1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ – ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ – ΛΑΘΟΥΣ (Σ-Λ) 1 Η περίοδος του ωροδείκτη είναι 1h. 2 Η συνθήκη για Α.Α.Τ είναι ΣF= - DX. 3 Στη διάρκεια μιας περιόδου, η δυναμική ενέργεια και η κινητική ενέργεια

μιας μηχανικής ή ηλεκτρικής ταλάντωσης αρμονική, είναι ίσες δύο φορές. 4 Σε μία αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση (κύκλωμα LC), η ενέργεια

ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή, μετατρέπεται περιοδικά σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου στο πηνίο.

5 Στην απλή αρμονική ταλάντωση η φάση της απομάκρυνσης Χ προηγείται

της φάσης της ταχύτητας U κατά π2

6 Η τιμή της σταθεράς επαναφοράς Δ σχετίζεται με τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος που ταλαντώνεται.

7 Στην απλή αρμονική ταλάντωση το μέτρο της ταχύτητας είναι μέγιστο στη θέση Χ = 0.

8 Στην απλή αρμονική ταλάντωση το μέτρο της επιτάχυνσης είναι ελάχιστο στις θέσεις Χ = ± Α.

9 Η ιδιοσυχνότητα της ταλάντωσης του συστήματος μάζας – ελατηρίου

δίνεται από την εξίσωση 01 Κf

2π m= .

10 Η ολική ενέργεια του απλού αρμονικού ταλαντωτή καθορίζει τη μέγιστη ταχύτητα U0 και το πλάτος της ταλάντωσης Α.

11 Η ολική ενέργεια του απλού αρμονικού ταλαντωτή είναι ίση με τη δυναμική του ενέργεια στις θέσεις Χ = ± Α.

12 Στον απλό αρμονικό ταλαντωτή η μέγιστη τιμή της δυναμικής του

ενέργειας είναι 2max

1K KA2

= .

2

13 Στον απλό αρμονικό ταλαντωτή η μέγιστη τιμή της δυναμικής του

ενέργειας είναι 2max 0

1U mυ2

= .

14 Αν στον αρμονικό ταλαντωτή εκτός από την ελαστική δύναμη επαναφοράς ενεργεί και δύναμη αντίστασης F = -bυ, το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται γραμμικά με το χρόνο.

15 Αν στον αρμονικό ταλαντωτή εκτός από την ελαστική δύναμη επαναφοράς ενεργεί και δύναμη αντίστασης F = -bυ, με μεγάλη σταθερά απόσβεσης, η κίνηση γίνεται απεριοδική.

16 Στη φθίνουσα αρμονική ταλάντωση ο ρυθμός με τον οποίο ελαττώνεται το πλάτος δεν εξαρτάται από την σταθερά απόσβεσης.

17 Το πλάτος φθίνουσας αρμονικής ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση Α = Α0e –Λt, αν η δύναμη αντίστασης είναι της μορφής F = -bυ.

18 Η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης του αρμονικού ταλαντωτή είναι πάντα ίση με την ιδιοσυχνότητά του.

19 Η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης του αρμονικού ταλαντωτή είναι ίση με την συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης.

20 Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης αρμονικού ταλαντωτή δεν εξαρτάται από τη συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης.

21 Για να διατηρείται σταθερό το πλάτος μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης πρέπει ο ρυθμός με τον οποίο το σύστημα απορροφά ενέργεια να είναι διπλάσιος του ρυθμού με τον οποίο αφαιρείται ενέργεια από το σύστημα.

22 Κατά τον συντονισμό όταν η σταθερά απόσβεσης είναι b = 0, το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται θεωρητικά άπειρο.

23 Ο κύριος λόγος απόσβεσης στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις, είναι η ωμική αντίσταση του κυκλώματος.

24 Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς ή δύο διαδοχικές μεγιστοποιήσεις του πλάτους ονομάζεται περίοδος (Τδ) του διακροτήματος.

25 Σε περίπτωση, που από σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων έχουμε

διακρότημα, τότε η συχνότητα που «ακούει» κάποιος είναι η 1 2f ff2+

= και

όχι η fδ όπου f1, f2 οι συχνότητες των δύο επί μέρους αρμονικών ταλαντώσεων και fδ η συχνότητα του διακροτήματος.

3

ΜΕΡΟΣ 2ο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 26 Η επιτάχυνση α σημειακού αντικειμένου το οποίο εκτελεί απλή αρμονική

ταλάντωση α. είναι σταθερή β. είναι ανάλογη και αντίθετη της απομάκρυνσης x γ. έχει την ίδια φάση με την ταχύτητα δ. γίνεται μέγιστη στη θέση x = 0 27 Η διαφορά φάσης Δφ = φα – φυ μεταξύ επιτάχυνσης α και ταχύτητας υ στην

απλή αρμονική ταλάντωση είναι:

α. π2

−

β. π2

γ. 0

δ. 3π2

28 Η περίοδος της ταλάντωσης απλού εκκρεμούς όταν η μέγιστη γωνία που

σχηματίζεται το νήμα με την κατακόρυφη είναι μικρή: α. εξαρτάται από τη μάζα του σφαιριδίου β. είναι ανάλογη προς την πυκνότητα του υλικού του σφαιριδίου γ. είναι ανάλογη του πλάτους ταλάντωσης δ. διπλασιάζεται αν τετραπλασιαστεί το μήκος του νήματος 29 Στο πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή η δυναμική του ενέργεια α. έχει τη μέγιστη τιμή της στη θέση ισορροπίας β. είναι ίση με την ολική του ενέργεαι στις θέσεις x = ± Α. γ. έχει πάντοτε μεγαλύτερη τιμή από την κινητική του ενέργεια δ. έχει αρνητική τιμή στις θέσεις –Α≤ Χ ≤ 0. 30 Στο πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή η κινητική του ενέργεια α. στη θέση x = 0 είναι ίση με την ολικη του ενέργεια β. είναι πάντοτε μεγαλύτερη από την δυναμική του ενέργεια

4

γ. εξαρτάται από την κατεύθυνση της κίνησης της μάζας m δ. παίρνει μηδενική τιμή μια φορά στη διάρκεια μιας περιόδου. 31 Το πλάτος φθίνουσας αρμονικής ταλάντωσης μεταβάλλονται με το χρόνο

σύμφωνα με την εξίσωση Α = Α0e –Λt. Στην εξίσωση αυτή ο χρόνος t παίρνει

α. οποιαδήποτε τιμή β. τιμές που είναι ακέραια πολλαπλάσια της περιόδου Τ γ. μόνο τιμές που είναι άρτια πολλαπλάσια της περιόδου Τ δ. μόνο τιμές που είναι περιττά πολλαπλάσια της περιόδου Τ. 32 Η ιδιοσυχνότητα ενός ταλαντωτή εξαρτάται α. από το πλάτος της ταλάντωσης β. από τη σταθερά απόσβεσης γ. από την αρχική φάση δ. από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος. 33 Συντονισμό ονομάζουμε την κατάσταση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης

του αρμονικού ταλαντωτή, στην οποία α. η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι ίση με την κινητική β. η συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης είναι διπλάσια από την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή γ. η συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης είναι περίπου ίση με την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή δ. το πλάτος της ταλάντωσης είναι ανεξάρτητο από τη συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης. 34 Σύστημα μάζας – ελατηρίου εκτελεί ελεύθερη αμείωτη ταλάντωση. Η

συχνότητα της ταλάντωσης είναι:

α. mf 2πK

=

β. 1 mf2π K

=

γ. 1 Κf2π m

=

5

δ. f 2π Κ m= ⋅ 35 Στη διάρκεια μιας περιόδου η δυναμική και η κινητική ενέργεια μιας απλής

αρμονικής ταλάντωσης γίνονται ίσες α. τέσσερις φορές β. τρεις φορές γ. δύο φορές δ. μια φορά. ΜΕΡΟΣ 3ο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ-ΘΕΜΑΤΑ Θ2 36 Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο για

ένα σημειακό αντικείμενο που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση φαίνεται στο σχήμα

Με ποιό ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; α. Το μέτρο της ταχύτητας έχει τη μέγιστη τιμή του τις χρονικές στιγμές 0, 4sec και 8sec. β. Το μέτρο της επιτάχυνσης έχει τη μέγιστη τιμή του τις χρονικές στιγμές 2sec και 6sec

γ. Τη χρονική στιγμή t = 4sec το μέτρο της επιτάχυνσης είναι maxαα2

=

δ. Τη χρονική στιγμή 7sec το μέτρο της επιτάχυνσης είναι μικρότερο από το μέτρο της ταχύτητας τη χρονική στιγμή 2sec. 37 Η γραφική παράσταση της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο για ένα

σημειακό αντικείμενο που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση φαίνεται στο σχήμα

6

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές, ποιες είναι λανθασμένες και γιατί; α. Τις χρονικές στιγμές 0, 4sec και 8sec το αντικείμενο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του. β. Τις χρονικές στιγμές 2sec και 6sec το μέτρο της επιτάχυνσης είναι μέγιστο. γ. Στο χρονικό διάστημα από 6sec μέχρι 8sec τα διανύσματα υ

r και F

r

(συνισταμένη δύναμη) είναι συγγραμικά και ομόρροπα. δ. Στο χρονικό διάστημα από 0 μέχρι 2sec το αντικείμενο κινείται προς τη θέση ισορροπίας του. 38 Η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο για ένα

σημειακό αντικείμενο που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση φαίνεται στο σχήμα

Με ποιό ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; α. Τις χρονικές στιγμές 0, 8sec και 16sec η ταχύτητα του αντικείμενου είναι ίση με μηδέν. β. Τη χρονική στιγμή t = 14sec το αντικείμενο κινείται προς τη θέση ισορροπίας του. γ. Τις χρονικές στιγμές 4sec και 12sec το μέτρο της ταχύτητας του αντικειμένου έχει τη μέγιστη τιμή του. δ. Η ταχύτητα του αντικειμένου κάθε χρονική στιγμή καθορίζεται από την εξίσωση υ = υmax ημ (ωt + π). 39 Η γραφική παράσταση της δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο για ένα

σημειακό αντικείμενο που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση φαίνεται στο σχήμα

7

Με ποιό ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; α. Τις χρονικές στιγμές 0, 8sec και 16sec η ταχύτητα του αντικείμενου είναι ίση με μηδέν. β. Τη χρονική στιγμή t = 6sec το αντικείμενο κινείται προς τη θέση ισορροπίας του. γ. Τις χρονικές στιγμές 4sec και 12sec το μέτρο της ταχύτητας του αντικειμένου έχει τη μέγιστη τιμή του. δ. Η απομάκρυνση x του αντικειμένου από τη θέση ισορροπίας του κάθε χρονική στιγμή καθορίζεται από την εξίσωση x = A ημωt. 40 Υλικό σημείο μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η

απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από την εξίσωση x = A ημ (ωt + φο)

α. Να αποδείξετε ότι i) ii). β. Να παραστήσετε γραφικά σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x. i) την επιτάχυνση του υλικού σημείου ii) την δυναμική, την κινητική και την ολική του ενέργεια σε κοινό διάγραμμα. 41 Διατηρούμε σταθερό το πλάτος της ταλάντωσης απλού εκκρεμούς και τη

μάζα του σφαιριδίου, ενώ τετραπλασιάζουμε το μήκος του νήματος. Με ποιό ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; α. Η συχνότητα της ταλάντωσης διπλασιάζεται β. Το μέτρο υmax της μέγιστης ταχύτητας του σφαιριδίου διπλασιάζεται. γ. Η τιμή της σταθεράς επαναφοράς υποτετραπλασιάζεται. δ. Η ενέργεια ταλάντωσης του συστήματος υποτετραπλασιάζεται. 42 Ιδανικό ελατήριο έχει φυσικό μήκος lo και σταθερά Κ. Κόβουμε το

ελατήριο σε Ν κομμάτια ίσου μήκους. Να βρείτε τη σταθερά καθενός από τα Ν όμοια ελατήρια που προκύπτουν.

8

43 Δίνονται τα παρακάτω σχήματα (α) και (β), στα οποία τα ελατήρια έχουν ίδια σταθερά Κ1=Κ2=Κ.

Αν οι περίοδοι είναι ίσες να βρεθεί ο λόγος 1

2

mm

Το επίπεδο είναι λείο

44 Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από την εξίσωση x = A ημ (ωt + φο). Να υπολογίσετε τα Α, ω, φο αν γνωρίζετε ότι απόσταση των ακραίων θέσεων του υλικού σημείου είναι d = 0,2m και για t0=0 είναι x = 0,05m και υ 3m /sec.= −

45 Δίνεται ελατήριο σταθεράς K = 400 Nt/m στη μια άκρη του οποίου

συνδέεται σώμα μάζας m = 1kg. Στην άλλη του άκρη εξασκείται εξωτερική περιοδική δύναμη F. Το σύστημα ελατήριο-σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x = 0,4ημ20t (S.I.). Η δύναμη που αντιτίθεται στη κίνηση είναι της μορφής

F; = -0,4 υ (S.I) όπου U: ταχύτητα σώματος Να υπολογίσετε την ιδιοσυχνότητα του συστήματος και να τη συγκρίνετε με τη συχνότητα της F. Ποιό είναι το συμπέρασμα που βγάζετε;

ΜΕΡΟΣ 4ο ΘΕΜΑΤΑ Θ3

46 Σώμα μάζας m=0,5kg είναι δεμένο στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου

σταθεράς K = 50N/m και ισορροπεί, όπως φαίνεται στο σχήμα

9

Απομακρύνουμε τη μάζα από τη θέση ισορροπίας της κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου κατά 0,2m προς τα κάτω και την αφήνουμε ελεύθερη.

α. Να δείξετε, ότι το σύστημα ελατηρίου-μάζας θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδό της. β. Πόση είναι η μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης; γ. Πόση είναι η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου; δ. Πόση είναι η Fελατ(max), Fταλ(max); ε. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης της μάζας από τη θέση ισορροπίας της σε συνάρτηση με το χρόνο, αν για t = 0 διέρχεται από τη θέση y = +0,1m κινούμενη προς την αρνητική κατεύθυνση. Να θεωρήσετε ότι η απομάκρυνση y είναι ημιτονική συνάρτηση του χρόνου και g=10m/sec2. στ. Να βρείτε τις εξισώσεις v = f (t) και a = f (t) όπου υ: ταχύτητα και a: επιτάχυνση. 47 Το σώμα Σ του σχήματος εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση χωρίς

αποσβέσεις με τη βοήθεια του τροχού, που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω1 = 3 rad/sec. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α1 = 20cm.

α. Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του σώματος Σ σε συνάρτηση με το χρόνο θεωρώντας μηδέν την αρχική φάση της ταλάντωσης. β. Να παραστήσετε γραφικά σε συνάρτηση με το χρόνο την κινητική ενέργεια του σώματος Σ κατά την ταλάντωσή του. γ.Αν διπλασιάσουμε την γωνιακή ταχύτητα του τροχού το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα αυξηθεί, θα μειωθεί ή θα μείνει αμετάβλητο; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Δίνονται: η μάζα του σώματος Σ, M= 2kg

10

και η σταθερά ελατηρίου K = 2N/cm 48 Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, έχει μάζα m=1kgr και η

ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται από το διάγραμμα που ακολουθεί

α. Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης, τη μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά το σώμα, την αρχική φάση και να γράψετε τις εξισώσεις υ = f(t), x = f(t), q f(t) και ΣF = f(t) του σώματος και να κάνετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. β. Να υπολογίσετε την ολική ενέργεια της ταλάντωσης. γ. Να γράψετε τις εξισώσεις U = f(t) και K = f(t) για τη δυναμική και κινητική ενέργεια της ταλάντωσης αντίστοιχα και να κάνετε τις γραφικές τους παραστάσεις σε κοινό διάγραμμα. δ. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας τις χρονικές στιγμές όπου η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης είναι Κ = 0,032Joυle. Δίνεται 2π 10. 49 Δίνεται σώμα (Σ1) και σώμα (Σ2) που έχει μάζα m2 = 0,4kgr βρίσκεται πάνω

στο Σ1 όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα δύο σώματα εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση συχνότητας f = 0,5H2 και πλάτους Α = 0,2m.

α) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη δύναμη που δέχεται το σώμα Σ2 από το Σ1 κατά την ταλάντωση του συστήματος των δύο σωμάτων. β) Πόση είναι η δύναμη αυτή στη θέση y = 0; γ) Ποιά θα είναι η τιμή του πλάτους της ταλάντωσης ώστε το σώμα Σ2 να εγκαταλείψει το σώμα Σ1 αν η συχνότητα της ταλάντωσης είναι f = 0,5H2; δ) Ποια είναι η ελάχιστη περίοδος της ταλάντωσης για την οποία το σώμα Σ2 δεν θα εγκαταλείψει το σώμα Σ1, όταν το πλάτος της ταλάντωσης είναι 0,1m; Δίνονται g = 10m/sec2 και 2π 10.

11

50 Δίνονται δύο ιδανικά ελατήρια σταθερών Κ1 = 100 ΝΕ/m και Κ2 = 400Νt/m

συνδεμένα σε σειρά όπως στο σχήμα. Το ένα άκρο του συστήματος που προκύπτει συνδέεται ακλόνητα σε κατακόρυφο τοίχο και το άλλο συνδέεται με σώμα μάζας m = 0,2kgr. Το σύστημα ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Απομακρύνουμε τη μάζα από τη θέση ισορροπίας της κατά τη διεύθυνση του άξονα των ελατηρίων κατά Α = 0,1m και την αφήνουμε ελεύθερη.

α) Να δείξετε ότι το σύστημα μάζας-ελατηρίων θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την συχνότητά της. β) Πόση είναι η ολική ενέργεια της ταλάντωσης, η μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης; γ) Ποιο ποσοστό επί τοις % της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης είναι δυναμική ενέργεια, όταν διέρχεται από τη θέση x = 0,05m; δ) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος στη θέση x = 0,05m.

12

ΜΕΡΟΣ 5ο ΘΕΜΑΤΑ Θ4 51 Από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ = 30ο

εξαρτάται ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ = 100Ν/m και στο κάτω ελεύθερο άκρο του συνδέεται σώμα μάζας m1 = 2kgr. Το σύστημα ισορροπεί πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο όπως στο σχήμα.

Ένα βλήμα μάζας m2 = 2kgr κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ = 2m/sec και συγκρούεται ακαριαία, μετωπικά και πλαστικά με το σώμα μάζας m1. Το συσσωμάτωμα δεν αναπηδά.

α) Να βρείτε πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. β) Θεωρούμε αρχή μέτρησης του χρόνου t0 = 0 τη στιγμή της κρούσης και άξονα x’x με τη κατεύθυνσης που φαίνεται στο σχήμα. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του συσσωματώματος από τη θέση ισορροπίας του. Να θεωρήσετε ότι η απομάκρυνση x για την ταλάντωση είναι ημιτονική συνάρτηση του χρόνου. γ) Μετά πόσο χρόνο από την t0 = 0, η ταχύτητα του συσσωματώματος μηδενίζεται για πρώτη φορά; δ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος κατά τη διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου: i) αμέσως μετά την κρούση ii) όταν βρίσκεται στις ακραίες θέσεις της κίνησής του (g = 10m/sec2) 52 Το σώμα Σ του σχήματος έχει μάζα m και μπορεί να ολισθαίνει χωρίς

τριβές πάνω στο οριζόντιο δάπεδο. Τα δύο ελατήρια έχουν ίδια σταθερά Κ και όταν το σώμα Σ ισορροπεί στη θέση Ο, τα δύο ελατήρια βρίσκονται σε θέση φυσικού μήκους. Το σώμα m είναι στερεωμένο και στα δύο ελατήρια.

13

Εκτρέπουμε προς τα δεξιά το σώμα Σ κατά απόσταση α και τη χρονική t = 0 που το αφήνουμε ελεύθερο, αφήνουμε ταυτόχρονα ελεύθερο από το σημείο Γ ένα άλλο σώμα μάζας 3m.

α) Να αποδείξετε ότι το σώμα μάζας m, όταν αφεθεί ελεύθερο, θα εκτελέσει ΑΑΤ και να υπολογίστε την περίοδό του. β) Να υπολογίσετε το ύψος h, ώστε τα δύο σώματα να συναντηθούν στο σημείο Ο, όταν το σώμα Σ περνά για πρώτη φορά μετά τη χρονική στιγμή t=0 από το σημείο Ο. γ) Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος των m και 3m μετά την πλαστική κρούση τους στο σημείο Ο. δ) Τη θερμική ενέργεια (θερμότητα) κατά την πλαστική κρούση των σωμάτων m και 3m. Δίνονται g, π. 53 Ένα ηλεκτρόνιο πραγματοποιεί ταυτόχρονα στην οθόνη ενός παλμογράφου

δύο αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, οι οποίες έχουν εξισώσεις απομάκρυνσης:

x1 = ημ 204πt και x2 = ημ 200πt (S.I.) α) Να γράψετε την εξίσωση της συνισταμένης κίνησης του ηλεκτρονίου και να κάνετε τη γραφική παράσταση αυτής. β) Να υπολογίσετε την περίοδο του διακροτήματος που παράγεται και την περίοδο της συνισταμένης ταλάντωσης του ηλεκτρονίου. γ) Να βρείτε το χρόνο ανάμεσα σε δύο διαδοχικές διαβάσεις του ηλεκτρονίου από τη θέση ισορροπίας του. δ) Να υπολογίσετε τον αριθμό των πλήρων ταλαντώσεων που πραγματοποιεί το ηλεκτρόνιο μέσα σε χρονικό διάστημα ίσο με 4 περιόδους μεταβολής του πλάτους του. ε) Πόσες φορές είναι μηδέν η απομάκρυνσή του στο χρονικό διάστημα που αναφέρεται στο ερώτημα (δ); 54 Στο σχήμα που ακολουθεί

14

Δίνονται: C1 = 50μF, C2 = 200μF, L = 2H, Q1 = 4μCb και οι διακόπτες

δ1,δ2 ανοικτοί: Α Τη χρονική στιγμή t = 0 κλείνουμε μόνο το διακόπτη δ1 α) Να βρείτε την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του κυκλώματος LC1 και την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου σε συνάρτηση με το χρόνο και να τις παραστήσετε γραφικά. Στη γραφική παράσταση να φαίνεται και η ολική ενέργεια του κυκλώματος. β) Ποιά χρονική στιγμή για πρώτη φορά η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα LC1 έχει τιμή I = Iεν, όπου Iεν η ενεργός τιμή της έντασης του ρεύματος. Β. Κάποια χρονική στιγμή που η ενέργεια μαγνητικού πεδίου του κυκλώματος LC1 είναι ίση με την αντίστοιχη ηλεκτρική, ανοίγουμε το διακόπτη δ1 και ταυτόχρονα κλείνουμε το διακόπτη δ2. α) Να υπολογίσετε το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή χωρητικότητας C2. β) Πόσο θα ήταν το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή C2 αν το άνοιγμα του διακόπτη δ1 και το κλείσιμο του δ2 γινόταν κάποια στιγμή όπου το φορτίο του πυκνωτή C1 ήταν ίσο με μηδέν; Να υπολογίσετε τότε την ενέργεια που έχει ο πυκνωτής C2. 55 Από οροφή που απέχει από το οριζόντιο δάπεδο μεγάλη απόσταση,

εξαρτάται το ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ = 200 Nt/m και φυσικού μήκους lo, το οποίο ισορροπεί στην κατακόρυφη θέση. Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου κρεμάμε σώμα (Σ) μάζας m = 2kgr και ταυτόχρονα το αφήνουμε ελεύθερο.

Α α) Να αποδείξετε ότι το σώμα (Σ) θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. β) Να βρείτε την περίοδο και τη γωνιακή ταχύτητα. γ) Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης και την εξίσωση της ταχύτητας, θεωρώντας ως χρονική στιγμή t = 0, την στιγμή που αρχίζει να ταλαντώνεται και θετική φορά προς τα πάνω. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων x = f(t), υ = f(t).

15

δ) Να βρείτε τη δύναμη F που δέχεται το σώμα (σ) από το ελατήριο σε συνάρτηση με το χρόνο ταλάντωσής τους, την συνισταμένη δύναμη που δέχεται το σώμα (Σ) και να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων αυτών F = f (t), ΣF = f(t) Β Κάποια χρονική στιγμή της ταλάντωσης του σώματος (Σ), κατά την οποία το ελατήριο βρίσκεται στη μέγιστη επιμήκυνσή του, το σώμα (Σ) εκρήγνυται

ακαριαία σε δύο κομμάτια Β και Γ μαζών B Γm 3mm και m4 4

= = , από τα οποία

το Β παραμένει δεμένο στο ελατήριο και συνεχίζει να ταλαντώνεται στην ίδια

διεύθυνση με πλάτος ταλάντωσης 5A2

, όπου Α το αρχικό πλάτος της

ταλάντωσης του (Σ). Να υπολογίσετε α) την ενέργεια που ελευθερώθηκε κατά την έκρηξη του σώματος (Σ) β) το ποσοστό επί τοις % της ενέργειας έκρηξης σε σχέση με την αρχική ενέργεια ταλάντωσης του (Σ). Αντίσταση αέρα αμελητέα, g = 10 m/sec2. Β. Κάποια χρονική στιγμή που η ενέργεια μαγνητικού πεδίου του κυκλώματος LC1 είναι ίση με την αντίστοιχη ηλεκτρική, ανοίγουμε το διακόπτη δ1 και ταυτόχρονα κλείνουμε το διακόπτη δ2. α) Να υπολογίσετε το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή χωρητικότητας C2. β) Πόσο θα ήταν το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή C2 αν το άνοιγμα του διακόπτη δ1 και το κλείσιμο του δ2 γινόταν κάποια στιγμή όπου το φορτίο του πυκνωτή C1 ήταν ίσο με μηδέν; Να υπολογίσετε τότε την ενέργεια που έχει ο πυκνωτής C2. Να υπολογίσετε α) την ενέργεια που ελευθερώθηκε κατά την έκρηξη του σώματος β) το ποσοστό επί τοις % της ενέργειας έκρηξης σε σχέση με την αρχική ενέργεια ταλάντωσης του (Σ). Αντίσταση αέρα αμελητέα, g = 10m/sec2.

16

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο

ΚΥΜΑΤΑ

ΜΕΡΟΣ 1ο

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ (Σ-Λ) 56 Το στάσιμο κύμα δεν είναι κύμα αλλά μια ιδιόμορφη ταλάντωση του μέσου 57 Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων για τα οποία ισχύει είναι έλλειψη. 58 Σύγχρονες πηγές είναι αυτές που δημιουργούν ταυτόχρονα μέγιστα αλλά

ελάχιστα έχουν διαφορετικά. 59 Οποιαδήποτε κυματική διαταραχή όσο περίπλοκη και να είναι μπορεί να

θεωρηθεί ότι προέρχεται από το άθροισμα ενός αριθμού αρμονικών κυμάτων.

60 Για τη δημιουργία ενός κύματος χρειάζεται μόνο να έχουμε μια πηγή η οποία θα δημιουργήσει τη διαταραχή.

61 Τα διαμήκη κύματα διαδίδονται σε στερεά, αέρια και κατά προσέγγιση στην επιφάνεια των υγρών.

62 Τα κύματα στη θάλασσα μεταφέρουν μεγάλες ποσότητες μάζας και γι αυτό συχνά προκαλούν καταστροφές στις ακτές.

63 Τα σημεία ενός ελαστικού μέσου τα ίδια χρονική στιγμή έχουν διαφορετικές φάσεις, γιατί η φάση εξαρτάται από την απόσταση.

64 Τα εγκάρσια κύματα διαδίδονται στα στερεά και κατά προσέγγιση στην επιφάνεια των υγρών.

65 Η ταχύτητα του κύματος είναι σταθερή, ενώ η ταχύτητα με την οποία κινούνται τα σημεία του μέσου γύρω από τη θέση ισορροπίας τους, δεν είναι σταθερή.

66 Στα εγκάρσια κύματα, όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου, ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.

67 Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται στο κενό με την ταχύτητα του φωτός. Σε όλα τα υλικά διαδίδονται με μεγαλύτερη ταχύτητα.

68 Τα ακίνητα φορτία, τα φορτία που κινούνται με σταθερή ταχύτητα (σταθερά ρεύματα) δημιουργούν ηλεκτρομαγνητικό κύμα.

69 Ο δείκτης διάθλασης του κενού είναι εξ ορισμού ίσος με την μονάδα, επομένως όταν μια ακτίνα διέρχεται από το κενό σε ένα υλικό, πλησιάζει την κάθετη πάντα.

17

70 Η μετάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στις οπτικές ίνες στηρίζεται στο φαινόμενο της διάθλασης.

71 Η κρίσιμη γωνία είναι γενικά μικρή, όταν ένα μέσο έχει μεγάλο δείκτη διάθλασης και το άλλο είναι αέρας.

72 Η μικρή κρίσιμη γωνία είναι ο λόγος που ένα κατεργασμένο διαμάντι (με πολλές έδρες) λαμποκοπά στο φώς.

73 Κατοπτρική ανάκλαση έχουμε, όταν οι ανακλώμενες ακτίνες είναι παράλληλες μετά την πρόσπτωση μιας φωτεινής παράλληλης δέσμης πάνω σε λεία και στιλπνή επιφάνεια.

74 Τα μικροκύματα χρησιμοποιούνται στα ραντάρ και στη Τ.V. 75 Η υπέρυθρη ακτινοβολία που απορροφάται από ένα σώμα αυξάνει το

πλάτος της ταλάντωσης των σωματιδίων από τα οποία αποτελείται, διατηρώντας έτσι σταθερή τη θερμοκρασία του.

76 Το στάσιμο κύμα, όλα τα σημεία που βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών εκτελούν ταλάντωση με την ίδια συχνότητα.

77 Στάσιμο κύμα ονομάζεται το αποτέλεσμα της συμβολής δύο κυμάτων της ίδιας συχνότητας και διαφορετικού πλάτους που διαδίδονται στο ίδιο μέσο με αντίθετες κατευθύνσεις.

78 Η σχέση δίνει την απομάκρυνση οποιουδήποτε σημείου του μέσου συναρτήσει του χρόνου.

79 Η σχέση δίνει την απομάκρυνση κάθε σημείου του μέσου συναρτήσει της απόστασής του από την πηγή.

80 Η συχνότητα του κύματος δείχνει τον αριθμό των κορυφών (αν πρόκειται για εγκάρσιο κύμα) ή των πυκνωμάτων (αν πρόκειται για διάμηκες) που φτάνουν σε κάποιο σημείο του μέσου στη μονάδα του χρόνου κατά τη διάδοση του κύματος.

81 Σένα στάσιμο κύμα, τα σημεία που βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών έχουν.

