Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις

22
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο Πρώτο: Ταλαντώσεις Τα χαρακτηριστικά της περιοδικής κίνησης. Η κινηματική της ταλάντωσης. Η δυναμική της ταλάντωσης. Η ενέργεια της ταλάντωσης. Ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Φθίνουσες μηχανικές ταλαντώσεις. Φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Εξαναγκασμένες μηχανικές ταλαντώσεις. Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Σύνθεση ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας. Σύνθεση ταλαντώσεων διαφορετικών συχνοτήτων. Διακροτήματα. Κεφάλαιο Δεύτερο: Κύματα Μηχανικά κύματα. Επαλληλία κυμάτων. Συμβολή δύο κυμάτων στην επιφάνεια υγρού. Στάσιμα. Ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Το φάσμα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Ανάκλαση – Διάθλαση – Ολική εσωτερική ανάκλαση. Κεφάλαιο Τρίτο: Μηχανική στερεού σώματος Ροπή δύναμης. Ισορροπίας στερεού σώματος. Ροπή αδράνειας. Κινηματική στερεού σώματος. Θεμελειώδης νόμος της στροφικής κίνησης. Στροφορμή . Διατήρησης της στροφορμής . Κινητική ενέργεια στερεού σώματος. Έργο ροπής. Κεφάλαιο Τέταρτο: Κρούσεις- Φαινόμενο Doppler Κρούση και τα είδη των κρούσεων. Φαινόμενο Doppler.

description

Συνοπτική θεωρία του πρώτου κεφαλαίου της φυσικής της Γ Λυκείου για τους υποψηφίους των Πανελληνίων εξετάσεων.

Transcript of Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις

Page 1: Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑΚεφάλαιο Πρώτο: Ταλαντώσεις

Τα χαρακτηριστικά της περιοδικής κίνησης. Η κινηματική της ταλάντωσης. Η δυναμική της ταλάντωσης. Η ενέργεια της ταλάντωσης. Ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Φθίνουσες μηχανικές ταλαντώσεις. Φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Εξαναγκασμένες μηχανικές ταλαντώσεις. Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Σύνθεση ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας. Σύνθεση ταλαντώσεων διαφορετικών συχνοτήτων. Διακροτήματα.

Κεφάλαιο Δεύτερο: Κύματα Μηχανικά κύματα. Επαλληλία κυμάτων. Συμβολή δύο κυμάτων στην επιφάνεια υγρού. Στάσιμα. Ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Το φάσμα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Ανάκλαση – Διάθλαση – Ολική εσωτερική ανάκλαση.

Κεφάλαιο Τρίτο: Μηχανική στερεού σώματος Ροπή δύναμης. Ισορροπίας στερεού σώματος. Ροπή αδράνειας. Κινηματική στερεού σώματος. Θεμελειώδης νόμος της στροφικής κίνησης. Στροφορμή . Διατήρησης της στροφορμής . Κινητική ενέργεια στερεού σώματος. Έργο ροπής.

Κεφάλαιο Τέταρτο: Κρούσεις- Φαινόμενο Doppler Κρούση και τα είδη των κρούσεων. Φαινόμενο Doppler.

Τα χαρακτηριστικά της περιοδικής κίνησης.

Page 2: Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις

Περιοδικές είναι οι κινήσεις που επαναλαμβάνονται με τον ίδιο μονότονο τρόπο σε ίσα (τακτά) χρονικά διαστήματα. Η κίνηση των δεικτών του ρολογιού, η κίνηση της Γης γύρω από τον άξονα της, η κίνηση του εμβόλου της μηχανής ενός αυτοκινήτου είναι παραδείγματα περιοδικών κινήσεων. Ο χρόνος που χρειάζεται για να ολοκληρωθεί ένας κύκλος ή μία επανάληψη της κίνησης ονομάζεται περίοδος Τ(sec στο S.I). Ο ωροδείκτης έχει περίοδο 12 ώρες, ο λεπτοδείκτης 1 ώρα. Η Γη χρειάζεται 24 ώρες για να ολοκληρώσει μία περιστροφή γύρω από τον άξονά της. Ο αριθμός των επαναλήψεων (κύκλων) της κίνησης στη μονάδα του χρόνου ονομάζεται συχνότητα f (Herz = sec-1 στο S.I). Η συχνότητα και η περίοδος είναι μεγέθη αντίστροφα όπως φαίνεται και από τις μονάδες τους.

Η γωνιακή ή κυκλική συχνότητα ω (rad/sec στο S.I ) είναι ένα άλλο χαρακτηριστικό των περιοδικών κινήσεων. Για να το κατανοήσουμε σαν μέγεθος πρέπει να συνδέσουμε την κάθε περιοδική κίνηση με μία ομαλή κυκλική κίνηση. Αν μέσα σε χρόνο t η επιβατική ακτίνα έχει διαγράψει γωνία θ τότε:

Στην πραγματικότητα η κυκλική συχνότητα είναι το μέτρο ενός διανύσματος που λέγεται γωνιακή ταχύτητα.Παράδειγμα 1: Η συχνότητα μιας περιοδικής κίνησης είναι f=2 Hz. Αυτό σημαίνει ότι το κινητό εκτελεί 2 επαναλήψεις κάθε 1 sec και η περίοδος της κίνησης είναι Τ=0.5sec,δηλαδή κάθε μία επανάληψη της κίνησης διαρκεί 0,5sec.Παράδειγμα 2: Ένα κινητό εκτελεί περιοδική κίνηση και πραγματοποιεί 10 επαναλήψεις σε 5 sec. Τότε η συχνότητα του είναι f=10/5 Hz = 2 Hz ενώ η περίοδός του είναι Τ= 1/2 sec = 0,5 sec.Η κυκλική συχνότητα ω συνδέεται με την περίοδο και τη συχνότητα με τη βοήθεια της σχέσης:

Σχόλιο: Εάν μας δίνεται ένα από τα τρία μεγέθη ω, f, T τότε τα γνωρίζουμε και τα τρία.

Μία περιοδική κίνηση που παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον είναι η απλή ή γραμμική αρμονική ταλάντωση (Α.Α.). Πρόκειται για μία ευθύγραμμη περιοδική κίνηση (παλινδρόμηση) που συμβαίνει γύρω από μία θέση ισορροπίας (x=0) ανάμεσα σε δύο ακραίες θέσεις (x= -Α,+A).Λέγεται αρμονική γιατί περιγράφεται από ημιτονικές και συντονικές συναρτήσεις.

