Γραμμική Άλγεβρα - Σουρλάς

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

2010

Γραμμική ΆλγεβραΔημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής

ΠΑΤΡΑ

( )u v u v, || | | | | | |≤

II

[email protected] www.physics.upatras.gr

I

ΠΕΡΙΕΧΌΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ............................................................................................................................................... V

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ............................................................................................................................................ 1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ........................................................................................................................ 1 1.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ............................................................................................................... 1 1.2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΔΟΜΗ .................................................................................................................... 2 1.3 ΗΜΙΟΜΑΔΑ - ΜΟΝΟΕΙΔΕΣ ............................................................................................................ 3 1.4 ΟΜΑΔΑ .......................................................................................................................................... 3 1.5 Η ΟΜΑΔΑ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ........................................................................................... 9 1.6 ΥΠΟΟΜΑΔΑ ............................................................................................................................ 13 1.7 ΔΑΚΤΥΛΙΟΣ .............................................................................................................................. 13 1.8 ΣΩΜΑ ...................................................................................................................................... 14

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ ......................................................................................................................................... 19

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ .............................................................................................................................. 19 2.1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ......................................................................................................... 19 2.2 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΥΠΟΧΩΡΟΣ .................................................................................................. 22 2.3 ΑΛΓΕΒΡΑ ................................................................................................................................. 23 2.4 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ......................................................................................................... 24 2.5 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΕΥΘΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΥΠΟΧΩΡΩΝ ................................................ 25 2.6 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΚΑΙ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ....................................................... 26 2.7 ΓΕΝΝΗΤΟΡΕΣ ΕΝΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ............................................................................. 29 2.8 ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ................................................................... 29 2.9 ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ........................................................................................................ 32 2.10 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ........................................................................................................... 32 2.11 ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ ................................................................................ 39 2.12 ΜΕΘΟΔΟΣ ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ (GRAM-SCHMIDT) ...................................................... 42 2.13 ΣΤΑΘΜΗΤΟΙ ΚΑΙ ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ .......................................................................................... 47 Ι) ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΣΥΝΔYΑΣΜΟΙ, ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ............................................................... 51 ΙΙ) ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΑΣΗ .......................................................................................................................... 52 ΙΙΙ) ΧΩΡΟΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ..................................................................................................... 53

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΙΙΙ. ................................................................................................................................ 55

Π Ι Ν Α Κ Ε Σ ................................................................................................................................................. 55 3.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ ................................................................................................................ 55 3.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΒΑΘΜΩΤΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ..................................................... 56 3.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ................................................................................................... 57 3.4 ΕΙΔΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ............................................................................................................................. 59 3.5 ΕΙΔΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ .............................................................................................. 60 3.6 ΜΕΤΑΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ......................................................................... 62 3.7 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ................................................................................................................................... 63 3.8 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ................................................................................................... 65 3.9 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ .......................................................................................................... 67 3.10 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ ................................................................ 68

II

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο IV .................................................................................................................................. 81

ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ................................................................................. 81

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ............................................................................................................................................... 81 4.1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ........................................................................................ 81 4.2 ΠΥΡΗΝΑΣ ΚΑΙ ΕΙΚΟΝΑ ΕΝΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ....................................... 84 4.3 ΙΔΙΑΖΟΝΤΕΣ ΚΑΙ ΜΗ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ........................................................................... 86 4.4 ΙΣΟΜΟΡΦΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΟΜΟΡΦΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ......................................................................... 86 4.5 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ............................................... 89 4.6 ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ............................................................................................................ 89 4.7 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΕΝΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗ .............................................................................................. 90

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο V................................................................................................................................... 93

ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ...................................................................................................... 93 5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ........................................................................................................................................ 93 5.2 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗ ΥΠΟ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΒΑΣΗ ................................ 93 5.3 ΕΙΔΗ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ....................................................................................................................... 97 5.3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΑΣΗΣ .................................................................................................. 99 5.4 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ............................................................ 101 5.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ .......................................................................................................................... 104 5.6 Γενική περίπτωση ...................................................................................................................... 105

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο VI ............................................................................................................................... 111

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗ ................................................................................. 111 6.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ...................................................................................................................................... 111 6.2 ΕΥΡΕΣΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΕΝΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗ ............................................... 111 6.3 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ...................................................................... 118 6.4 ΑΥΤΟΣΥΝΑΦΕΙΣ ( HERMITIAN) ΚΑΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ................................................... 119 6.5 ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΟΙ UNITARY ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ................................................................. 123 6.6 ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΤΩΝ ΑΥΤΟΣΥΝΑΦΩΝ ΚΑΙ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ......... 125 6.7 ΔΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ............................................................................. 130 6.8 ΔΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ HERMITIAN ΚΑΙ UNITARY ΠΙΝΑΚΩΝ ............................................................. 134

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο VII ............................................................................................................................... 139

ΧΩΡΟΙ HILBERT ......................................................................................................................................... 139 ΠΛΗΡΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ .......................................................................... 139

7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ............................................................................................................................... 139 7.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ HILBERT ΧΩΡΟΣ .................................................................... 139 7.3 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ , ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΒΑΣΗ ΕΝΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ............................................................................................................................................................. 145 7.4 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ................................................................. 146 7.5 ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΕ ΧΩΡΟ HILBERT ............................................................... 147

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ............................................................................................................................................. 155

ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ............................................................................................................................ 155 ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΣΥΝΔΙΑΣΜΟΙ , ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ....................................................................... 155 ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ............................................................................................................................. 156 ΧΩΡΟΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ........................................................................................................ 157

III

ΠΙΝΑΚΕΣ .............................................................................................................................................. 157 ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ....................................................................................................... 158 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ .............................................................................................. 159 ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ....................................................................................................................... 159

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ....................................................................................................................... 160

ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΣΥΝΔΙΑΣΜΟΙ, ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ........................................................................ 160 ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ............................................................................................................................ 165 ΧΩΡΟΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ................................................................................................................ 169 ΠΙΝΑΚΕΣ .............................................................................................................................................. 172 ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ....................................................................................................... 176 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ .............................................................................................. 178 ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ....................................................................................................................... 178

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ............................................................................................................................................... 182 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ......................................................................................................................................... 186

V

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα Μαθηματικά και στις εφαρμογές τους, πολύ συχνά χρειάζεται κανείς να

ασχοληθεί με συγκεκριμένα σύνολα, στα στοιχεία των οποίων έχουν ορισθεί κάποιες πράξεις, που ονομάζονται γραμμικές πράξεις. Π.χ στην Μηχανική μπορούμε να προσθέσουμε δυο δυνάμεις 1 2F , F , που εφαρμόζονται σ’ ένα σημείο, δηλαδή να αντικαταστήσουμε τις δυνάμεις αυτές από μια άλλη δύναμη που εφαρμόζεται στο ίδιο σημείο και να γράψουμε 1 2F F F= + . Μια δύναμη F μπορεί να πολλαπλασιαστεί με έναν

αριθμό λ και να γράψουμε Fλ . Το τελευταίο σύμβολο σημαίνει μια δύναμη αυξημένη κατά |λ| σε σχέση με την F και κατά την διεύθυνση της εάν λ>0 ή κατά την αντίθετη διεύθυνση εάν λ<0. Στην Μηχανική επίσης θεωρούμε την σύνθεση των ταχυτήτων και τον πολλαπλασιασμό μιας ταχύτητας με έναν αριθμό, όπως επίσης την σύνθεση των επιταχύνσεων και τον πολλαπλασιασμό μιας επιτάχυνσης με έναν αριθμό. Οι δυνάμεις, οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις είναι διαφορετικά φυσικά μεγέθη, αλλά από γεωμετρικής πλευράς έχουν την ίδια συμπεριφορά ως προς τις (γραμμικές) πράξεις, που ορίζονται σ’ αυτά. Αυτός είναι ο λόγος που στην Μηχανική έχουμε έναν γενικό ενοποιημένο τρόπο περιγραφής αυτών των μεγεθών με την μορφή προσανατολισμένων ευθυγράμμων τμημάτων. Έτσι τα μεγέθη αυτά αντιμετωπίζονται από τους γενικούς κανόνες της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού των γεωμετρικών διανυσμάτων.

Όμως αυτή η γενίκευση προχωρεί ακόμα παραπέρα. Ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, το σύνολο όλων των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων, ή των περιοδικών συναρτήσεων με συγκεκριμένη περίοδο ή το σύνολο όλων των αλγεβρικών πολυωνύμων. Στα παραπάνω σύνολα μπορούμε να ορίσουμε γραμμικές πράξεις, όπως είναι π.χ. το άθροισμα δυο συναρτήσεων και ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμού με μια συνάρτηση, κάτι που συνήθως συμβαίνει στην Ανάλυση. Τα αντικείμενα με τα οποία έχουμε να κάνουμε τώρα, δεν είναι όπως οι δυνάμεις, οι ταχύτητες ή οι επιταχύνσεις ή τα (γεωμετρικά) διανύσματα. Επίσης οι (γραμμικές) πράξεις που εκτελούμε σ’ αυτά διαφέρουν από τις γραμμικές πράξεις που εκτελούμε στα διανυσματικά φυσικά μεγέθη της Μηχανικής. Π.χ. Για να προσθέσουμε δυο δυνάμεις εφαρμόζουμε τον κανόνα του παραλληλογράμμου, ενώ η πρόσθεση δυο συναρτήσεων ανάγεται στην πρόσθεση δυο αριθμών.

Όμως υπάρχει κάτι κοινό στα παραπάνω σύνολα, που μας επιτρέπει να μελετήσουμε τις γραμμικές πράξεις σε αφηρημένο επίπεδο, ανεξάρτητα από την φύση των στοιχείων αυτών των συνόλων.

Πρώτα απ’ όλα παρατηρούμε ότι σε όλα τα παραδείγματα μας οι πράξεις που ορίστηκαν είναι κλειστές. Με την έκφραση κλειστή πράξη εννοούμε ότι το αποτέλεσμα της πράξεως δίνει ένα στοιχείο που ανήκει στο ίδιο σύνολο. Συγκεκριμένα προσθέτοντας διανύσματα ή πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό προκύπτει πάλι διάνυσμα. Το άθροισμα δυο συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση και το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού μιας συνεχούς συνάρτησης με έναν αριθμό είναι

VI

συνεχής συνάρτηση. Το ίδιο συμβαίνει και με το σύνολο των περιοδικών συναρτήσεων και των αλγεβρικών πολυωνύμων.

Οι γραμμικές πράξεις που ορίζονται σε διάφορα σύνολα, αν και είναι εντελώς διαφορετικές μεταξύ τους, (η πρόσθεση δυο γεωμετρικών διανυσμάτων είναι μια «διαδικασία» εντελώς διαφορετική και ξένη με την πρόσθεση δυο συναρτήσεων), έχουν κοινές ιδιότητες.

Η μελέτη συνόλων, στα οποία έχουν ορισθεί συγκεκριμένες γραμμικές πράξεις, οδηγεί στην έννοια του γραμμικού χώρου ή όπως συνηθέστερα λέγεται του διανυσματικού χώρου. Η θεωρία των διανυσματικών χώρων έχει ευρύ πεδίο εφαρμογών όχι μόνο στα μαθηματικά αλλά και σε όλες τις θετικές επιστήμες.

Τους διανυσματικούς χώρους τους διακρίνουμε σε δυο μεγάλες κατηγορίες: α) Στους διανυσματικούς χώρους πεπερασμένης διάστασης. Παραδείγματα

τέτοιων χώρων είναι π.χ. η ευθεία, η οποία είναι διανυσματικός χώρος μιας διαστάσεως, το επίπεδο, το οποίο είναι διανυσματικός χώρος δυο διαστάσεων, ο χώρος, ο οποίος είναι διανυσματικός χώρος τριών διαστάσεων, το σύνολο των τετραγωνικών πινάκων τύπου n×n είναι διανυσματικός χώρος n2 διαστάσεων, κ.α. Τους χώρους των πεπερασμένων διαστάσεων τους μελετά η Γραμμική Άλγεβρα.

β) Στους διανυσματικούς χώρους άπειρης διάστασης. Παραδείγματα τέτοιων χώρων είναι τα σύνολα των συναρτήσεων, οι οποίες έχουν κάποιες ιδιότητες (να είναι συνεχείς ή παραγωγίσιμες ή τετραγωνικά ολοκληρώσιμες κ.α.). Οι χώροι αυτοί ονομάζονται συναρτησιακοί χώροι, και η μελέτη τους είναι αντικείμενο της Συναρτησιακής Ανάλυσης. Κλασικό παράδειγμα διανυσματικού χώρου πεπερασμένης διαστάσεως είναι ο γνωστός τριδιάστατος χώρος, που αποτελείται από τα γεωμετρικά (ελεύθερα) διανύσματα. Ο χώρος αυτός περιέχει άπειρους σε πλήθος διανυσματικούς χώρους μιας και δυο διαστάσεων, που ονομάζονται υπόχωροι του αρχικού τριδιάστατου χώρου. Κάθε υπόχωρος μιας διάστασης αποτελείται από διανύσματα που βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία και κάθε υπόχωρος δυο διαστάσεων αποτελείται από διανύσματα που βρίσκονται πάνω σ' ένα επίπεδο Έτσι για διανυσματικούς χώρους μιας, δυο και τριών διαστάσεων έχουμε γεωμετρικά πρότυπα, (μοντέλα), που αντιστοιχούν στα γνωστά μας διανύσματα, που μπορούμε να τα δούμε σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα. Όταν όμως περάσουμε σε διανυσματικούς χώρους διαστάσεων μεγαλύτερων του 3, τότε η γεωμετρική εικόνα δεν υπάρχει, αλλά η θεωρία αυτών των χώρων διατηρεί τον γεωμετρικό τους χαρακτήρα. Οι βασικές έννοιες σε αυτούς τους χώρους προέρχονται από τις αντίστοιχες γεωμετρικές έννοιες του τριδιάστατου διανυσματικού χώρου γενικεύοντας τις κατάλληλα.

Αν και ο κύριος σκοπός της Γραμμικής Άλγεβρας είναι η μελέτη των διανυσματικών χώρων, είμαστε υποχρεωμένοι να ασχοληθούμε στην αρχή με την έννοια της αλγεβρικής δομής. Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με τις δομές της ομάδας, του δακτυλίου και του σώματος. Για την δομή της ομάδας θα ασχοληθούμε εκτενέστερα στο τέλος των σημειώσεων αυτών.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ

Διακρίνουμε τα εξής είδη πράξεων 1. Εσωτερική πράξη ή εσωτερικός νόμος συνθέσεως: Έστω ένα σύνολο Α≠∅. Κάθε απεικόνιση της μορφής: f: A×A→A f : ( , ) f ( , )α β α β = γ με α, β, γ∈Α που σε δυο στοιχεία του Α, αντιστοιχεί ένα τρίτο στοιχείο του Α, ονομάζεται εσωτερική πράξη ή εσωτερικός νόμος συνθέσεως στο σύνολο Α. 2. Εξωτερική πράξη ή εξωτερικός νόμος συνθέσεως: Υπάρχουν δυο είδη εξωτερικών πράξεων: α) Εξωτερική πράξη πρώτου είδους: Έστω δυο σύνολα Α,Β≠∅. Κάθε απεικόνιση της μορφής:

f : B A Af : ( , ) f ( , )

× →α β α β = γ

με α∈Β και β, γ∈Α

ονομάζεται εξωτερική πράξη πρώτου είδους από το σύνολο Β στο σύνολο Α. β) Εξωτερική πράξη δευτέρου είδους: Έστω δυο σύνολα A,B≠∅. Κάθε απεικόνιση της μορφής:

f : A A Bf : ( , ) f ( , )

× →α β α β = γ

με α, β∈Α και γ∈Β

ονομάζεται εξωτερική πράξη δευτέρου είδους στο σύνολο Α. Παράδειγμα 1: Στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών, οι αντιστοιχίες:

+ × →• × →

::

R R RR R R

: ( , ): ( , )

+ α β α + β• α β α •β

δηλαδή η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των πραγματικών αριθμών, είναι εσωτερικές πράξεις, (ή εσωτερικοί νόμοι συνθέσεως). Παράδειγμα 2: Αν V είναι το σύνολο των διανυσμάτων των τριών διαστάσεων, δηλ. V v v xi yj zk x y z R= = + + ∈ / , , , τότε το εξωτερικό γινόμενο:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

2

v u

i j k

x y z

x y z

i y z y z j z x z x k x y y x× = = − + − + −1 1 1

2 2 2

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2( ) ( ) ( )

είναι μια εσωτερική πράξη στο V. Παράδειγμα 3: Θεωρούμε ένα σύνολο Χ≠∅ και το δυναμοσύνολο του Ρ(Χ), δηλ. το σύνολο των υποσυνόλων του Χ. Στο σύνολο Ρ(Χ) η ένωση συνόλων ∪: (Α,Β)∈Ρ(Χ)×Ρ(Χ) → Α∪Β∈Ρ(Χ) και η τομή συνόλων ∩: (Α,Β)∈Ρ(Χ)×Ρ(Χ) → Α∩Β∈Ρ(Χ) είναι πράξεις εσωτερικής συνθέσεως. Παράδειγμα 4: Στο σύνολο LA=f / f: A → A των συναρτήσεων με πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών το σύνολο Α≠∅, η σύνθεση των συναρτήσεων (f,g)∈ LA×LA → f g∈ LA είναι πράξη εσωτερικής συνθέσεως. Παράδειγμα 5: Αν V είναι το προηγούμενο σύνολο των διανυσμάτων των τριών διαστάσεων και R το σύνολο των πραγματικών αριθμών, τότε η αντιστοιχία:

: R V V

: ( ,v) v xi yj zk

• × →

• α α• = α + α + α

είναι μια εξωτερική πράξη πρώτου είδους από το σύνολο R στο σύνολο V και ονομάζεται βαθμωτός πολλαπλασιασμός. Παράδειγμα 6: Στο σύνολο V των διανυσμάτων των τριών διαστάσεων, η αντιστοιχία:

f V V Rf v v f v v x x y y z z::( , ) ( , )

× →= + +1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

με v x i y j z k1 1 1 1= + + και v x i y j z k2 2 2 2= + + είναι μια εξωτερική πράξη δευτέρου είδους στο σύνολο V. Η πράξη αυτή είναι γνωστή σαν εσωτερικό γινόμενο και είναι ειδική περίπτωση της έννοιας του εσωτερικού γινομένου, που θα δοθεί στο κεφάλαιο των διανυσματικών χώρων. 1.2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΔΟΜΗ

Ορισμός 1: Ένα σύνολο Α εφοδιασμένο με ένα πεπερασμένο πλήθος εσωτερικών πράξεων, (ή και εξωτερικών με την χρήση ενός δεύτερου συνόλου Β), με ορισμένες ιδιότητες, ονομάζεται αλγεβρική δομή, (algebraic structure). Η πιο απλή αλγεβρική δομή, είναι εκείνη που περιέχει μια μόνο εσωτερική πράξη. Τέτοια δομή είναι η δομή της ημιομάδας.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ

-3-

1.3 ΗΜΙΟΜΑΔΑ - ΜΟΝΟΕΙΔΕΣ

Ορισμός 1: Ένα σύνολο G≠∅, έχει την δομή ημιομάδας, (semigroup), όταν είναι εφοδιασμένο με μια εσωτερική πράξη που θα την συμβολίζουμε με ∗ και που ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα: [ ]( ,, , G) ( ) ( )∀α β γ∈ α∗β ∗γ = α∗ β∗γ

Το ζεύγος (G, ∗) ονομάζεται ημιομάδα. Η χρησιμότητα της προσεταιριστικής ιδιότητας βρίσκεται στο γεγονός ότι από όπου και αν αρχίσουμε τις πράξεις, είτε από τα αριστερά, είτε από τα δεξιά, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. Ορισμός 2: Μια ημιομάδα ονομάζεται μονοειδές, (monoid), εάν το G περιέχει ένα στοιχείο e τέτοιο ώστε:

(∀α∈G)[α∗e=e∗α=α] Το στοιχείο e ονομάζεται ουδέτερο στοιχείο, (identity element). Παράδειγμα 1: Οι φυσικοί αριθμοί Ν με εσωτερική πράξη την πρόσθεση, (ή τον πολλαπλασιασμό), αποτελούν ημιομάδα, διότι η πρόσθεση, (και ο πολλαπλασιασμός), ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα. Επίσης η ημιομάδα αυτή αποτελεί μονοειδές με ουδέτερο στοιχείο το 0 ως προς την πρόσθεση, (και το 1 ως προς τον πολλαπλασιασμό). Παράδειγμα 2: Το σύνολο V των διανυσμάτων με εσωτερική πράξη το εξωτερικό γινόμενο δεν αποτελεί ημιομάδα διότι δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα. Πράγματι είναι γνωστό ότι: v u w u v w w v u× × = ⋅ − ⋅( ) ( ) ( ) και ( ) ( ) ( )v u w u v w v u w× × = ⋅ − ⋅ εκ των οποίων έχουμε ότι:

v u w v u w× × ≠ × ×( ) ( )

1.4 ΟΜΑΔΑ

Ορισμός 1: Ονομάζουμε ομάδα, (group), ένα ζεύγος (G, ∗) με G ≠∅ και ∗ μια εσωτερική πράξη στο G, που έχει τις εξής ιδιότητες: 1. [ ]( , , G) ( ) ( )∀α β γ∈ α∗β ∗γ = α∗ β∗γ Προσεταιριστική ιδιότητα

2. [ ]( e G)( G) e e∃ ∈ ∀α∈ α∗ = ∗α = α Ύπαρξη ουδετέρου στοιχείου

3. [ ]( G)( G) e′ ′ ′∀α∈ ∃α ∈ α∗α = α ∗α = Ύπαρξη συμμετρικού στοιχείου Ορισμός 2: Αν η εσωτερική πράξη έχει επί πλέον την ιδιότητα:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

4

4. [ ]( , G)∀α β∈ α∗β =β∗α Αντιμεταθετική ιδιότητα τότε η ομάδα (G,*) λέγεται αντιμεταθετική ή Αβελιανή. Παρατήρηση 1: Αντί για την έκφραση “το ζεύγος (G, ∗) αποτελεί ομάδα” χρησιμοποιείται συχνά η έκφραση “το σύνολο G είναι ομάδα ως προς την πράξη ∗”. Αν η εσωτερική πράξη έχει την μορφή της πρόσθεσης, τότε η ομάδα λέγεται προσθετική και το συμμετρικό στοιχείο αντίθετο, ενώ αν έχει την μορφή του πολλαπλασιασμού, η ομάδα λέγεται πολλαπλασιαστική και το συμμετρικό στοιχείο αντίστροφο. Θεώρημα 1: Το ουδέτερο στοιχείο e μιας ομάδας G είναι μοναδικό. Απόδειξη: Για κάθε α∈G θα ισχύει η σχέση: α + e = e + α = α (1 ) Αν e′ ένα δεύτερο ουδέτερο στοιχείο της ομάδος, τότε αυτό θα ικανοποιεί την σχέση β + e′ = e′ + β = β ∀β∈G (2) Επειδή οι σχέσεις (1) και (2) ισχύουν για κάθε α και β, θέτουμε α = e′ και β = e και έχουμε e′ + e = e + e′ = e′ και e + e′ = e′ + e = e από τις οποίες προκύπτει ότι e = e′. Θεώρημα 2: Το συμμετρικό α′ κάθε στοιχείου α μιας ομάδας G είναι μοναδικό.

Απόδειξη: Αν υπάρχει ένα δεύτερο συμμετρικό στοιχείο α′′ του α τότε α + α′′ = α′′ + α = e και α + α′ = α′ + α = e . Με την βοήθεια των σχέσεων αυτών έχουμε

α′′ = α′′ + e = α′′ + (α + α′ ) = (α′′ + α) + α′ = e + α′ = α′ . Θεώρημα 3: Αν α,β,γ στοιχεία μιας ομάδας G τότε α + β = α + γ ⇒ β = γ. Απόδειξη: α + β = α + γ ⇒ α′ + α + β = α′ + α + γ ⇒ e + β = e + γ ⇒ β = γ . Παράδειγμα 1: Τα σύνολα Ζ των ακεραίων, Q των ρητών, R των πραγματικών και C των μιγαδικών αριθμών, εύκολα αποδεικνύεται ότι αποτελούν αβελιανές ομάδες ως προς την πρόσθεση, δηλ. εδώ έχουμε ∗ = + , ενώ οι φυσικοί αριθμοί Ν δεν αποτελούν ομάδα. Παράδειγμα 2: Το σύνολο των τετραγωνικών πινάκων n×n με στοιχεία από την αβελιανή ομάδα C των μιγαδικών αριθμών αποτελεί αβελιανή ομάδα με εσωτερική πράξη την πρόσθεση των πινάκων. Το ουδέτερο στοιχείο εδώ είναι ο μηδενικός πίνακας:

e=

0 0 0

0 0 0

0 0 0

⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟


-5-

και για κάθε πίνακα: A=

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

α α ⋅ α⎛ ⎞⎜ ⎟α α ⋅ α⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟α α ⋅ α⎝ ⎠

ο αντίθετος του είναι ο πίνακας:

A′=

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

−α −α ⋅ −α⎛ ⎞⎜ ⎟−α −α ⋅ −α⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟−α −α ⋅ −α⎝ ⎠

Παράδειγμα 3: Επίσης το σύνολο των τετραγωνικών πινάκων τύπου n×n με στοιχεία από την αβελιανή ομάδα C των μιγαδικών αριθμών και ορίζουσα ≠0 αποτελεί ομάδα, με εσωτερική πράξη τον πολλαπλασιασμό των πινάκων. Κατ’ αρχήν υπενθυμίζουμε ότι το γινόμενο δυο πινάκων Α τύπου n×k και Β τύπου l×m ορίζεται μόνο όταν k=l δηλαδή όταν ο αριθμός των στηλών του Α συμπίπτει με τον αριθμό των γραμμών του Β. Ο πίνακας Γ=A•B είναι τότε τύπου n×m, το δε στοιχείο γij , (δηλ. το στοιχείο που βρίσκεται στη i-γραμμή και j-στήλη), δίνεται από την σχέση:

k

ij ip pjp 1=

γ = α β∑

η οποία προκύπτει από τον ορισμό του πολλαπλασιασμού μεταξύ των πινάκων. Στην περίπτωση των τετραγωνικών πινάκων n×n, ο πολλαπλασιασμός ορίζεται πάντα και δίνει πάλι τετραγωνικό πίνακα τύπου n×n. Για να αποδείξουμε ότι οι τετραγωνικοί πίνακες αποτελούν ομάδα, αρκεί να αποδείξουμε τις τρεις γνωστές ιδιότητες: 1. Προσεταιριστική ιδιότητα: (Α•Β)•Γ=A•(B•Γ) (1) Θέτουμε Δ=A•B και E=B•Γ και έχουμε για απόδειξη την Δ•Γ=A•E δηλ. (Δ•Γ)ij=(A•E)ij αλλά:

n

ij ik kjk 1

( )=

Δ •Γ = δ γ∑ και n

ik il lkl 1=

δ = α β∑

και επομένως n n

ij il lk kjk 1 l 1

( )= =

Δ •Γ = α β γ∑∑ (2)

Επίσης n

ij il ljl 1

(A E) e=

• = α∑ και n

lj lk kjk 1

e=

= β γ∑

και επομένως n n n n

ij il lk kj il lk kjl 1 k 1 k 1 l 1

(A E)= = = =

• = α β γ = α β γ∑∑ ∑∑ (3)

Από τις σχέσεις (2) και (3) έχουμε την σχέση (1). 2. Προφανώς το ουδέτερο στοιχείο είναι ο ταυτοτικός πίνακας:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

6

I=

1 0 00 1 0

0 0 1

⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

3. Για κάθε πίνακα Α με detA≠0, ορίζεται ο αντίστροφος Α-1 ώστε: A•A-1=A-1•A=I Παρατήρηση 2: Η αντιμεταθετική ιδιότητα Α•Β=Β•Α δεν ισχύει διότι

n

ij ik kjk 1

( )=

Α •Β = α β∑ και n

ij ik kj ij ijk 1

( ) ( ) (B A)=

Β•Α = β α ⇒ Α•Β ≠ •∑

Παράδειγμα 4: Το σύνολο των περιστροφών στο επίπεδο, αποτελεί ομάδα με εσωτερική πράξη την σύνθεση δυο περιστροφών. Είναι γνωστό ότι μια περιστροφή κατά γωνία φ γύρω από την αρχή των αξόνων ενός καρτεσιανού συστήματος αναφοράς XOY, δίνεται από τον τετραγωνικό πίνακα Rφ τύπου 2×2:

cos sin

Rsin cosϕ

ϕ − ϕ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ϕ ϕ⎝ ⎠

Η σύνθεση δυο περιστροφών Rφ και Rθ παριστάνει μια περιστροφή Rω η οποία προκύπτει από το γινόμενο των αντιστοίχων πινάκων:

cos sin cos sin

R R Rsin cos sin cosω ϕ θ

ϕ − ϕ θ − θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= • = •⎜ ⎟ ⎜ ⎟ϕ ϕ θ θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

cos cos sin sin cos sin sin cossin cos cos sin sin sin cos cos

ϕ θ− ϕ θ − ϕ θ− ϕ θ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ϕ θ+ ϕ θ − ϕ θ+ ϕ θ⎝ ⎠

cos( ) sin( ) cos sinsin( ) cos( ) sin cos

ϕ + θ − ϕ + θ ω − ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ϕ + θ ϕ + θ ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠

με ω=φ+θ. Η σύνθεση Rω=Rφ•Rθ των περιστροφών σαν εσωτερική πράξη έχει την ιδιότητα της προσεταιριστικότητας, διότι: ( ) ( )R R R R R Rω ϕ θ ω+ϕ θ ω+ϕ +θ• • = • =

( ) ( )R R R R R Rω ϕ θ ω ϕ+θ ω+ ϕ+θ• • = • =

άρα: ( )R R R R R Rω ϕ θ ω ϕ θ• • = • • διότι (ω+φ)+θ=ω+(φ+θ)

Το ουδέτερο στοιχείο είναι η μηδενική περιστροφή, δηλ.:

R0

0 0

0 0

1 0

0 1=

−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

cos sin

sin cos

που συμπίπτει με τον ταυτοτικό, πίνακα, και για κάθε περιστροφή Rφ υπάρχει η αντίθετη περιστροφή Rφ’ με φ′=-φ. Πράγματι:


-7-

0R R R R R R′ϕ ϕ ϕ −ϕ ϕ−ϕ• = • = =

Επίσης ισχύει και η αντιμεταθετική ιδιότητα R R R Rϕ θ θ ϕ• = •

Άρα το σύνολο των περιστροφών στο επίπεδο αποτελεί αβελιανή ομάδα. Παράδειγμα 5: Θεωρούμε το σύνολο των διαφορίσιμων πραγματικών συναρτήσεων άπειρης τάξης: Σ(f)=f:R→R / f=διαφορίσιμη άπειρης τάξης Τότε μια συνάρτηση f(x) δέχεται το εξής ανάπτυγμα κατά Τaylor γύρω από τον πραγματικό αριθμό α:

2 3f ( ) f ( ) f ( )f (x ) f ( ) x x x ...1! 2! 3!′ ′′ ′′′α α α

+ α = α + + + +

ή αλλάζοντας το α με το x:

2 3f (x) f (x) f (x)f (x ) f (x) ...1! 2! 3!′ ′′ ′′′

+ α = + α+ α + α + =

2 3

f (x) f (x) f (x) f (x) ...1! 2! 3!α α α′ ′′ ′′′= + + + + =

d2 2 3 3

dx2 3

d d d1 ... f (x) e f (x)1! dx 2! dx 3! dx

α⎛ ⎞α α α= + + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

δηλαδή

d

dxe f (x) f (x )α

= + α

Αν τώρα θεωρήσουμε το σύνολο:

d

dxJ T /Τ e , Rα

α α

⎧ ⎫= = α∈⎨ ⎬⎩ ⎭

τότε το σύνολο J αποτελεί αβελιανή ομάδα με εσωτερική πράξη:

d dd b ( b)

dx dxdxb bT T e e e T

α+αα α+• = = =

Πράγματι: 1. b c b c (b c) ( b) c b c b cT (Τ T ) T (T ) T T T T (T T ) Tα α + α+ + α+ + α+ α• • = • = = = • = • •

2. To ουδέτερο στοιχείο είναι το d0

dx0 e 1Τ = = διότι:

0 0 0 0T T T Τ Τ Τ Τα +α α+ α α• = = = • = 3. Για κάθε στοιχείο Τα το αντίστροφο του είναι το Τ-α, διότι: Tα •Τ-α =Τα-α=Τ0=1 και T-α •Τα =Τ-α+α=Τ0=1 άρα Tα •Τ-α =T-α •Τα =Τ0=1 4. b b b bΤ Τ T T Τ Τα α+ +α α• = = = •

η έκφραση Τα=ddxe

α ονομάζεται τελεστής μετατοπίσεως, (displacement operator).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

8

Στα προηγούμενα παραδείγματα το πλήθος των στοιχείων των αντιστοίχων ομάδων ήταν άπειρο. Υπάρχουν όμως και ομάδες με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Ορισμός 3: Το πλήθος των στοιχείων μιας ομάδας ονομάζεται τάξη της ομάδας. Μια ομάδα που περιέχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων ονομάζεται πεπερασμένη ομάδα, ενώ αν περιέχει άπειρο πλήθος στοιχείων ονομάζεται άπειρη ομάδα. Μια άπειρη ομάδα ονομάζεται διακεκριμένη ή συνεχής ανάλογα εάν το πλήθος των στοιχείων είναι αριθμήσιμο1 ή συνεχές. Παράδειγμα 6: Θεωρούμε το σύνολο G των παρακάτω έξι συναρτήσεων:

f1(x)=x , f2(x)=1-x , f3(x)=x

x −1 , f4(x)=

1x

, f5(x)=1

1− x , f6(x)=

xx−1

με κοινό πεδίου ορισμού το R \ 0,1 και με νόμο εσωτερικής συνθέσεως ∗, την σύνθεση των συναρτήσεων, π.χ.

(f5∗f3)(x)=f5(f3(x))= fx

x xx

xx5 1

1

11

11

1−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

−−

=−−

= − =f2(x)

Το σύνολο αυτό αποτελεί ομάδα ως προς την σύνθεση των συναρτήσεων. Για να το διαπιστώσουμε αυτό υπολογίζουμε όλες τις δυνατές συνθέσεις των στοιχείων του G ανά δύο π.χ. η σύνθεση των συναρτήσεων f5 και f3 είναι η συνάρτηση f5∗f3 η οποία ορίζεται ως εξής

(f5∗f3)(x) = f5(f3(x)) = x111x

1xx1

11x

xf5 −=−−

=

−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−= f2(x) έτσι έχουμε f5∗f3 = f2.

Εργαζόμενοι με αυτό τον τρόπο κατασκευάζουμε τον πίνακα:

f1 f2 f3 f4 f5 f6

f1 f1 f2 f3 f4 f5 f6

f2 f2 f1 f5 f6 f3 f4

f3 f3 f6 f1 f5 f4 f2

f4 f4 f3 f6 f1 f2 f3

f5 f5 f4 f2 f3 f6 f1

f6 f6 f3 f4 f2 f1 f5

1 Ένα άπειρο σύνολο Α λέγεται αριθμήσιμο εάν μπορούμε να βρούμε μια απεικόνιση f μεταξύ των φυσικών αριθμών Ν και των στοιχείων του συνόλου Α, δηλαδή να έχουμε f: N → A, f: n → f(n)∈A. Συνήθως την εικόνα f(n) την συμβολίζουμε με αn και έτσι μπορούμε να πούμε ότι ένα αριθμήσιμο σύνολο αποτελείται από τα στοιχεία μιας ακολουθίας αn.