α. την ίδια φάση β. φάσεις που διαφέρουν κατά π/2 γ. φάσεις που διαφέρουν κατά π δ. φάσεις που διαφέρουν κατά 2π 82 Κατά την διάδοση κύματος έχουμε: α. μεταφορά ύλης β. μεταφορά μόνο ενέργειας και ύλης

18

γ. μεταφορά ύλης και ορμής δ. μεταφορά ενέργειας και ορμής 83 Η ταχύτητα ενός ηχητικού κύματος εξαρτάται: α. από τη συχνότητα του ήχου β. από την ένταση του ήχου γ. από το μήκος κύματος δ. από το υλικό το οποίο διαδίδεται το κύμα 84 Τα κύματα στην επιφάνεια του νερού είναι: α. εγκάρσια β. διαμήκη γ. κατά προσέγγιση διαμήκη δ. κατά προσέγγιση εγκάρσια 85 Όταν ένα περιοδικό κύμα αλλάζει μέσο διάδοσης α. η ταχύτητά του μένει σταθερή β. η συχνότητά του μένει σταθερή γ. το μήκος κύματος δεν μεταβάλλεται δ. μεταβάλλονται το μήκος κύματος και η συχνότητά του. 86 Σε ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις πιστεύετε ότι έχουμε εκπομπή

ηλεκτρομαγνητικού κύματος; α. Μια φορτισμένη σταγόνα λαδιού αιωρείται ανάμεσα στους οπλισμούς ενός επιπέδου πυκνωτή β. Ένα πηνίο διαρρέεται από ρεύμα που προκαλεί μια πηγή σταθερής τάσης γ. Ένα ηλεκτρόνιο κινείται με σταθερή ταχύτητα δ. Ένα ηλεκτρόνιο εκτελεί μεταβαλλόμενη κίνηση. 87 Τα ραδιοκύματα α. έχουν το μεγαλύτερο μήκος κύματος από όλες τις ηλεκτρομαγνητικές ακτινοβολίες που μελετάμε. β. έχουν το μικρότερο μήκος κύματος από όλες τις ακτινοβολίες που μελετάμε. γ. αποτελούνται από φωτόνια ιδιαίτερα υψηλής ενέργειας, σε σχέση με τα φωτόνια των άλλων ηλεκτρομαγνητικών ακτινοβολιών που εξετάζουμε. δ. αναπτύσσονται στο εσωτερικό των ραδιοφώνων.

19

88 Μια φωτεινή ακτίνα προσπίπτει στη λεία διαχωριστική επιφάνεια δύο

διαφανών μέσων τότε: α. η ανακλώμενη και η διαθλώμενη ακτίνα είναι κάθετες μεταξύ τους. β. δεν ισχύει ο νόμος του Suell. γ. η ανακλώμενη ακτίνα είναι πάντα μικρότερη από τη διαθλώμενη. δ. η κάθετη στην επιφάνεια ανάκλασης, καθώς και η ανακλώμενη και η διαθλώμενη ακτίνα ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. 89 Σε γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα. Η απόσταση

δύο σημείων του μέσου που ταλαντώνονται σε φάση είναι: α. λ β. λ/2. γ. κλ

δ. λ(2κ 1)2

+

90 Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα α. μεταφέρουν ενέργεια μόνο του ηλεκτρικού πεδίου β. μεταφέρουν ενέργεια μόνο του μαγνητικού πεδίου γ. μεταφέρουν ενέργεια ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου δ. δε διαδίδονται στο κενό

20

ΜΕΡΟΣ 3ο

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ-ΘΕΜΑΤΑ Θ2 91 Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου σχηματίζεται στάσιμο

κύμα, του οποίου τρία διαδοχικά στιγμιότυπα φαίνονται στο σχήμα.

Με ποιό ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί;

α. Το στιγμιότυπο (2) αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή 2Tt4

= , ενώ το

στιγμιότυπο (3) αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή 3Tt2

= .

β. Τη χρονική στιγμή t2 το σημείο Α του ελαστικού μέσου κινείται προς τη θετική κατεύθυνση ενώ το σημείο Β κινείται προς τη αρνητική κατεύθυνση. γ. Η διαφορά φάσης μεταξύ των ταλαντώσεων που εκτελούν τα σημεία Γ και Δ είναι ίση με μηδέν.

δ. Το σημείο Α του ελαστικού μέσου, τη χρονική στιγμή t2 + Δt όπου TΔt4

<

(Τ η περίοδος της ταλάντωσης που εκτελούν τα σημεία του ελαστικού μέσου) έχει, λόγω της ταλάντωσής του, μόνο δυναμική ενέργεια. 92 Στο σχήμα (Ι) δίνονται δύο στιγμιότυπα (1) και (2) στάσιμου εγκάρσιου

κύματος το οποίο δημιουργείται σε γραμμικό ομογενές ελαστικό μέσο και περιγράφεται από την εξίσωση

02πx ty 2y συν ημ2πλ T

=

21

Με ποιό ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; α. Στο στιγμιότυπο (1) αντιστοιχεί το διάγραμμα K = f(x) του σχήματος (ΙΙ) β. Στο στιγμιότυπο (2) αντιστοιχεί το διάγραμμα K = f(x) του σχήματος (ΙΙΙ). γ. Τα μόρια Α, Β τη χρονική στιγμή t2 έχουν ταχύτητες

A 0 B 04π 4πV y και V yΤ Τ

= − = αντίστοιχα.

δ. Η διαφορά φάσης μεταξύ των ταλαντώσεων που εκτελούν τα μόρια Γ, Δ του ελαστικού μέσου είναι ίση με μηδέν. 93 Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, το οποίο έχει τη

διεύθυνση του άξονα x’x, διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα, μήκους κύματος λ = 0,2m, προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα. Η απομάκρυνση ενός σημείου 0, το οποίο θεωρούμε ως αρχή του άξονα, δίνεται από την εξίσωση y = 2 ημ 20πt (y →cm, t →sec)

Με ποιό ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί;

α. Η εξίσωση του κύματος είναι xy 2ημ2π 10t20

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(x, y cm, t sec)→ → β. Η διαφορά φάσης φΑ – φΒ μεταξύ των ταλαντώσεων δύο σημείων Α(40cm) και Β(-40cm), την ίδια χρονική στιγμή είναι 8πrad. γ. Η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β τη χρονική στιγμή t=3sec είναι V = -40cm/sec. δ. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι υ = 2m/sec.

22

94 Ένα τεντωμένο σχοινί έχει το άκρο του Β ακλόνητο. Επάνω στο σχοινί έχει

σχηματιστεί στάσιμο κύμα με εξίσωση: πx πty 0,2συν ημ3 6

= όπου x είναι οι

αποστάσεις των σημείων του σχοινιού από ένα σημείο Α που πάλλεται ως κοιλία.

Με ποιό ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; α. Η περίοδος των κυμάτων που συμβάλλουν και δίνουν το στάσιμο είναι 12sec και το μήκος κύματος αυτών είναι 6m. β. Οι εξισώσεις των κυμάτων που συμβάλλουν είναι

2t x t xy 0,1ημ2π και y 0,1ημ2π (SI)

12 6 12 6⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

γ. Η απόσταση μιας ποικιλίας, από το μεθεπόμενο δεσμό είναι 3m. δ. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι 2m/sec. 95 Δύο όμοιες χορδές είναι κατασκευασμένες από το ίδιο υλικό και έχουν

τεντωθεί από ίσες δυνάμεις. Στις χορδές αυτές διαδίδονται ισάριθμα

κύματα συχνοτήτων f1 και f2 = 2f και πλατών Α1 και 12

AA .2

=

Με ποιό ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; α. Για τις ταχύτητες διάδοσης των κυμάτων στις χορδές ισχύει: υ1 = υ2 β. Για τις μέγιστες ταχύτητες κάποιου στοιχειώδους μήκους στην πρώτη και στη δεύτερη χορδή ισχύει: V1< V2. γ. Για τη μήκη κύματος ισχύει: λ2 =2λ1. δ. Για τις μέγιστες επιταχύνσεις κάποιου στοιχειώδους μήκους στην πρώτη και στη δεύτερη χορδή ισχύει: Q2 =2Q1. 96 α) Μια μονοχρωματική ακτίνα φωτός προσπίπτει στη διαχωριστική

επιφάνεια δύο διαφανών μέσων Α και Β κατευθυνόμενη από το Α προς το Β. Ποιες προϋποθέσεις πρέπει να συντρέχουν ώστε η ακτίνα να υποστεί ολική εσωτερική ανάκλαση; β) Ένας δύτης έχει καταδυθεί και βρίσκεται στο μέσο της απόστασης μεταξύ της ήρεμης επιφάνειας του νερού μιας λίμνης και του βυθού της. Είναι δυνατόν ο δύτης, κοιτάζοντας προς την επιφάνεια, να δει ένα τμήμα του βυθού; Δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

23

97 Η αρχή 0 ενός ελατηρίου εκτελεί ταλάντωση. Η εξίσωση του κύματος που

διαδίδεται στο ελατήριο είναι 2 πxy 4 10 ημ 2πt (SI)4

− ⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

. Μια σπείρα

του ελατηρίου έχει μάζα 10gr. Ζητούνται: α. Η μέγιστη δύναμη που δέχεται η σπείρα β. Η σταθερά της ταλάντωσης της σπείρας. γ. Η ενέργεια της σπείρας. (Δίνεται 2π 10) 98 Σ’ένα σημείο 0, στην ελεύθερη εκτεταμένη επιφάνεια νερού που ηρεμεί,

πέφτουν με σταθερό ρυθμό 120 σταγόνες το λεπτό. Δημιουργείται έτσι ένα επιφανειακό αρμονικό κύμα, το οποίο θεωρούμε εγκάρσιο. Το πλάτος ταλάντωσης της πηγής 0 είναι σταθερό, ίσο με Α. Παρατηρούμε ότι κατά μήκος μιας ακτίνας διάδοσης 0x του κύματος, σχηματίζονται 6 διαδοχικά «όρη» τα οποία καλύπτουν απόσταση 3m.

α. Να βρείτε την περίοδο και το μήκος κύματος β. Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος; 99 Ένα κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού (ομογενούς) ελαστικού

μέσου με εξίσωση 1t xy 4 ημ2π (SI)2 4

⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

α. Ποια είναι η εξίσωση που πρέπει να έχει ένα δεύτερο κύμα που διαδίδεται στο ίδιο μέσο, ώστε συμβάλλοντας με το πρώτο να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα; β. Ποιά η εξίσωση του στάσιμου κύματος; γ. Ποια η εξίσωση ταλάντωσης ενός σημείου του μέσου που χαρακτηρίζεται «κοιλία» και ποια ενός σημείου που χαρακτηρίζεται «δεσμός» 100 Σημειακή πηγή 0 παραγωγής κυμάτων κατά μήκος ενός γραμμικού

ελαστικού μέσου 0x, έχει εξίσωση απομάκρυνσης y = 0,02 ημ(10πt – φ0) (S.I.). Δίνετε ότι η πηγή τη χρονική στιγμή t = 0 έχει απομάκρυνση y = -0,02m και ότι, όταν αυτή διέρχεται από τη θέση ισορροπίας 0 για δεύτερη φορά το κύμα έχει διαδοθεί κατά x = 0,15m. Να βρείτε:

α. Την αρχική φάση φο, το μήκος κύματος και την συχνότητα

24

β. Την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. ΜΕΡΟΣ 4ο

ΘΕΜΑΤΑ Θ3 101 Ημιτονοειδές εγκάρσιο κύμα πλάτους Α = 0,2m διαδίδεται κατά μήκος

γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x’x. Η εξίσωση δόνησης της πηγής 0, που βρίσκεται στην αρχή του άξονα x’x, είναι y = Aημωt. Στο σχήμα που ακολουθεί δίνεται η γραφική παράσταση της φάσης του κύματος σε συνάρτηση με την απόσταση x από την πηγή τη χρονική στιγμή t = 2sec.

α. Να βρείτε την περίοδο του κύματος, τη συχνότητα, την κυκλική συχνότητα και το μήκος κύματος. β. Πόση είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. γ. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. δ. Να βρείτε για τη χρονική στιγμή t = 8 sec και για το σημείο Μ του ελαστικού μέσου, το οποίο απέχει από την πηγή 0 απόσταση x = 2m. i) την απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας ii) την ταχύτητά του iii) την επιτάχυνσή του. ε. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t = 2sec στ. Την ενέργεια ταλάντωσης μορίου του ελαστικού μέσου μάζας στοιχειώδους Am= 2mgr (Δίνεται 2π 10) 102 Το άκρο 0 ενός οριζόντιου γραμμικού ελαστικού μέσου αρχίζει τη

χρονική στιγμή t= 0 να εκτελεί κατακόρυφη και αμείωτη ταλάντωση με

25

εξίσωση y = 0,2ημ 10πt (S.I) οπότε διαδίδεται κατά μήκος του ημιάξονα 0x κύματα με u = 2m/sec

α. Ποιο το πλάτος του κύματος, η περίοδος, η συχνότητα και το μήκος κύματος; β. Να υπολογίσετε το χρόνο που απαιτείται για να αρχίσει να ταλαντώνεται σημείο Μ του ελαστικού μέσου, που απέχει από την πηγή 0 απόσταση xΜ = 4m. γ. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σημείου Μ και να υπολογίσετε την τιμή τους τη χρονική στιγμή t1 = 2,05sec. δ. Ποια είναι η φάση της ταλάντωσης του σημείου Μ τη χρονική αυτή στιγμή; ε. Πόσο απέχει από το Μ ένα άλλο σημείο Ν του ελαστικού μέσου το οποίο

την ίδια χρονική στιγμή (t1 = 2,05sec) έχει φάση ταλάντωσης Ν2πφ rad3

= ;

Ποια η φορά διάδοσης του κύματος; στ. Να παραστήσετε γραφικά τη φάση της ταλάντωσης του σημείου Μ σε συνάρτηση με το χρόνο (Δίνεται 2π 10) 103 Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού

ομογενούς ελαστικού μέσου με ταχύτητα υ = 2m/sec. Το πλάτος του κύματος είναι Α = 2cm και η περίοδός του Τα = 0,2sec. Το σημείο 0 του ελαστικού μέσου είναι η πηγή του κύματος και τη χρονική στιγμή t = 0 έχει απομάκρυνση ταλάντωσης y = 2cm. Η ταλάντωση του σημείου 0 διαδίδεται δεξιότερα του 0, στο θετικό ημιάξονα Οx.

α. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος, την αρχική φάση φο της πηγή και να γράψετε την εξίσωση της πηγής και του κύματος που δημιουργεί αυτή. β. Να βρείτε την εξίσωση του στιγμιότυπου του κύματος τη χρονική στιγμή t1 = 0,6sec και να την παραστήσετε γραφικά. γ. Ένα σημείο Μ της ημιευθείας OX απέχει από το Ο απόσταση ΧΜ = 0,7m. Να παραστήσετε γραφικά σε συνάρτηση με το χρόνο την απομάκρυνση του σημείου Μ από τη θέση ισορροπίας του. δ. Να παραστήσετε γραφικά τη φάση της ταλάντωσης των σημείων του ημιάξονα OX σε συνάρτηση με την απόστασή τους Χ από το Ο τη χρονική στιγμή t1 = 0,6sec ε. Να παραστήσετε γραφικά σε συνάρτηση με το χρόνο τη φάση ταλάντωσης του σημείου Μ του ερωτήματος (γ).

26

104 Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνονται τα στιγμιότυπα ενός στάσιμου

εγκάρσιου κύματος της χρονικές στιγμές T 3Tt 0, t , t4 4

= = = . Το στάσιμο

κύμα προκύπτει από δύο αρμονικά κύματα συχνότητας f = 5HZ το καθένα, που διαδίδονται στον ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο. Για το σημείο 0 του σχήματος θεωρούμε x (0) = 0. Να βρεθούν:

α. Το πλάτος Α των κυμάτων που συμβάλλουν και δίνουν το στάσιμο αυτό, το μήκος κύματος λ και την ταχύτητα διάδοσης. β. Οι εξισώσεις των κυμάτων που συμβάλλουν. γ. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος. δ. Η απομάκρυνση yB ενός σημείου Β του σχήματος τη χρονική στιγμή

11t sec40

= το πλάτος ταλάντωσης του Β, την ταχύτητα του σημείου Β.

Δίνονται 7π 7πημ 0,809, συν 0,58810 10

= = −

105 Δύο σύγχρονες πηγές Π1, Π2 αρμονικών κυμάτων βρίσκονται στην

επιφάνεια υγρού και σε απόσταση d = 20cm. Οι δύο πηγές ταλαντώνονται με την εξίσωση y = 0,02ημ 10πt (S.I) Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στο υγρό είναι υ = 0,25m/sec.

