γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

43
Τράπεζα θεμάτων: Γεωμετρία Β Λυκείου Θέματα & Λύσεις Θεώρημα Θαλή Θεωρήματα διχοτόμων Όμοια πολύγωνα Θέμα2: 18975, 19024, 19026, 19033, 19036 Θέμα2: 19040 Θέμα2: 19023 Όμοια τρίγωνα Πυθαγόρειο θεώρημα Γενίκευση Πυθαγορείου Θέμα2: 18984, 18990, 18993, 18997, 19011, 19014, 19015, 19017, 19019, 19021, 19030, 19031, 19035 Θέμα4: 18976, 18994, 19000, 19016, 19013, 19020, 19029, 19039, Θέμα2: 19005, 19008, 19041, 19043 Θέμα4: 18985, 19006 Θέμα2: 19001, 19042, 19045 Θέμα4: 19009 Τέμνουσες κύκλου Ισοδύναμα ευθύγραμμα σχήματα Εμβαδόν βασικών σχημάτων Θέμα4: 19025, 19037 Θέμα4: 19027 Θέμα2: 19028 Λόγος εμβαδών ομοίων τριγώνων και πολυγώνων Θέμα2: 19038 Θέμα4: 19022, 19032, 19034 επιμέλεια περιεχομένων: askisopolis επιμέλεια υλικού: Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης (οι λύσεις προέρχονται από το mathematica.gr) Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 1

Transcript of γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Page 1: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Τράπεζα θεμάτων: Γεωμετρία Β Λυκείου

Θέματα & Λύσεις

Θεώρημα Θαλή Θεωρήματα διχοτόμων Όμοια πολύγωνα Θέμα2: 18975, 19024, 19026,

19033, 19036 Θέμα2: 19040

Θέμα2: 19023

Όμοια τρίγωνα Πυθαγόρειο θεώρημα Γενίκευση Πυθαγορείου Θέμα2: 18984, 18990, 18993,

18997, 19011, 19014, 19015, 19017, 19019, 19021, 19030, 19031, 19035

Θέμα4: 18976, 18994, 19000, 19016, 19013, 19020, 19029, 19039,

Θέμα2: 19005, 19008, 19041, 19043

Θέμα4: 18985, 19006

Θέμα2: 19001, 19042, 19045 Θέμα4: 19009

Τέμνουσες κύκλου Ισοδύναμα ευθύγραμμα σχήματα

Εμβαδόν βασικών σχημάτων

Θέμα4: 19025, 19037 Θέμα4: 19027 Θέμα2: 19028 Λόγος εμβαδών ομοίων τριγώνων και πολυγώνων

Θέμα2: 19038 Θέμα4: 19022, 19032, 19034

επιμέλεια περιεχομένων: askisopolis

επιμέλεια υλικού: Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης

(οι λύσεις προέρχονται από το mathematica.gr)

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 1

Page 2: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Β΄ τάξης Γενικού Λυκείου

2ο Θέμα

Εκφωνήσεις - Λύσεις

των

θεμάτων

Έκδοση 1η (14/11/2014)

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 2

Page 3: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 2

Οι απαντήσεις και οι λύσεις

είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς

των Επιμελητών των φακέλων του Λυκείου

του Δικτυακού Τόπου mathematica.gr

με βάση υλικό που αναρτήθηκε στο mathematica

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46867

Συνεργάστηκαν οι:

Γιώργος Ρίζος,

Χρήστος Τσιφάκης,

Γιώργος Απόκης,

Α Ταουκτσόγλου,

Σωτήρης Στόγιας,

Κωνσταντίνος Γεωργίου,

Νίκος Ξενιάδης,

Γιώργος Βισβίκης,

Θανάσης Παπασταθόπουλος,

Θοδωρής Καραμεσάλης,

Δημήτρης Ιωάννου

Το Δελτίο διατίθεται ελεύθερα

από το δικτυακό τόπο mathematica.gr

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 3

Page 4: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 3

Θέματα 2ης

Ομάδας

GI_V_GEO_2_18975

Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15 . Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην

πλευρά BΓ που τέμνει τις AB,AΓ στα Δ,E αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι AΔ 2

=AB 3

και AE

=2EΓ

. (Μονάδες 15)

β) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων AΔ, ΓE . (Μονάδες 10)

Λύση:

α) Το είναι το βαρύκεντρο άρα θα έχουμε

A 2 A  (1),   2  (2)

AM 3 M

.

Αφού τα τρίγωνα έχουν E / /B , από το

Θεώρημα του Θαλή θα ισχύουν : (1)A A 2

AB AM 3

και

(2)AE A2

E M

.

β) Έχουμε A 2 A 2

A 6AB 3 9 3

και

AE 2 AE E 2 1 A 3 15 3E 5

E 1 E 1 E 1 E 1

.

GI_V_GEO_2_18984

Θεωρούμε δύο τρίγωνα ABΓκαι .

α) Να εξετάσετε σε ποιές από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα ABΓκαι είναι όμοια και

να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

i. AB=8 , AΓ=12, 035

, 20 , 30 , 035

.

ii. 0 0 0 047 , 38 , 47 , 95

iii. AB=ΑΓ,

, . (Μονάδες 15)

β) Στις περιπτώσεις που το τρίγωνο ABΓείναι όμοιο με το , να γράψετε τους ίσους λόγους

των ομόλογων πλευρών τους. (Μονάδες 10)

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 4

Page 5: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 4

Λύση:

α) i. Τα τρίγωνα είναι όμοια γιατί έχουν δύο πλευρές ανάλογες AB A 2

E Z 5

και τις περιεχόμενες

γωνίες ίσες.

ii. Από τις γωνίες που δίνονται προκύπτει ότι 0 095 , 38

, επομένως τα τρίγωνα είναι όμοια

γιατί έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες μία προς μία.

iii. Τα τρίγωνα είναι ισοσκελή και έχουν ίση τη γωνία της κορυφής, οπότε είναι όμοια.

β) i. AB A B

E Z EZ

.

ii. AB A B

EZ E Z

.

iii. AB A B

E Z EZ

.

GI_V_GEO_2_18990

Στο παρακάτω σχήμα τα τμήματα AΕκαι BΔ τέμνονται στο Γ .

Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ABΓκαι ΕΔΓείναι όμοια

σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις:

α) AB//ΔΕ . (Μονάδες 12)

β) BΓ=2 ΔΓ και 1

ΕΓ=2 . (Μονάδες 13)

Λύση:

α) Αφού AB//ΔΕ τότε οι γωνίες ABΓ

και

είναι ίσες ως εντός εναλλάξ καθώς και οι γωνίες

Γ

και

είναι ίσες και αυτές ως εντός εναλλάξ. Επίσης η γωνία A

είναι ίση με την

γωνία

γιατί είναι κατακορυφήν και αφού τα δυο τρίγωνα έχουν και τις τρεις γωνίες ίσες θα

είναι όμοια.

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 5

Page 6: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 5

β) Έχουμε ότι BΓ=2 ΔΓ δηλαδή ΔΓ 1

2

και αφού

ΕΓ 1

2

, προκύπτει ότι

ΔΓ

.

Τα δύο τρίγωνα έχουν δυο πλευρές ανάλογες και την περιεχόμενη γωνία ίση, αφού A

ισούται

με την

, άρα είναι όμοια.

GI_V_GEO_2_18993

α) Να εξετάσετε αν δύο τρίγωνα ABΓ και είναι όμοια σε κάθε μία από τις παρακάτω περι-

πτώσεις:

i) AΓ=4 , BΓ=16 , BΑ=18 , 10 , 40 , 48 .

ii) 0 0 0 063 , 83 , 63 , 34

. (Μονάδες 15)

β) Έστω τρίγωνο ABΓμε πλευρές AΒ=6 , AΓ=7και BΓ=8 . Ποιο θα είναι το μήκος των πλευρών

ενός τριγώνου το οποίο είναι όμοιο με το τρίγωνο ABΓ , με λόγο ομοιότητας 3; (Μονάδες 10)

Λύση:

α) i) Έστω ότι τα τρίγωνα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας 0 .

Είναι , οπότε οι ομόλογες πλευρές των , , είναι

αντίστοιχα οι , , .

Όμως 5 5 8

, ,2 2 3

, άτοπο, άρα δεν είναι όμοια.

ii) Είναι 180 34

, οπότε τα δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία,

άρα είναι όμοια.

β) Έστω x,y,zτα μήκη των πλευρών του με x y z .

Αφού το είναι όμοιο με το με λόγο 3 , θα είναι

x 3AB 18, y 3 21, z 3 24 .

