Συναρτήσεις -'Οριο-Συνέχεια Επαναληπτικά Συνδυαστικά...
-
date post
02-Feb-2016 -
Category
Documents
-
view
239 -
download
1
description
Transcript of Συναρτήσεις -'Οριο-Συνέχεια Επαναληπτικά Συνδυαστικά...
Γ Λυκείου
Μαθημαηικά
Ομάδας Προζαναηολιζμού Θεηικών Σποσδών
και Σποσδών Οικονομίας &
Πληροθορικής
1η Σσλλογή
Κώζηας Κοσηζοβαζίλης
Στολικό Έηος 2015-2016
Σσναρηήζεις –Όριο-Σσνέτεια
Εκθωνήζεις + Λύζεις
Επαναληπηικά Σσνδσαζηικά Θέμαηα
Μαζεκαηηθέο Παξνπζηάζεηο Γ Λπθείνπ-Σπλαξηήζεηο-Όξην- Σπλέρεηα
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Δπηκέιεηα: Κώζηαο Κνπηζνβαζίιεο
- 1 -
Διδακηική Ενόηηηα Γ Λσκείοσ
Σσναρηήζεις Όριο
Σσνέτεια
Μαθημαηικά Ομάδας Προζαναηολιζμού Θεηικών Σποσδών και
Σποσδών Οικονομίας & Πληροθορικής
Επαναληπηικά Σσνδσαζηικά Θέμαηα-Εκθωνήζεις +Λύζεις
Θέμα 1
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ ην δηάζηεκα Α=[-2,5], ε νπνία είλαη
γλεζίωο κνλόηνλε θαη ζπλερήο ζην Α κε f(3)=0, f(5)=1.
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ gA ηεο ζπλάξηεζεο
1x)x(f3)x(f)x(g 22
β. Να εμεηάζεηε αλ ππάξρεη g0 Ax έηζη ώζηε g(x0)=0
Λύζη
α. Η f είλαη γλεζίωο κνλόηνλε ζην Α=[-2,5] θαη επεηδή f(3)<f(5) είλαη γλεζίωο
αύμνπζα.
Τόηε γηα )3,2[x έρνπκε: 0)x(f)3(f)x(f3xf
γηα ]5,3[x έρνπκε: 0)x(f)3(f)x(f3xf
Γηα ην πεδίν νξηζκνύ ηεο g πξέπεη: 0)x(f3)x(f 2 θαη 01x2
Τόηε: ● 1xή1x01x2 (1)
● 03)x(f)x(f0)x(f3)x(f 2
Δίλαη f(x)-3<0 (γηαηί f(5)=1 πνπ είλαη ε κέγηζηε ηηκή)
άξα έρνπκε 0)x(f δειαδή ]3,2[x
Τόηε
]3,1[]1,2[x
3x2
1xή1x
Άξα ]3,1[]1,2[Ag
β. Γηα λα ππάξρεη g0 Ax ώζηε g(x0)=0 πξέπεη
3x
1x
0)x(f
1x0)x(f3)x(f,01x
0
0
0
0
0022
0 άξα δελ ππάξρεη x0
Μαζεκαηηθέο Παξνπζηάζεηο Γ Λπθείνπ-Σπλαξηήζεηο-Όξην- Σπλέρεηα
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Δπηκέιεηα: Κώζηαο Κνπηζνβαζίιεο
- 2 -
Θέμα 2
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε Rx,13
3)x(f
x
x
α. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f γξάθεηαη 13
11)x(f
x θαη λα βξείηε ηε
κνλνηνλία ηεο.
β. Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f
γ. Να απνδείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη λα εμεηάζεηε αλ ππάξρεη ην
4
1ff 11
δ. Να απνδείμεηε όηη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηωλ f θαη 1f ηέκλνληαη ζε έλα
ηνπιάρηζηνλ ζεκείν κε ηεηκεκέλε )1,0(x0
Λύζη
α. Δίλαη 13
11
13
1
13
13
13
113
13
3)x(f
xxx
x
x
x
x
x
Γηα θάζε Rx,x 21 κε x1<x2 έρνπκε:
)x(f)x(f13
11
13
11
13
1
13
1
13
1
13
1131333xx
21xxxx
xx
xxxx21
2121
21
2121
Οπόηε ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R
β. Δπεηδή ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα θαη ζπλερήο έρνπκε:
))x(flim),x(flim()A(fxx
Δίλαη 013
3lim)x(flim
x
x
xx
επεηδή 03lim x
x
113
1lim
13
3lim)x(flim
xxx
x
xx
Άξα f(Α)=(0,1)
γ. Δπεηδή ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R είλαη θαη 1-1 άξα αληηζηξέθεηαη.
Μαζεκαηηθέο Παξνπζηάζεηο Γ Λπθείνπ-Σπλαξηήζεηο-Όξην- Σπλέρεηα
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Δπηκέιεηα: Κώζηαο Κνπηζνβαζίιεο
- 3 -
Έζηω
ύ1)(f33
3
133134
4
1
13
3)(ff
4
1
)(f4
1f
4
1ff
4
1ff
1)(f
)(f)(f)(f
)(f
)(f
11111
Οπόηε δελ νξίδεηαη ην
4
1ff 11
δ. Δπεηδή ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R ηα θνηλά ζεκεία ηωλ Cf θαη 1fC
βξίζθνληαη ζηελ επζεία y=x. Αξθεί λα δείμνπκε όηη ε f(x)=x έρεη κηα
ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην (0,1)
Έζηω g(x)=f(x)-x
Δίλαη g(0)=f(0)>0 θαη g(1)=f(1)-1<0
Δπεηδή g(0)g(1)<0 θαη ε g είλαη ζπλερήο ζην [0,1] ηζρύεη ην Θεώξεκα Bolzano.
Άξα ππάξρεη )1,0(x0 ώζηε )x(f)x(fx)x(f0)x(g 01
0000
Θέμα 3
Έζηω ε ζπλάξηεζε RR:f γηα ηελ νπνία ηζρύεη 2x)x(f)x1(fx γηα θάζε
Rx θαη ε ζπλάξηεζε )x4ln()x(g 2
α. Να δείμεηε όηη ν ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο f είλαη f(x)=-x
β. Να νξίζεηε ηε ζπλάξηεζε f-g θαη λα ιύζεηε ηελ αλίζωζε f(x)-g(x)>-x
γ. Να νξίζεηε ηε ζύλζεζε ηεο g κε ηελ f ,λα κειεηήζεηε ηε κνλνηνλία ηεο
ζπλάξηεζεο gf ζην δηάζηεκα (-2,2) θαη λα απνδείμεηε όηη
3
2gf
2
1gf
δ. Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο gf
Λύζη
α. Δίλαη 2x)x(f)x1(fx (1)
Θέηνπκε ζηελ (1) όπνπ x ην 1-x θαη έρνπκε: 2)x1()x1(f)x(f)x1( (2)
Λύλνπκε ην (Σ) ηωλ ζρέζεωλ (1) θαη (2) , βξίζθνπκε όηη f(x)=-x.
Μαζεκαηηθέο Παξνπζηάζεηο Γ Λπθείνπ-Σπλαξηήζεηο-Όξην- Σπλέρεηα
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Δπηκέιεηα: Κώζηαο Κνπηζνβαζίιεο
- 4 -
β. ● Δίλαη )2,2(Ag θαη RAf .Η f-g νξίδεηαη ζην (-2,2)
Τόηε (f-g)(x)=f(x)-g(x)=-x-ln(4-x2)
●
3xή3x3x
1x40)x4ln(0x)x4ln(xx)x(g)x(f
2
222
Οπόηε )2,3()3,2(x
γ. ● Δίλαη )2,2(R)x4ln(:)2,2(xA)x(g:AxA 2fggf
θαη )x4ln())x(g(f)x)(gf( 2
● Μνλνηνλία
1ος
ηρόπος
◊ )0,2(x
)x)(gf()x)(gf()x4ln()x4ln()x4ln()x4ln(
x4x40xx4xx40xx2
2122
21
22
21
22
21
22
21
22
2121
Οπόηε ε gf γλεζίωο θζίλνπζα ζην (-2,0)
◊ )2,0(x
)x)(gf()x)(gf()x4ln()x4ln()x4ln()x4ln(
0x4x44xx4xx2xx0
2122
21
22
21
22
21
22
21
22
2121
Οπόηε ε gf γλεζίωο αύμνπζα ζην (0,2)
2ος
ηρόπος Με παξαγώγνπο…..