α. Πότε θα αρχίσει να ταλαντώνεται ένα σημείο Μ του υγρού που βρίσκεται σε απόσταση 40cm από την Π1 και 55cm από την Π2;. β. Ποια η απομάκρυνση του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t = 0,875sec; γ. Ποια η εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Μ λόγω της συμβολής και των δύο κυμάτων; δ. Να βρείτε τον αριθμό των σημείων του ευθυγράμμου τμήματος που ταλαντώνονται με πλάτος, 0,04m μετά τη στιγμή t = 2,2sec. ε. Να βρείτε τον αριθμό των σημείων του ευθυγράμμου τμήματος που μένουν συνεχώς ακίνητα μετά τη στιγμή t = 2,2sec

27

στ. Να σχεδιάσετε του κροσσούς συμβολής. ΜΕΡΟΣ 5ο

ΘΕΜΑΤΑ Θ4 106 Σ’ένα ομογενές ελαστικό μέσο τα υλικά σημεία Π1 και Π2 με (Π1 Π2 ) =

20cm είναι σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων με συχνότητα f = 5Hz , πλάτος Α = 4cm και μήκος κύματος λ = 4cm. Στο μέσο 0 του Π1 Π2 τη χρονική στιγμή to = 0 τα κύματα συναντώνται και το υλικό σημείο 0 ταλαντώνεται. Αν για την ταλάντωση του 0 m χρονική στιγμή t0 = 0 είναι y = 0 και υ>0:

α. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που προκύπτει από την συμβολή των δύο κυμάτων. β. Να βρείτε τις θέσεις και τον αριθμό των δεσμών και των κοιλιών που δημιουργούνται μεταξύ των Π1 και Π2. γ. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης y σε συνάρτηση με το χρόνο για τη δεύτερη προς τα δεξιά κοιλία μετά το Ο και να σχεδιάσετε τη γραφική παράστασή της. 107 Στην αρχή 0 θετικού ημιάξονα Οy υπάρχει πηγή που παράγει αρμονικά

κύματα και τη χρονική στιγμή t = 0, στη θέση x = 0, αρχίζει την ταλάντωσή της. Τα κύματα διαδίδονται προς τη θετική φορά του ημιάξονα Οx με ταχύτητα υ = 1m/sec. Η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής είναι της μορφής y = 20ημ4πt (t→sec, y →cm)

Α. α)Ένα σημείο (Μ) του ελαστικού μέσου απέχει από την πηγή απόστασης xΜ=2m.. Να υπολογιστεί η χρονική στιγμή, που θα αρχίσει, να ταλαντώνεται το σημείο Μ. β) Να γράψετε την εξίσωση κύματος και στη συνέχεια να υπολογίσετε την απομάκρυνση και την ταχύτητα του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t1 = 3sec. Β. Στον ημιάξονα Ox και σε απόσταση d = 0,5m από τη πηγή τοποθετούμε υλικό πάχους l = 0,6m. Το κύμα διαδίδεται εντός του υλικού αυτού με μήκος κύματος 0,2m και εξέρχεται χωρίς απώλεια ενέργειας ή μετατροπή σε άλλη μορφή α) Ποια χρονική στιγμή θα αρχίσει να ταλαντώνεται το σημείο Μ του ερωτήματος Α α;

28

β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος μέσα στο υλικό, αφού θεωρήσετε ως χρονική στιγμή t = 0 τη στιγμή που εισχωρεί το κύμα στο υλικό. Γ. Να προσδιορίσετε τα σημεία του ημιάξονα Ox1, εντός του υλικού, τα οποία βρίσκονται σε θέση θετικού πλάτους τη χρονική στιγμή t = 2,9sec. 108 Πηγή αρμονικών κυμάτων βρίσκεται στην άκρη O μιας χορδής (χ = 0)

οριζόντιας και διεγείρεται κατά το θετικό ημιάξονα οy τη χρονική στιγμή t = 0.Τα κύματα που παράγει έχουν συχνότητα f = 4Hz, μήκος κύματος λ = 0,5m και πλάτος Α = 20cm.

Α. α)Να βρεθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος β) Η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής γ) Η εξίσωση ταλάντωσης του κύματος Β. Για τη χρονική στιγμή t = 2sec α) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος. β) Να παραστήσετε γραφικά τη φάση των σημείων της χορδής σε συνάρτηση με την απόστασή τους από την πηγή. Γ. Αν ένα σημείο Μ της χορδής απέχει xΜ = 3m να παραστήσετε γραφικά σε συνάρτηση με το χρόνο τη φάση του σημείου Μ. Δ. Υποθέτουμε ότι τμήμα της χορδής μάζας m = 20gr συνδέεται με ελατήριο σταθεράς Κ στο σημείο Μ του ερωτήματος Γ όπως το σχήμα.

Το ελατήριο βρίσκεται σε θέση φυσικού μήκους α) Να βρείτε την σταθερά Κ αν η πηγή O ταλαντώνεται σε συντονισμό με το ελατήριο β) Να βρεθεί το πλάτος του διαμήκους κύματος, που διαδίδεται στο ελατήριο. 109 Στην ήρεμη επιφάνεια νερού διαδίδονται αρμονικά κύματα εγκάρσια με

ταχύτητα υ = 2m/sec κατά τη διεύθυνση του άξονα x’x. Τη χρονική

29

στιγμή t = 0 η πηγή του κύματος (x = 0) βρίσκεται στη θέση ισορροπίας

της (y = 0) και κινείται κατά τον άξονα 0y με πλάτος 2Α m.2

= .

Στη διεύθυνση x’x διάδοσης του κύματος στα σημεία Α, Β υπάρχουν δύο έντομα, τα οποία παραμένουν στην επιφάνεια του νερού αν η περίοδος της ταλάντωσης της πηγής υπερβαίνει τα 0,1 sec. Οι αποστάσεις των εντόμων από την πηγή είναι: xA = 2m και xB = 2,5m.

Α. Να γράψετε την εξίσωση της πηγής και την εξίσωση του κύματος που πρέπει να διαδίδεται, ώστε τα έντομα να παραμείνουν οριακά στην επιφάνεια του νερού. Β. α) Να υπολογίσετε την μέγιστη απόσταση στην οποία μπορούν να βρεθούν μεταξύ τους τα δύο έντομα. β) Ποια χρονική στιγμή θα συμβεί αυτό για πρώτη φορά; γ) Ποια η ταχύτητα ταλάντωσης των εντόμων τότε; δ) Αν η μάζα του εντόμου είναι m = 5gr, ποια είναι η ενέργειά του για τη θέση του ερωτήματος Β α. (Δίνεται 2π 10) Γ. Αν η περίοδος της πηγής δεν υπερβεί τα 0,1sec με ποια διαφορά χρόνου εγκαταλείπουν τα έντομα την επιφάνεια του νερού; 110 Μια γυάλινου πλάκα μικρού πάχους και μάζας m = 0,5k gr είναι

βυθισμένη μέσα σε υγρό με δείκτη διάθλασης η. Η πλάκα ισορροπεί σε οριζόντια θέση στερεωμένη στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς K = 50Nt/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στον πυθμένα του δοχείου όπως στο σχήμα.

Ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού είναι γ

3n2

= .

30

Α. Μια λεπτή μονοχρωματική δέσμη πέφτει στην πλάκα με γωνία θα. Μεταβάλλονται τη γωνία πρόσπτωσης παρατηρούμε ότι όταν είναι μεγαλύτερη των 60ο , η δέσμη παθαίνει ολική ανάκλαση στη γυάλινη πλάκα. Να υπολογίσετε το δείκτη διάθλασης η του υγρού. Β. α) Αν η συχνότητα της μονοχρωματικής δέσμης είναι να υπολογίσετε το μήκος κύματος λ0 στο κενό. Τι χρώμα είναι η δέσμη αυτή; β) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος της δέσμης στο υγρό. Τι χρώμα θα έχει η δέσμη στο υγρό; Γ. Πιέζουμε με την πλάκα διατηρώντας την οριζόντια, ώστε το ελατήριο να συσπειρωθεί κατά Α = 0,1m και τη χρονική στιγμή t = 0 την αφήνουμε ελεύθερη. Λόγω του υγρού η πλάκα δέχεται δύναμη αντίστασης της μορφής F΄ = -bυ, όπου υ η ταχύτητά της. Τη χρονική στιγμή r = 2T, όπου Τα η περίοδος της

ταλάντωσης, το πλάτος έχει γίνει Α2

. Να θεωρήσετε ότι η περίοδος Τ είναι ίση

με την περίοδο της ελεύθερης ταλάντωσης του συστήματος πλάκα – ελατήριο. Να υπολογίσετε: Α) Τη σταθερά Λ της ταλάντωσης Β) Το πλάτος αυτής τη ταλάντωσης σε χρόνο t = 4T Γ) Τη μεταβολή της ενέργειας της ταλάντωσης μεταξύ των χρονικών στιγμών 2Τ και 4Τ Δίνεται η ταχύτητα του φωτός στο κενό C = 3 · 108m/sec και e2 = 7,4.

55

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΚΥΜΑΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΕΡΟΣ 1ο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ – ΛΑΘΟΥΣ (Σ – Λ) 56 (Σ), 57 (Λ), 58 (Λ), 59 (Σ), 60 (Λ), 61 (Λ), 62 (Λ), 63 (Σ), 64 (Σ), 65 (Σ), 66 (Σ), 67 (Λ), 68, (Λ), 68 (Λ), 69 (Σ), 70(Λ), 71 (Σ), 71 (Σ), 73 (Σ), 74 (Λ), 75 (Λ), 76 (Σ), 77 (Λ), 78 (Λ), 79 (Σ), 80 (Σ) ΜΕΡΟΣ 2ο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 81 (α), 82 (δ), 83 (δ), 84 (δ), 85 (β), 86 (δ), 87 (α), 88(δ), 89 (γ), 90 (γ). ΜΕΡΟΣ 3ο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ – ΛΑΘΟΥΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ – ΘΕΜΑΤΑ Θ2 91 α. Τη 1t 0= όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου πλην των δεσμών βρίσκονται στη μέγιστη απομάκρυνση (Α) από τη Θ.Ι. Επειδή ταλαντώνονται όλα με την ίδια συχνότητα, θα περάσουν ταυτόχρονα

από τη Θ.Ι. άρα το (2) αντιστοιχεί στη 2Tt4

= . Στο στιγμιότυπο (3) πάλι

βρίσκονται σε θέση (Α) άρα το στιγμιότυπο αντιστοιχεί στη 3Tt2

= άρα η

(α) σωστή.

β. Επειδή το (2) αντιστοιχεί στη 2Tt4

= και το (3) στη 3Tt2

=

συμπεραίνουμε ότι τη t3 το σημείο Α θα βρεθεί στη θέση Α΄ και το σημείο Β στη θέση Β΄. Επομένως το Α κινείται προς τη θετική κατεύθυνση και το Β προς την αρνητική άρα η πρόταση (β) σωστή. γ. Τα σημεία Γ, Δ, βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών και η διαφορά φάσης μεταξύ των ταλαντώσεων που εκτελούν είναι ίση με μηδέν άρα η πρόταση (γ) σωστή.

56

δ. Τη χρονική στιγμή 2t Δt+ , όπου TΔt4

< , το σημείο Α το οποίο κινείται

προς τη θετική κατεύθυνση έχει απομάκρυνση A 0y 2y< και επομένως έχει και κινητική ενέργεια λόγω της ταλάντωσής του. άρα η πρόταση (δ) λάθος. 92. α. Στο στιγμιότυπο (1) όλα τα μόρια του ελαστικού μέσου, πλην των δεσμών, βρίσκονται στη μέγιστη απομάκρυνση (Α) από τη Θ.Ι. και επομένως έχουν μηδενική ταχύτητα κινητικής ενέργειας. Το διάγραμμα Κ = f(x) που αντιστοιχεί στο στιγμιότυπο αυτό είναι το (ΙΙ) άρα η πρόταση (α) σωστή β. Στο στιγμιότυπο (2) όλα τα σημεία διέρχονται από τη Θ.Ι. τους. Η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης για τα διάφορα σημεία του ελαστικού

μέσου είναι 04π x 2πV συν2π συν tT 2 Τ

= .

Για 1t t= είναι V = 0, επομένως 12πσυν t 0Τ

= και

13Tγια t t4

1 0 1

10 1

00 0 0

2π 4π x 3Tημ t 1 V y συν2π tΤ Τ λ 4

4π x 2πt 3π 2π 3πy συν2π συν συν ημ t ημΤ λ T 2 Τ 2

4πy x x 4πV συν2π V V συν2π (2) όπου V yΤ λ λ Τ

= + ⎛ ⎞= ± ⎯⎯⎯⎯→ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − →⎜ ⎟⎝ ⎠

→ = ± → = ± =

(2)2 2 2 20 0

20 0

1 1 2πx 2πxΆρα K mV K mV συν Κ Κ συν (3)2 2 λ λ

1με Κ mV2

= ⎯⎯→ = → =

=

Συμπεραίνουμε από την (3) ότι στο στιγμιότυπο (2) αντιστοιχεί το διάγραμμα Κ = f(x) του σχήματος III άρα η πρόταση (β) σωστή γ. Τη χρονική στιγμή t2 το μόριο Α κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση ενώ το μόριο Β κινείται προς τη θετική κατεύθυνση ενώ το μόριο Β κινείται προς τη θετική κατεύθυνση. Οι ταχύτητες της ταλάντωσής του είναι:

A 0 B 04π 4πV y και V yΤ Τ

= − =

57

άρα η πρόταση (γ) σωστή

δ. Τα μόρια Γ, Δ ταλαντώνονται με αντίθεση φάσης, όπως φαίνεται στο στιγμιότυπο (1)

άρα η πρόταση (δ) λάθος

93. A 2cmy 2ημ20πt

2πy Aημωt ω 20π rad / sec 20π Τ 0,1 secΤ

== ⎫⎬= = → = → =⎭

α. Αρνητική κατεύθυνση άρα

t xy Aημ2πT λ

t x x2ημ2π y 2ημ2π 10t ,(x, y cm, t sec)0,1 20 20

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + → = + → →⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

άρα η (α) σωστή

β. Α Β40 40φ φ 2π(10t ) 2π 10t 4π 4π 8π rad20 20

−⎛ ⎞− = + − + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

άρα η (β) Σωστή

γ. x 2π xV ωΑσυν2π 10t Ασυν2π 10t20 Τ 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2π 402συν2π 10 3 40πσυν28 2π 40πσυν0 40π 10,1 20

V 40π m /sec

−⎛ ⎞= ⋅ + = ⋅ = ° = ⋅ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

=

άρα η (γ) λάθος

δ. λ 0,2υ m /s υ 2m /secΤ 0,1

= = → =

άρα η (δ) σωστή 94.

58

2A 0,2 A 0,1mπx πty 0,2 συν ημ (S.I.)2πx πx3 6 λ 6m

2πx 2πt λ 3y 2Aσυν ημ2πt πtλ T T 12secT 6

= → =⎫= ⎪⎪ = → =⎬⎪=⎪⎭ = → =

άρα η (α) σωστή.

β. 1 1t x t xy Aημ2π y 0,1ημ2π , (S.I.)T λ 12 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − → = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2t x t xκαι y Aημ2π y 0,1ημ2π (S.I.)T λ 12 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + → = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

άρα η (β) σωστή

γ. λ λ 3λ 3 6d m d 4,5m4 2 4 4

⋅= + = = → =

δ. λ 6υ m / sec υ 0,5 m /secΤ 12

= = → =

άρα η (δ) Λάθος 95. α. Επειδή οι χορδές είναι από το ίδιο υλικό, έχουν τεντωθεί από ίσες δυνάμεις άρα είναι ίδιες πηγές και τα κύματα που δημιουργούν, διαδίδονται στο ίδιο μέσο, επομένως οι ταχύτητες διάδοσης των κυμάτων θα είναι ίσες

1 2υ υ= άρα η (α) σωστή

β. 12 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1

AV ω Α 2πf A 2π2f 2πf A ω Α V V V2

= = = = = = ⇒ =

άρα η (β) Λάθος

γ. 1 22 2 2 υ υ2 2 1 1 2 1

1 1 1

υ λ fλ f λ f λ 2 f

υ λ f== ⎫

⎯⎯⎯→ = →⎬= ⎭1 1λ f= 1 2λ 2λ→ =

άρα η (γ) Λάθος δ.

