Συναρτήσεις -'Οριο-Συνέχεια Επαναληπτικά Συνδυαστικά...

Γ Λυκείου

Μαθημαηικά

Ομάδας Προζαναηολιζμού Θεηικών Σποσδών

και Σποσδών Οικονομίας &

Πληροθορικής

1η Σσλλογή

Κώζηας Κοσηζοβαζίλης

Στολικό Έηος 2015-2016

Σσναρηήζεις –Όριο-Σσνέτεια

Εκθωνήζεις + Λύζεις

Επαναληπηικά Σσνδσαζηικά Θέμαηα

Μαζεκαηηθέο Παξνπζηάζεηο Γ Λπθείνπ-Σπλαξηήζεηο-Όξην- Σπλέρεηα

http://www.perikentro.blogspot.gr/ Δπηκέιεηα: Κώζηαο Κνπηζνβαζίιεο

- 1 -

Διδακηική Ενόηηηα Γ Λσκείοσ

Σσναρηήζεις Όριο

Σσνέτεια

Μαθημαηικά Ομάδας Προζαναηολιζμού Θεηικών Σποσδών και

Σποσδών Οικονομίας & Πληροθορικής

Επαναληπηικά Σσνδσαζηικά Θέμαηα-Εκθωνήζεις +Λύζεις

Θέμα 1

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ ην δηάζηεκα Α=[-2,5], ε νπνία είλαη

γλεζίωο κνλόηνλε θαη ζπλερήο ζην Α κε f(3)=0, f(5)=1.

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ gA ηεο ζπλάξηεζεο

1x)x(f3)x(f)x(g 22

β. Να εμεηάζεηε αλ ππάξρεη g0 Ax έηζη ώζηε g(x0)=0

Λύζη

α. Η f είλαη γλεζίωο κνλόηνλε ζην Α=[-2,5] θαη επεηδή f(3)<f(5) είλαη γλεζίωο

αύμνπζα.

Τόηε γηα )3,2[x έρνπκε: 0)x(f)3(f)x(f3xf

γηα ]5,3[x έρνπκε: 0)x(f)3(f)x(f3xf

Γηα ην πεδίν νξηζκνύ ηεο g πξέπεη: 0)x(f3)x(f 2 θαη 01x2

Τόηε: ● 1xή1x01x2 (1)

● 03)x(f)x(f0)x(f3)x(f 2

Δίλαη f(x)-3<0 (γηαηί f(5)=1 πνπ είλαη ε κέγηζηε ηηκή)

άξα έρνπκε 0)x(f δειαδή ]3,2[x

Τόηε

]3,1[]1,2[x

3x2

1xή1x

Άξα ]3,1[]1,2[Ag

β. Γηα λα ππάξρεη g0 Ax ώζηε g(x0)=0 πξέπεη

3x

1x

0)x(f

1x0)x(f3)x(f,01x

0

0

0

0

0022

0 άξα δελ ππάξρεη x0



- 2 -

Θέμα 2

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε Rx,13

3)x(f

x

x

α. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f γξάθεηαη 13

11)x(f

x θαη λα βξείηε ηε

κνλνηνλία ηεο.

β. Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f

γ. Να απνδείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη λα εμεηάζεηε αλ ππάξρεη ην

4

1ff 11

δ. Να απνδείμεηε όηη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηωλ f θαη 1f ηέκλνληαη ζε έλα

ηνπιάρηζηνλ ζεκείν κε ηεηκεκέλε )1,0(x0

Λύζη

α. Δίλαη 13

11

13

1

13

13

13

113

13

3)x(f

xxx

x

x

x

x

x

Γηα θάζε Rx,x 21 κε x1<x2 έρνπκε:

)x(f)x(f13

11

13

11

13

1

13

1

13

1

13

1131333xx

21xxxx

xx

xxxx21

2121

21

2121

Οπόηε ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R

β. Δπεηδή ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα θαη ζπλερήο έρνπκε:

))x(flim),x(flim()A(fxx

Δίλαη 013

3lim)x(flim

x

x

xx

επεηδή 03lim x

x

113

1lim

13

3lim)x(flim

xxx

x

xx

Άξα f(Α)=(0,1)

γ. Δπεηδή ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R είλαη θαη 1-1 άξα αληηζηξέθεηαη.