-9-

Τα στοιχεία του πίνακα κατασκευάζονται από την σύνθεση fi∗fj όπου fi τα στοιχεία της πρώτης στήλης και fj τα στοιχεία της πρώτης γραμμής.

Παρατηρώντας τον πίνακα αυτόν συμπεραίνουμε ότι: Α) Η πράξη της σύνθεσης είναι εσωτερική. Και αυτό γιατί όλα τα αποτελέσματα της σύνθεσης των συναρτήσεων ανά δύο είναι επίσης συναρτήσεις του συνόλου G. Β) Η συνάρτηση f1 είναι το ουδέτερο στοιχείο της σύνθεσης. (Παρατηρήστε ότι τα στοιχεία της πρώτης γραμμής και στήλης του πίνακα είναι τα ίδια με τα αντίστοιχα της σκιασμένης γραμμής και στήλης). Γ) Για κάθε στοιχείο fi υπάρχει το αντίστοιχο συμμετρικό του. (Παρατηρήστε ότι το ουδέτερο στοιχείο υπάρχει σε όλες της γραμμές του πίνακα). Για να συμπληρωθεί η απόδειξη πρέπει να αποδειχθεί και η προσεταιριστική ιδιότητα της πράξης. Η ιδιότητα αυτή δεν προκύπτει άμεσα από τον πίνακα αλλά πρέπει να αποδείξουμε για κάθε τριάδα (i,j,k ) με i=1,...,6, j=1,...,6 και k=1,...,6 ότι ισχύει η σχέση

( ) ( ) kjikji ffffff ∗∗=∗∗ .

1.5 Η ΟΜΑΔΑ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ2

Από ιστορικής πλευράς η έννοια της δομής της ομάδας πρωτοεμφανίστηκε στις αρχές του 19ου αιώνα από την μελέτη του συνόλου των μετασχηματισμών που μπορούμε να ορίσουμε σ’ ένα σύνολο. Επειδή ένα τέτοιο σύνολο μετασχηματισμών παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον τόσο από μαθηματικής πλευράς όσο και από φυσικής πλευράς, είναι ωφέλιμο, αν όχι απαραίτητο, να αναφερθούμε σ’ αυτό.

Ορισμός 1: Μια αμφιμονοσήμαντη και επί αντιστοιχία f: S → S με πεδίο ορισμού και τιμών το σύνολο S≠∅ λέγεται μετασχηματισμός του S.

Παρατήρηση 1: Το σύνολο των μετασχηματισμών του S συμβολίζεται με M(S). Η ταυτοτική απεικόνιση I: S∋x → x∈S είναι μετασχηματισμός του S, δηλ. Ι∈Μ(S). Εύκολα μπορεί κανείς να δείξει ότι το σύνολο M(S) αποτελεί ομάδα ως προς την σύνθεση των απεικονίσεων. Πρώτα παρατηρούμε ότι εάν εκτελέσουμε διαδοχικά δυο μετασχηματισμούς, το αποτέλεσμα είναι ένας νέος μετασχηματισμός. Έτσι η σύνθεση δυο οποιωνδήποτε μετασχηματισμών είναι πάλι ένας μετασχηματισμός και επομένως το σύνολο των μετασχηματισμών είναι κλειστό ως προς την σύνθεση των μετασχηματισμών. Μπορούμε να ορίσουμε το ταυτοτικό στοιχείο να είναι ο ταυτοτικός μετασχηματισμός, και προφανώς ανήκει στο σύνολο. Για κάθε μετασχηματισμό υπάρχει ο αντίστροφος του με την έννοια ότι ο αρχικός μετασχηματισμός και ο αντίστοφος του μας δίνει τον ταυτοτικό μετασχηματισμό. Τέλος η διαδοχική εφαρμογή των μετασχηματισμών συμμετρίας υπακούει την προσεταιριστική ιδιότητα. 2 Η παράγραφος αυτή μπορεί να παραληφθεί σε πρώτη ανάγνωση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

10

Ορισμός 2: Η ομάδα μετασχηματισμών του συνόλου S=1, 2, ⋅⋅⋅, n, n∈N*, λέγεται συμμετρική ομάδα n βαθμού και συμβολίζεται με Sn. Τα στοιχεία της λέγονται μεταθέσεις n βαθμού. Παρατήρηση 1: α) Επειδή μια μετάθεση s∈Sn είναι αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση:

s: 1, 2, ⋅⋅⋅, n → 1, 2, ⋅⋅⋅, n οι τιμές της s(1)=1′, s(2)=2′,⋅⋅⋅, s(n)=n′ είναι πάλι οι δείκτες 1, 2, ⋅⋅⋅, n με διαφορετική γενικά διάταξη β) Η μετάθεση s∈Sn συμβολίζεται με

1 2 3 n

s1 2 3 n⎛ ⎞

= ⎜ ⎟′ ′ ′ ′⎝ ⎠ (1)

π. χ. η μετάθεση 1 2 3 4

s2 4 1 3⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

είναι η συνάρτηση s: 1, 2, 3, 4 → 1, 2, 3, 4 όπου

s(1)=2, s(2)=4, s(3)=1, s(4)=3. γ) Στον παραπάνω συμβολισμό (1) μπορούμε να αλλάξουμε τη διάταξη των στοιχείων της πάνω γραμμής, αρκεί να γράψουμε την εικόνα k′=s(k) κάτω από το πρότυπο k, για κάθε k.

Έτσι 1 2 3 4 2 3 1 4 4 1 3 2

s2 4 1 3 4 1 2 3 3 2 1 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

δ) Η σύνθεση s t των συναρτήσεων t, s∈Sn συμβολίζεται με st και λέγεται γινόμενο των t, s. ε) Τα γινόμενα st και ts των μεταθέσεων

s=1 2 3 4 53 2 5 1 4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

και t=1 2 3 4 52 3 4 5 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

βρίσκονται ως εξής:

t s st

t s st

t s st

t s st

t s st

1 2 2 1 22 3 5 2 5

1 2 3 4 53 4 1 3 1 st

2 5 1 4 34 5 4 4 45 1 3 5 3

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→⎛ ⎞

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯→ ⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→

s t ts

s t ts

s t ts

s t ts

s t ts

1 3 4 1 42 2 3 2 3

1 2 3 4 53 5 1 3 1 ts

4 3 1 2 54 1 2 4 25 4 5 5 5

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→⎛ ⎞

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯→ ⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→

στ) Τα παραπάνω στοιχεία t και s της S5 δεν αντιμετατίθενται αφού ts≠st. Γενικά η συμμετρική ομάδα Sn δεν είναι αντιμεταθετική. ζ) Το γινόμενο st δυο μεταθέσεων βρίσκεται πιο σύντομα ως εξής: Γράφουμε σαν πάνω


-11-

γραμμή της s την κάτω γραμμή της t και το γινόμενο st έχει πάνω γραμμή εκείνη της t και κάτω γραμμή εκείνη , (τη νέα), της s. Έτσι στο προηγούμενο παράδειγμα:

st=1 2 3 4 53 2 5 1 4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 3 4 52 3 4 5 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=2 3 4 5 12 5 1 4 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 3 4 52 3 4 5 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

=1 2 3 4 52 5 1 4 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

η) Η αντίστροφη s-1 μιας μετάθεσης s∈Sn προκύπτει από την s με αμοιβαία αλλαγή των θέσεων των γραμμών της. Έτσι εάν

1 2 3 ns

1 2 3 n⎛ ⎞

= ⎜ ⎟′ ′ ′ ′⎝ ⎠ τότε 1 1 2 3 n

s1 2 3 n

− ′ ′ ′ ′⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

π. χ. εάν s=1 2 3 4 52 5 1 4 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

τότε s-1=2 5 1 4 3 1 2 3 4 51 2 3 4 5 3 1 5 4 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

θ) Το πλήθος των στοιχείων της συμμετρικής ομάδας Sn είναι ίσο με 1⋅2⋅3⋅⋅⋅⋅(n-1)n=n! Ορισμός 3: Μια μετάθεση της μορφής:

1 2 3 k 1 k

2 3 4 k 1

x x x x xx x x x x

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

λέγεται κυκλική μετάθεση ή κύκλος μήκους k και συμβολίζεται με (x1, x2, x3, ⋅⋅⋅, xk)

Παρατήρηση 2: α) Είναι (5 4 3 2 1)=5 4 3 2 1 1 2 3 4 54 3 2 1 5 5 1 2 3 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

β) Τα στοιχεία ενός κύκλου μπορούν να εναλλαχθούν κυκλικά, δηλ. (x1, x2, x3, ⋅⋅⋅, xk)=(x2, x3, ⋅⋅⋅, xk, x1)=(x3, x4, ⋅⋅⋅, xk, x1, x2)=⋅⋅⋅

γ) Δεχόμεστε ότι κύκλος μήκους 1 παριστάνει τη μονάδα της Sn, ότι δηλ. (1)=(2)=⋅⋅⋅=(n)=1

Ορισμός 4: Ένας κύκλος μήκους 2 λέγεται αντιμετάθεση ή μετάβαση. Παρατήρηση 3: α) Η μετάθεση

( )1 2 3 4 5 1 5

1 55 2 3 4 1 5 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

είναι αντιμετάθεση. β) Για κάθε αντιμετάθεση s έχουμε s-1=s, αφού

( ) ( ) ( )1

1 p q q pp q q p p q

q p p q

−− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

γ) Από την ισότητα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

12

(x1 x2 x3 ⋅⋅⋅ xk)=(x1 xk)(x1 xk-1)⋅⋅⋅(x1 x2) η οποία αποδεικνύεται πολύ εύκολα, προκύπτει ότι: «κύκλος μήκους k>1 αναλύεται σε γινόμενο k-1 αντιμεταθέσεων». δ) Η ανάλυση κύκλου σε γινόμενο αντιμεταθέσεων δεν είναι μοναδική, π. χ.

(123)=(13)(12)=(14)(13)(43)(12)

Θεώρημα 1: Κάθε μετάθεση s≠1 αναλύεται κατά μοναδικό τρόπο σε γινόμενο πεπερασμένου πλήθους κύκλων μήκους μεγαλύτερου του 1, οι οποίοι δεν έχουν ανά δυο κοινά στοιχεία. Παρατήρηση 4: Επειδή και κάθε κύκλος αναλύεται σε γινόμενο πεπερασμένου πλήθους αντιμεταθέσεων, κάθε μετάθεση αναλύεται σε γινόμενο πεπερασμένου πλήθους αντιμεταθέσεων. Η ανάλυση όμως αυτή δεν είναι μοναδική, π.χ. για την μετάθεση

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

s5 3 4 1 2 8 7 6 10 9⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

έχουμε: s s s s s s s s s s1 5 2 3 4 1, 6 8 6, 7 7, 9 10 9⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ και άρα s=(1 5 2 3 4)(6 8)(7)(9 10)=(1 5 2 3 4)(6 8)(9 10) Ορισμός 5: Μια μετάθεση λέγεται άρτια, (ή περιττή), αν αναλύεται σε γινόμενο αρτίου, (ή περιττού), πλήθους αντιμεταθέσεων. Παρατήρηση 5: α) Η μονάδα είναι άρτια μετάθεση, αφού 1=(pq)(pq) και κάθε αντιμετάθεση είναι περιττή. β) Επειδή ένας κύκλος μήκους p>1 αναλύεται σε γινόμενο p-1 αντιμεταθέσεων, ένας κύκλος μήκους p είναι αρτία, (αντίστοιχα περιττή), μετάθεση όταν ο p είναι περιττός, (αντίστοιχα άρτιος). Ορισμός 6: Θεωρούμε μια μετάθεση s. Ονομάζουμε σημείο της μετάθεσης και θα το συμβολίζουμε με ε(s), το +1 ή το –1 εάν η μετάθεση είναι άρτια ή περιττή. Συγκεκριμένα θα έχουμε:

1, s

(s)1, s

αν η ειναι αρτια⎧⎪ε = ⎨⎪− αν η ειναι περιττη⎩

Παρατήρηση 6: Επειδή η μονάδα 1, (ταυτοτική συνάρτηση), είναι άρτια μετάθεση και κάθε αντιμετάθεση (pq) είναι περιττή, έχουμε ε(1)=+1, ε(pq)=-1. Πρόταση 1: α) Εάν s=c1c2⋅⋅⋅cp είναι μια ανάλυση της μετάθεσης s σε γινόμενο p αντιμεταθέσεων, τότε είναι: ε(s)=(-1)p. β) ε(st)=ε(s)ε(t), ε(s-1)=ε(s) για όλες τις μεταθέσεις s, t∈Sn.


-13-

1.6 ΥΠΟΟΜΑΔΑ

Ορισμός 1: Αν (G, *) είναι μια ομάδα, τότε το ζεύγος (G1 ,*) με G1 ⊆G λέγεται υποομάδα, (subgroup), της ομάδας (G, *), όταν είναι ομάδα με την ίδια εσωτερική πράξη, η οποία θα πρέπει φυσικά να είναι κλειστή στο G1 , δηλαδή: [ ]1 1( , G ) G∀α β∈ α∗β∈

Παρατήρηση 1: Γενικά ένα υποσύνολο Η⊆Α μιας αλγεβρικής δομής Α είναι υποδομή όταν αποτελεί την ίδια δομή με τις ίδιες πράξεις σύνθεσης Παράδειγμα 1: Το σύνολο Ζ των ακεραίων αριθμών, αποτελεί υποομάδα της ομάδας R των πραγματικών αριθμών, αν σαν εσωτερική πράξη θεωρήσουμε την πρόσθεση. 1.7 ΔΑΚΤΥΛΙΟΣ

Ορισμός 1: Έστω ( )G,∗ μια αβελιανή ομάδα. Ορίζουμε τώρα μια δεύτερη εσωτερική πράξη, που την συμβολίζουμε με ° με τις εξής ιδιότητες: [ ]( , , G) ( ) ( )∀α β γ∈ α β γ = α β γ προσεταιριστική

[ ]( , , G) ( ) ( ) ( )∀α β γ∈ α β∗γ = α β ∗ α γ επιμεριστική εξ’ αριστερών

[ ]( , , G) ( ) ( ) ( )∀α β γ∈ β∗γ α = β α ∗ γ α επιμεριστική εκ δεξιών

Η ομάδα ( )G,∗ με την δεύτερη εσωτερική πράξη, λέγεται δακτύλιος, (ring), και

συμβολίζεται με την τριάδα ( )G, ,∗ . Παρατήρηση 1: Ένα σύνολο G δέχεται την δομή δακτυλίου, αν έχουν ορισθεί δυο εσωτερικές πράξεις με τις ιδιότητες: α) Η πρώτη πράξη ορίζει στο G την δομή της αβελιανής ομάδας. β) Η δεύτερη πράξη ορίζει στο G την δομή της ημιομάδας. γ) Η δεύτερη πράξη είναι επιμεριστική ως προς την πρώτη. Παράδειγμα 1: Το σύνολο R των πραγματικών αριθμών με εσωτερικές πράξεις την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, δέχεται την δομή δακτυλίου διότι: α) Το ζεύγος (R ,+) είναι αβελιανή ομάδα. β) Το ζεύγος (R ,⋅) είναι ημιομάδα.

3) Ισχύει: (∀α,β,γ)[ α⋅(β+γ)=α⋅β+α⋅γ ] και (∀α,β,γ)[ (β+γ)⋅α=β⋅α+γ⋅α ]

Ορισμός 2: Αν σ’ ένα δακτύλιο ( )G, ,∗ ισχύει: [ ]( , G)∀α β∈ α β =β α

τότε ο δακτύλιος λέγεται αντιμεταθετικός.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

14

Ορισμός 3: Ένας δακτύλιος ( )G, ,∗ λέγεται δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο, (ή με μονάδα), αν υπάρχει ένα στοιχείο, που ας το συμβολίσουμε με Ι με την ιδιότητα: [ ]( G)∀α∈ α Ι = Ι α = α δηλαδή να υπάρχει ουδέτερο στοιχείο ως προς την δεύτερη εσωτερική πράξη. Παράδειγμα 2: Ο δακτύλιος (R,+,⋅) είναι αντιμεταθετικός με μοναδιαίο στοιχείο. Στα επόμενα με 0 θα συμβολίζουμε το ουδέτερο στοιχείο της πρώτης πράξης, (που συνήθως είναι η γνωστή πρόσθεση), και με 1 το ουδέτερο στοιχείο της δεύτερης πράξης, (που συνήθως είναι ο γνωστός πολλαπλασιασμός). Ορισμός 4: Σ’ ένα δακτύλιο είναι δυνατόν να υπάρχουν στοιχεία α≠0 και b≠0, με την ιδιότητα bα =0. Τα στοιχεία του δακτυλίου με αυτή την ιδιότητα, λέγονται μηδενοδιαιρέτες, (divisors of zero). Ένας δακτύλιος χωρίς μηδενοδιαιρέτες, λέγεται ακέραια περιοχή, (integral domain). Παράδειγμα 3: Το σύνολο των τετραγωνικών πινάκων τύπου 2×2 αποτελεί δακτύλιο με εσωτερικές πράξεις την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό των πινάκων. Αν θεωρήσουμε τους πίνακες:

1 1

A0 0

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

και 1 1

B1 1⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

που είναι διάφοροι του μηδενικού πίνακα: 0 0

O0 0⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

τότε το γινόμενο Α.Β είναι:

1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

A B0 0 1 1 0 0 0 0

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Άρα ο δακτύλιος των τετραγωνικών πινάκων τύπου 2×2 δεν είναι ακέραια περιοχή. 1.8 ΣΩΜΑ

Στον δακτύλιο (R,+,.) μπορούμε να κάνουμε την εξής παρατήρηση: Οι πραγματικοί αριθμοί R αποτελούν ομάδα ως προς την πρόσθεση. Για να αποτελούν ομάδα και ως προς τον πολλαπλασιασμό, θα πρέπει να ισχύει η ιδιότητα του συμμετρικού στοιχείου, δηλαδή: ( )( )[ ]R R 1′ ′ ′∀α∈ ∃α ∈ α⋅α = α ⋅α =

Αλλά αν σαν α θεωρήσουμε το 0, τότε δεν ισχύει η παραπάνω ιδιότητα γιατί δεν ορίζεται το αντίστροφο στοιχείο του μηδενός. Αν δεν λάβουμε υπ’ όψη μας το 0, τότε το σύνολο R-0 δέχεται την δομή της ομάδας ως προς τον πολλαπλασιασμό. Έτσι φθάνουμε στον ορισμό του σώματος.


-15-

Ορισμός 1: Σώμα ή πεδίο, (field), ονομάζεται ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος ( )G, ,∗ με μοναδιαίο στοιχείο, τέτοιος ώστε το σύνολο G-e να δέχεται την δομή ομάδας ως προς την δεύτερη πράξη. Παράδειγμα 1: Εκτός από το σύνολο R, και τα σύνολα Q των ρητών αριθμών και C των μιγαδικών αριθμών είναι σώματα, δηλαδή δέχονται την δομή σώματος. Σ’ ένα σώμα, π.χ. στο R, ορίζονται και οι τέσσερις γνωστές πράξεις (+), (.), (-), (:). Οι δυο πρώτες από τον ορισμό του σώματος, η τρίτη, (αφαίρεση), από την ύπαρξη για κάθε στοιχείο του αντιθέτου και η τέταρτη, (η διαίρεση), από την ύπαρξη για κάθε μη μηδενικό στοιχείο του αντιστρόφου. Έτσι σ’ ένα σώμα ( )G, ,∗ πάντα έχουν μονοσήμαντη λύση οι εξισώσεις: α∗x=β ∀α,β∈G, α x=β με α,β∈G και α≠0 Στα επόμενα θα χρησιμοποιούμε τους εξής συμβολισμούς: 1) ( )G,∗ για την αλγεβρική δομή της ομάδας G→ group=ομάδα

2) ( )R, ,∗ για την αλγεβρική δομή του δακτυλίου R→ ring=δακτύλιος

3) ( )F, ,∗ για την αλγεβρική δομή του σώματος ή πεδίου F→ field=πεδίο

Τελειώνουμε το κεφάλαιο αυτό με ένα διάγραμμα ροής, το οποίο περιλαμβάνει τις

αλγεβρικές δομές που μελετήσαμε μέχρι τώρα.

Ημιομάδα

Μονοειδές

Ομάδα

Αβελιανή ομάδα

Δακτύλιος

Δακτύλιος με μονάδα

Αντιμεταθετικός δακτύλιος

Σώμα

Ακαραία περιοχή Mη Ακαραία περιοχή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

16

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Να ελέγξτε εάν τα παρακάτω ζεύγη αποτελούν ομάδες:

α) (G,∗) ,όπου G =Ζ οι ακέραιοι αριθμοί και ∗ η πράξη της αφαιρέσεως, β) (G,∗) ,όπου G =1,-1 και ∗ η πράξη του πολλαπλασιασμού, γ) (G,∗) ,όπου G =Q-0 το σύνολο των μη μηδενικών ρητών αριθμών και ∗

η πράξη της διαιρέσεως, δ) (G,∗) ,όπου G =α+iβ / α,β∈Ζ οι μιγαδικοί αριθμοί με πραγματικό και φανταστικό μέρος ακέραιους αριθμούς και ∗ η πράξη της προσθέσεως.

(Απ. α) ναι, β) ναι, γ) όχι, δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα, δ) ναι) 2) Σε μια ομάδα (G,∗) οι δυνάμεις ορίζονται ως εξής: α0=e, αn=α∗αn-1, α-n=(αn)-1, όπου n∈N. και το α-1 σημαίνει το συμμετρικό στοιχείο του α. Να δείξετε ότι ισχύουν οι σχέσεις: α) αrαs=αr+s β) (αr)s=αrs γ) (αr+s)t =αrt+st. 3) Δείξτε ότι εάν (G,∗) είναι μια αβελιανή ομάδα, τότε ισχύει: (α∗β)n=αn ∗βn ∀α,β∈G και ∀n∈Z. 4) Έστω (G,∗) μια ομάδα τέτοια ώστε (α∗β)2=α2∗β2 ∀α,β∈G. Να δειχθεί ότι η ομάδα

(G,∗) είναι αβελιανή. 5) Εάν Η είναι ένα υποσύνολο μιας ομάδας (G,∗), να δειχθεί ότι το Η είναι υποομάδα εάν και μόνο εάν α) το Η≠∅ και β) ∀α,β∈Η ⇒ α∗β-1∈Η. 6) Να δειχθεί ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους υποομάδων μιας ομάδας, είναι ομάδα 7) Δείξτε ότι το σύνολο όλων των δυνάμεων ενός στοιχείου α μιας ομάδας (G,∗)

είναι υποομάδα. Η υποομάδα αυτή ονομάζεται κυκλική ομάδα που παράγεται από το στοιχείο α.

8) Δείξτε ότι σ’ ένα δακτύλιο (R,+,⋅) ισχύουν οι σχέσεις:

α) α⋅0=0⋅α=0 β) α⋅(-β)=(-α)⋅β=-α⋅β γ) (-α)⋅(-β)=α⋅β

9) Δείξτε ότι σ’ ένα δακτύλιο (R,+,⋅) με μονάδα ισχύουν οι σχέσεις: α) (-1)⋅α=-α, β) (-1)⋅(-1)=1.

10) Έστω ότι α2=α ∀α∈R. Να δειχθεί ότι ο δακτύλιος R είναι αντιμεταθετικός. (Ένας τέτοιος δακτύλιος ονομάζεται δακτύλιος Bool) Λύση: Έχουμε αβ=(α2)(β2) και (αβ)=(αβ)2. Επομένως (α2)(β2)= (αβ)2 ⇒ (αα)(ββ)=(αβ)(αβ) ⇒ ααββ=αβαβ ⇒ αβ=βα


-17-

11) Έστω (R,+,⋅) ένας δακτύλιος με μονάδα. Κατασκευάζουμε το σύστημα: ( R ,⊕, ) όπου R =R, α⊕β≡α+β+1, α β≡α⋅β+α+β. Να δείξετε ότι το ( R ,⊕, ) είναι δακτύλιος. Να ορισθούν τα ουδέτερα στοιχεία ως προς τις νέες πράξεις. 12) Να αποδειχθεί ότι το σύνολο F=α+β√2 / α,β∈Q είναι σώμα. 13) Να δειχθεί ότι το σύνολο D=α+β√2 / α,β∈Z είναι ακέραια περιοχή αλλά όχι σώμα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 2.1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ

Θεωρούμε ένα σώμα (F, *, ), (όπου με * συμβολίζουμε την πρώτη εσωτερική πράξη του F και με την δεύτερη), και ένα σύνολο V≠∅, (τα στοιχεία του οποίου θα τα συμβολίζουμε με v ), στο οποίο έχει ορισθεί μια εσωτερική πράξη, που την συμβολίζουμε με +, (συνήθως ονομάζεται διανυσματική πρόσθεση), και για την οποία το ζεύγος (V,+) είναι αβελιανή ομάδα. Επίσης θεωρούμε μια εξωτερική πράξη που την συμβολίζουμε με (⋅): ⋅: F×V→V με τις ιδιότητες: 1. ( )( ) ( )F v, w V v w v w∀α∈ ∀ ∈ α ⋅ + = α ⋅ + α ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

2. ( )( ) ( ), F v V v v v∀α β∈ ∀ ∈ α∗β ⋅ = α ⋅ + β ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

3. ( )( ) ( ) ( ), F v V v v∀α β∈ ∀ ∈ α β ⋅ = α ⋅ β ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

4. ( )[ ]∀ ∈ ⋅ =v V v v1

Η τετράδα ( )V F, , ,+ ⋅ ονομάζεται διανυσματικός χώρος επί του σώματος F3, (vector space over the field F). Τα στοιχεία του V θα τα συμβολίζουμε με τα τελευταία γράμματα του Λατινικού αλφάβητου v, u, w, x, y, z κ.λ.π., με διανυσματική μορφή v, u, w, x, y, z ή με έντονη γραφή v, u, w, x, y, z, ενώ τα στοιχεία του σώματος F, (συντελεστές), με τα πρώτα γράμματα του Λατινικού ή Ελληνικού αλφάβητου α, a, β, b, κ.λ.π..

Οι παραπάνω 4 σχέσεις παίρνουν μια πιο οικεία μορφή εάν χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο + και για τον πρώτο νόμο εσωτερικής συνθέσεως του σώματος F αντί για το ∗ και την τελεία ⋅ αντί για το σύμβολο , (συνήθως παραλείπουμε την τελεία). Έτσι οι 4 αυτές σχέσεις γράφονται:

1. ( )( ) ( )F v, w V v w v w∀α∈ ∀ ∈ α ⋅ + = α ⋅ + α ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

2. ( )( ) ( ), F v V v v v∀α β∈ ∀ ∈ α +β ⋅ = α ⋅ + β ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

3. ( )( ) ( ) ( ), F v V v v∀α β∈ ∀ ∈ αβ ⋅ = α ⋅ β ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

4. ( )[ ]∀ ∈ ⋅ =v V v v1 Θα πρέπει όμως από εδώ και πέρα να μην γίνεται σύγχυση σχετικά με το σύμβολο + όταν αυτό χρησιμοποιείται μεταξύ αριθμών α+β και μεταξύ διανυσμάτων v w+ .

3 Τον διανυσματικό χώρο ( )V F, , ,+ ⋅ θα τον συμβολίζουμε και με V[F] ή πιο απλά με V.


- 20 -

Στη Φυσική το σώμα F μπορεί να είναι το σώμα R των πραγματικών αριθμών ή το σώμα C των μιγαδικών αριθμών. Στην περίπτωση που F=R ο διανυσματικός χώρος V ονομάζεται πραγματικός χώρος, (linear space), ενώ όταν F=C, ο διανυσματικός χώρος V ονομάζεται μιγαδικός χώρος, (complex space) Μια από τις αρχές της φυσικής, είναι η αρχή της επαλληλίας, (superposition principle). Η διαδικασία της επαλληλίας είναι ένα είδος προσθετικής διαδικασίας κατά την οποία διάφορες καταστάσεις ενός φυσικού συστήματος μπορούν κατά κάποιον τρόπο να προστεθούν και να δώσουν μια νέα κατάσταση ή αν μια κατάσταση την πολλαπλασιάσουμε με έναν αριθμό, να έχουμε μια νέα κατάσταση. Επομένως οι καταστάσεις πρέπει να συνδυαστούν με μαθηματικά μεγέθη που να μπορούν να προστεθούν και να δώσουν ένα νέο μέγεθος του ίδιου είδους, ή αν τα πολλαπλασιάσουμε με έναν αριθμό να δίνουν μαθηματικά μεγέθη του ίδιου είδους. Τέτοια μαθηματικά μεγέθη είναι τα διανύσματα. Η χρησιμοποίηση του διανυσματικού χώρου σαν μαθηματική δομή για την φυσική, οφείλεται στην αρχή της επαλληλίας. Θεώρημα 1: Σ’ ένα διανυσματικό χώρο V επί του σώματος F ισχύουν οι σχέσεις: 1. ( )F 0 0⎡ ⎤∀α∈ α ⋅ =⎣ ⎦

2. ( )[ ]∀ ∈ ⋅ =v V e v 0

3. ( )( )F v V v 0 e⎡∀α∈ ∀ ∈ α ⋅ = ⇔ α =⎣ ή ]v = 0

4. ( )( )[ ]F v V ( ) v ( v) v∀α∈ ∀ ∈ −α ⋅ = α − = −α⋅

όπου 0 το ουδέτερο στοιχείο του V ως προς την εσωτερική πράξη και e το ουδέτερο στοιχείο του F ως προς την πρώτη εσωτερική πράξη. Απόδειξη: 1. Από τον ορισμό του μηδενικού διανύσματος σαν ουδέτερου στοιχείου ως προς την εσωτερική πράξη του V έχουμε 0 0 0+ = . Πολλαπλασιάζουμε από αριστερά με α∈F: ( )0 0 0 0 0 0α ⋅ + = α ⋅ ⇒ α ⋅ + α ⋅ = α ⋅

Προσθέτοντας το ( 0)−α που είναι το συμμετρικό του 0α ως προς την εσωτερική πράξη του V, έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 ( 0) 0 0 0 0 0 0α + α + −α = α + −α ⇒α + α + −α = ⇒α + = ⇒α =

2. Επειδή το e είναι το ουδέτερο στοιχείο του F ως προς την πρώτη εσωτερική πράξη, θα έχουμε: e e e e e v e v e v e v e v∗ = ⇒ ∗ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅( ) Προσθέτοντας το −ev , (συμμετρικό του e v⋅ ως προς την εσωτερική πράξη του V), και στα δυο μέλη, έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( )e v e v e v e v e v e v e v e v 0⋅ + ⋅ + − ⋅ = ⋅ + − ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⇒

e v e v⋅ + = ⇒ ⋅ =0 0 0 3. Έστω v 0α⋅ = και α≠e. Τότε υπάρχει α-1 τέτοιο ώστε 1 1−α α =

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

- 21 -

Άρα ( ) ( )1 1 1v 1 v v v 0 0 v 0− − −= ⋅ = α α ⋅ = α ⋅ α ⋅ = α ⋅ = ⇒ =

αν α=e τότε προφανώς v e v 0α⋅ = ⋅ = . 4. Έχουμε: ( )( ) ( )0 v ( v) 0 0 v v v v= + − ⇒ = α ⋅ = α + − = α ⋅ + α ⋅ −

Προσθέτουμε και στα δυο μέλη το v−α ⋅ ( )( v) 0 ( v) v ( v) v ( v)−α⋅ + = −α⋅ + α⋅ + α − ⇒−α⋅ = α −

επίσης έχουμε: ( )e ( ) 0 e v ( ) v v ( ) v= α∗ −α ⇒ = ⋅ = α∗ −α ⋅ = α⋅ + −α ⋅

Προσθέτουμε και στα δυο μέλη το ( v)−α⋅

( )( v) 0 ( v) v ( ) v v 0 ( ) v v ( ) v− α ⋅ + = − α ⋅ + α ⋅ + −α ⋅ ⇒ −α ⋅ = + −α ⋅ ⇒ −α ⋅ = −α ⋅ Άρα

( ) v ( v) v−α ⋅ = α − = −α⋅ Παράδειγμα 1: Το σύνολο R3 των διανυσμάτων του τρισδιάστατου πραγματικού χώρου με εσωτερική πράξη την πρόσθεση των διανυσμάτων, που ορίζεται με τον κανόνα του παραλληλογράμμου και με εξωτερική πράξη τον πολλαπλασιασμό διανύσματος επί αριθμό, είναι ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος R. Παράδειγμα 2: Αν στο καρτεσιανό γινόμενο R R Rn

n

= × ×... όπου R οι πραγματικοί

αριθμοί, ορίσουμε σαν εσωτερική πράξη μεταξύ δυο τυχόντων στοιχείων: (x1,x2,…,xn) και (y1,y2,…,yn) το άθροισμα (x1+y1,x2+y2,…,xn+yn) και σαν εξωτερική πράξη το γινόμενο ενός αριθμού λ∈R επί το στοιχείο (x1,x2,…,xn) του Rn, δηλαδή (λx1,λx2,…,λxn), τότε το σύνολο Rn με τις δυο αυτές πράξεις αποτελεί διανυσματικό χώρο επί του σώματος R. Είναι εύκολο να δούμε ότι το στοιχείο (0,0,…,0) είναι το ουδέτερο στοιχείο της εσωτερικής πράξης και ότι το (-x1,-x2,…,-xn) είναι το αντίθετο στοιχείο του (x1,x2,…,xn). Με παρόμοιο τρόπο και το Cn γίνεται διανυσματικός χώρος επί του σώματος C. Παράδειγμα 3: Το σύνολο V των πολυωνύμων α0+α1x+…+αnxn, n βαθμού με συντελεστές αi, i=0,1,…,n από ένα σώμα F αποτελεί διανυσματικό χώρο επί του σώματος F με εσωτερική πράξη την πρόσθεση των πολυωνύμων και εξωτερική πράξη τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμου με ένα στοιχείο του σώματος F. Παράδειγμα 4: Ας θεωρήσουμε το σύνολο V f / f : ( , ) R= α β → των πραγματικών

συναρτήσεων που ορίζονται στο, (πεπερασμένο ή άπειρο), διάστημα (α,β). Στο σύνολο αυτό ορίζουμε σαν εσωτερική πράξη το άθροισμα των συναρτήσεων και σαν εξωτερική πράξη τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού επί μια συνάρτηση. Μ’ αυτές τις πράξεις το σύνολο V γίνεται διανυσματικός χώρος επί του σώματος R.