Η κινηματική της ταλάντωσης.

Κάθε κίνηση, άρα και η α.α.τ , περιγράφεται από τις εξισώσεις της απομάκρυνσης της ταχύτητας και της επιτάχυνσης με το χρόνο. Στην α.α.τ οι εξισώσεις αυτές έχουν τη μορφή:

όπου: x η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας , u η στιγμιαία ταχύτητα και α η στιγμιαία επιτάχυνση.Ο παρακάτω πίνακας συγκεντρώνει τις εξισώσεις ,τις μέγιστες τιμές και τις φάσεις του κάθε μεγέθους.

Τύπος Μέγιστα Φάση

x-t xmax=A

u-t umax= ωΑ

α-t αmax= ω2Α

Αν στις εξισώσεις της απομάκρυνσης και ταχύτητας αντικαταστήσετε t=0 θα πάρετε x=0 και u=umax= ω Α, δηλαδή στην αρχή των χρόνων το κινητό περνά από τη θέση ισορροπίας κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση. Η παραπάνω συνθήκη λέγεται αρχική συνθήκη. Θα έχουμε όμως πάντα την ίδια αρχική συνθήκη; Φυσικά και όχι. Η αρχική συνθήκη καθορίζεται από το πρόβλημα και ενδέχεται να είναι διαφορετική από αυτή που αναφέραμε. Θα μπορούσε για παράδειγμα τη χρονική στιγμή t=0 το κινητό να περνά από την ακραία θέση x=+A όπου u=0.Τι συμβαίνει τότε με τις εξισώσεις κίνησης; Γενικά οι εξισώσεις έχουν τη μορφή:

ΚΙΝΗΣΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ1. Η περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της.

24h

2. Η περιστροφή της Γης γύρω από τον Ήλιο.

1 έτος

3. Η κίνηση του λεπτοδείκτη. 1 h=60 min=3600 sec

Page 3: Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις

όπου η φο λέγεται αρχική φάση και καθορίζεται από τις αρχικές συνθήκες. Ας δούμε ένα παράδειγμα υπολογισμού της αρχικής φάσης. Υποθέστε ότι στην αρχή των χρόνων το κινητό περνά από τη θέση x=+A/ 2 κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση.(Αντικαθιστώντας στην εξίσωση της απομάκρυνσης t=0 και x=+A/ 2 έχουμε:

Επειδή θέτουμε k=0 και παίρνουμε:

Αν στην εξίσωση της ταχύτητας αντικαταστήσουμε t=0 και το φο που βρήκαμε τότε μόνο η πρώτη τιμή ικανοποιεί την αρχική συνθήκη για θετική ταχύτητα. Τελικά οι εξισώσεις γίνονται:

Γραφικές παραστάσεις

Στην ειδική περίπτωση που η αρχική φάση είναι μηδέν οι γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσης , της ταχύτητας και της επιτάχυνσης με το χρόνο φαίνονται στο διπλανό σχήμα. Δείτε ότι οι γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσης και της επιτάχυνσης είναι αντίθετες. Όποια και αν είναι η αρχική φάση οι τιμές της απομάκρυνσης , της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στη θέση ισορροπίας και στις ακραίες θέσεις δεν αλλάζουν. Αυτό που αλλάζει είναι το πότε θα πάρουν αυτές τις τιμές. Αν η αρχική φάση είναι διαφορετική από μηδέν τότε οι γραφικές παραστάσεις αλλάζουν. Για αρχική φάση φ ο οι γραφικές παραστάσεις προκύπτουν από τις αρχικές με μετακίνηση του κατακόρυφου άξονα κατά:

Παράδειγμα 3: Ένα σώμα εκτελεί α.α.τ με πλάτος Α=0.1m και συχνότητα f=5 Hz. Στην αρχή των χρόνων το σώμα διέρχεται από τη θέση x=A. Να γραφούν οι εξισώσεις της κίνησης.

Όπως φαίνεται από τις γενικές εξισώσεις κίνησης χρειαζόμαστε για τη γραφή τους τρία μεγέθη. Το πλάτος Α, τη γωνιακή συχνότητα ω και την αρχική φάση φο. Το πλάτος το γνωρίζουμε ενώ τη γωνιακή συχνότητα θα τη βρούμε από τη συχνότητα. Πράγματι:

Για την αρχική φάση χρειαζόμαστε την αρχική συνθήκη. Αν διαβάζουμε σωστά την άσκηση θα δούμε ότι για t=0, x=A,u=0. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση της απομάκρυνσης t=0 και x=+A έχουμε:

Επειδή θέτουμε k=0 και παίρνουμε:

Page 4: Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις

Τελικά οι εξισώσεις γίνονται:

Σχέση ταχύτητας – απομάκρυνσης:

Ξεκινώντας από τις εξισώσεις της ταχύτητας και της απομάκρυνσης με τον χρόνο και χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα έχουμε:

Με τη βοήθεια της σχέσης αυτής δείτε ότι σε κάθε θέση έχουμε δύο ταχύτητες ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς. Σε σημεία συμμετρικά (x1= -x2 ) ως προς τη θέση ισορροπίας η ταχύτητα έχει το ίδιο μέτρο. Βασικό μας μέλημα για να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη σχέση είναι η απουσία του χρόνου. Όπως θα δούμε παρακάτω η σχέση αυτή αποτελεί μιά άλλη γραφή της αρχής διατήρησης της ενέργειας.

Σχέση επιτάχυνσης– απομάκρυνσης:

Από την εξίσωση της επιτάχυνσης βλέπουμε ότι:Η επιτάχυνση στην α.α.τ είναι ανάλογη της απομάκρυνσης και αντίθετη από αυτή . Έτσι εξηγείται και το πρόσημο (-) στην σχέση. Επειδή το διάνυσμα της απομάκρυνσης έχει φορά πάντα προς τις ακραίες θέσεις, το διάνυσμα της επιτάχυνσης έχει πάντα φορά προς τη θέση ισορροπίας.