59

2 2 2 2 2 2 2 212 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1

Aα ω Α 4π R A 4π 4f 2 4π f A 2ω Α 2α α 2α2

= = = = ⋅ = = → =

άρα η (δ) σωστή 96. α) 1) Το φως κατευθύνεται από το οπτικά πυκνότερο προς το οπτικά αραιότερο μέσο. 2) γωνία πρόσπτωσης α critθ θ> β)

Το αντικείμενο Σ φωτίζεται από ακτίνες που πέφτουν στην επιφάνεια και φτάνουν σ’ αυτό. Το Σ εκπέμπει δευτερογενώς ακτίνες προς την επιφάνεια. Όσες απ’ αυτές (βλέπε σχήμα (4)) πέφτουν με θα > θcrit θα υποστούν ολική ανάκλαση και θα φτάσουν στο δύτη. 97.

2 2

2

πx xy 4 10 ημ 2πt 4 10 ημ2π t SI4 8

t xαλλά y Aημ2πT λ

A 4 10 mt t T 1sec f 1Hz ω 2πf ω 2π rad / secTx x λ 8mλ 8

− − ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − = ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⇒⎬⎛ ⎞ ⎪= −⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭

⎧⎪ = ⋅⎪⎪ = → = → = → = → =⎨⎪⎪ = → =⎪⎩

α) ( )2 2 2 2 2 4 3maxF mω Α 10 2π 4 10 Νt 4π 4 10 Νt 16 10 Nt− − − −= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

β) 2 2 2 2 2Νt ΝtD mω 10 (2π) 4π 10 0,4 Nt / mm m

− −= = = =

γ) 2 2 4 52

1 1E DA 0,4 (4 10 ) Joule 0,2 16 10 Joule 32 10 Joule2 2

− − −= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

60

98.

α) 120 1f Hz f 2Hz T T 0,5 sec

60 f= → = → = → =

6 διαδοχικοί όροι d 5λ 3 5λ λ 0,6m⇒ = → = → = β) V λf (0,6 2)m /sec υ 1,2m /sec= = ⋅ → = 99.

1

1

Α 4mt xy 4ημ2π (S.I.)2 4 t t 2π 2π radT 2sec ω π

T 2 Τ 2 sect xy Aημ2π x xT λ λ 4mλ 4

=⎫⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪ = → = → = = =⎬⎛ ⎞ ⎪= −⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭ = → =

α) Η εξίσωση του κύματος που συμβάλλει με αυτό που δόθηκε και δημιουργεί στάσιμο κύμα είναι:

t xy 4ημ2π (S.I.)2 4

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

β) Η εξίσωση του στασίμου που δημιουργείται από την συμβολή των y1 και y2 είναι

1 22πx 2πt 2πx 2πty y y 2Aσυν ημ 2 4συν ημλ T 4 2

πxy 8συν ημπt (S.I.)2

= + = = ⋅ →

→ =

γ) Μια κοιλία ταλαντώνεται με πλάτος 2Α και γωνιακή συχνότητα ω. Ανάλογα με τη θέση της κοιλίας θα έχει αρχική φάση 0 ή π rad. Η εξίσωση της κοιλίας είναι:

K Ky 2Aημωt ή y 2Aημ(ωt π)= = + δηλαδή στην περίπτωσή μας

Ky 8ημπt (S.I.)= ή Ky 8ημ(πt π) S.I.= +

61

Παράδειγμα τα σημεία Α, Γ έχουν εξίσωση: Ky 8ημπt (SI)= τα σημεία Β, Δ έχουν εξίσωση: ( )Ky 8ημ πt π (SI)= + Ένας δεσμός (δ) του σχήματος έχει εξίσωση δy 0= 100

α) 0

0

Α 0,02my 0,02ημ(10πt φ )rady Aημ(ωt φ ) ω 10π 2πf 10π f 5Hzsec

== − ⎫⎬= − = → = → =⎭

0

t 0,y 0,02m0 0

0 φ 2π0 0 0 0κ 0

y 0,02ημ(10πt φ ) 0,02 0,02ημ( φ )π π1 ημφ ημφ 1 φ 2κπ φ rad2 2

= =−

≤ ≤=

= − ⎯⎯⎯⎯⎯→− = − →

− = − → = → = + ⎯⎯⎯⎯→ =

Ο χρόνος που απαιτείται για να περάσει από τη θέση ισορροπίας για 2η

φορά είναι 3T 3 3t sec 0,15sec4 4f 4 5

= = = =⋅

πηγή π πy 0,02ημ(10πt ) 0,02ημ 10πt y 0,02συν10πt (SI)2 2

⎛ ⎞= − = − − → = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

β) Ταχύτητα διάδοσης κύματος x 0,15υ m /sec υ 1m / sec

t 0,15= = → =

υ 1άρα υ λf λ m λ 0,2mf 5

= → = = → =

ΜΕΡΟΣ 4ο ΘΕΜΑΤΑ Θ3 101

62

Η φάση δίνεται από την εξίσωση t xφ 2π (1)T λ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

α) Από το σχήμα προκύπτει: Για x = 0 φ = 10π

2 2άρα (1) 10π 2π 0 5 Τ 0,4sec f 2,5HzΤ Τ

ω 2πf ω 2π2,5 rad / sec ω 5π rad / sec

⎛ ⎞→ = − → = → = → =⎜ ⎟⎝ ⎠

= → = → =

Από το σχήμα προκύπει: Για x = 2 φ = 0 2 2 2 2άρα (1) 0 2π λ 0,4m

0,4 λ 0,4 λ⎛ ⎞⇒ = − → = → =⎜ ⎟⎝ ⎠

β) υ λf (0,4 2,5)m / sec υ 1m /sec= = ⋅ → =

γ) t x t xy Aημ2π y 0,2ημ2πT λ 0,4 0,4

y 0,2ημ2π(2,5t 2,5x) (SI)

⎛ ⎞⎛ ⎞= − → = − →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= −

δ) i) (2)

MΓια t 8sec y 0,2ημ2π(2,5 8 2,5 2) 0,2ημ2π15= ⎯⎯→ = ⋅ − ⋅ = →

M My 0,2ημ30π y 0= → =

ii) Μt xυ ωΑσυν2π 5π 0,2συν30π π συν30π π 1m /secT λ

⎛ ⎞= − = ⋅ = ⋅ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Μυ π m /sec( 3,14m /sec)= = iii) 2

Μ M Μα ω y α 0= − → = ε) βήματα • μορφή t 2secy 0,2ημ2π(2,5t 2,5x) y 0,2ημ2π(5 2,5x)== − ⎯⎯⎯→ = − → y 0,2ημ(10π 5πx) 0,2ημ( 5πx) y 0,2ημ5πx (SI)= − = − → = − •• Μέχρι πού φτάνει; 5 2, 5x 0 x 2m− ≥ → ≤ ••• Πώς αρχίζει; Για x = 0, t = 2sec y 0,2ημ10π 0→ = =

στ) 2 2 2 6 2 2

ταλ1 1 1Ε DA (Δm)ω Α 2 10 (5π) 0,2 Joule2 2 2

−= = = ⋅ ⋅ ⋅ = 6 2 2 8 3 5

ταλ10 25π 4 10 Joule 10 10 Joule E 10 Joule− − − −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ =

63

102

α) A 0,2my 0,2 ημ10πt

rady Aημωt ω 10π 2πf 10π f 5Hzsec

== ⎫⎬= = → = → = →⎭

1T T 0,2secf

→ = → =

β) MM M

x 4t sec t 2secυ 2

= = → =

γ) MM M

t x t 4y Aημ2π y 0,2ημ2π 1T λ 0,45

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞= − → = − →⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

My 0,2ημ2π(5t 10)(SI) (1)= −

MΜ M

Μ

t xυ ωΑσυν2π υ 10π 0,2συν2π(5t 10)1 λ

υ 2πσυν2π(5t 10) (SI) (2)

⎛ ⎞= − → = ⋅ − →⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

2 2MΜ Μ

2Μ Μ

t xα ω Αημ2π α (10π) 0,2ημ2π(5t 10)T λ

α 100π 0,2ημ2π(5t 10) α 200ημ2π(5t 10) SI

⎛ ⎞= − − → = − ⋅ − →⎜ ⎟⎝ ⎠

= − − → = − −

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ

1Για t t 2,05secM

M

(1) y 0,2ημ2π(5 2,05 10) 0,2 ημ2π0,25π0,2ημ0,5π 0,2ημ y 0,2m2

= =⎯⎯⎯⎯⎯→ = ⋅ − = ⋅ =

= = → =

64

1

1

1

Για t t 2,05secΜ Μ

Για t t 2,05sec 2Μ

2Μ

Για t t 2,05secΜ Μ

π(2) υ 2πσυν2π(5 2,05 10) 2πσυν 0 υ 02

π(3) α 200ημ2π(5 2,05 10) 200ημ 200m /sec2

α 200m /secπδ) φ 2π(5t 10) φ 2π (5 2,05 10) rad2

φ

= =

= =

= =

⎯⎯⎯⎯⎯→ = ⋅ − = = ⇒ =

⎯⎯⎯⎯⎯→ = − ⋅ − = − = −

= −

= − ⎯⎯⎯⎯⎯→ = ⋅ ⋅ − = →

→ Μ

1 MΜ

1 N 1 MΝ Μ

1 NΝ

M N M NΝ Μ

π rad2

t xφ 2πT λ t x t xε) φ φ 2π

T λ T λt Xφ 2πT λ

X X 2π π X X π Δxφ φ 2π 2π 2πλ 3 2 λ 6 0,4

0,4π 40 1Δx m Δx m Δx m12π 120 3

=

⎫⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎪ ⎛ ⎞− = − − + →⎬ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎪= −⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭

− −→ − = ⇒ − = ⇒ = →

= → = → =

Επειδή Μ Νφ φ< η διάδοση του κύματος γίνεται από το Ν προς το Μ, όπως φαίνεται και στο σχήμα. στ) Μ Mφ 2π(5t 10) φ 10πt 20π (SI)= − → = −

με 10πt 20π 0 t 2sec− ≥ → ≥

Για Μt 2sec φ 0= → = Για Μt 3sec φ 10πrad= → = 103.

α) υ 2υ λf λ m λ 0,4mf 5

= → = = → =

65

1 1f Hz f 5HzT 0,2

radω 2πf 2π5 ω 10πsec

= = → =

= = → =

Εύρεση φ0 πηγή: t 0,y 2cm

0 0 0 0y Aημ(ωt φ ) 2 2ημφ ημφ ημφ 1= == + ⎯⎯⎯⎯→ = → → = →

00 φ 2π0 0κ 0

π πφ 2κπ φ rad2 2

≤ ≤=→ = + ⎯⎯⎯⎯→ =

πηγή: (0)πy 0,2ημ(10πt ) SI (1)2

= +

κύμα: 2πt π 2πx t π xy Aημ y 0,02ημ 2π 2πT 2 λ 0,2 2 0,4

⎛ ⎞⎛ ⎞= + − → = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

πy 0,02ημ(10πt 5πx) (SI) (2)2

= + −

β) 1Για t t 0,6sec π(2) y 0,02ημ(10π 0,6 5πx)2

= =⎯⎯⎯⎯⎯→ = ⋅ + − →

13πy 0,02ημ 5πx (SI)2

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

βήματα

• 13π 5πx 0 x 1,3m2

− ≥ → ≤

• 13π π πy 0,02ημ 5πx 0,02ημ 6π 5πx 0,02ημ 5πx

2 2 20,02συν50 (SI)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = + − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

• Για x 0 y 0,02συν0 y 0,02m= → = → =

γ) Η εξίσωση του σημείου Μ προκύπτει:

66

( )

MΓια x x 0,7mM

M

π(2) y 0,02ημ 10πt 5π 0,72

π 70,02ημ 10πt π 0,02ημ 10πt 3π2 2

y 0,02ημ(10πt 3π) (SI)

= = ⎛ ⎞⎯⎯⎯⎯⎯→ = + − ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + − = − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

βήματα • 10πt 3π 0 t 0,3sec− ≥ → ≥

• My 0,02ημ(10πt 3π) 0,02ημ(3π 10πt)0,02ημ(2π π 10πt) 0,02ημ(π 10πt) 0,02ημ10πt (SI)= − = − − =

= − + − = − − = −

δ) 1(t )

13πφ 5πx (SI)2

= −

13π 5πx 0 x 1,3m2

− ≥ → ≤

Για 13πx 0 φ rad2

= → =

x 1,3m φ 0= → = ε) Μφ 10πt 3π (SI)= − 10πt 3π 0 t 0,3sec− ≥ → ≥ Για Μt 0,3sec φ 0= → =

Μt 0,4sec φ πrad= → =

104. α) Από τα στιγμιότυπα προκύπτει 4A 12cm A 3cm= → = λ 50cm λ 100cm ( 1m)2= → = =

υ λf 100 5 m /sec υ 5m / sec= = ⋅ → =

67

β) 11

2 2

t xt x y 3ημ2πy Aημ2π0,2 100T λ

t x t xy Aημ2π y 3ημ2πT λ 0,2 100

⎫⎛ ⎞⎫⎛ ⎞ = −= − ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪⇒ ⇒⎬ ⎬⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎭ ⎝ ⎠⎭

11 2

2

xy 3ημ2π 5tx, y , y cm100

,t secxy 3ημ2π 5t

100

⎫⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎪ →⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎪⎬ ⎜ ⎟→⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎪== +⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎭

γ) x t x ty 2Aσυν2π ημ2π y 6συν2π ημ2πλ T 100 0,2

= ⇒ = ⇒

πxy 6συν ημ10πt50

(x, y cm, t sec)

=

→ →

δ) Το σημείο Β απέχει από το ο

Bλ 100x 10cm 10 cm 35cm4 4

⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

• BB 1

πx π35 1 7π πy 6συν ημ10πt 6συν ημ10π 6συν ημ50 50 40 10 4

= = = =

B26( 0,588) ψμ y 2,5cm

2= − ⇒ = −

• B B

B

B

x πx 7πA 2Aσυν2π 6συν 6συνλ 50 10

6( 0,588) cm A 3,528cm

= = = =

= − → =

• Β Β 1 B 1υ ωΑ συν10πt 2πfA συν10πt= = =

( )

Β

7π 1 22p 5 6συν συν10π 60π 0,588 cm /sec10 40 2

cm25π υ 25π cm /secsec

= ⋅ ⋅ = − =

= − → = −

105. α) Όταν φτάσει το κύμα από τη πηγή Π1

11 1

d 0,4t sec t 1,6secV 0,25

= = → =

68

β) Ο χρόνος για να φτάσει το κύμα από την Π1 είναι 1t 1,6sec= Ο χρόνος για να φτάσει το κύμα από την Π2 είναι

22 2

d 0,55t sec t 2,2secυ 0,25

= = → =

Επειδή 1t 0,875sec t= < άρα δεν έχει φτάσει κανένα κύμα οπότε My 0= γ) Για να συμβάλλουν τα δύο κύματα σημαίνει ότι έχουμε χρόνο t 2,2sec≥ τότε

( )1 2 1 2M M

d d t d dy 2Aσυν2π ημ2π y 0,04ημ2π 5t 0,5 SI2λ T 2λ− +⎛ ⎞= − → = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

1

2

d 55cmd 40cm==

, υλ 5cmf

= =

δ) Πρέπει:

1 2

1 1

1 1

1

d d Nλd (d d ) Nλ

d Nλ2d d Nλ d d Nλ0 d 0 d Nλ 2d22αλλά 0 d d

d dd Nλ d Ν 4 Ν 4λ λ

− = →→ − − = →

+ ⎫− = → = +⎪⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤⎬⎪≤ ≤ ⎭

→ − ≤ ≤ → − ≤ ≤ → − ≤ ≤

άρα Ν = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 οπότε 9 σημεία

ε) Πρέπει: 1 2 1λ λ dd d (2N 1) ... d (2N 1)2 4 2

− = + → → = + +

αλλά

1λ λ0 d d 0 (2N 1) d4 2

9 2N 7 4,5 N 3,5άρα Ν 4, 3, 2, 1,0,1,2,3 οπότε 8 σημεία

≤ ≤ → ≤ + + ≤

→ − ≤ ≤ → − ≤ ≤= − − − −

στ) Σημεία ενίσχυσης:

1Nλ d 5N 20d cm

2 2+ +

= =

69

Για 1N 4 d 0= − → =

15( 3) 20 5N 3 d cm cm 2,5cm

2 2− +

= − → = = =

Ομοίως βρίσκουμε 5cm, 7, 5cm, 10 cm, 12,5cm, 15cm, 17,5cm, 20cm Σημεία απόσβεσης:

[ ]

[ ]

1 1

1

1

λ d 5 20 5d (2N 1) (2N 1) d (2N 1) 10cm4 2 4 2 4

5 5 5Για Ν 4 d 2( 4) 1 10 7 10 cm cm 1,25cm4 4 4

5 5 15N 3 d 2( 3) 1 10 5 10 cm cm 3,754 4 4

= + + = + + → = + +

⎛ ⎞= − → = − + + = − ⋅ + = =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − → = − + + = − ⋅ + = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Ομοίως βρίσκουμε: 6,25 cm, 8,75cm, 11,25cm, 13,75cm 16,25cm, 18,75

70

MΕΡΟΣ 5ο ΘΕΜΑΤΑ Θ4 106.