- 3 -

Έζηω

ύ1)(f33

3

133134

4

1

13

3)(ff

4

1

)(f4

1f

4

1ff

4

1ff

1)(f

)(f)(f)(f

)(f

)(f

11111

Οπόηε δελ νξίδεηαη ην

4

1ff 11

δ. Δπεηδή ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R ηα θνηλά ζεκεία ηωλ Cf θαη 1fC

βξίζθνληαη ζηελ επζεία y=x. Αξθεί λα δείμνπκε όηη ε f(x)=x έρεη κηα

ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην (0,1)

Έζηω g(x)=f(x)-x

Δίλαη g(0)=f(0)>0 θαη g(1)=f(1)-1<0

Δπεηδή g(0)g(1)<0 θαη ε g είλαη ζπλερήο ζην [0,1] ηζρύεη ην Θεώξεκα Bolzano.

Άξα ππάξρεη )1,0(x0 ώζηε )x(f)x(fx)x(f0)x(g 01

0000

Θέμα 3

Έζηω ε ζπλάξηεζε RR:f γηα ηελ νπνία ηζρύεη 2x)x(f)x1(fx γηα θάζε

Rx θαη ε ζπλάξηεζε )x4ln()x(g 2

α. Να δείμεηε όηη ν ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο f είλαη f(x)=-x

β. Να νξίζεηε ηε ζπλάξηεζε f-g θαη λα ιύζεηε ηελ αλίζωζε f(x)-g(x)>-x

γ. Να νξίζεηε ηε ζύλζεζε ηεο g κε ηελ f ,λα κειεηήζεηε ηε κνλνηνλία ηεο

ζπλάξηεζεο gf ζην δηάζηεκα (-2,2) θαη λα απνδείμεηε όηη

3

2gf

2

1gf

δ. Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο gf

Λύζη

α. Δίλαη 2x)x(f)x1(fx (1)

Θέηνπκε ζηελ (1) όπνπ x ην 1-x θαη έρνπκε: 2)x1()x1(f)x(f)x1( (2)

Λύλνπκε ην (Σ) ηωλ ζρέζεωλ (1) θαη (2) , βξίζθνπκε όηη f(x)=-x.



- 4 -

β. ● Δίλαη )2,2(Ag θαη RAf .Η f-g νξίδεηαη ζην (-2,2)

Τόηε (f-g)(x)=f(x)-g(x)=-x-ln(4-x2)

●

3xή3x3x

1x40)x4ln(0x)x4ln(xx)x(g)x(f

2

222

Οπόηε )2,3()3,2(x

γ. ● Δίλαη )2,2(R)x4ln(:)2,2(xA)x(g:AxA 2fggf

θαη )x4ln())x(g(f)x)(gf( 2

● Μνλνηνλία

1ος

ηρόπος

◊ )0,2(x

)x)(gf()x)(gf()x4ln()x4ln()x4ln()x4ln(

x4x40xx4xx40xx2

2122

21

22

21

22

21

22

21

22

2121

Οπόηε ε gf γλεζίωο θζίλνπζα ζην (-2,0)

◊ )2,0(x

)x)(gf()x)(gf()x4ln()x4ln()x4ln()x4ln(

0x4x44xx4xx2xx0

2122

21

22

21

22

21

22

21

22

2121

Οπόηε ε gf γλεζίωο αύμνπζα ζην (0,2)

2ος

ηρόπος Με παξαγώγνπο…..

● Δίλαη

3

2)gf(

2

1)gf(

3

2

2

1

δ. ▪ Σην (-2,0] ε gf ζπλερήο θαη γλεζίωο θζίλνπζα

Δίλαη ))x)(gf(lim),0)(gf[(A)gf(2x

1

Έρνπκε 4ln)0)(gf(

)x4ln(lim)]x4ln([lim)x)(gf(lim 2

2x

2

2x2x

▪ Θέηνπκε 4-x2=u

▪ 0)x4(lim 2

2x

▪

ulnlim0x

Άξα

)()x)(gf(lim2x



- 5 -

Τόηε ),4ln[A)gf( 1

▪ Σην (0,2) ε gf ζπλερήο θαη γλεζίωο αύμνπζα

Δίλαη ))x)(gf(lim),x)(gf(lim(A)gf(2x0x

2

Βξίζθνπκε ),4ln(A)gf( 2

Άξα ),4ln[A)gf(A)gf(A)gf( 21

Θέμα 4

Έζηω ε ζπλάξηεζε

x1

xln)x(f

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο f

β. Να απνδείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε ηελ αληίζηξνθε ζπλάξηεζε

