Ηλεκτρικές ταλαντώσεις

2011 - 2012ΓΕΛ∆Ε Σαπών

ΦυσικήΓ’ ΛυκείουΚατεύθυνση

Θυμόμαστε από τη Β’ Λυκείου....Πυκνωτής : διάταξη που αποθηκεύει φορτίο

- χωρητικότητα C=Q/V [F]

- αν στα άκρα του (oπλισμούς) εφαρμόσουμε τάση V, ο πυκνωτήςαποκτά φορτίο Q=C·V

lsC ⋅= οε

- η χωρητικότητα εξαρτάται μόνο από γεωμετρικάχαρακτηριστικά και υλικό μεταξύ οπλισμών!!!

Τότε... μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή έχει δημιουργηθεί ομογενέςηλεκτρικό πεδίο με φορά δυναμικών γραμμών από τον θετικό προς τοναρνητικό οπλισμό.Το ομογενές ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή περικλείει ενέργεια που ονομάζεταιενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή και δίνεται από τη σχέση

CQVCVQUE

22

21

21

21

⋅=⋅⋅=⋅⋅=

Αν συνδέσουμε του οπλισμούς φορτισμένου πυκνωτή με αγωγό, ο πυκνωτήςθα εκφορτιστεί. ΠΡΟΣΟΧΗ: Ο πυκνωτής δε διαρρέεται από συνεχές ρεύμα!

Θυμόμαστε από τη Β’ Λυκείου....Πηνίο :

- συντελεστής αυτεπαγωγής L [H]- όταν το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι, δημιουργείται στοεσωτερικό του ομογενές μαγνητικό πεδίο με φοράμαγνητικών γραμμών που δίνεται από κανόνα δεξιούχεριού. (το άκρο του πηνίου από το οποίο βγαίνουν οιδυναμικές γραμμές αντιστοιχεί σε βόρειο πόλο

Το μαγνητικό πεδίο του πηνίου περικλείει ενέργεια πουονομάζεται ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου.

2

21 ILUB ⋅⋅=

Όταν το πηνίο διαρρέεται από συνεχές ρεύμα, η τάση στα άκρα του είναιΜΗ∆ΕΝ, δηλαδή VL = 0

Il

kB ⋅Ν⋅⋅= μπ4

Όταν η ένταση του ρεύματος στο πηνίο μεταβληθεί, το πηνίο μετατρέπεται σεγεννήτρια και στα άκρα του εμφανίζεται ΗΕ∆ αυτεπαγωγής

tLEVL Δ

ΔΙ⋅−== αυτ

Όπου ∆Ι/∆t είναι ο ρυθμός μεταβολήςτης έντασης του ρεύματος

l

AL .μ2

00Ν

=

Θυμόμαστε από τη Β’ Λυκείου....Πηνίο :

Το πηνίο αντιδρά σε κάθε μεταβολή της έντασης του ρεύματος που τοδιαρρέει, τείνοντας κάθε φορά να αναιρέσει τη μεταβολή.Όταν η ένταση του ρεύματος στο πηνίο αυξάνει, το πηνίο προκαλεί ρεύμααυτεπαγωγής αντίθετης φοράς, ώστε να το μειώσει, ενώ όταν η ένταση τουρεύματος στο πηνίο μειώνεται, το πηνίο προκαλεί ρεύμα αυτεπαγωγής τηςίδιας φοράς, ώστε να το αυξήσει.

η ένταση αυξάνεται

+ -

η ένταση μειώνεται

- +

ΜελέτηΜελέτη κυκλώματοςκυκλώματος παραγωγήςπαραγωγήςΗλεκτρικώνΗλεκτρικών ΤαλαντώσεωνΤαλαντώσεων κατάκατά τητη

διάρκειαδιάρκεια μιαςμιας περιόδουπεριόδου..

Έναρξη Ταλάντωσης

t=0

UE=UE,max

UB=0

i = 0

q = +Q

Χρονικό διάστημα από 0 μέχρι.

