - εφβ = εφα · εφβ · εφ(α + β)

7


ε) (1 ) (45 )

(45 )1

a

34. Για τις επιτρεπόμενες τιμές των α, β, α + β και α- β να αποδείξετε ότι:

α) 2 ( )

( ) ( )

β) ( ) ( )

( ) ( )

γ) 2 2( ) ( )

δ) ( )

( )

35. Για τις επιτρεπόμενες τιμές των α, β και α + β να αποδείξετε ότι:

α) (1 ) (45 )

(45 )1

a

β) 2 ( )

( )2 ( )

γ) σφ15ο-εφ15° = 2εφ60°


α) ημ2(30° + α) - ημ2(30° - α) = 3 ημα · συνα

β) ημ2(30° + α) + ημ2(30° - α) - ημ2α = 1

2

γ) συν2(30° + α) + συν2(30° - α) + ημ2α = 3

2

δ) συν2α + συν2 (120° + α) + συν2 (120° - α) = 3

2


α) 2ημ(α + 45°) · ημ(α - 45°) = ημ2α - συν2α

β) 2συν(α + 45°) · συν(45° - α) = συν2α - ημ2α

γ) 2ημ(α + 45°) · συν(β - 45°) = συν(α - β) + ημ(α + β)


α) (συνα + συνβ)2 + (ημα + ημβ)2 = 2 [1 + συν(α - β)]

β) (συνα + ημβ)2 + (ημα - συνβ)2 = 2[1 - ημ(α - β)]


α) ημ2(α- β) + 2ημ(α - β) · συνα · ημβ + ημ2β = ημ2α

β) συν2(α - β) - 2συν(α - β) · συνα · συνβ + συν2β = ημ2α

γ) ημ51° - ημ28° · συν323° - συν28° · ημ323° = ημ23° · συν23°· συν5°

Τριγωνομετρικές ταυτότητες υπό συνθήκη

40. Αν 2ημ(α + β) = 3ημ(α - β), τότε για τις επιτρεπόμενες τιμές των α και β να αποδείξετε ότι

εφα = 5εφβ.

8


41. Αν συν(α + β) = 0, να αποδείξετε ότι ημ(α + 2β) = ημα.

42. Αν ημ(x + y) =3

4 και ημ(x - y) =

1

2, τότε για τις επιτρεπόμενες τιμές των x και y να αποδείξετε

ότι εφx =5εφy .

43. Αν 1

2x ,να αποδείξετε ότι: ( ) ( )x y x y x y

44. Αν ( ) 2 ( )x y x y ,τότε να αποδείξετε για τις επιτρεπόμενες τιμές των x,y ,x-y και

x +y ότι :1

3x y


α) αν 3ημβ = ημ(2α + β), τότε για τις επιτρεπόμενες τιμές των x,y και x + y

ισχύει εφ(α + β) = 2εφα ,

β) αν ημ(2α + β) = 2ημβ, τότε για τις επιτρεπόμενες τιμές των α, β και α + β

ισχύει εφ (α + β) = 3εφα.

46. Αν α + β = 4

, να αποδείξετε ότι:

α) (1 +εφα)(1 + εφβ) = 2 β) (1 - σφα)(1 - σφβ) = 2

47. Αν α + β + γ =2

,να αποδείξετε ότι:

α) εφα · εφβ + εφβ · εφγ + εφγ · εφα = 1

β) εφ2α + εφ2β + εφ2γ 1

48. Έστω x, y (0, 2

) να αποδείξετε ότι:

α) αν εφx = 1

και εφy =

1

1

, με κ > 0, τότε χ + y =

4

,

β) αν εφx =3

4

, εφy =

1

3

και 1 < κ < 4, τότε x - y = .

6


α) αν α + β = γ, τότε συν2α + συν2β + συν2γ - 2συνα · συνβ · συνγ = 1,

β) εφ(α- β) + εφ(β- γ) + εφ(γ- α) = εφ(α- β) · εφ(β- γ) · εφ(γ - α).

50. Αν εφα = x και εφβ =x + 1,τότε για τις επιτρεπόμενες τιμές των γωνιών α και β και

για κάθε x R:

α) να δικαιολογήσετε γιατί β > α,

β) να υπολογίσετε τη σφ(β- α) ως συνάρτηση του x,

γ) να βρείτε σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας β - α.

51. Αν α + β + γ = 180° και σφθ = σφα + σφβ + σφγ με 0° < θ < 90°, να αποδείξετε ότι:

α) 2

( )

β) ημ3θ = ημ(α - θ) · ημ(β - θ) · ημ(γ - θ)

9


52. Αν εφα = 3εφβ, να αποδείξετε ότι για τις επιτρεπόμενες τιμές των γωνιών α, β και α - β ισχύει

εφ2(α - β) 3

4.

