ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 

Άλγεβρας 

Β΄ τάξης Γενικού Λυκείου 

2o Θέμα  

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 Εκφωνήσεις ‐ Λύσεις  

των  θεμάτων 

 

  

Έκδοση 2η (2/12/2014)  

– 2 –

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Οι απαντήσεις και οι λύσεις  

είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς 

των Επιμελητών των φακέλων του Λυκείου 

του Δικτυακού Τόπου mathematica.gr με βάση υλικό που αναρτήθηκε στο mathematica 

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46866 

  

 

Συνεργάστηκαν οι: 

 

 

Γιώργος Απόκης, Γιώργος Βισβίκης, Κωνσταντίνος Γεωργίου 

Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργης Καλαθάκης, Δημήτρης Κατούνης, 

 Θόδωρος Καραμεσάλης, Γιώργος Λέκκας, Μπάμπης Στεργίου,  

Θανάσης Παπασταθόπουλος, Περικλής Παντούλας, Γιώργος Ρίζος,  

Γιώργος Ροδόπουλος, Χρήστος Τσιφάκης, Σωτήρης Χασάπης,  

Antonis_A, gGa, Grosrouvre, emag57 

 

 

 

 

Το Δελτίο διατίθεται ελεύθερα 

από το δικτυακό τόπο mathematica.gr 

 

– 3 –

Θέματα 2ης Ομάδας 

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου  

 

GI_V_ALG_2_16950 

  α)   Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συ‐

ντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. 

(Μονάδες 10) 

  β)   Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις του συστήματος που ορίσατε 

στο (α) ερώτημα και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύ‐

νατο. 

(Μονάδες 15) 

 

ΛΥΣΗ:  

α)  Θεωρούμε το σύστημα 3x 4y 12

6x 8y 2

+ =⎧⎨ + =⎩

 

  Αν πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση με  2−  και την προσθέσουμε στη δεύτερη, προ‐

κύπτει το ισοδύναμο σύστημα 3x 4y 12

0x 0y 22

+ =⎧⎨ + = −⎩

 

  Η δεύτερη εξίσωση είναι αδύνατη άρα το σύστημα είναι πράγματι αδύνατο. 

 

β)   Οι εξισώσεις του συστήματος γράφονται αντίστοιχα 

3 3 1y x 3 , y x

4 4 4= − + = − + .  

 

  Οι  ευθείες  που  ορίζουν  οι  εξισώσεις  του  συστήμα‐

τος έχουν  ίδιο συντελεστή διεύθυνσης,  οπότε  είναι 

παράλληλες και επομένως το σύστημα είναι αδύνα‐

το. 

 

 

 

– 4 –

GI_V_ALG_2_16954 

 

  Δίνεται η εξίσωση : 8x 2y 7 (1)+ =  

  α)   Να γράψετε μια άλλη εξίσωση που να μην έχει καμία κοινή λύση με την (1) 

(Μονάδες 10) 

  β)   Να παραστήσετε γραφικά τις δύο εξισώσεις και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε 

γιατί το σύστημα είναι αδύνατο. 

(Μονάδες 15) 

 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Πρέπει το σύστημα να είναι αδύνατο. Επιλέγουμε π.χ. 8x 2y 11+ =  

β)   Παρατηρούμε ότι οι ευθείες είναι παράλληλες, άρα το σύστημα είναι αδύνατο.  

 

  

– 5 –

GI_V_ALG_2_16957 

 

  Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 27 χρόνια, και ο Μάρκος είναι 

μεγαλύτερος από το Βασίλη. 

  α)   Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός  ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή 

σας.  

(Μονάδες 13) 

  β)   Δίνεται επιπλέον η πληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια. Να υ‐

πολογίσετε την ηλικία του καθενός.  

(Μονάδες 12) 

 

ΛΥΣΗ:  

  Έστω  x  η ηλικία του Μάρκου και  y  η ηλικία του Βασίλη. Από τα δεδομένα, προκύπτει ότι: 

x y 27+ =       (1)    και        x > y       (2) 

α)   Υποθέτουμε ότι οι x, y είναι θετικοί ρητοί αριθμοί. 

  Από τα παραπάνω, δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την ηλικία του καθενός, διότι η (1) απο‐

τελεί μία γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, ενώ η (2) δεν εξασφαλίζει τη μοναδικότητα 

ττης λύσης. Για παράδειγμα, θα μπορούσε (x,y) = (18,9) ή  (x,y) (17,10)=  κ.ο.κ. 

 

β)   Τώρα , ξέρουμε ότι και  x y 5− =  (3) (καθώς και  x y>  )  

  Προσθέτοντας κατά μέλη τις  (1),(3) , παίρνουμε την εξίσωση 2x 32 x 16= ⇔ = . 

  Για  x 16= , από την (1) έχουμε: 16 y 27 y 11+ = ⇔ =  

Δηλαδή, ο Μάρκος είναι 16 ετών και ο Βασίλης 11.  

  Τα αποτελέσματα αυτά, επαληθεύουν όλα τα δεδομένα. 

– 6 –

GI_V_ALG_2_16960  

  α)   Με βάση τα δεδομένα του σχήματος, να προσδιορίσετε τις εξισώσεις των ευθειών 

(ε) , (η)  . 

 (Μονάδες 12) 

   β)   Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους.  

                        (Μονάδες 13) 

 

ΛΥΣΗ:  

α)  Η εξίσωση η οποία παριστάνει μια ευθεία  (που δεν είναι κάθετη στον άξονα x'x) είναι της 

μορφής  y λx β= + , όπου λ ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας αυτής (λ = εφω, 

όπου ω είναι η γωνία κλίσης της ευθείας με τον άξονα x'x). 

  Παρατηρώ ότι η ευθεία (ε) με εξίσωση  y λx β= + τέμνει τους άξονες στα σημεία, Α(0,2) και 

Β(2,0), οπότε: 

  για το σημείο Α(0,2) είναι 2 λ0 β β 2= + ⇒ =   

  για το σημείο Β(2,0) είναι 0 2λ β 2λ β λ 1= + ⇒ = − ⇒ = −   

  Και έτσι η ευθεία (ε) θα έχει εξίσωση:  y x 2= − +  

  Η ευθεία (η) τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο Γ(4,0) και σχηματίζει γωνία45°  με τον x'x, οπό‐

τε  λ φ45 1°= =ε .  

  Επομένως η εξίσωση της ευθείας  (η)  γίνεται  :  y x β= +   και επειδή το σημείο Γ(4,0) ανήκει 

στην ευθεία αυτή τότε : 0 4 β β 4= + ⇒ = − .  

  Τελικά η ευθεία (η) θα έχει εξίσωση  y x 4= −   

  Για  να βρούμε  τις συντεταγμένες  του σημείου  τομής  των  ευθειών  αυτών θα λύσουμε σύ‐

στημα: y x 4 y x 4 y 1

y x 2 x 2 x 4 x 3

= − = − = −⎧ ⎧ ⎧⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨= − + − + = − =⎩ ⎩ ⎩

.  

  Άρα το σημείο τομής έχει συντεταγμένες (3, ‐1). 

– 7 –

GI_V_ALG_2_16962  

  α)   Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους παρακάτω αριθμούς: 

         π π 17π

συν , συν , συν6 4 10

              (Μονάδες 12) 

  β)   Αν  1 2

3ππ x x

2< < <  , να συγκρίνετε τους αριθμούς:  1 2

π πημ x , ημ x

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

                      (Μονάδες 13) 

ΛΥΣΗ:  

α)   Κάνω αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο για το 17π

συν10

 

  Χρησιμοποιώντας διαδοχικά γωνίες που διαφέρουν κατά  π  και στην συνέχεια γωνίες που έχουν άθροισμα  π  παίρνουμε: 

17π 7π 7π 3πσυν συν π συν συν

10 10 10 10⎛ ⎞= + = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

 ( Αφού 7π 3π

π10 10

+ =  ) 

  Έτσι  οι  γωνίες π π 3π, ,

6 4 10  ανήκουν  στο  διάστημα 

π0,2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

,  στο  οποίο  η  συνάρτηση  του 

f(x) συνx=  είναι γνησίως φθίνουσα. 

  Επομένως: π π 3π π π 3π

συν συν συν6 4 10 6 4 10< < ⇒ > >   

β)   Ισχύει ότι  1 1

πημ x συνx

2⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

  (Γωνίες συμπληρωματικές) 

  και  2 2

πημ x συνx

2⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

    (Γωνίες συμπληρωματικές) 

  Ισχύει  1 2

3ππ x x

2< < <  δηλαδή  1 2

3πx ,x π,

2⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠

. 

  Στο διάστημα αυτό η συνάρτηση  f(x) συνx=  είναι γνησίως αύξουσα. 

  Επομένως:  1 2 1 2 1 2

π πx x συνx συνx ημ x ημ x

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞< ⇒ < ⇔ − < −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

Άλλη λύση: 

  Αφού   ( )1

1 2 1 2

3π 3ππ x x π x x

2 2

⋅ −

< < < ⇔− > − > − > −   

                1 2

π π π π 3ππ x x

2 2 2 2 2⇔ − > − > − > −   1 2

π π πx x π

2 2 2⇔− > − > − > −  

  Άρα οι γωνίες  1 2

π πx , x

2 2− −  ανήκουν στο διάστημα 

ππ,

2⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

 , που όπως γνωρίζουμε η 

συνάρτηση  g(x) συνx=  είναι γνησίως φθίνουσα. 

  Επομένως  1 2 1 2

π π π πx x ημ x ημ x

2 2 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞− > − ⇔ − < −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. 

– 8 –

GI_V_ALG_2_16965 

 

  Δίνεται η συνάρτηση  2  f(x) x 4x 5−= +  ,  x R∈  

  α)   Να αποδείξετε ότι η  f  γράφεται στη μορφή 2f(x) (x 2) 1= − + .  

(Μονάδες 12 ) 

  β)   Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση 

f , μετατοπίζοντας κατάλληλα την  2y x= .  

(Μονάδες 13 ) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   2 2 2f(x) x 4x 5 x 4x 4 1 (x 2) 1= − + = − + + = − +  

β)   Η γραφική παράσταση της  f  με τη μορφή  2f(x) (x 2) 1= − +  είναι μία οριζόντια μετατόπιση 

της γραφικής παράστασης της συνάρτησης  2y x=  κατά 2  μονάδες προς τα δεξιά και ταυτό‐

χρονα κατακόρυφη μετατόπιση κατά 1  μονάδα προς τα πάνω. Όλα αυτά φαίνονται στο πα‐

ρακάτω σχήμα. 

 

  

 

 

 

 

 

– 9 –

GI_V_ALG_2_16968 

  α)   Είναι η τιμή π

x4

=  λύση της εξίσωσης 3συν4x 3 0+ = ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή 

σας.                             (Μονάδες 10 ) 

  β)   Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτη‐

σης   f(x) συν4x=  με την ευθεία  y 1= − .               (Μονάδες 15 ) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Είναι  π

3συν4 3 3(συνπ 1) 3( 1 1) 04+ = + = − + = , άρα η τιμή 

πx

4=  είναι λύση της εξίσωσης 

3συν4x 3 0+ =   

β)   Αναζητούμε τις λύσεις της εξίσωσης  f(x) y= . 

kπ πσυν4x 1 συνπ 4x 2kπ π x ,k

2 4= − = ⇔ = + ⇔ = + ∈  

 

 

GI_V_ALG_2_17647  

 

  Δίνεται το σύστημα:  x 2y 8 (1)

αx βy γ (2)

− =⎧⎨ + =⎩

 με παραμέτρους α,β,γ∈ . 

  α)   Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους  α,β,γ  ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική 

λύση το ζεύγος (2, ‐3). 

 (Μονάδες 13) 

  β)   Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α,β,γ ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο.  

 (Μονάδες 12) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Αρκεί η ευθεία (2) να διέρχεται από το σημείο  (2,‐3) ). Αρκεί να "επιλέξουμε" μια ευθεία που 

διέρχεται από αυτό το σημείο, π.χ. την  x 2=  , η οποία προκύπτει μεα 1,β 0, γ 2= = =   

Η (1) επαληθεύεται από το σημείο  (2,‐3) ,αφού ισχύει : 2 2( 3) 8 8 8− − = ⇔ = ,οπότε διέρχεται 

από το δοσμένο σημείο και επομένως το σύστημα έχει μοναδική λύση. 

β)   Θα επιλέξουμε ευθεία παράλληλη της (1). Επιλέγουμε (  α 1,β 8,γ 0= = − = ), οπότε το σύστη‐

μα είναι αδύνατο. 

– 10 –

GI_V_ALG_2_17650 

 

Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος  x cm , πλάτος  ycm , περίμετρο  ίση με 

38cm  και με την ακόλουθη ιδιότητα: 

  Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά  2cm  και μειώσουμε το πλάτος του κατά  4cm, θα προκύ‐

ψει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του αρχικού. 

  α)   Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. 

 (Μονάδες 10) 

  β)   Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων  x,y  του ορθογωνίου. 

 (Μονάδες 15) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Το δοσμένο ορθογώνιο έχει εμβαδόν  xy  και περίμετρο 2x 2y 38+ =  . 

  Αν γίνουν οι αλλαγές στις διαστάσεις του , το εμβαδόν του θα γίνει  (x 2)(y 4)+ −  και θα είναι 

ίσο με το αρχικό .  

  Επομένως έχουμε το σύστημα :  2x 2y 38

(x 2)(y 4) xy

+ =⎧⎨ + − =⎩

 

β)   Είναι : 

2x 2y 38 x y 19 x y 19

(x 2)(y 4) xy xy 4x 2y 8 xy 4x 2y 8

y 19 x y 19 x y 14

2x 19 x 4 3x 15 x 5

+ = + = + =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ − = − + − = − + =⎩ ⎩ ⎩

= − = − =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− + − = − = − =⎩ ⎩ ⎩

 

  Επομένως οι διαστάσεις του είναι  x 5,y 14= =  

 

Σχόλιο :  

  Επειδή, παραδοσιακά, λέμε μήκος τη μεγαλύτερη πλευρά και επειδή εδώ προκύπτει ότι το 

μήκος είναι μικρότερο από το πλάτος , ας μην παρασυρθούν οι μαθητές από τις λέξεις.  

  

– 11 –

GI_V_ALG_2_17651 

Στο δημοτικό parking μιας επαρχιακής πόλης στις 10  το πρωί, το σύνολο των δίκυκλων και 

τετράτροχων οχημάτων που έχουν παρκάρει είναι 830  και το πλήθος των τροχών τους 

2.700 . 

α)   Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. 

(Μονάδες 13 ) 

β)   Να βρείτε τον αριθμό των δίκυκλων καθώς και τον αριθμό των τετράτροχων οχημάτων. 

(Μονάδες 12 ) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Έστω  x,y  ο αριθμός των δίκυκλων και των τετράτροχων οχημάτων αντίστοιχα. 

  Η μία εξίσωση του συστήματος είναι  x y 830+ =   (1)  

  Τα δίκυκλα έχουν συνολικά 2x  τροχούς, ενώ τα τετράτροχα 4y  τροχούς. Η άλλη εξίσωση 

λοιπόν του συστήματος είναι 2x 4y 2700+ =  ή  x y 1350+ =   (2)   

β)  ( )x y 830 x y 830 x 310

x 2y 1350 y 520 y 520

−+ = + = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ = = =⎩ ⎩ ⎩

 

  Έχουμε λοιπόν 310  δίκυκλα και 520  τετράτροχα οχήματα. 