ΣΧΟΛΙΟ: Θα έπρεπε το ερώτημα (β) να συμπληρωθεί με τη διάταξη των πλευρών του , για να έχουμε

μοναδική απάντηση.

GI_V_GEO_2_18997

Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί προς τα πάνω στη ράμπα του παρακάτω σχήματος.

α) Να αποδείξετε ότι για το ύψος y , που απέχει το κουτί από το έδαφος κάθε χρονική στιγμή,

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 6

Page 7: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 6

ισχύει ότι s

y4

, όπου sτο μήκος που έχει διανύσει το κουτί πάνω στη ράμπα. (Μονάδες 15)

β) Όταν το κουτί απέχει από το έδαφος 2 m, να βρείτε:

i. Το μήκος s που έχει διανύσει το κουτί στη ράμπα. (Μονάδες 3)

ii. Την απόσταση του σημείου Δ από την άκρη της ράμπας Α. (Μονάδες 7)

Λύση:

α) y s 5s s

y y5 A 20 4

.

β) i. y 2

s 4y s 8m

.

ii. Από Πυθαγόρειο θεώρημα: 2 2 2 2 2A s y 8 2 60 A 2 15m .

GI_V_GEO_2_19001

Τα μήκη των πλευρών τριγώνου ABΓείναι 8 , 6 και 5 .

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. (Μονάδες 11)

β) Να υπολογίσετε τις προβολές της πλευράς AB στις πλευρές AΓ και BΓ . (Μονάδες 14)

Λύση:

α) Παρατηρούμε ότι

Έχουμε: 2 28 64 και 2 2 2 26 5 36 25 61 .

Ισχύει: 2 2 2 ˆ 90 , οπότε το τρίγωνο

είναι αμβλυγώνιο.

β) Αρχικά θέλουμε να υπολογίσουμε την προβολή

της πλευράς πάνω στην .

Γι’ αυτό θα εφαρμόσουμε το γενικευμένο Πυθαγό-

ρειο θεώρημα για την πλευρά , η οποία βρίσκεται

απέναντι από την αμβλεία γωνία

. Αν είναι

ύψος του τριγώνου , τότε η ζητούμενη προβολή

είναι η .

Έχουμε:

2 2 2 3 190 2 64 61 12 3 12

12 4

Αντίστοιχα, για την προβολή της πλευράς πάνω στην θα εφαρμόσουμε το γενικευμένο

Πυθαγόρειο θεώρημα για την πλευρά , η οποία βρίσκεται απέναντι από την οξεία γωνία

.

Αν ύψος του τριγώνου, τότε η ζητούμενη προβολή είναι η .

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 7

Page 8: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 7

Έχουμε:

2 2 2B 90 2 36 64 25 16 36 89 16

5316 89 36 16 53

16 .

GI_V_GEO_2_19005

Σε τρίγωνο ABΓη διχοτόμος της γωνίας

τέμνει την πλευρά BΓσε σημείο Δ, τέτοιο ώστε

3.

4

α) Να αποδείξετε ότι 3

.4

(Μονάδες 12)

β) Αν επιπλέον ισχύει ότι 5

4 , να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 13)

Λύση:

α) Στο τρίγωνο AB η Aείναι εσωτερική διχοτόμος.

Άρα ισχύει η αναλογία AB B

A

.

Επομένως, AB 3 3

AB AA 4 4

.

β) Από τη σχέση 3

AB A4

προκύπτει ότι AB A .

Από τη σχέση 5

B A4

προκύπτει ότι B A .

Άρα AB A B , δηλ. η B είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου AB .

Υπολογίζουμε λοιπόν

2

2 25 25B A A

4 16

και

2

2 2 2 2 2 2 2 23 9 9 16 25AB A A A A A A A A

4 16 16 16 16

Άρα 2 2 2B AB A , οπότε σύμφωνα με το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος το

τρίγωνο AB είναι ορθογώνιο με 090

.

GI_V_GEO_2_19008

α) Ποιες από τις παρακάτω τριάδες θετικών αριθμών μπορούν να θεωρηθούν μήκη πλευρών ορθο-

γωνίου τριγώνου; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 8

Page 9: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 8

i. 3,4,5 .

ii. 3λ, 4λ, 5λ ( λ > 0).

iii. 4, 5, 6. (Μονάδες18)

β) Στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο να αποδείξετε ότι, το μήκος x είναι ακέραιο

πολλαπλάσιο του 4. (Μονάδες 7)

Λύση:

α) i. Αρχικά ελέγχουμε αν υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών 3, 4 και 5 αντίστοιχα.

Για το λόγο αυτό αρκεί να εξετάσουμε αν ικανοποιείται η τριγωνική ανισότητα για την πλευρά με

το μεγαλύτερο μήκος, δηλαδή για την πλευρά με μήκος 5.

Παρατηρούμε ότι: 4 3 5 4 3 1 5 7 που ισχύει. Επομέ-

νως υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών 3,4 και 5.

Στη συνέχεια εξετάζουμε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Έχουμε: 2 2 25 3 4 25 9 16 25 25 , οπότε σύμφωνα με

το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος, το τρίγωνο είναι ορ-

θογώνιο με υποτείνουσα μήκους 5.

ii. Αντίστοιχα: 4 3 5 4 3 5 7 , 0 που

ισχύει.

Άρα υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών 3 ,4 και 5 .

Επιπλέον: 2 2 2 2 2 2 2 25 3 4 25 9 16 25 25 , επομένως το τρίγωνο είναι

ορθογώνιο με υποτείνουσα μήκους 5 .

iii) Όμοια: 5 4 6 5 4 1 6 9 που ισχύει. Εξετάζουμε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Παρατηρούμε ότι: 2 2 26 36, ενώ  4 5 16 25 41 , άρα: 2 2 26 4 5 , οπότε το τρίγωνο δεν

είναι ορθογώνιο.

β) Με εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε:

2 2 2 2 2 2 2x 51 85 x 85 51 85 51 85 51 34 136 34 4 34 4 34 4 .

GI_V_GEO_2_19011

Από ένα σημείο Σ που βρίσκεται έξω από έναν δοσμένο κύκλο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα

ΣΑ και ΣΒ και μία τέμνουσα ΣΓΔ. Να αποδείξετε ότι:

α) i. Τα τρίγωνα ΣΒΓ και ΣΔΒ είναι όμοια.

ii. Τα τρίγωνα ΣΑΓ και ΣΔΑ είναι όμοια. (Μονάδες 16)

β) ΑΓ⋅ΒΔ=ΑΔ⋅ΒΓ (Μονάδες 9)

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 9

Page 10: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 9

Λύση:

α) i. Τα τρίγωνα B και B είναι όμοια γιατί

έχουν τη γωνία 1

κοινή και

(σχέ-

ση γωνίας χορδής κι εφαπτομένης με την εγγεγραμ-

μένη που βαίνει στο ίδιο τόξο).

ii. Για τον ίδιο λόγο τα τρίγωνα και είναι

όμοια ( 2

κοινή και

).

β) Είναι A B (εφαπτόμενα τμήματα).

Από τις παραπάνω ομοιότητες των τριγώνων,

έχουμε:

B

B B A

και

A

A A

.

Άρα: B A

A ·B A ·BB A

.

GI_V_GEO_2_19014

Τα παρακάτω τρίγωνα και έχουν

,

και 25 , 12 , 18 και

15 .

α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια. (Μονάδες 8)

β) Να συμπληρώσετε την ισότητα των λόγων με τις κατάλληλες πλευρές του τριγώνου ΔΕΖ:

(Μονάδες 9)

γ) Να υπολογίσετε τα x και y . (Μονάδες 8)

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 10

Page 11: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 10

Λύση:

α) Τα τρίγωνα και είναι όμοια γιατί έχουν δύο γωνίες τους (

και

) μία προς

μία ίσες.

β) Επομένως θα έχουν τις αντίστοιχες (ομόλογες) πλευρές τους ανάλογες: BA A B

= ZE Z E

(1).

γ) Από την σχέση (1) αντικαθιστώντας y x 25

= 12 18 15

.

y 25 y 5 60= = 3y 60 y 20

12 15 12 3 3 .

x 25 x 53x 90 x 30

18 15 18 3 .

GI_V_GEO_2_19015

Στο σχήμα που ακολουθεί, το τμήμα είναι παράλληλο

στην πλευρά του τριγώνου και επιπλέον ισχύουν

4 , 5 και 6 .

α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια. (Μονάδες 9)

β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) να συμπληρώσετε τα κενά στην ισότητα:

(Μονάδες 9)

γ) Ένας μαθητής χρησιμοποιεί την αναλογία 4 5

6 x για να υπολογίσει το x.