1f

γ. Να απνδείμεηε όηη 1)x(flim 1

x

Λύζη

α. Δίλαη )1,0(0x1

x:RxAf

β. Έζηω )1,0(x,x 21 κε 21

2

2

1

121 xx...

x1

xln

x1

xln)x(f)x(f

άξα ε f είλαη 1-1 , δειαδή αληηζηξέθεηαη.

Γηα ηνλ ηύπν ηεο αληίζηξνθεο έρνπκε:

y

y

e1

ex...

x1

xlnyή)x(fy

Γειαδή Rx,e1

e)x(f

x

x1

γ. Έρνπκε : 1

e

11e

elim

e1

elim)x(flim

x

x

x

xx

x

x

1

x

γηαηί 0e

1lim

x

x

επεηδή 1

e

10



- 6 -

Θέμα 5

Έζηω ε ζπλερήο ζπλάξηεζε RR:f κε R)R(f , ε νπνία ηθαλνπνηεί ηε ζρέζε

x2019)x(f3)x(f 3 γηα θάζε Rx

α. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη 1-1 θαη λα βξείηε ηε ζπλάξηεζε 1f

β. Να βξείηε ηα όξηα: i. )x(flim2015x

ii. 5

1

x x

x)x(flim

Λύζη

α. Έζηω Rx,x 21 κε )x(f3)x(f3)x(f)x(f 2121 (1)

)x(f)x(f)x(f)x(f 23

13

21 (2)

(1)+(2): 2121223

113 xx2019x2019x)x(f3)x(f)x(f3)x(f

Άξα ε f είλαη 1-1

Θέηνπκε y=f(x),έρνπκε 2019y3yx 3 , Ry

Δπνκέλωο 2019x3x)x(f 31 , Rx

β. i. Δπεηδή ε f είλαη ζπλερήο ζην R ζα είλαη k)x(flim2015x

. Τόηε

0)4kk)(1k(04k3k

020152019k3k0)x2019)x(f3)x(f(lim

23

33

2015x

Η εμίζωζε k2-k+4=0 είλαη αδύλαηε (Γ<0) άξα k=-1

δειαδή 1)x(flim2015x

ii. Γηα 0x είλαη 001x

x

x

)x(flim

x

x)x(flim

23

1

x5

1

x

γηαηί:

▪ 1x

xlim

x

2019x3xlim

x

)x(flim

3

3

x3

3

x3

1

x

θαη

▪ 22222 x

1

x

x

x

1

x

1

x

x

Έρνπκε 0x

1lim

x

1lim

2x2x

Τόηε από Κξηηήξην Παξεκβνιήο είλαη

0x

xlim

2x



- 7 -

Θέμα 6

Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο f, g ζπλερείο ζην [0,1] κε ζύλνιν ηηκώλ ην [0,1]

Αλ ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα θαη ε g γλεζίωο θζίλνπζα ζην [0,1] ηόηε:

α. Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη )1,0( ηέηνην ώζηε: 12)(fg)(gf 2

β. Να απνδεηρζεί όηη f(x)=x γηα θάζε ]1,0[x κε ηελ πξνϋπόζεζε όηη

f(f(x))=x (1) ]1,0[x

Λύζη

α. Δπεηδή ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην [0,1] γηα ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ηζρύεη

)]1(f),0(f[]1,0[f . Οπόηε f(0)=0 θαη f(1)=1

Δπεηδή ε g είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην [0,1] γηα ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ηζρύεη

)]0(g),1(g[]1,0[g . Οπόηε g(1)=0 θαη g(0)=1

Έζηω 1x2))x(f(g))x(g(f)x(h 2

▪ Η h είλαη ζπλερήο ζην [0,1] ωο ζύλζεζε θαη δηαθνξά ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ

▪ h(0)=….=1>0 θαη h(1)=….=-1<0 δειαδή h(0)h(1)<0

Οπόηε ηζρύεη ην Θεώξεκα Bolzano ,ππάξρεη )1,0( ηέηνην ώζηε

h(μ)=0 δειαδή 12)(fg)(gf 2

β. Έζηω όηη f(x)>x γηα θάζε ]1,0[x

Δπεηδή ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα έρνπκε

)x(fx)x(f))x(f(fx)x(f)1(

πνπ είλαη άηνπν

Όκνηα αλ f(x)<x γηα θάζε ]1,0[x

Άξα f(x)=x γηα θάζε ]1,0[x

Θέμα 7

Έζηω R),0(:f κηα ζπλάξηεζε κε 1xx

1)x(f

α. Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f

β. Να δείμεηε όηη ππάξρεη ε αληίζηξνθε ζπλάξηεζε 1f θαη όηη είλαη γλεζίωο

θζίλνπζα.

γ. Να βξείηε ηα όξηα i. )x(fx

x)x(flim

1

1

x

ii.

)x(fx

x)x(flim

1

1

x

αλ ζεωξήζνπκε

γλωζηό όηη ε 1f είλαη ζπλερήο.



- 8 -

Λύζη

α. ◊ Μονοηονία ηης f

Γηα θάζε ),0(x,x 21 κε 21 xx έρνπκε , 21 xx θαη 21 x

1

x

1 Οπόηε

1xx

11x

x

12

2

1

1

δειαδή )x(f)x(f 21 . Δπνκέλωο ε f είλαη γλεζίωο

θζίλνπζα ζην ),0( .

◊ Σύνολο ηιμών

Δπεηδή f είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην ),0( έρνπκε

))x(flim),x(flim()A(f0xx

▪

1x

x

1lim)x(flim

xx

▪

1x

x

1lim)x(flim

0x0x

Άξα R),()A(f

β. Δπεηδή ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζα είλαη θαη 1-1 , άξα ππάξρεη ε αληίζηξνθε

ζπλάξηεζε 1f κε πεδίν νξηζκνύ ην f(A)=R

Μονοηονία

Έζηω Ry,y 21 κε 21 yy ηόηε ))y(f(f))y(f(f 21

11 άξα

)y(f)y(f 21

11 γηαηί ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα.

Άξα ε 1f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα.

γ. Δπεηδή ε 1f είλαη ζπλερήο, γλεζίωο θζίλνπζα θαη ),0()R(f 1 έρνπκε

)x(flim 1

x θαη 0)x(flim 1

x

i. 1...

)x(fx

11x

1)x(fx

1x

lim)x(fx

x)x(flim

1

1

x1

1

x

ii.

...1y

1yy2lim

1y

1

1y

1y2

limy)y(f

)y(fylim

)x(fx

x)x(flim

2

yyy

)x(fy

)y(fx1

1

x

1



- 9 -

Θέμα 8

Έζηω ε ζπλερήο ζπλάξηεζε RR:f κε ηελ ηδηόηεηα:

1xxx)x(f2)x(f 242 γηα θάζε Rx θαη 32

f

α. Να απνδείμεηε όηη ε f δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν , ην νπνίν θαη λα βξείηε.

β. Να βξείηε ην f(0)

γ. Να απνδείμεηε όηη θαη ε ζπλάξηεζε g(x)=f(x)-εκx Rx δηαηεξεί ζηαζεξό

πξόζεκν ,ην νπνίν λα βξείηε.

δ. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f

ε. Να ππνινγίζεηε ην όξην: x

)x(flim

x

Λύζη

α. 1xxx)x(f2)x(f 242 (1)

Έρνπκε: 01xx]x2)x(f)[x(f 24 (2)

Από ηε (2) έρνπκε όηη 0)x(f γηα θάζε Rx

Δπεηδή ε f είλαη ζπλερήο θαη δε κεδελίδεηαη, ζα δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν.

Δίλαη όκωο 032

f

νπόηε 0)x(f , γηα θάζε Rx .

β. Από ηε ζρέζε (1) γηα x=0 έρνπκε: 1)0(fή1)0(f1)0(f 2

Δπεηδή 0)x(f γηα θάζε Rx ε ηηκή f(0)=-1 απνξξίπηεηαη. Άξα f(0)=1

γ. Έρνπκε

)3(1x)x(g

1xx)x(f1x2xxx)x(f2)x(f

1xxx)x(f2)x(f

222

2222422

242

Δπεηδή 01x2 από ηελ (3) έρνπκε όηη 0)x(g γηα θάζε Rx .