- 22 -

Παράδειγμα 5: Έστω L f / f : ( , ) R= α β → με την ιδιότητα 2f (x) dxβ

α

< ∞∫ το σύνολο

των τετραγωνικά ολοκληρωσίμων κατά Lebesque πραγματικών συναρτήσεων. Αν ορίσουμε σαν εσωτερική και εξωτερική πράξη όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, τότε το σύνολο L αποτελεί διανυσματικό χώρο επί του σώματος R, και παρίσταται με το σύμβολο L2(α,β). Οι διανυσματικοί χώροι με στοιχεία συναρτήσεις ονομάζονται συναρτησιακοί χώροι, (function spaces). Παράδειγμα 6: Αν F είναι σώμα, τότε το σύνολο V=Fn είναι διανυσματικός χώρος επί του σώματος F με εσωτερική πράξη: ( ) ( ) ( )v u v v v u u u v u v u v un n n n+ = + = + + +1 2 1 2 1 1 2 2, , . . . , , , . . . , , , . . . ,

όπου vi,ui∈F i=1,…,n Στα επόμενα τα στοιχεία ενός διανυσματικού χώρου θα τα συμβολίζουμε με έντονα γράμματα π.χ. v, u, κ.λ.π. 2.2 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΥΠΟΧΩΡΟΣ

Ένα μη κενό υποσύνολο W ενός διανυσματικού χώρου V επί του σώματος F ονομάζεται διανυσματικός υπόχωρος του V, (ή απλώς υπόχωρος), (vector subspace), αν από μόνο του το W με τις ίδιες πράξεις είναι διανυσματικός χώρος. Αποδεικνύεται ότι το W είναι διανυσματικός υπόχωρος αν είναι κλειστό ως προς τις δυο πράξεις: α) (∀v,u∈W)[v+u∈W] β) (∀α∈F) (∀v∈W)[α⋅v∈W] Οι σχέσεις α) και β) διατυπώνονται κατά ενιαίο τρόπο από την σχέση: (∀α, β∈F) (∀v,u∈W)[αv+βu∈W] (1) Απόδειξη: Αν το W είναι διανυσματικός υπόχωρος τότε προφανώς ισχύει η σχέση (1). Αντιστρόφως: Υποθέτουμε ότι ισχύει η (1), τότε επειδή W⊂V ισχύουν όλες οι ιδιότητες οι σχετικές με τον ορισμό του διανυσματικού χώρου εκτός του ότι: α) η πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός δίνουν στοιχεία τα οποία ανήκουν στον W β) το ουδέτερο και το συμμετρικό κάθε στοιχείου του W ανήκουν επίσης στον W. Πράγματι: α) αν α=β=1 ⇒ v+u∈W αν β=0 ή u=0 τότε αv∈W β) αν α =1, β=-1 και v=u τότε αv+βu=v-v=0∈W και τέλος αν α=-1 και u=0 τότε -v∈W


- 23 -

Παράδειγμα 1: Έστω V ο διανυσματικός χώρος R3 και W το σύνολο των διανυσμάτων των οποίων η τρίτη συνιστώσα είναι μηδέν, (προφανώς τα διανύσματα του W κείνται στο επίπεδο XOY), δηλ. W= (x,y,0) / x, y ∈R . Τότε το W είναι ένας διανυσματικός υπόχωρος του V. Παράδειγμα 2: Αν V είναι ο διανυσματικός χώρος των τετραγωνικών n×n πινάκων επί του σώματος R, τότε το σύνολο W των πινάκων Α=(αij) με αij=αji, (συμμετρικοί πίνακες), είναι ένας υπόχωρος του V. Παράδειγμα 3: Έστω V ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων βαθμού n. Τότε το σύνολο W των πολυωνύμων βαθμού k<n είναι υπόχωρος του V. Παράδειγμα 4: Θεωρούμε το ομογενές γραμμικό σύστημα m εξισώσεων με n αγνώστους x1,…,xn από το σώμα F=R ή C: α11x1+ α12x2+⋅⋅⋅+ α1nxn=0 α12x1+ α22x2+⋅⋅⋅+ α2nxn=0 ............................................ αm1x1+ αm2x2+⋅⋅⋅+ αmnxn=0 Το σύνολο W των λύσεων αποτελεί ένα διανυσματικό υπόχωρο του διανυσματικού χώρου V=Fn. Απόδειξη: Κατ’ αρχάς W≠∅ διότι 0=(0,0,…,0)∈W επειδή είναι η τετριμμένη μηδενική λύση. Τώρα θα αποδείξουμε ότι αν u=(u1,…,un) και v=(v1,…,vn) ανήκουν στο σύνολο W, δηλ. αi1u1+ αi2u2+⋅⋅⋅+ αinun=0 αi1v1+ αi2v2+⋅⋅⋅+ αinvn=0 για i=1,2,…m και α,β∈F τότε και το αu+βv∈W. Πράγματι αu+βv=(αu1+βv1, αu2+βv2,…, αun+βvn) και για i=1,2,…,m έχουμε:

αi1(αu1+βv1)+ αi2(αu2+βv2)+⋅⋅⋅+ αin(αun+βvn)= α(αi1u1+ αi2u2+⋅⋅⋅+ αinun)+β(αi1v1+ αi2v2+⋅⋅⋅+ αinvn)=α0+β0=0

Άρα το αu+βv είναι λύση του συστήματος, δηλ. ανήκει στο W και επομένως το W είναι υπόχωρος του Fn. 2.3 ΑΛΓΕΒΡΑ

Σ’ ένα διανυσματικό χώρο (V,F,+,⋅) θεωρούμε μια δεύτερη πράξη εσωτερικής

σύνθεσης, που την συμβολίζουμε με δηλ.: : V × →V V Αν η εσωτερική αυτή πράξη έχει τις εξής ιδιότητες: 1. ( )[ ]∀ ∈ + = +v u w v u w v u v w, , ( )V επιμεριστική εξ' αριστερών


- 24 -

2. ( )[ ]∀ ∈ + = +v u w u w v u v w v, , ( )V επιμεριστική εκ δεξιών

3. ( )( )[ ], V F ( ˆ ) ( ) ˆ ˆ ( )∀ ∈ ∀λ∈ λ ⋅ = λ ⋅ = λ ⋅u v v u v u v u

Τότε ο διανυσματικός χώρος V ονομάζεται άλγεβρα επί του σώματος F, (algebra over the field F). Από τις επί πλέον ιδιότητες που μπορεί να έχει η δεύτερη πράξη, χαρακτηρίζεται και η άλγεβρα, π.χ. α) ( ) ( )v u w v u w= Προσεταιριστική Ιδιότητα → Προσεταιριστική Άλγεβρα β) v u u v= Αντιμεταθετική ιδιότητα → Αντιμεταθετική Άλγεβρα γ) ( )( )[ ]∃ ∈ ∀ ∈ = =1 v 1 v v 1 vV V Ύπαρξη ουδετέρου στοιχείου → Άλγεβρα με ουδέτερο στοιχείο. Παράδειγμα 1: Το σύνολο των τετραγωνικών πινάκων n×n με πραγματικά στοιχεία, σχηματίζει έναν διανυσματικό χώρο με πράξεις την πρόσθεση των πινάκων και τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό. Ο διανυσματικός αυτός χώρος μαζί με τον πολλαπλασιασμό των πινάκων, εύκολα μπορούμε να δούμε ότι αποτελεί άλγεβρα, η οποία είναι προσεταιριστική και έχει ουδέτερο στοιχείο, που είναι ο ταυτοτικός πίνακας. 2.4 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ

Έστω V διανυσματικός χώρος επί του σώματος F και έστω v1,v2,…,vm∈V. Κάθε διάνυσμα του V της μορφής: w=α1v1+α2v2+…+αmvm όπου αi∈F ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός, (linear combination), των διανυσμάτων v1,v2,…,vm. Θεώρημα 1: Αν S⊂V με S≠∅ και V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F, τότε το σύνολο:

L(S)=m

i i ii 1

/ F, S=

⎧ ⎫α α ∈ ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭∑ v vi

όλων των γραμμικών συνδυασμών των διανυσμάτων του S, είναι ένας υπόχωρος του V. Για κάθε δε άλλον υπόχωρο W του V, που περιέχει το S, τότε L(S)⊂W, δηλ. το L(S) είναι ο μικρότερος υπόχωρος του V, που περιέχει το S. Γι’ αυτό το L(S) ονομάζεται υπόχωρος που γεννάται από το S και τα στοιχεία του S ονομάζονται γεννήτορες, (generators). Επίσης λέμε ότι το S αποτελεί ένα σύστημα γεννητόρων του υποχώρου L(S). Απόδειξη: Εάν vi∈S, τότε 1vi=vi∈L(S), άρα το S είναι ένα υποσύνολο του L(S). Για να αποδείξουμε τώρα ότι το σύνολο L(S) είναι διανυσματικός υπόχωρος του V, θεωρούμε δυο διανύσματα u, w∈L(S) και θα αποδείξουμε ότι ένας τυχαίος γραμμικός συνδυασμός τους ανήκει στο L(S). Έστω u=α1v1+⋅⋅⋅+αnvn∈L(S) και w=β1v1+⋅⋅⋅+βnvn∈L(S) τότε λu+μw=(λα1+μβ1)v1+⋅⋅⋅+(λαn+μβn)vn∈L(S)


- 25 -

εφ' όσον το διάνυσμα λu+μw είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων vi . Άρα το σύνολο L(S) είναι ένας διανυσματικός υπόχωρος του V.

Στη συνέχεια ας υποθέσουμε ότι ο W είναι ένας διανυσματικός υπόχωρος του V που περιέχει το σύνολο S, δηλ. S⊂W. Εάν θεωρήσουμε τα διανύσματα v1,v2,⋅⋅⋅,vm του S, τότε τα διανύσματα αυτά ανήκουν και στον W, ο οποίος, επειδή είναι διαν. υπόχωρος, θα περιέχει και όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς αυτών, δηλ. c1v1+⋅⋅⋅+cmvm άρα L(S)⊂W. Παράδειγμα 1: Αν V=R3 και S=v1,v2, όπου τα διανύσματα v1, v2 κείνται στο επίπεδο XOY, τότε το L(S)=R2, συγκεκριμένα είναι ο διανυσματικός υπόχωρος που αποτελείται από το επίπεδο XOY. 2.5 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΕΥΘΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΥΠΟΧΩΡΩΝ

Έστω U και W δυο υπόχωροι ενός διανυσματικού χώρου V επί του σώματος F.

Ορισμός 1: Το σύνολο U+W= v=u+w / u∈U, w∈W ορίζεται σαν άθροισμα, (sum), των U και W4. Θεώρημα 1: Το σύνολο U+W είναι επίσης ένας υπόχωρος του V. Απόδειξη: Επειδή 0∈U και 0∈W τότε 0=0+0∈U+W. Εάν υποθέσουμε ότι v=u+w∈U+W και v′=u′+w′∈U+W με u, u′∈U και w, w′∈W, τότε

λv+μv′=λ(u+w)+μ(u′+w′)=(λu+μu′)+(λw+μw′)∈U+W Ορισμός 2: Ο διανυσματικός χώρος V θα λέγεται ευθύ άθροισμα, (direct sum), των U και W και θα συμβολίζεται V=U⊕W αν κάθε διάνυσμα v∈V μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο σαν v=u+w, όπου u∈U και w∈W. Ο διανυσματικός υπόχωρος U θα λέγεται συμπληρωματικός του W υπόχωρος και ο W συμπληρωματικός του U υπόχωρος. Θεώρημα 2: Ο διαν. χώρος V είναι ευθύ άθροισμα των υποχώρων U και W αν και μόνο αν: α) V=U+W β) U∩W=0, 0=μηδενικό διάνυσμα Απόδειξη: Έστω ότι V=U⊕W τότε κάθε διάνυσμα v∈V μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο υπο την μορφή: v=u+w, όπου u∈U και w∈W. Επομένως V=U+W. Υποθέτουμε τώρα ότι v∈U∩W, τότε:

i) v∈U ⇒ v=v+0 όπου v∈U και 0∈W και ii) v∈W ⇒ v=0+v όπου 0∈U και v∈W

Επειδή ένα τέτοιο άθροισμα για το v πρέπει να είναι μοναδικό καταλήγουμε στο ότι v=0. Άρα U∩W=0.

4 Ο αναγνώστης πρέπει να προσέξει την διαφορά μεταξύ των συνόλων U+W και U∪W.


- 26 -

Αντιστρόφως, ας υποθέσουμε ότι V=U+W και U∩W=0. ΄Εστω v∈V. Επειδή V=U+W, υπάρχουν διανύσματα u∈U και w∈W τέτοια ώστε v=u+w. Το μόνο που χρειαζόμαστε τώρα είναι να δείξουμε ότι ένα τέτοιο άθροισμα είναι μοναδικό. Ας υποθέσουμε ότι v=u′+w′ όπου u′∈U, w′∈W. Τότε:

u+w=u′+w′ ⇒ u-u′=w-w′ αλλά u-u′∈U και w-w′∈W και επειδή U∩W=0 θα έχουμε: u-u′=0, w-w′=0 ⇒ u=u′, w=w′ Επομένως ένα τέτοιο άθροισμα για το v είναι μοναδικό και τελικά V=U⊕W. Παράδειγμα 1: Έστω V=R3, U το επίπεδο XOY και W το επίπεδο YOZ: ( ) U , ,0 / , R= α β α β∈ και ( ) W 0, , / , R= β γ β γ∈

Τότε R3=U+W εφ’ όσον κάθε διάνυσμα του R3 μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα ενός διανύσματος του U και ενός διανύσματος του W. Όμως το R3 δεν είναι ευθύ άθροισμα των U και W εφ’ όσον τέτοια αθροίσματα δεν είναι μοναδικά, π.χ. (3,5,7)=(3,1,0)+(0,4,7) όπως (3,5,7)=(3,-4,0)+(0,9,7). (Αλλά και U∩W= άξονας OY⊃0. Πιο γενικά μπορούμε να γράψουμε (α,β,γ)=(α,β1+β2,γ)=(α,β1,0)+(0,β2,γ) όπου (α,β1,0)∈U και (0,β2,γ)∈W. Παράδειγμα 2: Στο προηγούμενο παράδειγμα, αν U είναι το επίπεδο XOY και W o άξονας ΟΖ, δηλ. ( ) U , ,0 / , R= α β α β∈ και ( ) W 0,0, / R= γ γ∈

τότε κάθε διάνυσμα (α,β,γ)∈R3 μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα ενός διανύσματος του U και ενός διανύσματος του W κατά μοναδικό τρόπο: (α,β,γ)=(α,β,0)+(0,0,γ) Επομένως το R3 είναι ευθύ άθροισμα των U και W: R3=U⊕W , (U∩W=0) 2.6 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΚΑΙ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Έστω V διαν. χώρος επί του σώματος F. Τα μη μηδενικά διανύσματα v1,v2,…,vm∈V λέγονται γραμμικά εξαρτημένα, (linear depentend), αν υπάρχουν αριθμοί αi i=1,2,.…m από το σώμα F, όχι όλοι μηδέν, (τουλάχιστον δυο από τους αi πρέπει να είναι ≠0), τέτοιοι ώστε: α1v1+ α2v2+…+ αmvm=0 Σε αντίθετη περίπτωση τα διανύσματα λέγονται γραμμικά ανεξάρτητα, (linear indepentend), δηλ. όταν η σχέση: α1v1+ α2v2+…+ αmvm=0 συνεπάγεται την σχέση: α1=0, α2=0,…,αm=0 Παρατήρηση 1: Αν ένα από τα διανύσματα v1,v2,…,vm είναι το μηδενικό διάνυσμα, έστω το v1=0, τότε τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα διότι ισχύει: 1v1+0v2+…+0vm=10+0+…+0=0


- 27 -

και ο συντελεστής του v1 είναι ≠0. Επίσης κάθε μη μηδενικό διάνυσμα v είναι από μόνο του γραμμικά ανεξάρτητο διότι: αv=0 με v≠0 ⇒ α=0 Θεώρημα 1: Τα μη μηδενικά διανύσματα v1,v2,…,vm είναι γραμμικά εξαρτημένα αν και μόνο αν ένα από αυτά, έστω το vi είναι γραμμικός συνδυασμός των προηγουμένων vi=α1v1+…+αi-1vi-1. Απόδειξη: Έστω vi=α1v1+…+αi-1vi-1, τότε α1v1+…+αi-1vi-1-vi+0vi+1+…+0vm=0 και ο συντελεστής του vi είναι διάφορος του μηδενός. Άρα τα vi i=1,…,m είναι γραμμικώς εξαρτημένα. Αντιστρόφως: Υποθέτουμε ότι τα vi, i=1,…,m είναι γραμμικά εξαρτημένα. Τότε υπάρχουν αριθμοί α1,α2…,αm όχι όλοι μηδέν ώστε: α1v1+…+αmvm=0 Έστω k ο μεγαλύτερος ακέραιος, τέτοιος ώστε αk≠0. Τότε: α1v1 +…+αkvk+0vk+1+…+0vm=0 ή α1v1+…+αkvk=0 Αν k=1, τότε α1v1=0 με α1≠0 ⇒ v1=0 αλλά τα vi≠0, i=1,…,m. Επομένως k>1 και vk=-αk

-1α1v1-…-αk-1αk-1vk-1vk-1 δηλαδή το vk είναι γραμμικός συνδυασμός των

προηγουμένων διανυσμάτων. Παράδειγμα 1: Έστω ο διανυσματικός χώρος V=R2 επί του σώματος R. Δύο διανύσματα v1 και v2 που δεν είναι συνευθειακά, Σχ. 1, είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Πράγματι η σχέση α1v1+α2v2=0 είναι δυνατή μόνο αν α1=α2=0 διότι διαφορετικά μεταφέροντας το α2v2 στο δεύτερο μέλος θα έχουμε α1v1=-α2v2 δηλ. τα διανύσματα α1v1 και α2v2 θα έπρεπε να είναι αντίθετα και επομένως να έχουν την ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά. Αυτό όμως είναι αδύνατο γιατί το α1v1 έχει την διεύθυνση του v1 και το α2v2 την διεύθυνση του v2. Στον χώρο R2 τρία οποιαδήποτε διανύσματα v1, v2, v3 είναι γραμμικά εξαρτημένα, διότι μπορούμε να βρούμε μη μηδενικούς αριθμούς α1, α2, α3 τέτοιους ώστε να ισχύει:

v1

v2

y

O x Σχ. 1


- 28 -

α1v1+ α2v2+ α3v3 =0 (1) Οι αριθμοί α1, α2, α3 βρίσκονται ως εξής: Αναλύουμε το διάνυσμα -v3 σε δυο συνιστώσες σ1 και σ2 που να έχουν αντίστοιχα την διεύθυνση των v1 και v2, Σχ.2. Τότε:

-v3=σ1+σ2= 1 21 2

1 2

σ − σv vv v

ή 1 21 2 3

1 2

0σ σ

− + =v v vv v

Συγκρίνοντας με την (1) έχουμε:

11

1

σα =

v , 2

22v

σα = − , α3=1.

Πολλαπλασιάζοντας τις τιμές αυτές επί οποιαδήποτε σταθερά k, μπορούμε να βρούμε άπειρες τριάδες τιμών των α1, α2, α3 . Άρα στον χώρο R2 τρία ή περισσότερα διανύσματα είναι πάντα γραμμικά εξαρτημένα. Παράδειγμα 2: Τα διανύσματα v1=(1,-1,0), v2=(1,3,-1) και v3=(5,3,-2) είναι γραμμικά εξαρτημένα. Απόδειξη: Έστω α1v1+ α2v2+ α3v3 =0 ⇒ (α1,-α1,0)+(α2,3α2,-α2)+(5α3,3α3,-2α3)=(0,0,0) ⇒

α1 + α2 + 5α3=0 -α1 +3α2+ 3α3=0 (1) 0α1 - α2 - 2α3=0 η ορίζουσα του ομογενούς συστήματος (1) είναι:

1 1 53 3 1 3 1 3

1 3 3 1 1 5 ( 6 3) (2) 5(1) 3 2 5 01 2 0 2 0 1

0 1 2

− −− = − + = − + − + = − − + =

− − − −− −

επομένως υπάρχουν λύσεις διάφορες της μηδενικής και μια από αυτές είναι α1=3, α2=2, α3=-1 (Παρατηρείστε ότι οι στήλες της ορίζουσας είναι τα διανύσματα v1, v2, v3 γραμμένα υπο μορφή στηλών). Παράδειγμα 3: Τα διανύσματα v1=(6,2,3,4) , v2=(0,5,-3,1) και v3=(0,0,7,-2) είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Απόδειξη: Έστω α1v1+ α2v2+ α3v3 =0 ⇒

(6α1,2α1,3α1,4α1)+(0,5α2,-3α2,α2)+(0,0,7α3,-2α3,= (0,0,0,0) ⇒ 6α1=0, 2α1+5α2=0, 3α1-3α2+7α3=0, 4α1+α2-2α3=0 ⇒ α1=α2=α3=0 Άρα τα διανύσματα v1, v2, v3 είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

v3

v2

-v3σ1

σ2

v1

x

y

Σχ. 2


- 29 -

2.7 ΓΕΝΝΗΤΟΡΕΣ ΕΝΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ

Ορισμός 1: Έστω ένας διανυσματικός χώρος V επί του σώματος F και τα διανύσματα v1, v2,…,vk∈V. Θα λέμε ότι τα διανύσματα v1, v2, …,vk αποτελούν ένα σύστημα γεννητόρων ή ότι γεννούν τον χώρο, ή παράγουν τον χώρο V, (span the space), όταν κάθε διάνυσμα u∈V μπορεί να γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός των vi, i=1,…,k, δηλαδή: u=α1v1+ α2v2+ . . . + αkvk

Θεώρημα 1: Έστω ότι τα διανύσματα v1, v2, . . ., vm γεννούν τον διανυσματικό χώρο V. Να δειχθεί ότι: 1) Αν w∈V, τότε το σύνολο w, v1, v2, . . ., vm είναι γραμμικά εξαρτημένο και γεννά τον V. 2) Αν το vi είναι γραμμικός συνδυασμός των προηγουμένων διανυσμάτων, τότε το σύνολο v1, . . ., vi-1 , vi+1, . . ., vm γεννά τον χώρο V. Απόδειξη: 1) Εάν w∈V, τότε το w είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των vj αφού τα vj γεννούν τον V, δηλ. w=α1v1+α2v2+⋅⋅⋅+αnvn ⇒ α1v1+α2v2+⋅⋅⋅+αnvn-w=0 με κάποιους συντελεστές αi διάφοροι του μηδενός. Επομένως τα w, v1, v2, …, vm είναι γραμμικά εξαρτημένα. Προφανώς το w με τα vj γεννούν τον V αφού τα vj γεννούν από μόνα τους τον V. Δηλαδή τα w, v1, v2, …, vm γεννούν τον V. 2) Έστω vi=k1v1+…+ki-1vi-1 και u∈V. Επειδή τα vj γεννούν τον V, το u είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των vj: u=α1v1+…+αivi+⋅⋅⋅+αmvm και αντικαθιστώντας το vi έχουμε: u=α1v1+…+ αi-1vi-1+αi(k1v1+…+ki-1vi-1)+ αi+1vi+1+…+ αmvm= =(α1+αik1)v1+…+(αi-1+αiki-1)vi-1+α1+1vi+1+…+αmvm Έτσι τα v1, …, vi-1, vi+1, …, vm γεννούν τον V, με άλλα λόγια μπορούμε να παραλείψουμε το vi από ένα σύστημα γεννητόρων και να προκύψει πάλι ένα σύστημα γεννητόρων. 2.8 ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ

Ορισμός 1: Τα διανύσματα v1, v2, . . ., vn, ∈V θα λέμε ότι αποτελούν μια βάση, (base), του διανυσματικού χώρου V αν είναι συγχρόνως γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν σύστημα γεννητόρων. Εύκολα μπορεί να διαπιστώσει κανείς ότι η ανάπτυξη ενός διανύσματος ως προς μια βάση είναι μοναδική. Αυτό προέρχεται από το γεγονός ότι η βάση αποτελείται από ανεξάρτητα διανύσματα. Πράγματι, έστω ότι το διάνυσμα u έχει δυο διαφορετικές αναπτύξεις ως προς την βάση v1, v2, . . .,vn, δηλ.: u=α1v1+⋅⋅⋅+ αnvn και u=β1v1+⋅⋅⋅+ βnvn

Αφαιρώντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις έχουμε: 0=(α1-β1)v1+⋅⋅⋅+(αn-βn) vn ⇒ α1=β1,⋅⋅⋅, αn=βn


- 30 -

επειδή τα διανύσματα v1, v2, . . .,vn είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Θεώρημα 1: Αν V διανυσματικός χώρος επί του σώματος F και αν v1, . . ., vm είναι οποιοδήποτε σύνολο από γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, τότε μπορούμε να βρούμε διανύσματα vm+1, . . ., vm+p έτσι ώστε τα διανύσματα v1, . . ., vm, vm+1, . . ., vm+p να αποτελούν μια βάση, (εκτός αν τα v1, . . ., vm σχηματίζουν ήδη μια βάση). Δηλαδή κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο μπορεί να επεκταθεί σε βάση. Απόδειξη: Έστω μια βάση e1, . . ., en του διανυσματικού χώρου V. Θεωρούμε το σύνολο S των διανυσμάτων: S=v1, . . ., vm, e1, . . ., en το οποίο βάσει του προηγουμένου θεωρήματος 1, παρ. 2.7 είναι γραμμικά εξαρτημένο, διότι τα διανύσματα e1, . . ., en σαν βάση, αποτελούν σύστημα γεννητόρων. Επομένως ένα τουλάχιστον διάνυσμα του S είναι γραμμικός συνδυασμός των προηγουμένων, (θεώρημα 1, παρ. 2.6). Το διάνυσμα αυτό δεν μπορεί να είναι ένα από τα v1, . . ., vm διότι τα v1, . . ., vm είναι γραμμικά ανεξάρτητα και άρα θα είναι κάποιο από τα e1, . . ., en έστω το ei, 1≤i≤n. Θεωρούμε τώρα το σύνολο S΄ S΄= v1, . . ., vm, e1, . . ., ei-1, ei+1, . . ., en που βάσει του θεωρήματος 1, παρ. 2.7 εξακολουθεί να είναι σύστημα γεννητόρων. Αν τώρα το S΄ είναι και γραμμικά ανεξάρτητο, το θεώρημα αποδείχθηκε. Διαφορετικά εφαρμόζουμε την ίδια διαδικασία έως ότου καταλήξουμε σ’ ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων, που θα περιέχει τα v1, . . ., vm και που θα είναι και σύστημα γεννητόρων και επομένως θα αποτελεί βάση. Θεώρημα 2: Το πλήθος των στοιχείων οποιασδήποτε βάσης ενός διανυσματικού χώρου V είναι το ίδιο για όλες τις βάσεις. Απόδειξη: Έστω U=v1,v2, . . ., vn και W= w1, w2, . . ., wm δυο πεπερασμένα σύνολα διανυσμάτων του διαν. χώρου V που το καθένα έχει μια από τις δυο χαρακτηριστικές ιδιότητες της βάσης, δηλ. δεχόμαστε ότι το U είναι σύστημα γεννητόρων αλλά όχι γραμμικά ανεξάρτητο και ότι το σύνολο W είναι γραμμικά ανεξάρτητο αλλά όχι σύστημα γεννητόρων. Θεωρούμε το σύνολο: S= wm, v1, v2, . . ., vn Αφού τα v1,v2, . . ., vn είναι γεννήτορες του διαν. χώρου V, σύμφωνα με το θεώρημα 1, παρ. 2.7, το S είναι γραμμικά εξαρτημένο και επομένως θα υπάρχει κάποιο vi του S που είναι γραμμικός συνδυασμός των προηγουμένων και το οποίο μπορούμε να παραλείψουμε δημιουργώντας το σύνολο: S΄= wm,v1, . . ., vi-1, vi+1, . . ., vn Στη συνέχεια θεωρούμε το σύνολο:

S1′= wm-1,wm,v1, . . ., vi-1, vi+1, . . ., vn και εφαρμόζουμε την ίδια διαδικασία όπου κάθε φορά που προσθέτουμε ένα wi αφαιρούμε συγχρόνως κάποιο vi. Συνεχίζοντας μ’ αυτό τον τρόπο καταλήγουμε στις εξής δυο δυνατές περιπτώσεις:


- 31 -

α) Τα wi να έχουν προστεθεί όλα στο τελικό S΄k . Στην περίπτωση αυτή έχουμε δυο υποπεριπτώσεις για τα vi: α1) Να μην υπάρχουν στο τελικό S΄k που σημαίνει m=n α2) Να έχουν απομείνει μερικά vi που σημαίνει m<n β) Τα wi να μην έχουν προστεθεί όλα στο τελικό S΄k διότι θα έχουν προηγουμένως αφαιρεθεί όλα τα vi από το τελικό S΄k που σημαίνει m>n . Η περίπτωση (β) αποκλείεται διότι τα υπόλοιπα wi που δεν έχουν προστεθεί στο τελικό S΄k, (που αποτελείται μόνο από wi και είναι σύστημα γεννητόρων), θα μπορούσαν να γραφούν σαν γραμμικοί συνδυασμοί των στοιχείων του τελικού S΄k που αποτελείται μόνο από στοιχεία του W. Αυτό σημαίνει ότι το W είναι γραμμικά εξαρτημένο και σύστημα γεννητόρων, που έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση. Επομένως η μόνη δυνατή περίπτωση είναι η (α), δηλ. m≤n . Αν τώρα αλλάξουμε τις ιδιότητες στα σύνολα U και W, δηλ. το U να είναι γραμμικά ανεξάρτητο και όχι σύστημα γεννητόρων και το W να είναι σύστημα γεννητόρων και όχι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε θα καταλήξουμε με ανάλογους συλλογισμούς στο συμπέρασμα m≥n .

Επομένως αν τα U και W είναι βάσεις θα έχουν και τις δυο ιδιότητες και θα ισχύουν συγχρόνως οι σχέσεις m≥n και n≥m, δηλ. θα έχουμε n=m. Άλλος τρόπος: Θεωρούμε την βάση U=v1,v2, ..., vn και μια άλλη βάση W=w1, w2, ... . Εφ’ όσον τα διανύσματα vi γεννούν τον V και είναι n σε πλήθος, το σύνολο W=w1, w2, ... πρέπει να περιέχει n ή λιγότερα διανύσματα, διότι διαφορετικά θα είναι ένα εξαρτημένο σύνολο διανυσμάτων. Από την άλλη πλευρά εάν η βάση W=w1, w2, ... περιέχει λιγότερα από n διανύσματα, τότε το σύνολο U=v1,v2, ..., vn είναι εξαρτημένο. Επομένως η βάση W=w1, w2, ... περιέχει ακριβώς n διανύσματα. Ορισμός 2: Διάσταση, (dimension), ενός διαν. χώρου V ονομάζεται ο πληθυκός αριθμός μιας βάσης, δηλ. ο φυσικός αριθμός που εκφράζει το πλήθος των στοιχείων μιας βάσης, που από το προηγούμενο θεώρημα είναι κοινός για όλες τις βάσεις. Η διάσταση ενός διαν. χώρου θα συμβολίζεται με dimV=n. Ο διαν. χώρος V λέγεται πεπερασμένης διάστασης, (finite dimensions), αν η βάση είναι πεπερασμένο σύνολο n<∞. Αν dimV=∞, τότε ο διαν. χώρος λέγεται απείρων διαστάσεων, (infinite dimensions). Παρατήρηση 1: Ορίζουμε ο διαν. χώρος V=0 να έχει διάσταση 0. Ένας άλλος ισοδύναμος ορισμός της διάστασης ενός διαν. χώρου είναι το ελάχιστο άνω φράγμα των φυσικών αριθμών για τους οποίους υπάρχουν n γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα. Θεώρημα 3: Κάθε σύνολο n+1 διανυσμάτων ενός διαν. χώρου V διάστασης n είναι γραμμικά εξαρτημένο. Ένα σύνολο n διανυσμάτων του V αποτελεί μια βάση αν και μόνο αν είναι γραμμικά ανεξάρτητο ή διαφορετικά αν και μόνο αν κάθε διάνυσμα του V είναι ένας γραμμικός συνδυασμός του συνόλου.


- 32 -

Τα συμπεράσματα των τριών αυτών θεωρημάτων με λίγα λόγια είναι: 1. Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων είναι μέρος μιας βάσης, το

οποίο μπορεί να επεκταθεί σε μια βάση. 2. Ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο με n στοιχεία αποτελεί βάση. 3. Κάθε σύνολο n+1 ή περισσοτέρων διανυσμάτων είναι γραμμικά εξαρτημένο σε

διαν. χώρο n διαστάσεων. 2.9 ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ

Τα επόμενα θεωρήματα συνδέουν την διάσταση ενός διαν. χώρου με την διάσταση ενός διαν. υποχώρου. Θεώρημα 1: Αν W είναι ένας υπόχωρος ενός διαν. χώρου V διαστάσεων n, dimV=n, τότε dimW≤n. Συγκεκριμένα αν dimW=n, τότε W=V. Απόδειξη: Εφ' όσον dimV=n κάθε σύνολο n+1 ή περισσοτέρων διανυσμάτων είναι γραμμικά εξαρτημένο. Επομένως μια βάση του W δεν μπορεί να περιέχει περισσότερα από n+1 διανύμστα. Άρα dimW≤n. Συγκεκριμένα εάν w1, w2, ⋅⋅⋅, wn είναι μια βάση του W, τότε εφ' οσον είναι ένα ανεξάρτητο σύνολο με n στοιχεία θα είναι επίσης μια βάση του V. Άρα W=V όταν dimW=n. Θεώρημα 2: Αν U και W δυο υπόχωροι ενός διαν. χώρου V με dimV=n, τότε: dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U∩W). Παρατήρηση 1: Αν ο V είναι ευθύ άθροισμα των U και W, δηλ. V=U⊕W, τότε: dimV=dimU+dimW. 2.10 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

Η δομή του διανυσματικού χώρου με τις δυο πράξεις, (την εσωτερική και εξωτερική), δεν περιέχει τις έννοιες του μήκους ενός διανύσματος και της γωνίας δυο διανυσμάτων. Οι έννοιες αυτές εισάγονται με μια νέα πράξη, (εξωτερική β′ είδους), στον διαν. χώρο, που ονομάζεται εσωτερικό γινόμενο. Πριν δώσουμε τον ακριβή ορισμό του εσωτερικού γινομένου, θ’ αναφερθούμε στον διαν. χώρο R2 όπου η παρουσίαση της γνωστής έννοιας του εσωτερικού γινομένου θα μας βοηθήσει να καταλάβουμε καλύτερα την γενίκευση των εννοιών του μέτρου ενός διανύσματος και της γωνίας δυο διανυσμάτων σε πιο αφηρημένους χώρους, καθώς επίσης και τον τρόπο με τον οποίο ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο σε διανυσματικούς χώρους., τόσο στους πραγματικούς αριθμούς όσο και στους μιγαδικούς.


- 33 -

Αν v=(v1, v2) και u=(u1, u2) δυο διανύσματα του R2, ο γνωστός τύπος για την απόσταση μεταξύ των περάτων των v και u ή του μήκους του ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει τα πέρατα των v και u είναι:

( ) ( )v u v u1 12

2 22− + −

Η δε απόσταση του v από την αρχή 0=(0,0) είναι: v v12

22+ που θα την συμβολίζουμε με

v v v12

22= +

και όχι με |v| για να γίνεται διαχωρισμός των εννοιών του μέτρου ενός διανύσματος από την απόλυτη τιμή ενός πραγματικού ή μιγαδικού αριθμού. Μ’ αυτόν τον συμβολισμό η απόσταση μεταξύ των v και u γράφεται: v u− .

