ΤαλαντώσειςΤαλαντώσεις

Ταλαντώσεις

Ταλαντώσεις

ΎληΎλη πάνωπάνω στιςστις ταλαντώσειςταλαντώσεις ::• Απλή αρμονική κίνηση (ΑΑΤ – SHO)• F και E της απλής αρμονικής κίνησης• Η δυναμική της ΑΑΚ (αντίστροφο)• Απλό εκκρεμές• Φυσικό εκκρεμές (στροφικό εκκρεμές)• Υπερθέσεις – Συζευγμένες και μη αρμονικός• Ταλαντώσεις με απόσβεση• Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις – συντονισμός• FastFourierTransform(FFT)( εκτός εξεταστέας ύλης)

Απλή αρμονική κίνηση(ΑΑΤ – SHO)

ΤαλαντώσειςΤαλαντώσεις

•• ΠεριοδικήΠεριοδική κίνησηκίνηση ((επανάληψηεπανάληψη σεσε ίσαίσα χρονιχρονι--κάκά διαστήματαδιαστήματα μεμε coscosήή sinsin αρμονικήαρμονικήκίνησηκίνηση (x=f(t)=f(t+T)(x=f(t)=f(t+T)

•• ΠεριοδικήΠεριοδική σεσε ίδιαίδια τροχιάτροχιά ταλάντωσηταλάντωση•• ΤριβέςΤριβές ((κατανάλωσηκατανάλωση ενέργειαςενέργειας)) φθίνουσαφθίνουσα•• ΌχιΌχι μόνομόνο μηχανικάμηχανικά συστήματασυστήματα αλλάαλλά καικαι τοτοφωςφως,,ραδιοκύματαραδιοκύματα ταλάντωσηταλάντωση ηλεκτρικούηλεκτρικούκαικαι μαγνητικούμαγνητικού πεδίουπεδίου

•• ΚοινήΚοινή ηη μαθηματικήμαθηματική τουςτουςπεριγραφήπεριγραφή

Βασικές έννοιες απλής αρμονικής κίνησης

•• x=Acos(x=Acos(ωωtt++φφ))•• φάσηφάση ((ωωtt))καικαι αρχικήαρχική φάσηφάση ((t=0t=0 φφ))•• περίοδοςπερίοδος –– συχνότητασυχνότητα•• μετατόπισημετατόπιση,,πλάτοςπλάτος ((ΑΑ)()(μέγιστομέγιστο ελάχιστοελάχιστο),),θέσηθέση ισορροπίαςισορροπίας

•• αίτιοαίτιο κίνησηςκίνησης:: δύναμηδύναμη επαναφοράςεπαναφοράς καικαιδυναμικήδυναμική ενέργειαενέργεια

•• ενέργειαενέργεια αρμονικούαρμονικού ταλαντωτήταλαντωτή•• ταχύτηταταχύτητα κίνησηςκίνησης καικαι επιτάχυνσηεπιτάχυνση

XX =0=0 ( ) += tAx cos

ΈστωΈστω

A

x(t)x(t)

v(t)v(t)

a(t)a(t)

ΠειραματικέςΠειραματικές μετρήσειςμετρήσεις ( ) += tAx cos

minmin

0 0

maxmax

( )

22

cos

==

+=

T

tAx

02

2

2

=+ xdt

xd

( )

( ) xtAdt

xd

dt

dua

tAdt

dxu

22

2

2

cos

sin

-=+-===

+-==

ΣτηνΣτην AAK:AAK:επιτάχυνσηεπιτάχυνση--μετατόπισημετατόπιση

180180οο9090οο

--9090οο

κλειστήκλειστήF=ma=F=ma=--kx kx

ΚβαντομηχανικήΚβαντομηχανικήΑρμονικόςΑρμονικός ταλαντωτήςταλαντωτήςΕξίσωσηΕξίσωση SchrodingerSchrodinger

Αρμονική Δύναμη F και Ενέργεια Eτης απλής αρμονικής κίνησης

( )

kzjyixkFjFiFF

ύήrrF

zyxˆˆˆˆˆˆ

) (

++-=++=

-=

mkmk

kxxmFamF

==

-=-==

2

2

ΕνέργειαΕνέργεια :: κινητικήκινητική,, δυναμικήδυναμική,, ολικήολική

m

k

kmT

Tά

2

1

22

=

==

ελατήριοελατήριοk k μάζαμάζα

222

002

1

2

1xmkxEkxdE

kxdx

dE

dx

dEF

P

xE

P

pp

P

===

-=--=

( )

( )( ) ( )AxA

xAmtAm

tAmmuEkin

+-

-=+-=

=+==

222222

2222

21cos1

21

sin2

12

1

),(2

1

2

1 222 AkfkAAmEEE Pkinή ===+=

ΗΗ δυναμικήδυναμική τηςτης ΑΑΚΑΑΚ((αντίστροφοαντίστροφο))

ΑνΑν έχωέχω μιαμια ελκτικήελκτική δύναμηδύναμη F F ανάλογηανάλογηπροςπρος τητη μετατόπισημετατόπιση xx