Η δυναμική της ταλάντωσης.

Ένα σώμα που εκτελεί α.α.τ πρέπει να δέχεται συνισταμένη δύναμη σύμφωνα με τον Newton. Η δύναμη αυτή είναι ειδικής μορφής όπως θα δείξουμε. Αν ξεκινήσουμε από το νόμο της μηχανικής θα έχουμε:

όπου D= m ω2.Βλέπουμε ότι σε μία α.α.τ η συνιστάμενη δύναμη είναι ανάλογη της απομάκρυνσης και αντίθετη από αυτή. Μιά τέτοια δύναμη που έχει αυτά τα χαρακτηριστικά και θέλει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας λέγεται δύναμη επαναφοράς. Η D λέγεται σταθερά επαναφοράς, έχει μονάδα στο S.I το 1N/m και είναι χαρακτηριστικό του συστήματος που ταλαντώνεται. Η γνώση της σταθεράς D μας επιτρέπει να βρούμε την περίοδο της ταλάντωσης όπως φαίνεται παρακάτω.

Από τη τελευταία σχέση λύνουμε ως προς ω:

Page 5: Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις

Όμως μεταξύ της κυκλικής συχνότητας ω και της περιόδου Τ ισχύει:

Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις έχουμε:

Ας δούμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα που θα μας βοηθήσει να καταλάβουμε τη δυναμική περιγραφή της α.α.τ . Ένα σώμα μάζας m ισορροπεί κρεμασμένο από το ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k ,το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο (Δες το σχήμα). Εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση ισoρροπίας και το αφήνουμε ελεύθερο. Θα δείξουμε ότι το σώμα θα εκτελέσει α.α.τ και θα βρούμε την περίοδο του. Το σύστημα ελατηρίου – μάζας λέγεται απλός αρμονικός ταλαντωτής. Στο πρώτο σχήμα φαίνεται το ελατήριο στο φυσικό του μήκος. Στο δεύτερο φαίνεται η θέση ισορροπίας του συστήματος. Σε αυτή τη θέση το σώμα δέχεται δύο δυνάμεις, το βάρος και τη δύναμη του ελατηρίου που σύμφωνα με το νόμο του Hooke βλέπει προς τη θέση του φυσικού μήκους του ελατηρίου. Θα πρέπει :

Στο τελευταίο σχήμα φαίνεται μιά τυχαία θέση από την οποία περνά το σώμα. Η συνισταμένη των δυνάμεων σε αυτή τη θέση είναι:

Άρα το σώμα θα εκτελέσει α.α.τ με σταθερά D=k και η περίοδος της ταλάντωσης θα είναι:

Η ενέργεια της ταλάντωσης.

Ένα σώμα μπορεί να εκτελεί , κάτω από την επίδραση συνιστάμενης δύναμης F=-D x , α.α.τ ορισμένου πλάτους Α. Ένας τέτοιος ταλαντωτής , έχει αποταμιεύσει μέσα του ενέργεια. Πως όμως απέκτησε αυτήν την ενέργεια; Επειδή η ενέργεια δεν παράγεται από το τίποτα και από το πουθενά, είναι λογικό να σκεφτούμε ότι κάποιος άλλος του την έδωσε. Πράγματι, όταν θέσαμε το σώμα σε ταλάντωση, ασκήσαμε πάνω του δύναμη F΄=D x για να το μεταφέρουμε στην ακραία θέση. Το έργο αυτής της δύναμης εκφράζει την ενέργεια που του δόθηκε, δηλαδή την ενέργεια που αποθηκεύτηκε, δηλαδή την ενέργεια του ταλαντωτή. Αρκεί να υπολογίσουμε αυτό το έργο. Θεωρώντας τη μετακίνηση του σώματος με σταθερή ταχύτητα, το έργο της δικιάς μας δύναμης υπολογίζεται από το εμβαδόν του διαγράμματος δύναμης–μετατόπισης και εκφράζει την αποθηκευμένη ενέργεια στο σύστημα ελατήριο-μάζα .

Παρατηρούμε ότι η ενέργεια είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους. Αυτό σημαίνει ότι για να θέσουμε σε ταλάντωση ένα σύστημα με διπλάσιο πλάτος απαιτείται τετραπλάσια ενέργεια.

Κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης το σύστημα εμφανίζει αυτή την ενέργεια είτε με τη μορφή της κινητικής είτε με τη μορφή της δυναμικής είτε και με τις δύο μορφές. Η συνολική όμως ενέργεια παραμένει σταθερή αφού δεν υπάρχουν τριβές και η κίνηση είναι ανεμπόδιστη. Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης σε μιά τυχαία θέση είναι ίση με ένα αντίστοιχο εμβαδόν αφού εκφράζει το έργο της δύναμης μας για να μετακινήσουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας μέχρι την τυχαία θέση. Υπολογίζοντας το εμβαδόν βρίσκουμε:

Page 6: Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις

Η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση:

και εκφράζει το υπόλοιπο εμβαδόν. Είναι προφανές ότι:

Η αρχή διατήρησης της ενέργειας σε μιά α.α.τ .

Το σώμα του διπλανού σχήματος εκτελεί α.α.τ και κάποια χρονική στιγμή περνά από μία τυχαία θέση x με ταχύτητα u . Θα δείξουμε ότι το άθροισμα της κινητικής ενέργειας του σώματος σε κάθε θέση είναι το ίδιο, δηλαδή ότι η ενέργεια Ε της ταλάντωσης διατηρείται σταθερή κατά την α.α.τ . Ξεκινώντας από την τυχαία θέση γράφουμε:

Δείξαμε ότι:

Γραφικές παραστάσεις(I) των ενεργειών με την απομάκρυνση από τη

θέση ισορροπίας.

Η ενέργεια της ταλάντωσης Ε=1/2 D A2 παραμένει σταθερή με την απομάκρυνση και παριστάνεται με μιά ευθεία παράλληλη στον οριζόντιο άξονα. Η δυναμική ενέργεια U=1/2 D x2 είναι παραβολή με μέγιστο στις ακραίες θέσεις και ελάχιστο στη θέση ισορροπίας. Η κινητική ενέργεια Κ=Ε -U=E -1/2 D x2 είναι παραβολή με μέγιστο στη θέση ισορροπίας και ελάχιστο στις ακραίες θέσεις. Στα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων της κινητικής και της δυναμικής η κινητική και η δυναμική είναι ίσες μεταξύ τους και ίσες με το μισό της ολικής. Για να προσδιορίσουμε τα σημεία τομής εργαζόμαστε όπως παρακάτω.