Δπνκέλωο ε g ωο ζπλερήο (δηαθνξά ζπλερώλ f(x) θαη εκx) θαη ρωξίο ξίδεο

δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν ζην R.

δ. Από ηελ (3) πξνθύπηεη: 1x)x(g 2 γηα θάζε Rx

ή )1x()x(g 2 γηα θάζε Rx

Έηζη:

▪ 1xx)x(f1xx)x(f 22 , Rx



- 10 -

▪ 1xx)x(f1xx)x(f 22 , Rx

Η ηειεπηαία δίλεη όηη 011112

f

. Όκωο f(x)>0 γηα θάζε Rx .

Άξα ν ηύπνο ηεο f είλαη: 1xx)x(f 2

ε.

x

1

x

x

x

xlim

x

1xxlim

x

)x(flim

2

x

2

xx (4)

Δίλαη:

▪ 0x

1lim

x

▪ |x|

1

|x|

x

x

x22

νπόηε|x|

1

x

x

|x|

1 2

Από ην θξηηήξην παξεκβνιήο έρνπκε: 0x

xlim

2

x

▪ 0x

xlim

x

(Η απόδεημε αθξηβώο όπωο ην πξνεγνύκελν όξην)

Άξα από (4): 0x

)x(flim

x

Θέμα 9

Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην [α, β] κε 0)x(f γηα θάζε ],[x

Αλ θ, ι ζεηηθνί αξηζκνί κε θ+ι=1 λα απνδεηρζεί όηη:

α. Γηα θάζε ],[, , ηζρύεη 0)(f)(f

β. Υπάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ ],[ , ηέηνην ώζηε: )(f)(f)(f

Λύζη

α. Αθνύ ε f είλαη ζπλερήο ζην [α, β] θαη 0)x(f γηα θάζε ],[x ζύκθωλα κε

ην Θεώξεκα Bolzano δηαηεξεί πξόζεκν ζην [α, β]. Δπνκέλωο νη αξηζκνί f(γ) θαη

f(δ) είλαη νκόζεκνη νπόηε 0)(f)(f

β. Αθνύ ε f είλαη ζπλερήο ζην [α, β], παίξλεη ειάρηζηε ηηκή κ θαη κέγηζηε ηηκή Μ

Τόηε:

)(f)(f (1)

)(f)(f (2)



- 11 -

Πξνζζέηνπκε ηηο (1) θαη (2):

1ύ)(f)(f

)()(f)(f)()(f)(f

Σύκθωλα κε ην ζεώξεκα ελδηάκεζωλ ηηκώλ, ππάξρεη ],[ , ηέηνην ώζηε:

)(f)(f)(f

Θέμα 10

Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο RR:g,f κε g(0)=0 θαη

y6)1x(3)y(g)x(g)y1(f)x(f2 2 γηα θάζε Ry,x

Να απνδείμεηε όηη:

α. x6)1x(3)x1(f)x(f2 2 γηα θάζε Rx

β. f(x)=x2+2x, Rx

γ. Οη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη ίζεο.

Λύζη

α. y6)1x(3)y(g)x(g)y1(f)x(f2 2 (1)

Σηελ (1) βάδνπκε όπνπ y ην x. Έρνπκε:

)2(x6)1x(3)x1(f)x(f2

x6)1x(3)x(g)x(g)x1(f)x(f2

2

2

β. Θέηνπκε ζηε (2) όπνπ x ην 1-x θαη έρνπκε:

)3(6x6x3)x(f)x1(f2)x1(6)x2(3)x(f)x1(f2 22

Οη (2) θαη (3) δίλνπλ f(x)=x2+2x

γ. Η (1) κε y=0 δίλεη

x2x)x(g...)1x(3)0(g)x(g)1(f)x(f2 22

Δπνκέλωο νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη ίζεο γηαηί έρνπλ ην ίδην πεδίν νξηζκνύ R θαη

ηνλ ίδην ηύπν, γηα θάζε Rx



- 12 -

Συναρτήσεις -'Οριο-Συνέχεια Επαναληπτικά Συνδυαστικά...

Documents

Transcript of Συναρτήσεις -'Οριο-Συνέχεια Επαναληπτικά Συνδυαστικά...