α) 1

1 2

2

t xy Aημ2πT λ t x t xy y y Aημ2π Αημ2π

T λ T λt xy Aημ2πT λ

⎫⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ = + = − + +⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎪= +⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎭

x t 2πx τy 2Aσυν2π ημ2π y 2 4συν ημ2π 1λ T 45

πxy 8συν ημ10πt2

(x, y cm, t / sec)

⇒ = → = ⋅ →

=

→

β) Αφού λ = 4cm, (Π1Π2) = 20cm = 5λ και στο Ο έχουμε κοιλία τότε στα υλικά σημεία Π1 και Π2 θα έχουμε επίσης κοιλίες

(είναι 2 1λ(OΠ ) (ΟΠ ) 10cm 5 2cm 52

= = = ⋅ = ⋅ )

Για τους δεσμούς ισχύει

Δ Δ

Δ

λx (2κ 1) x (2κ 1)cm10 2κ 1 104

αλλά 10 x 1011 2κ 9 5,5 κ 4,5

άρα κ 5, 4, 3, 2 1,0,1,2,3,4 (10 δεσμοί)

⎫= + → = + ⎪⇒ − ≤ + ≤ →⎬⎪− ≤ ≤ ⎭

→ − ≤ ≤ → − ≤ ≤= − − − − −

ΔΕΣΜΟΙ

Δx 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 cm= + + + + + − − − − − Για τις κοιλίες ισχύει

K K

K

1x K x 2Kcm10 2K 10 5 K 52

αλλά 10 x 10

⎫= → = ⎪→ − ≤ ≤ → − ≤ ≤⎬⎪− ≤ ≤ ⎭

άρα Κ = -5, -4,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 (11 κοιλίες) κοιλίες

Kx 10, 8, 6, 4, 2,0, 2, 4, 6, 8, 10 cm= − − − − − + + + + +

71

γ) Για τη δεύτερη κοιλία προς τα δεξιά του Ο είναι x = + 4 cm λ = 4 cm

άρα π 4y 8συν ημ10πt y 8συν2πημ10πt2⋅

= → = →

π 4y 8συν ημ10πt y 8συν2πημ10πt2⋅

= → = →

y 8 1 ημ10πt y 7 8ημ10πt= ⋅ ⋅ → = = (y cm, t sec)→ →

107. Χρήσιμα στοιχεία

Α. α) y 20ημ4πt (t sec, y cm) A 20cm

ω 4πrad / secαλλά y Aημωt= → → =⎫

⎬ == ⎭

υ 1υ λf λ m λ 0,5mf 2

= → = = → =

ΧΡΟΝΙΚΗ ΣΤΙΓΜΗ

Mx 2t sec t 2secυ 1

= = → =

β) Εξίσωση κύματος t x t xy Aημ2π 0,2ημ2πT λ 0,5 0,5

y 0,2ημ2π(2t 2x) (SI) (1)

⎛ ⎞⎛ ⎞= − = − →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= −

1

M

1

M

Για t 3secMx 2m

M

Μ M

t 3secΜ Μ maxx 2m

(1) y 0,2ημ2π(2 3 2 2) 0,2ημ2π 2 0,2ημ4π

0,2 0 0 y 0υ ωΑσυν2π(2t 2x) υ ωΑσυν2π(2t 2x )

mυ 4π 0,2συν4π 0,8π 1m /sec υ 0,8π υsec

==

==

⎯⎯⎯⎯→ = ⋅ − ⋅ = ⋅ = =

= ⋅ = → == − → = − →

⎯⎯⎯→ = ⋅ = ⋅ → = =

72

Β. α) M

11

11

1

d x (d )tυ υ υ 0,5 0,6 2 (0,5 0,6)t s

1 0,4 1λ 0,2όπου υ m /sec 0,4m / secΤ 0,5

− + ⎫= + + ⎪ − +⎛ ⎞⎪⇒ = + +⎬ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪= = =

⎪⎭

l l

1 1t (0,5 1,5 0,9)sec t 2,9sec→ = + + → =

β) Εξίσωση κύματος μέσα στο υλικό

1

t x t xy Aημ2π 0,2ημ2πT λ 0,5 0,2

y 0,2ημ2π(2t 5x) SI (2)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

→ = −

Γ. Για y 0,2m(2) 0,2 0,2ημ2π(2t 5x)=⎯⎯⎯⎯→ = − →

Για t 2,9sec

π 8t 4κ 1ημεπ(2t 5x) 1 2π(2t 5x) 2κπ x2 20

1,11 κx (3)5

=

− −− = → − = + → =

−⎯⎯⎯⎯→ =

Βρίσκουμε τις τιμές του x που ικανοποιούν την ανισότητα 4,39 κ 1,391,11 κ0,5 1,1 κ 4, 3, 2επειδή κ5− < < − ⎫−

< < → ⇒ = − − −⎬∈ ⎭

(3)1

(3)2

(3)3

Για κ 4 x 1,022m δεκτή

κ 3 x 0,822m δεκτή

κ 2 x 0,622m δεκτή

= − ⎯⎯→ =

= − ⎯⎯→ =

= − ⎯⎯→ =

108.

Α. α) φ 4Hz

υ λf (0,5 4)m /sec υ 2m /secλ 0,5m= ⎫

⇒ = = ⋅ → =⎬= ⎭

β) Επειδή για t = 0, y = 0 για την πηγή άρα φ0 = 0 οπότε y Aημωt

y 0,2ημ8πt (SI)rad radA 0,2m,ω 2πf 2π4 8πsec sec

= ⎫⎪⇒ =⎬

= = = = ⎪⎭

γ) Κύμα t x xy Aημ2π 0,2ημ2π 4tT λ 0,5

⎛ ⎞⎛ ⎞= − = − →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y 0,2ημ2π(4t 2x) (SI) (1)→ = −

73

Β. α) (1)

Για t 2sec y 0,2ημ2π(8 2x)(SI) (2)= ⇒ = − • 2π(8 2x) 0 x 4m•• y 0,2ημ2π(8 2x) 0,2ημ(16π 4πx) 0,2ημ( 4πx)

0,2ημ4πx (SI)• • • Για x 0 y 0

− ≥ → ≤= − = − = − =

= −= → =

β) φ 2π(8 2x) f 16π 4πx (SI) (3)= − → = − με 16π 4πx 0 x 4m− ≥ → ≤

Για (3)

x 0 φ 16πrad= → = (3)

x 4m φ 0= → =

Γ. (1)

MΓια x x 3m y 0,2ημ2π(4t 2 3)y 0,2ημ2π(4t 6) (SI)

= = ⇒ = − ⋅ →= −

άρα η φάση είναι φ 2π(4t 6) (SI) (4)= −

(4)

(4)

με φ 0 4t 6 0 t 1,5sec

Για t 1,5sec φ 0

t 3sec φ 12πrad

≥ → − ≥ → ≥

= → =

= → =

Δ. α)

74

Αφού έχουμε συντονισμό μεταξύ πηγής και ελατηρίου, θα πρέπει η ιδιοπερίοδος του ελατηρίου (Τ0) να είναι ίση με την περίοδο του κύματος (Τ)

20

2 2 3 2 2

2

m 1 m 1 mT T T 2π 2π 4πK 4 K 16 K

Νt ΝtK 64π m 64π 20 10 128π 10m m

K 1,28π Νt / m

− −

= → = → = → = →

→ = = ⋅ ⋅ = ⋅ →

=

β) Στο ελατήριο θα διαδοθεί ένα διαμηκές κύμα με περίοδο 1T sec4

= και

πλάτους Α΄. Για τη μάζα m σαν τμήμα της χορδής θα έχει

2 2 2μηχ max

1 1E mυ mω Α (5)2 2

= =

Σαν μάζα στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου θα έχει 2 2 2

μηχ 01 1Ε΄ ΚΑ΄ mω Α΄ (6)2 2

= =

Από (5), (6) 0(ω ω )

2 2 2 2μηχ μηχ 0

1 1Ε Ε΄ mω Α mω Α΄ Α΄ Α 0,2m2 2

=

⇒ = ⇒ = → = =

109.

Α. min

λ λυ Τ λ λ0,1 0,1 λ 0,2m λ 0,2mΤ υυ 2με Τ 0,1 sec

⎫= → = ⎪ ≥ → ≥ → ≥ → =⎬⎪≥ ⎭

Εξίσωση πηγής: 2 2y Aημωt ημ20πt (SI) y ημ20πt (SI)

2 2= = → =

Εξίσωση κύματος

75

min

min

t xy Aημ2πT λ

2Για T 0,1sec y ημ2π(10t 5x) SI2

λ 0,2m

⎫⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎪⎪= = −⎬⎪= ⎪⎪⎭

Β. α) Έχουμε B A0,2Δx x x (2,5 2)m 0,5m (2 2 1) m2

= − = − = = ⋅ +

δηλαδή της μορφής 1Δx (2κ 1) , με κ 22

= + =

άρα τα σημεία Α και Β θα έχουν κάθε χρονική στιγμή αντίθεση φάσης δηλαδή αντίθετη απομάκρυνση και αντίθετη ταχύτητα ταλάντωσης. Τα δύο έντομα θα έχουν τη μέγιστη απόσταση μεταξύ τους, όταν οι απομακρύνσεις τους από τη Θ.Ι. θα είναι αντίθετες και μέγιστες.

2 2 2 2 2 2 2B A

2

2

(ΑΒ) (ΑΓ) (ΒΓ) (x x ) 2(A) (2,5 2) 4A

20,5 4 (0,25 42

= + = − + = − + =

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

24 max

max

)m 2,25m d (AB) 2,25

d 1,5m

= ⇒ = = ⇒

⇒ =

β) Το κύμα φτάνει στο σημείο Β τη χρονική στιγμή

BB B

x 2,5t sec t 1,25 secυ 2

= = → =

Απαιτείται όμως χρονικό διάστημα T 0,1Δt sec 0,025 sec4 4

= = =

για να φτάσει το έντομο Β στη θετική μέγιστη απομάκρυνση από τη Θ.Ι. του άρα Bt t Δt (1,25 0,025) sec t 1,27 sec= + = + → = γ) Επειδή έχουμε στα Α και Β μέγιστες αρνητική και θετική απομάκρυνση αντίστοιχα από τη ΘΙ, οι ταχύτητες ταλάντωσης των εντόμων θα είναι μηδέν άρα Α Βυ υ 0= = .

76

δ) 2

2 2 2 3 21 1 1 2Ε DA mω Α 5 10 (20π) J2 2 2 2

− ⎛ ⎞= = = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 2 31 25 10 400π J 5 10 100 10J E 5Joule2 4

− −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

Γ. AB A

x 2Δt΄ t t 1,25 1,25 sec 0,25sec Δt΄ 0,25secυ 2

⎛ ⎞= − = − = − = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

110. Α. Για ολική ανάκλαση Snell:

cγ γθ 60c

3 3n nημθ ημ60 3 32 2

ημ90 n ημ90 n 1 n 2 2n3n 3 n 33

= ° °= ⎯⎯⎯→ = → = ⇒ = →

= = → =

B. a) 15 8

70 0

158

3f 10 Hz c 3 10c λ f λ m 7 10 m7 3f 10c 3 10 m / sec 7

−⎫= ⋅⎪⇒ = → = = = ⋅⎬⎪ ⋅= ⋅ ⎭

0λ 700nm→ = xρώμα ερυθρό

β) 0λ 700nm 700 3 700 3λ nm λ nm 404nmn 3 33

= = = → =

Το χρώμα παραμένει ερυθρό! γιατί f = σταθ. Γ. α) Τη χρονική στιγμή t = 2T το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης της πλάκας είναι

Λ 2Τ2

2

A AeAΑαλλά Α

e

− ⋅ ⎫=⎪⎬

= ⎪⎭

Λ 2Τ Αe− ⋅ = 2ΛΤe e 2ΛΤ ln e 2ΛΤ 1 (1)e

m 0,5αλλά Τ 2π 2π sec 2π0,1sec T 0,2π (2)K 50

→ = → = → =

= = = → =

(1),(2) 1

1

1Aπό 2ΛΤ 1 2Λ0,2π 1 Λ sec0,4π

5Λ sec2π

−

−

⎯⎯⎯→ = → = → = ⇒

=

77

β) Λ 4Τ Λt 44Για t 4T A Ae Α(e )− ⋅ −= → = =

( ) ( )2 2Λ 2Τ ΛΤ ΛΤ2

ΛΤ

Α 1Για t 2T A Ae A e ee e

1e (4)e

− ⋅ − −

−

= → = ⇒ = → =

→ =

Άρα 4

(4)4 42 24 4

1 1 A A A(3) A A A A ( 0,0135)e ee ( e) ( e)

⎛ ⎞⎯⎯→ = = = = → = =⎜ ⎟⎝ ⎠

γ) 2 2

2 24 2 4 2 2

1 1 1 A 1 AΔW E E KA KA K K2 2 2 e 2 e

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2 22

4 2 2 2 4

22

1 A 1 A 1 KA 1 1 1 eK K 1 KA2 e 2 e 2 e e 2 e1 1 7,450 0,1 J 0,03J ΔW 0,03Joule2 7,4

−⎛ ⎞= − = − = =⎜ ⎟⎝ ⎠

−= ⋅ − ⇒ = −

31

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ- ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ – ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΕΡΟΣ 1ο

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ – ΛΑΘΟΥΣ (Σ-Λ) 1→(Λ), 2→(Σ), 3→(Λ), 4→(Σ), 5→(Λ), 6→(Σ), 7→(Σ), 8→(Λ), 9→(Σ), 10→(Σ), 11→(Σ), 12→(Σ), 13→(Σ), 14→(Λ), 15→(Σ), 16→(Λ), 17→(Σ), 18→(Λ), 19→(Σ), 20→(Λ), 21→(Λ), 22→(Σ), 23→(Σ), 24→(Σ), 25 →(Σ) ΜΕΡΟΣ 2ο

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 26 β, 27 β, 28 δ, 29 β, 30 α, 31 β, 32 δ, 33 γ, 34 γ, 35 α ΜΕΡΟΣ 3ο

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΘΕΜΑΤΑ Θ2

36 Από γραφική → x = Aημωt

Α = 0,2m, 2π 2π πω rad / sec ω rad / secΤ 8 4

= = ⇒ =

α. Από γραφική τις χρονικές στιγμές 0,4sec και 8sec x = 0 άρα διέρχεται από θ Ι οπότε u = max (κατά μέτρο

άρα ΣΩΣΤΗ η (α) β. Τις χρονικές στιγμές 2sec και 6sec→ βρίσκεται στις θέσεις +Α και –Α αντίστοιχα Ως γνωστόν α = -ω 2x. Προκύπτει από τη σχέση αυτή ότι, όταν x = u1ax τότε και α = u1ax

άρα ΣΩΣΤΗ η (β) γ. Τη t = 4sec→ x = 0 α = -ω2x → α = 0

άρα ΛΑΘΟΣ η (γ) δ. Τη t = 2sec→ x = +Α και υ2 = 0

32

t = 7sec→ x = -x1 κινούμενο προς τη Θ.Ι άρα U7>0 άρα ΛΑΘΟΣ η (δ)

37 α. maxυ υ συνωt άρα x Aημωt= =

Από τα διαγράμματα U = f (t) και x = f(t) παρατηρούμε ότι τις 0, 4sec και 8sec είναι x = 0 → διέρχεται από Θ. Ι

άρα ΣΩΣΤΗ η (α) β. Μέτρο επιτάχυνσης είναι: 2α ω x= Από το x = f(t) προκύπτει ότι της χρονικές στιγμές 2sec και 6sec είναι x = +A και x= -Α αντίστοιχα. Το μέτρο της επιτάχυνσης είναι α = ω2Α = Qmax

άρα ΣΩΣΤΗ η (β) γ. Από το υ = f (t) προκύπτει ότι το αντικείμενο κινείται κατά το χρονικό διάστημα από 6sec μέχρι 8sec προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα, αφού είναι υ>0 και προς τη Θ.Ι. του. Από το x = f(t) προκύπτει ότι στο 6-8sec ⇒ x < 0 άρα η αλγεβρική τιμή της συνισταμένης δύναμης F = -mω2x είναι θετική. Επομένως τα υ, F είναι συγγραμμικά και ομόρροπα κατά το χρονικό διάστημα από 6sec μέχρι 8sec.