 

GI_V_ALG_2_17652 

Δίνεται γωνία ω  που ικανοποιεί τη σχέση:  ( )2ημω συνω 1+ =   

α)   Να αποδείξετε ότι είτε ημω 0=  είτεσυνω 0= .            (Μονάδες 13) 

β)   Να βρείτε τις δυνατές τιμές της γωνίας ω .             (Μονάδες 12) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Είναι  ( )2 2 2ημω συνω 1 ημ ω συν ω 2ημω συνω 1+ = ⇔ + + ⋅ =  

                  1 2ημω συνω 1 2ημω συνω 0⇔ + ⋅ = ⇔ ⋅ =  

                 ημω 0⇔ =  ή συνω 0=  

β)   •  ημω 0 ω 2κπ= ⇔ =  ή  ( )ω 2κπ π 2κ 1 π= + = +  ,κ∈  . Γενικά ω κπ=  , κ∈   

  • π π

συνω 0 συνω συν ω 2κπ2 2

= ⇔ = ⇔ = ±  ,κ∈  . Γενικά π

ω κπ2

= +  , κ∈   

  (Το σύνολο των δυνατών τιμών της γωνίας ω  θα μπορούσε να εκφραστεί γενικά από την 

σχέση π

ω κ2

=  , κ∈ ).  

– 12 –

GI_V_ALG_2_17656 

  Δίνεται η συνάρτηση 1

f(x) συν2x,x2

= ∈  

  α)   Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; Ποια είναι η περίοδος 

της  f ;  

(Μονάδες 9 ) 

  β)   Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της  f  σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου. 

(Μονάδες 10) 

  γ)   Να εξετάσετε αν η συνάρτηση μπορεί να πάρει την τιμή 1 . Να αιτιολογήσετε την απά‐

ντησή σας.                         

(Μονάδες 6 ) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Η  f  έχει ελάχιστη τιμή 12

−  και μέγιστη τιμή 12. Κάθε τιμή της συνάρτησης επαναλαμβάνεται 

όταν το 2x  αυξηθεί κατά 2π , οπότε το  x  αυξάνεται κατά  π .  

  Επομένως η περίοδος της  f  είναι  T π= . 

 

 

β)   Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση στο δι‐

πλανό σχήμα 

 

γ)   Η συνάρτηση δεν μπορεί να πάρει την τιμή 

1 , επειδή έχει μέγιστη τιμή το 12.  

 

 

  Αυτό άλλωστε φαίνεται και στη γραφική παράσταση.  

  Η  f  δεν μπορεί να πάρει τιμές εκτός του διαστήματος 1 1,

2 2⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

. 

 

ΣΧΟΛΙΟ: Το (β) ερώτημα είναι κάπως ασαφές. Το διάστημα πλάτους μιας περιόδου μπορεί να εί‐

ναι οποιοδήποτε διάστημα έχει πλάτος  π , π. χ το 3π 7π

,4 4

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

. 

– 13 –

GI_V_ALG_2_17659 

 

α)   Να λύσετε αλγεβρικά το σύστημα 2y x 1

x y 1

⎧ = +⎨

− = −⎩ 

 (Μονάδες 15 ) 

β)   Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τις λύσεις του συστήματος που βρήκατε στο ερώτημα (α). 

     (Μονάδες 10 ) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)  2 2 2 x(x 1) 0y x 1 y x 1 x 1 x 1

y x 1x y 1 y x 1 y x 1

x 0 ή x 1 0 x 0 ή x 1 x 0 και y 1

y x 1 y x 1 ή x 1 και y 2

− =⎧ ⎧ ⎧= + = + + = + ⎧⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ = +− = − = + = + ⎩⎩ ⎩ ⎩

= − = = = = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨= + = + = =⎩ ⎩ ⎩

 

  Επομένως το σύστημα έχει τις λύσεις  (x,y) (0,1) ή (x,y) (1,2)= =   

 

 

 

β)   Οι λύσεις του συστήματος είναι τα ση‐

μεία τομής της παραβολής με εξίσωση 2y x 1= +  και της ευθείας με εξίσωση 

y x 1= + , όπως φαίνεται στο διπλανό 

σχήμα 

  

– 14 –

GI_V_ALG_2_17663 

 

  Αν π

0 x2

< <  και  (2συνx 1)∙(5συνx 4) 0+ − = , τότε: 

  α)   Να αποδείξετε ότι 4

συνx5

= .  

                    (Μονάδες 10) 

  β)   Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x.  

                  (Μονάδες 15) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Αφού π

0 x2

< <  (1ο τεταρτημόριο) , είναι συνx 0> . 

   (2συνx 1)∙(5συνx 4) 0+ − =   2συνx 1 0⇔ + =    ή 5συνx 4 0− = ⇔   

             1

συνx2

⇔ =−  ή 4

συνx5

= . 

  Αφού συνx 0> , δεκτό είναι μόνο το 4

συνx5

= . 

 

β)   Ισχύει ότι  2

2 2 2 2 24 16 9ημ x συν x 1 ημ x 1 ημ x 1 ημ x

5 25 25 ⎛ ⎞+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =⎜ ⎟

⎝ ⎠. 

  Άρα 3

ημx5

=  ή 3

ημx5

= − .  

  Επειδή ημx 0> , για κάθε x με π

0 x2

< < , είναι τελικά 3

ημx5

= . 

  Επίσης 

3ημx 35εφx

4συνx 45

= = =  και 1 1 4

σφx3εφx 34

= = = . 

– 15 –

GI_V_ALG_2_17664   

Δίνονται οι γωνίες ω,  θ με συνω 0≠ και συνθ 0≠ , για τις οποίες ισχύει: 0ω θ 135+ =  

Να αποδείξετε ότι: 

α)   εφ(ω θ) 1+ = −                         (Μονάδες 10) 

β)   εφω εφθ 1 εφω εφθ+ + = ⋅                   (Μονάδες 15) 

 

ΛΥΣΗ:  

α)   Είναι  0 0 0 0εφ(ω θ) εφ135 εφ(180 45 ) εφ45 1+ = = − = − = −  

β)   Οπότε, 

   

( )εφω εφθεφ(ω θ) 1 1 εφω εφθ 1 εφω εφθ

1 εφω εφθ

εφω εφθ 1 εφωεφθ εφω εφθ 1 εφω εφθ

++ = − ⇔ = − ⇔ + = − − ⋅ ⇔

− ⋅

⇔ + = − + ⇔ + + = ⋅ 

 

 

GI_V_ALG_2_17681 

 

Δίνεται η συνάρτηση  f(x) 2ημx 1, x= + ∈  

α)   Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της  f  

(Μονάδες 10) 

β)   Για ποια τιμή του  x [0,2π]∈  η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή; 

(Μονάδες 15) 

 

ΛΥΣΗ: 

 

α)   H συνάρτηση  g(x) 2ημx=  έχει ελάχιστη τιμή  2−  και μέγιστη 2 , άρα η  f(x) g(x) 1= +  θα έχει 

ελάχιστη τιμή  2 1 1− + = −  και μέγιστη 2 1 3+ = . 

 

β)   Έχουμε π

f(x) 3 2ημx 1 3 2ημx 2 ημx 1 ημ2

= ⇔ + = ⇔ = ⇔ = = και αφού  x [0,2π]∈ ,  

  είναι π

x2

=  

 

– 16 –

GI_V_ALG_2_17683 

 

Δίνεται το σύστημα : (λ 1)x 2y 3

4x (λ 1)y 6

+ + =⎧⎨ + − = −⎩

 με παράμετρο  λ∈ . 

α)   Αν  λ 3= − , να δείξετε ότι το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Να βρείτε μία λύση. 

(Μονάδες 8) 

β)   Αν  λ 3= , να δείξετε ότι το σύστημα είναι αδύνατο. 

(Μονάδες 8) 

γ)   Αν  λ 0= , να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση την οποία και να προσδιορίσε‐

τε.                                (Μονάδες 9) 

 

 

ΛΥΣΗ: 

 

α)   Για  λ 3= −  έχουμε 2x 2y 3 3

y x ,  x4x 4y 6 2

− + =⎧⇔ = + ∈⎨ − = −⎩

 (άπειρες λύσεις). 

  Για 1

x2

=  έχουμε  y 2=  άρα μια λύση είναι η 1

(x,y) ,22

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. 

β)   Για  λ 3=  έχουμε 4x 2y 3

4x 2y 6

+ =⎧⎨ + = −⎩

 (αδύνατο). 

 

γ)   Για  λ 0=  έχουμε x 2y 3 x 2y 3

4x y 6 8x 2y 12

+ = + =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨− = − − = −⎩ ⎩

.  

  Προσθέτουμε κατά μέλη: 

  9x 9 x 1= − ⇔ = −  και με αντικατάσταση στην 1η :  1 2y 3 y 2− + = ⇔ =  

 

– 17 –

GI_V_ALG_2_17688 

 

Δίνεται η συνάρτηση  ( ) 2

2xf x

x 1=

+ 

α)   Να δείξετε ότι  ( )f x 1≤ .                        (Μονάδες 8) 

β)   Είναι το 1 η μέγιστη τιμή της συνάρτησης; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 

(Μονάδες 8) 

γ)   Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή.  

(Μονάδες 9) 

 

ΛΥΣΗ: 

 

α)   Είναι  2x 1 0+ > , οπότε η  ( )f x  έχει πεδίο ορισμού όλο το  . 

  Είναι : 

( ) 2 22

2xf x 1 1 2x x 1 0 x 2x 1

x 1≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + ⇔ ≤ − +

+( )2x 1 0⇔ − ≥  

  που ισχύει για κάθε  x∈  με το ίσον να ισχύει όταν  x 1=  

 

β)   Όπως αποδείξαμε παραπάνω είναι  ( ) ( ) ( )f x 1 f x f 1≤ ⇔ ≤ , οπότε η  ( )f x  έχει μέγιστο το 1,  

   όταν x = 1. 

 

γ)   Η  ( )f x  έχει πεδίο ορισμού όλο το  , οπότε για κάθε  x∈  θα είναι και  x− ∈  με 

( ) ( )( )

( )2 2

2 x 2xf x f x

x 1x 1

−− = = − = −

+− +, άρα η  ( )f x  είναι περιττή. 

 

– 18 –

GI_V_ALG_2_17692 

 

α)   Να αποδείξετε ότι:  ( )πημ x συν π x 0

2⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

  

   (Μονάδες 10) 

β)   Να βρείτε τις τιμές του  [ )x 0,2π∈  για τις οποίες ισχύει: π

συνx ημ x2

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

  

 (Μονάδες 15) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Ισχύει : π π

ημ x ημ x2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

    (αφού π π

x x π2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

) 

  Όμως π

ημ x συνx2

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

 (γωνίες συμπληρωματικές) 

  Δηλαδή π

ημ x συνx2

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

. 

  Ακόμη  ( )συν π x συνx+ = −      (γωνίες που διαφέρουν κατά π) 

  Συνεπώς  ( )πημ x συν π x συνx συνx 0

2⎛ ⎞+ + + = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

 

 

β)   Είναι   π

συνx ημ x συνx συνx2

⎛ ⎞= − + ⇔ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

   (από το (α) ερώτημα) 

             2συνx 0 συνx 0⇔ = ⇔ =  

            π π

συνx συν x 2κπ2 2

⇔ = ⇔ = ±  , κ∈  .  

  Όμως  [ )x 0,2π∈ , επομένως 

• 2π

0 2κπ 2π 0 4κπ π 4π2

⋅

≤ + < ⇔ ≤ + <1 3

0 4κ 1 4 1 4κ 3 κ4 4−

⇔ ≤ + < ⇔ − ≤ < ⇔ ≤ < , , κ∈

   Άρα κ 0=  και π

x2

=   

• 2π

0 2κπ 2π 0 4κπ π 4 π2

⋅

≤ − < ⇔ ≤ − <1 5

0 4κ 1 4 1 4κ 5 κ4 4

⇔ ≤ − < ⇔ ≤ < ⇔ ≤ < , κ∈

   Άρα κ 1=  και π 3π

x 2π2 2

= − =   

 

– 19 –

GI_V_ALG_2_17693 

 

α)   Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους παρακάτω αριθμούς: 

 π π 17π

συν , συν , συν6 4 10

 

(Μονάδες 12) 

β)   Αν  1 2

3ππ x x

2< < <  , να συγκρίνετε τους αριθμούς:  

1 2

π πημ x , ημ x

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

(Μονάδες 13) 

 

ΛΥΣΗ:  

α)  Κάνω αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο για το 17π

συν10

 

  Χρησιμοποιώντας διαδοχικά γωνίες που διαφέρουν κατά  π ,  και στην συνέχεια γωνίες που 

έχουν άθροισμα  π  παίρνουμε: 

  17π 7π 7π 3π

συν συν π συν συν10 10 10 10

⎛ ⎞= + = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

       (αφού 7π 3π

π10 10

+ = ) 

  Έτσι οι γωνίες π π 3π, ,

6 4 10 ανήκουν στο διάστημα 

π0,2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, στο οποίο  η συνάρτηση y = συνx 

είναι γνησίως φθίνουσα. 

  Επομένως: π π 3π π π 3π

συν συν συν6 4 10 6 4 10< < ⇒ > >   

 

β)   Α ΤΡΟΠΟΣ 

   Ισχύει ότι  1 1

πημ x συνx

2⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

     (γωνίες συμπληρωματικές) 

  και  2 2

πημ x συνx

2⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

       (γωνίες συμπληρωματικές) 

  Ισχύει ότι  1 2

3ππ x x

2< < <  δηλαδή  1 2

3πx ,x π,

2⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠

. 

  Στο διάστημα αυτό η συνάρτηση y = συνx  είναι γνησίως αύξουσα. 

  Επομένως:  1 2 1 2 1 2

π πx x συνx συνx ημ x ημ x

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞< ⇒ < ⇔ − < −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

– 20 –

  Β ΤΡΟΠΟΣ 

  Αφού ( )1

1 2 1 2

3π 3ππ x x π x x

2 2

⋅ −

< < < ⇔− > − > − > −  

          

π2

1 2

π π π π 3ππ x x

2 2 2 2 2

+

⇔ − > − > − > −  

           1 2

π π πx x π

2 2 2⇔− > − > − > −  

 

  Άρα οι γωνίες  1 2

π πx , x

2 2− −  ανήκουν στο διάστημα 

ππ,

2⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

, στο οποίο η συνάρτηση  

  y = ημx  είναι γνησίως φθίνουσα. 

  Επομένως:  1 2 1 2

π π π πx x ημ x ημ x

2 2 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞− > − ⇔ − < −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. 

 

 

– 21 –

GI_V_ALG_2_17698 

 

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση  fC  μιας συνάρτησης  f  με πεδίο ορι‐

σμού το  . 

 Να απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα : 

α)   Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς  1 2 3f(x ),f(x ),f(x ) . 

(Μονάδες 10) 

β)   Είναι η συνάρτηση γνησίως μονότονη στο   ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 

(Μονάδες 10) 

γ)   Παρουσιάζει η  f  μέγιστο στο σημείο  2x ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 

(Μονάδες 13) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Φέρνοντας τις προβολές των σημείων στον άξονα  y y′  έχουμε :  1 3 2f(x ) f(x ) f(x )< <  

β)   Η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη.  

  Αν ήταν γνησίως αύξουσα, τότε  για  1 2 3x x x< <  θα ίσχυε  1 2 3f(x ) f(x ) f(x )< <  

  ενώ αν ήταν γνησίως φθίνουσα, τότε για  1 2 3x x x< <  θα ίσχυε  1 2 3f(x ) f(x ) f(x )> >  

  αλλά από το ερώτημα (α) έχουμε  

1 3 2f(x ) f(x ) f(x )< < . 

 

γ)   Φέρνοντας  την  οριζόντια  ευθεία  που  διέρχεται  από  το 

( )2 2x ,f(x )  παρατηρούμε ότι η συνάρτηση παίρνει και τι‐

μές μεγαλύτερες του  2f(x ) .  

  Άρα το  2x  δεν είναι θέση μεγίστου. 