(II) των ενεργειών με το χρόνο.

Η ενέργεια της ταλάντωσης Ε=1/2 D A2 παραμένει σταθερή με το χρόνο και παριστάνεται με μιά ευθεία παράλληλη στον οριζόντιο άξονα. Η δυναμική ενέργεια U=1/2 D x2 πρέπει πρώτα να εκφραστεί σαν συνάρτηση του χρόνου. Πράγματι μετά από αντικατάσταση του x έχουμε:

Η κινητική ενέργεια Κ=1/2 m u2 αν εκφραστεί και αυτή σαν συνάρτηση του χρόνου είναι της μορφής:

Page 7: Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις

Τα σημεία τομής ,όπου η κινητική και η δυναμική είναι ίσες μεταξύ τους και η κάθε μία με το μισό της ολικής, αναφέρονται σε χρονικές στιγμές για τις οποίες ισχύει:

Πράγματι ,θέτοντας στην εξίσωση της απομάκρυνσης τις παραπάνω τιμές παίρνουμε:

Δείτε ότι η περίοδος της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας είναι η μίση της περιόδου της ταλάντωσης.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε την περιοδική μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική και το αντίστροφο σε μιά περίοδο Τ της ταλάντωσης του συστήματος σώμα – ελατήριο.

Ηλεκτρικές ταλαντώσεις.

Ένα κύκλωμα με πυκνωτή, αρχικά φορτισμένο, διακόπτη και πηνίο εμφανίζει παρόμοια συμπεριφορά με το σύστημα μάζα – ελατήριο από τη στιγμή που ο διακόπτης θα κλείσει. Ας προσπαθήσουμε να περιγράψουμε το φαινόμενο με τον ίδιο τρόπο που περιγράψαμε το μηχανικό σύστημα.«Κινηματικά » η περιγραφή γίνεται με το φορτίο και το ρεύμα. Φορτίο του πυκνωτή θα ονομάσουμε το φορτίο του οπλισμού που αρχικά ήταν θετικά φορτισμένος..Σαν ρεύμα ονομάζουμε το ρυθμό

(και όχι )

Θετικό χαρακτηρίζουμε το ρεύμα που καταλήγει σε εκείνο τον οπλισμό που αρχικά ήταν θετικά φορτισμένος. Αξίζει να σημειώσουμε εδώ ότι το ηλεκτρικό ρεύμα σχετίζεται με την ταχύτητα με την οποία κινούνται τα φορτία στους αγωγούς. Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα ο πυκνωτής είναι αρχικά φορτισμένος και τη χρονική στιγμή t=0 κλείνει ο διακόπτης. Ο πυκνωτής εκφορτίζεται ενώ το κύκλωμα αρχίζει να διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα. Το φαινόμενο της αυτεπαγωγής (και όχι μόνο) είναι ο λόγος που το ηλεκτρικό ρεύμα καθυστερεί να πάρει τη μέγιστη τιμή του. Όταν το φορτίο του πυκνωτή μηδενιστεί και το ρεύμα γίνει μέγιστο, το φαινόμενο της αυτεπαγωγής δεν θα αφήσει το ρεύμα να μηδενιστεί ακαριαία. Ο πυκνωτής τώρα φορτίζεται με ανάποδη πολικότητα και το ρεύμα στο κύκλωμα μειώνεται χωρίς να αλλάξει η φορά του. Τελικά το φορτίο μεγιστοποιείται και το ρεύμα μηδενίζεται..Το φαινόμενο επαναλαμβάνεται με τον πυκνωτή σε ανάποδη πολικότητα και το ρεύμα αντίθετης φοράς μέχρι να επανέλθουμε στην αρχική κατάσταση. Τα διάφορα στιγμιότυπα φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Σ ύμφωνα με την αρχική συνθήκη που έχουμε επιλέξει (t=0,q=Q, i=0) οι εξισώσεις που περιγράφουν το φορτίο και το ρεύμα με το χρόνο είναι:

όπου Q η μεγαλύτερη τιμή του φορτίου και I η μεγαλύτερη τιμή του ρεύματος. Η μεταξύ τους σχέση είναι:

« Δυναμικά » η περιγραφή γίνεται με την εφαρμογή του δεύτερου κανόνα του Kirchhoff. Σε κάθε χρονική στιγμή η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι ίση με την τάση στα άκρα του πηνίου.

Η αντίστοιχη δυναμική περιγραφή στο μηχανικό σύστημα είναι:

Δείτε τις ομοιότητες μεταξύ των δύο σχέσεων και προσπαθείστε να βρείτε αντιστοιχίες.

Μηχανικές ταλαντώσεις Ηλεκτρικές ταλαντώσειςx qu i

Page 8: Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις

m LD 1/C

Η δημιουργία ενός εναλλασσόμενου ρεύματος υψηλής συχνότητας σε ένα κύκλωμα που περιλαμβάνει πυκνωτή και πηνίο ονομάζεται ηλεκτρική ταλάντωση. Η περίοδος της ηλεκτρικής ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση:

«Ενεργειακά» εμφανίζεται περιοδική μετατροπή της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή σε ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου. Ένας πυκνωτής φορτισμένος αρχικά με το μέγιστο φορτίο έχει αποθηκεύσει μέσα του ενέργεια ίση με :

ενώ στο πηνίο ο αποθηκευμένη ενέργεια είναι μηδενική αφού το ρεύμα είναι μηδέν. Καθώς ο πυκνωτής εκφορτίζεται η ενέργεια του μειώνεται ενώ ταυτόχρονα αυξάνεται η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου. Όταν το φορτίο του πυκνωτή μηδενιστεί, όλη η ενέρχεια του ηλεκτρικού πεδίου έχει γίνει ενέργεια μαγνητικού πεδίου του πηνίου ίση με :

Σε ενδιάμεσες χρονικές στιγμές η αρχική ενέργεια είναι κατανεμημένη τόσο στον πυκνωτή

όσο και στο πηνίο

Το φαινόμενο επαναλαμβάνεται με περίοδο τη μισή από την περίοδο εναλλαγής του φορτίου. Αφού στο κύκλωμα δεν υπάρχουν ωμικές αντιστάσεις η συνολική ενέργεια θα διατηρείται σταθερή. Δηλαδή θα ισχύει:

Ας κάνουμε τώρα ένα νέο πίνακα με αντιστοιχίες εμπλουτίζοντας τον αρχικό.