Αυτά, όπως είναι γνωστό, ισχύουν για τα μήκη και τις αποστάσεις. Τι γίνεται όμως για τις γωνίες; Γενικά είναι πιο εύκολο να έχει κανείς το συνημίτονο μιας γωνίας, παρά ένα από τα γνωστά μέτρα των γωνιών, (μοίρες, ακτίνια, κ.λ.π.). Ο λόγος είναι ότι η γωνία, στην γνωστή εικόνα ενός κύκλου ακτίνας ίσης με την μονάδα, είναι το μήκος ενός κυκλικού τόξου, ενώ το συνημίτονο είναι το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος, που μπορεί να συνδεθεί ευκολότερα με την μελέτη των γραμμικών απεικονίσεων σε διαν. χώρους. Έστω τώρα α η γωνία μεταξύ του διανύσματος v και του θετικού άξονα ΟΧ, και β η γωνία μεταξύ του διανύσματος u και του ιδίου άξονα. Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι α-β και το συνημίτονο της, (από την τριγωνομετρία), είναι: cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ (1) Αλλά v1=OA=ΟΓcosα=||v||cosα u1=OB=OΔcosβ=||u||cosβ v2=ΑΓ=ΟΓsinα=||v||sinα u2=BΔ=ΟΔsinβ=||u||sinβ (2) οπότε η (1) γίνεται:

1 1 2 2v u v ucos( ) +α −β =

v u (3)

Από την έκφραση v1u1+v2u2 μπορούμε να υπολογίζουμε γωνίες και μήκη από απλούς τύπους, γιατί αν για κάθε ζεύγος διανυσμάτων v και u γνωρίζουμε την τιμή της έκφρασης v1u1+v2u2 τότε μπορούμε να υπολογίζουμε όλες τις αποστάσεις και γωνίες. Πράγματι αν πάρουμε v=u τότε η έκφραση v1u1+v2u2 γίνεται: v v v 2

12

22+ =

που μας δίνει το μήκος του v . Ο τύπος (3) μας δίνει την γωνία συναρτήσει της έκφρασης v1u1+v2u2 και των μηκών ||v|| και ||u|| . Για την έκφραση v1u1+v2u2 χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό: (v,u)= v1u1+v2u2

Γv2

Ο

αu2

βΔ

Αv1u1

Β

v

u


- 34 -

Τα παραπάνω μπορούμε να συνοψίσουμε με τις σχέσεις: 1) απόσταση από 0 έως v (ή μέτρο του v) = ( )v v v= ,

2) απόσταση από το v στο u = ||v-u||

3) συνημίτονο της γωνίας μεταξύ v και u ( )

=v uv u

,

Σημαντικές ιδιότητες της έκφρασης (v,u)=v1u1+v2u2 την οποία μπορούμε να θεωρήσουμε σαν αριθμητική συνάρτηση των διανυσμάτων v και u είναι οι εξής: 1. είναι συμμετρική ως προς v και u 2. εξαρτάται γραμμικά από κάθε μεταβλητή, και 3. η τιμή (v,v) είναι πάντα θετική εκτός αν v=0 . Για την τετριμμένη περίπτωση του R, (των πραγματικών αριθμών), όπου v=(v1) και u=(u1) έχουμε (v,u)=v1u1 από το οποίο φαίνεται γιατί το (v,u) είναι γνωστό σαν εσωτερικό γινόμενο, (επειδή συμπίπτει με το γινόμενο των αντιστοίχων πραγματικών αριθμών). Το συνημίτονο της γωνίας θ μεταξύ των διανυσμάτων v και u είναι:

1 1v u( , )cosθ = = =v uv u v u

1 ή -1

και η γωνία θ θα είναι 0 ή π όπως και πράγματι είναι. Ας δούμε τώρα τι συμβαίνει στην περίπτωση του C2 αντί του R2. Μια φυσική γενίκευση θα ήταν αν για v=(v1,v2) και u=(u1,u2), (όπου τώρα τα v1, v2, u1, u2 είναι μιγαδικοί αριθμοί), γράφαμε πάλι ( , )v u = +v u v u1 1 2 2 (4)

Τότε θα έπρεπε οι εκφράσεις v v v= ( , ) και v u− να χρησιμοποιηθούν σαν μέτρα αποστάσεων. Παρατηρούμε όμως το εξής παράξενο i (i ,i ) i( ,i ) i ( , )2 2 2v v v v v v v v= = = = − (*) 3

Αυτό σημαίνει ότι αν το v είναι θετικό, δηλ. αν το v είναι σε θετική απόσταση από την αρχή, τότε το iv δεν είναι, αλλά η απόσταση του από την αρχή είναι φανταστική

||iv||= 2v i v− = . Αυτό το εμπόδιο μας κάνει να τροποποιήσουμε την έκφραση (4) έτσι

ώστε για v=u να μην γίνεται ποτέ αρνητική. Μια τέτοια τροποποίηση θα ήταν: ( , ) * *v u = +v u v u1 1 2 2 (5)

όπου v1 2* *, v συζυγή των v1 και v2 αντίστοιχα. Μ’ αυτό τον ορισμό η έκφραση (v,u) δεν

είναι πλέον εντελώς συμμετρική ούτε και εντελώς γραμμική. Αλλά το γεγονός ότι το

( , ) * *v v = + = +v v v v v v1 1 2 2 12

22

είναι πάντα μη αρνητικό, μας κάνει να δεχθούμε την (5). Για τον τύπο ( , )v uv u

έχουμε να

παρατηρήσουμε ότι δεν μπορεί να σταθεί σαν συνημίτονο, διότι το (v,u) είναι μιγαδικός αριθμός, αλλά το πραγματικό του μέρος μπορεί να θεωρηθεί σαν συνημίτονο. Αυτό 3 Από την γραμμικότητα του εσωτερικού γινομένου (v,u) έχουμε (αv,βu)=αβ(v,u)


- 35 -

μπορούμε να το δούμε στην περίπτωση του C. Έστω v,u∈C με v=v1 +iv2 και u=u1 +iu2 τότε (v,u)=v*⋅u=(v1-iv2) (u1+iu2)=(v1u1+v2u2)+i(v2u1-v1u2)

και ( , )v uv u v u v u

=+

+−v u v u i v u v u1 1 2 2 1 2 2 1

όπου εύκολα αναγνωρίζουμε ότι v u v u1 1 2 2+v u

=cosθ

Δίνουμε τώρα τον γενικό ορισμό του εσωτερικού γινομένου. Ορισμός 1: Έστω V διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Εσωτερικό γινόμενο, (inner product), στον διανυσματικό χώρο V ονομάζεται μια απεικόνιση του V×V→F που συμβολίζεται με ( , )4 με τις εξής ιδιότητες: 1. (∀v,u∈V)[ (v,u)=(u,v)* ] 2. (∀α,β∈F)(∀v,u,w∈V)[ (αv+βu,w)=α*(v,w)+β*(u,w) ] 3. (∀v∈V)[ (v,v)≥0 και (v,v)=0 ⇔ v=0 ] Αν F=R, τότε ο διανυσματικός χώρος V ονομάζεται πραγματικός χώρος εσωτερικού γινομένου ή Ευκλείδειος χώρος, (real inner product vector space). Αν F=C, τότε ο διανυσματικός χώρος V ονομάζεται μιγαδικός χώρος εσωτερικού γινομένου ή Unitary χώρος. (complex inner product vector space). Στους Ευκλείδειους χώρους το συζυγές στις ιδιότητες (1) και (2), δεν προσθέτει τίποτε και μπορεί να αγνοηθεί. Στην περίπτωση αυτή, το εσωτερικό γινόμενο (v,u) μπορεί να χαρακτηρισθεί σαν συμμετρική, διγραμμική και θετικά ορισμένη μορφή, (symmetric bilinear and positive define form). Στους Unitary χώρους η ορολογία γίνεται: ερμιτιανή, συζυγής διγραμμική και θετικά ορισμένη μορφή, (hermitean conjugate bilinear and positive define form) Από την ιδιότητα (3) ορίζουμε σαν μέτρο ή norm ή στάθμη ενός διανύσματος, u και το συμβολίζουμε ||u|| τον θετικό αριθμό που ορίζεται από την σχέση: u u u= ( , ) (1) Στην παράγραφο 2.11 θα δώσουμε πληρέστερα τον ορισμό του μέτρου ενός διανύσματος, δίνοντας την έννοια του σταθμητού και μετρικού χώρου. Θεώρημα 1: Για οποιαδήποτε διανύσματα u,v∈V ισχύει η ανισότητα των Cauchy-Schwarz: ( , )u v u v≤

Απόδειξη: Αν v=0 η ανισότητα ανάγεται στην 0≤0 που ισχύει. Αν v≠0 τότε (v,v)≠0 και

έχει νόημα το διάνυσμα: w u v uv v

v= −( , )( , )

5

4 Άλλος συμβολισμός του εσωτερικού γινομέου, που χρησιμοποιείται ιδιαίτερα στην Κβαντομηχανική, είναι <u|v>.


- 36 -

u

v

w

για το οποίο έχουμε:

*

2*2

22

( , ) ( , ) ( , ) ( , )0 ( , ) , ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , )

⎛ ⎞≤ = − − = − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ = − ⇒ ≤

v u v u v u v uw w u v u v u u u v v uv v v v v v v v

v uv u v u v v u v u u vv v v

Παρατήρηση 1: Η ανισότητα των Cauchy-Schwarz μπορεί να γραφεί και ως εξής:

( )0, ,⎛ ⎞

≤ ⇒ ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

vu u u v uv

και δηλώνει ότι η απόλυτη τιμή της προβολής (u,v0) του διανύσματος u στην διεύθυνση v0 του διανύσματος v είναι μικρότερη ή ίση από το μέτρο του u. Κάτι το προφανές. Παρατήρηση 2 Για Ευκλείδειους διανυσματικούς χώρους μπορούμε από την ανισότητα

των Cauchy-Schwarz να αντιστοιχίσουμε στο πηλίκο ( ),u vu v

το συνημίτονο μιας γωνίας

θ, δηλαδή cosθ= ( ),u vu v

διότι αφ’ ενός ( ),R∈

u vu v

και αφ’ ετέρου ( ),

1≤u vu v

Στους Unitary όμως χώρους, μπορούμε, όπως προαναφέραμε, να αντιστοιχίσουμε μια

γωνία θ στο πραγματικό μέρος του πηλίκου ( , )u vu v

δηλαδή ( , )cos Reθ =u vu v

Παρ’ όλα αυτά η γενίκευση της έννοιας της γωνίας είναι χρήσιμη, διότι σε πολλές περιπτώσεις αυτό που μας ενδιαφέρει δεν είναι τόσο η γωνία μεταξύ δυο διανυσμάτων, όσο το γεγονός αν τα δυο διανύσματα είναι ορθογώνια ή όχι. Η έννοια της ορθογωνιότητας δυο διανυσμάτων, όπως δίνεται στην επόμενη παράγραφο, περιλαμβάνεται και στους Unitary χώρους.

5 Το διάνυσμα ( , )( , )v u vv v

γράφεται ( )0 02( , ) ( , ) , ,( , )

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

v u v u v vv v u v u vv v v vv

και είναι η προβολή

του διανύσματος u στην διεύθυνση του διανύσματος v.


- 37 -

Παράδειγμα 1: Στον διανυσματικό χώρο R3 το γνωστό από την κλασική φυσική εσωτερικό γινόμενο, ορίζεται από την σχέση: (v,u)=v.u=|v||u|cosθ=v1u1+ v2u2+ v3u3 (1) όπου θ η γωνία που σχηματίζουν τα δυο διανύσματα. Εύκολο είναι να δούμε ότι η σχέση (1) ικανοποιεί τις τρεις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου. Η norm ή το μέτρο ενός διανύσματος v του R3 δίνεται από την σχέση:

2 2 21 2 3( , ) v v v= = + +v v v

Το εσωτερικό γινόμενο (1) υπό μορφή πινάκων μπορεί να γραφεί και ως:

( ) ( )1 1

1 2 3 2 1 2 3 2 1 1 2 2 3 3

3 3

1 0 0 u uv , v v 0 1 0 u v , v v u v u v u v u

0 0 1 u u

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Μπορούμε να πούμε ότι το γνωστό εσωτερικό γινόμενο, που ονομάζεται και ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο, ορίζεται από τον ταυτοτικό πίνακα Ι3. Παράδειγμα 2: Στον διανυσματικό χώρο Rn μπορούμε να ορίσουμε ένα εσωτερικό γινόμενο κατ’ αναλογία με το παράδειγμα (1), από την σχέση:

( , ) v u v u v u v u1 1 2 2 n n k kk 1

n

v u = + + ⋅ ⋅ ⋅ + ==∑ (2)

και με norm ή μέτρο του v: v ==∑ vk

2

k 1

n

Εδώ ο πίνακας που αντιστοιχεί στο εσωτερικό γινόμενο είναι ο ταυτοτικός πίνακας Ιn. Παρατήρηση 3: Η σχέση (2) δεν είναι η μοναδική που ορίζει εσωτερικό γινόμενο στο Rn. Διότι αν θεωρήσουμε τον R2 και την σχέση: (v,u)=v1u1-v1u2-v2u1+3v2u2 όπου v=(v1, v2) , u=(u1, u2) (3) τότε η (3) ορίζει εσωτερικό γινόμενο. Πράγματι: 1. (v,u)= v1u1-v1u2-v2u1+3v2u2= u1v1-u1v2-u2v1+3u2v2=(u,v) 2. Αν w=(w1,w2), τότε: (αv+βu,w)= ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2v , v u , u , w ,w v u , v u , w ,wα α + β β = α +β α +β =

=[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2u w v u w v u w 3 v u wα +β − α +β − α +β + α +βv =

= [ ] [ ] ( ) ( )1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2v w v w v w 3v w u w u w u w 3u w , ,α − − + +β = − + = α +βv w u w

3. (v,v)=v12-v1v2-v2v1+3v2

2=v12-2v1v2+v2

2+2v22=[v1-v2]2+2v2

2 ≥0 και (v,v)=0 αν και μόνο αν [v1-v2]2+2v2

2=0 δηλαδή: v1=v2=0 ή v=0 Ο πίνακας που αντιστοιχεί στο εσωτερικό αυτό γινόμενο είναι ένας πίνακας 2×2 και βρίσκεται ως εξής: Κατ’ αρχήν ο πίνακας είναι τύπου 2×2 και έστω ότι είναι:


- 38 -

α γ⎛ ⎞⎜ ⎟β δ⎝ ⎠

τότε το εσωτερικό γινόμενο θα γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 21 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 1 2

u u u, v , v v , v v u u v u u

u u uα +βα γ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

= = = α +β + γ + δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ γ + δβ δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠u v

=αv1u1+βv1u2+γv2u1+δv2u2 αλλά (v,u)=v1u1-v1u2-v2u1+3v2u2 Δια συγκρίσεως των δυο τελευταίων σχέσεων προκύπτει: α=1, β=-1, γ=-1, δ=3 και ο

πίνακας είναι: 1 11 3

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Παρατήρηση 4: Στον διανυσματικό χώρο Rn μπορούμε να έχουμε και το εξής εσωτερικό γινόμενο: (v,u)=v1u1+2v2u2+⋅⋅⋅+nvnun

ή πιο γενικά: (v,u)=p1v1u1+p2v2u2+⋅⋅⋅+pn vnun με pi>0 i=1,2⋅⋅⋅,n

Από τις παρατηρήσεις 2 και 3 προκύπτει ότι στον ίδιο διανυσματικό χώρο V π.χ. στον Rn μπορούμε να έχουμε περισσότερα από ένα εσωτερικά γινόμενα, τα οποία από την σχέση

||v||= ( )v v, οδηγούν σε διαφορετικά μήκη για το ίδιο διάνυσμα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι κάθε νέο εσωτερικό γινόμενο εισάγει νέα μονάδα μέτρησης για τα μήκη του διανύσματος. Παράδειγμα 3: Στον διανυσματικό χώρο Cn ορίζεται εσωτερικό γινόμενο από την σχέση: (v,u)=v1

*u1+v2*u2+ ⋅⋅⋅ +vn

*un Παράδειγμα 4: Έστω V ο διανυσματικός χώρος των τετραγωνικών πινάκων n×n στο σώμα R. Η σχέση (Α,Β)=tr(BtA) όπου Βt ο ανάστροφος του πίνακα Β και tr το ίχνος, (το άθροισμα των διαγωνίων στοιχείων), του πίνακα ΒtA, ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο. Με ανάλογο τρόπο, αν V είναι ο διανυσματικός χώρος των τετραγωνικών πινάκων n×n στο σώμα C, τότε η σχέση (Α,Β)=tr(B+A) με Β+ ο συζυγοανάστροφος του Β, ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο. Παράδειγμα 5: Αν V είναι ο διανυσματικός χώρος των μιγαδικών συνεχών συναρτήσεων στο, (πραγματικό), διάστημα α≤x≤β τότε το ολοκλήρωμα

*(f ,g) f (x) g(x)dxβ

α= ∫ όταν υπάρχει ∀f,g∈V

με f(x)* συζυγή της f(x) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο V. Οι δε συναρτήσεις f λέγονται τετραγωνικά ολοκληρώσιμες, (square integrable) διότι το ολοκλήρωμα:

2(f ,f ) | f (x) | dxβ

α= ∫ υπάρχει.

Παράδειγμα 6: Αν V=R4 του οποίου τα διανύσματα τα συμβολίζουμε με στήλες:


- 39 -

v

v

v

v

v

1

2

3

4

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

u =

u

u

u

u

1

2

3

4

και Μ ο πίνακας: M

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

τότε η σχέση: (v,u)=vtMu=v1u1+v2u2+v3u3-v4u4, (vt είναι η αντίστοιχη γραμμή της στήλης v), ικανοποιεί τις ιδιότητες (1) και (2) του εσωτερικού γινομένου, αλλά όχι την (3), δηλαδή δεν είναι θετικά ορισμένη. Έτσι η σχέση vtMu δεν είναι εσωτερικό γινόμενο, αλλά παίζει σπουδαίο ρόλο στην ειδική θεωρία της σχετικότητας. Ο πίνακας Μ ονομάζεται μετρική Lorenz, (Lorenz metric). 2.11 ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ

Μετά τους ορισμούς του μήκους και της γωνίας, η θεωρία των διανυσματικών χώρων αρχίζει να σχετίζεται περισσότερο με την Φυσική. Μια από τις κεντρικές έννοιες της Μαθηματικής Φυσικής είναι η έννοια του πλήρους και ορθοκανονικού συνόλου διανυσμάτων ή συναρτήσεων. Ορισμός 1: Δυο διανύσματα v, u λέγονται ορθογώνια, (orthogonal), αν και μόνο αν (v,u)=0. Δυο διανύσματα σ’ ένα τρισδιάστατο χώρο είναι ορθογώνια αν η γωνία τους είναι 900. Ο ορισμός μας είναι απλώς μια γενίκευση αυτής της ιδέας για έναν n-διάστατο ή ακόμα απειροδιάστατο χώρο. Όπως θα περιμέναμε αν (v,u)=0, τότε (v,u)=(u,v)*=0 ⇒ (u,v)=0. Έτσι αν και το εσωτερικό γινόμενο δεν είναι συμμετρικό, η ορθογωνιότητα είναι.

Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται κάθετο σ’ όλα τα διανύσματα. Ορισμός 2: Ενα σύνολο διανυσμάτων v1,v2,⋅⋅⋅ είναι ορθοκανονικό, (orthonormal), αν

(vi,vj)=δij (6 για κάθε i και j. Δηλαδή ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ορθοκανονικό αν κάθε διάνυσμα είναι ορθογώνιο σ’ όλα τα άλλα και είναι κανονικοποιημένο, (normalized), δηλαδή έχει μοναδιαίο μήκος. Ένα διάνυσμα μπορεί να κανονικοποιηθεί αν διαιρεθεί με το μέτρο του

vv

.

Ορισμός 3: Σ’ ένα διανυσματικό χώρο πεπερασμένης διάστασης, ένα ορθοκανονικό σύνολο είναι πλήρες, (complete), αν δεν υπάρχει ορθοκανονικό υπερσύνολο αυτού.

(6 Το σύμβολο δij ονομάζεται σύμβολο του Kronecker και ορίζεται ως: δij=1 όταν i=j

0 όταν i j

⎧⎪⎨⎪ ≠⎩


- 40 -

Στη συνέχεια παραθέτουμε μερικά βασικά θεωρήματα σχετικά μ’ αυτές τις έννοιες. Θεώρημα 1: Ένα ορθοκανονικό σύνολο είναι γραμμικά ανεξάρτητο. (Άρα κάθε ορθοκανονικό σύνολο n διανυσμάτων είναι μια βάση για ένα διανυσματικό χώρο n διαστάσεων). Απόδειξη: Αν v1,v2,...vn είναι ένα πεπερασμένο ορθοκανονικό σύνολο, τότε για κάθε j έχουμε:

n n n n

i i j i i i j i i ij ji i i i

0 , 0 ( , ) 0⎛ ⎞α = ⇒ α = ⇒ α = α δ = α =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑v v v v v

δηλαδή αj=0,∀j=1,⋅⋅⋅,n Θεώρημα 2: (Ανισότητα του Bessel). Αν X=v1,v2,⋅⋅⋅,vn είναι ένα οποιοδήποτε ορθοκανονικό σύνολο ενός χώρου εσωτερικού γινομένου και v ένα τυχαίο διάνυσμα,

τότε: n

2 2i

i

| |≥ α∑v

όπου αi=(vi,v) . Επί πλέον το διάνυσμα n

i ii

′ = − α∑v v v είναι ορθογώνιο σε κάθε vj.

Απόδειξη: Πρώτα θα αποδείξουμε την ανισότητα:

n n

2i i j j

i j0 ( , ) ,

⎛ ⎞′ ′ ′≤ = = − α − α =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑v v v v v v v

n n n n

* *i i j j i j i j

i j i j( , ) ( , ) ( , ) ( , )= − α − α + α α =∑ ∑ ∑∑v v v v v v v v

n n n n n n n

2 * * * 2 2 2 2i i j j i j ij i j j

i j i j i j j

|| || || || | | | | | | =− α α − α α + α α δ = − α − α + α∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑v v

n n

2 2 2 2i i

i i

|| || | | || || | |= − α ⇒ ≥ α∑ ∑v v

Για το δεύτερο μέρος του θεωρήματος έχουμε:

n n n

* * * * *j i i j j i i j j i ij j j

i i i( , ) , ( , ) ( , ) 0⎛ ⎞′ = − α = − α = α − α δ = α −α =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑v v v v v v v v v

Υπάρχουν ορισμένα κριτήρια που χαρακτηρίζουν ένα ορθοκανονικό σύνολο σαν πλήρες. Το επόμενο θεώρημα μας δείχνει πως συνδέονται αυτά τα κριτήρια. Θεώρημα 3: Αν Χ=vi είναι ένα πεπερασμένο ορθοκανονικό σύνολο m διανυσμάτων σ’ ένα χώρο εσωτερικού γινομένου V, τότε οι επόμενες έξη συνθήκες για το Χ είναι μεταξύ τους ισοδύναμες. 1. Το Χ είναι πλήρες. 2. Αν (vi,v)=0 για i=1,2,⋅⋅⋅,m, τότε v=0


- 41 -

3. Το Χ παράγει το χώρο V, (δηλ. το Χ είναι σύνολο γεννητόρων για το V)

4. Αν v∈V, τότε v v v v==∑ ( , )i ii 1

m

5. Αν v,u∈V τότε ( , ) ( , )( , )i ii 1

m

u v u v v v==∑ (ισότητα του Parseval)

6. Αν v∈V, τότε m m

22 2i i

i 1 i 1

|| || ( , ) | |= =

= = α∑ ∑v v v

Δηλαδή ισχύει το = στην ανισότητα του Bessel. Απόδειξη: Θα ακολουθήσουμε την εξής σειρά: (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (5) ⇒ (6) ⇒ (1). Πρώτα (1) ⇒ (2). Δεχόμαστε ότι ισχύει η (1) και θα αποδείξουμε την (2), ή ισοδύναμα ότι: όχι (2) ⇒ όχι (1).

Αν (vi,v)=0, ∀i και v≠0, τότε το Χ μαζί με το vv

αποτελούν ένα ορθοκανονικό σύνολο,

υπερσύνολο του Χ, Άρα το Χ δεν είναι πλήρες. (2) ⇒ (3) ή ισοδύναμα όχι (3) ⇒ όχι (2). Αν το Χ δεν περιγράφει το V, τότε θα υπάρχει κάποιο v∈V το οποίο δεν μπορεί να γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός των vi και επομένως δεν θα υπάρχουν σταθερές αi τέτοιες

ώστε n

i ii

= α∑v v .

Συγκεκριμένα το σύνολο των σταθερών αi=(vi,v) θα ικανοποιεί την σχέση: n

i ii

≠ α∑v v

Άρα n

i ii

0′ = − α ≠∑v v v

και από το β′ μέρος του θεωρήματος 2, το ′v είναι ορθογώνιο σε κάθε vi Αυτό όμως είναι ισοδύναμο με όχι (2)

(3) ⇒ (4). Αν κάθε v μπορεί να γραφεί σαν n

j jj

= α∑v v τότε

n n

i j i j j ij ij j

( , ) ( , )= α = α δ = α∑ ∑v v v v και επομένως: v v v v= ∑ ( , )i ii

n

(4) ⇒ (5). Αν n

j jj

= α∑v v και n

j jj

= β∑u v με αi=(vi,v) και βj=(vi,u) τότε:

n n n*

j j i ij j i j ij i i, j 1

( , ) , ( , )=

⎛ ⎞= β α = β α =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ∑u v v v v v

n n n* *j i ij i i i i

i, j 1 i i

( , )( , )=

β α δ = β α =∑ ∑ ∑ u v v v

(5) ⇒ (6). Αν στην (5) θέσουμε: v=u, τότε


- 42 -

n n n n

22 * 2i i i i i

i i i i

|| || ( , )( , ) ( , ) ( i, ) ( , ) | |= = = = α∑ ∑ ∑ ∑v v v v v v v v v v v

(6) ⇒ (1), ή ισοδύναμα όχι (1) ⇒ όχι (6). Έστω ότι το Χ δεν είναι πλήρες. Τότε θα υπήρχε ένα μη μηδενικό διάνυσμα ορθογώνιο σε κάθε vi, δηλαδή (vi,v0)=0, ∀i και επομένως:

( , ) 0i 02

i

in

v v =∑

Αλλά τότε || || ( , )|2i 0

2

i

n

v v v≠ ∑ αφού v0≠0, δηλαδή θα ισχύει η όχι (6).

2.12 ΜΕΘΟΔΟΣ ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ (GRAM-SCHMIDT)

Είναι αρκετά βολικό να έχουμε μια βάση, της οποίας τα διανύσματα να αποτελούν ένα ορθοκανονικό σύνολο. Και τούτο διότι τότε απλοποιούνται κατά πολύ οι πράξεις και οι τύποι παίρνουν πιο απλή μορφή. Στην παράγραφο αυτή θα δείξουμε πως από μια τυχαία βάση, χρησιμοποιώντας μια επαγωγική τεχνική, γνωστή σαν “μέθοδος ορθοκανονικοποιήσεως Gram-Schmidt”, μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ορθοκανονική βάση. Το θεώρημα 3, [(3)⇒(1)], μας εξασφαλίζει ότι αυτή η ορθοκανονική βάση θα είναι ένα πλήρες ορθοκανονικό σύνολο. Πριν όμως αναφερθούμε στη γενική περίπτωση διανυσματικού χώρου διάστασης n, ας δούμε πως εφαρμόζεται η μέθοδος Gram-Schmidt στις δυο διαστάσεις, δηλαδή στον διανυσματικό χώρο R2. Θεωρούμε μια βάση Bv=v1,v2 της οποίας τα διανύσματα δεν είναι ορθογώνια μεταξύ τους και ούτε μοναδιαία. Από τη βάση Bv=v1,v2 θα κατασκευάσουμε μια άλλη βάση Bu=u1, u2 τέτοια ώστε ||u1||=||u2||=1 και (u1,u2)=0 που είναι και η ζητούμενη.

Ξεκινάμε από το διάνυσμα v1, (ή από το v2), το διαιρούμε με το μέτρο του και

έχουμε το πρώτο διάνυσμα της νέας βάσης, το uvv1

1

1

= .

Το δεύτερο διάνυσμα v2 μπορούμε να το αναλύσουμε σε δυο συνιστώσες: την ΟΒ παράλληλη προς το v1 και την ΟΓ κάθετη προς το v1 . Η παράλληλη συνιστώσα δεν μας ενδιαφέρει, η δε κάθετη υπολογίζεται ως εξής: ΟΓ=ΒΑ=v2-OB=v2-||OB||u1 (1) Αλλά

2 1 2 12 1 2

1 2 1 2 1 1

|| || || || cos ( , ) || ||= , ( , )( , ) || |||| || cos || || || ||

= θ ⎛ ⎞⎫⇒ = =⎬ ⎜ ⎟= θ⎭ ⎝ ⎠

OB v v v vOB v u vv v v v v v

(2 )

Η (1) με την βοήθεια της (2) γίνεται: ΟΓ=v2-(u1,v2)u1. Το διάνυσμα (u1,v2)u1 είναι η συνιστώσα του v2 η παράλληλη προς το v1. Διαιρώντας το διάνυσμα OΓ με το μέτρο του, έχουμε το δεύτερο διάνυσμα u2 της νέας βάσης:

Ο v1u1 B

A Γ

u2

v2

θ


- 43 -

u v u v uv u v u2

2 1 2 1

2 1 2 1

( , )( , )

=−−

Πράγματι τα διανύσματα u1 και u2 από την κατασκευή τους είναι μοναδιαία, είναι δε και ορθογώνια διότι:

( )( )( , ) , ( , )( , )

1( , )

,1 2 12 1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 11 2 1 2 1u u u v u v u

v u v u v u v uu v u v u=

−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−− =

[ ]=−

− =1

( , )( , ) ( , )( , )

2 1 2 11 2 1 2 1 1v u v u

u v u v u u [ ]1( , )

( , ) ( , ) 02 1 2 1

1 2 1 2v u v uu v u v

−⋅ − =

Στην γενική περίπτωση διανυσματικού χώρου διάστασης n στην οποία από μια βάση Bv=v1, v2, ..., vn θέλουμε να κατασκευάσουμε μια ορθοκανονική βάση Bu=u1, u2, ..., un η μέθοδος Gram-Schmidt περιγράφεται ως εξής: Ξεκινάμε από το διάνυσμα v1, το διαιρούμε με το μέτρο του και έχουμε το πρώτο διάνυσμα της νέας βάσης:

u vv1

1

1|| ||= (3)

Το δεύτερο διάνυσμα v2, έχει δυο συνιστώσες, μια παράλληλη προς το u1 και μια κάθετη. Αν από το v2 αφαιρέσουμε την προβολή (u1,v2)u1 του v2 πάνω στο u1 αυτό που μένει είναι η συνιστώσα του v2 η κάθετη στο u1 την οποία διαιρούμε με το μέτρο της ||v2-(u1,v2)u1|| και έχουμε:

u2= 2 1 2 1

2 1 2 1

( , )( , )

−−

v u v uv u v u

(4)

Ακολούθως από το διάνυσμα v3 αφαιρούμε τις προβολές του πάνω στις διευθύνσεις των u1, u2 και παίρνουμε την συνιστώσα του v3 η οποία είναι κάθετη προς τα u1, u2 και την οποία διαιρούμε με το μέτρο της.

u3= 3 1 3 1 2 3 2

3 1 3 1 2 3 2

( , ) ( , )( , ) ( , )

− −− −

v u v u u v uv u v u u v u

(5)

Για να κατασκευάσουμε το um+1 διάνυσμα όταν έχουμε κατασκευάσει τα διανύσματα u1, u2, …,um αφαιρούμε από το διάνυσμα vm+1 όλες τις προβολές του (u1, vm+1), (um, vm+1), …, (um, vm+1) τις παράλληλες προς τα διανύσματα u1, u2, …,um αντίστοιχα και το διάνυσμα που σχηματίζεται του διαιρούμε με το μέτρο του και έχουμε:

um+1= m 1 1 m 1 1 2 m 1 2 m m 1 m

m 1 1 m 1 1 2 m 1 2 m m 1 m

( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

+ + + +

+ + + +

− − −⋅⋅⋅−− − −⋅⋅⋅−

v u v u u v u u v uv u v u u v u u v u

(6)

Όταν αυτή η διαδικασία έχει γίνει n φορές, τότε έχουμε κατασκευάσει μια ορθοκανονική βάση. Βλέπουμε δηλαδή ότι από οποιαδήποτε βάση μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ορθοκανονική. Γι’ αυτό το λόγο στα επόμενα, όταν θα αναφερόμαστε σε βάση, θα εννοούμε μια ορθοκανονική.


- 44 -

Παράδειγμα 1: Θεωρούμε τον διαν. χώρο V=R3 επί του σώματος των πραγματικών αριθμών F=R και την βάση:

Bv=v1=(1,1,1), v2=(0,1,1), v3=(0,0,1) Θέλουμε να κατασκευάσουμε μια ορθοκανονική βάση Bu όταν το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται από την γνωστή σχέση (v,u)=v1u1+v2u2+v3u3. Λύση: Θα χρησιμοποιήσουμε τους τύπους (3), (4) και (5) σύμφωνα με την προηγούμενη διαδικασία. Έχουμε: ||v1|| =√3 Επομένως το πρώτο νέο διάνυσμα u1 είναι:

( )11

1

1 31,1,1 (1,1,1)|| || 33

= = =vuv

Για το επόμενο διάνυσμα u2 θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:

u2= 2 1 2 1

2 1 2 1

( , )( , )

−−

v u v uv u v u

Έχουμε: (u1,v2)=1 2(1 1)3 3

+ = , v2-(u1,v2)u1=(0,1,1)- ( )2 1 1,1,13 3

= ( )1 2,1,13− ⇒

||v2-(u1,v2)u1||=6

3 και

u2= ( ) ( )2 1 2 1

2 1 2 1

( , ) 3 1 62,1,1 2,1,1( , ) 3 66

−= − = −

−v u v uv u v u

Τέλος για το διάνυσμα u3 θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο

u3= 3 1 3 1 2 3 2

3 1 3 1 2 3 2

( , ) ( , )( , ) ( , )

− −− −


Έχουμε: (u1,v3)=1/√3, (u2,v3)=1/√6,

v3-(u1,v3)u1-(u2,v3)u2 ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 10,0,1 1,1,1 2,1,1 0, ,2 23 3 6 6

⎛ ⎞= − − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒

||v3-(u1,v3)u1-(u2,v3)u2||=√2/2

32 1 1 1 10, , 2 0, ,

2 2 2 22⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

u

Άρα η νέα ορθοκανονική βάση είναι:

( ) ( )u3 6 1 1B 1,1,1 , 2,1,1 , 2 0, ,

3 6 2 2⎧ ⎫−⎪ ⎪⎛ ⎞= −⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

Παράδειγμα 2: Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο V=C3 επί του σώματος των μιγαδικών αριθμών F=C. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του υπόχωρου W του V που παράγεται από τα διανύσματα v1=(1,i,0), v2=(1,2,1-i). Tο εσωτερικό γινόμενο ορίζεται από την σχέση ( ) 1 1 2 2 3 3, u v u v u v∗ ∗ ∗= + +u v .


