Φθίνουσες -Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις

• Στις φθίνουσες ταλαντώσεις πρέπει να ξέρουμε ότι είναι όλες οι ταλαντώσεις που γίνονται στην φύση ΑΛΛΑ για να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους του βιβλίου πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι η δύναμη αντίστασης είναι της μορφής F=-bu . Η δύναμη αυτή έχει πάντα φορά αντίθετη της ταχύτητας. Το b oονομάζεται σταθερά απόσβεσης και εξαρτάται από το μέσο το σχήμα και το μέγεθος του αντικειμένου.

Έχει μονάδα s

gΚ. Αν υπερβεί κάποια τιμή τότε η κίνηση είναι απεριοδική. Η

περίοδος της ταλάντωσης στην πραγματικότητα μεγαλώνει όσο μεγαλώνει το b αλλά αυτήν την αλλαγή την θεωρούμε αμελητέα.

• Το Λ στον τύπο Α= te Λ−Α0 εξαρτάται από τους ίδιους παράγοντες με το b και επιπλέον από την μάζα του σώματος. Σημαντικό είναι ότι ο παραπάνω τύπος μας δίνει πόσο πλάτος έχει το σώμα σε συνάρτηση με τον χρόνο.

• Ο λόγος των πλατών στην φθίνουσα είναι σταθερός δηλαδή =ΑΑ

=ΑΑ

2

1

1

0 ΛΤe (για

το τελευταίο θέλει απόδειξη και με μια χιαστη βγαίνει Α 201 ΑΑ= Επίσης το ίδιο

ισχύει και για τις ενέργειες =ΕΕ

=ΕΕ

2

1

1

0 ΛΤ2e (εδώ όλο με απόδειξη) . Η ενέργεια

πρέπει να θυμόμαστε ότι πέφτει πιο γρήγορα από το πλάτος μιας και μια πτώση στο πλάτος κατά 50% οδηγεί σε πτώση στην ενέργεια κατά 75%. Μπορείτε εύκολα να αποδείξετε ότι η ενέργεια έχει τύπο Ε= te Λ−Ε 2

0 .

• Πρέπει να γνωρίζει κανείς τις σχέσεις lne x=χ , lne=1, xe x =ln , lnx xaa ln= • Όταν ζητείται το έργο της δύναμης αντίστασης το βρίσκουμε ύπουλα βρίσκοντας

την ενέργεια στην αρχή και την ενέργεια στο τέλος και μετά η διαφορά αυτή με αρνητικό πρόσημο δεν μπορεί να είναι άλλο από το έργο των αντιστάσεων ή αλλιώς η θερμότητα. Τα ίδια ισχύουν και σε φθίνων κύκλωμα LC όπου χάνεται ενέργεια λόγω Η/Μ ακτινοβολίας και αντιστάσεων στα καλώδια και στο πηνίο.

• Επειδή πολλές φορές βάζουμε ln και στα δύο μέλη φροντίζουμε το e να είναι μόνο του χωρίς αριθμούς μπροστά.

• Στις εξαναγκασμένες το βασικό που πρέπει να θυμόμαστε είναι ότι ο διεγέρτης ΕΠΙΒΑΛΕΙ την συχνότητα του. Αν τώρα τύχει και πέσει η συχνότητα του με αυτήν του συστήματος τότε έχουμε συντονισμό οπότε μέγιστο πλάτος η ρεύμα στο L-C .Προσοχή στις φωτο 1.26 και 1.30 του βιβλίου που δείχνουν την μεταβολή του πλάτους με την συχνότητα του διεγέρτη.

Παράδειγμα 1Ένα σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση και οι δύναμη αντίστασης είναι της μορφής F=-bu. Aν σε χρόνο 5s η ενέργεια έχει μειωθεί κατά 75% να βρείτε σε χρόνο 10s πόσο ποσοστό της ενέργειας έχει χαθεί.

Εφαρμόζουμε ότι λέει η άσκηση μιας και δεν ξέρουμε την περίοδο θα ονομάσουμε την ενέργεια την t=5 s E s5 και την t=10 s E s10 άρα E s5 =0,25Ε 0 αφού μας είπε ότι χάθηκε

το 75% έμεινε το 25% 0520

25 5,0

2

125,0

2

1AADADA ss ⋅=<=>⋅= από εδώ πάλι κάνουμε ότι

λέει ο τύπος απλά το 0,5 το γράφουμε ½ οπότε:

Α s5 = Λ−Α 50e

2

1Α 0 = Λ−Α 5

0e Λ−=<=>= Λ− 52

1ln

2

1 5e (1) το κρατάμε αυτό

και συνεχίζουμε να δούμε που θα πάει.

E s10 = 2

1ln4

054

0202

0210

02

10 2

1)(

2

1

2

1eeEeDAeADDA s Ε=== Λ•−Λ−Λ− =Ε0

4)2

1ln(

e = 0E

4)2

1( =

160E

άρα μετά από 10 s έχει μείνει το 1/16 της αρχικής ενέργειας . Σε μια φάση στις παραπάνω πράξεις χρησιμοποιήσαμε την σχέση (1) γράφοντας το 20= 4∙5 ώστε να δημιουργηθεί το 5Λ. Άρα έχουν χαθεί τα 15/16 της αρχικής ενέργειας. ή αλλιώς το 93,75% της ενέργειας.

Παράδειγμα 2

Στο δίπλα σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας με τον χρόνο για μια φθίνουσα ταλάντωση με δύναμη αντίστασης F=-bu. Nα βρεθεί η περίοδος και το ποσοστό μείωσης του πλάτους στη διάρκεια μιας περιόδου (που παρεμπιπτόντως σαν άσκηση μπορείτε να αποδείξετε ότι είναι σταθερό.)

Εδώ είναι μια άσκηση κατανόησης η δυναμική ξεκινά από την μέγιστη τιμής της και γίνεται 0 σε χρόνο 2s. Aρα ξεκινάει από το Α ή το –Α και πάει στην Θ.Ι σε χρόνο 2s άρα αυτός ο χρόνος είναι το Τ/4 οπότε Τ=4s. Σε χρόνο 4s η ενέργεια Ε1=Εο/2

0120

21

20

21 2

2

2

1

2

15,0

2

1AAAADADA =<=>=<=>=

Εο

Εο/2

1

Αρα το %μείωσης του πλάτους είναι ΔΑ /Αο= %1002

22%1002

2

0

00 −=⋅

−

A

AA