Μηχανικές ταλαντώσεις Ηλεκτρικές ταλαντώσειςx qu im LD 1/C

umax=ω Α I=ω Q

Page 9: Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις

Οι γραφικές παραστάσεις των ενεργειών με το χρόνο και το φορτίο του πυκνωτή είναι ίδιες με τις αντίστοιχες των μηχανικών ταλαντώσεων όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα.

ΠΥΚΝΩΤΗΣΔιάταξη του κυκλώματος στην οποία αποθηκεύεται ενέργεια

ηλεκτρικού πεδίου.ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΠΥΚΝΩΤΗ

Η χωρητικότητα ενός πυκνωτή είναι η ικανότητα του να συγκρατεί ηλεκτρικά φορτία. Ορίζεται σαν το σταθερό πηλίκο του φορτίου του πυκνωτή προς τη διαφορά δυναμικού μεταξύ των οπλισμών του.

Η χωρητικότητα δηλώνει μιά αναλογία μεταξύ φορτίου και τάσης του πυκνωτή όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν προσπαθούμε να φορτίσουμε (ή να εκφορτίσουμε )τον πυκνωτή αυτός αντιστέκεται. Όσο μεγαλύτερη η χωρητικότητα του πυκνωτή τόσο πιό πολύ μας δυσκολεύει. Ενεργειακά αυτό μεταφράζεται σε αποθήκευση ενέργειας κατά τη φόρτιση (ή εκταμίευση ενέργειας κατά την εκφόρτιση ).Το σκιασμένο στοιχειώδες εμβαδόν του διπλανού σχήματος παριστάνει την απαιτούμενη ενέργεια για να αυξήσει το φορτίο του κατά dq και το συνολικό εμβαδόν την ενέργεια που συνολικά αποταμιεύεται στον πυκνωτή.

ΠΗΝΙΟΔιάταξη του κυκλώματος στην οποία αποθηκεύεται ενέργεια

μαγνητικού πεδίου.ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗΣ

Ο συντελεστής αυτεπαγωγής ενός πηνίου είναι η ικανότητα του να διατηρεί το ρεύμα του. Εκφράζει την αντίσταση-αδράνεια του πηνίου στις αλλαγές του ρεύματος που το διαρρέει (φαινόμενο αυτεπαγωγής-κανόνας Lenz).Ορίζεται σαν η σταθερά αναλογίας μεταξύ της μαγνητικής ροής Φ μέσα από τις σπείρες του πηνίου και του ρεύματος i που το διαρρέει.

Το στοιχειώδες εμβαδόν του διαγράμματος Φ-i παριστάνει την επιπλέον ενέργεια που αποθηκεύουμε στο πηνίο όταν του αυξάνουμε το ρεύμα κατά di .Το συνολικό εμβαδόν παριστάνει τη συνολική αποθηκευμένη ενέργεια στο πηνίο με τη μορφή μαγνητικού πεδίου.

Φθίνουσες μηχανικές ταλαντώσεις

Ένα μηχανικό σύστημα που εκτελεί α.α.τ δεν θα μειώσει ποτέ το πλάτος της ταλάντωσης του. Η δυναμική ενέργεια θα μετατρέπεται συνεχώς σε κινητική και το αντίστροφο ενώ το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής θα είναι πάντα σταθερό. Στον πραγματικό κόσμο όμως εμφανίζονται μη συντηρητικές δυνάμεις τριβής που έχουν σαν αποτέλεσμα η ολική ενέργεια να μετατρέπεται σε θερμότητα και το πλάτος της ταλάντωσης να μειώνεται διαρκώς. Το πρόβλημα έχει πιό εύκολη μαθηματική επεξεργασία αν θεωρήσουμε ότι οι δυνάμεις τριβής είναι ανάλογες της ταχύτητας και αντίθετης φοράς από αυτήν ,έχουν δηλαδή την ειδική μορφή:

Η σταθερά αναλογίας b (Kg/sec) ονομάζεται σταθερά απόσβεσης ,καθορίζει το ρυθμό μείωσης του πλάτους της ταλάντωσης και εξαρτάται από το σχήμα, το μέγεθος του αντικειμένου και το μέσο στο οποίο γίνεται η κίνηση. Δυνάμεις τριβής αυτής της μορφής εμφανίζονται κατά την κίνηση ενός μικρού σώματος μέσα σε ρευστό υλικό. Η μελέτη των φθινουσών ταλαντώσεων καταλήγει στα παρακάτω συμπεράσματα, σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο.

Page 10: Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις

1ο Αν η σταθερά απόσβεσης είναι μηδέν η ταλάντωση είναι αμείωτη με περίοδο :

2ο Όσο μεγαλώνει η σταθερά απόσβεσης το πλάτος μειώνεται πιό γρήγορα (Η διακεκομένη γίνεται πιό απότομη).Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα μιά μικρή αύξηση στην περίοδο.

3ο Για μικρές τιμές της σταθεράς απόσβεσης η περίοδος είναι σταθερή ανεξάρτητη από το πλάτος.

4ο Για μεγάλες αποσβέσεις η κίνηση είναι απεριοδική και το πλάτος μειώνεται πολύ γρήγορα.

5ο Με την επίδραση μιας τέτοιας δύναμης τριβής το πλάτος μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση:

ή

όπου ΑΟ το αρχικό πλάτος , Α(t) το πλάτος τη χρονική στιγμή t και Λ= b/2m μια σταθερά με μονάδα sec-1. Προσοχή στο χρόνο, αυτός παίρνει τιμές ακέραια πολλαπλάσια της περιόδου Τ, δηλαδή t= k T με k=0,1,2,…

6ο Ο λόγος διαδοχικών πλατών στην ίδια διεύθυνση είναι σταθερός.

ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Ο δείκτης κάτω από το πλάτος είναι η τιμή του k.

Χρήσιμες παρατηρήσεις.1.Η έκφραση της ενέργειας για ένα ταλαντωτή που εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση.

Γνωρίζουμε ότι η ενέργεια στην α.α.τ συνδέεται με το πλάτος σύμφωνα με την εξίσωση:

Αν αντικαταστήσουμε στην έκφραση αυτή τη συνάρτηση του πλάτους με το χρόνο στις φθίνουσες ταλαντώσεις θα έχουμε:

Επομένως:

όπου η αρχική ενέργεια του ταλαντωτή.

2.Μετά από πόσο χρόνο το πλάτος θα γίνει το μισό του αρχικού.Στην εξίσωση του πλάτους θα αντικαταστήσουμε όπου Α=ΑΟ / 2

Page 11: Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις

Ο παραπάνω χρόνος λέγεται χρόνος υποδιπλασιασμού του πλάτους ή χρόνος ημιζωής. Μέσα του κρύβει μιά λογική που είναι χρήσιμη στον πρακτικό προσδιορισμό του χρόνου στον οποίο το πλάτος μηδενίζεται. Ο χρόνος αυτός δεν είναι κατ’ανάγκη ίσος με την περίοδο της φθίνουσας ταλάντωσης.

3.Ποσοστό μείωσης του πλάτους.Οποιοδήποτε μέγεθος μεταβάλλεται με το χρόνο έχει ένα ποσοστό

μεταβολής . Στη περίπτωση του πλάτους των φθινουσών ταλαντώσεων αυτό υπολογίζεται από τη σχέση:

4.Ποσοστό μείωσης (απωλειών)της ενέργειας.Με παρόμοιο τρόπο το ποσοστό της μείωσης της ενέργειας υπολογίζεται

από τη σχέση:

Αν θέλουμε το ποσοστό απωλειών ανά περίοδο δεν έχουμε παρά να αντικαταστήσουμε στην παραπάνω σχέση όπου t=T.5.Νόμος μηχανικής για τις φθίνουσες ταλαντώσεις.

Φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις.

Σε αντιστοιχία με τις φθίνουσες μηχανικές ταλαντώσεις ένα κύκλωμα φθινουσών ηλεκτρικών ταλαντώσεων περιλαμβάνει πυκνωτή χωρητικότητας C, πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L και ωμική αντίσταση R όλα σε σειρά μεταξύ τους. Στον πυκνωτή έχουμε αποταμιεύσει ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου και στην αρχή των χρόνων κλείνουμε το διακόπτη δ. Με την πάροδο του χρόνου ένα μέρος της αρχικής ενέργειας αποταμιεύεται με τη μορφή ενέργειας μαγνητικού πεδίου ενώ ένα άλλο χάνεται πάνω στην αντίσταση αφού μετατρέπεται σε θερμότητα. Η αντίσταση R παίζει το ρόλο της απόσβεσης b.Για μικρές τιμές της αντίστασης η ενέργεια του κυκλώματος φθίνει εκθετικά με το χρόνο. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις αντιστοιχίες μεταξύ μηχανικών και ηλεκτρικών φθινουσών ταλαντώσεων σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο.

Μηχανικές Ηλεκτρικές

Page 12: Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις

b R

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις.

Μηχανικές

Είδαμε στις φθίνουσες μηχανικές ταλαντώσεις ότι η εμφάνιση της δύναμης της τριβής έχει σαν αποτέλεσμα την απώλεια ενέργειας και τη μείωση του πλάτους. Αν θέλουμε το πλάτος να παραμείνει σταθερό θα πρέπει με τη βοήθεια μιας εξωτερικής δύναμης – διεγέρτη να αναπληρώνουμε τη χαμένη ενέργεια με τον ίδιο ρυθμό. Η εξωτερική δύναμη – διεγέρτης είναι μια περιοδική δύναμη με τη δικιά της συχνότητα fδ . Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα σύστημα μάζας – ελατηρίου του οποίου το ελεύθερο άκρο με τη βοήθεια νήματος συνδέεται με την περιφέρεια δίσκου που μπορεί να στρέφεται. Όταν ο δίσκος στρέφεται το σύστημα ταλαντώνεται στον αέρα Στην περίπτωση μας ο διεγέρτης είναι η τάση του νήματος η οποία άλλοτε τεντώνει και άλλοτε αφήνει το νήμα. Η συχνότητα περιστροφής του δίσκου είναι η συχνότητα του διεγέρτη. Από την πλευρά του νόμου της μηχανικής ισχύει:

Οι ταλαντώσεις στις οποίες ο εξωτερικός παράγοντας επεμβαίνει περιοδικά ονομάζονται εξαναγκασμένες. Αν εξαιρέσουμε ένα μικρό μεταβατικό στάδιο, το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης παραμένει σταθερό και η ταλάντωση είναι αμείωτη με συχνότητα εκείνη του διεγέρτη. Αυτή είναι και μία διαφορά από τις ελεύθερες και αμείωτες ταλαντώσεις όπου ο εξωτερικός παράγοντας – διεγέρτης επεμβαίνει μόνο στην αρχή για να διεγείρει το σύστημα σε ταλάντωση. Το πλάτος μίας εξαναγκασμένης ταλάντωσης εξαρτάται από τη συχνότητα του διεγέρτη. Η καμπύλη που παριστάνει αυτήν ακριβώς την εξάρτηση λέγεται καμπύλη απόκρισης ή συντονισμού.

Μελέτη της καμπύλης απόκρισης.