- 45 -

Λύση: Τα διανύσματα v1, v2 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και επειδή παράγουν τον χώρο W το σύνολο Bv=v1, v2 είναι βάση του χώρου αυτού. Για να βρούμε μια ορθοκανονική βάση εφαρμόζουμε το θεώρημα Gram-Schmidt και έχουμε:

||v1|| = ( ) ( )1 1, 1 1 i i 2= ⋅ + − =v v

Επομένως το πρώτο νέο διάνυσμα u1 είναι: ( )11

1

1 1, i,0|| || 2

= =vuv

Για το επόμενο διάνυσμα u2 θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:

u2= 2 1 2 1

2 1 2 1

( , )( , )

−−

v u v uv u v u

Έχουμε: (u1,v2)= ( ) ( ) ( ) ( )*1 1 21,i,0 1,2,1 i 1 2i 1 2i22 2

− = − = − ,

v2-(u1,v2)u1= ( ) ( ) ( )2 1 1 2i 2 i1,2,1 i 1 2i 1,i,0 , ,1 i2 2 22

+ −⎛ ⎞− − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒

||v2-(u1,v2)u1||=( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2i 1 2i 2 i 2 i 181 i 1 i

4 4 2− + + −

+ + + − =

και u2= ( )2 1 2 1

2 1 2 1

( , ) 2 1 2i 2 i 2, ,1 i 1 2i,2 i,2 2i( , ) 2 2 618

− + −⎛ ⎞= − = + − −⎜ ⎟− ⎝ ⎠v u v uv u v u

Άρα η νέα ορθοκανονική βάση είναι:

( ) ( )u1 2B 1,i,0 , 1 2i, 2 i, 2 2i

62⎧ ⎫⎪ ⎪= + − −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

Παράδειγμα 3: Έστω P2(x) ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων δευτέρου βαθμού. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του χώρου αυτού αν το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται

από την σχέση ( ) ( )( )1

1

f x ,g x f (x)g(x)dx−

= ∫ με f(x),g(x)∈ P2(x).

Λύση: Η συνήθης βάση των πολυωνύμων δευτέρου βαθμού είναι: Βv=v0 = 1, v1,= x, v2=x2.

Η εφαρμογή του θεωρήματος Gram-Schmidt μας δίνει 0

00|| ||

=vuv

αλλά 1

2 10 1

1

1 1dx x 2−

−

= ⋅ = =∫v και επομένως u0=12

Για το επόμενο πολυώνυμο u1 θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:

u1= 1 0 1 0

1 0 1 0

( , )( , )

−−

v u v uv u v u


- 46 -

Έχουμε: ( )1 12

0 11

1

1 1 x, x dx 022 2 −

−

⎛ ⎞= ⋅ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

⌠⎮⌡

u v άρα u1= 1

1

vv

με 11 3

2 21

1 1

x 2x dx3 3− −

= = =∫v επομένως 13 x2

=u

Τέλος το πολυώνυμο u2 θα υπολογιστεί από τον τύπο:

u2= 2 0 2 0 1 2 1

2 0 2 0 1 2 1

( , ) ( , )( , ) ( , )

− −− −


Έχουμε: ( )1 13

20 2

11

1 x 2, x dx32 3 2 −

−

= = =⌠⎮⌡

u v , ( )1 14

31 2

11

3 3 x, x dx 02 2 4

−−

= = =⌠⎮⌡

u v

( ) 2 22 0 2 0

2 1 1, x x3 32

− = − = −v u v u ⇒

( )1

22 2

2 0 2 0

1

1 1, x dx3 5

−

⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

⌠⎮⌡

v u v u

2 2

21 55 x 5x3 3

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

u

Άρα η ορθοκανονική βάση του χώρου P2(x) θα αποτελείται από τα πολυώνυμα:

2u 0 1 2

1 3 5B , x, 5x2 32

⎧ ⎫⎪ ⎪= = = = −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭u u u

Παρατήρηση 1: Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί για πολυώνυμα n βαθμού. Αποδεικνύεται ότι ο γενικός τύπος του πολυωνύμου un είναι:

( ) ( ) ( )( ) ( )

n k1/ 2 2n 2k

n nk 0

1 2n 2k !1 1x n x2 2 k! n k ! n 2k !

⎡ ⎤⎣ ⎦

−

=

− −⎛ ⎞= +⎜ ⎟ − −⎝ ⎠∑u

και ονομάζονται πολυώνυμα του Legendre. Το σύμβολο [n/2] σημαίνει τον μεγαλύτερο φυσικό αριθμό που είναι μικρότερος του n/2.

Προφανώς μπορούμε να κατασκευάσουμε και άλλα πολυώνυμα εάν αλλάξουμε τα όρια ολοκληρώσεως στην έκφραση που ορίζει το εσωτερικό γινόμενο ή και εάν ακόμα τροποποιήσουμε το ολοκλήρωμα όπως π.χ.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x ,g x w x f x g x dxβ

α≡ ∫

όπου w(x) μια συνάρτηση καλώς ορισμένη έτσι ώστε η παραπάνω έκφραση να ικανοποιεί τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου. Η συνάρτηση w(x) ονομάζεται συνάρτηση βάρους, (weight function).


- 47 -

Ορθογώνια πολυώνυμα που παράγονται με την μέθοδο ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmidt των πολυωνύμων un(x)=xn n=0,1,2,⋅⋅⋅

Πολυώνυμα Διάστημα Συνάρτηση βάρους Κανονικοποίηση Legendre -1≤x≤1 1 [ ]P x dx

nn ( )2

1

1 22 1−∫ =

+

Chebyshev I -1≤x≤1 11 2− x

[ ]1

2n

2

1

π/ 2 n 0T (x)dx

π n=01 x−

≠⎧= ⎨

− ⎩

⌠⎮⌡

Chebyshev II -1≤x≤1 1 2− x [ ]U x x dxn ( )π2 2

1

11

2− =

−∫

Laguere 0≤x≤∞ exp(-x) [ ]L x x dxn ( ) exp( )2

01− =

∞

∫

Associated Laguere

0≤x≤∞ xkexp(-x) [ ] ( )L x x x dx

n knn

k k( ) exp( )!

!2

0− =

+∞

∫

Hermite -∞≤x≤∞ exp(-x2) [ ]H x x dx nnn( ) exp( ) π !

2 2 2− =−∞

∞

∫

2.13 ΣΤΑΘΜΗΤΟΙ ΚΑΙ ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

Σταθμητός χώρος: Έστω V ένας διανυσματικός χώρος στο σώμα F=R ή C. Μια απεικόνιση, που θα την συμβολίζουμε με ||⋅⋅|| του V→R+ (7 με τις ιδιότητες 1. ||v||≥0 και ||v||=0 ⇔ v=0 ∀v∈V 2. ||αv||=|α|⋅||v|| ∀v∈V ∀α∈F 3. ||v+u||≤||v||+||u|| ∀v, u∈V Τότε ο διανυσματικός χώρος V ονομάζεται σταθμητός διανυσματικός χώρος, (norm linear space), και η απεικόνιση ||⋅⋅|| ονομάζεται στάθμη ή norm . Παράδειγμα 1: Στον χώρο Rn οι πλέον συνήθεις στάθμες είναι:

α) ||v||= v vn12 2+ ⋅ ⋅ ⋅ + β) ||v||=max|v1|, ⋅⋅⋅, |vn| γ) ||v||= | |v

i

n

11=∑

Εφαρμογή των παραπάνω σταθμών στον R2 Στον διανυσματικό χώρο V=R2 να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των άκρων των διανυσμάτων v=xi+yj ως προς τις norm:

α) ||v||2= 2 2| x | | y |+ με την συνθήκη ||v||2=1 β) ||v||1=|x|+|y| με την συνθήκη ||v||1=1 γ) ||v||∞=max|x|, |y| με την συνθήκη ||v||∝=1

(7 Με R+ θα συμβολίζουμε τους θετικούς αριθμούς συμπεριλαμβανομένου του μηδενός.


- 48 -

Λύση: α) ||v||2= 2 2| x | | y |+ =1 ⇒ x2+y2=1 Επομένως στο επίπεδο Οxy τα άκρα των διανυσμάτων v=xi+yj, που πληρούν την παραπάνω σχέση, βρίσκονται πάνω σε περιφέρεια με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 1. β) ||v||1=|x|+|y|=1 Διακρίνουμε τις εξής τέσσερις περιπτώσεις: β1) x, y≥0, τότε x+y=1 με αντίστοιχη γραφική παράσταση το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. β2) x≤0, y ≥0, τότε -x+y=1 με αντίστοιχη γραφική παράσταση το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ. β3) x≤0, y≤0, τότε x+y=-1 με αντίστοιχη γραφική παράσταση το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ. β4) x≥0, y≤0, τότε x-y=1 με αντίστοιχη γραφική παράσταση το ευθύγραμμο τμήμα ΔΑ. Επομένως τα άκρα των διανυσμάτων, που πληρούν την σχέση ||v||1=|x|+|y|=1 βρίσκονται στην περίμετρο του τετραγώνου ΑΒΓΔ. γ) ||x||∞=max|x|, |y|=1 Εργαζόμενοι όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις, βρίσκουμε ότι τα άκρα των διανυσμάτων βρίσκονται πάνω στην περίμετρο του τετραγώνου ΑΒΓΔ| Παράδειγμα 2: Στον συναρτησιακό χώρο L(f(x), [α,β]) έχουμε τις εξής στάθμες:

α) ||f(x)||= 2f (x) dxβ

α∫

β) ||f(x)||=sup|f(x)| / x∈[α,β] Μετρικός χώρος: Θεωρούμε ένα σύνολο Ε και μια απεικόνιση d: E×E→R+ με τις ιδιότητες: 1. d(x,y)=0 ⇔ x=y 2. d(x,y)=d(y,x) 3. d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) (Τριγωνική ιδιότητα) Τότε το σύνολο Ε ονομάζεται μετρικός χώρος, (metric space), και συνήθως συμβολίζεται με (Ε,d), τα δε στοιχεία του σημεία, (points), και η απεικόνιση d απόσταση, ( distance ). Παράδειγμα 3: Στο σύνολο L(f(x),[α,β]) μπορούμε να ορίσουμε τις εξής μετρικές: 1) d1(f,g)=maxx∈[α,β]|f(x)-g(x)|

x

y x2+y2=1

y

x

Α Β

Δ Δ

-1 1

x

Β

Γ Α

Δ

y

-1 1


- 49 -

2) d2(f,g)= f (x) g(x)dxβ

α−∫

3) ( ) ( ) ( )( ) ( )3

f x g xd f ,g dx

1 f x g x

β

α

−=

+ −

⌠⎮⌡

Παράδειγμα 4: Στην μοναδιαία περιφέρεια x2+y2=1 μπορούμε να ορίσουμε τις εξής 2 μετρικές:

1) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d P P d x y x y x x y y1 1 2 1 1 1 2 2 1 22

1 22, , , ,= = − + −

2) d2(P1,P2)=το μικρότερο τόξο της μοναδιαίας περιφέρειας που συνδέει τα σημεία P1, P2 . Από τους προηγούμενους ορισμούς του σταθμητού και μετρικού διανυσματικού χώρου, βλέπουμε ότι: Παρατήρηση 1: Ένας χώρος για να είναι σταθμητός, πρέπει οπωσδήποτε να είναι και διανυσματικός. Στους μετρικούς χώρους αυτό δεν απαιτείται. Παρατήρηση 2: Κάθε σταθμητός διανυσματικός χώρος γίνεται πάντα μετρικός με απόσταση d(v,u)=||v-u|| Απόδειξη: 1. d(v,u)=0 ⇔ ||v-u||=0 ⇔ v-u=0 ⇔ v=u 2. d(v,u)= ||v-u||=||(-1)(v-u)||=||u-v||=d(u,v) 3. d(v,u)= ||v-u||=||v-w+w-u||=||(v-w)+(w-v)||≤ ||v-w||+||w-u||=d(v,w)+d(w,u) Παρατήρηση 3: Σ’ ένα διανυσματικό χώρο εσωτερικού γινομένου, ορίζεται πάντα μια norm και μια απόσταση: ||v||= ( , )v v d(v,u)=||v-u||= ( , )v u v u− − Επομένως ένας διανυσματικός χώρος εσωτερικού γινομένου είναι και σταθμητός και μετρικός.. Το αντίστροφο δεν ισχύει, διότι ένας μετρικός χώρος δεν είναι απαραίτητο να έχει τη δομή διανυσματικού χώρου για να είναι σταθμητός χώρος και χώρος εσωτερικού γινομένου. Παράδειγμα 3: Ο διανυσματικός χώρος R3 με το εσωτερικό γινόμενο (v,u)=v1u1+v2u2+v3u3 γίνεται σταθμητός χώρος με norm:

||v||= ( , )v v = + +v v v12

22

32

και μετρικός με απόσταση:

d(v,u)=||v-u||= ( ) ( ) ( )v u v u v u2 12

2 22

2 32− + − + −


- 50 -

Παρατήρηση 4: Όταν ξέρουμε ότι μια norm προέρχεται από μια απόσταση, τότε η norm δίνεται από τη σχέση: ||v||=d(v,0) και όταν ένα εσωτερικό γινόμενο προέρχεται από μια norm, τότε το εσωτερικό γινόμενο δίνεται από τη σχέση:

(v,u)= 14

2 2 2 2| | | | | | | | | | | | | | | |v u v u v u v u+ − − − + + −i i i i

Απόδειξη: Έστω <v|u>=α+iβ. Έχουμε: ||v+u||2=(v+u, v+u)=||v||2+||u||2+(v, u)+(u, v)=

||v||2+||u||2+(α+iβ)+(α-iβ)=||v||2+||u||2+2α (1) ||v-u||2=(v-u, v-u)=||v||2+||u||2-(v, u)-(u, v)= ||v||2+||u||2-(α+iβ)-(α-iβ)=||v||2+||u||2-2α (2)

Αφαιρώντας τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει: 4α=||v+u||2-||v-u||2 (A) Επίσης έχουμε:

||v+iu||2=(v+iu, v+iu)=(v, v)2-i2(u, u)+i(v, u)-i(u, v)= ||v||2+||u||2+i(α+iβ)-i(α-iβ)= ||v||2+||u||2-2β (3)

||v-iu||2=(v-iu, v-iu)=(v, v)2-i2(u, u)-i(v, u)+i(u, v)= ||v||2+||u||2-i(α+iβ)+i(α-iβ)= ||v||2+||u||2+2β (4) Αφαιρώντας τις σχέσεις (3) και (4) προκύπτει: 4β=||v-iu||2-||v+iu||2 (B) και από τις σχέσεις (Α) και (Β) τελικά προκύπτει:

4(v, u)=4α+i4β=[ ||v+u||2-||v-u||2 ] -i[ ||v+iu||2-||v-iu||2 ] Παρατήρηση 5: Ένα εσωτερικό γινόμενο προέρχεται από μια norm όταν ισχύει ο νόμος του παραλληλογράμμου: ||v+u||2+||v-u||2=2||v||2+2||u||2 και το εσωτερικό γινόμενο δίνεται από την σχέση της προηγούμενης παρατήρησης. Απόδειξη: ||v+u||2+||v-u||2=(v+u, v+u)+(v-u, v-u)=

(v, v)+(u, u)+(v, u)+(u, v)+(v,v)+(u, u)-(v, u)-(u, v)=2||v||2+2||u||2


- 51 -

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι) ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΣΥΝΔYΑΣΜΟΙ, ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ

1) Να γραφεί το πολυώνυμο u(t) σαν γραμμικός συνδυασμός των πολυωνύμων v(t)=2t2+3t-4, w(t)=t2-2t-3, όπου α) u(t)=3t2+8t-5, β) u(t)=4t2-6t-1. 2) Να γραφεί ο πίνακας Μ σαν γραμμικός συνδυασμός των πινάκων

Α=1 10 1−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , Β=

1 11 0−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , Γ=

1 10 0

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

όπου α) Μ=3 11 2

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , β) Μ=

2 11 2− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3) Να δειχθεί ότι οι μιγαδικοί αριθμοί v=2+3i, u=1-2i παράγουν το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών, όταν το C θεωρείται διαν. χώρος επί του σώματος R των πραγματικών αριθμών. 4) Δείξτε ότι τα διανύσματα v=(1+i, 2i) και w=(1, 1+i) του διαν. χώρου C2 είναι γραμμικά εξαρτημένα επί του σώματος C και γραμμικά ανεξάρτητα επί του σώματος R. 5) Έστω V ο διαν. χώρος των πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής, f: R → R. Να δειχθεί ότι οι συναρτήσεις f(x), g(x), h(x)∈V είναι ανεξάρτητες όπου: 1) f(x)=e2x, g(x)=x2, h(x)=x, 2) f(x)=sinx, g(x)=cosx, h(x)=x. 6) Να δειχθεί ότι τα πολυώνυμα (1-x)3, (1-x)2, 1-x, 1 παράγουν τον χώρο των πολυωνύμων βαθμού ≤3.

7) Να βρεθεί ένα διάνυσμα του διαν. χώρου R3, το οποίο παράγει τον διαν. υπόχωρο, ο οποίος είναι η τομή των υποχώρων U=(α,β,0) (ΟΧΥ επίπεδο) και W ο οποίος παράγεται από τα διανύσματα v1=(1,2,3) και v2=(1,-1,1). 8) Να εξετασθεί εάν το υποσύνολο W=(α,β,γ) του R3 είναι υπόχωρος όταν

α) α=2β, β) α≤β≤γ, γ) αβ=0, δ) α=β=γ, ε) α=β2, ζ) λ1α+λ2β+λ3γ=0, λi∈R και λi=σταθερές. 9) Έστω U, V, W οι εξής υπόχωροι του R3:

U=(α,β,γ) / α+β+γ=0, V=(α,β,γ) / α=γ, W=(0,0,γ) / γ∈R Να δειχθεί ότι 1) R3=U+V, 2) R3=U+W, 3) R3=V+W. Σε ποια περίπτωση το άθροισμα είναι ευθύ ; 10) Έστω U και W οι υπόχωροι του R3 που ορίζονται από τις σχέσεις:


- 52 -

U=(α,β,γ) / α=β=γ και W=(0,β,γ)= το επίπεδο ΟΥΖ Να δείξετε ότι R3=U⊕W 11) Έστω V ο διαν. χώρος των πινάκων n×n επί του σώματος R. Έστω οι υπόχωροι U και W των συμμετρικών και αντισυμμετρικών πινάκων αντίστοιχα, δηλ. U=M / Mt=M, M∈V και W=M / Mt=-M, M∈V.Να δείξετε ότι V=U⊕W. 12) Έστω V=f(x) / f: R → R ο διαν. χώρος των πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής, και

U=f(x) / f: R → R ∧ f(-x)=f(x) , W=f(x) / f: R → R ∧ f(-x)=-f(x) οι υπόχωροι των αρτίων και περιττών συναρτήσεων αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι V=U⊕W. 13) Έστω U και W υπόχωροι ενός διαν. χώρου V. Να δειχθεί ότι α) οι υπόχωροι U, W περιέχονται στον υπόχωρο U+W β) ο υπόχωρος U+W είναι ο μικρότερος υπόχωρος του V που περιέχει τους U και W, δηλ. U+W=L(U,W). 14) Έστω U και W δυο υπόχωροι του V για τους οποίους έχουμε ότι η ένωση τους U∪W είναι υπόχωρος. Τότε να δειχθεί ότι ή U⊂W ή W⊂U.

ΙΙ) ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

1) Έστω W ο υπόχωρος του R4 που παράγεται από τα διανύσματα: v1=(1,-2,5,-3), v2(2,3,1,-4), v3=(3,8,-3,-5)

α) Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του W. β) Να επεκταθεί η βάση αυτή σε μια βάση όλου του χώρου R4. 2) Έστω W ο υπόχωρος που παράγεται από τα πολυώνυμα v1(x)=x3-2x2+4x+1, v2(x)=x3+6x-5, v3(x)=2x3-3x2+9x-1, v4(x)=2x3-5x2+7x+5 Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του W. 3) Έστω U και W οι υπόχωροι του R4, οι οποίοι ορίζονται ως εξής:

U=(α,β,γ,δ) / β+γ+δ=0, W=(α,β,γ,δ) / α+β=0, γ=2δ Να βρεθεί η διάσταση και μια βάση των υποχώρων i) U, ii) W, iii) U∩W 4) Έστω V ο διαν. χώρος των συμμετρικών πινάκων 2×2. Να δειχθεί ότι dimV=3. 5) Έστω V ο χώρος των πολυωνύμων ως προς x βαθμού μικρότερου ή ίσου του n. Δείξτε ότι τα παρακάτω σύνολα πολυωνύμων αποτελούν βάσεις του V.

(1) 1, x, x2,⋅⋅⋅,xn (2) 1, 1-x, (1-x)2,⋅⋅⋅,(1-x)n και επομένως dimV=n


- 53 -

ΙΙΙ) ΧΩΡΟΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

1) Έστω V ο διαν. χώρος των πολυωνύμων εφοδιασμένος με το εσωτερικό γινόμενο:

( )f x g x f x g x dx( ), ( ) ( ) ( )= ∫01

. Έστω f(x)=x+2, g(x)=x2-2x-3. Να υπολογιστούν α) (f(x),g(x)),

β) ||f(x)||, ||g(x)||.

2) Ποιες από τις επόμενες εκφράσεις ορίζουν εσωτερικά γινόμενα στον διανυσματικό χώρο C[-1,1] των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται στο κλειστό διάστημα [-1,1], όπου f(x), g(x)∈C[-1,1] .

α) (f,g)= ( )1 2

1

1−

−∫ x f x g x dx( ) ( )

β) (f,g)= x f x g x dx2

1

1( ) ( )

−∫

- 55 -

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΙΙΙ.

Π Ι Ν Α Κ Ε Σ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένα βασικά στοιχεία της θεωρίας των πινάκων, η οποία βρίσκει μεγάλη εφαρμογή τόσο στα εφαρμοσμένα Μαθηματικά όσο και στη Φυσική. Οι γραμμικοί μετασχηματισμοί και τελεστές, μπορούν να παρασταθούν από πίνακες, τα δε διανύσματα από στήλες ή γραμμές που είναι ειδικές μορφές πινάκων. 3.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ

Ορισμός 1: Θεωρούμε τα σύνολα Nm=1,2,…,m , Nn=1,2,⋅⋅⋅,n και F ένα σώμα. Κάθε συνάρτηση A: Nm×Nn → F της οποίας οι εικόνες συμβολίζονται ως εξής: (∀(i,j))∈ Nm×Nn)[ A(i,j)=αij ] ονομάζεται πίνακας ή μήτρα (matrix) με m γραμμές και n στήλες. Συνήθως ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής διάταξη:

A=

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

α α α⎛ ⎞⎜ ⎟α α α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎝ ⎠

ή εν συντομία: A=αij με 1≤i≤m , 1≤j≤n Ένας πίνακας Α που έχει m γραμμές και n στήλες λέγεται πίνακας τύπου m×n. Οι m οριζόντιες n-άδες: (α11, α12, …, α1n) , (α21, α22, …, α2n) , … , (αm1, αm2, …, αmn) είναι οι γραμμές του πίνακα και οι n κάθετες m-άδες:

11

21

m1

α⎛ ⎞⎜ ⎟α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α⎝ ⎠

,

12

22

m2

α⎛ ⎞⎜ ⎟α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α⎝ ⎠

, … ,

1n

2n

mn

α⎛ ⎞⎜ ⎟α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α⎝ ⎠

οι στήλες του πίνακα. Ο αριθμός αij ονομάζεται το ij-στοιχείο ή ij-συνιστώσα και εμφανίζεται στην i γραμμή και την j στήλη.

Παράδειγμα 1: Ο πίνακας 1 3 40 5 2

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ είναι τύπου 2x3.

Οι γραμμές του είναι (1,-3,4) και (0,5,-2) και οι στήλες του 10⎛⎝⎜⎞⎠⎟ ,

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

35

, 42−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ

- 56 -

Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε Α=Β, αν είναι του ίδιου τύπου και τα αντίστοιχα στοιχεία είναι ίσα: δηλαδή αij=βij ∀(i,j)∈Nm×Nn. Έτσι η ισότητα δύο m×n πινάκων, είναι ισοδύναμη με ένα σύστημα m⋅n ισοτήτων, μια για κάθε ζεύγος στοιχείων.

Παράδειγμα 2: Η ισότητα x y z wx y z w+ +− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 3 51 4

είναι ισοδύναμη με το εξής σύστημα εξισώσεων: x+y=3 x-y=1 2z+w=5 z-w=4 Ορισμός 3: Ένας πίνακας τύπου 1×n λέγεται επίσης και γραμμή διάνυσμα, και ένας πίνακας τύπου m×1 λέγεται στήλη διάνυσμα. Ένας δε αριθμός από το σώμα F μπορεί να θεωρηθεί σαν ένας πίνακας τύπου 1×1. 3.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΒΑΘΜΩΤΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Έστω Α και Β δύο πίνακες του αυτού τύπου m×n.

A=

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

α α α⎛ ⎞⎜ ⎟α α α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎝ ⎠

B=

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

β β β⎛ ⎞⎜ ⎟β β β⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟β β β⎝ ⎠

Ορισμός 1: Το άθροισμα των δυο πινάκων Α και Β ορίζεται να είναι ο πίνακας που προκύπτει από την πρόσθεση των αντίστοιχων στοιχείων:

A+B=

11 11 12 12 1n 1n

21 21 22 22 2n 2n

m1 m1 m2 m2 mn mn

α +β α +β α +β⎛ ⎞⎜ ⎟α +β α +β α +β⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α +β α +β α +β⎝ ⎠

Ορισμός 2: Το γινόμενο ενός αριθμού k επί τον πίνακα Α είναι ο πίνακας που προκύπτει πολλαπλασιάζοντας κάθε στοιχείο του Α με το k.

ΠΙΝΑΚΕΣ

- 57 -

kA=

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

k k kk k k

k k k

α α α⎛ ⎞⎜ ⎟α α α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎝ ⎠

Οι πίνακες Α+Β και kA είναι επίσης τύπου m×n. Το άθροισμα πινάκων διαφορετικών τύπων δεν ορίζεται.

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι το σύνολο των πινάκων τύπου m×n αποτελεί διανυσματικό χώρο επί του σώματος F με τις παραπάνω πράξεις. 3.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ

Θεωρούμε δύο πίνακες A=αij και B=βij τέτοιους ώστε ο αριθμός των στηλών του Α να ισούται με τον αριθμό των γραμμών του Β, δηλαδή ο Α είναι ένας πίνακας τύπου m×p και ο Β τύπου p×n. Ορισμός 1: Σαν γινόμενο των δυο πινάκων Α, Β ορίζουμε τον πίνακα C τύπου m×n, του οποίου το cij στοιχείο προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την i γραμμή του Α, με την j στήλη του Β. Σαν γινόμενο της i-γραμμής του Α με την j-στήλη του Β ορίζουμε τον αριθμό cij

που ισούται με το άθροισμα των γινομένων των αντιστοίχων στοιχείων της i-γραμμής και

j-στήλης. Π.χ. εάν έχουμε την i-γραμμή (2,-4,8) και την j-στήλη47

2

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

τότε το γινόμενο

τους είναι ο αριθμός: 2⋅4+(-4)(-7)+8⋅2=8+28+16=52. Έτσι το γινόμενο των δυο πινάκων Α και Β είναι ο πίνακας:

C=A⋅Β=

A B A B A BA B A B A B

A B A B A B

n

n

m m mn

11

12

1

21

22

2

1 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

όπου Ai , i=1,2,…,m είναι η i γραμμή του πίνακα Α και Bj, j=1,…,n η j στήλη του πίνακα Β. Δηλαδή:

C=

11 12 1p

i1 i2 ip

m1 m2 mp

α α α⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎝ ⎠

11 1j 1n

ij

p1 pj pn

β β β⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟β⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟β β β⎝ ⎠

=

c c cc c c

cc c c

n

n

ij

m m mn

11 12 1

21 22 2

1 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

όπου cij=αi1β1j+ αi2β2j+…+ αipβpj =p

ik kjk 1=

α β∑

Εδώ πρέπει να προσέξουμε ότι το γινόμενο ΑΒ δεν ορίζεται αν ο Α είναι τύπου m×p και ο Β, q×n, όπου p≠q .


- 58 -

Παράδειγμα 1:

Για A=2 11 03 4

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

, B=1 2 53 4 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

έχουμε C=A⋅B=21 13 2 2 14 2 5 1011 0 3 12 0 4 15 0 031 4 3 3 2 4 4 3 5 4 0

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 0 101 2 59 10 15

Επειδή ο Α είναι τύπου 3×2 και ο Β 2×3 ορίζεται και το γινόμενο Β⋅Α, που είναι ο πίνακας

D=B⋅A=1 2 53 4 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 11 03 4

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=1.2 2.1 5.( 3) 1.( 1) 2.0 5.4 11 193.2 4.1 0.( 3) 3.( 1) 4.0 0.4 10 3

+ + − − + + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + − − + + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Από το παράδειγμα αυτό βλέπουμε ότι γενικά δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα των πινάκων, δηλ. ΑΒ≠ΒΑ. Από το ορισμό του πολλαπλασιασμού των πινάκων προκύπτει: 1. Το γινόμενο ενός πίνακα γραμμή επί έναν πίνακα στήλη είναι, όπως είδαμε πριν, ένας αριθμός. Πράγματι αν A=(α1 ,α2 , …,αn) είναι ένας πίνακας γραμμή και

Β=

1

2

n

β⎛ ⎞⎜ ⎟β⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟β⎝ ⎠

ένας πίνακας στήλη, τότε:

Α⋅Β=(α1 ,α2 , …,αn)

1

2

n

β⎛ ⎞⎜ ⎟β⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟β⎝ ⎠

=α1β1+α2β2+…+αnβn

2. Το γινόμενο ενός πίνακα στήλη επί έναν πίνακα γραμμή, είναι ένας τετραγωνικός πίνακας. Πράγματι:

Β⋅Α=

1

2

n

β⎛ ⎞⎜ ⎟β⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟β⎝ ⎠

(α1 ,α2 , …,αn)=

1 1 1 2 1 n

2 1 2 2 2 n

n 1 n 2 n n

β α β α β α⎛ ⎞⎜ ⎟β α β α β α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟β α β α β α⎝ ⎠

Παρατήρηση 1: Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δεν ορίζονται για δύο οποιουσδήποτε πίνακες. Για την πρόσθεση θα πρέπει οι πίνακες να είναι του ίδιου τύπου και για τον πολλαπλασιασμό, θα πρέπει ο αριθμός των στηλών του

ΠΙΝΑΚΕΣ

- 59 -

πρώτου πίνακα να είναι ο ίδιος με τον αριθμό των γραμμών του δεύτερου. Οι δυσκολίες αυτές δεν υπάρχουν όταν έχουμε να κάνουμε με πίνακες τύπου n×n που έχουν τον ίδιο αριθμό γραμμών και σειρών. Οι πίνακες αυτοί λέγονται τετραγωνικοί τύπου n×n. 3.4 ΕΙΔΗ ΠΙΝΑΚΩΝ

1. Ανάστροφος (Transpose): Ο ανάστροφος ενός πίνακα Α, που συμβολίζεται με Αt, είναι ο πίνακας που προκύπτει από τον Α, γράφοντας τις γραμμές του Α σαν στήλες δηλαδή: (αij)t=αji ή

At=

t11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

α α α⎛ ⎞⎜ ⎟α α α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎝ ⎠

=

11 21 m1

12 22 m2

1n 2n mn

α α α⎛ ⎞⎜ ⎟α α α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎝ ⎠

Όταν ο πίνακας Α είναι τύπου m×n τότε ο At είναι τύπου n×m. Παρατήρηση 1: Εάν οι πίνακες Α, Β είναι τετραγωνικοί τότε ισχύει (ΑΒ)t=BtAt

Παράδειγμα 1: 1 2 34 5 6

1 42 53 6

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

t

Στους ανάστροφους πίνακες ισχύουν οι εξής ιδιότητες: 1. (A+B)t=At+Bt 2. (At)t=A 3. Για κάθε αριθμό k, (kA)t=kAt 4. (AB)t=BtAt 2. Συζυγής (Conjugate) ενός πίνακα Α είναι ο πίνακας A* που προκύπτει από τα στοιχεία του Α, παίρνοντας τα συζυγή τους. Αν τα στοιχεία του Α είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε A*=A.

Παράδειγμα 2: A=1 2 3 6

4 8 2+ −

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

i ii

, A*=1 2 3 6

4 8 2− +

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

i ii

3. Συναφής ή συζυγοανάστροφος (adjoint) ενός πίνακα Α, είναι ο πίνακας A+ του οποίου τα στοιχεία είναι τα συζυγή των αντίστοιχων στοιχείων του ανάστροφου πίνακα At, δηλαδή: A+=(At)* ή (αij)+=(αji)* .


- 60 -

Παράδειγμα 3: A=1 2 3 6

4 8 2+ −

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

i ii

, A+=1 2 43 6 8 2−+ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ii i

3.5 ΕΙΔΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ

1. Ταυτοτικός (identity): Κατ’ αρχήν ορίζουμε σαν κύρια διαγώνιο ενός τετραγωνικού πίνακα την διαγώνιο που συνδέει την επάνω αριστερή γωνία με την κάτω δεξιά γωνία του πίνακα. Ένας τετραγωνικός πίνακας τύπου n×n, λέγεται ταυτοτικός και συμβολίζεται με In, όταν όλα τα στοιχεία του είναι μηδέν εκτός των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου, που ισούνται με 1. Δηλ. έχουμε: αij=δij, όπου δij το σύμβολο του Kronecker που ορίζεται από την σχέση:

ij

1 ό i j

0 ό i j

ταν =⎧⎪δ = ⎨⎪ ταν ≠⎩

Παράδειγμα 1: I3=1 0 00 1 00 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

είναι ο ταυτοτικός πίνακας 3×3.

Εύκολα αποδεικνύεται ότι για οποιοδήποτε πίνακα Α τύπου n×n και για το ταυτοτικό πίνακα Ι τύπου n×n ισχύει IA=AI=A. 2. Τριγωνικός, (triangular). Άνω τριγωνικός πίνακας ή απλώς τριγωνικός πίνακας είναι ένας τετραγωνικός πίνακας του οποίου τα στοιχεία, που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν. Έτσι ένας άνω τριγωνικός πίνακας τύπου n×n έχει την μορφή:

11 12 1n

22 2n

nn

0

0 0 0

α α α⎛ ⎞⎜ ⎟α α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α⎝ ⎠

Ομοίως ορίζεται ο κάτω τριγωνικός πίνακας. 2. Διαγώνιος, (diagonal): ονομάζεται ένας πίνακας Α του οποίου τα μη διαγώνια στοιχεία είναι μηδέν, δηλ. όταν αij=0 , για i≠j ή ισοδύναμα αij=αiδij. Σ' ένα διαγώνιο πίνακα τα μόνα μη μηδενικά στοιχεία βρίσκονται κατά μήκος της κυρίας διαγωνίου.

Παράδειγμα 2: Οι πίνακες A=1 0 00 2 00 0 6

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

και B=2 0 00 0 00 0 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

είναι διαγώνιοι.

ΠΙΝΑΚΕΣ

- 61 -

3. Μηδενικός (null): ονομάζεται ένας πίνακας που όλα τα στοιχεία του είναι μηδέν.

Παράδειγμα 3: O πίνακας 0 00 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ είναι ο μηδενικός πίνακας 2×2.