● Δίλαη
3
2)gf(
2
1)gf(
3
2
2
1
δ. ▪ Σην (-2,0] ε gf ζπλερήο θαη γλεζίωο θζίλνπζα
Δίλαη ))x)(gf(lim),0)(gf[(A)gf(2x
1
Έρνπκε 4ln)0)(gf(
)x4ln(lim)]x4ln([lim)x)(gf(lim 2
2x
2
2x2x
▪ Θέηνπκε 4-x2=u
▪ 0)x4(lim 2
2x
▪
ulnlim0x
Άξα
)()x)(gf(lim2x
Μαζεκαηηθέο Παξνπζηάζεηο Γ Λπθείνπ-Σπλαξηήζεηο-Όξην- Σπλέρεηα
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Δπηκέιεηα: Κώζηαο Κνπηζνβαζίιεο
- 5 -
Τόηε ),4ln[A)gf( 1
▪ Σην (0,2) ε gf ζπλερήο θαη γλεζίωο αύμνπζα
Δίλαη ))x)(gf(lim),x)(gf(lim(A)gf(2x0x
2
Βξίζθνπκε ),4ln(A)gf( 2
Άξα ),4ln[A)gf(A)gf(A)gf( 21
Θέμα 4
Έζηω ε ζπλάξηεζε
x1
xln)x(f
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο f
β. Να απνδείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε ηελ αληίζηξνθε ζπλάξηεζε
1f
γ. Να απνδείμεηε όηη 1)x(flim 1
x
Λύζη
α. Δίλαη )1,0(0x1
x:RxAf
β. Έζηω )1,0(x,x 21 κε 21
2
2
1
121 xx...
x1
xln
x1
xln)x(f)x(f
άξα ε f είλαη 1-1 , δειαδή αληηζηξέθεηαη.
Γηα ηνλ ηύπν ηεο αληίζηξνθεο έρνπκε:
y
y
e1
ex...
x1
xlnyή)x(fy
Γειαδή Rx,e1
e)x(f
x
x1
γ. Έρνπκε : 1
e
11e
elim
e1
elim)x(flim
x
x
x
xx
x
x
1
x
γηαηί 0e
1lim
x
x
επεηδή 1
e
10
Μαζεκαηηθέο Παξνπζηάζεηο Γ Λπθείνπ-Σπλαξηήζεηο-Όξην- Σπλέρεηα
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Δπηκέιεηα: Κώζηαο Κνπηζνβαζίιεο
- 6 -
Θέμα 5
Έζηω ε ζπλερήο ζπλάξηεζε RR:f κε R)R(f , ε νπνία ηθαλνπνηεί ηε ζρέζε
x2019)x(f3)x(f 3 γηα θάζε Rx
α. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη 1-1 θαη λα βξείηε ηε ζπλάξηεζε 1f
β. Να βξείηε ηα όξηα: i. )x(flim2015x
ii. 5
1
x x
x)x(flim
Λύζη
α. Έζηω Rx,x 21 κε )x(f3)x(f3)x(f)x(f 2121 (1)
)x(f)x(f)x(f)x(f 23
13
21 (2)
(1)+(2): 2121223
113 xx2019x2019x)x(f3)x(f)x(f3)x(f
Άξα ε f είλαη 1-1
Θέηνπκε y=f(x),έρνπκε 2019y3yx 3 , Ry
Δπνκέλωο 2019x3x)x(f 31 , Rx
β. i. Δπεηδή ε f είλαη ζπλερήο ζην R ζα είλαη k)x(flim2015x
. Τόηε
0)4kk)(1k(04k3k
020152019k3k0)x2019)x(f3)x(f(lim
23
33
2015x
Η εμίζωζε k2-k+4=0 είλαη αδύλαηε (Γ<0) άξα k=-1
δειαδή 1)x(flim2015x
ii. Γηα 0x είλαη 001x
x
x
)x(flim
x
x)x(flim
23
1
x5
1
x
γηαηί:
▪ 1x
xlim
x
2019x3xlim
x
)x(flim
3
3
x3
3
x3
1
x
θαη
▪ 22222 x
1
x
x
x
1
x
1
x
x
Έρνπκε 0x
1lim
x