έχωέχω απλήαπλή αρμονικήαρμονική κίνησηκίνηση

xmaF =

( )

+=

=+=

=+-=

tAx

xdt

xd

mk

kxdt

xdmkx

dt

xdm

cos

0

0

2

2

22

2

2

2

2

( )

+=-=

-==

=+-==

2

2

02

0

0

0

00

& tan

sin & cos

0sin

uxA

x

u

AuAx

ttAdt

dxu

ΑπλόΑπλό

εκκρεμές

εκκρεμές

ddθθ

-=

-=

sin

sin

2

2

mgdt

dml

mgFT

( )

g

lTT

tl

g

22&

cos & 0

2

==

+==

ll

ddxx

θθ

0

0sin

2

2

2

2

=+

=+

l

g

dt

d

l

g

dt

d

mgmg

Rs =

RRθθ

ss

sinsinθθ σεσε μοίρεςμοίρες

θθ σεσε rads rads

% % διαφοράδιαφορά4,7%4,7%

3030οο

+

+

+

+= 242

16

112...

2sin

64

9

2sin

4

112

g

l

g

lT

( )

+

+

+

+= .....

2sin

6

5

4

3

2

1

2sin

4

3

2

1

2sin

2

112 6

2

2

2

2

2

24

2

2

2

22

2

2

g

lT

ΦυσικόΦυσικό εκκρεμέςεκκρεμές-- στροφικόστροφικό εκκρεμέςεκκρεμές

C C

OO

θθ

ΖΖ

ΖΖ’’

bb

W=mgW=mg

ΦυσικόΦυσικό εκκρεμέςεκκρεμές

WDDSWDDS

-==

-=

sin

sin

2

2

,

mgbdt

dI

mgb

z

zό

0

22

22

2

2

Kgb

K

gb

dt

d

mKI

=

=+

=

0

0sin

2

2

2

2

=+

=+

I

mgb

dt

d

I

mgb

dt

d

SteinermRII

gb

KTT

C

22

2

2

+=

==

CC

OO

θθ

ΖΖ

ΖΖ’’

bb

W=mgW=mg

ITT

I

όό 22

2

==

=

-==

-=

sin

sin

2

2

ό

ό

dt

dI

0

0sin

2

2

2

2

=+

=+

Idt

d

Idt

dCC

θθ

ΙΙ

cmlRcmlLcmlRcml discrodring 1,333/4 2,372/3 4,122/ 8,24 =======

ΕκκρεμέςΕκκρεμές ΔακτύλιοςΔακτύλιος ΡάβδοςΡάβδος ΔίσκοςΔίσκος

( )

g

l

Tg

l

T

g

l

g

RT

g

lT

discrod

ringpend

34

2 32

2

22

22

2 2

==

===

l ringRrodL

R

?? ,1 lHz

discR

ΆσκησηΆσκησηΥπολογίστεΥπολογίστε

Eολ = Εκ + U(r) Eολ > 0 (αέριο)Eολ ~ 0 (υγρό)Eολ < 0 (στερεό

r0

rΑ

Α΄Τ΄>Τ

<r><r>Εκ(Τ)

Εκ(Τ)

Β

Β΄

Τ΄<Τ

Τ

0

>0

<0

Αέριο

Υγρό

Στερεό

Εολ=U+Εκ

12 6

6 12 0( )U r Ur r

-

= -

http://users.sch.gr/kassetas/applets4.htmhttp://users.sch.gr/kassetas/applets4.htm

Ταλαντώσεις με απόσβεση

kk

F(t)

X(t)

Οι ταλαντώσεις μετά απόκάποιες αιωρήσεις συνεχώςμικραίνουν σε πλάτος και στοτέλος σταματάνε. Η ταλάντω-ση είναι φθίνουσα.

Δυναμικά θα πρέπει πέρα απότην ελαστική δύναμη F=F=--kxkx ναδρα πάνω στο σώμα και μια άλληαντίθετη δύναμη ανάλογη με τηταχύτητά του δηλ. FF’’==--λλuu

ukxma --=

ΤαλάντωσηΤαλάντωσημεμε απόσβεσηαπόσβεση

ΦθίνουσαΦθίνουσα ((μεμε απόσβεσηαπόσβεση) ) ταλάντωσηταλάντωση((μετρήσειςμετρήσεις απόαπό ΑΑ5 5 –– Cavendish)Cavendish)

Y(t)Y(t)

V(t)V(t)

Y=Y(V)Y=Y(V)

σπειροειδήςσπειροειδής μεμεκατάληξηκατάληξη τοτο κέντροκέντρο

dumpeddumped& long& long

ΦθίνουσαΦθίνουσα αρμονικήαρμονική ταλάντωσηταλάντωση ελατηρίουελατηρίου (10 (10 minmin !!) )

xx

u u

a(F) a(F)

xx

tt

xx

u u tt

02

2

=++--== kxdt

dx

dt

xdmukxmaF

( )

( )

( ) ( )

έίΑtAex

όήόm

ήm

kxdt

dx

dt

xd

t

oo

, cos

2 &

. 02 22

2

2

+=

=

==++

-

2

222

4mmk -=-=

Σχόλιο: χρόνος απόσβεσης πλάτους κατά 10%και συχνότητα ταλάντωσης από τον αέρα : F=-6πηRvγ~6,4*10-4s-1 (A.F. 27 min & 9,8 ./. 4*10-7 αμελητέο

OverdampedOverdamped

ΕργαστήριοΕργαστήριοΦΦ33

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις- συντονισμός

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις

tFukxma o .cos+--=

tm

Fx

dt

dx

dt

xd oo .

