02α μηχανικές ταλαντώσεις κινηματική προσέγγιση
description
Transcript of 02α μηχανικές ταλαντώσεις κινηματική προσέγγιση
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 1
Φυσική ΚατεύθυνσηςΓ’ Λυκείου
Κεφάλαιο 1ο
ταλαντώσειςΕνότητα 1η
μηχανικέςταλαντώσεις
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 2
1.1 Εισαγωγή1.2 Περιοδικά φαινόμενα
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 3
Περιοδικά φαινόμενα
Περιοδικά φαινόμενα : φαινόμενα πουεξελίσσονται και επαναλαμβάνονταιαναλλοίωτα (με τον ίδιο τρόπο) σε σταθεράχρονικά διαστήματα.
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 4
Παραδείγματα περιοδικών φαινομένων 1Κίνηση Γης γύρω από τον Ήλιο,
αλλά και γύρω από τον εαυτό της
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 5
Παραδείγματα περιοδικών φαινομένων 2
Το άναμμα και σβήσιμοενός φάρου
Το εκκρεμές του ρολογιού
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 6
Η εναλλαγή των εποχών.
Η κίνηση των δεικτών τουρολογιού.
Παραδείγματα περιοδικών φαινομένων 3
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 7
ΒΑΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ 1
Περίοδος : ο χρόνος που απαιτείται για ναολοκληρωθεί μια φορά το φαινόμενο
NtT =
Έστω Ν επαναλήψεις του περιοδικού φαινομένου σεχρόνο t, τότε
Τ [s]
Παράδειγμα: Η Γη σε δύο χρόνια έχει ολοκληρώσει δύο περιφορές γύρω απότον Ήλιο, άρα η περίοδος περιφοράς της είναι
yearTNtT 1
22==⇒=
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 8
ΒΑΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ 2
Συχνότητα : το πηλίκο του αριθμού Ν τωνεπαναλήψεων του φαινομένου σε χρόνο tπρος τον χρόνο αυτό
tNf =
Έστω Ν επαναλήψεις του περιοδικού φαινομένου σεχρόνο t, τότε
f [s-1 ή Hz]
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 9
Σχέση περιόδου - συχνότητας
tNf =
Tf 1=
Ν =1
t = T
ήf
T 1=
∆ιότι σε χρόνο μιας περιόδου (t=T),έχει ολοκληρωθεί μια φορά τοπεριοδικό φαινόμενο (Ν=1)
Τα μεγέθη περίοδος και συχνότητα είναι ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ.
ΑΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ, ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑΥΠΟΛΟΓΙΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΠΕΡΙΟ∆Ο ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ!
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 10
ΒΑΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ 3
Γωνιακή συχνότητα
Η γωνιακή συχνότητα έχει φυσική σημασία στην ομαλή κυκλική κίνησηκαι η έννοιά της επεκτείνεται και σε όλες τις περιοδικές κινήσεις.
ω [rad/s]
Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας στην ομαλή κυκλικήκίνηση ισούται με τη γωνιακή συχνότητα που έχει ωςπεριοδική κίνηση.
?
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 11
Μια ομαλή κυκλική κίνηση είναι περιοδική.
Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας στηνομαλή κυκλική κίνηση ορίζεται ως το πηλίκοτης γωνίας ∆φ που διαγράφει το σώμα σεχρόνο ∆t προς τον χρόνο αυτό. tΔ
Δ=
φω
Γωνιακή ταχύτητα 1
Η διεύθυνση του διανύσματος τηςγωνιακής ταχύτητας είναι κάθετηστο επίπεδο της τροχιάς και η φοράτου δίνεται από τον κανόνα τουδεξιού χεριού.
Ο R m
υr
ωr
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 12
Σε χρόνο ∆t =Τ το κινητό κάνει μια πλήρη περιφορά , δηλαδή η γωνία που έχει διαγράψει είναι ∆φ = 2π ( rad )
Οπότε :
2t Tϕ πω Δ
= =Δ
Γωνιακή ταχύτητα 2
Και επειδή
fππω 22=
Τ=
fT=
1
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 131.3 Απλή Αρμονική Ταλάντωση
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 14
ΟΡΙΣΜΟΙ
Ταλάντωση : περιοδικό φαινόμενο πουεξελίσσεται παλινδρομικά γύρω από μιαθέση ισορροπίας
Γραμμική ταλάντωση : ταλάντωση πουπραγματοποιείται σε ευθεία γραμμή
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 15
Παράδειγμα ΑΑΤ 3
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 16
Απλή Αρμονική Ταλάντωση (ΑΑΤ)
Απλή Αρμονική Ταλάντωση : γραμμική ταλάντωση, στην οποία ηαπομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας είναι ημιτονοειδήςσυνάρτηση του χρόνου, δηλαδή δίνεται από τη σχέση
x = Α·ημωtΌπου
x : η απομάκρυνση του σώματος από τη ΘΙΑ : η μέγιστη απομάκρυνση του σώματος από
τη ΘΙ (πλάτος ταλάντωσης)ω : γωνιακή συχνότηταωt : φάση
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 17
Απλή Αρμονική Ταλάντωση
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 18
Παράδειγμα ΑΑΤ 1
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 19
ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΕξίσωση απομάκρυνσης
x = A ·ημωt
Εξίσωση ταχύτητας
ΠΡΟΣΟΧΗ! Η απομάκρυνση μετριέται
πάντα από τη θέσηισορροπίας !!!