 

– 22 –

GI_V_ALG_2_17699 

 

Δίνεται 3

ημ5

= , όπου φ η οξεία γωνία που σχηματίζεται με κορυφή το σημείο Α της ευθείας 

(ε) του παρακάτω σχήματος. 

  

α)   Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας φ.  

 (Μονάδες 10) 

β)   Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο των γωνιών θ και ω του σχήματος.  

(Μονάδες 15) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Ισχύει  2

2 2 2 2 23 9 16ημ συν φ 1 σφ φ φ φυν 1 συν 1 συν

5 25 25⎛ ⎞+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠

  

         

4συνφ

5⇔ =  ή 

4συνφ

5= − .  

  Αφού η γωνία φ είναι οξεία, είναι  συνφ 0>  και επομένως 4

συνφ5

= . 

 

β)   Παρατηρούμε ότι η γωνία ω είναι παραπληρωματική της φ, οπότε ω π φ= − . 

  Έτσι 3

ημω ημ(π φ) ημφ5

= − = =  και 4

συνω συν(π φ) συνφ5

= − = − = − . 

  Επίσης θ 2π ω= −  , οπότε  

3ημθ ημ(2π ω) ημ( ω) ημω

5= − = − = − = −  

  και  

4συνθ συν(2π ω) συν( ω) συνω

5= − = − = = −  . 

 

Σχόλιο : Στα ίδια συμπεράσματα θα καταλήγαμε αν παρατηρούσαμε ότι θ π φ= +   

– 23 –

GI_V_ALG_2_17703 

 

  Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις : 

1( ) : 2x y 1− = −ε  και  1( ) : (λ 1)x y 6− − =ε  με παράμετρο  λ∈ . 

  α)   Να βρείτε την τιμή του  λ  ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες. 

(Μονάδες 8) 

  β)   Να παραστήσετε γραφικά τις ευθείες για  λ 3= . 

(Μονάδες 8) 

  γ)   Υπάρχει τιμή του  λ  ώστε οι ευθείες να ταυτίζονται; Να δικαιολογήσετε την απάντησή 

σας. 

(Μονάδες 9) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   To σύστημα έχει ορίζουσα D 2 λ 1 λ 3= − + − = − .  

  Πρέπει το σύστημα να είναι αδύνατο άρα D 0 λ 3 0 λ 3= ⇔ − = ⇔ =  και τότε έχουμε τις ευ‐

θείες  1( ) : 2x y 1− = −ε  και  1( ) : 2x y 6− =ε  που είναι παράλληλες. 

β)  

 

 

γ)   Θα πρέπει το σύστημα να έχει άπειρες λύσεις, δηλαδή D 0=  αλλά τότε  λ 3=  και από το ε‐

ρώτημα (α) είδαμε ότι οι ευθείες είναι παράλληλες.  

  Άρα δεν υπάρχει τέτοια τιμή του  λ . 

 

– 24 –

GI_V_ALG_2_17704 

  Δίνεται η συνάρτηση  ( )f x 3συν2x, x= − ∈  

  α)   Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f.      (Μονάδες 12)  

  β)   Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα και να παραστήσετε γραφικά την f σε διά‐

στημα μιας περιόδου.                      (Μονάδες 13) 

 ΛΥΣΗ: 

α)   Η περίοδος της συνάρτησης είναι 2π

T π2

= =  

  Η μέγιστη τιμή της είναι 3, όταν π

συν2x 1 2x 2κπ π x κπ , κ Ζ2

= − ⇔ = + ⇔ = + ∈  και η ελάχι‐

στη είναι –3 όταν συν2x 1 2x 2κπ x κπ, κ Ζ= ⇔ = ⇔ = ∈    

β)  

x  

0 π4 

π2 

3π4

  

π 

 

2x  

0 π2 

 

π 3π2

  

2π 

συν2x  1  0  ‐1  0  1 

f(x) = ‐3συν2x  ‐3  0  3  0  ‐3 

   

 

 

  Με  τη  βοήθεια  του  παραπάνω  πί‐

νακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική 

παράσταση στο διάστημα  [ ]0, π  

 

 

 

– 25 –

GI_V_ALG_2_17709 

 

  Δίνονται οι ευθείες  1 2 1: 2x y 5,   : 2x 3y 9,   : 3x 2y 7+ = − + = − + =ε ε ε  

  α)   i)   Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των  1 2, ε ε  

    ii)   Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των  1 3, ε ε  

(Μονάδες 12) 

  β)   Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) να δείξετε ότι το κοινό σημείο των  2 3, ε ε  είναι ση‐

μείο της  1ε  

(Μονάδες 13) 

 

ΛΥΣΗ: 

 

αi)   Λύνουμε το σύστημα      2x y 5

2x 3y 9

+ =⎧⎨− + = −⎩

.  

   Προσθέτουμε κατά μέλη : 4y 4 y 1= − ⇔ = −  

  και με αντικατάσταση στη 1η : 2x 1 5 x 3− = ⇔ =  άρα το σημείο τομής είναι το A(3, 1)− . 

ii)   Λύνουμε το σύστημα 2x y 5 4x 2y 10

3x 2y 7 3x 2y 7

+ = − − = −⎧ ⎧⇔⎨ ⎨+ = + =⎩ ⎩

.  

  Προσθέτουμε κατά μέλη :     x 3 x 3− = − ⇔ =  

  και με αντικατάσταση στη 1η : 6 y 5 y 1+ = ⇔ = −  , άρα το σημείο τομής είναι το A(3, 1)− . 

 

β)   Παρατηρούμε ότι οι τρεις ευθείες έχουν κοινό σημείο το A(3, 1)− , άρα προφανώς το κοινό 

σημείο των  2 3, ε ε  είναι σημείο της  1ε  

 

– 26 –

GI_V_ALG_2_17717 

  Ένα θέατρο έχει 25 σειρές καθισμάτων χωρισμένες σε δύο διαζώματα. Η κάθε μια από τις 

σειρές του κάτω διαζώματος έχει 14 καθίσματα και η κάθε μια από τις σειρές του πάνω διαζώ‐

ματος έχει 16 καθίσματα, ενώ η συνολική χωρητικότητα του θεάτρου είναι 374 καθίσματα. 

  α)   Αν x ο αριθμός σειρών του κάτω και y o αριθμός σειρών του πάνω διαζώματος, να εκ‐

φράσετε τα δεδομένα του προβλήματος με ένα σύστημα δύο εξισώσεων. 

(Μονάδες 12) 

  β)   Πόσες σειρές έχει το πάνω και πόσες το κάτω διάζωμα;           (Μονάδες 13)  

ΛΥΣΗ: 

α)   Είναι 16 x 14 y 374

x y 25

⋅ + ⋅ =⎧ ⎫⎨ ⎬+ =⎩ ⎭

  

β)  ( )16 x 14 y 374 16 25 y 14 y 374 (1)

x y 25 x 25 y (2)

⋅ + ⋅ = ⎧ ⋅ − + ⋅ = ⎫⎫⇔⎬ ⎨ ⎬+ = = −⎭ ⎩ ⎭

. 

  Λύνουμε την  (1) και παίρνουμε:  y 13= .  

  Με αντικατάσταση στην  (2)προκύπτει ότι:  x 25 13 12= − =  

Παρατήρηση: Θα μπορούσε να ζητήσει τον αριθμό των καθισμάτων στο κάτω και στο πάνω διά‐

ζωμα, οπότε θα βρίσκαμε:   Κάτω διάζωμα: 16 x 16 12 192⋅ = ⋅ =  καθίσματα.  

              Πάνω διάζωμα: 14 y 14 13 182⋅ = ⋅ =  καθίσματα.  

GI_V_ALG_2_17725 

  Δίνεται η συνάρτηση π

f(x) ημ(π 3x) συν 3x2

⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

. 

  α)   Να δείξετε ότι  f(x) 2ημ3x=                     (Μονάδες 10) 

  β)   Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της  f .               (Μονάδες 13) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Είναι ημ(π 3x) ημ3x− =     

  και  π

συν 3x ημ3x2

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

  

  άρα, με αντικατάσταση, προκύπτει ότι :  

f(x) 2ημ3x= . 

β)   Η συνάρτηση έχει μέγιστο 2 ,  

  ελάχιστο  2−  και περίοδο 2π

T3

=    

– 27 –

GI_V_ALG_2_17732 

  Έστω γνησίως μονότονη συνάρτηση  f : →  η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται 

από τα σημεία Α(2, 3) και Β(4, 5) . 

  α)   Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f.            (Μονάδες 13) 

  β)   Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x στο ‐2, να δείξετε ότι  f(0) 0>   

(Μονάδες 12) 

ΛΥΣΗ: 

α)   Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(2,3) και Β(4,5),  

  ισχύουν f(2) = 3 και f(4) = 5.  Αν η συνάρτηση f ήταν γνησίως φθίνουσα, εφόσον 2 < 4, θα εί‐

χαμε f(2) > f(4) ή 3 > 5, που είναι άτοπο.  

  Με δεδομένο ότι η f είναι γνησίως μονότονη, θα είναι γνησίως αύξουσα. 

β)   Αφού η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x στο ‐2, είναι f(‐2) = 0. 

  Είναι ‐2 < 0 και f γνησίως αύξουσα. Άρα f(‐2) < f(0), δηλαδή f(0) > 0 

 

GI_V_ALG_2_17734 

  Δίνονται οι ευθείες: ε1 : 2x + y = 6 και ε2 : x ‐ 2y = ‐3 

  α)   Να προσδιορίσετε αλγεβρικά το κοινό τους σημείο Μ.             (Μονάδες 13) 

  β)   Να βρείτε για ποια τιμή του α, η ευθεία 3x + ay = α + 5 διέρχεται από το Μ. 

(Μονάδες 12) 

ΛΥΣΗ: 

α)   Οι συντεταγμένες του σημείου Μ θα προσδιορισθούν από τη λύση του συστήματος των 

εξισώσεων των δύο ευθειών. 

  Έχουμε:  ( ) 1

2

ε : 2x y 6Σ

ε : x 2y 3

+ =⎧⎨ − = −⎩

 .    Είναι:  ( )2 1

D 2 2 1 4 1 51 2

= = ⋅ − − = − − = −−

  

  ( ) ( )x y

6 1 2 6D 12 3 12 3 9  και  D 2 3 6 6 6 12.

3 2 1 3= = − − − = − + = − = = ⋅ − − = − − = −− − −

  

  Αφού D 5 0,= − ≠  το  ( )Σ  έχει μοναδική λύση,  

  την  ( ) yxDD 9 12 9 12

x,y , , ,D D 5 5 5 5

⎛ ⎞ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠.   Άρα 

9 12Μ , .

5 5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

  

β)   Η ευθεία 3x αy α 5+ = +  διέρχεται από το σημείο 9 12

Μ ,5 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, αν και μόνο αν, η εξίσωσή 

της επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του σημείου.    Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του Μ παίρνουμε την : 

9 12 23 α α 5 27 12α 5α 25 7α 2 α .

5 5 7⋅ + ⋅ = + ⇔ + = + ⇔ = − ⇔ = −  

– 28 –

GI_V_ALG_2_17736 

  Δίνεται η παράσταση : 2ημ x

A1 συνx

=−

 με  x 2κπ, κ≠ ∈ . 

  α)   Να αποδείξετε ότι  A 1 συνx= +                  (Μονάδες 12) 

  β)   Να λύσετε την εξίσωση 2ημ x 1

1 συνx 2=

− στο διάστημα  (0,2π)        (Μονάδες 13) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)  2 2ημ x 1 συν x (1 συνx)(1 συνx)

A 1 συνx1 συνx 1 συνx 1 συνx

− + −= = = = +

− − − 

β)   Από το ερώτημα (α), για  x 2κπ, κ≠ ∈  η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την  

1 1 2π1 συνx συνx συν

2 2 3+ = ⇔ = − =  

  και αφού  x (0,2π)∈  έχουμε :     ´2π 4π

x   ή  x3 3

= =    (δεκτές) 

 

 

 

GI_V_ALG_2_17739 

 

  Έστω γωνία  x  για την οποία ισχύουν : π

x π2< <  και ημ(π x) ημ(π x) 1− − + = . 

  α)   Να αποδείξετε ότι 1

ημx2

=                    (Μονάδες 12) 

  β)   Να βρείτε τη γωνία  x                      (Μονάδες 13) 

 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Έχουμε 1

ημ(π x) ημ(π x) 1 ημx ( ημx) 1 2ημx 1 ημx2

− − + = ⇔ − − = ⇔ = ⇔ =  

β)  Είναι 1 π

ημx ημ2 6

= =  και π

x π2< <  άρα 

π 5πx π

6 6= − =  

 

– 29 –

GI_V_ALG_2_17741 

  α)  Να αποδείξετε ότι : ημx ημx 2

, x κπ, κ1 συνx 1 συνx ημx

+ = ≠ ∈− +

        (Μονάδες 13) 

  β)   Να λύσετε την εξίσωση: ημx ημx 4

1 συνx 1 συνx 3+ =

− + 

 (Μονάδες 12) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Για  x κπ,κ≠ ∈  έχουμε: 

( ) ( )( )( )

ημx 1 συνx ημx 1 συνxημx ημx1 συνx 1 συνx 1 συνx 1 συνx

ημx 1 συνx

+ + −+ = =

− + − +

+=

1 συνx+ −( )2

2ημx

1 συν x=

− 2ημ

2.

ημxx=

 

 

β)   Από το (α) ερώτημα και για  x κπ,κ≠ ∈  έχουμε: 

ημx ημx 4 2 4 3 π4ημx 2 3 ημx ημx ημ

1 συνx 1 συνx ημx 2 33 3+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

− + 

π π π 2πx 2κπ  ή x 2κπ π x 2κπ   ή  x 2κπ ,  κ .

3 3 3 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ = + = + − ⇔ = + = + ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

 

– 30 –

GI_V_ALG_2_18632 

 

  Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι παραβολές  f gC ,C  που είναι γραφικές παραστάσεις των συ‐

ναρτήσεων f, g αντίστοιχα με πεδίο ορισμού το  . Η γραφική παράσταση της  g  προκύπτει 

από τη γραφική παράσταση της  f  με οριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση.  

  Παρατηρώντας το σχήμα:  

   α)   Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας, το είδος του ακρότατου της  f  και την τιμή του.  

 (Μονάδες 10) 

  β)   Να βρείτε μέσω ποιων μετατοπίσεων της  fC  προκύπτει η  gC .  

 (Μονάδες 15) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Η συνάρτηση  f  είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα  ( , 2]−∞ −  και γνησίως αύξουσα στο 

διάστημα [ 2, )− +∞  

  Παρουσιάζει ελάχιστη τιμή για  x 2= −  την  f( 2) 3− = . 

β)   Παρατηρούμε ότι η  gC  προκύπτει από την  fC , αν αυτή μετατοπιστεί κατά 4 μονάδες δεξιά 

και 4 μονάδες κάτω. 

  Δηλαδή: g(x) f(x 4) 4= − −  για κάθε  x∈ . 

 

– 31 –

GI_V_ALG_2_18634 

  Δίνεται η συνάρτηση  2f(x) 2x 12x 19= − +  

  α)   Να δείξετε ότι γράφεται στη μορφή:  2f(x) 2(x 3) 1= − +  

 (Μονάδες 10) 

  β)   Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης  2g(x) x= . Στο ίδιο σύστημα 

αξόνων, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της  f , και να εξηγήσετε πως αυτή προ‐

κύπτει μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της  g . 

 (Μονάδες 15) 

 ΛΥΣΗ: 

α)   Έχουμε :  2 2 2 2f(x) 2x 12x 19 2x 12x 18 1 2(x 6x 9) 1 2(x 3) 1= − + = − + + = − + + = − +  

 

β)   Η γραφική παράσταση της  f  (κόκκι‐

νη) θα προκύψει από τη γραφική 

παράσταση της g  (μπλε) με δύο με‐

τατοπίσεις : μία οριζόντια προς τα 

δεξιά κατά 3  μονάδες και μία κατα‐

κόρυφη προς τα πάνω κατά μία μο‐

νάδα. 