40 Tt <<

i < 0

q = 0

I = -I

UE = 0

UB = UB,max

4Tt =

4T

i = -I

q>0,ελαττώνεται

i<0,αυξάνεται

UE ελαττώνεται

UB αυξάνεται

Χρονικό διάστημα από μέχρι .4T

2T

i < 0

i = 0

q<0, αυξάνεταιi<0, ελαττώνεται

UE, αυξάνεται

UB, ελαττώνεται

2<<

4TtT

q =-Qi = 0

UE=UE,max

UB=0

2Tt =

Χρονικό διάστημα από μέχρι .2T

43T

q<0, ελαττώνεταιi>0, αυξάνεταιUE ελαττώνεται

UB αυξάνεται

43

2TtT

<<i > 0

q = 0

i =+IUE=0

UB=UB,max

43Tt =

i = +I

Χρονικό διάστημα από μέχρι Τ.43T

TtT<<

43

Tt =

q>0, αυξάνεταιi>0,ελαττώνεται

UE αυξάνεται

UB ελαττώνεται

q =+Qi = 0

UE=UE,max

UB=0

i > 0

i = 0

Ηλεκτρική ταλάντωσητο φαινόμενο κατά το οποίο η ενέργεια πουπροσφέραμε στο κύκλωμα και αποθηκεύτηκεως ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή,μετατρέπεται σε ενέργεια μαγνητικού πεδίουτου πηνίου και αντίστροφα.

Εξισώσεις στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις

Αν τη χρονική στιγμή t = 0 ο πυκνωτής είναι φορτισμένος μεμέγιστο φορτίο q = +Q, τότε το φορτίο του πυκνωτή κάθεχρονική στιγμή t δίνεται από τη σχέση

q =Q·συνωtόπου το μέγιστο φορτίο είναι Q =qmax=C·Vmax

Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα δίνεται απότη σχέση

i = - I·ημωtόπου η μέγιστη ένταση είναι Ι = Q·ω

ΠΡΟΣΟΧΗ : Θετική θεωρείται η φορά του ρεύματος που κατευθύνεταιπρος τον οπλισμό του πυκνωτή που την t=0 είναι θετικά φορτισμένος

ΓραφικέςΓραφικές παραστάσειςπαραστάσεις

Α. Φορτίο πυκνωτή - Χρόνος

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0,5 1 1,5 2 2,5t/s

q/ C

q =Q.συνωt

Β. Ένταση ρεύματος πηνίου - Χρόνος

-2,5-2

-1,5-1

-0,50

0,51

1,52

2,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5t/s

i /A

i =-I.ημωt

ΕνεργειακήΕνεργειακή μελέτημελέτη τουτου κυκλώματοςκυκλώματος

Ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή

Αρχική ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίουτου πυκνωτή.

CQUE

2

max, 21⋅=

Καθώς ο πυκνωτής εκφορτίζεται (το φορτίοτου μειώνεται, ενώ η ένταση του ρεύματος

στο πηνίο αυξάνεται), η ενέργεια τουηλεκτρικού πεδίου μετατρέπεται σε ενέργεια

μαγνητικού πεδίου του πηνίου.

Αρχική ενέργεια του μαγνητικούπεδίου του πηνίου 0=BU

Ενέργεια μαγνητικού πεδίου του πηνίου

Όταν ο πυκνωτής εκφορτιστεί πλήρως, όλη ηενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου έχει

μετατραπεί σε ενέργεια μαγνητικού πεδίουτου πηνίου.

2max, 2

1 ILUB ⋅⋅=

ενώ η ενέργεια του ηλεκτρικούπεδίου του πυκνωτή είναι 0=EU

Στη συνέχεια ο πυκνωτής φορτίζεται και πάλι με αντίθετη πολικότητα, οπότε αυξάνεται η ενέργεια του ηλεκτρικού του πεδίου και μειώνεται ηενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου, μετά εκφορτίζεται και πάλικ.ο.κ. Αυτή η περιοδική μετατροπή της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίουτου πυκνωτή σε ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου αποτελεί

την ηλεκτρική ταλάντωση.