άρα ΣΩΣΤΗ η (γ) δ. Από 0-2sec, όπως φαίνεται από το x = f(t) ή U = f (t), το αντικείμενο κινείται προς τη θετική κατεύθυνση από τη ΘΙ του προς τη θέση x = +Α

άρα ΛΑΘΟΣ η (δ) 38 α. Τις χρονικές στιγμές 0sec, 8sec και 16sec η α max= άρα x = -A, +A –A στις οποίες U = 0

άρα ΣΩΣΤΗ η (α) β. Τη t = 14sec είναι α>0 άρα x<0 (α = ω2x). Επειδή η αλγεβρική τιμή της α τείνει να αυξηθεί συμπεραίνουμε ότι το αντικείμενο κινείται προς τη x = -A.

33

άρα ΛΑΘΟΣ η (β) γ. Τις t = 4sec, 12sec είναι α = 0 άρα x = 0. Το αντικείμενο περνά από τη Θ.Ι. όπου υmax = ωΑ

άρα ΣΩΣΤΗ η (γ)

δ. Από το α = f(t) → max maxπα α συνωt α ημ ωt2

⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠

max maxπ πή υ υ ημ ωt υ υ ημωt2 2

⎛ ⎞= + − → =⎜ ⎟⎝ ⎠

άρα ΛΑΘΟΣ η (δ)

39. α. Τις χρονικές στιγμές 0sec, 8sec και 16sec, η δύναμη επαναφοράς είναι μέγιστη ( κατ’απόλυτη τιμή) άρα το αντικείμενο βρίσκεται στις θέσεις +Α, -Α, +Α αντίστοιχα, στις οποίες U = 0.

άρα ΣΩΣΤΗ η (α) β. Τη t = 6sec→ F>0, άρα x<0 αφού F = -DX. Επειδή η F τείνει να αυξηθεί άρα κινείται προς τη θέση x = -A

άρα ΛΑΘΟΣ η (β) γ. Τις 4sec, 12sec είναι F = 0, άρα x = 0. Το αντικείμενο περνά από τη Θ.Ι. όπου το μέτρο της ταχύτητας είναι μέγιστο υmax = ωΑ.

άρα ΣΩΣΤΗ η (γ)

δ. Από το F = f(t) → F = - Fmax συνωt = Fmax 3πημ ωt2

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

Άρα η εξίσωση της απομάκρυνσης θα είναι 3π πx Aημ ωt π x Aημ ωt2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − → = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

άρα ΛΑΘΟΣ η (δ) 40 α. i) 12

2 1DA2

= 2 1Dx2

+2D mω2 2 2 2 2 2 2 2mυ mω Α mω x mυ υ ω Α x=⎯⎯⎯→ = + → ± −

34

ii)

22

02 20

2 220

02 2

υ συν (ωt φ )υ ωΑσυν(ωt φ ) ω Αα ω Αημ(ωt φ ) α ημ (ωt φ )

ω Α

⎫= + ⎪= + ⎫ ⎪⇒ ⇒⎬ ⎬

= − + ⎭ ⎪= + ⎪⎭

2 22 2max2 2 4

υ α 1 α ω υ υω Α ω Α

+ = → = ± −2

β. . i)

ii)

2

ολ

2

2ολ

1E DA σταθ.2

1U Dx2

1K E Dx2

= =

=

= −

41.

α. 1 gf2π

=l

1 g 1 1 g f΄ 4 f΄2π 4 2 2π 2

= → = = =l ll l

άρα ΛΑΘΟΣ η (α) β. maxυ ωΑ 2πfA= =

maxmax

f 1 υ΄ 4 υ΄ 2πf΄Α 2π A (2πfA)2 2 2

= → = = = =l l

35

άρα ΛΑΘΟΣ η (β)

γ. mgD =l

mg 1 mg D΄ 4 D΄4 4 4

= → = = =l ll l

άρα ΣΩΣΤΗ η (γ)

δ. 2ολ

1E DA2

=

2 2 2 ολολ

1 1 D 1 1 E΄ 4 Ε΄ D΄Α A DA2 2 4 4 2 4

⎛ ⎞= → = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

l l

άρα ΣΩΣΤΗ η (δ) 42.

Θεωρούμε το ελατήριο αποτελούμενο από Ν όμοια ελατήρια συνδεδεμένα σε σειρά. Καθένα επιμηκύνεται από δύναμη μέτρου F που εμείς ασκούμε στην άκρη Α του ελατηρίου θα ισχύει:

1 2 ν1 1 1 1

11

F F F Fx x x ... x ... NK K K K

F FN K N KK K

= + + + = + + + = ⋅ →

→ = → = ⋅

43. Στο σχήμα χρησιμοποιούμε ελατήρια ίδιας Κ

1 2K K K= = \ σχήμα (α): 1 1 2D K K K K 2k= + = + =

36

1 11

1

m mT 2π 2π (1)D 2K

= =

σχήμα (β): 1 22

1 2

K K KK KDK K 2K 2

= = =+

2 2 22

2

m m 2mT 2π 2π 2π (2)KD K2

= = =

Έχουμε (1),(2) 1 2 1 2 11 2

2

m 2m m 2m m 4T T 2π 2π2K K 2K K m 1

= ⎯⎯⎯→ = ⇒ = ⇒ =

44.

d 0,2A m A 0,1m2 2

= = → =

Ισχύει A 2 2x2 2 2 2 2 2 2 2 22 Α 3Αυ ω (Α x ) υ ω Α υ ω

4 4= ⎛ ⎞

= − ⎯⎯⎯→ = − → = →⎜ ⎟⎝ ⎠

22

2

2 υ4υ 2 3ω ω rad / sec ω 20rad / sec3Α Α 3 0,1 3

= → = = → =

Από τον κύκλο αναφοράς βρίσκουμε 05πφ rad6

=

(Δίνεται ότι για 0At 0, x , υ 0)2

= = <

45. Η ιδιοσυχνότητα του συστήματος είναι

0 01 Κ 1 400 1 10f Ηz 20Ηz f Hz (1)

2π m 2π 1 2π π= = = → =

37

x 0,4ημ20t A 0,4mαλλά x Aημωt ω 20rad / sec= =⎫

⎬= =⎭

Επειδή η εξωτερική περιοδική δύναμη F επιβάλλει τη γωνιακή της συχνότητας στο σύστημα, θα είναι ωF = ω = 20rad/sec

Άρα FF F

ω 20 10f Ηz f Ηz (2)2π 2π π

= = → = (1)(2)

F 010f f Ηzπ

⇒ = =

Το συμπέρασμα είναι ότι το σύστημα βρίσκεται σε συντονισμό με την F. ΜΕΡΟΣ 4ο

ΘΕΜΑΤΑ Θ3 46.

α) Θ.Ι.: ΣFy = 0 → mg – Fελ = 0 → mg – ky1 = 0 (1) Τ.Θ. : Fελ= ΣFy = mg– Fελ = mg – K(y +y1) = 1mg ky ky ky− − = − άρα Α.Α.Τ. με D = K.

m m 0,5 2π πT 2π 2π 2π sec sec T secD K 50 10 5

= = = = → =

β) 2 2 2max 0 0 max

1 1 1U Dy Ky 50 0,2 U 1Joule2 2 2

= = = ⋅ ⇒ =

γ) (1)

2 1 0 0 2mgy y y y y 0,3mK

= + = + ⇒ =

38

Άρα 2 2ελ ,max 2 ελ ,max

1 1U Ky 50 0,3 Joule U 2.25 Joule2 2

= = ⋅ → =

δ) 2ελατ(max) 2 ελ(max)F ky 50 0,3 Nt F 15Nt= = ⋅ = =

ταλ(max) (max) 0 ταλ(max)F ΣFy ky (50 0.2)Nt F 10Nt= = = ⋅ → =

ε)

Τη 0t 0= η μάζα βρίσκεται στη θέση 0yy 0,1m (θέση Α)

2= + = και υ < 0

άρα 05πφ rad6

=

2π 2πω ω 10rad / secπΤ5

= = → =

Άρα 0 05πy y ημ(ωt φ ) y 0,2ημ(10t ) (SI)6

= + → = +

στ) 0 05πυ ωy συν(ωt φ ) υ 10 0,2συν(10t )6

= + → = ⋅ + →

5πυ 2συν 10t S.I.6

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

47. α) Το Σ εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με ω= ω1 = 3rad/sec Επειδή φο = 0 → x = A1ημω1t → x = 0,2ημ3t (S.I) β) U=ω1Α1συνω1t → υ = 3· 0,2συν 3t → υ = 0,6συν3t (S.I)

Άρα 2 2 2 2 21 1K Mυ 2 0,6 συν 3t 0,36συν 3t K 0,36 συν 3t2 2

= = ⋅ = → = ⋅

2π 2πT secω 3

= =

39

γ)Το πλάτος μεταβάλλεται όπως στο σχήμα:

Η ιδιοσυχνότητα (ω0) του ταλαντωτή είναι

0 0K 200ω rad / sec ω 10rad / secM 2

= = → =

από το διάγραμμα Α = f (ω) προκύπτει ότι για ω = ω2 = 6 rad/sec το πλάτος Α2 θα είναι μεγαλύτερο του Α1 (Α1 = 20cm). 48. Στοιχειά από τη γραφική παράσταση U = f(t) του σχήματος Τ = 2sec, Umax

= 0,16π m/sec

άρα 2π 2πω rad / sec ω π rad / secΤ 2

= = → =

α) maxmax

υ 0,16πυ ωΑ Α m A 0,16mω π

= → = = → =

0

2 2 2 2max max

Για t 0,υ 0max 0 0 0

00 φ 2π Eπειδή για t 0 υ 0

0κ 0,1 (κινείται προς αρνητικά)

0

α ω Α π 0,16m /sec α 1,6m /secπυ υ συν(ωt φ ) 0 συνφ φ κπ2

πφ rad π2 φ rad3π 2φ rad2

= =

≤ < > → <=

= = → =

= ⋅ + ⎯⎯⎯⎯→ = ⇒ = +

⎧ =⎪⎪⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ =⎨⎪ =⎪⎩

Άρα max 0πυ υ συν(ωt φ ) υ 0,16πσυν πt (SI)2

⎛ ⎞= + → = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Απομάκρυνση: 0πx Aημ(ω φ ) x 0,16ημ(πt ) (SI)2

= + → = +

40

Επιτάχυνση: 2 20

πα ω Αημ(ωt φ ) π 0,16ημ πt2

⎛ ⎞= − + = − ⋅ + →⎜ ⎟⎝ ⎠

πα 1,6ημ πt (SI)( 1,6συνπt SI)2

⎛ ⎞= − + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

max 0πΣF F mα mα ημ(ω φ ) F 1 1,6ημ πt2

πF 1,6ημ(πt ) (SI) ( 1,6συνπt (SI)2

⎛ ⎞= = = − + → = − ⋅ + →⎜ ⎟⎝ ⎠

= − + = −

β)

2 2 2 2 2ολ max ολ

1 1 1E U DA mω Α 1 π 0,16 0.128J E 0,128 Joule2 2 2

= = = = ⋅ ⋅ ⋅ = → =

γ) 2 2 2 2 21 1 1U Dx mω (0,16 συνπt) 1 π 0,0256συν πt2 2 2

= = ⋅ = ⋅ → 2U 0,128συν πt (SI)→ =

2 2 2 2 2

2

1 1 1K mυ m( 0,16πημπt) 1 0,0256π ημ πt 0,128ημ πt2 2 2

K 0,128ημ πt (SI)

= = − = ⋅ ⋅ =

→ =

δ) ολK 0,032 Joule άρα U E Κ (0,128 0,032)J= = − = − → U 0,096 Joule=

41

2 2 2 2 2 21 1 1αλλά U Dx mω x 0,096 1 π x 0,096 5x2 2 2

0,096x m x 0,138564m5

= = → = ⋅ → =

= ± → = ±

Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας κάθε στιγμή εκφράζει την επιτάχυνση του σώματος

2 2 2

22

α ω x π x 10x (10 0,138564)m / secm1,38564 α 1,38564 m / sec

sec

= − = − = − = − ± =

→ =m m

49. α) Για το σώμα Σ2 έστω y η τυχαία απομάκρυνση από τη Θ.Ι. Αφού

εκτελεί Α.Α.Τ. θα ισχύει ΣFy = -m2ω2y → N – m2g = -m2ω2y → N = m2g - m2ω2y → N = m2 (g -ω2y) (1)

2

min 22

max 2

για y A έχουμε Ν m (g ω Α) (2) θέση (α)(1)

για y A έχουμε Ν m (g ω Α) (2) θέση (β)

⎧ = + = −⎪⎨

= − = +⎪⎩

Υπολογισμοί

2min min

2max max

(2) Ν 0,4(10 π 0,2)Νt 0,4(10 2)Nt N 3,2Ntrad(ω 2πf 2π 0,6 π )sec

(3) N 0,4(10 π 0,2)Nt 0,4(10 2)Nt N 4,8Nt

⇒ = − ⋅ = − ⇒ =

= = ⋅ =

⇒ = + = + ⇒ =

β) Για y = 0 (1) Ν = m2g = (0,4·10) Νt → Ν = 4Νt

42

γ) Για να βρίσκεται σε επαφή το σώμα Σ2 με το σώμα Σ1 θα πρέπει 2

(2)m 02 2

min 2

2max2 2 2 2

max

N 0 m (g ω Α) 0 g ω Α 0g g 10ω Α g A Α mω 4π f 4 10 0,5

A 1m

≠≥ ⇒ − ≥ ⎯⎯⎯→ − ≥ →

≤ → ≤ ⇒ = =⋅ ⋅

=

δ) Για να μην εγκαταλείπει το Σ2 το σώμα Σ1 πρέπει

2(2) 2 2

min 2 2

min min

min min

4πN 0 m (g ω Α) 0 g ω Α g ΑΤ

Α 0,1Τ 2π0,1sec T 2π 2π secg 10

T 2π0,1sec T 0,2πsec( 0,628 sec)

≥ ⎯⎯→ − ≥ ⇒ ≥ → ≥ →

= → = = →

= → = =

50

α) Ιδανικά ελατήρια άρα F = F1 = F2 = F3

Αν x τυχαία απομάκρυνση 1 21 2 1 2

F F 1 1x x x FK K K K

⎛ ⎞→ = + = + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 1 1 2

1 2 1 2

K K K Kx F F x (1)K K K K+

→ = → =+

(1)1 2 1 2

x x1 2 1 2

K K K Kαλλά ΣF F ΣF x άρα A.A.T με DK K K K

= − ⇒ = − =+ +

43

100 400 NtD D 80Nt / m100 400 m

m 0,2 πT 2π 2π 2π 0,05 0,1πsec T secD 80 10

1 10f f ΗzT π

⋅= → =

+

= = = ⋅ = ⇒ = →

= → =

β) 2oλ ολ

1 1E DA 80 0,1 Joule E 4Joule2 2

⎛ ⎞= = ⋅ → =⎜ ⎟⎝ ⎠

Επειδή ολ max ταλταλ max

E U U 4Joule= → =

γ) Στη θέση x = 0,05m η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης θα είναι 2 2

ταλ1 1U Dx 80 0,05 J 0,1Joule2 2

= = ⋅ =

Άρα ταλ

ολ

U 0,1π% 100% 100% 2,5%Ε 4

= = =

δ) ολoλ ταλ

ταλ

Ε 4JouleK E U

Στη θέση x 0,05m U 0,1Joule= ⎫

= − =⎬= → = ⎭

21(4 0,1)J K 3,9Joule mυ 3,92

2 3,9υ m /sec υ 39 m /sec( 6,24 m /sec)0,2

= − → = → = →

⋅= → = =

44

ΜΕΡΟΣ 5ο ΘΕΜΑΤΑ Θ4 51.

α) 1ο βήμα Εύρεση x1

Θ.Ι. 1

x 1 1 1m gημφΣF 0 Kx m gημφ x (1)

Κ= → = → =

2ο βήμα Εύρεση x2

1 2x 2 1 2 2

(m m )gημφ(ν.Θ.Ι.)ΣF 0 kx (m m )gημφ x (2)k

+= → = + → =

3ο βήμα Εύρεση x (1),(2) 1 2 1 2

2 1(m m )gημφ m gημφ m gημφx x x x x (3)

k k k(x 0,1m)

+= − = ⎯⎯⎯→ = − → =

=

4ο βήμα Εύρεση V

45

πριν(x) μετά(x) 2 1 2AΔΟ(x) : P Ρ m υσυνφ 0 (m m )V

3V m /sec2

= → + = + →

=

5ο βήμα Εύρεση x0 2 2 2

ολ 1 2 0 01 1 1A.Δ.Ε : U K E κx (m m )V kx x 0,2m2 2 2

+ = → + + = → =

Βλέπουμε ότι το πάνω άκρο της ταλάντωσης του συσσωματώματος συμπίπτει με τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. β) x = xo ημ(ωt +φο) (3)

00

xΓια t 0 x 0,1 και V 02

= → = + = + >

από τον κύκλο αναφοράς έχουμε 0πφ rad6

=

1 2

k πω 5rad / sec Άρα (3) x 0,2ημ 5t (S.I.)m m 6

⎛ ⎞= = → = +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

γ) Ο χρόνος μετάβασης από το Ζ 0x2

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

στο 1 0A ( x )+ είναι

0

1 1

π ππ φφ π2 62t t secω ω 5 15

−−= = = → =

δ) Θέση Ζ: Έχουμε 1

x 1 1 2x x

ΔP ΔΡΣF kx (m m )gημφ 10NtΔt Δt =

⎛ ⎞= = − + → = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Θέση Α1: Το ελατήριο δεν είναι παραμορφωμένο άρα F ελ = 0 οπότε

0

x 1 2x x

ΔΡ ΔPΣF (m m )gημφ 20NtΔt Δt =+

⎛ ⎞= = − + ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

46

Θέση Α2: Το ελατήριο είναι παραμορφωμένο κατά 2Χο άρα F ελ = 0 οπότε

0

x 0 1 2x x

ΔΡ ΔpΣF K2x (m m )gημφ 20NtΔt Δt =−

⎛ ⎞= = ⋅ + → =⎜ ⎟⎝ ⎠

52.

α) επαν ολ ελF F 2F 2Κ x= − = − = − ⋅ άρα Α.Α.Τ. με D 2K= β) Σώμα 3m: ελεύθερη πτώση

1 2

21 1

2

2 2πρέπει t t

1 2hΣώμα 3m : ελέυθερη πτώση h gt t2 g

TΣώμα m :από ακραία θέση σε Θ.Ι. (για 1η φορά) t4

2h 1 m 2h π m π m g2π hg 4 2k g 4 2K 16K

=

⎫= → = ⎪⎪

⎬⎪→ = ⎪⎭

⋅⎯⎯⎯⎯→ = → = → =

Σώμα m: από ακραία θέση σε Θ.Ι. (για 1η φορά) γ)

47

Για t = 0, U= 0 άρα το πλάτος της Α.Α.Τ. αρχικά είναι Α = α Εύρεση Α’

2 2Δ 0 0

2 20

0

2 22 2 000

1 1A.Δ.Μ.Ε : 2Κα mυ2 2 1 12ka mυ(για το m) α υ2 2 (2)1 11 1 Α΄ 4V2kA΄ 4mVA.Δ.Μ.Ε. : 2ΚΑ΄ 4mV 2 22 2

(για το 4m)

→⎫= ⎪⎪⎪ = → =⎬⎪=⎪⎪⎭

Κρούση πλαστική → ΑΔΟ: 0πριν μετά 0 0

0

υP P mυ 4mV 4 (3)V

= → = → =

Άρα (3) α 4 α(2) Α΄Α΄ 2 2

⎯⎯→ = → =

δ) Qθερμ = Kαρχ(συστημ) – Κτελ (συστημ) (4)

48

2 2αρχ (συστ) 0 y

2y αρχ (συστ)

0

2αρχ (συστ)

1 1Κ mυ 3mυ2 2

1 2k 1όπου υ 2gh΄ Κ m α 3m2gh2 m 2

2kκαι υ ωΑ αm

K kα 3mgh (5)

⎫= + ⎪

⎪⎪= ⇒ = + →⎬⎪⎪= = ⎪⎭

= +

2 2 22 2 20 0 0

τελ(συστ) 0

2

τελ(συστ)

2 2(5),(6) 2

θερμ

2

θερμ

1 υ υ mυ m 2k kΚ 4mV 2m 2m α α2 4 16 8 8 m 4

kαΚ (6)4

kα 3kαΆρα (4) Q kα 3mgh 3mgh4 4

3kαQ 3mgh4

⎛ ⎞= = = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

→ =

⎯⎯⎯→ = + − = + →

= +

53.

α) 11 2

2

x ημ204πtx x x ημ204πt ημ200πt

x ημ200πt= ⎫

⇒ = + = + =⎬= ⎭

204πt 200πt 204πt 200πt2ημ συν2 2

2ημ202πtσυν2πt x 2συν2πtημ202πt (SI)

+ −= =

= ⇒ =

49

β)

11 1 1

22 2 2

δ 1 2 δ

ω 204πω 204πrad / sec f Ηz f 102Hz2π 2πω 200πω 200πrad / sec f Ηz f 100Hz2π 2π

f f f 102 100 Hz f 2Ηz (συχνότητσ διακροτήματος)

⎫= → = = → = ⎪⎪⎬⎪= → = = → =⎪⎭

→ = − = − → =

Άρα η περίοδος του διακροτήματος θα είναι

δ δδ

1 1Τ sec T 0,5secf 2

= = → =

Για την ταλάντωση έχουμε:

1 2ταλ ταλ

ταλ ταλ ταλταλ

ω ω 204π 200πω 202πrad / sec 2πf 202π2 2

1 1f 101Ηz T Τ secf 101

+ += = = → = →

= → = → =

γ) ταλ

1T 1101Δt sec Δt sec

2 2 202= = → =

δ) δ τακ1T 0,5sec, T sec

101= = άρα σε χρόνο t = 4Tσ = 4 ·0,5sec = 2sec θα

έχουμε ταλ

t 2N 2021T101

= = = πλήρεις ταλαντώσεις

ε) Σε κάθε πλήρη ταλάντωση έχουμε 2 μηδενισμούς άρα 2 204⋅ = 404 μηδενισμοί της απομάκρυνσης του ηλεκτρονίου. 54.

α. 2

2 2BB

1

1U Li 1U Li ημ ωt (1)22αλλά i I ημωt

⎫= ⎪⇒ =⎬⎪= − ⎭

Είναι ΑΔΕ: 2

2 1B(max) E(max)

1

1 1 QU Li U (2)2 2 C

= − =

2(2)21

B1

1 Q(1) U ημ ωt (3)2 C

⇒ =

50

6 21

2

2B B

T 2π LC 2π 2 50 10 sec T 2π 10 sec T 20πmsec2π 2πάρα ω rad / sec ω 100rad / secΤ 2π 10

(3) U 0,16ημ 100t (U Joule, t msec)

− −

−

= = ⋅ ⋅ → = ⋅ → =

= = → =⋅

⇒ = → →

Λόγω ΑΔΕ: 2 3B E E(max) E EU U U U 0,16 0,1ημ 400t U 0,16συν 100+ = → = − → =

21

E(max) ολ1

1 Q(U 0,16Joule E 0,16Joule)2 C

= = → =

2E EU 0,16συν 100t (U J, t msec)→ = → →

Ισχύει B ETT T 10πmsec2

= = =

β) t1: η χρονική στιγμή όπου για πρώτη φορά: 1εν

Ii I i2

= → =

q: φορτίο πυκνωτή C1 2 2 21 1

E(max) E B1 1

1 Q 1 q 1 IA.Δ.Ε : U U U L (4)2 C 2 C 2 2

= + → = +

αλλά ισχύει 2

2 1B(max) E(max)

1

1 1 QU U LI2 2 C

= → =

2 2 21 1

11 1 1

1 Q 1 q 1 Q 2άρα (Α) q Q (5)2 C 2 C 4 C 2

⇒ = + → = ±

Είναι όμως (5)

1 1 12 2q Q συνωt Q Q συνωt συνωt

2 2= →± = → = ± →

πσυνωt συν (6)4

→ = ±

Για t =t1 έχουμε την πρώτη λύση της (6) άρα 1πωt4

= →

1 1π π100t t sec4 400

→ = → =

51

Β. α) Για το κύκλωμα LC1 και για τη χρονική στιγμή όπου ο δ1 ανοίγει και ο δ2 κλείνει ισχύει

Α.Δ.Ε.: E B 1 1 1E E 1 E B

B E

U U E E EU U E U και Uαλλά U U 2 2

+ = ⎫⇒ + = → = =⎬= ⎭

Στο κύκλωμα LC2 μεταφέρεται η ενέργεια 21

B 11

1 1 QU E2 2 2C

= =

Άρα η ενέργεια του LC2 κυκλώματος 21

2 B1

1 Qείναι Ε U4 C

= =

(Προσοχή!! η E 1 11U E έμεινε στο C ).2

=

Q2: φορτίο μέγιστο του πυκνωτή C2

Α.Δ.Ε.: 2 2 22 2 1

E(2) 2 22 2 1

1 Q 1 Q 1 QU E E2 C 2 C 4 C

= → = → = →

22 2 1 22 2 1

1 1

2

C Q C 200μFQ Q Q 4mCb2C 2C 2 50μF

4mCb 2 Q 4 2mCb

→ = ⇒ = = ⋅ =⋅

= → =

β) Σ’αυτή την περίπτωση όλη η ενέργεια του κυκλώματος LC1 μεταφέρεται στο κύκλωμα LC2

Έτσι 2 22 1 2

2 1 2 12 1 1

Q΄ Q CE΄ E Q΄ Q 8mCb2C 2C C

= → = → = =

2 3 2 61

2 1 26 61

1 Q 1 (4 10 ) 16 10E΄ Ε J J E΄ 0,16J.2 C 2 50 10 100 10

− −

− −

⋅ ⋅= = = = → =

⋅ ⋅

A.

52

α) ΘΙ (Ο): ΣFy = 0 → Fmax – mg = 0 → KA – mg = 0 (1) Τυχαία θέση (Τ.Θ.): ΣF = F – mg = K (A-x) –mg= KA –KX – mg = -KX ΣF = Fεπαν = -ΚΧ άρα Α.Α.Τ με D = K

β) m 2 1 πT 2π 2π 2π sec T secK 200 10 5

= = = → =

2π 2πκαι ω rad / sec ω 10rad / secπΤ5

= = → =

γ) Εξίσωση απομάκρυνσης x = Αημ (ωt + 40) (2)

mg 2 10(1) KA mg 0 A m A 0,1mK 200

⋅⇒ − = → = = → =

Εύρεση φο

0

Για t 0,x A0 0 0 0

0 φ 2π0κ 0

πx Aημ(ω φ ) A Αημφ ημφ 1 φ 2κπ2

πφ rad2

= =+

≤ <=

= + ⎯⎯⎯⎯⎯→ = → = → = +

⎯⎯⎯⎯→ =

Άρα π(2) x 0,1ημ(10t ) (S.I.) (3)2

⇒ = +

Εξίσωση ταχύτητας

U = ωΑ συν (ωt + φο) = 10 0,1 συν π π(10t ) υ συν 10t (SI) (4)2 2

⎛ ⎞+ → = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Γραφικές παραστάσεις

53

π(3) x 0,1ημ 10t 0,1συν10t (S.I.) (5)2

π(4) υ συν 10t ημ10t (S.I.) (6)2

⎛ ⎞→ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞→ = + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

δ) Σε μια τυχαία χρονική στιγμή ισχύει:

ΣF = -ΚΧ → F-mg = -KX → F = mg – KX → F = 2 ·10 – 200x (5)→ F = 20 -

200 0,1 συν10t → F = 20 -20συν10t = 20(1) –συν10t) = 20[1-(1-2ημ25t)]= 20 (1-1 +2ημ25t) → F = 40 ημ25t (S.I.) (7) Επίσης ΣF = -KX → ΣF = -200·0,1συν10t → ΣF = -20 συν10t (Σ.Ι.) (8) Γραφικές παραστάσεις των (7), (8)

Β Α)

54

Στη ΘΙ της ταλάντωσης του Β (Ο’) η επιμήκυνση του ελατηρίου είναι: Fελ =

mΒg→ (1)m KA AKx g Kx x

4 4 4= ⇒ = → =

Εφαρμόζουμε Α.Δ.Ε. της ταλάντωσης του Β για τις θέσεις Δ και Z:

22 2Β B

B

1 m 1 1 5Aυ Κx K2 4 2 2 2

7Aαλλά x4

12

⎫⎛ ⎞+ = ⎪⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⇒⎬⎪= ⎪⎭

→ 2Β

m 1υ4 2

+27Α 1Κ

4 2⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2 22Β

2 2 22 2Β Β

5Α m 25ΚΑ 49ΚΑΚ υ2 4 4 16

m 100ΚΑ 49ΚΑ 51ΚΑυ mυ (9)4 16 4

⎛ ⎞ → = − →⎜ ⎟⎝ ⎠

−→ = → =

Εκρηξη → εσωτ.δυναμη→ μονωμ σύστημα → ΑΔΟ

πριν μετάmP Ρ 04

= → = Β3mυ4

− Γ Β Γ Β Γυ 0 υ 3υ υ 3υ (10)→ = − → =

Ενέργεια έκρηξης

2 2(10)2 2 2 2Β Β

B Β Γ Γ Β Β

2 2 2 2 2 (9)2 Β Β Β Β ΒΒ

2

2 2

1 1 1 m 1 3m υ 1 m 1 3m υΕ m υ m υ υ υ2 2 2 4 2 4 3 2 4 2 4 9

1 mυ 3mυ mυ 4mυ mυmυ Ε8 24 24 24 6

ΚΑ51 51ΚΑ 51 200 0,14Ε Ε J 4,25J.6 24 24

⎛ ⎞= + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

+= + = = ⇒ = →

⋅ ⋅→ = → = = =

β) έκρηξης

αρχ

Ε 4,25π% 100% 100% 425%Ε 1

= = =

2 2αρχ

1 1Ε ΚΑ 200 0,1 Ξ 1J2 2

= = ⋅ =