Περίπτωση b =0 : Στην περιοχή των χαμηλών συχνοτήτων η αύξηση της συχνότητας του διεγέρτη δεν προκαλεί σημαντικές αλλαγές στο πλάτος της ταλάντωσης. Στην περιοχή των υψηλών συχνοτήτων το πλάτος τείνει στο μηδέν γιατί το σύστημα αδυνατεί να παρακολουθήσει την κίνηση του διεγέρτη. Όσο η συχνότητα του διεγέρτη πλησιάζει τη φυσική συχνότητα (ιδιοσυχνότητα ) του συστήματος το πλάτος αυξάνεται δραματικά. Θεωρητικά στην περίπτωση της μηδενικής απόσβεσης το πλάτος απειρίζεται όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνεται ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος fO . Θυμίζουμε ότι η ιδιοσυχνότητα είναι η συχνότητα της ελεύθερης και αμείωτης ταλάντωσης

Η κατάσταση εκείνη που το πλάτος μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης μεγιστοποιείται ονομάζεται συντονισμός. Στο συντονισμό

και το σύστημα απορροφά ενέργεια με το βέλτιστο τρόπο.Περίπτωση μικρής και μεσαίας απόσβεσης ( b >0) : Όσο αυξάνεται η απόσβεση η καμπύλη συντονισμού δεν παρουσιάζει σημαντικές αλλαγές στις δύο ακραίες περιοχές των χαμηλών και των υψηλών συχνοτήτων. Η καμπύλη γίνεται λιγότερο οξεία ,το μέγιστο πλάτος κατά τον συντονισμό ελαττώνεται και ο συντονισμός εμφανίζεται σε συχνότητες μικρότερες της ιδιοσυχνότητας που διαφέρουν όμως πολύ λίγο από αυτήν.

Περίπτωση πολύ μεγάλης απόσβεσης: Η καμπύλη δεν είναι καθόλου οξεία και το μέγιστο πλάτος είναι το αρχικό ΑΟ.

Με ποιό ρυθμό πρέπει να προσφέρουμε ενέργεια σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση για να παραμένει το πλάτος σταθερό;

Θα πρέπει ο ρυθμός προσφοράς ενέργειας από τον διεγέρτη να είναι ίσος ή πιό σωστά αντίθετος με το ρυθμό απωλειών λόγω τριβών.

Page 13: Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις

Ποιά ενέργεια πρέπει να προσφέρουμε σε κάθε περίοδο μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης για να παραμένει το πλάτος σταθερό;

Ηλεκτρικές.

Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις δημιουργούνται σένα κύκλωμα RLC σε σειρά με πηγή εναλλασσόμενης τάσης. Σε αναλογία με τις μηχανικές η πηγή εναλλασσόμενης τάσης είναι ο διεγέρτης του συστήματος που σκοπό έχει να αναπληρώσει τη χαμένη ενέργεια πάνω στην αντίσταση.

Μηχανικές ΗλεκτρικέςΜάζα (m) Συντ. Αυτεπ. (L)

Σταθερά επαναφοράς (k) Χωρητικότητα (1/C)Απόσβεση (b) Αντίσταση (R)

Διεγέρτης (Εξωτερική δύναμη) Διεγέρτης (Πηγή εν/νης τάσης)Ιδιοσυχνότητα Ιδιοσυχνότητα

Περίπτωση R =0 : Στην περιοχή των χαμηλών συχνοτήτων η αύξηση της συχνότητας της πηγής δεν προκαλεί σημαντικές αλλαγές στο πλάτος του ρεύματος. Στην περιοχή των υψηλών συχνοτήτων το πλάτος τείνει στο μηδέν γιατί το σύστημα αδυνατεί να παρακολουθήσει τις εναλλαγές της εναλλασσόμενης τάσης. Όσο η συχνότητα του διεγέρτη πλησιάζει τη φυσική συχνότητα (ιδιοσυχνότητα ) του συστήματος το πλάτος αυξάνεται δραματικά. Θεωρητικά στην περίπτωση της μηδενικής αντίστασης το πλάτος απειρίζεται όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνεται ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος fO . Θυμίζουμε ότι η ιδιοσυχνότητα είναι η συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης σ’ένα κύκλωμα LC

Η κατάσταση εκείνη που το πλάτος μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης μεγιστοποιείται ονομάζεται συντονισμός. Στο συντονισμό η συχνότητα της εναλλασσόμενης τάσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος

και το σύστημα απορροφά ενέργεια με το βέλτιστο τρόπο.Περίπτωση μικρής και μεσαίας αντίστασης ( R >0) : Όσο αυξάνεται η αντίσταση η καμπύλη συντονισμού δεν παρουσιάζει σημαντικές αλλαγές στις δύο ακραίες περιοχές των χαμηλών και των υψηλών συχνοτήτων.Η καμπύλη γίνεται λιγότερο οξεία ,το μέγιστο πλάτος κατά τον συντονισμό ελαττώνεται.

Περιπτώσεις συντονισμού.

1. Τα παιδιά που κάνουν κούνια περιοδικά τεντώνουν και μαζεύουν τα πόδια τους αν θέλουν να διατηρήσουν το πλάτος της αιώρησης.

2. Μεγάλες ομάδες ανθρώπων (στρατός) όταν περνούν πάνω από γέφυρα δεν πρέπει να συνχρονίζουν το βάδισμα τους

3. Ο επιλογέας σταθμών ενός ραδιοφώνου είναι ένα κύκλωμα LC του οποίου μπορούμε να μεταβάλλουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή ώστε να συντονιστούμε με το σταθμό που επιθυμούμε

4. Ο διάδρομος αεροδρομίου ,όσο και αν προσπαθήσουμε ,δεν θα είναι ποτέ απόλυτα ομαλός. Αν υποθέσουμε ότι ανωμαλίες του οδοστρώματος εμφανίζουν μιά περιοδικότητα τότε μπορούν να παίξουν το ρόλο του διεγέρτη για το σύστημα ανάρτησης των τροχών. Δεν θα πρέπει η συχνότητα εμφάνισης των ανωμαλιών να είναι ίση με την ισιοσυχνότητα του συστήματος ανάρτησης γιατί

Page 14: Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις

το πλάτος θα γίνει μέγιστο και οι τροχοί θα χάσουν την επαφή τους με το έδαφος.Η ταχύτητα που πρέπει να αποφύγει ένα αεροπλάνο κατά την απογείωση ή την προσγείωση βρίσκεται:

5. Σαμαράκια στο δρόμο.Όπως και στην περίπτωση 4.