Να εξηγήσετε γιατί αυτή η αναλογία είναι λάθος, να γράψετε τη σωστή και να υπολογίσετε

την τιμή του x . (Μονάδες 7)

Λύση:

α) Ισχύει ότι E / /B . Συνεπώς

και

ως εντός εκτός και επί τα αυτά.

Έτσι τα τρίγωνα A E καιείναι όμοια αφού έχουν τις γωνίες μία προς μία ίσες.

β) Αφού τα τρίγωνα είναι όμοια θα έχουν τις ομόλογες πλευρές της ανάλογες:

Δηλαδή AB B A

A E AE

.

γ) Είναι λάθος, γιατί το τμήμα με μήκος 5 δεν είναι πλευρά κανενός τριγώνου.

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 11

Page 12: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 11

Η σωστή αναλογία θα ήταν A AB 4 9

4x 36 x 9E B 6 x

.

GI_V_GEO_2_19017

Τα παρακάτω τρίγωνα και είναι ορθογώνια με ορθές τις γωνίες

και

αντίστοιχα.

Επιπλέον, για τις πλευρές των τριγώνων και αντίστοιχα ισχύουν 28 , 24 και

21 , 18 .

α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια. (Μονάδες 10)

β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) να συμπληρώσετε κατάλληλα τα κενά:

(Μονάδες 9)

γ) Από τις παρακάτω ισότητες να επιλέξετε τη σωστή.

i.18

21 ii.

24

28 iii.

3

4 iv.

4

3 . (Μονάδες 6)

Λύση:

α) Είναι AB 28 4

21 3

και

A 21 4

18 3

. Άρα οι πλευρές και του τριγώνου είναι

ανάλογες με τις πλευρές και , αντίστοιχα του τριγώνου .

Επίσης έχουν 90

.

Οπότε τα και έχουν δυο αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες και τις περιεχόμενες (στις

πλευρές αυτές) γωνίες ίσες. Άρα είναι όμοια.

β) Αφού (από α ερώτημα) τα τρίγωνα είναι όμοια οι αντίστοιχες (ομόλογες) πλευρές τους είναι

ανάλογες. Άρα 4

3

.

γ) Τα τρίγωνα και είναι όμοια με λόγο ομοιότητας 4

3 .

Άρα έχουμε

4

3

3

4. Δηλαδή σωστό είναι το (iii).

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 12

Page 13: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 12

GI_V_GEO_2_19019

Στο σχήμα που ακολουθεί ισχύουν / / , 6 , 8 , 15 και 10 .

α) Να βρείτε δυο ζεύγη ίσων γωνιών των τριγώνωνκαι .

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια και να γράψετε την ισότητα

των λόγων των ομόλογων πλευρών τους. (Μονάδες 9)

γ) Να υπολογίσετε τα τμήματα και . (Μονάδες 8)

Λύση:

α) Είναι ΕΑΒ ΕΓΔ

και ΕΒΑ ΕΔΓ

και στις δύο περιπτώσεις ως εντός εναλλάξ των

παράλληλων ευθειών , .

β) Αφού τα τρίγωνα και έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, είναι όμοια, οπότε

ισχύει: ΑΒ ΒΕ ΑΕ

ΔΓ ΔΕ ΓΕ .

γ) ΒΕ ΑΕ ΒΕ 6

15 ΒΕ 6 10 ΒΕ 4ΔΕ ΓΕ 10 15

.

και ΑΒ ΑΕ 8 6

6 ΔΓ 8 15 ΔΓ 20ΔΓ ΓΕ ΔΓ 15

.

GI_V_GEO_2_19021

Να χρησιμοποιήσετε τις πληροφορίες που σας δίνονται για το κάθε ζεύγος τριγώνων των παρακάτω

σχημάτων, προκειμένου να απαντήσετε στα ακόλουθα:

α) Ποιο από τα παρακάτω ζεύγη τριγώνων είναι όμοια και ποιο δεν είναι; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 14)

β) Για το ζεύγος των όμοιων τριγώνων του προηγούμενου ερωτήματος,

i. να γράψετε την ισότητα των λόγων των ομόλογων πλευρών. (Μονάδες 6)

ii. να βρείτε το λόγο ομοιότητάς τους. (Μονάδες 5)

Γ

Α

Ε

Δ

8

15 10

6

Β

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 13

Page 14: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 13

1ο ζεύγος: τρίγωνα και 2ο ζεύγος: τρίγωνα και

Λύση:

α) Στο 1ο ζευγάρι ορθογωνίων τριγώνων ισχύει:

10 2

15 3

6 2

9 3

.

Επομένως από το 2ο κριτήριο ομοιότητας, τα ορθογώνια τρίγωνα,

είναι όμοια.

Γ

Α

Β

400

Η

Λ

Κ

650

Κ

Μ

Λ

10

6

Ζ Δ

9

Ε

15

51

55

5

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 14

Page 15: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 14

Στο 2ο ζευγάρι ισοσκελών τριγώνων έχουμε:

0 0 00180 40 140

702 2

και

065

, οπότε

0 0 0 0 0180 2 65 180 130 50

.

Συνεπώς, τα τρίγωνα δεν έχουν γωνίες ίσες ,

οπότε δεν είναι όμοια.

β) i. Για τα όμοια τρίγωνα (1ο ζευγάρι) έχουμε:

ii. Προφανώς, ο λόγος ομοιότητας των , είναι: 2

3 .

GI_V_GEO_2_19023

Στο παρακάτω σχήμα, τα πολύγωνα και είναι όμοια και έχουν

και

.

α) Να προσδιορίσετε το λόγο ομοιότητάς τους. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

β) Να υπολογίσετε το μήκος x της πλευράς . (Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε την περίμετρο του πολυγώνου . (Μονάδες 9)

Λύση:

α) Οι πλευρές , είναι ομόλογες αφού 90

και

.

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 15

Page 16: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 15

Άρα ο λόγος ομοιότητας του πολυγώνου προς το πολύγωνο είναι

AB 10 2

K 15 3

.

β) Οι πλευρές , είναι ομόλογες (έχουν προσκείμενες τις ορθές γωνίες),

οπότε AE 2 x

3x 36 x 12KP 3 18

.

γ) Είναι K MNP K M MN NP PK 15 12 9 15 18 69 .

Ο λόγος των περιμέτρων των δύο πολυγώνων είναι ίσος με τον λόγο ομοιότητάς τους.

Άρα AB E AB EAB E

K MNP

246

69 3

.

GI_V_GEO_2_19024

Στο τρίγωνο του παρακάτω σχήματος, το τμήμα είναι παράλληλο στην πλευρά του

τριγώνου. Από το σημείο φέρουμε την παράλληλη προς τη η οποία τέμνει την στο

σημείο . Να αποδείξετε ότι:

α )

(Μονάδες 10)

β)

(Μονάδες 10)

γ)

(Μονάδες 5)

Λύση:

α) Είναι ΔΕ//ΒΓ.

Από πόρισμα Θ. Θαλή στο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε:

(1)E

.

β) Είναι ΔΖ//ΒΕ. Από πόρισμα Θ. Θαλή στο τρίγωνο ΑΒΕ παίρνουμε:

(2)

.

γ) Από τις σχέσεις (1), (2) και τους τονισμένους λόγους παίρνουμε:

.

GI_V_GEO_2_19026

Δίνεται τρίγωνοκαι τυχαίο σημείο στην πλευρά . Φέρνουμε από το σημείο παράλλη-

λες στις πλευρέςκαι που τέμνουν αντίστοιχα τις πλευρές και στα σημεία και .

Να αποδείξετε ότι:

Α

Δ Ε

Β Γ

Ζ

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 16

Page 17: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 16

α ) E B

A B

(Μονάδες 10)

β)

(Μονάδες 10)

γ) 1

(Μονάδες 5)

Λύση:

α) E || A , άρα τα τρίγωνα B E,B είναι όμοια: E B

A B

.

β) Z//AB , άρα τα τρίγωνα Z, BA είναι όμοια:

Z

AB B

.

γ) Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο παραπάνω σχέσεις:

E Z B B1

A AB B B B

.

GI_V_GEO_2_19028

Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ( / / ) και BE το ύψος του. Αν είναι AB=3, ΓΔ=7

και BΓ=4, τότε,

α) να αποδείξετε ότι 2 3 . (Μονάδες 13)

β) να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου . (Μονάδες 12)

Λύση:

α) Φέρνω και το άλλο ύψος του τραπεζίου. Είναι ZE AB 3 , άρα Z E 2 .

Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο EB έχουμε: 2 2 2BE B E 16 4 12 BE 2 3 .

β)

Το τρίγωνο , έχει βάση 3 και ύψος

H 2 3 , οπότε 1

(AB ) AB· H 3 32

Β τρόπος Στο ορθογώνιο τρίγωνο EB, είναι

0 0BE EB 30 AB 120

2

Άρα:

01 3(AB ) AB·B 120 6 3 3

2 2 .

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 17

Page 18: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 17

GI_V_GEO_2_19030

Στη διχοτόμο της γωνίας xOy

θεωρούμε τα σημεία , τέτοια ώστε 2 . Η κάθε-

τος στην στο σημείο τέμνει την πλευρά x στο σημείο και έστω η προβολή του

στην y . Να αποδείξετε ότι:

α) Τα τρίγωνα και είναι όμοια. (Μονάδες 10)

β) 22 . (Μονάδες 15)

Λύση:

α) Τα τρίγωνα και είναι ορθογώνια και έχουν

τις γωνίες 1 2

(Η διχοτόμος).

Άρα είναι όμοια.

β) Αφού είναι όμοια έχουν τις πλευρές ανάλογες, άρα

2OE OA2

OB O

.

GI_V_GEO_2_19031

Στο κυρτό τετράπλευρο του παρακάτω σχήματος, η διχοτόμος της γωνίας

είναι

παράλληλη στην πλευρά και τέμνει τη στο και τη στο . Αν 12 , 8 ,

9 και 6 , να αποδείξετε ότι:

α) 6 (Μονάδες 13)

β) 9 (Μονάδες 12)

Λύση:

α) Στο τρίγωνο AB η AEείναι εσωτερική διχοτόμος.

Ο Α

Ε

Β

y

Δ

x

δ 1 2

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 18

Page 19: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 18

Α

Β Ε

Γ

Δ

Ζ

1 2

Άρα ισχύει η αναλογία AB EB 8 EB

A E 12 9

.

Απλοποιώντας το πρώτο κλάσμα η αναλογία γράφεται 2 EB

3 9 .

Πολλαπλασιάζουμε χιαστί και έχουμε 3 EB 18 EB 6 .

β) Στο τρίγωνο B έχουμε ZE / /B οπότε από το Θεώρημα

Θαλή έχουμε E Z 9 Z

EB Z 6 6

.

Άρα απλοποιώντας τους παρονομαστές έχουμε Z 9 .

GI_V_GEO_2_19033

Δίνεται κυρτό τετράπλευρο και τα σημεία , ,

και των πλευρών του , , , αντίστοιχα

τέτοια, ώστε 1

3

.

Να αποδείξετε ότι:

α) / / / / . (Μονάδες 10)

β)1

3 (Μονάδες 10)

γ) τοπαραλληλόγραμμο. (Μονάδες 5)

Λύση:

α) AE AZ

EZ|| BA AB

και H

H|| BB

β) Τα τρίγωνα AEZ,A B είναι όμοια, καθώς επίσης και

τα H , B . Άρα έχουμε:

EZ 1

B 3

και

H 1

B 3

, οπότε

1EZ H B

3 .

γ) EZ// H , άρα το EZH είναι παραλληλόγραμμο.

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 19

Page 20: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 19

ΣΧΟΛΙΟ: Το (γ) ερώτημα, κατά τη γνώμη μου, δεν χρειαζόταν.

GI_V_GEO_2_19035

Δίνεται τρίγωνο και τα σημεία και των πλευρών

και αντίστοιχα ώστε 1

3

. Από το

σημείο φέρνουμε παράλληλη προς την , η οποία

τέμνει την στο σημείο . Να αποδείξετε ότι :

α) Τα τρίγωνα και είναι όμοια. (Μονάδες 10)

β) 3 . (Μονάδες 15)

Λύση:

α) Είναι

(1) και

κοινή των τριγώνων και (2) .

Άρα τα τρίγωνα και είναι όμοια (2ο κριτήριο ομοιότητας).

β) Από την ομοιότητα των τριγώνων και έχουμε τους ίσους λόγους:

31 13 3

GI_V_GEO_2_19036

Οι διαγώνιοι του τραπεζίου ( / / ) με τέμνονται στο . Η παράλληλη από το

προς την τέμνει τηνστο . Αν 12 , 9 και 36 , να αποδείξετε ότι:

α) 27 (Μονάδες 12)

β) 4 (Μονάδες 13)

Λύση:

α) OA O 12 36 9·36

AB|| O O 27OB O 9 O 12

.

Ζ

A

Γ Β

Ε Δ

Γ

Α

Ο

Δ

Β

Μ

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 20

Page 21: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 20

β)OA OM 12 OM 9·12

BM|| A OM OM 4O OB 27 9 27

.

GI_V_GEO_2_19038

Σε ημικύκλιο διαμέτρου κέντρου θεωρούμε σημείο του . Η χορδή τέμνει το ημικύκλιο

διαμέτρου στο . Να αποδείξετε ότι:

α) Τα τρίγωνα και είναι όμοια. (Μονάδες 12)

β) ( ) 4 ( ) (Μονάδες 13)

Λύση:

α) Τα τρίγωνα A B και O B έχουν:

1. A B O B 90

(ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν σε ημικύκλιο)

2. O

κοινή γωνία

Άρα τα τρίγωνα A B και O B είναι όμοια.

β) Τα τρίγωνα A B και O B είναι όμοια, με λόγο

ομοιότητας AB

OB .

Όμως η AB είναι διάμετρος, ενώ η OB ακτίνα του ίδιου

κύκλου.

Άρα, AB 2 OB , οπότε AB 2OB

2OB OB

.

Αλλά, ο λόγος των εμβαδών των δύο όμοιων τριγώνων θα ισούται με το τετράγωνο του λόγου

ομοιότητάς τους, δηλ. 2(A B)4

(O B)

.

Επομένως, (A B) 4(O B) .

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 21

Page 22: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 21

GI_V_GEO_2_19040

Δίνεται τρίγωνο( ) και , η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος του αντί-

στοιχα. Αν είναι 6 , 3 , 5 και 15 , να αποδείξετε ότι:

α) 4 (Μονάδες 12)

β) 12 (Μονάδες 13)

Λύση:

α) Ισχύει B B 5 3 2 . (1).

Στο τρίγωνο AB η Aείναι εσωτερική διχοτόμος.

Άρα ισχύει η αναλογία AB B 6 3

A A 2

.

Πολλαπλασιάζουμε χιαστί και έχουμε 3A 12 A 4 .

β) Ισχύει E BE B 15 5 10 (2).

Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε E E 2 10 12 .

GI_V_GEO_2_19041

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( 090

) με ύψος και 8 , 32

5 . Να υπολογίσετε

τα μήκη των παρακάτω τμημάτων:

α) . (Μονάδες 9)

β) . (Μονάδες 8)

γ) . (Μονάδες 8)

Λύση:

α) Ισχύει ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο μιας καθέτου πλευράς ισούται με το γινό-

μενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πάνω σε αυτή. Έτσι προκύπτει ότι

2 επομένως 2 328

5 , επομένως 5 64 32 , άρα 10 .

β) από εφαρμογή του ΠΘ έχουμε ότι 2 2 2 2 210 8 100 64 36 ,

άρα 36 6 .

Α

Β Γ Δ Ε

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 22

Page 23: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 22

γ) Καταρχήν αφού 10 και το 32

5 ,το

32 1810

5 5 .

Τέλος σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει ότι το τετράγωνο του ύψους ισούται με το γινόμενο των

προβολών των καθέτων πάνω στη υποτείνουσα . Έτσι έχουμε 2 επομένως

2 32 18 576

5 5 25 , άρα

576 24

25 5 .

GI_V_GEO_2_19042

Δίνεται τρίγωνο με πλευρές 7 , 4 και βμ 33 .

α) Να αποδείξετε ότι 5 . (Μονάδες 13)

β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. (Μονάδες 12)

Λύση:

α) 2 2 2 2

2 22 2 98 2 1633 25 5

4 4

β) 2 2 2 2 2 216 25 41 49 .

Άρα το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο στη γωνία

.

GI_V_GEO_2_19043

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( 090

) με 4 και ύψος12

5 .

α) Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος . (Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι 9

5 . (Μονάδες 10)

γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου . (Μονάδες 5)

Λύση:

α) Εφαρμόζουμε το ΠΘ στο ορθογώνιο τρίγωνο και έχουμε ότι 2

2 2 2 2 12 144 2564 16

5 25 25

,

επομένως 256 16

25 5 .