 

– 32 –

GI_V_ALG_2_18637 

 

  Δίνεται το σύστημα x 2y 9

αx βy γ

− =⎧⎨ + =⎩

 με παραμέτρους α,β,γ∈ . 

  α)   Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους  α,β,γ  ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση 

το ζεύγος  (1, 4)− . 

 (Μονάδες 13) 

  β)   Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους  α,β,γ  ώστε το σύστημα να είναι αδύνατο και 

να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας. 

 (Μονάδες 12) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Το σύστημα έχει ορίζουσα D β 2α= + . Για να έχει μοναδική λύση : D 0 β 2α  (1)≠ ⇔ ≠ − . 

  Αφού το ζεύγος  (1, 4)−  επαληθεύει, αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση (η πρώτη ικανο‐

ποιείται) και έχουμε α 4β γ (2)− = . 

  Φροντίζοντας να ισχύει η (1), επιλέγουμε π.χ.  α 1, β 2= =  και έτσι η (2) δίνει  γ 7= − . 

β)   Για να είναι το σύστημα αδύνατο πρέπει D 0 β 2α= ⇔ = − . Επιλέγουμε π.χ.  α 1,β 2= = −  και 

αντικαθιστούμε : 

 

x 2y 9

x 2y γ

− =⎧⎨ − =⎩

   άρα προφανώς θα πρέπει  γ 9≠ . Eπιλέγουμε π.χ.  γ 7= . 

  Tότε το σύστημα παριστάνει τις ευθείες 1 9 1 7

y x , y x2 2 2 2

= − = −  που είναι παράλληλες. 

 

– 33 –

GI_V_ALG_2_18638 

 

  Δίνεται το σύστημα 2x y 3

αx βy γ

+ =⎧⎨ + =⎩

 με παραμέτρους α,β,γ∈ . 

  α)   Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους  α,β,γ  ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση 

το ζεύγος  ( 1,5)− . 

 (Μονάδες 13) 

  β)   Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους  α,β,γ  ώστε το σύστημα να έχει άπειρες λύσεις 

και να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας. 

 (Μονάδες 12) 

 

ΛΥΣΗ: 

 

α)   Το σύστημα έχει ορίζουσα D 2β α= − .  

  Για να έχει μοναδική λύση πρέπει D 0 α 2β  (1)≠ ⇔ ≠ . 

  Αφού το ζεύγος  ( 1,5)−  επαληθεύει, αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση (η πρώτη ικανο‐

ποιείται) και έχουμε  α 5β γ (2)− + = . 

  Φροντίζοντας να ισχύει η (1), επιλέγουμε π.χ.  α 1,β 3= =  και έτσι η (2) δίνει  γ 14= . 

 

β)   Για να έχει άπειρες λύσεις το σύστημα 

πρέπει D 0 α 2β= ⇔ = .  

  Επιλέγουμε π.χ.  α 2,β 1= =  και αντικαθι‐

στούμε : 2x y 3

2x y γ

+ =⎧⎨ + =⎩  

 άρα προφανώς θα 

πρέπει  γ 3= .  

  Tότε οι λύσεις είναι τα ζεύγη που αποτε‐

λούν συντεταγμένες των σημείων της ευ‐

θείας  y 2x 3= − +  

 

 

 

– 34 –

GL_V_ALG_2_19911 

α)   Να αποδείξετε ότι: π 3 1

ημ x συνx ημx3 2 2

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

.            (Μονάδες 13) 

β)   Με τη βοήθεια του ερωτήματος α), να λύσετε στο διάστημα  ( )0,π  την εξίσωση:  

3 1συνx ημx 0

2 2+ =              (Μονάδες 12) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Εφαρμόζοντας τον τύπο  ( )ημ α β ημασυνβ συναημβ+ = +  έχουμε: 

π π π 1 3ημ x ημxσυν συνxημ ημx∙ συνx∙

3 3 3 2 2⎛ ⎞+ = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

. 

  Δηλαδή π 3 1

ημ x συνx ημx3 2 2

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

 

β)   Λόγω του πρώτου ερωτήματος ισχύει 3 1 πσυνx ημx ημ x

2 2 3⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

, οπότε έχουμε να λύ‐

σουμε την εξίσωση π

ημ x 03

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.   Έχουμε: 

π πx 2κπ 0 x 2κπ

π π 3 3ημ x 0 ημ x ημ0 ,κπ 2π3 3

x 2κπ π 0 x 2κπ3 3

⎧ ⎧+ = + = −⎪ ⎪⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⇔ + = ⇔ ⇔ ∈⎨ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪+ = + − = +

⎪ ⎪⎩ ⎩

 

 

Θέλουμε τις λύσεις του διαστήματος  ( )0,π . Οπότε: 

•  ( ) π 1x 0,π 0 x π 0 2κπ π 0 2κ 1

3 3∈ ⇔ < < ⇔ < − < ⇔ < − < ⇔

1 1 1 22κ 1 κ

3 3 6 3< < + ⇔ < <  και 

κ∈ . Συνεπώς δεν υπάρχει κ Z∈  τέτοιο ώστε να προκύπτει λύση στο διάστημα  ( )0,π  από 

τον πρώτο τύπο λύσεων. 

•  ( ) 2π 2x 0,π 0 x π 0 2κπ π 0 2κ 1

3 3∈ ⇔ < < ⇔ < + < ⇔ < + < ⇔

2 2 2 12κ 1 κ

3 3 3 6− < < − ⇔ − < <  και 

κ∈ . Οπότε κ 0=  και 2π

x3

= . 

Δηλαδή η μοναδική λύση της εξίσωσης στο διάστημα  ( )0,π  είναι η 2π

x3

=  

 

– 35 –

GI_V_ALG_2_19912 

 

Δίνεται γωνία ω  για την οποία ισχύει ότι  συν2ω 5ημω 2 0− + − =   

α)  Να αποδείξετε ότι ισχύει:  22ημ ω 5ημω 3 0+ − = .             (Μονάδες 12)  

β)   Να αποδείξετε ότι 1

ημω2

= .                    (Μονάδες 13)  

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Είναι  2συν2ω 1 2ημ ω= − , οπότε αντικαθιστώντας στην ισότητα  2συν2ω 1 2ημ ω= −  έχουμε:  

( )2 21 2ημ ω 5ημω 2 0 2ημ ω 5ημω 3 0− − + − = ⇔ + − =  

 

β)   Θέτω  y ημω, 1 y 1= − ≤ ≤  στην ισότητα  22ημ ω 5ημω 3 0+ − = , η οποία γράφεται: 

2 5 72y 5y 3 0 y

4− ±

+ − = ⇔ =  άρα  y 3= −  που απορρίπτεται ή 1

y2

=  άρα 1

ημω2

=  

– 36 –

GI_V_ALG_2_19913   

  Έστω η συνάρτηση   f(x) = (ημx +συνx)2 ,  x∈  

α)   Να αποδείξετε ότι f (x) = 1 + ημ2x , για κάθε  x∈              (Μονάδες 12) 

β)   Να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της  f . 

(Μονάδες 13) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Για κάθε  x∈  είναι  

    ( )2 2 2f(x) ημx συνx ημ x 2ημx συνx συν x= + = + ⋅ + =    

( )2 2ημ x συν x 2ημx συνx 1 ημ2x= + + ⋅ = + . 

β)   Η συνάρτηση  g(x) ημ2x=  έχει μέγιστη τιμή 1,  ελάχιστη τιμή –1 και περίοδο 2π

T π2

= = , ο‐

πότε και η συνάρτηση  f(x) 1 ημ2x 1 g(x)= + = +  έχει μέγιστη τιμή  1 + 1 = 2,  

  ελάχιστη τιμή 1 – 1 = 0 και περίοδο π. 

 

 

 GI_V_ALG_2_19914 

  Δίνεται η συνάρτηση  ( ) 2f x x 5= −  ,  x∈  .    

α)   Να δείξετε ότι η  f  παρουσιάζει ελάχιστο στο  x 0= .             (Μονάδες 8) 

β)   Είναι η  f  άρτια συνάρτηση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.       (Μονάδες 8) 

γ)   Με ποια μετατόπιση της  ( ) 2g x x=  προκύπτει η  fC ;             (Μονάδες 9) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Για κάθε  x∈ , ισχύει:  ( )2 2x 0 x 5 5 f x 5≥ ⇔ − ≥ − ⇔ ≥ −  

Όμως  ( )f 0 5= − , επομένως  ( ) ( )f x f 0≥  για κάθε  x∈ . 

Άρα η  f  παρουσιάζει ελάχιστο στο  x 0=  .  

β)   Ισχύουν ότι :  

• για κάθε  fx D∈ =  και το  fx D− ∈ =  

• ( ) ( ) ( )2 2f x x 5 x 5 f x− = − − = − =  

Επομένως η  f  άρτια συνάρτηση. 

γ)   Η  fC  προκύπτει από την μετατόπιση της  gC  στον άξονα;  y y′   κατά  5−  μονάδες. 

– 37 –

GI_V_ALG_2_20328 

Δίνεται το σύστημα: λx y 2

λx λy λ 1

+ =⎧⎨ + = +⎩

, με παράμετρο  λ∈ .   

α)  Να αποδείξετε ότι για τις ορίζουσες  x yD,D ,D  του συστήματος ισχύουν: 

( )D λ λ 1= − ,  xD λ 1= − ,  ( )yD λ λ 1= −  

 (Μονάδες 15) 

β)  Αν είναι  λ 0≠  και  λ 1≠ , τότε να λύσετε το σύστημα.  

(Μονάδες 10) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)  Οι ορίζουσες είναι: 

( )2λ 1D λ λ λ λ 1

λ λ= = − = −   

( )x

2 1D 2λ λ 1 2λ λ 1 λ 1

λ 1 λ= = − + = − − = −

+ 

( ) ( )2 2y

λ 2D λ λ 1 2λ λ λ 2λ λ λ λ λ 1

λ λ 1= = + − = + − = − = −

+ 

β)  Για  λ 0≠  και  λ 1≠  έχουμε ότι D 0≠ , οπότε το σύστημά μας θα έχει μοναδική λύση  ( )x,y , 

με  ( )

xD λ 1 1x

D λ λ 1 λ−

= = =−    

( )( )

yD λ λ 1y 1

D λ λ 1

−= = =

− 

Άρα  ( ) 1x,y ,1

λ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

,  { }λ 0,1∈ − .  

 

– 38 –

GI_V_ALG_2_20329 

  Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g, που ορί‐

ζονται στους πραγματικούς αριθμούς. Η γραφική παράσταση της g προκύπτει από τη γραφι‐

κή παράσταση της  f με οριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση. Από τις γραφικές παραστά‐

σεις να βρείτε: 

α)  Τα διαστήματα μονοτονίας της  f,  το είδος του ακρότατου της  f  ,  τη θέση και την τιμή 

του. 

(Μονάδες 12) 

  β)  Ποιες μετατοπίσεις της f δίνουν τη g. Να προσδιορίσετε στη συνέχεια τον τύπο της συ‐

νάρτησης g, αν  ( )f x x 2= + . 

(Μονάδες 13) 

ΛΥΣΗ:  α)  Παρατηρώντας τη γραφική παράσταση, συμπεραίνουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 

( ], 2−∞ − ,  γνησίως  αύξουσα  στο  [ )2,− +∞ .  Παρουσιάζει  ελάχιστο  στο  0x 2= −   με  τιμή 

( )f 2 0− = . 

 β)  Η γραφική παράσταση της g προκύπτει με κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστα‐

σης της f κατά ‐2 και οριζόντια κατά +5 μονάδες.   Είναι  ( )f x x 2= + , οπότε  ( ) ( )g x f x 5 2 x 2 5 2 x 3 2= − − = + − − = − − . 

 

      

 

 

 

 

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 

Άλγεβρας 

Β΄ τάξης Γενικού Λυκείου 

4o Θέμα  

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 Εκφωνήσεις ‐ Λύσεις  

των  θεμάτων 

 

  

Έκδοση 2η (2/12/2014)  

– 2 –

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Οι απαντήσεις και οι λύσεις  

είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς 

των Επιμελητών των φακέλων του Λυκείου 

του Δικτυακού Τόπου mathematica.gr με βάση υλικό που αναρτήθηκε στο mathematica 

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46866 

  

 

Συνεργάστηκαν οι: 

 

 

Γιώργος Απόκης, Γιώργος Βισβίκης, Γιώργης Καλαθάκης  

Γιώργος Λέκκας, Κλεάνθης Μανωλόπουλος, Στράτος Μανιτάρου, 

 Ανδρέας Παντέρης, Περικλής Παντούλας ,  Θανάσης Παπασταθόπουλος,  

Κώστας Ρεκούμης , Γιώργος Ρίζος, Γιώργος Ροδόπουλος,  

Σωτήρης Χασάπης  

 

 

 

 

 

 

Το Δελτίο διατίθεται ελεύθερα 

από το δικτυακό τόπο mathematica.gr 

 

– 3 –

Θέματα 4ης Ομάδας 

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου  

 GI_V_ALG_4_17833    Δίνεται η συνάρτηση  f(x) 8 x 8 x= − − +  

  α)   Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης  f   

 (Μονάδες 5) 

  β)   Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή.  

 (Μονάδες 8) 

  γ)   Αν η συνάρτησης  f  είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της, να επιλέξετε ποια 

από τις παρακάτω τρείς προτεινόμενες, είναι η γραφική της παράσταση και στη συνέ‐

χεια να υπολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της. 

 (Μονάδες 7) 

       δ)   Να αιτιολογήσετε γραφικά ή αλγεβρικά, γιατί οι συναρτήσεις  

g(x) f(x) 3= −  και h(x) f(x 3)= +  

    δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές. 

 (Μονάδες 5) 

 

ΛΥΣΗ:  

α)   Η συνάρτηση  f  ορίζεται αν και μόνο αν : 8 x 0 x 8

8 x 88 x 0 x 8

− ≥ ≤⎫ ⎫⇔ ⇔ − ≤ ≤⎬ ⎬+ ≥ ≥ −⎭ ⎭

 

  Επομένως το πεδίο ορισμού είναι το κλειστό διάστημα  [ ]A 8,8= −  

β)   Επειδή το πεδίο ορισμού είναι το κλειστό διάστημα  [ ]A 8,8= − ,  ικανοποιείται η συνθήκη  : 

για κάθε  x A∈  και  x A− ∈  

  Επιπλέον : Για κάθε  x [ 8,8]∈ − , είναι :  

( )f( x) 8 ( x) 8 ( x) 8 x 8 x 8 x 8 x f(x)− = − − − + − = + − − = − − − + = − , 

  οπότε η  f  είναι περιττή 

– 4 –

γ)   Επειδή η  f  είναι περιττή, η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς κέντρο την 

αρχή των αξόνων. Επιπλέον η  f  είναι γνησίως φθίνουσα οπότε η γραφική της παράσταση 

είναι η  III  

  Είναι :  

8 x 8 f( 8) f(x) f(8) 4 f(x) 4− ≤ ≤ ⇒ − ≥ ≥ ⇒ − ≤ ≤ , 

  διότι η  f  είναι γνησίως φθίνουσα 

  Άρα η  f  έχει για  x 8= − , μέγιστο το  f( 8) 4− =  και για  x 8= , ελάχιστο το  f(8) 4= −  

 

δ)   Η συνάρτηση  g  έχει πεδίο ορισμού επίσης το  A [ 8,8]= −  και η γραφική της παράσταση προ‐

κύπτει από τη γραφική παράσταση της  f  με μεταφορά κατά 3  μονάδες προς τα κάτω. 