Σύνθεση ταλαντώσεων

[Α]. Σύνθεση ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας που συμβαίνουν στον ίδιο άξονα και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας

Το σώμα Μ του διπλανού σχήματος συμμετέχει ταυτόχρονα σε δύο κινήσεις, μία ταλάντωση επειδή είναι δεμένο απ’ευθείας στο ελατήριο και μία ταλάντωση επειδή είναι πάνω στο όχημα και το όχημα εκτελεί ταλάντωση. Στο επόμενο σχήμα το σώμα είναι δεμένο απ’ευθείας σε δύο ελατήρια και η κίνηση του μπορεί να θεωρηθεί σαν τη σύνθεση δύο ταλαντώσεων μία για κάθε ελατήριο ξεχωριστά. Η μελέτη αυτών των κινήσεων γίνεται με τη βοήθεια της αρχής της επαλληλίας (ανεξαρτησία) των κινήσεων. Δεν ισχύει πάντα αλλά δεν θα μας απασχολήσουν οι εξαιρέσεις. Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας κάθε κίνηση είναι ανεξάρτητη από την παρουσία της άλλης και ισχύει:

Όπου χ 1 και χ 2 οι απομακρύνσεις από την κοινή θέση ισορροπίας της κάθε κίνησης ξεχωριστά σαν να υπήρχε μόνη της και χ η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας της συνιστάμενης κίνησης. Μαθηματικά πιό απλή είναι η περίπτωση που οι δύο ταλαντώσεις έχουν ίδια συχνότητα ω. Η διαφορά φάσης μεταξύ των ταλαντώσεων μπορεί να είναι οποιαδήποτε στο διάστημα [0,2π).Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

(1) Διαφορά φάσης μηδέν (συμφασικές κινήσεις). Οι εξισώσεις των δύο κινήσεων είναι της μορφής:

Τότε η συνιστάμενη κίνηση θα έχει εξίσωση της μορφής:

Επομένως η συνιστάμενη κίνηση έχει πλάτος το άθροισμα των πλατών και φάση την ίδια με τις συνιστώσες. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των δύο ταλαντάσεων και της συνιστάμενης κίνησης. Δείτε ότι όλες είναι συμφασικές αφού μηδενίζονται ταυτόχρονα και παίρνουν τις μέγιστες και τις ελάχιστες τιμές ταυτόχρονα.

(2) Διαφορά φάσης 180ο. Οι εξισώσεις των δύο κινήσεων είναι της μορφής:

Τότε η συνιστάμενη κίνηση θα έχει εξίσωση της μορφής:

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

1. όπου

2. όπου

3. όπου

Σε κάθε περίπτωση η συνιστάμενη κίνηση έχει πλάτος την απόλυτη διαφορά των πλατών και φάση εκείνης με το μεγαλύτερο πλάτος.

(3) Διαφορά φάσης 90ο. Οι εξισώσεις των δύο κινήσεων είναι της μορφής:

Τότε η συνιστάμενη κίνηση θα έχει εξίσωση της μορφής:

Page 15: Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις

όπου θ η γωνία της οποίας η εφαπτομένη δίνεται από τη σχέση:

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

[1]. Κάθε μέγεθος που αλλάζει με το χρόνο ημιτονοειδώς παριστάνεται με ένα περιστρεφόμενο διάνυσμα.

Πράγματι, ένα διάνυσμα με μέτρο Α περιστρέφεται ανάποδα από τους δείκτες του ρολογιού με γωνιακή ταχύτητα ω και τη χρονική στιγμή t=0 περνά από την οριζόντια θέση. Μετά από χρόνο t έχει διαγράψει γωνία ωt και η προβολή του στον κατακόρυφο άξονα

είναι:

[2]. Τα μεγέθη

παριστάνονται με δύο διανύσματα μέτρου Α1 και Α2 που περιστρέφονται με γωνιακή ταχύτητα ω και σχηματίζουν γωνία μεταξύ τους φ με προηγούμενο το Α2.[3]. Η πρόσθεση δύο μεγεθών της μορφής

ανάγεται στη πρόσθεση δύο διανυσμάτων όπως παρακάτω. Το

μέγεθος θα είναι της μορφής :

όπου

και θ η γωνία της οποίας η εφαπτόμενη δίνεται από τη σχέση:

[Β]. Σύνθεση ταλαντώσεων διαφορετικής συχνότητας που συμβαίνουν στον ίδιο άξονα και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με το ίδιο πλάτος.

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις της μορφής:

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας η συνιστάμενη κίνηση θα προκύπτει από την πρόσθεση:

όπου

Μη βιαστείτε και πείτε ότι η συνιστάμενη κίνηση είναι ταλάντωση.

Ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση όπου οι συχνότητες διαφέρουν πολύ λίγο μεταξύ τους, δηλαδή ισχύει:

Ας δούμε ένα αριθμητικό παράδειγμα.

Page 16: Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις

Ο παράγοντας ημίτονο σε τέσσερα (4) δευτερόλεπτα εκτελεί περίπου 4000 επαναλήψεις ενώ στον ίδιο χρόνο ο παράγοντας συνημίτονο εκτελεί μία (1) επανάληψη. Επομένως το συνημίτονο μεταβάλλεται με το χρόνο πολύ πιο αργά απ’ότι το ημίτονο. Λέμε ότι ο παράγοντας συνημίτονο (αργός) διαμορφώνει τον παράγοντα ημίτονο (γρήγορος). Η γραφική παράσταση του χ με το χρόνο t φαίνεται στο διπλανό σχήμα.Παρατηρούμε ότι η συνιστάμενη κίνηση δεν είναι ταλάντωση είναι όμως περιοδική με περίοδο Τδ. Λέμε ότι η κίνηση παρουσιάζει διακροτήματα. Η περίοδος των διακροτημάτων είναι ο χρόνος ανάμεσα σε διαδοχικά μέγιστα ή σε διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους Α’.

Υπολογισμός της περιόδου του διακροτήματος .

Θα βρούμε πότε μηδενίζεται το πλάτος και θα αφαιρέσουμε δύο διαδοχικές στιγμές. Το πλάτος της συνιστάμενης κίνησης δίνεται από τη σχέση:

Θα πρέπει ,όταν μηδενίζεται, να ισχύει :

Οι δύο πρώτες τιμές του χρόνου βρίσκονται για : k=0 και (+),k=1και (-).

Τότε η περίοδος του διακροτήματος θα είναι :

και η συχνότητα:

Page 17: Κεφάλαιο 1ο - Ταλαντώσεις