β) Ισχύει σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ότι το τετράγωνο του ύψους ισού-

ται με το γινόμενο των προβολών των καθέτων πάνω στην υποτείνουσα

δηλαδή 2

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 23

Page 24: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

Επιμέλεια: [email protected] Σελίδα 23

και με αντικατάσταση έχουμε

212 16

5 5

ή

144 16

25 5 .

Επομένως

144925

16 5

5

.

γ) η 9 16

55 5

και επομένως 1 1 12

5 62 2 5

.

GI_V_GEO_2_19045

Δίνεται τρίγωνο με πλευρές 6 , 9 και 060

.

α) Να αποδείξετε ότι 3 7 . (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε το είδος του τριγώνουως προς τις γωνίες του. (Μονάδες 8)

γ) Να υπολογίσετε την προβολή της πάνω στη . (Μονάδες 9)

Λύση:

α) Φέρνουμε το ύψος . Στο ορθογώνιο τρίγωνο αφού η γωνία 060

έχουμε ότι η γωνία

01 30

. Επομένως η απέναντι κάθετη πλευρά της ισού-

ται με το μισό της υποτείνουσας δηλαδή

63

2 2

. Εφαρμόζοντας το ΠΘ στο έχουμε

2 2 2 2 26 3 36 9 27 , έτσι προκύπτει ότι

27 . Ακόμη είναι 9 3 6 και έτσι πά-

με στο τρίγωνο ορθογώνιο και εφαρμόζουμε το ΠΘ που

δίνει

2

2 2 2 227 6 27 36 63 .

Επομένως 63 3 7 .

β) Οι πλευρές του τριγώνου είναι λοιπόν 6 , 9 και 3 7 με μεγαλύτερη πλευρά την

(αφού 9 3 7 γιατί 81 63 ) τότε 2 81 και 2 2 2 26 (3 7) 36 63 99 και

επειδή 2 2 2 , το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.

γ) Από την επέκταση του Πυθαγορείου θεωρήματος στο οξυγώνιο τρίγωνο έχουμε: 2 2 2 2 63 36 81 18 3 .

Β τρόπος

Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: 1

60 36 2

.

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 24

Page 25: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Β΄ τάξης Γενικού Λυκείου

Θέμα 4ο

Εκφωνήσεις - Λύσεις των

θεμάτων

Έκδοση 1η (16/11/2014)

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 25

Page 26: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Επιμέλεια! [email protected] Σελίδα 2

Οι απαντήσεις και οι λύσεις

είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς

των Επιμελητών των φακέλων του Λυκείου

του Δικτυακού Τόπου mathematica.gr

με βάση υλικό που αναρτήθηκε στο mathematica

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Συνεργάστηκαν οι:

Θανάσης Μπεληγιάννης,

Γιώργος Ρίζος,

Χρήστος Τσιφάκης,

Γιώργος Βισβίκης,

Θανάσης Καραμεσάλης,

Νίκος Φραγκάκης,

KARKAR,

Ηλίας Καμπελής,

Γιώργος Μήτσιος,

Θανάσης Παπασταθόπουλος,

Σωτήρης Στόγιας

Το Δελτίο διατίθεται ελεύθερα

από το δικτυακό τόπο mathematica.gr

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 26

Page 27: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Επιμέλεια! [email protected] Σελίδα 3

Θέματα 4ης

Ομάδας

GI_V_GEO_4_18976

Σε οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε τα ύψη του και .

α) Αν το τρίγωνο είναι και σκαληνό, τότε:

i. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια. (Μονάδες 10)

ii. Να δικαιολογήσετε γιατί τα τρίγωνα και δεν μπορεί να είναι όμοια. (Μονάδες 10)

β) Αν το τρίγωνο είναι και ισοσκελές με κορυφή το , τότε μπορούμε να ισχυριστούμε

ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 5)

Λύση:

α) i. Τα τρίγωνακαι BE είναι όμοια επειδή

είναι ορθογώνια και έχουν κοινή τη γωνία

.

ii. Τα δύο αυτά τρίγωνα είναι ορθογώνια. Επειδή

όμως το είναι σκαληνό,

. Για να

είναι λοιπόν όμοια θα πρέπει

, που

είναι άτοπο γιατί το είναι οξυγώνιο και το

ύψος του,είναι εσωτερικό της γωνίας

.

β) Αν τοείναι ισοσκελές με κορυφή το , τότε τα τρίγωνα

και είναι ίσα και κατά συνέπεια ισογώνια,

άρα θα είναι και όμοια.

GI_V_GEO_4_18985

Σε κύκλο κέντρου θεωρούμε δύο χορδές του και που τέμνονται σε ένα σημείο .

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 27

Page 28: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Επιμέλεια! [email protected] Σελίδα 4

α) Αν το σημείο είναι το μέσο του τόξου , να αποδείξετε ότι:

i. Όταν η χορδή είναι κάθετη στη χορδή , τότε 2AM AB=AΓ . (Μονάδες 8)

ii. Όταν η χορδή δεν είναι κάθετη στη χορδή , ισχύει η σχέση 2AM AB=AΓ ;

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)

β) Αν για τις χορδές και που τέμνονται σε σημείο ισχύει ότι 2AM AB=AΓ ,

να αποδείξετε ότι το σημείο είναι το μέσο του τόξου . (Μονάδες 8)

Λύση:

α) i. Αν το σημείο A είναι το μέσο του τόξου και AB ,

τότε η AB είναι διάμετρος του κύκλου και κατά συνέπεια

0B A 90

. Άρα: 2A AM·AB .

ii) Η σχέση ισχύει από την ομοιότητα των τριγώνων A M,A B ,

που έχουν τη γωνία

κοινή και A A

ως εγγεγραμμέ-

νες σε ίσα τόξα.

β) Αν ισχύει η σχέση αυτή τότε A AB

AM A

, οπότε τα τρίγωνα

A M,A B , που έχουν τη γωνία

κοινή, θα είναι όμοια.

Άρα A A

, δηλαδή τα τόξα A ,A είναι ίσα.

GI_V_GEO_4_18994

Στην πλευρά παραλληλογράμμου θεωρούμε σημείο τέτοιο, ώστε 1

3 και

στην πλευρά θεωρούμε σημείο τέτοιο, ώστε 1

3 . Αν η διαγώνιος τέμνει τις

και στα σημεία και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

α) 2 . (Μονάδες 13)

β) 1

5 . (Μονάδες 12)

Λύση:

α) Z|| EB E|| BZ .

Στο τρίγωνο M,ZN|| M :

N Z2 N 2 MN

MN Z

.

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 28

Page 29: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Επιμέλεια! [email protected] Σελίδα 5

Στο τρίγωνο ABN,ME|| BN : AM AE

2 AM 2 MNMN EB

.

Άρα: AM N 2 MN .

β) A AM MN N 2 MN MN 2 MN 5 MN

1MN A

5 .

GI_V_GEO_4_19000

Δίνεται τρίγωνο . Θεωρούμε τη διάμεσο του και

τυχαίο σημείο του τμήματος . Από το φέρουμε ευθεία

παράλληλη στην που τέμνει την πλευρά στο και την

προέκτασή της στο .

α) Να συμπληρώσετε τις αναλογίες και να αιτιολογήσετε

την επιλογή σας:

i)

ii)

(Μονάδες 12)

β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα είναι σταθερό, για

οποιαδήποτε θέση του στο . (Μονάδες 13)

Λύση:

α) i. Τα τρίγωνα EM και ABM είναι όμοια αφού έχουν E/ /AM και

κοινή έτσι:

E BE B

AM BM AB

1 .

ii. Τα τρίγωνα E Z και AM είναι όμοια αφού έχουν ZE/ /AM και

κοινή έτσι:

EZ E Z

AM M A

2 .

β) Από τη σχέση 1 είναι: E BE

AM BM

3 .

Από τη σχέση 2 είναι

M BMEZ E EZ E

AM M AM BM

4 .

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 29

Page 30: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Επιμέλεια! [email protected] Σελίδα 6

Από E EZ BE E

3 4AM BM

E EZ B

AM BM

E EZ 2BME EZ 2AM

AM BM

, το οποίο είναι σταθερό.

GI_V_GEO_4_19006

Δίνεται κύκλος (O,R) και μία διάμετρός του ΑΒ. Με διαμέτρους τα

τμήματα ΟΑ και ΟΒ γράφουμε τους κύκλους κέντρων Κ και Λ α-

ντίστοιχα. Ένας τέταρτος κύκλος κέντρου Μ και ακτίνας ρ εφάπτε-

ται εξωτερικά των κύκλων κέντρων Κ και Λ και εσωτερικά του κύ-

κλου κέντρου Ο.