  Επομένως θα έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο B(0, 3)− . Έτσι δεν είναι συμμετρική ως προς 

το O(0,0) , ούτε ως προς τον  y y′  άξονα. Επομένως δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. 

  Ακόμα η συνάρτηση h  έχει τύπο  

h(x) f(x 3) 8 (x 3) 8 (x 3) 5 x 11 x= + = − + − + + = − − +  

  και ορίζεται αν και μόνο αν : 

5 x 0 x 511 x 5

11 x 0 x 11

− ≥ ≤⎫ ⎫⇔ ⇔ − ≤ ≤⎬ ⎬+ ≥ ≥ −⎭ ⎭

 

Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι το :  D [ 11,5]= −  και δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή 

αφού δεν ικανοποιείται η συνθήκη "για κάθε  x D∈  και  x D− ∈ ",  

αφού π.χ. είναι  11 D− ∈  και 11 D∉ . 

 

– 5 –

GI_V_ALG_4_17834 

 

  Για τις ηλικίες των μελών μιας τριμελούς οικογένειας ισχύουν τα παρακάτω: 

  Η ηλικία της μητέρας είναι τριπλάσια από την ηλικία του παιδιού. Ο λόγος της ηλικίας του 

πατέρα προς την ηλικία του παιδιού ισούται με 113. 

  Επιπλέον το άθροισμα των ηλικιών και των τριών ισούται με 115  χρόνια. 

  α)   Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρείς αγνώστους.  

 (Μονάδες 13) 

  β)   Να βρείτε την ηλικία του καθενός.  

 (Μονάδες 12) 

 

ΛΥΣΗ:  

α)   Έστω  x,y,z   (0, )∈ +∞  οι ηλικίες πατέρα, μητέρας και παιδιού, αντίστοιχα. 

  Σύμφωνα με την υπόθεση είναι: 

y 3zy 3z

x 113x 11z

z 3x y z 115x y z 115

= ⎫ =⎪⎪= ⇔ =⎬⎪ + + =+ + = ⎪⎭

 

β) 

y 3z

3x 11z

x y z 115

= ⎫⎪= ⎬⎪+ + = ⎭

y 3z

3x 11z

3x 3y 3z 345

= ⎫⎪⇔ = ⎬⎪+ + = ⎭

y 3z

3x 11z

11z 9z 3z 345

= ⎫⎪⇔ = ⎬⎪+ + = ⎭

y 3z

11zx

323z 345

= ⎫⎪⎪⇔ = ⎬⎪

= ⎪⎭

y 45

x 55

z 15

= ⎫⎪⇔ = ⎬⎪= ⎭

 

  Επομένως ο πατέρας είναι 55 , η μητέρα 45  και το παιδί 15  

 

– 6 –

GI_V_ALG_4_17835 

  Δίνονται  οι  ευθείες  1ε   και  2ε   με  εξισώσεις  ( ) ( )x λ 2 y 3,   λ 2 x 5y 3+ + = − + =   αντίστοιχα  με 

λ∈ . 

  α)   Για τις διάφορες τιμές του  λ∈ , να βρείτε τη σχετική θέση των δύο ευθειών.  

 (Μονάδες 13) 

  β)   Στην περίπτωση που οι ευθείες  1ε  και  2ε  τέμνονται, να βρείτε τις συντεταγμένες του 

σημείου τομής A  των δύο ευθειών.                   (Μονάδες 7) 

  γ)   Να βρείτε την τιμή του  λ∈  για την οποία το σημείο  A  ανήκει στην ευθεία με εξίσω‐

ση  x 2y 3.+ =                       (Μονάδες 5) 

ΛΥΣΗ:  

α)   Η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με: 

( ) ( )( )2 21 λ 2D 5 λ 4 9 λ λ 3 λ 3

λ 2 5

+= = − − = − = − − +

− 

  ενώ έχουμε και:  

( )x

3 λ 2D 15 3∙ λ 2 9 3λ 3(λ 3)

3 5

+= = − + = − = − −  

( ) ( )y

1 3D 3 3∙ λ 2 9 3λ 3 λ 3

λ 2 3= = − − = − = − −

− 

 

i)   Αν  ( )( )D 0 3 λ 3 λ 0 λ 3 και   λ  ‐3≠ ⇔ − + ≠ ⇔ ≠ ≠  τότε οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο Α. 

ii)   Αν  λ 3=  τότε έχουμε, αντικαθιστώντας στο αρχικό μας σύστημα: x 3y 5

x 3y 5

+ =⎧⎨ + =⎩

,  

  δηλαδή οι ευθείες ταυτίζονται. 

iii)   Αν  λ 3= − τότε αντικαθιστώντας στο αρχικό μας σύστημα λαμβάνουμε: x y 3

3x y

5

− =⎧⎪⎨

− =⎪⎩

  

   επομένως το σύστημα είναι αδύνατο δηλαδή τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.  β)   Οι συντεταγμένες του σημείου  A  είναι  

yxDD 3 3

x , yD λ 3 D λ 3

= = = =+ + ,

 δηλαδή 3 3

Α , .λ 3 λ 3

⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

 

γ)   Για να ανήκει το σημείο  A  πάνω στην ευθεία  x 2y 3+ = πρέπει και αρκεί οι συντεταγμένες 

του να επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας.  

  Από το ερώτημα Β έχουμε: 3 6

3.λ 3 λ 3

+ =+ +

  Δηλαδή:  ( )3 λ 3 9+ =   λ 3 3 λ 0.⇔ + = ⇔ =  

 

– 7 –

GI_V_ALG_4_17837 

  Δίνεται η συνάρτηση  f(x) α 1ημ(βπx)= +  με  α∈  και  β 0> , η οποία έχει μέγιστη τιμή 3  και 

περίοδο 4  

  α)   Να δείξετε ότι  α 2=  ή  α 4= −  και 1

β2

= . (Μονάδες 7) 

  β)   Για α 2=  και 1

β2

= , 

    i. να λυθεί η εξίσωση  f(x) 3=  (Μονάδες 10) 

     ii. να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης  f  στο διάστημα  [ ]0,8 .  

(Μονάδες 8) 

ΛΥΣΗ:  

α)   Η συνάρτηση  f  έχει τύπο της μορφής ρημ(ωx) , με ρ α 1= +  και ω βπ 0= >  

  Είναι: maxf(x) α 1 3 α 1 α 1 3= + ⇒ = + ⇒ + =  ή α 1 3 α 2+ = − ⇒ =  ή  α 4= −   

  και 2π 1

T 4 4 4β 2 ββπ 2

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =  

β)   Για α 2=  και 1

β2

=  είναι π

f(x) 3ημ x2

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

 

i.  

π π π πf(x) 3 3ημ x 3 ημ x 1 ημ x ημ

2 2 2 2

π π π πx 2κπ x 2κπ π

2 2ή

2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇔ = ⇔ = ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔ = + = + −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ή  

          πx 4κπ π x 4κ 1 ,κ Z⇔ = + ⇔ = + ∈ . 

ii.   Στο διάστημα  [ ]0,8 , έχουμε τον πίνακα τιμών:  

( )x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

f x 0 3 0 3 0 3 0 3 0− − 

   

 

 

 

  και η γραφική παράσταση της  f   

  φαίνεται στο σχήμα. 

– 8 –

GI_V_ALG_4_17838 

  Για την γωνία ω  ισχύει ότι 5συν2ω 28συνω 21 0+ + = . 

  α.  Να δείξετε ότι 4

συνω5

= −   

  β.  Αν για την γωνία ω  επιπλέον ισχύει π

ω π2< < , τότε: 

    i.  Να δείξετε ότι 7

συν2ω25

=  και 24

ημ2ω25

= − . 

    ii.  Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:  

[ ]

2 213∙ ημ 2ω συν 2ω 12Π

18∙εφ2ω∙σφ2ω 25 ημ2ω συν2ω

⎡ ⎤+ +⎣ ⎦=+ +

 

 

 

ΛΥΣΗ:  

α)   Για την γωνία ω  ισχύει ότι 5συν2ω 28συνω 21 0+ + =     (1). 

  Όμως  2συν2ω 2συν ω 1= −    (2).  

   Έτσι η (1) γράφεται:  

 ( )2 2

2 2

5 2συν ω 1 28συνω 21 0 10συν ω 5 28συνω 21 0

10συν ω 28συνω 16 0 5συν ω 14συνω 8 0

− + + = ⇔ − + + = ⇒

⇔ + + = ⇔ + + = 

  Θέτω:  συνω y=  με  [ ]y 1,1∈ − . 

  Η  παραπάνω  σχέση  τότε  γράφεται:  25y 14y 8 0+ + =   που  παριστάνει  τριώνυμο  με 

α 5,β 14,γ 8= = =  και διακρίνουσα  2 2Δ β 4αγ 14 4∙5∙8 196 160 36 0= − = − = − = > .  

  Άρα το τριώνυμο έχει δυο διακεκριμένες πραγματικές ρίζες που είναι οι: 

  1,2

β Δ 14 36 14 6y

2α 2∙5 10− ± − ± − ±

= = = ,  

  οπότε : 

 1

14 6 8 4y

10 10 5− +

= =− = −  που είναι δεκτή και  2

14 6 20y 2 1

10 10− −

= =− = − < − , που απορρίπτεται. 

  Επομένως: 4

συνω y συνω5

= ⇒ = −  

 

β)   Για την γωνία  ω  ισχύει π

ω π π 2ω 2π2< < ⇒ < <  και επομένως η γωνία είναι στο 2ο τεταρ‐

τημόριο ενώ η διπλάσιά της βρίσκεται στο 3ο ή στο 4ο τεταρτημόριο.  

– 9 –

i)  Ισχύει: 2

2 2 2 2 2 4 16 9 3συν ω ημ ω 1 ημ ω 1 συν ω ημ ω 1 1 ημω

5 25 25 5⎛ ⎞+ = ⇒ = − ⇒ = − − = − = ⇒ = ±⎜ ⎟⎝ ⎠

 

  Όμως η γωνία είναι στο 2ο τεταρτημόριο που τα ημίτονα είναι θετικά άρα 3

ημω5

= . 

  Είναι  

     2

2 4 16 32 25 7συν2ω 2συν ω 1 2 1 2∙ 1

5 25 25 25 25⎛ ⎞= − = − − = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

  

  και 3 4 24

ημ2ω 2ημω∙συνω 2∙5 5 25⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

 

 

ii)   Για την παράσταση Π έχω:  

[ ]

2 213∙ ημ 2ω συν 2ω 12 13∙1 12Π

7 2418∙εφ2ω∙σφ2ω 25 ημ2ω συν2ω 18∙1 2525 25

25 2525

17 18 1718 2525

⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦= = =+ + ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

= = =−⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

 

  

– 10 –

AL_4_17839 

  Δίνεται το σύστημα: (α‐1)x+3y=3

x (α+1)y=3⎧⎨ +⎩

, με παράμετρο α∈ . 

  α)   Να αποδείξετε ότι αν το σύστημα έχει μοναδική λύση την  0 0(x ,y ) , τότε  0 0x y=  

(Μονάδες 10) 

  β)   Να βρείτε τις τιμές του α∈  για τις οποίες το σύστημα: 

    i.   έχει άπειρες σε πλήθος λύσεις και να δώσετε τη μορφή τους.  

       (Μονάδες 6) 

    ii.   δεν έχει λύση.  

(Μονάδες 4) 

  γ)   Να εξετάσετε τις σχετικές θέσεις των δύο ευθειών που προκύπτουν από τις εξισώσεις 

του παραπάνω συστήματος για  α 4,α 2,α 2= = = − .  

(Μονάδες 5) 

 

ΛΥΣΗ: 

  Υπολογίζουμε τις ορίζουσες του συστήματος.  

  Είναι: 

     

α 1 3D

1 α 1

−= =

+2 2(α 1)(α 1) 3 α 1 3 α 4 (α 2)(α 2)− + − = − − = − = − +  

         x

3 3D 3(α 1) 9 3α 6 3(α 2)

3 α 1= = + − = − = −

+       

      y

α 1 3D 3(α 1) 3 3α 6 3(α 2)

1 3

−= = − − = − = −

   Επομένως : 

  Αν D 0 (α 2)(α 2) 0 α 2≠ ⇔ − + ≠ ⇔ ≠  και α 2≠ − , το σύστημα έχει μοναδική λύση την : 

yx0 0

DD 3(α 2) 3(α 2) 3 3(x ,y ) , , ,

D D (α 2)(α 2) (α 2)(α 2) (α 2) (α 2)

⎛ ⎞ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠, 

  οπότε έχουμε άμεσα ότι :  0 0x y=  

 

βi)   Αν α 2= , το σύστημα γίνεται : 

(2‐1)x+3y=3 x+3y=3x 3y 3 x 3 3y

x (2+1)y=3 x 3y=3⎧ ⎧

⇔ ⇔ + = ⇔ = −⎨ ⎨+ +⎩ ⎩ 

  και επομένως έχει άπειρες λύσεις, της μορφής :  (x,y) (3 3k,k) ,k= − ∈  

– 11 –

ii)   Αν α 2= − , το σύστημα γίνεται : 

( 2 1)x 3y 3 3x 3y 3 x y 1 0x 0y 2

x ( 2 1)y 3 x y 3 x y 3 x y 3

− − + = − + = − + = + =⎧ ⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ − + = − = − = − =⎩ ⎩ ⎩ ⎩

, 

  το οποίο είναι αδύνατο 

 

γ)   Για  α 3=  το σύστημα έχει μοναδική λύση και επομένως οι αντίστοιχες ευθείες έχουν μονα‐

δικό κοινό σημείο, δηλαδή τέμνονται 

 

  Για  α 2=  το σύστημα έχει άπειρες λύσεις και επομένως οι αντίστοιχες ευθείες έχουν άπειρα 

κοινά σημεία, οπότε συμπίπτουν 

 

  Για α 2= −  το σύστημα είναι αδύνατο και επομένως οι αντίστοιχες ευθείες δεν έχουν κανένα 

κοινό σημείο, οπότε είναι παράλληλες 

 

– 12 –

GI_V_ALG_4_17840 

  Δίνεται το σύστημα x 2y 1

x λy λ

− + =⎧⎨ + =⎩

, με παράμετρο  λ∈  

  α)   Να λύσετε το σύστημα για τις διάφορες τιμές του  λ∈   

(Μονάδες 10) 

  β)   Αν  λ 1= −   και  ( )o ox ,y   είναι  η  αντίστοιχη  λύση  του  συστήματος,  να  βρείτε  γωνία 

[ )θ 0,2π∈  τέτοια ώστε  ox συνθ=  και  oy ημθ=   

 (Μονάδες 7) 

  γ)   Αν  λ 1=  και  ( )1 1x ,y  είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος, να δείξετε ότι δεν υπάρ‐

χει γωνία ω , τέτοια ώστε  1x συνω=  και  1y ημω= .  

(Μονάδες 8) 

ΛΥΣΗ: 

α)   Για το σύστημα x 2y 1

(Σ):x λy λ

− + =⎧⎨ + =⎩  

είναι:   

   x y

1 2 1 2 1 1D λ 2 , D λ 2λ λ και D λ 1

1 λ λ λ 1 λ

− −= = − − = = − = − = = − −  

    •    Αν D 0 λ 2 0 λ 2≠ ⇔ − − ≠ ⇔ ≠ − , το  (Σ)  έχει μοναδική λύση το ζεύγος  

( ) yxDD λ λ 1 λ λ 1

x,y , , ,D D λ 2 λ 2 λ 2 λ 2

⎛ ⎞ − − − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 

    •  Αν D 0 λ 2 0 λ 2= ⇔ − − = ⇔ = − , τότε:  

x 2y 1 x 2y 1(Σ)

x 2y 2 x 2y 2

− + = − = −⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨− = − − = −⎩ ⎩

, προφανώς αδύνατο. 