Σε μια τυχαία χρονική στιγμή ... π.χ. κατά την εκφόρτιση (το φορτίομειώνεται, η ένταση του ρεύματος αυξάνεται)

CqUE

2

21⋅=

Η ενέργεια του ηλεκτρικούπεδίου του πυκνωτή είναι

Η ολική ενέργεια του κυκλώματος είναι σταθερή και δίνεται από τη σχέση

ενώ η ενέργεια του μαγνητικούπεδίου του πηνίου είναι 2

21 iLUB ⋅⋅=

22

21

21 iL

CqUUE BE ⋅⋅+⋅=+=

Επίσης, λόγω αρχής διατήρησης της ενέργειας, ισχύει

22

max,max, 21

21 IL

CQUU BE ⋅⋅=⋅⇒=

Αρχή διατήρησης της ενέργειας της ταλάντωσηςΌπως και στις μηχανικές ταλαντώσεις, η ολική ενέργεια τηςταλάντωσης διατηρείται σταθερή, δηλαδή κάθε στιγμή ισχύει

22

21

21 iL

CqUUE BE ⋅⋅+⋅=+=

και επειδή

22

max,max, 21

21 IL

CQEUUE BE ⋅⋅=⋅=⇒==

θυμόμαστε πάντα ότι

22

22

21

21

21

21 IL

CQiL

CqUUE BE ⋅⋅=⋅=⋅⋅+⋅=+=

Γραφικές παραστάσεις ενέργειας

Γραφική παράσταση ενέργειας - χρόνου

tCQU

CqU E

tQqE ωσυνσυνω 2

22

21

21

⋅=⎯⎯⎯ →⎯⋅= =

και επειδήCQE2

21⋅=

Ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή

tEUE ωσυν 2⋅=

Ενέργεια μαγνητικού πεδίου του πηνίου

tILUiLU tIiB ωημημω 222

21

21

⋅⋅=⎯⎯⎯ →⎯⋅⋅= Β−=

και επειδή 2

21 ILE ⋅⋅=

tEUB ωημ 2⋅=

ΣεΣε συνάρτησησυνάρτηση μεμε τοντον χρόνοχρόνο

0

5

10

15

20

25

30

0 0,5 1 1,5 2 2,5

UB

UE

tωσυνEUE2=

tωημEUB2=

Ε

Ε

Τταλ

ΣεΣε συνάρτησησυνάρτηση μεμε τοτο φορτίοφορτίο

0

5

10

15

20

25

30

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

UE

UB

+Q

Ε

CqUE

2

21

=

CqEUB

2

21

−=

-Q

Ε

ΣεΣε συνάρτησησυνάρτηση μεμε τηντην έντασηέντασηρεύματοςρεύματος

0

5

10

15

20

25

30

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

UB

UE

+I-I

Ε

Ε

2

21 LiUB =

2

21LiEUE −=

Οι αντιστοιχίες του κυκλώματος L-C με το σύστημα

μάζας-ελατηρίου.

Περίοδος Τ=2πΠερίοδος Τ=2π

Ενέργεια μαγνητικούπεδίου πηνίου

Κινητική ενέργεια μάζας

Ενέργεια ηλεκτρικούπεδίου πυκνωτή

∆υναμική ενέργειαταλάντωσης

ΧωρητικότηταΣταθερή ελατηρίου k

Συντελεστής αυτεπαγωγής LΜάζα mΈνταση ρεύματος iΤαχύτητα υ

Φορτίο qΑπομάκρυνση xΠηνίοΜάζα

ΠυκνωτήςΕλατήριο

ΣύστημαΠηνίου-Πυκνωτή

ΣύστημαΜάζας-Ελατηρίου

2

2kxU =

2

2υmK =

km

LC

CqUE 2

2

=

2

2LiUB =

C1

Εξίσωση ηλεκ. ρεύματος

i =Iσυν(ωt +φ0) μεΙ=ωQή για

φ0= i =-Iημωt

Εξίσωση ταχύτηταςυ =υmaxσυν(ωt +φ0)

με υmax=ωΑ

Εξίσωση φορτίουq =Q.ημ(ωt +φ0)

ή γιαφ0= , q =Q.συνωt

Εξίσωσηαπομάκρυνσηςx =A.ημ(ωt +φ0)

2π

2π