υ = ω·A ·συνωt υ = υmax·συνωtυmax=ω·Α
Εξίσωση επιτάχυνσηςα = - ω2·A ·ημωt α = -αmax·ημωtαmax=ω2·Α
α = - ω2·x Η επιτάχυνση είναι πάντα αντίθετη της απομάκρυνσης.
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 20
Παράδειγμα ΑΑΤ 1
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 21
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5t/s
x/m
x=Aημωt
ΓραφικέςΓραφικές παραστάσειςπαραστάσεις
Α. Απομάκρυνσης - χρόνου
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 22
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0,5 1 1,5 2 2,5t/s
υ/ m/s
υ=ωΑσυνωt
ΒΒ. . ΤαχύτηταςΤαχύτητας -- χρόνουχρόνου
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 23
-2,5-2
-1,5-1
-0,50
0,51
1,52
2,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5t/ s
α/ m/s2
α=-ω2Αημωt
Γ. Επιτάχυνσης - χρόνου
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 24
Γραφικές παραστάσεις
x=Aημωt
υ=ωΑσυνωt
α=-ω2Αημωt
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 25
Πρόσημα μεγεθών
ΘΙΑκραίαθέση
Ακραίαθέση
x = -Α x = +Αx = 0
υ = +υmax
υ > 0
υ = 0
υ < 0υ < 0
υ > 0
υ = -υmax
Για να πάει το σώμα από τη ΘΙ απευθείας σε ακραία θέση και τοαντίστροφο, χρειάζεται χρόνο Τ/4!
x < 0 x > 0
x < 0 x > 0
υ = 0
Τ/4
Τ/4Τ/4
Τ/4
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 26
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΟι εξισώσειςx=Aημωt, υ=ωΑσυνωt και α=-ω2Αημωtισχύουν με την προϋπόθεση ότι το σώμα την t=0διέρχεται από τη ΘΙ κινούμενο προς τη θετικήκατεύθυνση.Σε κάθε άλλη περίπτωση υπάρχει αρχική φάση (φ)και οι εξισώσεις γίνονταιx=Aημ(ωt+φ), υ=ωΑσυν(ωt+φ), α= - ω2Αημ(ωt+φ)
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 27
Υπολογισμός αρχικής φάσης
Έστω ότι για t=0, η απομάκρυνση του σώματος από τη ΘΙείναι d.Τότε,χ = Αημ(ωt+φ)
t=0
x=dd = Aημφ ημφ = d/A
Και λύνουμε την τριγωνομετρική εξίσωση
ημχ = ημθ
χ = 2κπ + θ ή χ = 2κπ + π – θ
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 28
Θυμόμαστε από την Τριγωνομετρία
Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεωνημχ = ημθ
χ = 2κπ + θ ή χ = 2κπ + π – θ
συνχ = συνθ
χ = 2κπ ± θ
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 29
Χρειαζόμαστε από την Τριγωνομετρία
Τριγωνομετρικοί αριθμοί συμπληρωματικών, παραπληρωματικών γωνιών
συνφφπημ =− )2
( ημφφπσυν =− )2
(
συνφφπημ =+ )2
( ημφφπσυν −=+ )2
(
ημφφημ −=− )( συνφφσυν =− )(
ημφφπημ =− )( συνφφπσυν −=− )(
ημφφπημ −=+ )( συνφφπσυν −=+ )(
θπ-θ
π+θ
Άξοναςημιτόνων
Άξοναςσυνημιτόνων
02κπ
π/2
π
3π/2
π/2 - θπ/2 + θ
-θ
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 30
Τριγωνομετρικοί αριθμοί
-10εφ
01συν
10ημ
π/2 (90ο)π/3 (60ο)π/4 (45ο)π/6 (30ο)0ο
21
23
22
21
23
22
33 3
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 31
Ερωτήσεις βιβλίου
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 32
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 33
Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 34
Το φιλί
Gustav Klimt1862-1918