β)   Αν  λ 1= −  τότε η λύση του  (Σ)  είναι το ζεύγος  

( ) ( )o o

1 1 1x ,y , 1,0

1 2 1 2− − +⎛ ⎞= = −⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠

 

  Επειδή  [ )π 0,2π∈  με  oσυνπ 1 x= − =  και  oημπ 0 y= = , είναι  θ π=  

γ)   Αν  λ 1=  τότε η λύση του  (Σ)  είναι το ζεύγος  

( )1 1

1 1 1 1 2x ,y , ,

1 2 1 2 3 3+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

  Αν υπάρχει γωνία ω , τέτοια ώστε,  1

1συνω x

3= =  και  1

2ημω y

3= =   

  θα πρέπει:  2 2 4 1 5ημ ω συν ω 1 1 1

9 9 9+ = ⇒ + = ⇒ = , που είναι άτοπο. 

– 13 –

GI_V_ALG_4_17841 

 

  Η Αλίκη και η Αθηνά διασκεδάζουν στη ρόδα του λούνα παρκ. Η απόσταση, σε μέτρα, του 

καθίσματος  τους  από  το  έδαφος  την  χρονική  στιγμή  t sec   δίνεται  από  την  συνάρτηση 

πth(t) 8 6∙ημ ,0 t 180

30⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

 

  α)   Να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο ύψος στο οποίο φτάνει το κάθισμα, καθώς και τις 

στιγμές κατά τις οποίες το κάθισμα βρίσκεται στο ελάχιστο και στο μέγιστο ύψος.  

(Μονάδες 8) 

  β)   Να υπολογίσετε την ακτίνα της ρόδας.  

 (Μονάδες 3) 

  γ)   Να βρείτε την περίοδο της κίνησης, δηλαδή το χρόνο στον οποίο η ρόδα ολοκληρώνει 

μια περιστροφή. Πόσους γύρους έκαναν οι δύο φίλες στο διάστημα από 0 έως 180 sec; 

(Μονάδες 4+2=6) 

  δ)   Να μεταφέρετε στην κόλα σας τον πίνακα τιμών και  το σύστημα συντεταγμένων που 

δίνεται παρακάτω και: 

     i.   Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης του ύψους h(t)   

 (Μονάδες 3) 

     ii.   Να σχεδιάσετε στο σύστημα συντεταγμένων  το τμήμα της γραφικής παράστασης 

της συνάρτησης h(t)  με 0 t 90  

 (Μονάδες 5) 

 

( )t 0 15 30 45 60 75 90

h t 

 

 

– 14 –

ΛΥΣΗ: 

α)   Για τη συνάρτηση πt

g(t) 6∙ημ30

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

 έχουμε ότι: maxg(t) 6=  και ming(t) 6= −   

  Συνεπώς  maxh(t) 8 maxg(t) 8 6 14= + = + =  

  και  minh(t) 8 ming(t) 8 6 2= + = − = , 

  δηλαδή το μέγιστο ύψος που φτάνει το κάθισμα είναι 14m  και το ελάχιστο 2m  

•    Όταν το κάθισμα βρίσκεται στο μέγιστο ύψος έχουμε: 

 

πt πt πt πt πh(t) 14 8 6∙ημ 14 6∙ημ 6 ημ 1 ημ ημ

30 30 30 30 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠  

         

πt π2κπ

30 2⇔ = +  ή 

πt π2κπ π πt 60κπ 15π t 60κ 15,κ

30 2= + − ⇔ = + ⇔ = + ∈   

  Όμως 

1 110 t 180 0 60κ 15 180 15 60κ 165 κ

4 4⇔ + ⇔ − ⇔ − , 

  οπότε 

κ 0=  ή κ 1=  ή κ 2=  και άρα  t 15=  ή  t 75=  ή  t 135=  

•    Όταν το κάθισμα βρίσκεται στο ελάχιστο ύψος έχουμε: 

 

πt πt πt πt πh(t) 2 8 6∙ημ 2 6∙ημ 6 ημ 1 ημ ημ

30 30 30 30 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

  πt π2λπ

30 2⇔ = −  ή 

πt π2λπ π πt 60λπ 15π t 60λ 15,λ

30 2= + + ⇔ = − ⇔ = − ∈ ,  

  όμως 

1 130 t 180 0 60λ 15 180 15 60λ 195 λ

4 4⇔ − ⇔ ⇔ , 

  οπότε 

λ 1=  ή  λ 2=  ή  λ 3=  και άρα  t 45=  ή  t 105=  ή  t 165=  

 

β)   Για την διάμετρο της ρόδας έχουμε: (σχήμα) 

d (AE) (BE) maxh(t) minh(t) 14 2 12m= − = − = − =  

  οπότε η ακτίνα της ρόδας είναι 6m  

γ)   Είναι 2π

T 60 secπ30

= =  και επομένως οι δύο φίλες έκαναν 

1803

60=  γύρους. 

 

– 15 –

δ)   Έχουμε: 

     

0 πh(0) 8 6∙ημ 8 ,h(15) 8 6∙ημ 14 ,

30 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠  

     ( ) 3π

h(30) 8 6∙ημ π 8 ,h(45) 8 6∙ημ 22

⎛ ⎞= + = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

 

     ( ) 5π π

h(60) 8 6∙ημ 2π 8 ,h(75) 8 6∙ημ 8 6∙ημ 14 ,2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠  

      ( ) ( )h(90) 8 6∙ημ 3π 8 6∙ημ π 8= + = + =   

  άρα έχουμε τον πίνακα τιμών:  

 

( )t 0 15 30 45 60 75 90

h t 8 14 8 2 8 14 8 

 

  Η γραφική παράσταση στο δοσμένο διάστημα είναι: 

 

    

– 16 –

GI_V_ALG_4_17842 

  Δίνεται η συνάρτηση:  ( ) ( )21f x x c d, x

2= − − ∈   

  με  c,  d   θετικές  σταθερές,  η  γραφική  παράσταση  της  οποίας  διέρχεται  από  τα  σημεία 

( )A 0,  16  και  ( )B 4,  0  

  α)   Με βάση τα δεδομένα, να κατασκευάσετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με αγνώστους 

τους c,  d  και να υπολογίσετε την τιμή τους.  

 (Μονάδες 10) 

  β)   Θεωρώντας γνωστό ότι  c 6=  καιd 2= , 

    i.   να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης  f  με τους 

      άξονες.                         (Μονάδες 3) 

    ii.   να μεταφέρετε στην κόλα σας το σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να σχε‐

διάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης  f  και να εξηγήσετε πώς αυτή σχε‐

τίζεται με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης  ( ) 21g x x

2=           (Μονάδες 6) 

    iii.  με βάση την παραπάνω γραφική παράσταση, να βρείτε το ακρότατο της συνάρτη‐

σης f , τα διαστήματα στα οποία η  f  είναι μονότονη, καθώς και το είδος της μονο‐

τονίας της σε καθένα από αυτά τα διαστήματα.             (Μονάδες 6) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Η γραφική παράσταση της συνάρτησης  ( ) ( )21f x x c d, x

2= − − ∈  διέρχεται από τα σημεία 

( )A 0,  16   και  ( )B 4,  0 ,  επομένως οι  συντεταγμένες  των σημείων θα  επαληθεύουν  την  εξί‐

σωσή της. 

  Δηλαδή   ( )f 0 16=  και  ( )f 4 0=  

  Άρα  

( ) ( )∙22 2 21 1

f 0 16 0 c d 16 c d 16 c 2d 32 (1)2 2

= ⇔ − − = ⇔ − = ⇔ − =  

  και  

( ) ( ) ( )∙22 2 21 1

f 4 0 4 c d 0 16 8c c d 0 16 8c c 2d 0 (2)2 2

= ⇔ − − = ⇔ − + − = ⇔ − + − =  

  Με αντικατάσταση της σχέσης (1) στην σχέση (2) παίρνουμε: 

16 8c 32 0 8c 48 c 6− + = ⇔ = ⇔ =  

  Αντικαθιστώντας στην σχέση ( 1)  

36 2d 32 4 2d d 2− = ⇔ = ⇔ =  

– 17 –

β)   Αφού  c 6=  καιd 2=  τότε  ( ) ( )21f x x 6 2, x

2= − − ∈ . 

i.  Για να βρούμε τα σημεία τομής της  fC  με τον άξονα  x x′  λύνουμε το σύστημα ( )y f x

y 0

⎧ =⎨

=⎩  

  Είναι  ( ) ( ) ( )∙22 2

x 6 2 x 81

f x 0 x 6 2 0 x 6 42

x 6 2 x 4

− = ⇔ =⎧⎪= ⇔ − − = ⇔ − = ⇔ ⎨⎪ − = − ⇔ =⎩

 

  Επομένως τα κοινά σημεία της  fC  με τον άξονα  x x′  είναι  ( )B 4,  0 και  ( )Γ 8,  0  

  Αντίστοιχα για το σημείο τομής της  fC  με τον άξονα y'y βρίσκουμε το  ( )f 0 16=  δηλαδή το 

δοσμένο σημείο A . 

ii.  Η συνάρτηση  ( ) 21g x x

2=  είναι της μορφής  2y αx=  που η γραφική της παράσταση  

  αποτελεί  καμπύλη που  την ονομάζουμε παραβολή με  κορυφή  το σημείο Ο(0,0),  το  οποίο 

αποτελεί και το ελάχιστο αυτής. 

 

  Η  γραφική  παράσταση  της  συνάρτησης 

( ) ( )21f x x 6 2

2= − −   αποτελεί  μετατόπιση 

της  gC , όπως φαίνεται και στο σχήμα,  

  κατά  2−  μονάδες στον άξονα  y y′  και κα‐

τά  6+  μονάδες στον άξονα  x x′ . 

 

iii.  Η συνάρτηση  f  παρουσιάζει ελάχιστο για 

x 6=  που είναι το  ( )f 6 2= − . 

  Στο  διάστημα  ( ],6−∞   η  f   είναι  γνησίως 

φθίνουσα. 

  Στο  διάστημα  [ )6,+∞   η  f   είναι  γνησίως 

αύξουσα. 

 

– 18 –

GI_V_ALG_4_17843 

 

  Στο παρακάτω σχήμα δίνεται  η  γραφική παράσταση μιας  συνάρτησης  f  η  οποία  είναι  της 

μορφής ( )f(x)  ρημ ωx k= + , με ρ,  ω,  k  πραγματικές σταθερές. 

     α)   Με βάση τη γραφική παράσταση, να βρείτε: 

    i.   τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης  f            (Μονάδες 3) 

    ii.   την περίοδο  T  της συνάρτησης f                   (Μονάδες 3) 

  β)   Να προσδιορίσετε τις τιμές των σταθερών ρ,  ω,k . 

    Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.                  (Μονάδες 9) 

  γ)   Θεωρώντας γνωστό ότι 1

ρ 3, ω2

= =  και  k 2= , να προσδιορίσετε αλγεβρικά την τετμη‐

μένη  0x  του σημείου A  της γραφικής παράστασης, που δίνεται στο σχήμα.  

(Μονάδες 10) 

 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Από την γραφική παράσταση της συνάρτησης προκύπτει ότι: 

i.   maxf 5=  και minf 1= −   

ii.  Η περίοδος  T 4π=   

 

β)   Από την γραφική παράσταση της συνάρτησης προκύπτει ότι  ρ,κ  είναι θετικοί αριθμοί.  

  Επομένως   maxf 5 ρ k 5 (1)= ⇔ + =  

         minf 1 ρ k 1 (2)= − ⇔ − + = −  

  Προσθέτοντας τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει 2k 4 k 2= ⇔ =  , 

  και με αντικατάσταση ρ 3= . 

  Ακόμη 2π 1

T 4π 4π 2π 4ωπ ωω 2

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =  

– 19 –

  Επομένως k 2= , ρ 3=  και 1

ω2

= .  

γ)   Αφού k 2= , ρ 3=  και 1

ω2

=  τότε 1

f(x)  3ημ x 22

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

. 

  Η  γραφική  παράσταση  της  συνάρτησης 1

f(x)  3ημ x 22

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

  διέρχεται  από  το  σημείο 

0

7A x ,  

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, επομένως οι συντεταγμένες του σημείου θα επαληθεύουν την εξίσωσή της Δη‐

λαδή είναι  ( )07

f x2

=  

  Είναι  

( )0 0 0

7 1 7 1 7f x 3ημ x 2 3ημ x 2

2 2 2 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇔ + = ⇔ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 0

1 3 1 13ημ x ημ x

2 2 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ = ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠  

0

1 πημ x ημ

2 6⎛ ⎞⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠

0

1 πx 2κπ

2 6⎛ ⎞⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

ή  0

1 πx 2κπ π

2 6⎛ ⎞⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

 

            0

πx 4κπ

3⇔ = + ή  0

5πx 4κπ , κ

3= + ∈  

  Όμως, όπως φαίνεται από το σχήμα,  05π x 6π< <  

  Επομένως  

 5π 4κπ 6π 5 4κ 6 14 12κ

π7

11

3 3< + < ⇔ < + < ⇔ < <

14 17 2 5κ 1 κ 1

12 12 12 12⇔ < < ⇔ + < < +  

  που είναι αδύνατο αφού κ∈  

  Επίσης 5π 5

5π 4κπ 6π 5 4κ 6 10 12κ 133 3

< + < ⇔ < + < ⇔ < <  10 13

κ κ 112 12

⇔ < < ⇔ =  

  Άρα για κ 1=  έχουμε  0

5π 17πx 4π

3 3= + =   

 

– 20 –

GI_V_ALG_4_17844 

  α)   Να λύσετε το σύστημα:  2 2

x y 1

x y 1

+ = −⎧⎨ + =⎩

                     (Μονάδες 12) 

  β)   Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) και του τριγωνομετρικού κύκλου, να βρείτε όλες τις 

γωνίες ω  με  0 ω 2π≤ ≤ , που ικανοποιούν τη σχέση  συνω ημω 1+ = −  και να τις απεικο‐

νίσετε πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο.  

(Μονάδες 13) 

 

 

ΛΥΣΗ: 

α) ( )22 2

x y 1x y 1 x y 1

1 2xy 1x y 1 x y 2xy 1

+ −⎧+ = − + = −⎧ ⎧⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ − =+ = + − = ⎩⎪⎩ ⎩

x y 1 x y 1

xy 0 x 0 ή y 0

+ = − + = −⎧ ⎧⇔⎨ ⎨= = =⎩ ⎩

 

  Οπότε το σύστημα είναι ισοδύναμο με τα συστήματα 

  x y 1 y 1

(x,y) (0, 1)x 0 x 0

+ = − = −⎧ ⎧⇔ ⇔ = −⎨ ⎨= =⎩ ⎩

    ή  x y 1 x 1

(x,y) ( 1,0)y 0 y 0

+ = − = −⎧ ⎧⇔ ⇔ = −⎨ ⎨= =⎩ ⎩

 

  Τελικά οι λύσεις είναι  (x,y) (0, 1)= −  ή  (x,y) ( 1,0)= −  

β)   Η δοσμένη σχέση:  συνω ημω 1+ = −  μαζί με την ταυτότητα  2 2ημ ω+συν ω=1  σχηματίζουν το 

σύστημα   2 2

συνω ημω 1

ημ ω+συν ω=1

+ = −⎧⎨⎩

 

  Θέτοντας συνω x, ημω=y=  με  ‐1 x 1, 1 y 1≤ ≤ − ≤ ≤  το σύστημα είναι ισοδύναμο  

  με το   2 2

x y 1

x y 1

+ = −⎧⎨ + =⎩

,  

  το οποίο από το (α) ερώτημα έχει τις λύσεις (x,y) (0, 1)= −  ή  (x,y) ( 1,0)= − , που είναι δεκτές. 