2

2

2

cos2 =++

k ωm

x

e.g. Tacoma Narrows Bridge, Washington 1942

( ) 22

0

2

0

2 1

4

1

+-

Tacoma Narrows Bridge, Washington 1942

ΗΗ κρεμαστήκρεμαστή γέφυραγέφυρα ήτανήτανσανσαν μιαμια σανίδασανίδα πουπου όμωςόμωςεγκλώβιζεεγκλώβιζε τοντον άνεμοάνεμο αντίαντίνανα τοτο αφήνειαφήνει νανα περνάειπερνάειαπόαπό μέσαμέσα..ΟΟ άνεμοςάνεμος δημιούργησεδημιούργησε μιαμιαδύναμηδύναμη σεσε συντονισμόσυντονισμό μεμετητη φυσικήφυσική συχνότητασυχνότητα τηςτηςγέφυραςγέφυρας ((μεμε uu μικρήμικρή))ΤοΤο πλάτοςπλάτος τηςτης ταλάντωσηςταλάντωσηςαυξήθηκεαυξήθηκε μέχριμέχρι πουπου ηηγέφυραγέφυρα κατέπεσεκατέπεσε (film)(film)

ΥπέρθεσηΥπέρθεση καικαι σύζευξησύζευξη ταλαντώσεωνταλαντώσεων((μημη εξεταστέαεξεταστέα ύληύλη –– χρήσηχρήση))

•• ΥπέρθεσηΥπέρθεση δύοδύο απλώναπλών αρμονικώναρμονικών κινήσεωνκινήσεων ίδιαςίδιαςσυχνότηταςσυχνότητας καικαι κατεύθυνσηςκατεύθυνσης ((συμβολήσυμβολή))

•• ΥπέρθεσηΥπέρθεση δύοδύο απλώναπλών αρμονικώναρμονικών κινήσεωνκινήσεων διαφοδιαφο--ρετικήςρετικής συχνότηταςσυχνότητας καικαι ίδιαςίδιας κατεύθυνσηςκατεύθυνσης((διακροτήματαδιακροτήματα//κινητήρεςκινητήρες ελικοφόρωνελικοφόρων αεροπλάνωναεροπλάνων))

•• ΥπέρθεσηΥπέρθεση δύοδύο απλώναπλών αρμονικώναρμονικών κινήσεωνκινήσεων ίδιαςίδιαςσυχνότηταςσυχνότητας μεμε κάθετεςκάθετες κατευθύνσειςκατευθύνσεις ήή//καικαιδιαφορετικέςδιαφορετικές συχνότητεςσυχνότητες ((εικόνεςεικόνες Lissajous)Lissajous)

•• ΣυζευγμένεςΣυζευγμένες ταλαντώσειςταλαντώσεις ((ενέργειαενέργεια σύζευξηςσύζευξης))•• ΑναρμονικόςΑναρμονικός ταλαντωτήςταλαντωτής ((66--12Lenard12Lenard--JonesJones//ΦΦ22))

διακροτήματαδιακροτήματα

LissajousLissajousff22

ff11

ΘεώρημαΘεώρημα FourierFourierΑνάλυσηΑνάλυση Fourier Fourier

Fast Fourier Transform (FFT) Fast Fourier Transform (FFT)

)()( Ttftf +=

( ) ( )

=

++=1

0 sincos2

)(n

nn tnbtnaa

tf

( ) ( )

=

++=1

0 sincos2

)(n

nn tnbtnaa

tf

( )+

=

Tt

t

n dttntfT

a0

0

cos)(2

( )+

=

Tt

t

n dttntfT

b0

0

sin)(2

=

2

+

=

Tt

t

o dttfT

a0

0

)(2

+

-=

Tt

t

tin

n dtetfT

g0

0

)(2 0, 1, 2,...n = ± ±

ff((--tt)=)=ff((tt)) άρτιαάρτια bbnn=0=0 μόνομόνο συνημίτονασυνημίτοναff((--tt)=)=--ff((tt)) περιττήπεριττή aann=0 =0 μόνομόνο ημίτοναημίτονα Φ4

tin

n

negtf

-=

=)(

3 και 9 Hz

3, 9, 15και 21 Hz

Τετραγωνικός παλμός - προσέγγιση

ωω=2=2πνπν=4,54=4,54νν=0,72=0,72

F=F=--kxkx

F(t)

x(t)

v(t)

ΣύνθετηΣύνθετηπεριοδικήπεριοδικήκίνησηκίνηση((πολλέςπολλέςαρμονικέςαρμονικές) )