4. Συμμετρικός (symmetric): είναι ένας πίνακας Α όταν ισχύει η σχέση αij =αji (δηλαδή όταν τα στοιχεία που βρίσκονται σε συμμετρικές θέσεις ως προς την κύρια διαγώνιο, είναι ίσα.

Παράδειγμα 4: Ο 4×4 πίνακας:

1 5 7 25 0 6 3

A7 6 8 4

2 3 4 1

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

είναι συμμετρικός.

5. Αντισυμμετρικός (antisymmetric): είναι ένας πίνακας Α όταν αij = -αji. Σ’ έναν αντισυμμετρικό πίνακα εύκολα συμπεραίνουμε ότι τα διαγώνια στοιχεία του είναι όλα μηδέν.

Παράδειγμα 5: Ο πίνακας:

0 2 5 72 0 9 12

B5 9 0 87 12 8 0

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

είναι αντισυμμετρικός.

Κάθε πίνακας Α μπορεί να εκφραστεί σαν το άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα, γιατί πάντα ισχύει η ταυτότητα:

A=12

(A+A )+12

(A-A )t t

όπου 12

(A+A )t συμμετρικός και 12

(A - A )t αντισυμμετρικός.

Παράδειγμα 6: Ας θεωρήσουμε τον πίνακα 3 4

A5 7

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Υπολογίζουμε τις εκφράσεις

12

(A+A )t =t3 4 3 4 3 4 3 5 6 1 3 1/ 21 1 1

5 7 5 7 5 7 4 7 1 14 1/ 2 72 2 2

⎡ ⎤− − ⎡ − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

12

(A - A )t =t3 4 3 4 3 4 3 5 0 9 0 9 / 21 1 1

5 7 5 7 5 7 4 7 9 0 9/ 2 02 2 2

⎡ ⎤− − ⎡ − ⎤ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦


- 62 -

Οπότε ο πίνακας Α γράφεται: 3 4

A5 7

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=3 1/ 2

1/ 2 7⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 0 9/ 29 / 2 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

εκ των οποίων ο 3 1/ 2

1/ 2 7⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

είναι συμμετρικός και ο 0 9 / 29 / 2 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

αντισυμμετρικός.

6. Αντίστροφος (inverse) ενός πίνακα Α, ονομάζεται ο πίνακας, που τον συμβολίζουμε A-1 , τέτοιος ώστε: AA-1=A-1A=I . Δηλαδή το γινόμενο του Α επί τον A-1 (από τ' αριστερά και από τα δεξιά), δίνει τον ταυτοτικό πίνακα. Εάν ο αντίστροφος Α-1 υπάρχει τότε είναι και μοναδικός. Πράγματι εάν υποθέσουμε ότι υπάρχει και άλλος αντίστροφος πίνακας, έστω ο Β-1, τότε από την σχέση AA-1=I ⇒ Β-1(AA-1)=Β-1I ⇒ (Β-1A)A-1=Β-1 ⇒ ΙA-1=Β-1 ⇒ A-1=Β-1. ( Για τον υπολογισμό του αντιστρόφου ενός πίνακα θα ασχοληθούμε παρακάτω). 7. Ορθογώνιος (orthogonal): είναι ένας πίνακας Α όταν Αt=Α-1, δηλ. ο αντίστροφος συμπίπτει με τον ανάστροφο. Επομένως θα ισχύει η σχέση: ΑtΑ=ΑΑt=Ι Υπάρχουν και άλλα είδη πινάκων που εξαρτώνται από τις ιδιότητες των στοιχείων τους και από την επίδραση που έχουν πάνω σε στήλες διανύσματα ή σε γραμμές διανύ-σματα. Ένα αρκετά σπουδαίο χαρακτηριστικό που έχουν οι τετραγωνικοί πίνακες, είναι το ίχνος τους. Ίχνος, (trace), ενός τετραγωνικού πίνακα Α, είναι το άθροισμα των διαγωνίων

στοιχείων του και γράφεται trace A ή trA=n

iii 1−α∑ .

Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα είναι ότι το ίχνος των γινομένων δύο πινάκων Α και Β είναι ανεξάρτητο από τη σειρά πολλαπλασιασμού. ij ji ji ijii jj

i j j ii j

tr(AB) = (AB = = = (BA = tr(BA).) )α β β α∑∑ ∑∑∑ ∑

δηλ. tr(AB)=tr(BA). Αυτό ισχύει και όταν ακόμα ΑΒ≠ΒΑ. Επίσης ισχύει ότι: tr(A+B)=trA+trB.

3.6 ΜΕΤΑΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ

Όπως είδαμε ο πολλαπλασιασμός των πινάκων δεν έχει εν γένει την αντιμε-ταθετική ιδιότητα. Συνήθως έχουμε AB - BA 0.≠ Την διαφορά αυτή την ονομάζουμε μεταθέτη ή εναλλάκτη (commutator) των πινάκων Α και Β, και παριστάνεται με το σύμβολο: [Α,Β]=ΑΒ-ΒΑ Επίσης το άθροισμα ΑΒ+ΒΑ ονομάζεται αντιμεταθέτης ή αντεναλλάκτης (anticommutator) των πινάκων Α και Β και παριστάνεται με το σύμβολο:

ΠΙΝΑΚΕΣ

- 63 -

[Α,Β]+=ΑΒ+ΒΑ Αν ο μεταθέτης (ή ο αντιμεταθέτης) δύο πινάκων είναι μηδέν, τότε λέμε ότι οι πίνακες μετατίθενται (commutate) ή αντιμετατίθενται (anticommutate). Εύκολα αποδεικνύονται οι σχέσεις: 1. [A,A]=0 2. [A,B]+[B,A]=0 3. [A,B+C]=[A,B]+[A,C] και [A+B,C]=[A,C]+[B,C] 4. [A,BC]=[A,B]C+B[A,C] και [AB,C]=[A,C]B+A[B,C] 5. [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0 (Κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο

με κυκλική εναλλαγή, ταυτότητα του Jacobi). Η σχέση (5) είναι γνωστή σαν ταυτότητα του Jacobi. Όλες αυτές οι σχέσεις δεν ικανοποιούνται μόνο από πίνακες, αλλά και από στοιχεία οποιουδήποτε άλλου συνόλου στο οποίο έχει οριστεί ένας πολλαπλασιασμός μη μεταθετός. 3.7 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό αλγεβρικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους, τους x1, x2:

α11x1+α12x2=β1

α21x1+α22x2=β2 (1) Η λύση του, κατά τα γνωστά, είναι:

1 22 2 12 2 11 1 211 2

11 22 12 21 11 22 12 21

x , xβ α − β α β α − β α= =α α − α α α α − α α

με την προϋπόθεση ότι ο κοινός παρονομαστής των λύσεων είναι διάφορος του μηδενός: D=α11α22-α12α21≠0. Θεωρούμε τώρα τον πίνακα:

11 12

21 22

α α⎛ ⎞Α = ⎜ ⎟α α⎝ ⎠

(2)

που είναι ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων του συστήματος (1). Ορισμός 1: Ονομάζουμε ορίζουσα του πίνακα Α (determinant), την ποσότητα D, την οποία θα συμβολίζουμε με:

detA=|A|= 11 12

21 22

α αα α

Επομένως για οποιονδήποτε πίνακα τύπου 2×2 έχουμε: detA=|A|= α11α22-α12α21

Για έναν πίνακα


- 64 -

11 12 13

21 22 23

31 32 33

α α α⎛ ⎞⎜ ⎟Α = α α α⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎝ ⎠

τύπου 3×3 η ορίζουσα ορίζεται ως εξής:

22 23 21 23 21 2211 12 13

32 33 31 33 31 32

det A det det detα α α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= α − α + α⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α α α α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

=α11(α22α33-α23α32)-α12(α21α33-α23α31)+α13(α21α32-α22α31) (3) Ορισμός 2: Έστω ένας πίνακας Α. Ορίζουμε σαν ελάσσονα, (minnor), ορίζουσα Dij του στοιχείου αij την ορίζουσα του πίνακα, που προκύπτει από τον πίνακα Α αν αφαιρέσουμε την i-γραμμή και την j-στήλη. Ορισμός 3: Ορίζουμε σαν συμπολλαπλασιαστή Αij του στοιχείου αij το γινόμενο της α-ντίστοιχης ελάσσονος ορίζουσας Dij επί (-1)i+j:

Aij=(-1)i+jDij Η έκφραση (3) τώρα γράφεται:

detA=α11Α11+α12Α12+α13Α13 (4) και ονομάζεται ανάπτυγμα της ορίζουσας κατά την πρώτη γραμμή. Και τούτο διότι η (4) είναι το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων της πρώτης γραμμής πολλαπλασια-σμένων με τους συμπολλαπλασιαστές τους. Επίσης η ορίζουσα μπορεί να αναπτυχθεί κατά οποιαδήποτε γραμμή ή στήλη.

Παράδειγμα 1: Να υπολογιστεί η ορίζουσα του πίνακα:

2 3 41 4 5

1 3 4

− −⎛ ⎞⎜ ⎟Α = −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Θα υπολογίσουμε την ορίζουσα αναπτύσσοντας την κατά την πρώτη γραμμή:

( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 2 1 34 5 1 5 1 4det A 2 1 det 3 1 det 4 1 det

3 4 1 4 1 3+ + +− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − + − − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

=2[4(-4)-5(-3)]+3[(-1)(-4)-5]-4[(-1)(-3)-4]=-1 Ας αναπτύξουμε την ίδια ορίζουσα κατά την δεύτερη στήλη:

( )( ) ( ) ( )( )1 2 2 2 3 21 5 2 4 2 4det A 3 1 det 4 1 det 3 1 det

1 4 1 4 1 5+ + +− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − − + − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

=3[(-1)(-4)-5]+4[2(-4)-(-4)]+3[(2)(5)-(-4)(-1)]=-1 Γενικά για έναν τετραγωνικό πίνακα τύπου n×n η ορίζουσα του υπολογίζεται από την έκφραση:

ΠΙΝΑΚΕΣ

- 65 -

n

ij ijj 1

det A A=

= α∑ (ανάπτυγμα κατά την i-γραμμή)

ή n

ij iji 1

det A A=

= α∑ (ανάπτυγμα κατά την j-στήλη)

Παρατήρηση 1: Στα παραπάνω δόθηκε ο ορισμός της ορίζουσας ενός τετραγωνικού πίνακα όσο το δυνατό πιο απλά. Στη συνέχεια δίνουμε έναν αυστηρό ορισμό. Ορισμός 1-Α: Ονομάζουμε ορίζουσα του τετραγωνικού πίνακα Α=(αij) τον αριθμό:

n

11

1s(1) 2s(2) ns(n)s S

n 1| |

(s) n 1∈

⎧α αν =⎪⎪Α = ⎨⎪ ε α α α αν >⎪⎩∑

όπου ε(s) είναι το σημείο της μετάθεσης s της συμμετρικής ομάδας Sn, (βλέπε 1ον Κεφάλαιο παρ. 1.5). 3.8 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ8

1) Η ορίζουσα κάθε τετραγωνικού πίνακα συμπίπτει με την ορίζουσα του αναστρόφου: det(A)=det(At).

Π.χ. det 11 12 11 2111 22 12 21

21 22 12 22

detα α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= α α −α α =⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2) Για κάθε τετραγωνικό πίνακα n×n ισχύει: det(λΑ)=λndet(A)

Π.χ. ( )11 12 11 122 211 22 12 21 11 22 12 21

21 22 21 22

det detλα λα α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= λα λα −λα λα = λ α α −α α = λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟λα λα α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Παρατήρηση 1: Εάν ο τετραγωνικός πίνακας Α τύπου n×n είναι αντισυμμετρικός Αt=-A και ο n είναι περιττός n=2k+1, τότε detA=0. Πράγματι: detA=det(At)=det[(-1)A]=(-1)2k+1detA=-detA ⇒ 2detA=0 ⇒ detA=0 3) Αν δυο γραμμές ή δυο στήλες του πίνακα Α είναι ίδιες ή ανάλογες τότε detΑ=0.

Π.χ. ( )11 1211 12 12 11 11 12 12 11

11 12

det ( ) ( ) 0α α⎛ ⎞

= α λα −α λα = λ α α −α α =⎜ ⎟λα λα⎝ ⎠

4) Εάν εναλλάξουμε δυο γραμμές, (ή στήλες), του πίνακα Α, τότε η ορίζουσα του πολλαπλασιάζεται με –1.

Π.χ ( )21 22 11 1221 12 22 11 11 22 12 21

11 12 21 22

det detα α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= α α −α α = − α α −α α = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 Επειδή οι αποδείξεις των ιδιοτήτων των οριζουσών είναι μακροσκελείς, εφαρμόζουμε τις ιδιότητες στον γενικό πίνακα 2×2 σαν απλή επιβεβαίωση.


- 66 -

5) Εάν μια γραμμή, (ή στήλη), του πίνακα Α πολλαπλασιασθεί με τον αριθμό λ, τότε η ορίζουσα του πολλαπλασιάζεται επί λ.

Π.χ. 11 12 11 1211 22 12 21

21 22 21 22

det detλα λα α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= λα α − λα α = λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 6) Εάν τα στοιχεία μιας γραμμής, (ή στήλης), είναι άθροισμα δυο προσθεταίων, τότε

η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των δυο οριζουσών που η μια έχει τους πρώτους

προσθεταίους και η άλλα τους δεύτερους:

11 12 11 12 11

21 22 21 22 21

det det deta a b a a a ba a c a a a c

+= +

+ 7) Η ορίζουσα ενός πίνακα δεν αλλάζει εάν οποιοδήποτε πολλαπλάσιο μιας γραμμής, (στήλης), του πίνακα προστεθεί σε μια άλλη γραμμή, (στήλη). Π.χ.

11 12 11 11 1211 22 21 12 11 21 11 22 12 21

21 22 21 21 22

det ( ) ( ) detα α + λα α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= α α + λα − α + λα α = α α − α α =⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α + λα α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 8) Η ορίζουσα ενός διαγώνιου πίνακα ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της

κυρίας διαγωνίου του: detA=α11α22⋅⋅⋅αnn. Π.χ. 1111 22

22

0det

0α⎛ ⎞

= α α⎜ ⎟α⎝ ⎠. Το αυτό ισχύει και

για ένα τριγωνικό πίνακα, δηλ. για ένα πίνακα του οποίου τα στοιχεία που βρίσκονται

κάτω, (ή πάνω), από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν: 11 1211 22

22

det0α α⎛ ⎞

= α α⎜ ⎟α⎝ ⎠

9) Η ορίζουσα του γινομένου δυο n×n πινάκων ισούται με το γινόμενο των οριζουσών τους: det(AB)=det(A)det(B). Π.χ.

11 12 11 12 11 11 12 21 11 12 12 22

21 22 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22

det det⎡ α α β β ⎤ α β + α β α β + α β⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α β β α β + α β α β + α β⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦=

=(α11β11+α12β21)(α21β12+α22β22)-(α11β12+α12β22)(α21β11+α22β21)=

=α11α22(β11β22-β12β21)-α12α21(β11β22-β12β21)= 11 12 11 12

21 22 21 22

det detα α β β⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α β β⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Για το άθροισμα δεν ισχύει ανάλογη ιδιότητα: det(A+B)≠detA+detB. Οι ιδιότητες 5 και 6 συμπεραίνουμε ότι η ορίζουσα είναι γραμμική ως προς τις γραμμές, (ή στήλες), του πίνακα Α συγκεκριμένα εάν 1 2,r r είναι οι γραμμές του πίνακα Α, τότε

1 1 1 1

2 2 2

det det detr ar r r

ar r r

′ ′+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ΠΙΝΑΚΕΣ

- 67 -

3.9 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

Ο γενικός τύπος:n

ij ijj 1

det A A=

= α∑ , που δίνει την ορίζουσα ενός πίνακα, δεν είναι

εύχρηστος για τον υπολογισμό της. Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο για να υπολογίσουμε μια ορίζουσα, έχει εκτιμηθεί ότι χρειαζόμαστε n! αριθμητικές πράξεις εάν ο πίνακας είναι τύπου n×n. Με έναν ισχυρό υπολογιστή, που εκτελεί ένα εκατομμύριο πράξεις το δευτερόλεπτο, θα χρειαστεί 3,6 δευτερόλεπτα για να υπολογίσει μία ορίζουσα 10×10 και 77 χιλιάδες χρόνια για μια ορίζουσα 20×20, (επειδή 10!=3.628.800 και 20!≈2.4×1018). Επειδή η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο των διαγωνίων στοιχείων του, δηλ χρειαζόμαστε n-1 πολλαπλασιασμούς, το καλύτερο που έχουμε να κάνουμε, για τον υπολογισμό μιας ορίζουσα n×n, είναι να μετατρέψουμε τον πίνακα με κατάλληλες πράξεις σε τριγωνικό έτσι ώστε η ορίζουσα του αρχικού να συμπίπτει με την ορίζουσα του τριγωνικού. Ο τρόπος αυτός ονομάζεται απαλοιφή του Gauss, και στηρίζεται στις ιδιότητες των οριζουσών. Η οικονομία στις πράξεις είναι θεαματική. Για παράδειγμα, ο υπολογιστής θα χρειαστεί τώρα για τον υπολογισμό μιας ορίζουσας 20×20 3 χιλιοστά του δευτερολέπτου.

Την μέθοδο απαλοιφής του Gauss ας την δούμε μέσα από ένα παράδειγμα. Έστω ότι έχουμε τον πίνακα:

2 3 4

A 1 4 51 3 4

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Ο σκοπός μας είναι με κατάλληλες πράξεις να μετατρέψουμε τον πίνακα Α σε άλλον πίνακα, έστω Α1, του οποίου η ορίζουσα να συμπίπτει με την ορίζουσα του Α, δηλ. detA=detA1 και η μορφή του να αρχίζει να γίνεται τριγωνική. Για το σκοπό αυτό ας προσπαθήσουμε ο πίνακας Α1 να έχει το στοιχείο α21 μηδέν. Αυτό μπορεί να γίνει εάν πολλαπλασιάσουμε την πρώτη γραμμή του Α δηλ. την (2,-3,-4) επί ½ και την προσθέσουμε στην δεύτερη. Η νέα γραμμή που θα σχηματισθεί στη θέση της δεύτερης θα είναι: ½(2,-3,-4)+(-1,4,5)=(1,-3/2,-2)+(-1,4,5)=(0,5/2,3) και ο πίνακας θα έχει γίνει:

2 3 4

A 1 4 51 3 4

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2 1 2r 1/ 2r r1

2 3 4A 0 5/ 2 3

1 3 4

→ +

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯→ = ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

όπου r2 → ½ r1+r2 σημαίνει ότι αντικαθίσταται η δεύτερη σειρά r2 με την σειρά ½ r1+r2. Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να μετατρέψουμε τον πίνακα Α1 σε Α2 έτσι ώστε το στοιχείο α31=1 του πίνακα Α2 να είναι μηδέν. Προς τούτο αρκεί να πολλαπλασιάσουμε την πρώτη σειρά (2,-3,-4) με –1/2 και να την προσθέσουμε στην τρίτη, η οποία θα γίνει r3 → -1/2r1+r3=(-1,3/2,2)+(1,-3,-4)=(0,-3/2,-2) και ο νέος πίνακας Α2 θα είναι


- 68 -

3 1 3r 1/ 2r r1 2

2 3 4A A 0 5/ 2 3

0 3/ 2 2

→− +

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯→ = ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Το επόμενο βήμα είναι να μηδενίσουμε το στοιχείο –3/2. Γι’ αυτό θα πολλαπλασιάσουμε την δεύτερη γραμμή με (3/2)/(5/2)=3/5 και η σειρά που θα προκύψει θα την προσθέσουμε στην τρίτη σειρά: r3 → 3/5r2+r3=(0,3/2,9/5)+(0,-3/2,-2)=(0,0,-1/5) και ο νέος πίνακας Α3 θα είναι

3 2 3r 3/5r r2 3

2 3 4A A 0 5/ 2 3

0 0 1/5

→ +

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯→ = ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Ο πίνακας Α3 είναι άνω τριγωνικός και βάσει των ιδιοτήτων των οριζουσών θα έχουμε: detA=detA3=2(5/2)(-1/5)=-1 3.10 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ

Θεωρούμε τον τετραγωνικό πίνακα Α τύπου n×n:

Α=

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

α α α⎛ ⎞⎜ ⎟α α α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎝ ⎠

έστω Α-1 ο αντίστροφος του. Από την σχέση ΑΑ-1=Α-1Α=Ιn , όπου Ιn ο ταυτοτικός πίνακας n×n προκύπτει: det(AA-1)=det(A)det(A-1)=detIn=1 (1)

Για να ισχύει η παραπάνω σχέση θα πρέπει detA≠0. Τότε ο πίνακας Α λέγεται ομαλός ή μη ιδιάζων, (singular). Από την (1) προκύπτει:

( )1 1det Adet A

− =

Η συνθήκη αυτή είναι και ικανή, δηλ. αν ο πίνακας Α είναι μη ιδιάζων τότε υπάρχει ο αντίστροφος του. Ο αντίστροφος πίνακας Α-1 βρίσκεται ως εξής: Θεωρούμε τον ανάστροφο πίνακα των συμπολλαπλασιαστών του Α, που ονομάζεται προσηρτημένος, (adjoint), του Α και συμβολίζεται με adjA:

adjA=

11 21 n1

12 22 n2

1n 2n nn

A A AA A A

A A A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

και πολλαπλασιάζουμε τον Α από δεξιά με τον προσηρτημένο του πίνακα:

ΠΙΝΑΚΕΣ

- 69 -

11 12 1n

21 22 2n

nn n2 nn

α α α⎛ ⎞⎜ ⎟α α α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎝ ⎠

11 21 n1

12 22 n2

n1 2n nn

A A AA A A

A A A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

det A 0 00 det A 0

0 0 det A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(2)

Ο μηδενισμός των μη διαγωνίων στοιχείων του δεύτερου μέλους προκύπτει από

την εξής ιδιότητα: Αν στο ανάπτυγμα της ορίζουσας κατά οποιαδήποτε γραμμή, (ή στήλη), χρησιμοποιήσουμε τους συμπολλαπλασιαστές μιας άλλης γραμμής, (ή στήλης), τότε το αποτέλεσμα είναι μηδέν.

n

ij kjj 1

A 0 k i=

α = ≠∑ ή n

ij iki 1

A 0 k j=

α = ≠∑

Από την ισότητα (2) προκύπτει:

Α(adjA)=In detA ⇒ nadjAA Idet A

=

Με παρόμοιο τρόπο, εάν πολλαπλασιάσουμε τον Α από αριστερά με τον προσηρτημένο του πίνακα θα καταλήξουμε στην σχέση:

nadjA A Idet A

=

Άρα ο αντίστροφος πίνακας είναι: Α-1= adjAdet A

Εάν γράψουμε D=detA τότε τα στοιχεία του αντιστρόφου πίνακα δίνονται από τη σχέση:

( )i+j

ji-1 -1ijij

(-1 ) DA = = αD

(3)

Υπενθυμίζουμε ότι Dij είναι η "ελάσσων ορίζουσα", (minnor determinant) του στοιχείου αij, δηλαδή η ορίζουσα με (n-1) γραμμές και (n-1) στήλες που προκύπτει από τη D αν παραλείψουμε την i γραμμή και j στήλη (δηλαδή τη γραμμή και τη στήλη στις οποίες βρίσκεται το στοιχείο αij ).

Παράδειγμα 1: Έστω ο πίνακας Α=2 51 3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ και θέλουμε να βρούμε τον αντίστροφό του

A-1 αν υπάρχει. Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (3). Κατ' αρχήν D=2⋅3-1⋅5=6-5=1≠0 Άρα ο αντίστροφος A-1 υπάρχει. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις ελάσσονες ορίζουσες: D11=3 D12=1 D21=5 D22=2

Επομένως 1+1

211111

(-1) D= = (-1 .3 = 3)1

−α 1+2

21112

(-1) D= = 51

-−α

2+1

12121

(-1) D= = 11

-−α 2+2

22122

(-1) D= = 21

−α

Άρα ο αντίστροφος πίνακας είναι:


- 70 -

A-1 =3 51 2

−−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Στην πράξη ο τύπος (3) δεν χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του αντιστρόφου

πίνακα διότι απαιτείται τεράστιος χρόνος υπολογισμού. Πρέπει να υπολογίσουμε n2 σε πλήθος ορίζουσες διαστάσεων (n-1)×(n-1). Η συνηθέστερη μέθοδος που χρησιμοποιούμε είναι η μέθοδος απαλοιφής του Gauss. Πριν δούμε πως εφαρμόζεται η μέθοδος αυτή για τον υπολογισμό του αντιστρόφου πίνακα, ας δούμε την εφαρμογή της στην επίλυση των γραμμικών αλγεβρικών συστημάτων, επειδή ουσιαστικά ακολουθούμε τα ίδια βήματα. Ας θεωρήσουμε το σύστημα: 2x1-3x2-4x3=1 (3-1α) -x1+4x2+5x3=-2 (3-1β) x1-3x2-4x3=3 (3-1γ) που υπό μορφή πινάκων παίρνει την έκφραση: Αx=b

όπου 2 3 41 4 5

1 3 4

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

A , 1

2

3

xxx

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

x , 12

3

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b

δηλ. 2 3 41 4 5

1 3 4

− −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

1

2

3

xxx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=12

3

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Για την επίλυση του μπορούμε να “απαλείψουμε” τον άγνωστο x1 στην (3-1β) αντικαθιστώντας την με την εξίσωση που προκύπτει αφαιρώντας από αυτήν την (3-1α) πολλαπλασιασμένη επί α21/α11=(-1)/(2)= –1/2. Ομοίως “απαλείφουμε” τον άγνωστο x1 στην (3-1γ) αντικαθιστώντας την με εκείνη που προκύπτει αφαιρώντας από αυτήν την (3-1α) πολλαπλασιασμένη επί α31/α11=(1)/(2)=1/2. Έτσι, το σύστημα γίνεται: 2x1-3x2-4x3=1 (3-2α) 5/2x2+3x2=-3/2 (3-2β) -3/2x2-2x3=5/2 (3-2γ)

Τώρα ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων είναι:

2 3 4

B 0 5/ 2 30 3/ 2 2

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Στην συνέχεια απαλείφουμε τώρα τον άγνωστο x2 στην (3-2γ) αντικαθιστώντας την με την εξίσωση που προκύπτει αφαιρώντας από αυτήν την (3-2β) πολλαπλασιασμένη επί β32/β22=(-3/2)/(5/2)=–3/5. Το σύστημα γίνεται: 2x1-3x2-4x3=1 (3-3α) 5/2x2+3x3=-3/2 (3-3β) -1/5x3=8/5 (3-3γ) με πίνακα συντελεστών:

ΠΙΝΑΚΕΣ

- 71 -

2 3 40 5/ 2 30 0 1/5

− −⎛ ⎞⎜ ⎟Γ = ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Ο τελικός πίνακας Γ είναι άνω τριγωνικός. Από την εξίσωση (3-3γ) προκύπτει αμέσως η τιμή του x3: x3=-8 H (3-3β) δίνει 5x2-48=-3 ⇒ x2=9 και από την (3-3α) βρίσκουμε: 2x1+5=1 ⇒ x1=-2

Η επίλυση του τελευταίου συστήματος (3-3) που αρχίζει από την τρίτη εξίσωση και την τρίτη μεταβλητή και συνεχίζει ‘πίσω’, στις προηγούμενες εξισώσεις και μεταβλητές, ονομάζεται πίσω αντικατάσταση και είναι το τελευταίο και το ευκολότερο μέρος της όλης διαδικασίας. Το πρώτο και σημαντικότερο μέρος της απαλοιφής Gauss συνίσταται στην τριγωνοποίηση που μετασχηματίζει τον πίνακα Α στον πίνακα Β και τελικά στον πίνακα Γ. Η διαδικασία αυτή φαίνεται καλύτερα εάν γράψουμε σε κάθε βήμα τον 3×4 πίνακα, που σχηματίζουμε με τις τρεις πρώτες στήλες του πίνακα Α, δηλ. τις στήλες του αντίστοιχου πίνακα των συντελεστών των αγνώστων και με τέταρτη στήλη την αντίστοιχη στήλη των δεύτερων μελών, σημειώνοντας συγχρόνως τις σχετικές πράξεις “επί των γραμμών” που τριγωνοποιούν το σύστημα. Συγκεκριμένα:

2

1 1 2 2 1 2 11

33 3 1 3 1

1

r (1) 1r r , r r r r rr (1) 2

r (1) 1r r r r rr (1) 2

2 3 4 1 2 3 4 11 4 5 2 0 5/ 2 3 3/ 2

1 3 4 3 0 3/ 2 2 5/ 2

−′ ′= = − = −

′ = − = −

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 2 2

33 3 2 3 2

2

r r , r r

r (2) ( 3 / 2)r r r r r5 / 2r (2)

2 3 4 10 5/ 2 3 3/ 20 0 1/5 8/5

′′ ′ ′′ ′= =′ −′′ ′ ′ ′ ′= − = −′

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

όπου r1, r2, r3 είναι οι γραμμές του πρώτου πίνακα r1′, r2′, r3′ οι γραμμές του δεύτερου πίνακα και r1′′, r2′′, r3′′ οι γραμμές του τρίτου πίνακα. Ο συμβολισμός r1(1) δηλώνει το πρώτο στοιχείο της πρώτης γραμμής του πρώτου πίνακα, ομοίως r2′(2) δηλώνει το δεύτερο στοιχείο της δεύτερης γραμμής του δεύτερου πίνακα κ.λ.π. Για τον υπολογισμό τώρα του αντιστρόφου πίνακα ακολουθούμε μια παρόμοια διαδικασία που έχει ως εξής: Ας συμβολίσουμε με Χ τον αντίστροφο πίνακα του Α και Χ1, Χ2, ⋅⋅⋅, Χn οι στήλες του Χ. Τότε η σχέση ΑΧ=Ι πιο αναλυτικά γράφεται: ΑΧi=Si i=1,2,⋅⋅⋅,n (4) όπου Si η i-στήλη του μοναδιαίου πίνακα Ι. Με αυτό τον τρόπο μπορούμε να βρούμε την i-στήλη Χi του αντίστροφου πίνακα λύνοντας το σύστημα (4) με απαλοιφή Gauss και επαναλαμβάνοντας την διαδικασία για όλα το i βρίσκουμε όλες τις στήλες του Χ. Παράδειγμα 2: Για τον πίνακα:


- 72 -

2 3 4

A 1 4 51 3 4

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

του προηγουμένου παραδείγματος έχουμε: 1η στήλη

2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 11 4 5 0 0 5/ 2 3 1/ 2 0 5/ 2 3 1/ 2

1 3 4 0 1 3/ 2 2 1/ 2 0 0 1/ 5 1/5

− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− → →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 3

2 2

1 1

1/ 5x 1/ 5 x 15/ 2x 3 1/ 2 x 1

2x 1 1 x 1

− = − ⇒ =⎧⎪→ + = ⇒ = −⎨⎪ − = ⇒ =⎩

⇒ 1

11

1

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

X

2η στήλη 2 3 4 0 2 3 4 0 2 3 4 01 4 5 1 0 5/ 2 3 1 0 5/ 2 3 1

1 3 4 0 1 3/ 2 2 0 0 0 1/ 5 3/ 5

− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− → →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 3

2 2

1 1

1/ 5x 3/ 5 x 35/ 2x 9 1 x 4

2x 0 x 0

− = ⇒ = −⎧⎪→ − = ⇒ =⎨⎪ = ⇒ =⎩

⇒ 2

043

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

X

3η στήλη 2 3 4 0 2 3 4 0 2 3 4 01 4 5 0 0 5/ 2 3 0 0 5/ 2 3 0

1 3 4 1 1 3/ 2 2 1 0 0 1/ 5 1

− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− → →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 3

2 2

1 1

1/ 5x 1 x 55/ 2x 15 0 x 6

2x 2 0 x 1

− = ⇒ = −⎧⎪→ − = ⇒ =⎨⎪ + = ⇒ = −⎩

⇒ 3

165

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

X

Τελικά ο αντίστροφος πίνακας Α-1 είναι:

[ ]11 2 3

1 0 1A 1 4 6

1 3 5

−−⎛ ⎞

⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

X X X

Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού του αντιστρόφου πίνακα, που δίνει κατ' ευθείαν τον Α-1 χωρίς να υπολογίζουμε ξεχωριστά τις στήλες του, είναι ο εξής: Σχηματίζουμε τον διαμερισμένο πίνακα [Ιn|A], που αποτελείται από τον ταυτοτικό πίνακα In και τον πίνακα Α. Στη συνέχεια προσπαθούμε με πεπερασμένο πλήθος στοιχειωδών πράξεων στις γραμμές του να τον μετατρέψουμε σε πίνακα της μορφής [Χ|Ιn]. Τότε αποδεικνύεται ότι Χ=Α-1.

ΠΙΝΑΚΕΣ

- 73 -

Παράδειγμα 3: Να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα Α=1 2 30 1 20 0 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση: [Ι3|Α]= 1 1 3r r 3r

1 0 0 1 2 3 1 0 3 1 2 00 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 20 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1

→ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 2 3r r 2r

1 0 3 1 2 00 1 2 0 1 00 0 1 0 0 1

→ −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯→ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1 2r r 2r

1 2 7 1 0 00 1 2 0 1 00 0 1 0 0 1

→ −

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯→ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⇒ Α-1=1 2 70 1 20 0 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Παράδειγμα 4: Να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα Α=2 2 31 1 01 2 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Λύση: [Ι3|Α]= 1 1 2

3 3 2

r r 2rr r r

1 0 0 2 2 3 1 2 0 0 4 30 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 00 0 1 1 2 1 0 1 1 0 1 1

→ −→ +

⎡ ⎤ ⎡ − ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎯⎯⎯⎯→ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1 3r r 3r

1 5 3 0 1 00 1 0 1 1 00 1 1 0 1 1

→ −

⎡ − − ⎤⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯→ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2 1

3 3 1

r r rr r r

1 5 3 0 1 01 4 3 1 0 01 6 4 0 0 1

→

→ +−

− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯→ − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

1 2

2 1

r rr r

1 4 3 1 0 01 5 3 0 1 01 6 4 0 0 1

→

→

⎡ − − ⎤⎢ ⎥⎯⎯⎯→ − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

⇒ Α-1=1 4 31 5 31 6 4

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Θεώρημα 1: Εάν Α, Β δυο ομαλοί πίνακες τότε ισχύει: (ΑΒ)-1=(Β-1)(Α-1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Να υπολογισθούν τα x, y,z w εάν


- 74 -

x y x 6 4 x y

3z w 1 2w z w 3

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(Απ. x=2, y=4, z=1, w=3)

2) Έστω 1 3 2 0 4

A B2 1 3 2 6

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= και =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. Να υπολογιστούν τα γινόμενα

ΑΒ και ΒΑ. (Απ. ΑΒ=11 6 141 2 14

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

το γινόμενο ΒΑ δεν ορίζεται)

3) Να βρεθούν όλοι οι πίνακες της μορφής x yz w

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

που μετατίθενται με τον πίνακα

1 10 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. (Απ. x yz w

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=0α β⎛ ⎞⎜ ⎟α⎝ ⎠

4) Έστω Α=1 20 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Να υπολογισθεί ο πίνακας Αn. (Απ. Αn=1 2n0 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

5) Να βρεθούν οι αντίστροφοι των πινάκων:

1 2 3 2 1 1

3 2 2 3A , B , 2 1 0 , 0 2 1

7 5 1 34 2 5 5 2 3

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = Γ = Δ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(Απ.