 

  Αντικαθιστώντας έχουμε : 

    συνω 0=  και ημω=‐1 ,κι αφού 0 ω 2π≤ ≤ , είναι 3π

ω2

= ,  

  ή  συνω 1= −  και ημω=0  κι αφού 0 ω 2π≤ ≤ , είναι  ω π=  

 

  Στον  τριγωνομετρικό κύκλο οι  λύσεις παριστάνονται με  τα ση‐

μεία B,Γ  

 

– 21 –

GI_V_ALG_4_17846 

  Δίνονται οι συναρτήσεις  f(x) συνx=  και  g(x) συν2x= .  

  α)   Να μεταφέρετε στην κόλα σας και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών των 

συναρτήσεων  f  και  g . Στη συνέχεια, να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γρα‐

φικές παραστάσεις των συναρτήσεων  f(x)  και  g(x) , για  [ ]xε 0,  2π 

(Μονάδες 8) 

   β)   Με  τη  βοήθεια  της  γραφικής  παράστασης,  να  προσδιορίσετε  το  πλήθος  των  λύσεων 

της εξίσωσης  ( )συν2x συνx 1=  στο διάστημα  [ ]0,  2π . 

 (Μονάδες 4) 

  γ)   Να λύσετε αλγεβρικά την εξίσωση  (1) στο διάστημα  [ ]0,  2π  και να σημειώσετε πάνω 

στο σχήμα του ερωτήματος  (α)  τις συντεταγμένες των κοινών σημείων των γραφικών 

παραστάσεων των συναρτήσεων  f  και g .  

(Μονάδες 13) 

 

ΛΥΣΗ: 

x  0  π4 

π2 

3π4

 5π4

 3π2

 7π4

 2π   

f(x)   1  22

  0   22

−  22

−   0   22

  1  

g(x)   1   0   1−   0   0   1−   0   1   

Είναι: 

      f(0) συν0 1= = ,       g(0) συν0 1= =   

      π   π  2

f συν4 4 2

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

,     π   π   π 

g συν2∙ συν 04 4 2

⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

  

      π   π 

f συν 02 2

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

,     π   π 

g συν2∙ συνπ 12 2

⎛ ⎞ = = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

  

     3 π  3 π  π π 2

f συν     συν π συν     4 4 4 4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = − =−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

,  

– 22 –

     3 π  3 π  3 π 

g συν2∙ συν 04 4 2

⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

  

     5 π  5 π  π π 2

f συν συν  π συν     4 4 4 4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + = − =−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

.  

      5 π  5 π  5 π   π   π 

g συν 2∙ συν συν 2π συν 04 4 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

     3 π  3 π 

f συν 02 2

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

,  

       ( )3 π  3 π g συν2∙ συν3π συν 2π π συνπ 1

2 2⎛ ⎞ = = = + = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

 

     7 π  7 π   π   π π 2

f συν συν 2π     συν συν4 4 4 4 4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = − = − = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  

      7 π  7 π  7 π  3 π  3 π 

g συν2∙ συν συν 2π συν 04 4 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

      f(2π) συν2π 1= = ,       g(2π) συν4π 1= =   

 

  

 

β)  Το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης συν2x συνx=  στο διάστημα  [ ]0,  2π  είναι το πλήθος 

των κοινών σημείων των  fC  και  gC   στο διάστημα αυτό. 

   Από το σχήμα προκύπτει ότι το πλήθος των κοινών σημείων  είναι  4  . 

 

– 23 –

γ)   Είναι   συν2x συνx 2x 2κπ x= ⇔ = +  ή 2x 2κπ x= −  

                                            x 2κπ⇔ =    ή  3x 2κπ=  

                                          x 2κπ⇔ =    ή  2κπ

x3

= ,   κ∈   

   Επειδή θέλουμε οι λύσεις 2κπ   και 2κπ3

  να ανήκουν στο διάστημα  [ ]0,  2π  

• 0 2κπ 2π 0 κ 1≤ ≤ ⇔ ≤ ≤   με  κ∈  

  Δηλαδή  κ 0=    ή κ 1=   

  Επομένως  για  κ 0=    τότε   x 0=   

          για κ 1=    τότε   x 2π=   

 

• 32κπ

0 2π 0 2κ 6 0 κ 33

⋅

≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤   με κ∈  

  Δηλαδή  κ 0=    ή κ 1=  ή κ 2=    ή κ 3=  

  Επομένως  για  κ 0=    τότε   x 0=   

         για κ 1=    τότε  2π

x3

=   

         για  κ 2=    τότε  4π

x3

=   

        για κ 3=    τότε   x 2π=  

  

  Άρα η εξίσωση  (1)  στο διάστημα [ ]0,  2π  έχει 4   λύσεις: 

x 0= ,    2π

x3

= ,     4π

x3

=    και     x 2π=  

  Οι παραπάνω λύσεις είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων 

των συναρτήσεων  f   και g  

  Για   x 0=    τότε   συν0 1=   

  για   2π

x3

=  τότε 2π 1

συν3 2= −  

  για   4π

x3

=  τότε 4π π π 1

συν συν π συν3 3 3 2

⎛ ⎞= + = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

 

  για    x 2π=  τότε συν2π 1=  

  Επομένως τα κοινά σημεία, όπως φαίνονται και στο παραπάνω σχήμα είναι : 

( )0,1 ,  2π 1

,3 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

  4π 1

,3 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

  και   ( )2π,1 . 

– 24 –

GI_V_ALG_4_17850 

  Ο Κώστας έχει τρία παιδιά. Δύο δίδυμα κορίτσια και ένα αγόρι. Στην ερώτηση πόσων χρο‐

νών είναι τα παιδιά του απάντησε ως εξής. 

  1.   Το άθροισμα των ηλικιών και των τριών παιδιών είναι 14   

  2.   Το γινόμενο της ηλικίας της κόρης μου επί την ηλικία του γιου μου είναι 24  

  3.   Το άθροισμα των ηλικιών των κοριτσιών είναι μικρότερο από την ηλικία του αγοριού. 

    α)   Να γράψετε τις εξισώσεις που περιγράφουν τα στοιχεία 1 και 2 που έδωσε ο Κώ‐

στας.                      (Μονάδες 10) 

    β)   Να βρείτε τις ηλικίες των παιδιών του Κώστα.   

 (Μονάδες 15) 

 

ΛΥΣΗ: 

  Έστω ότι η ηλικία του καθενός από τα δίδυμα κορίτσια είναι  x  και του αγοριού  y . 

  Προφανώς είναι  x,y 0>   

α)   Αφού το άθροισμα των ηλικιών και των τριών παιδιών είναι 14  ισχύει:  

2x y 14+ =  ( 1) 

  Ακόμη το γινόμενο της ηλικίας της κόρης επί την ηλικία του γιου είναι 24 , επομένως:  

xy 24= . (2) 

β)   Ισχύει ακόμη ( από το στοιχείο 3. )  

2x y< . 

  Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2) 

  Από την σχέση (1) έχουμε  y 14 2x= −  και αντικαθιστώντας στην (2): 

( ) 2x 14 2x 24 14x 2x 24− = ⇔ − =  

                    2 22x 14x 24 0 x 7x 12 0⇔ − + = ⇔ − + = . 

  Η τελευταία εξίσωση έχει:  ( )2Δ 7 4∙12 49 48 1 0= − − = − = > , οπότε έχει δυο ρίζες 

  πραγματικές και άνισες : ( )

1,2 1

7 1x x 4

2

− − ±= ⇔ =  ή  2x 3=   

  Επομένως για  x 4=  παίρνουμε:  y 14 2∙4 6= − =  και για  x 3=  παίρνουμε:  y 14 2∙3 8= − =  

  Όμως  από  τον  περιορισμό  2x y<   δεχόμαστε  μόνο  την  περίπτωση  x 3, 8y= = ,  αφού  για 

x 4, 6y= =  έχουμε 2∙4 6>  

  Επομένως τα δίδυμα κορίτσια είναι 3  ετών και το αγόρι 8  ετών. 

 

– 25 –

GI_V_ALG_4_17852 

  Ένα παιγνίδι κρέμεται με ένα ελατήριο από το ταβάνι. Το ύψος του από το πάτωμα σε  cm  

συναρτήσει του χρόνου  t  (sec) δίνεται από τι σχέση: h(t) α∙συν(ωt) β,= +  όπου  α,ω,β  πραγ‐

ματικές σταθερές. 

  Όταν  το  ελατήριο  ταλαντώνεται,  το  ελάχιστο  ύψος  του  παιχνιδιού  από  το  πάτωμα  είναι 

20cm  και το μέγιστο είναι 100cm. Τη χρονική στιγμή  t 0=  το ύψος παίρνει την ελάχιστη τι‐

μή του και ο χρόνος μίας πλήρους ταλάντωσης (θέσεις: ελάχιστο ‐ ηρεμία ‐ μέγιστο ‐ ηρεμία 

ελάχιστο ) είναι 6 sec  

  α)   Να δείξετε ότι π

ω3

= .                         (Μονάδες 5) 

  β)  Να προσδιορίσετε τις τιμές των α  και β  αιτιολογώντας την απάντησή σας.  

(Μονάδες 6) 

  γ)   Να υπολογίσετε το ύψος του παιχνιδιού από το πάτωμα  14 sec  μετά την έναρξη της 

ταλάντωσης.                             (Μονάδες 8) 

  δ)   Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης  ( )h t  για 0 t 12.≤ ≤   

(Μονάδες 6) 

ΛΥΣΗ:  

α)   Εφόσον μία πλήρης ταλάντωση διαρκεί ακριβώς 6 sec  έπεται ότι:  

2π πT 6sec 6sec ω

ω 3= ⇔ = ⇔ = . 

β)   Εφόσον η ελάχιστη τιμή ταλάντωσης επιτυγχάνεται για  t 0=  θα ισχύει: π 0

h(0) 20cm α∙συν β 20cm α β 203⋅⎛ ⎞= ⇔ + = ⇔ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠ 

  Επίσης,  τη  μέγιστη  τιμή  της  θα  την  λαμβάνει  η  ταλάντωση  στο T

3sec2= , οπότε θα ισχύει:  

π3ασυν β 100 α β 100

3⎛ ⎞ + = ⇔ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

 

  Λύνουμε το σύστημα: α β 20 2β 120 β 60

α β 100 α 100 β α 40

+ = = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− + = − = − = −⎩ ⎩ ⎩

 

γ)   Εφόσον η h  είναι περιοδική με περίοδο  T 6sec=  έχουμε: 2π 1

h(14) h(2∙T 2) h(2) 40συν 60 40∙ 60 20 60 803 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = = − + = − − + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  

δ)   Με  τη  βοήθεια  της  παραπάνω μελέτης,  σχεδιάζουμε  τη  γραφική  πα‐ράσταση της h(t). 

– 26 –

GI_V_ALG_4_17855 

  Ένα σώμα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώματος 

από το έδαφος (σε cm ), δίνεται από την συνάρτηση: 

( ) πtf t 12ημ 13

4= + , όπου  t  ο χρόνος σε ώρες. 

  α)   Να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης.                   (Μονάδες 7) 

  β)   Να  βρείτε  την απόσταση  του  σώματος από  το  έδαφος  τις  χρονικές  στιγμές  t 5=   και 

t 8= .                               (Μονάδες 8) 

  γ)   Να βρείτε κατά το χρονικό διάστημα από  t 0=  έως t 8= , ποιά χρονική στιγμή η από‐

σταση του σώματος από το έδαφος είναι ελάχιστη. Ποια είναι η απόσταση αυτή; 

(Μονάδες 10) 

ΛΥΣΗ: 

α)   Η περίοδος μιας συνάρτησης της μορφής  ( )f t ρημωt=  

   δίνεται από τον τύπο 2π

Tω

= , επομένως 2π 8π

Τ 8π π4

= = =  ώρες. 

β)   Από την συνάρτηση  ( ) πtf t 12ημ 13

4= +  

  • Για  t 5=  είναι  ( ) 5π π πf 5 12ημ 13 12ημ π 13 12 ημ 13

4 4 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=  

     2

12∙ 13 6 2 13 cm2

⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ 

  • Για  t 8=  είναι  ( ) 8πf 8 12ημ 13

4= + =  

   12ημ2π 13 12∙0 13 13 cm= + = + =  

γ)   Κατά  το  χρονικό  διάστημα  από  t 0=  

έως t 8= , δηλαδή κατά την διάρκεια μιας 

περιόδου,  γνωρίζουμε  ότι  η  συνάρτηση 

της  μορφής  ( )f t ρημωt, ρ 0= >   παρου‐

σιάζει ελάχιστο  ρ−  όταν 3π

ωt2

= . 

  Επομένως η ελάχιστη απόσταση του σώ‐

ματος  από  το  έδαφος  θα  είναι 

minf 12 13 1cm= − + = , όταν πt 3π

πt 6π t 64 2= ⇔ = ⇔ =  ώρες. 

– 27 –

GI_V_ALG_4_20331 

  Η θερμοκρασία μιας περιοχής σε βαθμούς Κελσίου  (  0C )   κατά τη διάρκεια ενός εικοσιτε‐

τραώρου δίνεται κατά προσέγγιση από τη συνάρτηση: 

( ) πtf t 8συν 4

12= − +  , με 0 t 24≤ ≤   ( t  ο χρόνος σε ώρες) 

  α)   Να  βρείτε  τη  μέγιστη  και  την  ελάχιστη  θερμοκρασία  κατά  τη  διάρκεια  του  εικοσιτε‐

τραώρου.                                                                                 (Μονάδες 7) 

  β)   Να βρείτε τις χρονικές στιγμές που η θερμοκρασία είναι ίση με  00 C . 

                                                                                               (Μονάδες 6) 

  γ)   Να παραστήσετε γραφικά την  f  για  [ ]t 0,24∈                        (Μονάδες 7) 

  δ)   Να βρείτε, με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης, πότε η θερμοκρασία είναι πάνω 

από  00 C                                                                                       (Μονάδες 5) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)    Είναι πτ πτ πτ

1 συν 1 8 8συν 8 8 4 8συν 4 8 412 12 12

− ≤ ≤ ⇔ ≥ − ≥ − ⇔ + ≥ − + ≥ − +  

          ( )12 f t 4⇔ ≥ ≥ − ,   [ ]t 0, 24∈  

  Η μέγιστη θερμοκρασία είναι 12 C° , που εμφανίζεται όταν πt

συν 1 t 1212

= − ⇔ = . 

  και η ελάχιστη θερμοκρασία είναι  4 C− ° , που εμφανίζεται όταν πt

συν 1 t 0 ή t 2412

= ⇔ = = . 

β)   Είναι      ( ) πt πt 1 πt πf t 0 8συν 4 0 συν συν συν

12 12 2 12 3= ⇔ − + = ⇔ = ⇔ =  

        πt π

2κπ12 3

⇔ = +    ή  πt π

2κπ12 3

= −       

                               πt 24κπ 4π⇔ = +    ή   πt 24κπ 4π⇔ = −  

         t 24κ 4⇔ = +    ή   t 24κ 4⇔ = − .    κ∈   . 

  Όμως 0 t 24≤ ≤ , επομένως:  

  •     4 20

0 24κ 4 24 4 24κ 20 κ24 24−

≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ , με κ∈  

    Άρα   κ 0 t 4= ⇒ =  ώρες. 

  •     4 28

0 24κ 4 24 4 24κ 28 κ24 24

≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ , με κ∈  

    Άρα   κ 1 t 24 4 20= ⇒ = − = ώρες . 

– 28 –

γ)    Για να κάνουμε την γραφική παράσταση της  f  για  [ ]t 0,24∈ πρέπει να παρατηρήσουμε τα 

εξής: 

  •  Η συνάρτηση  f έχει περίοδο  2π 24π

T 24π π12

= = =  ώρες, επομένως η γραφική παράσταση 

που αναζητούμε αναφέρεται σε μία περίοδο της  f . 