53. Να αποδείξετε ότι για κάθε α και β ισχύει :

i) συν(α + β) · συν(α - β) συν2α

ii) ημ(α + β) · ημ(α - β) ημ2α

54. Να αποδείξετε ότι για κάθε α και β ισχύει :

α) 2 2

4

β) 1 1

Προσδιορισμός είδους τριγώνου

55. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : 2 ,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι

ισοσκελές με βάση την πλευρά ΒΓ.

56. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : 2 ,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι

αμβλυγώνιο.

57. Να εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο στο οποίο ισχύει : 1 .

58. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : 1

,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι

ορθογώνιο με ορθή την γωνία ̂ .


,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι

ορθογώνιο με ορθή την γωνία ̂ .

60. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : ( )

2

,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο

είναι ορθογώνιο με ορθή την γωνία ̂ .

61. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : (A )

2


είναι ορθογώνιο με ορθή την γωνία ̂ .


1


είναι ισοσκελές.


1


είναι ισοσκελές.

10


Υπολογισμός γωνιών

64. Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι συνΑ =21

29 και συνΒ =

4

5. Να υπολογίσετε το συνημίτονο της

εξωτερικής γωνίας Γ του τριγώνου.

65. Δίνονται γωνίες , y 0,2

x

για τις οποίες ισχύει : 2 (x ) 1 4y x y .

Να αποδείξετε ότι 3

x y


x

για τις οποίες ισχύει : 2 (x ) 1 4y x y .


x y


x

για τις οποίες ισχύει : ( x 3)( 3) 2 2y x y .


x y


x

για τις οποίες ισχύει : ( x 1)( 1) 2y x y .


x y


x

,με x y , για τις οποίες ισχύει : y x

xx y

.

Να αποδείξετε ότι x y .


x

,τέτοιες ώστε οι ,x y να είναι ρίζες της εξίσωσης

23 6 2 0 .Να αποδείξετε ότι

3x y

.


x

,τέτοιες ώστε οι ,x y να είναι ρίζες της εξίσωσης

23 1 3 0 .Να αποδείξετε ότι

4x y

.

Αποδείξεις τριγωνομετρικών ταυτοτήτων με γωνίες τριγώνου

72. Για τις γωνίες Α, Β και Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι:

α) 2 Β Γ Α ( )

β) Α ( ) 2 Β Γ

11


γ) ( ) Γ ( ) 2

73. Για τις γωνίες Α, Β και Γ ενός μη ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι:

α) ( )

φΒ( )

β) ( )

φΒ( )

74. Για τις γωνίες Α, Β και Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι:

α) Α Γ ( ) ( ) ˆσφΓ, 90

Α Γ ( ) ( )

β) σφΑ· σφΒ + σφΒ · σφΓ + σφΓ · σφΑ = 1

γ) Α Β Γ

2Β Γ Α Γ Α Β

δ) 2 2 2 2 2 2

( ) Γ ( ) ( )0

ε) σφΑ+σφ σφΒ+σφΓ σφΓ+σφΑ

1εφΑ+εφ εφΒ+εφΓ εφΓ+εφΑ

75. Για τις γωνίες Α, Β και Γ ενός μη ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι:

2 2 2

1 εφ εφ 1 εφ εφ 1 εφ εφ 3

Α Β Γ

Τριγωνομετρικές εξισώσεις

76. Να λύσετε τις εξισώσεις :

α) 1

3 3 2x x

β)

32

6 2x x

γ) 16 3

x x

δ) 14 4

x x


α) 23

x x

β) 3 33

x x


α) 112 12

x

β) 2 2 112 3 4 6

x x x x

12


γ) εφ(x + α) = 7, όταν εφα =3

4

79. Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 04

x x

στο διάστημα (0,2π)


α) 2 36 3

x x x

β) 3 3 3

x x x x


α) 1

6 6 2x x

β) 3 2

3 6 4

xx x

82. Να λύσετε την εξίσωση : 14

x x

στο διάστημα (0,2π)

83. α) Να αποδείξετε ότι 2

4.

4 4 1

xx x

x

β) Να λύσετε την εξίσωση 2 3.4 4

x x

84. Αν ισχύει :εφα=2 ,να λύσετε την εξίσωση : 1

( )3

x

85. Αν ισχύει: 1

2 ,να λύσετε την εξίσωση : ( ) (x )x x

86. Αν ισχύει :εφα=-2 ,να λύσετε την εξίσωση : ( ) 3 ( ) 0x x

87. Αν ισχύει: 5

4 ,να λύσετε την εξίσωση : 9 ( ) (x )x

88. Δίνεται γωνία ,2

έτσι ώστε 2 5

5

α) Να βρείτε το συνα και την εφα

β) Να λύσετε την εξίσωση εφ(x+α)=3.