1lim
2x2x
Τόηε από Κξηηήξην Παξεκβνιήο είλαη
0x
xlim
2x
Μαζεκαηηθέο Παξνπζηάζεηο Γ Λπθείνπ-Σπλαξηήζεηο-Όξην- Σπλέρεηα
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Δπηκέιεηα: Κώζηαο Κνπηζνβαζίιεο
- 7 -
Θέμα 6
Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο f, g ζπλερείο ζην [0,1] κε ζύλνιν ηηκώλ ην [0,1]
Αλ ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα θαη ε g γλεζίωο θζίλνπζα ζην [0,1] ηόηε:
α. Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη )1,0( ηέηνην ώζηε: 12)(fg)(gf 2
β. Να απνδεηρζεί όηη f(x)=x γηα θάζε ]1,0[x κε ηελ πξνϋπόζεζε όηη
f(f(x))=x (1) ]1,0[x
Λύζη
α. Δπεηδή ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην [0,1] γηα ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ηζρύεη
)]1(f),0(f[]1,0[f . Οπόηε f(0)=0 θαη f(1)=1
Δπεηδή ε g είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην [0,1] γηα ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ηζρύεη
)]0(g),1(g[]1,0[g . Οπόηε g(1)=0 θαη g(0)=1
Έζηω 1x2))x(f(g))x(g(f)x(h 2
▪ Η h είλαη ζπλερήο ζην [0,1] ωο ζύλζεζε θαη δηαθνξά ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ
▪ h(0)=….=1>0 θαη h(1)=….=-1<0 δειαδή h(0)h(1)<0
Οπόηε ηζρύεη ην Θεώξεκα Bolzano ,ππάξρεη )1,0( ηέηνην ώζηε
h(μ)=0 δειαδή 12)(fg)(gf 2
β. Έζηω όηη f(x)>x γηα θάζε ]1,0[x
Δπεηδή ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα έρνπκε
)x(fx)x(f))x(f(fx)x(f)1(
πνπ είλαη άηνπν
Όκνηα αλ f(x)<x γηα θάζε ]1,0[x
Άξα f(x)=x γηα θάζε ]1,0[x
Θέμα 7
Έζηω R),0(:f κηα ζπλάξηεζε κε 1xx
1)x(f
α. Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f
β. Να δείμεηε όηη ππάξρεη ε αληίζηξνθε ζπλάξηεζε 1f θαη όηη είλαη γλεζίωο
θζίλνπζα.
γ. Να βξείηε ηα όξηα i. )x(fx
x)x(flim
1
1
x
ii.
)x(fx
x)x(flim
1
1
x
αλ ζεωξήζνπκε
γλωζηό όηη ε 1f είλαη ζπλερήο.
Μαζεκαηηθέο Παξνπζηάζεηο Γ Λπθείνπ-Σπλαξηήζεηο-Όξην- Σπλέρεηα
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Δπηκέιεηα: Κώζηαο Κνπηζνβαζίιεο
- 8 -
Λύζη
α. ◊ Μονοηονία ηης f
Γηα θάζε ),0(x,x 21 κε 21 xx έρνπκε , 21 xx θαη 21 x
1
x
1 Οπόηε
1xx
11x
x
12
2
1
1
δειαδή )x(f)x(f 21 . Δπνκέλωο ε f είλαη γλεζίωο
θζίλνπζα ζην ),0( .