  •    Η συνάρτηση π

8συν t12

−   είναι αντίθετη με την  συνάρτηση π

8συν t12

, της οποίας γνω‐

ρίζουμε από την θεωρία μας την γραφική παράσταση. Επομένως  η γραφική της  πα‐

ράσταση θα είναι συμμετρική αυτής, ως προς τον άξονα  x x′  . 

 

•    Η γραφική  παράσταση της  f αποτελεί μετατόπιση της π

y 8συν t12

= −  στον άξονα  y y′  κατά 

4+  μονάδες. Έτσι  κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών: 

   Προκύπτει η παρακάτω γραφική παράσταση: 

 

δ)    Από  την  γραφική  παράσταση  προκύπτει  ότι  η  θερμοκρασία  είναι  πάνω  από  00 C ,  όταν 

4 t 20< < . 

– 29 –

GI_V_ALG_4_20332

  Δίνονται οι συναρτήσεις  2φ(x) x ,x= − ∈  και  2f(x) x 2x 1, x= − + + ∈  

  α)   Να αποδείξετε ότι  2f(x) (x 1) 2= − − +   για κάθε  x∈  και στη συνέχεια, με τη βοήθεια της 

γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ  να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση   f . 

(Μονάδες 10) 

  β)   Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της   f  να βρείτε: 

    i.   Τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση   f  είναι γνησίως μονότονη.     (Μονάδες 5) 

    ii.   Το ολικό ακρότατο της  f  καθώς και τη θέση του.                                       (Μονάδες 5) 

    iii.   Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης  f(x) κ , κ 2= <   

      Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.              (Μονάδες  5)  

ΛΥΣΗ:  

α)    Για κάθε  x∈  είναι : 2 2 2 2f(x) x 2x 1 x 2x 1 2 (x 2x 1) 2 (x 1) 2= − + + = − + − + = − + − + = − − +  

  Η γραφική παράσταση της  f  προκύπτει από τη γραφική παράσταση της  φ  με μετατόπιση 

κατά 1  μονάδα προς τα δεξιά και κατά 2  μονάδες προς τα άνω. 

  Η γραφική παράσταση της  f  φαίνεται στο επόμενο σχήμα. 

 βi)    Όπως προκύπτει από τη γραφική παράσταση , η   f  είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 

( ,1]−∞  και γνησίως φθίνουσα στο  [1, )+∞  

ii)  Η κορυφή  (0,0)  της φ  , στην οποία η φ  παρουσιάζει μέγιστο , έχει μεταφερθεί στη θέση 

K(1,2)  το οποίο αποτελεί την κορυφή της  f  . Επομένως , για  x 1=  η  f  παρουσιάζει μέγιστο 

(ολικό) , το οποίο ισούται με 2  

iii)   Είναι : 

( )2 2f(x) k x 2x 1 k 0 x 2x k 1 0, x , κ 2= ⇔ − + + − = ⇔ − + − = ∈ <  

  και αφού  Δ 4 4(κ 1) 8 4κ 4(2 κ) 0= − − = − = − >  , διότι κ 2<  , η εξίσωση έχει δύο ρίζες. 

– 30 –

GI_V_ALG_4_20334 

  Στο σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις μιας παραβολής  ( ) 2f x αx βx γ= + +  και της ευ‐

θείας  ( )g x x 2= − + .  

  

  α)  Δεδομένου ότι η παραβολή διέρχεται από τα σημεία Α, Β, Γ, να βρείτε τα α, β, γ. (Μονάδες 8) 

  β)  Αν 1

α ,β 02

= =  και  γ 2= − , να βρείτε αλγεβρικά τις συντεταγμένες των κοινών σημείων 

ευθείας και παραβολής.                       (Μονάδες 8)    γ)  Αν μετατοπίσουμε την παραβολή κατά 4,5 μονάδες προς τα πάνω, να δείξετε ότι η ευ‐

θεία και η παραβολή θα έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.            (Μονάδες 9)  

ΛΥΣΗ: 

α)  Τα σημεία είναι:  ( ) ( ) ( )Α 3,0 ,Β 2,0 ,Γ 0, 2− − .  

  Αφού η παραβολή διέρχεται από τα σημεία Α, Β,  Γ,  τότε τα σημεία αυτά θα επαληθεύουν την εξίσωσής της. 

  Οπότε: 

    Από το σημείο  ( )Α 3,0  είναι:  20 α 3 β 3 γ 9α 3β γ 0= ⋅ + ⋅ + ⇔ + + = .  

    Από το σημείο  ( )Β 3,0  είναι:  ( ) ( )20 α 2 β 2 γ 4α 2β γ 0= − + − + ⇔ − + = . 

    Από το σημείο  ( )Γ 0, 2−  είναι:  22 α 0 β 0 γ γ 2− = ⋅ + ⋅ + ⇔ = − . 

  Λύνοντας το σύστημα των παραπάνω εξισώσεων θα βρούμε τα α, β, και γ, και κατ’ επέκταση την εξίσωση της παραβολής μας. 

9α 3β γ 09α 3β 2 0 9α 3β 2

4α 2β γ 04α 2β 2 0 4α 2β 2

γ 2

+ + =⎧+ − = + =⎧ ⎧⎪ − + = ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− − = − =⎩ ⎩⎪ = −⎩

 

 

9 3D 18 12 30

4 2= = − − = −

− ,   α

2 3D 4 6 10

2 2= = − − = −

−,   β

9 2D 18 8 10

4 2= = − =   

– 31 –

  Άρα:  ( ) βαDD 10 10 1 1

α,β , , ,D D 30 30 3 3

⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠  

  Οπότε έχουμε 1 1

α ,β ,γ 23 3

= = − = −  και η εξίσωση της παραβολής είναι:  

( ) 21 1f x x x 2

3 3= − −  

β)  Όταν 1

α ,β 02

= =  και  γ 2= − , η εξίσωση της παραβολής  παίρνει την μορφή:  

( ) 2 21 1f x x 0x 2 x 2

2 2= + − = − . 

  Για να βρούμε τα κοινά σημεία θα λύσουμε το σύστημα της  ( )f x  και της  ( )g x . 

22 2 2

1y x 2 1 1

οπότε x 2 x 2 x x 4 0 x 2x 8 022 2y x 2

⎧ = −⎪ − = − + ⇔ + − = ⇔ + − =⎨⎪ = − +⎩

 

  Η εξίσωση έχει Διακρίνουσα:  ( )2 2Δ β 4αγ 2 4 1 8 4 32 36= − = − ⋅ ⋅ − = + =   

  και ρίζες: 1

1,2

2

2 6 4x 2

β Δ 2 36 2 6 2 2x2 6 82α 2 1 2

x 42 2

− +⎧ = = =⎪− ± − ± − ± ⎪= = = = ⎨ − − −⋅ ⎪ = = = −⎪⎩

  

      Άρα για  1x 2=  έχουμε  1y 2 2 0= − + =  και  για 

2x 4= −  έχουμε  ( )2y 4 2 6= − − + = . 

     Οπότε  τα  σημεία  τομής  της  παραβολής 

( ) 21f x x 2

2= −   και  της  ευθείας  ( )g x x 2= − +  

είναι τα:  ( ) ( )1 1x ,y 2,0=  και  ( ) ( )2 2x ,y 4,6= − . 

  

 γ)  Αν μετατοπίσουμε την παραβολή μας κατά 4,5 μονάδες προς τα πάνω θα έχουμε μία νέα 

εξίσωση της μορφής: 

( ) ( ) ( ) 2 29 1 9 1 5h x f x 4,5 f x x 2 x

2 2 2 2 2= + = + = − + = + . 

  Λύνοντας το νέο σύστημα της  ( ) 21 5h x x

2 2= +  και της  ( )g x x 2= − +  έχουμε: 

– 32 –

( )

( )

22 2 2

ταυτότητα 22

1 5y x 1 5 1 5 1 1

x x 2 x x 2 0 x x2 22 2 2 2 2 2y x 2

x 2x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1

=⎧ = +⎪ ⇔ + = − + ⇔ + + − = ⇔ + + =⎨⎪ = − +⎩

+ + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −

 

  Άρα το  ( )y 1 2 3= − − + = . 

  Οπότε το σημείο τομής των  ( ) 21 5h x x

2 2= +  και  ( )g x x 2= − +  είναι ένα, το:  ( ) ( )x,y 1,3= − .  

 

 

– 33 –

GI_V_ALG_4_20336 

  Δίνεται το σύστημα: 2x 4y 1 λ

,λx 6y λ 2

− = −⎧∈⎨ + = +⎩

 

  α)   Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει λύση για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό  λ . 

(Μονάδες 7 ) 

  β)   Να βρείτε τα  x  και  y  συναρτήσει του  λ .                (Μονάδες 8 ) 

  γ)   Να προσδιορίσετε την τιμή του  λ , για την οποία οι ευθείες:2x 4y 1 λ,x 6y λ 2− = − + = +  

και 16x 16y 19+ =  διέρχονται από το ίδιο σημείο.            (Μονάδες 10 ) 

 

ΛΥΣΗ: 

α)   Είναι 2 4

D 12 4 16 01 6

−= = + = ≠ , άρα το σύστημα έχει (μοναδική) λύση για οποιονδήποτε 

πραγματικό αριθμό  λ . 

β)   Είναι  x

1 λ 4D 6 6λ 4λ 8 14 2λ

λ 2 6

− −= = − + + = −

+,  y

2 1 λD 2λ 4 1 λ 3λ 3

1 λ 2

−= = + − + = +

+ 

  Επομένως  yxDD 14 2λ 7 λ 3λ 3

x , yD 16 8 D 16

− − += = = = =  

 

γ)    Έστω Α το σημείο τομής των ευθειών 2x 4y 1 λ και x 6y λ 2− = − + = + .  

  Έχει συντεταγμένες 7 λ

x8−

=  και 3(λ 1)

y16+

= .  

Η ευθεία 16x 16y 19+ = διέρχεται από το Α αν και μόνο αν :  

        162 7 λ

8

−16+

3(λ 1)

16

+19 2(7 λ) 3(λ 1) 19= ⇔ − + + = ⇔  

                  14 2λ 3λ 3 19 λ 17 19 λ 2 .⇔ − + + = ⇔ + = ⇔ =   

 

 

 

– 34 –

GI_V_ALG_4_20337 

 

  Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο 24 cm . Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά 

3 cm  και ελαττώσουμε το πλάτος του κατά 2 cm , θα προκύψει ορθογώνιο με εμβαδόν δι‐

πλάσιο του αρχικού ορθογωνίου. 

  α)   Να εκφράσετε την παραπάνω κατάσταση με ένα σύστημα δυο εξισώσεων με δυο α‐

γνώστους. 

  β)   Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου. 

 

ΛΥΣΗ: 

 

  Αν  x,y  (με  y 2> ) οι αρχικές διαστάσεις, τότε οι τελικές είναι  x 3,y 2+ − . 

α)   Αρχικά έχουμε περίμετρο 2x 2y+  και εμβαδόν  xy  και τελικά έχουμε εμβαδόν  (x 3)(y 2)+ − . 

  Eπομένως 2x 2y 24

(x 3)(y 2) 2xy

+ =⎧⎨ + − =⎩

. 

 

β)   Από την πρώτη εξίσωση έχουμε :  y 12 x (1)= −  (με  x 12< ) και από τη δεύτερη : (1)

xy 2x 3y 6 2xy 2x 3y xy 6 0 2x 3(12 x) x(12 x) 6 0− + − = ⇔ − + − − = ⇔− + − − − − = ⇔  

                 2x 17x 30 0 x 2  ή  x 15 12⇔ − + = ⇔ = = > .  Άρα  x 2,y 10= =  

ΣΧΟΛΙA:  

  Η εκφώνηση θα πρέπει να διορθωθεί: Είναι παράδοξο το μήκος να είναι 2 cm και το πλάτος 

10 cm. Θα μπορούσε π.χ. να εναλλαγεί το μήκος  με το πλάτος ή να γραφεί: (…) Αν αυξήσου‐

με τη μία διάστασή του κατά 3 cm  και ελαττώσουμε την άλλη του κατά 2 cm ,(…). 

  Να διευκρινιστεί στο (β) αν ζητούνται οι διαστάσεις του αρχικού ή του τελικού και να βελτι‐

ωθεί η αδόκιμη διατύπωση: Να εκφράσετε την παραπάνω κατάσταση… 

– 35 –

GI_V_ALG_4_20338 

  Στο παρακάτω σχήμα, δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f, που είναι της μορ‐

φής f(x) = α + β∙συν2x , όπου α, β πραγματικοί αριθμοί. 

   α)    Mε βάση τη γραφική παράσταση της f, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της. 

 (Mονάδες 4) 

  β)    Ποια είναι η περίοδος Τ της συνάρτησης f ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 

 (Μονάδες 4) 

  γ)    Mε βάση τα δεδομένα του σχήματος, να αποδείξετε ότι: α = – 2 και β = 6. 

 (Μονάδες 8) 

  δ)    Να προσδιορίσετε αλγεβρικά τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με την 

ευθεία y = 1 στο διάστημα [0, 2π].                     (Μονάδες 9) 

  

ΛΥΣΗ: 

α)   Με βάση τη γραφική παράσταση, η μέγιστη τιμή της συνάρτησης  f είναι το 4  και η ελάχιστη 

τιμή το  8.−  

β)   Η περίοδος είναι:  

  (i) Αλγεβρικά: 2π 2π

T T T πω 2

= ⇒ = ⇒ =   

  (ii) Γεωμετρικά: Από τη γραφική παράσταση  T π.=  

γ)   Αφού η  f είναι γνησίως φθίνουσα στο π

0,2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

 και γνησίως αύξουσα στο π,π

2⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, θα είναι 

β 0> , οπότε: 

– 36 –

 ( )β 0

1 συν2x 1,x     β βσυν2x β,x>

− ≤ ≤ ∈ ⇔ − ≤ ≤ ∈  

                  α β α βσυν2x α β⇔ − ≤ + ≤ + , για κάθε  x∈ . 

  Άρα  max f α β α β 4 2α 4

α 2 και β 6minf α β α β 8 2β 12

= + + = = −⎫ ⎫ ⎫⇒ ⇔ ⇔ = − =⎬ ⎬ ⎬= − − = − =⎭ ⎭ ⎭

 

 

δ)   Για α 2 και β 6= − = ,  f(x) 2 6συν2x= − + . 

  Οι τετμημένες των κοινών σημείων της  fC  και της ευθείας  y 1=  είναι οι λύσεις της εξίσωσης 

  f(x) 1 2 6συν2x 1= ⇔ − + = ⇔ 6συν2x 3= ⇔1

συν2x2

= ⇔π

συν2x συν3

= ⇔          

      

π2x 2kπ

3ή με k

π2x 2kπ

3

⎧ = +⎪⎪

⇔ ∈⎨⎪⎪ = −⎩

 [ ]( )x 0,2π

πx kπ π π

x  ή x π66 6ή με k     π π

x π  ή x 2ππx kπ 6 6

6

∈

⎧ = + ⎧⎪ = = +⎪⎪ ⎪⇔ ∈ ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪ = − = −

⎪⎪ = − ⎩⎩

 

      

π 7πx  ή x

6 6 5π 11π

x  ή x6 6

⎧ = =⎪⎪⇔ ⎨⎪ = =⎪⎩

 

  Επομένως τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της  f με την ευθεία  y 1= στο διάστη‐

μα [ ]0,2π είναι τα σημεία π

Α ,1 ,6

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

5πB ,1 ,

6⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

7πΓ ,1

6⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

 και 11π

Δ ,16

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