α)

3 2 36

1

26

x x

x x

β) 6

3

6 6

x

x x

13


90. α) Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) 2

β) Να αποδείξετε ότι : 6 4 2 5x x x x

γ) Να λύσετε την εξίσωση : 6 4 5 0x x x

91. α) Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) 2

β) Να αποδείξετε ότι : 8 4 2 6 2x x x x

γ) Να λύσετε την εξίσωση : 8 4 8 0x x x

92. α) Να αποδείξετε ότι : 2 2( ) ( )

β) Να αποδείξετε ότι : 2 2 2 26 3 4x x x x

93. α) Να αποδείξετε ότι : 2 2( ) ( )

β) Να αποδείξετε ότι : 2 2 2 28 2 12 6x x x x

γ) Να αποδείξετε ότι : 2 2 2 27 3 5 4x x x x

Συνδυαστικά θέματα

94. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και η εξίσωση 22014 3 2013 0 (1)x x .

Αν οι εφΑ και εφΒ είναι ρίζες της εξίσωσης (1),να βρείτε τη γωνία ̂ .

95. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και η εξίσωση 2671 3 2016 0 (1)x x .

Αν οι εφΑ και εφΒ είναι ρίζες της εξίσωσης (1),να βρείτε τη γωνία ̂ .

96. Αν σε ένα τρίγωνο ισχύει 2 2 2 να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

στο Α

97. Αν σε ένα τρίγωνο ισχύει 2 2 2 να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι

ορθογώνιο στο Γ

98. Να λύσετε την εξίσωση 25 2 5x x x x

99. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ , για το οποίο ισχύει:3

5 και

1

10

α) Να υπολογίσετε τα:

i) ( ) ii) ( )

iii) ( ) iv)

β) Να αποδείξετε ότι :

i) 9

ii) 6

γ) Να δείξετε ότι ˆ ˆ

14


100. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ,με ˆ2

για το οποίο ισχύει:

3 10

10 και

10

10

α) Να υπολογίσετε τα:

i) ( ) ii) ( )

iii) ( ) iv)

β) Να αποδείξετε ότι :

i) 1

2

ii) 1

2

γ) Να βρείτε την εφΓ και τη γωνία ̂

101. Δίνονται τρεις γωνίες α, β, γ έτσι, ώστε α 0, β 0, γ 0, α + β +γ = π και 3 10

10 ,

10

10

α) Να αποδείξετε ότι:

i) ημ(β+γ) = 10

10 ii) συν(β + γ) =

3 10

10

iii) εφ(β + γ) = 1

3

β) Να υπολογίσετε τα γινόμενα:

i) συνβ · συνγ ii) εφβ · εφγ

γ) Αν είναι 0 < γ <2

, να υπολογίσετε τη γωνία β και την εφγ.

102. Δίνεται η παράσταση ( ) .4 4

f x x x

α) Να αποδείξετε ότι ( ) 2 .f x x

β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης f (χ) ,

γ) Να βρείτε για ποια τιμή του x, στο διάστημα (0, 2π), η f (x) παίρνει την ελάχιστη τιμή

της.

103. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ημx και g(x) = ( )3

f x f x

α)Να γράψετε τη συνάρτηση g στη μορφή g(x) = ρσυν(x + φ), όπου ρ, φ πραγματικοί

και ρ > 0.

β) Να λύσετε την εξίσωση 1

( ) ( )6 6 2

g x f x f x g x

104. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3 · συνx- ημ3x- συν2x · ημx

α) Να γράψετε τη συνάρτηση f στη μορφή f (x) = ρσυν(x +φ), όπου ρ, φ πραγματικοί

και ρ > 0.

β) Να λύσετε την εξίσωση f (x) - f 3

x

= 0 στο διάστημα 3

,2 2

.

15


γ) Να αποδείξετε ότι 2 2 24 66 2

f x f x x

105. Έστω α και β δύο τόξα στο διάστημα 0,2

τέτοια, ώστε α + β =5

.6

Θεωρούμε την παράσταση Π = ημα + συνβ .

α) Να αποδείξετε ότι Π = 3 .6

β) Να προσδιορίσετε την τιμή του α, ώστε η παράσταση Π να παίρνει τη μέγιστη

τιμή της.

γ) Για την τιμή του α που βρήκατε στο ερώτημα (β) να υπολογίσετε το β.

106. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = συνx - συνα · συν(x + α) όπου x πραγματικός αριθμός ,

0 < α < 2

και συνα 0.

α) Να αποδείξετε ότι f (x) = ημα · ημ(x + α).

β) Αν f (x) + f (x - α) = 0, να αποδείξετε ότι x = κπ -2

, κ Ζ .

γ) Αν 3

f

= ημα, να υπολογίσετε τον αριθμό α.

δ) Για α = 6

, να αποδείξετε ότι

3( ) ( )

2f x f x x

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ · 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΠΑΤΣΙΜΑΣ...

Documents

Transcript of ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ · 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΠΑΤΣΙΜΑΣ...