Φθίνουσεςταλαντώσεις

2011 - 2012ΓΕΛ∆Ε Σαπών

ΦυσικήΓ’ ΛυκείουΚατεύθυνση

Αμείωτη ταλάντωσηΤαλάντωση που δε συνοδεύεται από απώλειες ενέργειας, με αποτέλεσμα να διατηρεί το πλάτος της σταθερό.

Στην πραγματικότητα...Αν απομακρύνουμετο σώμα από τη ΘΙτου κατά Α και τοαφήσουμε ελεύθερονα κινηθεί

... το σώμα, αφούεκτελέσει μια ταλάντωσηδε θα επανέλθει στηναρχική θέση, γιατί λόγωτρίβών, το πλάτοςσυνεχώς μειώνεται καιτελικά μηδενίζεται.

Φθίνουσα ή αποσβεννύμενη ονομάζεται η ταλάντωση κατά τηνοποία το πλάτος της μειώνεται σταδιακά με το χρόνο λόγωτριβών και τελικά μηδενίζεται.

Φθίνουσα ταλάντωση

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχουν οι φθίνουσες μηχανικέςταλαντώσεις στις οποίες η δύναμη της αντίστασηςείναι της μορφής

υ-brr

=FFr

όπου b η σταθερά απόσβεσης, που εξαρτάται από:

1. τις ιδιότητες του μέσου,

2. από το σχήμα και το μέγεθος του αντικειμένου πουταλαντώνεται.

π.χ. bμελιού > bλαδιού > bνερού > bαέρα

Φθίνουσες ταλαντώσεις

ΠΡΟΣΟΧΗ : το - υποδηλώνει ότι το διάνυσμα της F είναι αντίρροποπρος το διάνυσμα της ταχύτητας.

Πειραματικές διατάξεις μελέτης

Χαρακτηριστικά φθίνουσαςταλάντωσης

Για ορισμένη τιμή της b, η περίοδος της φθίνουσαςταλάντωσης παραμένει σταθερή.

ΤΤ00==σταθσταθ..

b0=0

ΤΤ11==σταθσταθ..

b1>b0

Όταν η σταθερή b μεγαλώνει, το πλάτος τηςφθίνουσας ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα.

ΤΤ11>>ΤΤ00Τότε, απαιτείται περισσότερος χρόνος για μιαταλάντωση.

Έτσι όταν b , T , ω και f .

Παρατηρήσεις

αμείωτη ταλάντωση σταθερό πλάτος

η περίοδος για ορισμένη τιμή της σταθεράςb είναι σταθερή και ανεξάρτητη του πλάτους.

όταν η σταθερά b αυξάνεται, το πλάτος τηςταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα και ηπερίοδος αυξάνεται λίγο

για πολύ μεγάλες τιμές της σταθεράς b,η κίνηση γίνεται απεριοδική.

Το πλάτος μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο, δηλαδήαν Αο είναι το αρχικό πλάτος την t=0, Α1 το πλάτοςσε χρόνο t=T, Α2 το πλάτος σε χρόνο t=2T .... καιΑν το πλάτος σε χρόνο t=νΤ, τότε ισχύει

Παρατηρήσεις (... συνέχεια)

όAA

AA

AA σταθερ==== ...

3

2

2

1

1

0

Tvttt

t

Aee

AA

vv +=Τ=Λ−

Λ−

+

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯ΑΑ

= +

+

ν

ο

ο

ν

νν

ν)1(,

1

1

1

⇒⋅Α

Α=

ΑΑ

= Λ−Λ−

Λ−

+Λ−

Λ−

+TvT

vT

Tv

vT

eee

ee

AA

ο

ο

ο

ο

ν

ν)1(

1

TT e

AA

eAA Λ

+Λ−

+

=⇒=11

1

ν

ν

ν

ν

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ...

Μεταβολή του πλάτους της ταλάντωσης

Το πλάτος της φθίνουσας αρμονικής ταλάντωσηςμειώνεται εκθετικά με το χρόνο και υπολογίζεται από τησχέση

Αν = Αο·e-Λt

όπου...

• Λ : σταθερά που εξαρτάται απότη σταθερά απόσβεσης b και τημάζα του σώματος (Λ=b/2m)

• t = νΤ , όπου ν ακέραιος

Ο χρόνος είναι ακέραιοπολλαπλάσιο της περιόδου!

ΑμορτισέρΠρέπει να έχουν μεγάλο b, ώστε τοπλάτος της ταλάντωσης να μειώνεταιγρήγορα.

Εκκρεμέςρολόι

Επιδιώκεται ελαχιστοποίησητης απόσβεσης

Φθίνουσες Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις

Ο κύριος λόγος της απόσβεσης είναι η ωμικήαντίσταση R του ηλεκτρικού κυκλώματος LC και τορόλο που παίζει η σταθερά απόσβεσης b σε μια

φθίνουσα μηχανική ταλάντωση, εδώ έχει ηαντίσταση R.

Το κύκλωμα LC των ηλεκτρικών ταλαντώσεων που μελετήσαμε θεωρητικάδεν είχε καθόλου ωμική αντίσταση (R=0) θεωρούσαμε ότι δεν υπάρχουν

απώλειες ενέργειας η ηλεκτρική ταλάντωση ήταν αμείωτη.Στην πραγματικότητα...1. στο κύκλωμα υπάρχει ωμική αντίσταση λόγω φαινομένου Joule, υπάρχει απώλεια ενέργειας2. τα κυκλώματα ηλεκτρικών ταλαντώσεων εκπέμπουν ηλεκτρομαγνητικήακτινοβολία χάνουν ενέργειακαι άρα η ταλάντωση είναι φθίνουσα, δηλαδή το πλάτος της έντασης και τομέγιστο φορτίο του πυκνωτή σταδιακά μειώνονται και τελικά η ταλάντωσησταματά.

Παρατηρήσεις στις φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις

μηδενική αντίσταση αμείωτη ταλάντωσησταθερό πλάτος

η περίοδος για ορισμένη τιμή της αντίστασηςR είναι σταθερή και ανεξάρτητη του πλάτους.

όταν η αντίσταση R αυξάνεται, το πλάτος τηςταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα και ηπερίοδος αυξάνεται λίγο

για πολύ μεγάλες τιμές της αντίστασης R,η κίνηση γίνεται απεριοδική.

Ισχύει ακριβώς ό,τι ισχύει και στις μηχανικές, αν στη θέση του b, βάλουμε την αντίστασ R.

T2>T1>T0

R=0

R μικρό

R μεσαίο

R μεγάλο

Εξισώσεις στις φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις

Το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή και το πλάτος της έντασηςμειώνονται εκθετικά με το χρόνο και υπολογίζονται από τις σχέσεις

Q = Qο·e-Λt

όπου...

• Λ : σταθερά που εξαρτάται απότη αντίσταση και το συντελεστήαυτεπαγωγής του πηνίου(Λ=R/2L)

• t = νΤ , όπου ν ακέραιος

Ο χρόνος είναι ακέραιοπολλαπλάσιο της περιόδου!

Tην t=0 ο πυκνωτής θεωρείταιφορτισμένος με φορτίο Qo

I = Iο·e-Λt

Γραφικές παραστάσεις

tL2R

q=Q0e- συνωt

Qk=Q0e-

tL2R

Η ενέργεια στη φθίνουσα ταλάντωση

Η ολική ενέργεια της φθίνουσας αρμονικής ταλάντωσηςμειώνεται εκθετικά με το χρόνο, και υπολογίζεται από τησχέση

to

to

eAA eDAEeADEDAEt

o Λ−Λ−= =⇒=⎯⎯⎯ →⎯=Λ− 2222

21)(

21

21

και επειδή η αρχική ενέργεια είναι 2

21

oo DAE =

προκύπτει ότι toeEE Λ−= 2

Η ενέργεια στη φθίνουσα ταλάντωση

• Μείωση (απώλεια) ενέργειας/ Ενέργεια που μετατράπηκε σε θερμότητα

Εαπ = Εαρχ - Ετελ

• Κλάσμα μείωσης (απώλειας) ενέργειας

αρχ

τελαρχ

αρχ

απ

ΕΕ−Ε

=Ε

=Ea

• Ποσοστό μείωσης (απώλειας) ενέργειας

%100%100% ⋅Ε

Ε−Ε=⋅

Ε=

αρχ

τελαρχ

αρχ

απEa

• Θεμελιώδης νόμος της Μηχανικής για τις φθίνουσες ταλαντώσεις

ΣF = m·α -Dx - bυ = m ·α

Dx + bυ + m ·α = 0