◊ Σύνολο ηιμών
Δπεηδή f είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην ),0( έρνπκε
))x(flim),x(flim()A(f0xx
▪
1x
x
1lim)x(flim
xx
▪
1x
x
1lim)x(flim
0x0x
Άξα R),()A(f
β. Δπεηδή ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζα είλαη θαη 1-1 , άξα ππάξρεη ε αληίζηξνθε
ζπλάξηεζε 1f κε πεδίν νξηζκνύ ην f(A)=R
Μονοηονία
Έζηω Ry,y 21 κε 21 yy ηόηε ))y(f(f))y(f(f 21
11 άξα
)y(f)y(f 21
11 γηαηί ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα.
Άξα ε 1f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα.
γ. Δπεηδή ε 1f είλαη ζπλερήο, γλεζίωο θζίλνπζα θαη ),0()R(f 1 έρνπκε
)x(flim 1
x θαη 0)x(flim 1
x
i. 1...
)x(fx
11x
1)x(fx
1x
lim)x(fx
x)x(flim
1
1
x1
1
x
ii.
...1y
1yy2lim
1y
1
1y
1y2
limy)y(f
)y(fylim
)x(fx
x)x(flim
2
yyy
)x(fy
)y(fx1
1
x
1
Μαζεκαηηθέο Παξνπζηάζεηο Γ Λπθείνπ-Σπλαξηήζεηο-Όξην- Σπλέρεηα
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Δπηκέιεηα: Κώζηαο Κνπηζνβαζίιεο
- 9 -
Θέμα 8
Έζηω ε ζπλερήο ζπλάξηεζε RR:f κε ηελ ηδηόηεηα:
1xxx)x(f2)x(f 242 γηα θάζε Rx θαη 32
f
α. Να απνδείμεηε όηη ε f δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν , ην νπνίν θαη λα βξείηε.
β. Να βξείηε ην f(0)
γ. Να απνδείμεηε όηη θαη ε ζπλάξηεζε g(x)=f(x)-εκx Rx δηαηεξεί ζηαζεξό
πξόζεκν ,ην νπνίν λα βξείηε.
δ. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f
ε. Να ππνινγίζεηε ην όξην: x
)x(flim
x
Λύζη
α. 1xxx)x(f2)x(f 242 (1)
Έρνπκε: 01xx]x2)x(f)[x(f 24 (2)
Από ηε (2) έρνπκε όηη 0)x(f γηα θάζε Rx
Δπεηδή ε f είλαη ζπλερήο θαη δε κεδελίδεηαη, ζα δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν.
Δίλαη όκωο 032
f
νπόηε 0)x(f , γηα θάζε Rx .
β. Από ηε ζρέζε (1) γηα x=0 έρνπκε: 1)0(fή1)0(f1)0(f 2
Δπεηδή 0)x(f γηα θάζε Rx ε ηηκή f(0)=-1 απνξξίπηεηαη. Άξα f(0)=1
γ. Έρνπκε
)3(1x)x(g
1xx)x(f1x2xxx)x(f2)x(f
1xxx)x(f2)x(f
222
2222422
242
Δπεηδή 01x2 από ηελ (3) έρνπκε όηη 0)x(g γηα θάζε Rx .
Δπνκέλωο ε g ωο ζπλερήο (δηαθνξά ζπλερώλ f(x) θαη εκx) θαη ρωξίο ξίδεο
δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν ζην R.
δ. Από ηελ (3) πξνθύπηεη: 1x)x(g 2 γηα θάζε Rx
ή )1x()x(g 2 γηα θάζε Rx
Έηζη:
▪ 1xx)x(f1xx)x(f 22 , Rx
Μαζεκαηηθέο Παξνπζηάζεηο Γ Λπθείνπ-Σπλαξηήζεηο-Όξην- Σπλέρεηα
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Δπηκέιεηα: Κώζηαο Κνπηζνβαζίιεο
- 10 -
▪ 1xx)x(f1xx)x(f 22 , Rx
Η ηειεπηαία δίλεη όηη 011112
f
. Όκωο f(x)>0 γηα θάζε Rx .