α) Να εκφράσετε τις διακέντρους ΚΜ, ΛΜ και ΟΜ των αντιστοί-

χων κύκλων ως συνάρτηση των ακτίνων τους, δικαιολογώντας την

απάντησή σας. (Μονάδες 12)

β) Να αποδείξετε ότι R

3 (Μονάδες 13)

Λύση:

α) Είναι R

KM2

αφού οι κύκλοι R

K,2

και

M, εφάπτονται εξωτερικά.

Ομοίως, R

M2

αφού οι κύκλοι R

,2

και

M, εφάπτονται εξωτερικά.

OM R αφού οι κύκλοι O,R και M, εφάπτο-

νται εσωτερικά.

β) Στο ισοσκελές τρίγωνο KM το M είναι διάμεσος

άρα και ύψος.

Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο M είναι:

2 2

22 2 2 R RMK MO OK R

2 4

2 22 2 2R R

R R 2R4 4 2 R

3R R3

.

GI_V_GEO_4_19009

Ένα κινητό ξεκινάει από ένα σημείο Α και κινείται βόρεια 3 χιλιόμετρα, κατόπιν συνεχίζει 10 χι-

λιόμετρα ανατολικά, στη συνέχεια προχωράει 4 χιλιόμετρα βόρεια και τέλος 14 χιλιόμετρα ανατο-

λικά καταλήγοντας στο σημείο Ε.

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 30

Page 31: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Επιμέλεια! [email protected] Σελίδα 7

α) Αν από το σημείο Ε επιστρέψει στο σημείο Α από το οποίο ξεκίνησε ,κινούμενο ευθύγραμμα, να

βρείτε την απόσταση ΑΕ που θα διανύσει. (Μονάδες 12)

β) Τα σημεία Α, Γ και Ε είναι συνευθειακά; Να αιτιολογήσετε πλήρως την απάντησή σας.

(Μονάδες 13)

Λύση:

α) Ας είναι Z η τομή των ευθειών AB,E τότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο

τρίγωνο ZAE( 90 )

θα έχουμε: 2 2 2 2 2EA EZ ZA 24 7 625 και άρα EA 25 .

β) Επειδή 2 2 2A AB B A 109 και ομοίως : 2 2E 14 4 E 212 αν τα

σημεία A, ,E ανήκουν στην ίδια ευθεία θα έχουμε

AE A E 25 109 212 , άτοπο, αφού το πρώτο μέλος είναι ρητός και μάλιστα

ακέραιος, ενώ το δεύτερο μέλος άρρητος.

2ος τρόπος

Αν τα σημεία A, ,E ανήκουν στην ίδια ευθεία τα ορθογώνια τρίγωνα AB E θα είναι

όμοια και άρα θα έχουν τις κάθετες πλευρές ανάλογες.

Δηλαδή AB 3 4 2

21 20B E 10 14 7

άτοπο.

Εν κατακλείδι τα σημεία A, ,E δεν είναι συνευθειακά.

GI_V_GEO_4_19013

Δύο παίκτες Π1 και Π2 παίζουν σε ένα τραπέζι του μπιλιάρδου με διαστάσεις 1x2 μέτρα. Μία ά-

σπρη μπάλα τοποθετείται έτσι ώστε, να απέχει 1,75 μέτρα από την πλευρά ΒΓ και 0,75 μέτρα από

την πλευρά ΔΓ, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 31

Page 32: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Επιμέλεια! [email protected] Σελίδα 8

Ο παίκτης Π1 παίζει πρώτος και χτυπάει την μπάλα Μ έτσι ώστε, να προσκρούσει στο απέναντι

μέρος του τραπεζιού στο σημείο Ε και κατόπιν να μπει στην τρύπα που βρίσκεται στο μέσον της

πλευράς ΓΔ.

Ο παίκτης Π2 τοποθετεί την μπάλα Μ πάλι στο ίδιο σημείο εκκίνησης και προτίθεται να χτυπήσει

έτσι τη μπάλα ώστε, να προσκρούσει στην πλευρά ΓΔ σε σημείο της Κ και κατόπιν να μπει στην

τρύπα στην κορυφή Β (η διαδρομή ΜΚΒ όπως φαίνεται στο σχήμα). Ο συμπαίκτης του ισχυρίζε-

ται ότι αυτό δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί και θα χάσει.

(Σημείωση: Η γωνία με την οποία χτυπάει η μπάλα σε μία πλευρά ισούται με τη γωνία με την οποία

απομακρύνεται)

α) Να βρείτε πόσο απέχει το σημείο Ε από την κορυφή Γ του μπιλιάρδου. (Μονάδες 12)

β) Γιατί ο παίκτης Π1 ισχυρίζεται ότι θα χάσει ο συμπαίκτης του;

Να αιτιολογήσετε πλήρως την απάντηση σας. (Μονάδες 13)

Λύση:

α) Διαδικασία προσδιορισμού του E .

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 32

Page 33: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Επιμέλεια! [email protected] Σελίδα 9

Ας είναι H το σημείο τομής των ευθειών ME . Επειδή

και 1

ως κατακορυφήν

θα είναι και 1

.

Ονομάζω T το σημείο της τρύπας στο μέσο του , έτσι το τρίγωνο ETHθα έχει την E διχοτό-

μο και ύψος οπότε και διάμεσο και άρα μεσοκάθετο του TH .

Ας είναι και N η προβολή του M στη

Τα ορθογώνια τρίγωνα HMN,HETείναι προφανώς όμοια και άρα

MN HN 0,75 2,75 75x

E H x 1 275

και άρα

3x 0,27

11 .

Παρατήρηση:

Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε χωρίς την διαδικασία κατασκευής του E , από τα όμοια ορθο-

γώνια τρίγωνα ME TE .

β) Αν η BT τμήσει την ευθεία MN στο Z, το ορθογώνιο τρίγωνο BT έχει τις κάθετες πλευρές

του ίσες ( B T 1 ) .

Το τρίγωνο NZT θα είναι και αυτό ισοσκελές ορθογώνιο ως όμοιο με το BT . Θα έχει δε

NT NZ y MN 0,75 .

Συνεπώς το μόνο σημείο στο οποίο θα μπορούσε να ανακλαστεί η σφαίρα M στην πρόσκρουσή

της με την είναι το T που όμως είναι τρύπα !

Για κάθε άλλο σημείο Kπάνω στην ανάμεσα στα N,T , η ανάκλαση της σφαίρας θα ακολου-

θήσει την διεύθυνση της ZN ( αφού η KN μεσοκάθετος στο MZ) η οποία όμως δεν διέρχεται από

το B , κι αυτό γιατί η γωνία 45

ως εξωτερική στο τρίγωνο MKT .

Παρατήρηση.

Βεβαίως μπορούμε και με άτοπο να υποθέσουμε ότι ο ισχυρισμός του δεύτερου παίκτη είναι αλη-

θής και από την προκύπτουσα ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων MNK,B K οι προκύπτουσες

αναλογίες οδηγούν σε άτοπο.

GI_V_GEO_4_19016

Στο παρακάτω σκαληνό τρίγωνο θεωρούμε τα σημεία

και στις πλευρές και αντίστοιχα, έτσι ώστε να

ισχύουν: 2

AE A3

και 2

A AB3

.

α) Να αποδείξετε ότι

(Μονάδες 9)

β) Να εξετάσετε αν ισχύει AE E

A B

. (Μονάδες 8)

γ) Να εξετάσετε αν το τμήμα ΒΓ είναι παράλληλο στο τμήμα ΔΕ.

Να αιτιολογήσετε πλήρως τις απαντήσεις σας. (Μονάδες 8)

Λύση:

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 33

Page 34: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Επιμέλεια! [email protected] Σελίδα 10

α) Τα τρίγωνα AE και AB είναι όμοια αφού έχουν

κοινή και AE A 2

A AB 3

από την υπό-

θεση, έτσι θα έχουν και τις αντίστοιχες γωνίες ίσες δηλαδή και

.

β) Από την ομοιότητα των παραπάνω τριγώνων είναι και AE E

A B

γ) Είναι

(1) και

(2) .

Αν είναι B / / E τότε και

(3) , ως εντός εκτός και επί τα αυτά.

Από 1 , 3

, δηλαδή το τρίγωνο AB είναι ισοσκελές.

Αυτό είναι άτοπο αφού το τρίγωνο AB είναι σκαληνό, έτσι το τμήμα B δεν είναι παράλληλο

στο τμήμα E .

