GRAMMIKH ALGEBRA I

Pr¸th prìodos EarinoÔ Exam nou 2011 - 2012

Jèma 1 (2 mon�des). JewroÔme ton pÐnaka

A =

1 0 20 0 13 0 6

.

(a) Na brejeÐ o anhgmènos klimakwtìs pÐnakas pou eÐnai grammoi�dÔnamos me ton A.

(b) Up�rqei jetikìs akèraios n tètoios ¸�e o An na eÐnai grammoi�dÔnamos me ton I ?

LÔ�.(a) K�nontas diadoqik� tis grammopr�xeis r3 7→ r3 − 3r1 kai r1 7→ r1 − 2r2, o pÐnakas A metatrèpetai �on 1 0 0

0 0 10 0 0

,

pou eÐnai anhgmènos klimakwtìs.

(b) Epeid  h orÐzou� tou A i�Ôtai me 0, èpetai ìti h orÐzou� tou An i�Ôtai me 0. 'Ara o An den eÐnai

anti�rèyimos, epomènws den eÐnai grammoi�dÔnamos me ton I .

Jèma 2 (1 mon�da). Na brejoÔn ìloi oi �oiqei¸deis 2× 2 pÐnakes E gia tous opoÐous i�Ôei ìti Et = E−1.

LÔ�. DiakrÐnoume treÐs peript¸�is:

(a) Gia �oiqei¸dh pÐnaka tÔpou 1, dhlad  ths morf s E = D(i, a), ìpou a 6= 0, h �nj kh Et = E−1

metafr�zetai �hn D(i, a) = D(i, 1a), pou �maÐnei ìti a = ±1. Up�rqoun dhlad  treÐs tètoioi pÐnakes, o

D(1, 1) = D(2, 1) = I , o D(1,−1) kai o D(2,−1).(b) Gia �oiqei¸dh pÐnaka tÔpou 2, dhlad  ths morf s E = M(i, j, a), ìpou i 6= j, h �nj kh Et = E−1

metafr�zetai �hnM(j, i, a) = M(i, j,−a). An a 6= 0, tìte o ènas apì tous dÔo pÐnakes eÐnai mh diag¸nios �nwtrigwnikìs kai o �llos eÐnai mh diag¸nios k�tw trigwnikìs, �topo. 'Ara a = 0, pou �maÐnei ìti M(i, j, a) = Ikai autìs o �oiqei¸dhs pÐnakas kalÔptetai apì thn perÐptw� (a).

(g) Gia �oiqei¸dh pinaka tÔpou 3, dhlad  ths morf s E = E(i, j) gia i 6= j, up�rqei mìno mÐa epilog  gia2× 2 pÐnakes (o E(1, 2)), o opoÐos ikanopoieÐ th �nj kh Et = E−1.

Jèma 3 (3 mon�des).

(a) Up�rqei grammikì ×�hma 2 exi»�wn me 3 agn¸�ous pou na mhn èqei lÔ�?

(b) Up�rqei grammikì ×�hma 22 exi»�wn me 33 agn¸�ous pou na èqei monadik  lÔ�?

(g) Up�rqei grammikì ×�hma 222 exi»�wn me 333 agn¸�ous pou na èqei �peires lÔ�is?

L�.(a) Nai, gia par�deigma to �hma

x + y + z = 0x + y + z = 1

.

1

(b) 'Oqi. An èna tètoio ×�hma èqei monadik  lÔ�, tìte eÐnai �mbiba�ì. Epeid  epiplèon h anagwg  tou

pÐnaka tou �� matos � anhgmènh klimakwt  morf  èqei to polÔ 22 mh mhdenikès grammès, èpetai ìti h genik 

lÔ� tou �� matos emfanÐzei toul�qi�on 33-22=11 eleÔjeres metablhtès, �ra to ×�hma èqei �peires lÔ�is,

�topo.

(g) Nai, opoiod pote omogenès 222× 333 ×�hma èqei aut  thn idiìthta.

Jèma 4 (3 mon�des). 'E�w a, b, c, d, e, f , g, h akèraioi arijmoÐ tètoioi ¸�e h orÐzou� tou pÐnaka

A =

a b cd e f1 g h

na i�Ôtai me 1. JewroÔme ton pÐnaka

B =

2a 2b 2cd + 7a e + 7b f + 7c

d + 7a + 4 e + 7b + 4g f + 7c + 4h

.

(a) Na upologi�eÐ h orÐzou� tou pÐnaka 12BtB2.

(b) EÐnai o A ginìmeno �nw trigwnik¸n pin�kwn?

(g) 'E�w ìti o C eÐnai ènas 3× 1 pÐnakas tètoios ¸�e ta �oiqeÐa tou pÐnaka AC na eÐnai akèraioi arijmoÐ.

DeÐxte ìti ta �oiqeÐa tou C eÐnai epÐ�s akèraioi arijmoÐ.

LÔ�.(a) K�nontas diadoqik� tis grammopr�xeis r3 7→ r3−r2, r3 7→ 1

4r3, r1 7→ 1

2r1, r2 7→ r2−7r1 kai exet�zontas

thn epÐdra� tous �on upologi ì ths orÐzou�s prokÔptei ìti det(B) = 8 det(A) = 8. Epomènws,

det(1

2BtB2) =

1

8det(Bt)det(B)2 =

1

8det(B)3 = 64.

(b) 'Oqi. O A den eÐnai �nw trigwnikìs, diìti to �oiqeio �hn (3, 1) jè� eÐnai mh mhdenikì. Apì thn �llh

pleur�, to ginìmeno �nw trigwnik¸n pin�kwn eÐnai �nw trigwnikìs pÐnakas.

(g) 'E�w AC = D. Tìte C = A−1D. Epeid  h orÐzou� tou A i�Ôtai me 1, èpetai ìti C = adj(A)D.Ta �oiqeÐa tou adj(A) eÐnai akèraioi apì ton ori ì twn �mparagìntwn enìs pÐnaka, �ra o C eÐnai ginìmeno

dÔo pin�kwn me akèraia �oiqeÐa to opoÐo �nep�getai ìti o C èqei epÐ�s akèraia �oiqeÐa.

Jèma 5 (1 mon�da). 'E�w A ènas n× n pÐnakas tètoios ¸�e 3AAt + 2At = A + I . DeÐxte ìti o A eÐnai

anti�rèyimos me A−1 = I + 3A.

LÔ�. Qrhmopoi¸ntas to gegonìs ìti o pÐnakas AAt eÐnai �mmetrikìs, èpetai ìti, ana�rèfontas kai ta dÔo

mèlh ths do ènhs�è�s, èqoume 3AAt+2A = At+I . Afair¸ntas kat� mèlh, paÐrnoume 2At−2A = A−At,

�ra 3At = 3A, �ra At = A. H arqik  t¸ra �è� dÐnei 3A2 + A = I , �ra A(I + 3A) = I , dhlad  o AeÐnai anti�rèyimos me antÐ�rofo I + 3A.

2