Άξα ν ηύπνο ηεο f είλαη: 1xx)x(f 2
ε.
x
1
x
x
x
xlim
x
1xxlim
x
)x(flim
2
x
2
xx (4)
Δίλαη:
▪ 0x
1lim
x
▪ |x|
1
|x|
x
x
x22
νπόηε|x|
1
x
x
|x|
1 2
Από ην θξηηήξην παξεκβνιήο έρνπκε: 0x
xlim
2
x
▪ 0x
xlim
x
(Η απόδεημε αθξηβώο όπωο ην πξνεγνύκελν όξην)
Άξα από (4): 0x
)x(flim
x
Θέμα 9
Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην [α, β] κε 0)x(f γηα θάζε ],[x
Αλ θ, ι ζεηηθνί αξηζκνί κε θ+ι=1 λα απνδεηρζεί όηη:
α. Γηα θάζε ],[, , ηζρύεη 0)(f)(f
β. Υπάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ ],[ , ηέηνην ώζηε: )(f)(f)(f
Λύζη
α. Αθνύ ε f είλαη ζπλερήο ζην [α, β] θαη 0)x(f γηα θάζε ],[x ζύκθωλα κε
ην Θεώξεκα Bolzano δηαηεξεί πξόζεκν ζην [α, β]. Δπνκέλωο νη αξηζκνί f(γ) θαη
f(δ) είλαη νκόζεκνη νπόηε 0)(f)(f
β. Αθνύ ε f είλαη ζπλερήο ζην [α, β], παίξλεη ειάρηζηε ηηκή κ θαη κέγηζηε ηηκή Μ
Τόηε:
)(f)(f (1)
)(f)(f (2)
Μαζεκαηηθέο Παξνπζηάζεηο Γ Λπθείνπ-Σπλαξηήζεηο-Όξην- Σπλέρεηα
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Δπηκέιεηα: Κώζηαο Κνπηζνβαζίιεο
- 11 -
Πξνζζέηνπκε ηηο (1) θαη (2):
1ύ)(f)(f
)()(f)(f)()(f)(f
Σύκθωλα κε ην ζεώξεκα ελδηάκεζωλ ηηκώλ, ππάξρεη ],[ , ηέηνην ώζηε:
)(f)(f)(f
Θέμα 10
Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο RR:g,f κε g(0)=0 θαη
y6)1x(3)y(g)x(g)y1(f)x(f2 2 γηα θάζε Ry,x
Να απνδείμεηε όηη:
α. x6)1x(3)x1(f)x(f2 2 γηα θάζε Rx
β. f(x)=x2+2x, Rx
γ. Οη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη ίζεο.
Λύζη
α. y6)1x(3)y(g)x(g)y1(f)x(f2 2 (1)
Σηελ (1) βάδνπκε όπνπ y ην x. Έρνπκε:
)2(x6)1x(3)x1(f)x(f2
x6)1x(3)x(g)x(g)x1(f)x(f2
2
2
β. Θέηνπκε ζηε (2) όπνπ x ην 1-x θαη έρνπκε:
)3(6x6x3)x(f)x1(f2)x1(6)x2(3)x(f)x1(f2 22
Οη (2) θαη (3) δίλνπλ f(x)=x2+2x
γ. Η (1) κε y=0 δίλεη
x2x)x(g...)1x(3)0(g)x(g)1(f)x(f2 22
Δπνκέλωο νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη ίζεο γηαηί έρνπλ ην ίδην πεδίν νξηζκνύ R θαη
ηνλ ίδην ηύπν, γηα θάζε Rx
Μαζεκαηηθέο Παξνπζηάζεηο Γ Λπθείνπ-Σπλαξηήζεηο-Όξην- Σπλέρεηα
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Δπηκέιεηα: Κώζηαο Κνπηζνβαζίιεο
- 12 -