GI_V_GEO_4_19020

Σε δυο σημεία ενός ευθύγραμμου δρόμου ΑΒ βρίσκονται δυο κατακόρυφοι στύλοι ύψους 2 και 3

μέτρων αντίστοιχα. Χρησιμοποιούμε δυο σύρματα για να ενώσουμε την κορυφή του καθενός με τη

βάση του άλλου, ώστε τα δυο σύρματα να διασταυρώνονται σε ένα σημείο Κ (σχήμα).

α) Να βρείτε τα ζεύγη των όμοιων τριγώνων που σχηματίζονται.

Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 8)

β) Προκειμένου να μετρήσουμε πόσο απέχει από το έδαφος το σημείο Κ στο οποίο διασταυρώνο-

νται τα σύρματα, μετρήσαμε την απόσταση του Κ από τον μικρότερο στύλο και την βρήκαμε

4 μέτρα. Αν η απόσταση ΑΒ των στύλων ήταν 10 μέτρα, πόσο απείχε το σημείο Κ από το έδαφος;

(Μονάδες 9)

γ) Δείξτε ότι όποια και αν είναι η απόσταση ΑΒ που απέχουν οι δυο στύλοι μεταξύ τους, η από-

σταση του σημείου Κ, όπου διασταυρώνονται τα δυο σύρματα από το έδαφος , θα είναι η ίδια.

(Μονάδες 8)

Λύση:

α) Στο αρχικό σχήμα σχηματίζεται ένα ζεύγος όμοιων τριγώνων.

Είναι τα AK και KB .

Τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια γιατί έχουν τις γωνίες τους μία προς μία ίσες. Εδώ μας αρκούν οι δύο

γωνίες:

• 1 2

ως κατακορυφήν.

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 34

Page 35: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Επιμέλεια! [email protected] Σελίδα 11

ως εντός εναλλάξ των παράλληλων στύλων AE,B με την τέμνουσα A .

β)

γ) Καταρχήν πρέπει να πούμε ότι αφού οι στύλοι είναι κατακόρυφοι, οι γωνίες 090

.

Αν φέρουμε από το K κάθετη στην A αυτή θα τέμνει κάθετα και την παράλληλή της B .

Έτσι το είναι ορθογώνιο, καθώς έχει 4 ορθές γωνίες. Συνεπώς AZ BH .

Ακόμη η κάθετη απόσταση του K από το έδαφος B θα είναι ίση με τις , αφού το

είναι επίσης ορθογώνιο.

Επομένως KE AZ BH x

Τα τρίγωνα KZA,KH είναι όμοια αφού έχουν

• 090

Άρα θα έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες

AZ AK x AK

Z K 3 x K

(1)

Όμως από στο α ερώτημα δείξαμε ότι AK και KB είναι επίσης όμοια.

Συνεπώς A AK 2 AK

B K 3 K

(2).

Από (1) και ( 2) έχουμε x 2

3x 2 3 x 3x 6 2x3 x 3

65x 6 x

5 .

Δείξαμε δηλαδή ότι 6

KE 1,25

μέτρα , ανεξάρτητα από την απόσταση των δύο στύλων.

(Δεν χρησιμοποιήσαμε πουθενά το στοιχείο AB 10 )

Το θέμα αυτό είναι το διάσημο πρόβλημα "Crossed Ladders " , δείτε π.χ. εδώ.

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 35

Page 36: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Επιμέλεια! [email protected] Σελίδα 12

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Γενικά, αν οι δύο στύλοι έχουν μήκος και (σχήμα)

από τα ζεύγη των όμοιων τριγώνων KZA,KH και AK , KB

Όπως αποδείχθηκαν παραπάνω προκύπτουν οι αναλογίες:

AZ AK x AK

Z K x K

(1)

A AK AK

B K K

( 2 )

Από (1) και ( 2) έχουμε

x

x x x xx

x x

.

Επομένως η ζητούμενη απόσταση είναι σταθερή και εξαρτάται από τις διαστάσεις των δύο στύλων

και όχι από την μεταξύ τους απόσταση.

Όμως το πρόβλημα με το β ερώτημα παραμένει.

Αν ένας μαθητής απαντήσει απευθείας στο γ ερώτημα, τι γίνεται;

GI_V_GEO_4_19022

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) τέτοιο ώστε να ισχύει 2 2 22 . Αν η

προέκτασή της διαμέσου του ΑΜ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ρ, να αποδείξετε ότι :

α) 3

2

(Μονάδες 8)

β) a 3

MP=6

(Μονάδες 8)

γ) ( ) 6 ( ) (Μονάδες 9)

Λύση:

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 36

Page 37: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Επιμέλεια! [email protected] Σελίδα 13

α) 2 2

2 2 2 2 2 2 23 32 2 2

2 2 4 2

.

β) Ισχύει ότι

32 263 2 3

2

.

γ)

32

( ) 2( ) 2 2 2 6( ) ( ) 3

6 2

.

GI_V_GEO_4_19025

Κυρτό τετράπλευρο ABΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Οι διαγώνιοί του AΓ και BΔ τέμνονται

στο σημείο M , το οποίο είναι το μέσο της διαγωνίου BΔ . Να αποδείξετε ότι:

α) 2B 4MA M (Μονάδες 7 )

β) 2 2AB A 2AM A (Μονάδες 9 )

γ) 2 2 2 2 2AB B A 2A (Μονάδες 9 )

Λύση:

α) 2

2BM·MB MA·M MA·M B 4MA·M

4

.

β) Εφαρμόζω το 1ο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο AB : 2

2 2 2 2BAB A 2AM 2AM 2AM·M 2AM(AM M )

2

2 2AB A 2AM·A .

γ) Εφαρμόζω το 1ο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο B : 2

2 2 2 2BB 2 M 2 M 2AM·M

2

2 M( M AM) 2 2B 2 M·A .

Προσθέτω κατά μέλη την τελευταία αυτή σχέση και τη σχέση

του β) ερωτήματος: 2 2 2 2AB B A 2AM·A 2 M·A

22A (AM M) 2A .

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 37

Page 38: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Επιμέλεια! [email protected] Σελίδα 14

GI_V_GEO_4_19027

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, ώστε . Από

το σημείο Α φέρνουμε ευθεία (ε) παράλληλη στη ΒΓ. Η ευθεία (ε) τέμνει τις προεκτάσεις των ΒΕ

και ΓΔ στα σημεία Ζ, Η αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) / / .

(Μονάδες 5)

β) 1

2 .

Μονάδες 7)

γ) 1

2 .

(Μονάδες 7)

δ) ( ) 2 ( ) . (Μονάδες 6)

Λύση:

α) Οι ευθείες HZ/ /Bκαι ακόμη HZ, E και B τέμνουν τις , Aκαι ορίζουν σε αυτές

τμήματα ανάλογα, αφού ισχύει A AE

AB A

.

Επομένως από το αντίστροφο του Θεωρήματος του Θαλή προκύπτει E / / B/ /AZ  .

β) Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Θαλή για τις παράλληλες E,AZ  Bκαι που τέμνουν τις

και παίρνομε τις αναλογίες:

A ZE 1 ZEZB 3ZE

AB ZB 3 ZB

1ZE EB 3ZE EB 2ZE ZE EB

2 .

γ) Το τρίγωνο ορίζεται από την προέκταση των πλευρών και E του τριγώνου AE

και την που είναι παράλληλη προς την τρίτη του

πλευρά B .

Έτσι σύμφωνα με το σχετικό θεώρημα οι πλευρές των

δύο τριγώνων θα είναι ανάλογες.

Δηλαδή ZE AZ 1 AZ 1

A BEB B 2 2

(1).

δ) Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι τα τρίγωνα HA

και B έχουν πλευρές ανάλογες.

Δηλαδή

A HA A HA A HA

B B B A B HA AB B HA

1 HAB HA 3HA

3 B HA

1HA B

2 (2).

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι HA AZ .

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 38

Page 39: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Επιμέλεια! [email protected] Σελίδα 15

Επομένως στο τρίγωνο η αποτελεί διάμεσο και χωρίζει το τρίγωνο (σύμφωνα με εφαρ-

μογή του βιβλίου) σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα ( ) ( ) .

Άρα ( ) ( ) ( ) 2 ( ) .

GI_V_GEO_4_19029

Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) και σημείο Μ της πλευράς του ΑΔ ώστε 1

3

. Από το Μ

φέρνουμε παράλληλη προς τις βάσεις του τραπεζίου, η οποία τέμνει τις ΑΓ και ΒΓ στα σημεία Κ

και N αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) 1

3

(Μονάδες 6)

β) 2

3

(Μονάδες 6)

γ) 1 2

3 3 (Μονάδες 6)

δ) Ο ισχυρισμός «τα τραπέζια ΑΒΝΜ και ΑΒΓΔ είναι όμοια» είναι αληθής ή ψευδής ;

Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 7)

Λύση:

α) Από το Θεώρημα Θαλή παίρνουμε AK AM 1

A A 3

κι' ακόμη

MK 1

3

από τα όμοια τρίγωνα

και A .

β) Είναι

KN AB KN AB

KN N M 2

AB B A 3

.

γ) 1 2

MN MK KN AB3 3

δ) Ας δεχθούμε ότι τα τραπέζια

ABNM,AB είναι όμοια .

Τότε οι αντίστοιχες πλευρές τους

έχουν τον ίδιο λόγο (ομοιότητας)

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 39

Page 40: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Επιμέλεια! [email protected] Σελίδα 16

οπότε ισχύει MN AM 1

A 3

.

αλλά από το γ) προκύπτει: 1 1 2

MN AB AB 03 3 3 , που είναι ΑΤΟΠΟΝ .. συνεπώς

τα τραπέζια δεν είναι όμοια, δηλ. ο ισχυρισμός είναι ΨΕΥΔΗΣ .

Ας δούμε και μια πιο πρακτική αιτιολόγηση.

Τα όμοια σχήματα είναι το ένα μεγέθυνση του άλλου , δηλ οι πλευρές του μικρού πολλαπλασιάζο-

νται (όλες με τον ίδιο αριθμό) για να προκύψουν οι πλευρές του μεγάλου.

Εδώ η πλευρά τριπλασιάζεται για να προκύψει η , ενώ η παραμένει αμετάβλητη.

Συνεπώς τα τραπέζια , δεν είναι δυνατόν να είναι όμοια.

GI_V_GEO_4_19032

Δίνονται δύο κύκλοι (O,α) και (K,β)με , οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο . Φέρνουμε

το κοινό εφαπτόμενο τμήμα AB , με A, B σημεία των κύκλων (O,α) και (K,β) αντίστοιχα. Από το

θεωρούμε την κάθετη στο AB, η οποία τέμνει τα ευθύγραμμα τμήματα AK και AB στα σημεία

και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι :

α) αβ

MΛ=α+β

(Μονάδες 8

β) αβ

ΛN=α+β

(Μονάδες 8)

γ) Αν 1 2E ,E είναι τα εμβαδά των κύκλων

(O, ) και (K, ) αντίστοιχα,

τότε:

2

1

2

E (AΛN)=

E (KMΛ)

(Μονάδες 9)

Λύση:

α) Είναι : M / /OA , επομένως :

M aM

a a a

β) Είναι : N/ /KB , επομένως :

N A a aN

AK a a

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 40

Page 41: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Επιμέλεια! [email protected] Σελίδα 17

γ) Είναι : (A N) A· N A a

(KM ) K· M K

και τετραγωνίζοντας , έχω :

2 2 21

2 22

Ea a a

E

.

GI_V_GEO_4_19034

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Μ, Λ και Ζ πάνω στις πλευρές ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα τέτοια,

ώστε 1

AM AB2

, 2

AΛ AΓ3

και 1

BZ BΓ3

.

α) Να αποδείξετε ότι 1

(AMΛ) (ABΓ)3

. (Μονάδες 7)

β) Να αποδείξετε ότι (MZΛ) 5

(ABΓ) 18 . (Μονάδες 12)

γ) Να υπολογίσετε το λόγο των εμβαδών (AMZΛ)

(ABΓ). (Μονάδες 6)

Λύση:

α) Τα τρίγωνα ΑΜΛ, ΑΒΓ έχουν κοινή την γωνία

, οπότε

1 2AB· A

(AM ) AM·A 12 3(AB ) AB·A AB·A 3

.

Άρα 1

(AM ) (AB )3

.

β) Τα τρίγωνα ΒΜΖ, ΑΒΓ έχουν κοινή την γωνία

,

οπότε

1 1AB· B

(BMZ) BM·BZ 12 3(AB ) AB·B AB·B 6

.

Άρα 1

(BMZ) (AB )6

.

Ομοίως τα τρίγωνα ΓΛΖ, ΑΒΓ έχουν κοινή την γωνία

.

Άρα

1 2A · B

( Z) · Z 23 3(AB ) A ·B A ·B 9

.

Επομένως 2

( Z) (AB )9

.

Είναι ( MZ ) (AB ) (AM ) (BMZ) ( Z) 1 1 2

(AB ) (AB ) (AB ) (AB )3 6 9

1 1 21 (AB )

3 6 9

18 6 3 4(AB )

18

5(AB )

18 . Άρα

(MZ ) 5

(AB ) 18

.

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 41

Page 42: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Επιμέλεια! [email protected] Σελίδα 18

γ)

1 5 1 5(AB ) (AB ) ( )(AB )

(AMZ ) (AM ) (MZ )) 1 5 113 18 3 18(AB ) (AB ) (AB ) (AB ) 3 18 18

.

GI_V_GEO_4_19037

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με διάμεσο 5

AM2

. Αν τα ύψη του ΑΔ και ΒΕ τέμνονται στο σημείο

Η, να αποδείξετε ότι:

α) AH AΔ=AΓ AE (Μονάδες 8)

β) Η γωνία Α του τριγώνου ΑΒΓ είναι οξεία. (Μονάδες 9)

γ) 2AH AΔ (Μονάδες 8)

Λύση:

α) Το τετράπλευρο ΕΓΔΗ είναι εγγράψιμο, αφού ο ο οΗΕΓ ΓΔΗ 90 90 180

.

Άρα ΑΗ ΑΔ ΑΓ ΑΕ .

β) Από το 1ο Θ. Διαμέσων έχουμε 2 2 2

2 2β 2γ αΑΜ

4

22 2 2α 5 2β 2γ α

2 4

2 2 2 25α 2β 2γ α

4 4

2 2 2β γ 3α .

Άρα 2 2 2 2β γ 3α α κι επομένως η

είναι οξεία.

γ) Εφαρμόζουμε Γ.Π.Θ. στο τρίγωνο ΑΒΓ, αφού 90

: 2 2 2ΒΓ ΑΒ ΑΓ 2ΑΓ ΑΕ 2 2 2α γ β 2ΑΓ ΑΕ

2 2α 3α 2ΑΓ ΑΕ 2ΑΓ ΑΕ α και λόγω του (α) ερωτήματος: 2ΑΗ ΑΔ α .

GI_V_GEO_4_19039

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ, 36

και η διχοτόμος του ΒΔ.

α) Να αποδείξετε ότι:

i) Τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΑΒΓ είναι όμοια. (Μονάδες 6)

ii) 2ΑΔ ΑΓ ΔΓ (Μονάδες 9)

β) Αν θεωρήσουμε το ΑΓ ως μοναδιαίο τμήμα

Γ Β

Α

Δ

360

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 42

Page 43: γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 30 11 2014

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46868

Επιμέλεια! [email protected] Σελίδα 19

(ΑΓ = 1), να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος

ΑΔ και το λόγο ΑΔ

ΔΓ. (Μονάδες 10)

Λύση:

Αφού η 36

και το ΑΒΓ είναι ισοσκελές είναι : 72

. Η είναι διχοτόμος της

,

άρα: 36

.

Τα τρίγωνα ΑΒΔ , ΒΔΓ έχουν δύο γωνίες ίσες άρα είναι ισοσκελή με ΑΔ=ΒΔ=ΒΓ .

α) (i) Τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΑΒΓ έχουν:

36

και

κοινή γωνία , άρα είναι όμοια .

(ii) Αφού τα ΒΔΓ και ΑΒΓ είναι όμοια έχουμε: 2ΒΔ ΓΔ ΑΔ ΓΔΑΔ ΑΓ ΓΔ

ΑΓ ΒΓ ΑΓ ΑΔ .

β΄τρόπος Από θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου έχουμε :

2ΒΓ ΓΔ ΑΔ ΓΔΑΔ ΑΓ ΓΔ

ΑΒ ΑΔ ΑΓ ΑΔ .

β) Αφού ΑΓ= 1 η σχέση του ερωτήματος (α- ii) γίνεται: 2ΑΔ ΓΔ .

Άρα 2 2ΑΔ ΓΔ ΑΓ ΑΔ ΑΔ 1 ΑΔ ΑΔ 1 0

Η δευτεροβάθμια ως προς ΑΔ εξίσωση δίνει λύση: 5 1

ΑΔ2

.

Επίσης ΑΔ ΑΒ 1 1 2 5 1

φΔΓ ΒΔ ΑΔ 25 1 5 1

2

.

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης - Σελίδα 43