1 1 1 1

5 4 3 8 1 35 2 1/ 3 1/ 3

A , B , 10 7 6 , 5 1 27 3 1/ 9 2 / 9

8 6 5 10 1 4

− − − −

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = Γ = − Δ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6) Κάθε πίνακας Α αντιμετατίθεται με τον Α2. Εάν 2

4 1 00 4 10 0 4

⎛ ⎞⎜ ⎟Α = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

τότε ο Α είναι

της μορφής: 00 0

α β γ⎛ ⎞⎜ ⎟Α = α β⎜ ⎟⎜ ⎟α⎝ ⎠

7) Εάν 7 49 5

⎛ ⎞Α = ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

αποδείξτε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n ισχύει:

n 1 6n 4n9n 1 6n+⎛ ⎞

Α = ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

ΠΙΝΑΚΕΣ

- 75 -

8) Εάν ο Α είναι ένας n×n πίνακας, να δειχθεί ότι α) ο ΑtA είναι ένας συμμετρικός πίνακας, β) ο Α+Αt είναι ένας συμμετρικός πίνακας και ο Α-Αt είναι ένας αντισυμμετρικός πίνακας.

9) Εάν Α και Β είναι αντίστοιχα ένας συμμετρικός και ένας αντισυμμετρικός πίνακας έτσι ώστε ΑΒ=ΒΑ και ο πίνακας Α+Β είναι αντιστρέψιμος, να δειχθεί ότι ο πίνακας (Α+Β)-1(Α-Β) είναι ορθογώνιος.

10) Να δειχθεί ότι, εάν ο πίνακας Ι+SA είναι αντιστρέψιμος, όπου Α είναι ένας

συμμετρικός πίνακας και S είναι ένας αντισυμμετρικός πίνακας, τότε ο πίνακας L=(I-SA)(I+SA)-1 είναι τέτοιος ώστε LtAL=A. Αντιστρόφως, εάν LtAL=A, όπου ο Α είναι συμμετρικός και οι Ι+L, A είναι αντιστρέψιμοι, να δειχθεί ότι ο S=(I+L)-1(I-L)A-1 είναι αντιστρέψιμος.

11) Να δειχθεί ότι κάθε 2×2 πίνακας Χ για τον οποίο ισχύει XtAX=B, όπου 1 0 0 1

A , B0 1 1 0⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

έχει μια από τις δυο μορφές: 1

2

12

α

−α

α⎛ ⎞⎜ ⎟α⎝ ⎠

ή 1

2

12

α

α

α⎛ ⎞⎜ ⎟−α⎝ ⎠

Να βρεθούν όλοι οι πίνακες Χ οι οποίοι ικανοποιούν την επιπλέον συνθήκη XtX=2I.

12) Αν 1 0

A 0 10 0 1

−α⎛ ⎞⎜ ⎟= −α⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

τότε

α) να δειχθεί ότι Α3=3Α2-3Α+Ι3, β) να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα Α.

13) Να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα Α=3 45 7⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

14) Να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα: Α=cos sinsin cos

α − α⎛ ⎞⎜ ⎟α α⎝ ⎠

α∈R

15) Να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα Α=3 4 52 3 13 5 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠


- 76 -

16) Δίνεται ο πίνακας Α=1 2 22 1 22 2 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

. Να βρεθούν οι πίνακες Α2 και Α-1.

17) Να βρεθεί ο αντίστροφος πίνακας του γινομένου:

1 0 x0 1 y0 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0 00 00 0

α⎛ ⎞⎜ ⎟β⎜ ⎟⎜ ⎟γ⎝ ⎠

1 0 00 0 10 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

όπου α, β, γ≠0, χωρίς να υπολογιστεί το γινόμενο των τριών πινάκων. 18) Να δειχθεί ότι α) ο αντίστροφος ενός ομαλού πίνακα είναι κι αυτός συμμετρικός πίνακας, β) ο αντίστροφος ενός ομαλού αντισυμμετρικού πίνακα είναι κι αυτός αντισυμμετρικός πίνακας. 19) Εάν οι n×n πίνακες Α, Β είναι ομαλοί, τότε να δειχθεί ότι:

(Α-1+Β-1)-1=Β(Α+Β)-1Α=Α(Α+Β)-1Β

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

12) Αν 1 0

A 0 10 0 1

−α⎛ ⎞⎜ ⎟= −α⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

τότε

α) να δειχθεί ότι Α3=3Α2-3Α+Ι3, β) να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα Α.

Λύση: α) Α2=1 00 10 0 1

−α⎛ ⎞⎜ ⎟−α⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 00 10 0 1

−α⎛ ⎞⎜ ⎟−α⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

21 20 1 20 0 1

⎛ ⎞− α α⎜ ⎟

− α⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Α3=Α2Α=

21 20 1 20 0 1

⎛ ⎞− α α⎜ ⎟

− α⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 00 10 0 1

−α⎛ ⎞⎜ ⎟−α⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

21 3 30 1 30 0 1

⎛ ⎞− α α⎜ ⎟− α⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Άρα 3Α2-3Α+Ι3=3

21 20 1 20 0 1

⎛ ⎞− α α⎜ ⎟

− α⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

31 00 10 0 1

−α⎛ ⎞⎜ ⎟−α⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+1 0 00 1 00 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

21 3 30 1 30 0 1

⎛ ⎞− α α⎜ ⎟− α⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=Α3

β) Α3=3Α2-3Α+Ι3 ⇒ Α3-3Α2+3Α=Ι3 ⇒ Α(Α2-3Α+3Ι3)=Ι3 ⇒

Α-1=Α2-3Α+3Ι3=

21 20 1 20 0 1

⎛ ⎞− α α⎜ ⎟

− α⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

-31 00 10 0 1

−α⎛ ⎞⎜ ⎟−α⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+31 0 00 1 00 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

210 10 0 1

⎛ ⎞α α⎜ ⎟

α⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ΠΙΝΑΚΕΣ

- 77 -

13) Να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα Α=3 45 7⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση:

[Ι2|Α]= 1

2 2 1 1

2 2

5 rr r r r3 3

r 3r

1 0 3 4 1 0 3 4 1/ 3 0 1 4 / 30 1 5 7 5/ 3 1 0 1/ 3 5 3 0 1

→ − →

→

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1 2

4r r r3

2

7 4I

5 3→ − ⎡ − ⎤

⎯⎯⎯⎯→ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

Άρα Α-1=7 45 3

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

14) Να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα: Α=cos sinsin cos

α − α⎛ ⎞⎜ ⎟α α⎝ ⎠

α∈R

Λύση: Επειδή |Α|=cos2α+sin2A=1 και Α11=cosα, Α12=-sinα, A21=-(-sinα)=sinα, A22=cosα θα έχουμε:

Α-1= 11 21

12 22

A AA A⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=cos sinsin cosα α⎛ ⎞

⎜ ⎟− α α⎝ ⎠

15) Να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα Α=3 4 52 3 13 5 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Λύση:

[Ι3|Α]= 2 2 1

3 3 1

r r rr r r

1 0 0 3 4 5 1 0 0 3 4 50 1 0 2 3 1 1 1 0 1 1 40 0 1 3 5 1 1 0 1 0 1 6

→ −→ −

⎡ − ⎤ ⎡ − ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎯⎯⎯⎯→ − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3 3 11 1 2 r r rr r 3r

2 3 0 0 1 7 2 3 0 0 1 71 1 0 1 1 4 1 1 0 1 1 41 0 1 0 1 6 1 3 1 0 0 1

→ −→ +

⎡− − − ⎤ ⎡− − − ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯→ − − − ⎯⎯⎯⎯→ − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3 3 1 1 1 3

2 r 4 r2 3

r r r r r 7rr

2 3 0 0 1 7 5 18 7 0 1 01 1 0 1 1 4 3 11 4 1 1 0

1 3 1 0 0 1 1 3 1 0 0 1→ +

→ − → +

⎡− − − ⎤ ⎡ − − ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯→ − − − ⎯⎯⎯⎯→ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 2 1 1 2

2 1

r r r r rr r

5 18 7 0 1 0 8 29 11 1 0 08 29 11 1 0 0 5 18 7 0 1 01 3 1 0 0 1 1 3 1 0 0 1

→ + →→

⎡ − − ⎤ ⎡ − − ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯→ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦


- 78 -

1 1

2 2

r rr r

8 29 11 1 0 05 18 7 0 1 0

1 3 1 0 0 1

→−→ −

⎡− − ⎤⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯→ − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Άρα Α-1=8 29 115 18 7

1 3 1

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

16) Δίνεται ο πίνακας Α=1 2 22 1 22 2 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Να βρεθούν οι πίνακες Α2 και Α-1.

Λύση: Α2=ΑΑ=1 2 22 1 22 2 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 2 22 1 22 2 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

=91 0 00 1 00 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ Α2=9Ι3 ⇒ 31A A I9

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ Α-1= 1 A9

= 19

1 2 22 1 22 2 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

=1/9 2 / 9 2 /92 /9 1/9 2 /92 /9 2 /9 1/9

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

17) Να βρεθεί ο αντίστροφος πίνακας του γινομένου:

1 0 x0 1 y0 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0 00 00 0

α⎛ ⎞⎜ ⎟β⎜ ⎟⎜ ⎟γ⎝ ⎠

1 0 00 0 10 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

όπου α, β, γ≠0, χωρίς να υπολογιστεί το γινόμενο των τριών πινάκων.

Λύση: Έστω Α=1 0 x0 1 y0 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, Β=0 0

0 00 0

α⎛ ⎞⎜ ⎟β⎜ ⎟⎜ ⎟γ⎝ ⎠

, Γ=1 0 00 0 10 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Θα εφαρμόσουμε τον τύπο

(ΑΒΓ)-1=Γ-1Β-1Α-1.

Επειδή Α-1=1 0 x0 1 y0 0 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, Β-1=1/ 0 0

0 1/ 00 0 1/

α⎛ ⎞⎜ ⎟β⎜ ⎟⎜ ⎟γ⎝ ⎠

, Γ-1=1 0 00 0 10 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

έχουμε:

(ΑΒΓ)-1=Γ-1Β-1Α-1=1 0 00 0 10 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1/ 0 00 1/ 00 0 1/

α⎛ ⎞⎜ ⎟β⎜ ⎟⎜ ⎟γ⎝ ⎠

1 0 x0 1 y0 0 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=1/ 0 x /

0 0 1/0 1/ y /

α − α⎛ ⎞⎜ ⎟γ⎜ ⎟⎜ ⎟β − β⎝ ⎠

ΠΙΝΑΚΕΣ

- 79 -

18) Να δειχθεί ότι α) ο αντίστροφος ενός ομαλού συμμετρικού πίνακα είναι κι αυτός συμμετρικός πίνακας, β) ο αντίστροφος ενός ομαλού αντισυμμετρικού πίνακα είναι κι αυτός αντισυμμετρικός πίνακας. Λύση: α) Έστω ότι ο πίνακας Α είναι ομαλός συμμετρικός. Τότε Α-1Α=Ιn ⇒ (A-1A)t=In

t ⇒ At(A-1)t=In ⇒ A(A-1)t=In ⇒ (A-1)t=A-1 δηλ. ο πίνακας Α-1 είναι συμμετρικός. β) Έστω ότι ο πίνακας Α είναι ομαλός αντισυμμετρικός. Τότε Α-1Α=Ιn ⇒ (A-1A)t=In

t ⇒ At(A-1)t=In ⇒ -A(A-1)t=In ⇒ (A-1)t=-A-1 δηλ. ο πίνακας Α-1 είναι αντισυμμετρικός. 19) Εάν οι n×n πίνακες Α, Β είναι ομαλοί, τότε να δειχθεί ότι:

(Α-1+Β-1)-1=Β(Α+Β)-1Α=Α(Α+Β)-1Β Λύση: Θέτουμε Χ=Α-1+Β-1 και έχουμε: ΑΧ=Α(Α-1+Β-1)=ΑΑ-1+ΑΒ-1=Ιn+AB-1 και ΑΧΒ=(Ιn+AB-1)Β=InB+(AB-1)B=B+A(B-1B)=B+A=A+B επίσης AXB=A+B ⇒ X=A-1(A+B)B-1 ⇒ X-1=[A-1(A+B)B-1]-1= =(B-1)-1(A+B)-1(A-1)-1=B(A+B)-1A και ανάλογα Χ=Α-1+Β-1 ⇒ ΒΧΑ=Β(Α-1+Β-1)Α=Β+Α=Α+Β ⇒ Χ=Β-1(Α+Β)Α-1 ⇒ Χ-1=Α(Α+Β)-1Β.

- 81 -

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο IV

ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στα πλαίσια της Μαθηματικής Ανάλυσης μελετώνται συναρτήσεις μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών. Αυτές οι συναρτήσεις μπορούν να θεωρηθούν σαν συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής. Π.χ. μια συνάρτηση τριών μεταβλητών μπορεί να θεωρηθεί σαν συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι ένα διάνυσμα του χώρου R3. Άμεση γενίκευση αυτού είναι να θεωρήσουμε συναρτήσεις των οποίων τα ορίσματα προέρχονται από τυχαίους διανυσματικούς χώρους. Οι πιο απλές συναρτήσεις τέτοιου είδους είναι οι γραμμικές συναρτήσεις ή όπως αλλιώς λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί. Εάν το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών είναι υποσύνολα του ίδιου διανυσματικού χώρου τότε οι γραμμικοί μετασχηματισμοί λέγονται γραμμικοί τελεστές. Ο ρόλος που παίζουν οι γραμμικοί μετασχηματισμοί και ιδίως οι τελεστές στην θεωρητική Φυσική, είναι μεγάλος. Ενδεικτικά αναφέρουμε τα εξής: Στην Κβαντο-μηχανική αντιστοιχούμε σε κάθε φυσικό μέγεθος έναν αυτοσυναφή (Hermitian) τελεστή, του οποίου οι ιδιοτιμές είναι οι δυνατές τιμές του φυσικού μεγέθους. Βρίσκοντας λοιπόν τις ιδιοτιμές του αντίστοιχου Hermitian τελεστή από την εξίσωση ιδιοτιμών, ξέρουμε και τις τιμές του φυσικού μεγέθους. Ένα άλλο είδος τελεστών, οι ισομετρικοί (Unitary), μας εξασφαλίζουν τη μετάβαση από μία βάση ενός φυσικού συστήματος σε μία άλλη ή χρησιμοποιώντας την ορολογία της Κβαντομηχανικής, με Unitary τελεστές μεταβαίνουμε από την εικόνα Heisenberg στην εικόνα Schröndinger, ή και αντίστροφα. 4.1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ

Έστω V και U δύο διανυσματικοί χώροι στο ίδιο σώμα F. Μία απεικόνιση: T: V → U ονομάζεται γραμμικός μετασχηματισμός, (linear transfomation), αν έχει τις εξής ιδιότητες: 1. T(v+u)=T(v)+T(u) ∀v∈V 2. T(αv) =αT(v) ∀α∈F και ∀v∈V

Με άλλα λόγια ο μετασχηματισμός Τ είναι γραμμικός, αν "διατηρεί" τις δύο βασικές πράξεις ενός διανυσματικού χώρου, δηλαδή τη διανυσματική πρόσθεση και το βαθμωτό πολλαπλασιασμό. Θέτοντας στην ιδιότητα (2) α=0 έχουμε Τ(0)=0, δηλαδή κάθε γραμμικός μετασχηματισμός, απεικονίζει το μηδενικό διάνυσμα του V στο μηδενικό διάνυσμα του U. Εάν αυτό δεν συμβαίνει τότε η απεικόνιση Τ δεν είναι γραμμική. Οι δύο ιδιότητες της γραμμικότητας μπορούν να συμπτυχθούν σε μία: T(αv+βu)=αT(v)+βT(u)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV

- 82 -

η οποία χαρακτηρίζει πλήρως το γραμμικό μετασχηματισμό και μερικές φορές χρησιμοποιείται και σαν ορισμός. Παράδειγμα 1: Έστω οι διανυσματικοί χώροι V=Rn και U=Rm των οποίων τα διανύσματα τα θεωρούμε σαν στήλες, και ένας πίνακας Α τύπου m×n. Τότε η απεικόνιση: T: Rn → Rm που ορίζεται από τη σχέση: T: v → Tv=Av είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός. Πράγματι από τις ιδιότητες των πινάκων έχουμε: T: V → U T(v+u)=A(v+u)=Av+Au=T(v)+T(u) και T(αv)=A(αv)=αA(v)=αT(v) Αποδεικνύεται ότι κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων πεπερασμένης διάστασης, μπορεί να παρασταθεί σαν γραμμικός μετασχηματισμός της πιο πάνω μορφής, όπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο. Παράδειγμα 2: Έστω Τ: R3→R3 η προβολή στο επίπεδο OΧΥ. Θα δείξουμε ότι ο Τ είναι γραμμικός μετασχηματισμός. Έστω v=(x,y,z) και u=(x′,y′,z′). Τότε: Τ(v+u)=T(x+x′,y+y′,z+z′)=(x+x′,y+y′,0)=(x,y,0)+(x′,y′,0)=T(v)+T(u) και (∀α∈R): T(αv)=T(αx,αy,αz)=(αx,αy,0)=α(x,y,0)=αT(v) Παράδειγμα 3: Έστω η μετατόπιση T: R2 → R2 που ορίζεται από τη σχέση T(x,y)=(x+1,y+2). Παρατηρούμε ότι T(0)=T(0,0)=(1,2)≠(0,0). Δηλαδή το μηδενικό διάνυσμα δεν απεικονίζεται στο μηδενικό διάνυσμα. Άρα η μετατόπιση Τ δεν είναι γραμμικός μετασχηματισμός. Παράδειγμα 4: Έστω T: V → U η απεικόνιση που απεικονίζει κάθε διάνυσμα ν∈V στο μηδενικό διάνυσμα του U. Τότε για κάθε v,u∈V και για κάθε α∈F, (F= το σώμα στο ο-ποίο ορίζονται οι διανυσματικοί χώροι V και U), έχουμε: T(v+u)=0=0+0=T(v)+T(u) και T(αv)=0=α⋅0=α⋅Τ(v) Άρα η Τ είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός και ονομάζεται μηδενικός μετασχηματισμός. Παράδειγμα 5: Θεωρούμε την ταυτοτική απεικόνιση I: V → V η οποία απεικονίζει κάθε διάνυσμα v∈V στον εαυτό του. Τότε: I(αv+βu)=αv+βu=αI(v)+βI(u)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

- 83 -

Επομένως η απεικόνιση Ι είναι γραμμική και ονομάζεται ταυτοτικός μετασχηματισμός. Παράδειγμα 6: Έστω V ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων (ή των διαφορισίμων και ολοκληρωσίμων συναρτήσεων) μεταβλητής x στο σώμα R. Τότε οι απεικονίσεις: D: V → V και I: V → R που ορίζονται από τις σχέσεις:

1

0

dvD : v D(v) = : v (v) = v(t)dtdt

→ και Ι → Ι ∫

είναι γραμμικές διότι:

1. D(v + u) = d(v + u)dt

= dvdt

+ dudt

= D(v) + D(u)

και D( v) = d( vdt

= dvdt

= D(v)αα

α α)

2. I(v + u) = (v(t)+ u(t))dt = v(t)dt + u(t)dt = I(v)+ I(u)0

1

0

1

0

1

∫ ∫ ∫

και 1 1

0 0

I( v) = v(t)dt = v(t)dt = I(v)α α α α∫ ∫

Η D ονομάζεται διαφορικός μετασχηματισμός και η I ολοκληρωτικός μετασχηματι-σμός. Θεώρημα 1: Έστω V και U δυο διανυσματικοί χώροι επί του αυτού σώματος F. Έστω v1, v2, ⋅⋅⋅, vn μια βάση του V και u1, u2, ⋅⋅⋅, un τυχαία διανύσματα του U. Τότε υπάρχει μια μοναδική γραμμική απεικόνιση T: V→U τέτοια ώστε T(v1)=u1, T(v2)=u2, ⋅⋅⋅, T(vn)=un. Απόδειξη: Υπάρχουν 3 βήματα για την απόδειξη του θεωρήματος: 1) Να ορίσουμε μια απεικόνιση T: V→U τέτοια ώστε T(vi)=ui , i=1,⋅⋅⋅n. 2) Να δείξουμε ότι η Τ είναι γραμμική και 3) ότι είναι μοναδική. Βήμα 1: Έστω v∈V. Εφ' όσον v1, v2, ⋅⋅⋅, vn είναι μια βάση του V θα υπάρχουν μοναδικοί αριθμοί α1, α2, ⋅⋅⋅, αn ∈F για τους οποίους v=α1v1+α2v2+⋅⋅⋅+αnvn . Ορίζουμε την απεικόνιση Τ από την σχέση: T(v)≡α1u1+α2u2+⋅⋅⋅+ αnun και είναι καλώς ορισμένη εφ' όσον τα αi είναι μοναδικά για το v. Τώρα για i=1,⋅⋅⋅,n έχουμε: vi=0v1+0v2+⋅⋅⋅1vi+⋅⋅⋅+0vn ⇒ T(vi)=0u1+0u2+⋅⋅⋅1ui+⋅⋅⋅+0un=ui Βήμα 2: Έστω v=α1v1+α2v2+⋅⋅⋅+αnvn και w=β1v1+β2v2+⋅⋅⋅+βnvn . Τότε λv+μw=(λα1+μβ1)v1+(λα2+μβ2)v2+⋅⋅⋅+(λαn+μβn)vn Από τον ορισμό της απικονίσεως Τ έχουμε: T[λv+μw]=T[(λα1+μβ1)v1+(λα2+μβ2)v2+⋅⋅⋅+(λαn+μβn)vn]= =(λα1+μβ1)u1+(λα2+μβ2)u2+⋅⋅⋅+(λαn+μβn)un= =λ(α1u1+α2u2+⋅⋅⋅+αnun)+μ(β1u1+β2u2+⋅⋅⋅+βnun)=

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV

- 84 -

=λΤ(v)+μT(w). Άρα η Τ είναι γραμμική. Βήμα 3: Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει και άλλη απεικόνιση S: V→U τέτοια ώστε: S(vi)=ui, i=1,2,⋅⋅⋅,n. Εάν v=α1v1+α2v2+⋅⋅⋅+αnvn τότε S(v)=S(α1v1+α2v2+⋅⋅⋅+αnvn)=α1S(v1)+α2S(v2)+⋅⋅⋅+ αnS(vn)=α1u1+α2u2+⋅⋅⋅+ αnun=T(v) Εφ' όσον S(v)=T(v) ∀v∈V θα είναι Τ=S, δηλ. η Τ είναι μοναδική. 4.2 ΠΥΡΗΝΑΣ ΚΑΙ ΕΙΚΟΝΑ ΕΝΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ

Ορισμός 1: Έστω T: V → U ένας γραμμικός μετασχηματισμός. Η εικόνα (image) του Τ που συμβολίζεται Im(T), είναι το σύνολο των εικόνων στο U, δηλαδή: Im(T)=u∈U / T(v)=u για κάποιο v∈V O πυρήνας (kernel) του Τ που συμβολίζεται με Ker(T), είναι το σύνολο των στοιχείων του V, που απεικονίζεται στο μηδενικό διάνυσμα του U: Ker(T)=v∈V / T(v)=0 Παράδειγμα 1: Έστω T: R3 → R3 η προβολή στο επίπεδο OXY. T(x,y,z)=(x,y,0). Προφανώς η εικόνα του Τ είναι όλο το επίπεδο ΟΧΥ: Im(T)=(x,y,0) / x,y∈R και ο πυρήνας του Τ είναι ο άξονας ΟΖ. Ker(T)=(0,0,z) / z∈R εφ' όσον αυτά τα σημεία και μόνο αυτά, απεικονίζονται στο μηδενικό διάνυσμα 0=(0,0,0). Θεώρημα 1: Έστω T: V → U ένας γραμμικός μετασχηματισμός. Τότε η εικόνα του Τ είναι ένας υπόχωρος του U και ο πυρήνας του Τ υπόχωρος του V. Απόδειξη: α) Εφ' όσον T(0)=0, 0∈ImT. Ας υποθέσουμε τώρα ότι u, u′∈ImT και α, β∈F. Τότε θα υπάρχουν διανύσματα v, v′∈V τέτοια ώστε T(v)=u, T(v′)=u′ και θα έχουμε T(αv+βv′)=αT(v)+βT(v′)=αu+βu′∈ImT δηλ η ImT είναι διαν. υπόχωρος. β) Εφ' όσον T(0)=0, 0∈KerT. Ας υποθέσουμε τώρα ότι v, w∈KerT και α, β∈F. Τότε θα έχουμε T(v)=0, T(w)=0 και T(αv+βw)=αT(v)+βT(w)=0 ⇒ αv+βw∈KerT δηλ ο KerT είναι διαν. υπόχωρος. Θεώρημα 2: Ας υποθέσουμε ότι τα διανύσματα v1, v2, ⋅⋅⋅, vn αποτελούν ένα σύστημα γεννητόρων του V και ότι T: V → U είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός. Τότε τα διανύσματα T(v1), Τ(v2),…,Τ(vn)∈U,


- 85 -

αποτελούν ένα σύστημα γεννητόρων του διανυσματικού υπόχωρου Im(T). Απόδειξη: Πράγματι, αν u∈Ιm(T) τότε υπάρχει κάποιο διάνυσμα v∈V τέτοιο ώστε T(v)=u. Αφού τα vi , i=1,⋅⋅⋅,n αποτελούν σύστημα γεννητόρων και v∈V τότε υπάρχουν αριθμοί α1,α2,⋅⋅⋅,αn για τους οποίους v=α1v1+α2v2+⋅⋅⋅+αnvn. Συνεπώς u=T(v)=T(α1v1+⋅⋅⋅+αnvn)=α1T(v1)+⋅⋅⋅+αnT(vn) και άρα τα διανύσματα T(v1),⋅⋅⋅,Τ(vn) αποτελούν σύστημα γεννητόρων του Im(T). Θεώρημα 3: Έστω V διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης και T: V → U ένας γραμμικός μετασχηματισμός. Τότε: dimV=dim(Ker(T))+dim(ImT)) Απόδειξη: Έστω ότι dimV=n. Εφ’ όσον Ker(T) είναι υπόχωρος του V, η διάσταση του θα είναι dimKer(T)=r≤n. Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι Im(T)=n-r. Έστω w1, w2, …, wr μια βάση του Ker(T). Επεκτείνουμε την βάση wi ώστε να είναι μια βάση του V: w1, …, wr, v1, …, vn-r. έστω Β=T(v1), …, T(vn-r) . To θεώρημα θα έχει αποδειχθεί εάν δείξουμε ότι το Β είναι μια βάση της εικόνας Im(T). A) Θα αποδείξουμε πρώτα ότι το Β είναι σύνολο γεννητόρων της εικόνας Im(T). Έστω u∈Im(T), τότε υπάρχει ένα v∈V τέτοιο ώστε T(v)=u. Το διάνυσμα v το αναπτύσσουμε ως προς την βάση w1, …, wr, v1, …, vn-r: v=α1w1+ …,+αrwr+β1v1+ …,+βn-rvn-r ⇒ u=T(v)=α1T(w1)+ …,+αrT(wr)+β1T(v1)+ …,+βn-rT(vn-r)= β1T(v1)+ …,+βn-rT(vn-r) επειδή T(wi)=0, (αφού τα wi ανήκουν στον πυρήνα Ker(T)). Άρα το σύνολο Β=T(v1), …, T(vn-r) είναι σύνολο γεννητόρων της εικόνας Im(T). B) Θα αποδείξουμε ότι τα διανύσματα του Β είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Ας υποθέσουμε ότι α1T(v1)+ …+αn-rT(vn-r)=0, τότε T(α1v1+ …+αn-rvn-r)=0 και το διάνυσμα α1v1+ …+αn-rvn-r θα ανήκει στον πυρήνα Ker(T). Μπορούμε επομένως να το αναπτύξουμε ως προς την βάση wi του πυρήνα: α1v1+ …+αn-rvn-r= β1w1+ …+βrwr ⇒ α1v1+ …+αn-rvn-r- β1w1- …-βrwr =0 (1) αλλά τα διανύσματα v1, …,vn-r,w1, …,rwr αποτελούν βάση του V, και επομένως είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Οι συντελεστές στη σχέση (1) θα είναι όλοι μηδέν. Άρα α1=0, α2=0,…, αn-r=0. Επομένως τα διανύσματα T(vi) είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Έτσι το σύνολο Β είναι μια βάση της εικόνας Im(T) και άρα dimIm(T)=n-r και το θεώρημα απεδείχθη. Στο προηγούμενο παράδειγμα εύκολα μπορούμε να δούμε ότι ο γραμμικός μετασχη-ματισμός, που είναι η προβολή στο OXY επίπεδο, ικανοποιεί αυτό τον τύπο. Η εικόνα (το OXY επίπεδο) και ο πυρήνας (ο άξονας ΟΖ) του Τ έχουν διαστάσεις 2 και 1 αντίστοιχα, και το πεδίο ορισμού ο R3 έχει διάσταση 3. Ορισμός 2: Η διάσταση της εικόνας ενός γραμμικού μετασχηματισμού Τ, λέγεται τάξη του Τ και συμβολίζεται rank(T) ενώ η διάσταση του πυρήνα λέγεται μηδενικότητα και συμβολίζεται nullity(T).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV

- 86 -

4.3 ΙΔΙΑΖΟΝΤΕΣ ΚΑΙ ΜΗ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

Ορισμός 1: Ένας γραμμικός μετασχηματισμός T: V → U λέγεται ιδιάζων, (singular), αν υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό διάνυσμα v του V που απεικονίζεται στο μηδενικό διάνυσμα του U , δηλαδή: T=ιδιάζων ⇔ (∃v∈V)[T(v)=0 v≠0] (1) Όταν δεν ισχύει η (1), τότε kerT=0, δηλαδή μόνο το μηδενικό διάνυσμα του V απεικο-νίζεται στο μηδενικό διάνυσμα του U, τότε ο Τ λέγεται μη ιδιάζων,ή ομαλός (non singular).. Θεώρημα 1: Αν ο γραμμικός μετασχηματισμός T: V→ U είναι ένα προς ένα (αμφιμονοσήμαντος) τότε ο Τ είναι μη ιδιάζων. Απόδειξη: α) Εάν ο Τ είναι ένα προς ένα, τότε μόνο το μηδενικό διάνυσμα του V απεικονίζεται στο μηδενικό διάνυσμα του U, δηλ. KerT=0 και επομένως ο Τ είναι μη ιδιάζων. β) Αντιστρόφως, αν ο Τ είναι μη ιδιάζων και T(v)=Τ(u), τότε T(v-u )=T(v)-T(u)=0 και άρα v-u=0 ή v=u. Έτσι T(v)=Τ(u) συνεπάγεται v=u, δηλαδή ο Τ είναι ένα προς ένα. Θεώρημα 2: Έστω T: V → U ένας γραμμικός μετασχηματισμός. Τότε ο χώρος V και η εικόνα ImT έχουν την ίδια διάσταση εάν και μόνο εάν ο Τ είναι μη ιδιάζων. Απόδειξη: Από το θεώρημα 3 της παρ. 4.2 έχουμε: dimV=dim(Ker(T))+dim(ImT)) Για να είναι dimV=dim(ImT)) θα πρέπει dim(Ker(T))=0 δηλ Ker(T)=0 δηλ. μόνο όταν ο Τ είναι μη ιδιάζων. Παρατήρηση 1: Εάν dim V>dimU τότε δεν υπάρχει μη ιδιάζων μετασχηματισμός T: V → U. Επομένως κάποιες διαστάσεις του διανυσματικού χώρου V «απορροφώνται» στο μηδενικό διάνυσμα του U. Στο παράδειγμα 1 της παρ. 4.2 που αναφέρεται στην προβολή του R3 στον R2, (x,y,z) → (x,y,0), ο άξονας ΟΖ, δηλαδή η τρίτη διάσταση του R3 απορροφάται στο μηδενικό διάνυσμα του R2, που είναι το επίπεδο ΟΧΥ. 4.4 ΙΣΟΜΟΡΦΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΟΜΟΡΦΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

Ένας γραμμικός μετασχηματισμός T: V → U ονομάζεται ισομορφισμός, (isomorphism) όταν είναι ένα προς ένα (αμφιμονοσήμαντος) και επί. Στην περίπτωση αυτή οι διανυσματικοί χώροι V και U λέγονται ισόμορφοι, (isomorphism). Παράδειγμα 1: Έστω V διανυσματικός χώρος στο σώμα F, διάστασης n και e1,⋅⋅⋅,en μία βάση του V. Τότε η απεικόνιση T: v → (α1,⋅⋅⋅,αn)


- 87 -

η οποία απεικονίζει κάθε διάνυσμα v∈V στις συνιστώσες του ως προς τη βάση e1,⋅⋅⋅,en είναι ένας ισομορφισμός του V στο Fn. Πράγματι αν v, u∈V και το v=α1e1+ ⋅⋅⋅+αnen αντιστοιχεί στη n-άδα (α1,α2,...αn) το u=β1e1+⋅⋅⋅+βnen αντιστοιχεί στη n-άδα (β1,β2,...βn) τότε το v+u=(α1+β1)e1+...+(αn+βn)en, αντιστοιχεί στην (α1+β1,⋅⋅⋅,αn+βn)=(α1,⋅⋅⋅,αn)+(β1,⋅⋅⋅,βn) και για κάθε k∈F θα έχουμε ότι το διάνυσμα: kv=(kα1)e1 +⋅⋅⋅+(kαn)en αντιστοιχεί στη k(α1,⋅⋅⋅,αn) Δηλαδή Τ(v+u)= (α1+β1,⋅⋅⋅,αn+βn)=(α1+⋅⋅⋅+αn)+(β1+⋅⋅⋅+βn)=T(v)+T(u) και T(kv)=(kα1,kα2,⋅⋅⋅,kαn)=k(α1,α2,⋅⋅⋅,αn)=kT(v) άρα η Τ είναι γραμμική. Είναι δε και αμφιμονοσήμαντη λόγω της μοναδικότητας της ανάπτυξης ενός διανύσματος ως προς μια βάση. Θεώρημα 1: Ένας γραμμικός μετασχηματισμός T: V→ U είναι ένας ισομορφισμός αν και μόνο αν είναι μη ιδιάζων. Απόδειξη: Εάν ο Τ είναι ένας ισομορφισμός τότε είναι αμφιμονοσήμαντος και επομένως μόνο το μηδενικό διάνυσμα του διαν. χώρου V απεικονίζεται στο μηδενικό διάνυσμα του διαν. χώρου U. Άρα ο Τ είναι μη ιδιάζων. Αντιστρόφως εάν ο Τ είναι μη ιδιάζων τότε KerT=0, και από το Θεώρημα 1 της προηγουμένης παραγράφου έχουμε ότι ο Τ είναι αμφιμονοσήμαντος, δηλαδή μη ιδιάζων. Παρατηρούμε ότι οι μη ιδιάζοντες γραμμικοί μετασχηματισμοί μπορούν να χαρακτηριστούν σαν εκείνοι οι μετασχηματισμοί που μεταφέρουν ανεξάρτητα σύνολα διανυσμάτων σε ανεξάρτητα σύνολα. Πράγματι, ας υποθέσουμε ότι ο Τ είναι μη ιδιάζων και ότι το σύνολο των διανυσμάτων v1,⋅⋅⋅,vn είναι ανεξάρτητο, τότε θα αποδείξουμε ότι και το σύνολο των διανυσμάτων T(v1),⋅⋅⋅T(vn) είναι ανεξάρτητο. Εάν c1T(v1)+⋅⋅⋅+cnT(vn)=0 τότε Τ(c1v1+⋅⋅⋅+cnvn)=0 και επειδή ο Τ είναι μη ιδιάζων θα έχουμε c1v1+⋅⋅⋅+cnvn=0. Δεδομένου δε ότι τα διανύσματα v1,⋅⋅⋅,vn είναι γραμμικά ανεξάρτητα θα είναι c1=⋅⋅⋅=cn=0 και επομένως οι αντίστοιχες εικόνες T(v1),⋅⋅⋅T(vn) είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα. Αντιστρόφως: Ας υποθέσουμε ότι η εικόνα οποιουδήποτε συνόλου γραμμικών ανεξαρτήτων διανυσμάτων είναι ανεξάρτητο σύνολο. Εάν v∈V είναι ένα διάνυσμα διάφορο του μηδενικού, τότε το σύνολο v είναι γραμμικά ανεξάρτητο, (κάθε μη μηδενικό διάνυσμα είναι γραμμικά ανεξάρτητο). Τότε και το T(v) είναι γραμμικά ανεξάρτητο και επομένως T(v)≠0. Άρα ο Τ είναι μη ιδιάζων. Το επόμενο θεώρημα, που μπορεί να χαρακτηριστεί σαν καθολικό (παγκόσμιο) θεώρημα, μας λέει ότι σε κάθε πεπερασμένη διάσταση n υπάρχει ουσιαστικά ένας διανυσματικός χώρος (ορισμένος πάνω σ' ένα σώμα F).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV

- 88 -

Θεώρημα 2: Αν δύο διανυσματικοί χώροι V και U πάνω στο ίδιο σώμα F έχουν την ίδια πεπερασμένη διάσταση n, τότε είναι ισομορφικοί. Απόδειξη: Έστω A= e1,⋅⋅⋅,en μία βάση του V και B=f1⋅⋅⋅,fn μία βάση του U. Ορίζουμε την απεικόνιση T: V → U θέτοντας: T(ek)=fk για k=1,⋅⋅⋅,n και ορίζοντας για κάθε v∈V με v=α1e1+...+ αnen

T( ) T = Tk=1

n

k kk=1

n

k kk=1

n

k k=v e e f≡⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑ ∑ ∑α α α( )

Εύκολα βλέπουμε ότι η Τ από την κατασκευή της είναι γραμμική, και από την μοναδικότητα της ανάπτυξης ενός διανύσματος ως προς μία βάση, είναι ένα προς ένα και επί. Άρα η Τ είναι ένας ισομορφισμός και οι διανυσματικοί χώροι V και U ισόμορφοι. Το επόμενο θεώρημα είναι το αντίστροφο του προηγούμενου και διατυπώνεται ως εξής: Θεώρημα 3: Αν δύο διανυσματικοί χώροι V και U πεπερασμένης διάστασης είναι ισόμορφοι, τότε έχουν την ίδια διάσταση. Απόδειξη: Επειδή οι διανυσματικοί χώροι V και U είναι ισόμορφοι, υπάρχει ένας ισομορφισμός T: V → U. Ο Τ σαν ισομορφισμός είναι ένα προς ένα και επί, δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις: kerT=0 ⇒ dimKerT=0 και ImT=U Αλλά από τη σχέση: dimV=dim(ImT)+dim(KerT) ⇒ dimV=dim(ImT)=dimU Παρατήρηση 1: Τα θεωρήματα 2 και 3 γενικά δεν ισχύουν σε διανυσματικούς χώρους άπειρων διαστάσεων. Παρατήρηση 2: Από το θεώρημα 2 παρατηρούμε ότι αφού ο Rn είναι ένας διανυ-σματικός χώρος n διαστάσεων, τότε κάθε "αφηρημένος" πραγματικός διανυσματικός χώρος n διαστάσεων, είναι ισομορφικός προς τον Rn. Όμοια κάθε μιγαδικός διανυ-σματικός χώρος n διαστάσεων, είναι ισομορφικός προς τον Cn. Έτσι ο Rn (ή Cn ) είναι ένα καθολικό (παγκόσμιο) μοντέλο ή πρότυπο οποιουδήποτε πραγματικού (ή μιγαδικού) διανυσματικού χώρου n διαστάσεων. Η συσχέτιση των διανυσμάτων v∈V με τις n-άδες του Rn (ή Cn) γίνεται παίρνοντας κάποια βάση e1,⋅⋅⋅,en του V ως προς την οποία έχουμε

n

k kk =1

= α∑v e και κάνοντας την αντιστοιχία v → (α1,⋅⋅⋅,αn)


- 89 -

4.5 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ

Μπορούμε να συνδυάσουμε γραμμικούς μετασχηματισμούς κατά διαφόρους τρό-πους και να προκύψουν νέοι γραμμικοί μετασχηματισμοί. Αυτές οι πράξεις είναι οι εξής. Έστω Τ και S δύο γραμμικοί μετασχηματισμοί μεταξύ των διανυσματικών χώρων V και U πάνω στο σώμα F. 1. Ορίζουμε σαν άθροισμα T+S την απεικόνιση: T+S: V → U (T+S)(v)=T(v)+S(v) ∀v∈V 2. Επί πλέον για κάθε k∈F ορίζουμε σαν γινόμενο kT την απεικόνιση: kT: V→V (kT)(v)=kT(v) ∀v∈V Θα δείξουμε τώρα ότι οι απεικονίσεις T+S και kT είναι γραμμικές. ∀v,u∈V και ∀α,β∈F έχουμε: (Τ+S)(αv+βu)=T(αv+βu)+S(αv+βu)=αT(v)+βT(u)+ αS(v)+βS(u)= =α[T(v)+S(v)]+β[T(u)+S(u)]=α(T+S)(v)+β(T+S)(u) και (kT)(αv+βu)=kT(αv+βu)=k[αT(v)+βT(u)]=αkT(v)+βkT(u)=β(kT)(v)+β(kT)(u) Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι το σύνολο των γραμμικών μετασχηματισμών μεταξύ των διανυσματικών χώρων V και U με τις δύο παραπάνω πράξεις δέχεται τη δομή διανυσματικού χώρου, ο οποίος συνήθως συμβολίζεται με Hom(V,U). (Το Hom προέρχεται από τη λέξη homomorfism που μερικοί συγγραφείς την χρησιμοποιούν αντί του χαρακτηρισμού γραμμικός μετασχηματισμός). Στην περίπτωση που οι διανυσματικοί χώροι V, U είναι πεπερασμένης διάστασης, έχουμε το εξής θεώρημα. Θεώρημα 1: Αν dimV=m και dimU=n, τότε dimHom(V,U)=m⋅n. 4.6 ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

Ορισμός: Έστω V διανυσματικός χώρος στο σώμα F. Θεωρούμε την ειδική περίπτωση των γραμμικών μετασχηματισμών T: V → V δηλαδή του V στον εαυτόν του. Αυτοί οι γραμμικοί μετασχηματισμοί λέγονται γραμμικοί τελεστές, (linear operators), ή μόνο τελεστές, στο διανυσματικό χώρο V.

Το σύνολο των τελεστών στο διανυσματικό χώρο V, συμβολίζεται με A(V) αντί για Hom(V,V) γιατί όπως θα δείξουμε αμέσως οι τελεστές A(V) σ' ένα διανυσματικό χώρο, αποτελούν άλγεβρα. Πράγματι από την προηγούμενη παράγραφο, το σύνολο A(V) είναι ένας διανυσματικός χώρος στο F, διάστασης n2, αν dim V=n. Τώρα αν T, S∈A(V) τότε η σύνθεση S T δύο τελεστών υπάρχει και είναι επίσης ένας γραμμικός τελεστής από το V στο V , δηλαδή S T∈A(V). Συνεπώς στο διανυσματικό χώρο A(V) ορίζεται και μία δεύτερη εσωτερική πράξη, που λέγεται πολλαπλασιασμός ( και που θα τον συμβολίζουμε ST αντί S T). Η δεύτερη αυτή εσωτερική πράξη ικανοποιεί τις ιδιότητες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV

- 90 -

1. S(T+R)=ST+SR 2. (T+R)S=TS+RS ∀S,T,X∈A(V) 3. k(ST)=(kS)T=S(kT) και επομένως το A(V) αποτελεί άλγεβρα στο σώμα F. Παράδειγμα 1: Θεωρούμε το διανυσματικό χώρο V των διαφορισίμων συναρτήσεων f(x) καθώς επίσης την παραγώγιση Dx και τον πολλαπλασιασμό X που ορίζονται από τις σχέσεις:

xdf(x)f(x) = Ddx

και Xf(x)=xf(x)

Στο παράδειγμα 6 της παραγράφου 4.1 αποδείχθηκε ότι η παραγώγιση Dx είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός και επειδή Dx: V → V είναι ένας τελεστής. Εύκολα αποδεικνύεται ότι και ο X είναι τελεστής. Το ενδιαφέρον στους τελεστές Dx και X βρίσκεται στο γεγονός ότι δεν μετατίθενται, δηλαδή DxX-XDx≠0 Πράγματι:

(D X)f(x) = D (Xf(x)) = d

dx(xf(x)) = f(x) + x df(x)

dxx x

και (XDx)f(x)=xdf x

dx( )

Άρα (DxX)f(x)-(XDx)f(x)=(DxX-XDx)f(x)=f(x) ⇒ DxX-XDx=I≠0 Επίσης οι τελεστές αυτοί παίζουν ένα βασικό ρόλο στην Κβαντομηχανική, όπου ο τελεστής που αντιστοιχεί στην x συνιστώσα της ορμής είναι x xD = i D και X είναι ο τελεστής θέσης. Η έκφραση DxX-XDx όπως και για οποιουσδήποτε άλλους τελεστές, λέγεται μεταθέτης (commutator) των Dx και X. 4.7 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΕΝΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗ

Ένας τελεστής Τ θα λέμε ότι είναι αντιστρέψιμος, (invertible), όταν υπάρχει ένας τελεστής T-1 τέτοιος ώστε: TT-1=T-1T=I (Ι = ο ταυτοτικός τελεστής) Ο T-1 ονομάζεται αντίστροφος, (inverse), του Τ. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχει ο Τ αντίστροφο τελεστή, είναι 1. Ο Τ να είναι ένα προς ένα. 2. Ο Τ να είναι επί. Στην περίπτωση πεπερασμένης διάστασης, ο Τ έχει αντίστροφο τότε και μόνο τότε όταν είναι μη ιδιάζων


- 91 -

Θεώρημα 1: Αν οι Α και Β είναι αντιστρέψιμοι, τότε και το γινόμενό τους ΑΒ είναι αντιστρέψιμο και μάλιστα (AB)-1=B-1 A-1. Επίσης αν Α είναι αντιστρέψιμος και α≠0, τότε ο αΑ είναι αντιστρέψιμος και

1 11( A) A− −α =α

όπως επίσης ( )A A− −=1 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Να δειχθεί ότι οι επόμενες απεικονίσεις είναι γραμμικές: α) Τ: R2 → R2 , T(x,y)=(x+y,x) β) T: R3 → R , T(x,y,z)=2x-3y+4z 2) Να δειχθεί ότι οι επόμενες απεικονίσεις δεν είναι γραμμικές: α) Τ: R2 → R , T(x,y)=xy β) T: R2 → R3 , T(x,y)=(x+1,2y,x+y) γ) T: R3 → R2 , T(x,y,z)=(|x|,0) 3) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των τετραγωνικών πινάκων n×n επί του σώματος F. Εάν Μ τυχαίος πίνακας του V, τότε η απεικόνιση Τ: V→V που ορίζεται από την σχέση Τ(Α)=ΑΜ+ΜΑ με A∈V είναι γραμμική. 4) Έστω Τ: R2 → R μια γραμμική απεικόνιση για την οποία γνωρίζουμε ότι Τ(1,1)=3 και Τ(0,1)=-2. Να βρεθεί η γενική έκφραση T(x,y). 5) Έστω T: R3→R3 η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από την σχέση T(x,y,z)=(x+2y-z, y+z, x+y-2z) Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση α) της εικόνας U=ImT και β) του πυρήνος W=kerT

6) Έστω S και T γραμμικοί τελεστές που ορίζονται ως εξής: S: R2→R2 , S(x,y)=(y,x) , T: R2→R2 , S(x,y)=(0,x)

Να βρεθούν οι εκφράσεις για τους τελεστές S+T, 2S-3T, TS, S2, T2. 7) Έστω Τ ο τελεστής επί του R3 ο οριζόμενος από την σχέση:

T(x,y,z)=(2x, 4x-y, 2x+3y-z) α) Να δειχθεί ότι ο Τ είναι αντιστρέψιμος, β) να βρεθεί ο τύπος του Τ-1 .

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο V

ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ 5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Έστω e1,e2,⋅⋅⋅,en μια βάση ενός διανυσματικού χώρου V στο σώμα F και v ένα διάνυσμα του V το οποίο έχει την εξής ανάπτυξη: v=v1e1+v2e2+⋅⋅⋅+vnen Τότε στο διάνυσμα v μπορούμε να αντιστοιχίσουμε το διάνυσμα στήλη που αντιστοιχεί στην ανάπτυξη (1) του v.

[v]e=

1

2

n

vv

v

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Η απεικόνιση αυτή, που ορίζεται από τη βάση ei, είναι ένας ισομορφισμός του V στο χώρο Fn. Στο κεφάλαιο αυτό θα δείξουμε ότι υπάρχει επίσης ένας ισομορφισμός, που ορίζεται από τη βάση ei, της Άλγεβρας A(V) των τελεστών του V στην Άλγεβρα Α των τετραγωνικών πινάκων n×n από το σώμα F δηλαδή σε κάθε τελεστή T∈A(V) αντιστοιχεί ένας τετραγωνικός πίνακας με στοιχεία από το σώμα F. Παρόμοια αποτελέσματα ισχύουν και για τους γραμμικούς μετασχηματισμούς T:V → U από ένα χώρο σε άλλον. 5.2 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗ ΥΠΟ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΒΑΣΗ

Έστω Τ ένας τελεστής του διανυσματικού χώρου V στο σώμα F και e1,⋅⋅⋅,en μιά βάση του V. Θεωρούμε τώρα τις εικόνες T(e1),T(e2),⋅⋅⋅,T(en) των βασικών διανυσμάτων της βάσης που θα τις σημειώνουμε απλά Te1,Te2,⋅⋅⋅,Ten ως προς τον τελεστή Τ. Οι εικόνες αυτές είναι διανύσματα του V και κάθε μια είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των βασικών διανυσμάτων: Te1=t11e1+ t12e2+…+ t1nen Te2=t21e1+ t22e2+…+ t2nen …………………………….. (1) Tej=tj1e1+ tj2e2+…+tjiei+ tjnen …………………………… Ten=tn1e1+ tn2e2+…+ tnnen

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV

- 94 -

Ορισμός 1: Ο ανάστροφος του πίνακα των συντελεστών της σχέσης (1), που θα τον συμβολίζουμε με [T]e ), ονομάζεται παράσταση, (representation), του Τ ως προς τη βάση [ei]

t11 12 1n

21 22 2ne

n1 n2 nn

t t ... tt t ... t

[T]... ... ... ...t t ... t

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

11 21 n1

12 22 n2

1n 2n nn

t t ... tt t ... t... ... ... ...t t ... t

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Αν υποθέσουμε ότι η βάση ei είναι ορθοκανονική (ei,ej)=δij τότε τα στοιχεία του πίνακα [T]e υπολογίζονται εύκολα ως εξής: Για το στοιχείο tji πολλαπλασιάζουμε από τ' αριστερά την j γραμμή της σχέσης (1) εσωτερικά με το διάνυσμα ei (ei ,Tej)=tj1(ei ,e1)+ tj2(ei ,e2)+…+tji(ei, ei)+…+tjn(ei, en)=tji ⇒ tji=(ei, Tej) Αλλά το tji στοιχείο, είναι το στοιχείο της j γραμμής και i στήλης τoυ πίνακα των συντελεστών της σχέσης (1). Ο δε πίνακας που ορίζεται σαν παράσταση του τελεστή Τ είναι ο ανάστροφος του πίνακα με στοιχεία τα tji. Συνεπώς το στοιχείο του πίνακα που είναι παράσταση του τελεστή Τ και που βρίσκεται στην i γραμμή και j στήλη, είναι: tij=(ei,Tej) (2) Παράδειγμα 1: Έστω V ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων P(x) πραγματικής μεταβλητής x, βαθμού ≤3 και έστω D: V → V ο διαφορικός τελεστής που ορίζεται από

τη σχέση: dD(P(x)) = P(x)dx

Υπολογίζουμε τον πίνακα D του ως προς τη βάση 1, x, x2, x3. Έχουμε:

D1=ddx

1=0=0+0x+0x2+0x3

Dx=d

dtd

dxx=1=1+0x+0x2+0x3

Dx2=ddx

x2=2x=0+2x+0x2+0x3

Dx3=d

dxx3=3x2=0+0x+3x2+0x3


- 95 -

Άρα [D]x=

0 0 0 0

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

0 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 3

0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

t

Παράδειγμα 2: Έστω ο τελεστής T: R2 → R2 που ορίζεται από τη σχέση: T(x,y)=(4x-2y,2x+y) Θα βρούμε την παράσταση του τελεστή Τ υπό μορφή πίνακα που αντιστοιχεί στη βάση e1=(1,0), e2=(0,1). Έχουμε: Te1=T(1,0)=(4,2)=4(1,0)+2(0,1)=4e1+2e2 Te2=T(0,1)=(-2,1)=-2(1,0)+1(0,1)=-2e1+1e2 Άρα ο ζητούμενος πίνακας είναι:

t

e

4 2 4 2[T]

2 1 2 1−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Στη συνέχεια ας βρούμε τον πίνακα του ίδιου τελεστή ως προς την βάση: f1=(1,1) , f2=(-1,0) Έχουμε: Tf1=T(1,1)=(2,3)=3(1,1)+(-1,0)=3f1+f2 Tf2=T(-1,0)=(-4,-2)=-2(1,1)+2(-1,0)=-2f1+2f2 Άρα ο ζητούμενος πίνακας είναι:

[ ]T f

t

=−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 12 2

3 21 2

Παρατήρηση 1: Οι συντελεστές των διανυσμάτων Τ(1,1) = (2,3) και Τ(-1,0)=(-4,-2), ως προς τη βάση f1, f2 βρίσκονται ως εξής: T(1,1)=(2,3)=α(1,1)+β(-1,0)=(α,α)+(-β,0)=(α-β,α) ⇒

⇒ 2 1

3 3α−β = β =⎫

⇒⎬α = α =⎭

Τ(-1,0)=(-4,-2)=γ(1,1)+δ(-1,0)=(γ,γ)+(-δ,0)=(γ-δ,γ) ⇒

⇒ 4 2

2 2γ − δ = − δ =⎫

⇒⎬γ = − γ = −⎭

Θεώρημα 1: Έστω e1,e2,⋅⋅⋅,en μιά βάση του διανυσματικού χώρου V και Τ τυχών τελεστής. Τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα v∈V έχουμε: [T]e[v]e=[T(v)]e δηλαδή, αν πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα του Τ επί το διάνυσμα στήλη του v, τότε θα προκύψει το διάνυσμα στήλη Τ(v).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV

- 96 -

Απόδειξη: Για i=1,2,…,n έχουμε:

Tei=ti1e1+ti2e2+⋅⋅⋅+tinen=n

ij jj 1

t=∑ e

Τότε ο πίνακας [Τ]e είναι ένας τετραγωνικός πίνακας τύπου n×n του οποίου η j σειρά είναι: (t1j, t2j,⋅⋅⋅,tnj) (1)

Τώρα αν v=v1e1+ v2e2+…+ vnen=n

1 1i 1

v=∑ e

το διάνυσμα στήλη που αντιστοιχεί στο v είναι η ανάστροφη σειρά:

[v]e=(v1,v2,⋅⋅⋅,vn)t=

1

2

n

vv

v

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(2)

Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τη γραμμηκότητα του Τ έχουμε:

n n n n n n

i i i i i ij j ij i ji 1 i 1 i 1 j 1 j 1 i 1

T v v T v t t v= = = = = =

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑e e e e

=n

j1j 1 2 j 2 nj nj=1

(t v + t v t v )+ +∑ e

Έτσι το [Τ(v)] είναι η στήλη διάνυσμα της οποίας το j στοιχείο είναι: t1jv1+ t2jv2+⋅⋅⋅+ tnjvn (3) Επίσης το j στοιχείο του [Τ]e[v]e προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την j σειρά του [Τ]e με το [v]e δηλαδή την (1) με την (2). Αλλά το γινόμενο (1) επί (2) είναι (3). Άρα [Τ]e[v]e και [Τ(v)]e έχουν τα ίδια στοιχεία, συνεπώς: [T]e[v]e=[T(v)]e Παράδειγμα 3: Στο παράδειγμα 1, είχαμε το διαφορικό τελεστή D: V → V του οποίου η παράσταση υπό μορφή πίνακα είναι:

[D]x=

0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Έστω p(x)=α+bx+cx2+dx3 τότε D(p(x))=b+2cx+3dx2. Επομένως ως προς τη βάση 1, x, x2, x3 έχουμε:

[p(x)]x=

a

b

c

d

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

και ( )x

b2c

D p(x)3d0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Παρατηρούμε ότι:


- 97 -

[D]x[p(t)]x=

0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

abcd

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

bcd

230

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

= ( )x

D p(x)⎡ ⎤⎣ ⎦

δηλαδή ισχύει το θεώρημα 1. Μέχρι τώρα έχουμε αντιστοιχίσει έναν πίνακα [Τ]e σε κάθε τελεστή T και το θεώρημα 1, μας εξασφαλίζει ότι η δράση του Τ διατηρείται απ' αυτή την αντιστοιχία ή όπως την έχουμε ονομάσει παράσταση. Το επόμενο θεώρημα το οποίο θα το διατυπώσουμε χωρίς απόδειξη, μας εξασφαλίζει ότι οι τρεις βασικές πράξεις των τελεστών: 1. της πρόσθεσης, 2. του βαθμωτού πολλαπλασιασμού, 3. της σύνθεσης, επίσης διατη-ρούνται. Θεώρημα 2: Έστω e1,…,en μιa βάση του V στο σώμα F και Α η Άλγεβρα των τετραγωνικών πινάκων n×n στο ίδιο σώμα F. Τότε η απεικόνιση T→ [T]e είναι ένας ισομορφισμός από την A(V) → A. Δηλαδή η απεικόνιση είναι ένα προς ένα και επί. Επιπλέον ∀S,T∈A(V) και ∀k∈F έχουμε: [T+S]e=[T]e+[S]e , [kT]e=k[T]e , [ST]e=[S]e[T]e 5.3 ΕΙΔΗ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

Όπως είδαμε προηγούμενα, μεταξύ των τελεστών ενός διανυσματικού χώρου V, διάστασης n και μεταξύ των τετραγωνικών πινάκων n×n υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία, όταν μας δοθεί μια συγκεκριμένη βάση του V. Επίσης τα στοιχεία του πίνακα A=[T]e, που αντιστοιχεί στον τελεστή Τ δίνονται από τη σχέση: αij=(ei,Tej) (1) (βλέπε σχέση (2), παράγραφος 5.2), όταν η βάση ei είναι ορθοκανονική. (Η ορθοκανονικότητα μίας βάσης εξασφαλίζεται πάντοτε με τη μέθοδο oρθοκανονικο-ποιήσεως Gram-Schmidt).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV

- 98 -

Πίνακας Α=αij Τελεστής Τ: V→V

1. Ταυτοτικός (Identical)

(A)ij=αij=δij Ταυτοτικός (ei,Tej)=δij

2. Διαγώνιος (Diagonal) (A)ij=αij=diδij

Διαγώνιος (ei,Tej)=diδij

3. Ανάστροφος (Transpose) (A)ij=αij (At)ij=αji αij=αji

t αijt=αji

Ανάστροφος (ei,Tej)=(ej,Ttei)=(Tteiej)*

(ei,Ttej)=(ej,Tei) 4. Συζυγής (Conjugate)

(A)ij=αij (A*)ij=(αij)* αij

*=(αij)*

Συζυγής (ei,T*ej)=(ei,Tej)*=(Tej,ei)

5. Συναφής (adjoint) (A)ij=αij (A+)ij=αji

* Συναφής

(ei,T+ej)=(ej,Tei)*=(Tei,ej) 6. Aυτοσυναφής (self-adjoint)

(A)ij=αij (A+)ij=αji*

A=A+⇒αij=αji*

Αυτοσυναφής (ei,Tej)=(ei,T+ej)=(ej,Tei)*=(Tei,ej)

6α. Συμμετρικός Aν αij∈R⇒αij=αji⇒

A=συμμετρικός πίνακας

Συμμετρικός (ei,Tej)=(Tei,ej)

Αν ο χώρος V είναιΕυκλείδιος, δηλ. πραγματικός χώρος εσωτερικού γινομένου, τότε ο αυτοσυζυγής

ονομάζεται, συμμετρικός .

6β. Ερμιτιανός , (Hermitean) Αν αij∈C⇒αij-αji

*⇒ A=ερμιτιανός

Ερμιτιανός (ei,Tej)=(Tei,ej)

Αν ο χώρος V είναι Unitary, δηλ. μιγαδικός χώρος εσωτερικού γινομένου, τότε ο αυτοσυζυγής

ονομάζεται, ερμιτιανός, (Hermitean).

7. Αντισυμμετρικός , (Antisymmetric) αij=-αji

Αντισυμμετρικός , (Antisymmetric) (ei,Tej)=-(ej,Tei)

8. Μοναδιαίος,9 (Unitary) A-1=A+ A+A=AA+=I

n

ik kj ijk 1

+

=

α α = δ∑

Μοναδιαίος A-1=A+

( )( )n

i k k i ij

k 1

e ,T e e ,Te+

=

= δ∑

9. Ορθογώνιος Α-1=Αt AtA=AAt=I

ntik kj ij

k 1=

α α = δ∑

Ορθογώνιος A-1=At

( )( )n

ti k k i ij

k 1

e ,T e e ,Te=

= δ∑

Οποιαδήποτε χαρακτηριστικά έχει ο πίνακας αij, τα ίδια χαρακτηριστικά αποδίδονται και στον τελεστή Τ. Π.χ. αν ο πίνακας αij είναι συμμετρικός, τότε και ο

9 Δεν πρέπει να γίνεται σύγχυση μεταξύ του ταυτοτικού και μοναδιαίου τελεστή.


- 99 -

τελεστής Τ ονομάζεται συμμετρικός. Αυτά δε τα χαρακτηριστικά εμφανίζονται από τη σχέση (1). Οι αντιστοιχίες μεταξύ των πινάκων και των τελεστών αναγράφονται στον προηγούμενο πίνακα, όπου στην πρώτη στήλη παραθέτουμε τα είδη των πινάκων και στη δεύτερη τα αντίστοιχα είδη των τελεστών. Οι ιδιότητες των πινάκων εμφανίζονται στα στοιχεία τους, ενώ των τελεστών στο εσωτερικό γινόμενο. 5.3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΑΣΗΣ

Μέχρι τώρα έχουμε δει ότι μπορούμε να παραστήσουμε τα διανύσματα με n-άδες (σαν διάνυσμα στήλη) και τους τελεστές με τετραγωνικούς πίνακες, όταν έχουμε μιά συγκεκριμένη βάση. Προκύπτει όμως το εξής ερώτημα: Πως θα μεταβληθούν (μετασχηματιστούν) τα διανύσματα στήλη και οι πίνακες, όταν χρησιμοποιήσουμε άλλη βάση; Για να απαντήσουμε σ' αυτό το ερώτημα πρώτα θα δώσουμε έναν ορισμό. Ορισμός 1: Έστω e1,e2,⋅⋅⋅,en και f1,f2,⋅⋅⋅,fn δύο βάσεις του V. Αναπτύσσουμε τα διανύσματα της νέας βάσης f1,f2,⋅⋅⋅,fn ως προς την παλιά βάση e1,e2,⋅⋅⋅,en. f1=α11e1+α12e2+⋅⋅⋅+α1nen

f2=α21e1+α22e2+⋅⋅⋅+α2nen (1) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ fn=αn1e1+αn2e2+⋅⋅⋅+αnnen Τότε ο πίνακας Ρ, που είναι ο ανάστροφος του πίνακα των συντελεστών της σχέσης (1),

P=

11 21 n1

12 22 n2

1n 2n nn

...

...... ... ... ...

...

α α α⎛ ⎞⎜ ⎟α α α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎝ ⎠

ορίζεται σαν πίνακας μετασχηματισμού (ή διάβασης) της παλιάς βάσης ei στη νέα fi Εύκολα φαίνεται ότι ο πίνακας Ρ ικανοποιεί τη σχέση: Pei=fi , i=1,⋅⋅⋅,n (2) Τα στοιχεία του πίνακα Ρ υπολογίζονται ως εξής: Υποθέτουμε ότι η βάση ei είναι ορθοκανονική (ei,ej)=δij. Πολλαπλασιάζουμε από τ' αριστερά την i γραμμή της σχέσης (1) fi=αi1e1+⋅⋅⋅+αijej+⋅⋅⋅+ αinen επί το διάνυσμα ej (ej,fi)=αi1(ej,e1)+⋅⋅⋅+ αij(ej,ej)+⋅⋅⋅+ αin(ej,en) ⇒ αij=(ej,fi) (3) Αν θέλουμε και η νέα βάση fi να είναι ορθοκανονική (fi,fj)= δij, τότε μεταξύ των στοι-χείων αij του πίνακα Ρ πρέπει να ισχύει η σχέση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV

- 100 -

k=1

n

ik*

jk ij =∑ α α δ (4)

η οποία είναι γνωστή σαν συνθήκη ορθοκανονικότητας για τη βάση fi Η σχέση (4) προκύπτει ως εξής: (fi,fj)=(αi1e1+⋅⋅⋅+ αinen , αj1e1+⋅⋅⋅+ αjnen)=

( )

n n n n*

ik k j ik j kk 1 1 k 1 1

n n n* *ik j k ik jk ij

k 1 1 k 1

, ,= = = =

= = =

⎛ ⎞= α α = α α =⎜ ⎟⎝ ⎠

= α α δ = α α = δ

∑ ∑ ∑∑

∑∑ ∑

e e e e

Παρατήρηση 1: Αφού τα διανύσματα f1,f2,…,fn είναι γραμμικά ανεξάρτητα, η ορίζουσα του πίνακα Ρ είναι διάφορη του μηδενός και επομένως ο Ρ έχει αντίστροφο ο οποίος μετασχηματίζει τη νέα βάση fi στην παλιά ei, δηλαδή έχουμε P-1fI=ei. Παράδειγμα 1: Θεωρούμε τις εξής δύο βάσεις του R2, e1=(1,0), e2=(0,1) και f1=(1,1), f2(-1,0) Τότε f1=(1,1)=(1,0)+(0,1)=e1+e2 f2=(-1,0)=-(1,0)+0(0,1)=-e1+0e2 Άρα ο πίνακας μετασχηματισμού Ρ από τη βάση ei στη βάση fi είναι:

P

t

=−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

1 1

1 0

1 1

1 0

Επίσης έχουμε: e1=(1,0)=0(1,1)-(-1,0)=0f1-f2 e2=(0,1)=(1,1)+(-1,0)=f1+f2 Άρα ο πίνακας μετασχηματισμού Q από τη βάση fi στη βάση ei είναι

Q=0 1

1 1

0 1

1 1

−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

t

Παρατηρούμε ότι: PQ=1 1

1 0

0 1

1 0

1 0

0 1

−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

Στη συνέχεια θα δούμε πως μεταβάλλονται (μετασχηματίζονται) οι συνιστώσες των διανυσμάτων όταν αλλάξουμε τη βάση.


- 101 -

5.4 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

Θεώρημα 1: Έστω Ρ ο πίνακας μετασχηματισμού από τη βάση ei στη βάση fi σ' ένα διανυσματικό χώρο V Τότε για κάθε διάνυσμα v∈V ισχύει: P[v]f = [v]e ⇒ [v]f = P-1[v]e Απόδειξη: Από την ανάπτυξη της νέας βάσης fi ως προς την παλιά ei έχουμε:

fi=αi1e1+⋅⋅⋅+ αi2e2+⋅⋅⋅+αinen=n

ij jj 1=

α∑ e για i=1,⋅⋅⋅,n

Τότε ο Ρ είναι ο τετραγωνικός πίνακας n×n του οποίου η j σειρά είναι: (α1j, α2j, ⋅⋅⋅ , αnj) (1) Έστω v τυχών διάνυσμα με την εξής ανάπτυξη ως προς τη βάση fi

v=k1f1+k2f2+⋅⋅⋅+ knfn= ki ii

n

f=∑

1 (2)

ή σαν στήλη διάνυσμα: [v]f=

kk

k n

1

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

(3)

Αντικαθιστώντας στη σχέση (2) τα βασικά διανύσματα fi έχουμε: n n n n n n

i i ij iji i j 2 nj j 1j 2j nj ji=1 i-1 j=1 j=1 i=1 j=1

= = = = ( + +...+ )k k k k k k⎛ ⎞ ⎛ ⎞

α α α α α⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑v e e ef (4)

Από τη σχέση (3) μπορούμε να δούμε το v σαν στήλη διάνυσμα:

11 1 21 2 n1 n

12 1 22 2 n2 n

1n 1 2n 2 nn n

k k kk k k............................

k k k

α + α + + α⎛ ⎞⎜ ⎟α + α + + α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α + α + + α⎝ ⎠

……

…

της οποίας το j στοιχείο είναι: 1j 1 2j 2 nj nk + k +...+ kα α α (5) Αλλά το j στοιχείο του P[v]f προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την j σειρά του Ρ με το διάνυσμα [v]f δηλαδή τη σχέση (1) με την (3). Αλλά το γινόμενο (1) επί (3) είναι το (5). Άρα τα διανύσματα P[v]f και [v]e έχουν τα ίδια στοιχεία ως προς τη βάση ei και συνεπώς P[v]f=[v]e Επομένως πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω σχέση με P-1 έχουμε: P-1[v]e=P-1P[v]f=[v]f (6) Αναλυτικότερα, αν το διάνυσμα v με συντεταγμένες (v1, v2,⋅⋅⋅,vn) ως προς τη βάση ei και (k1,⋅⋅⋅,kn) ως προς τη βάση fi τότε από τη σχέση (4) έχουμε:

n

ij1 2 n ij 1j 2j nji=1

= + +...+ =v k k k kα α α α∑ (7)

που μας δίνει τις συντεταγμένες vj συναρτήσει των ki συντεταγμένων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV

- 102 -

Αν η βάση fi είναι επίσης ορθοκανονική, τότε μεταξύ των στοιχείων αij του Ρ και αij

-1 του P-1 ισχύει η σχέση: ij

-1ji*=α α (8)

Πράγματι, την σχέση i i 1 ij-1

j in-1

ne = +...+ +...+α α α11− f f f την πολλαπλασιάζουμε εσωτερικά

και από τ' αριστερά με το διάνυσμα fj: ( , ) = ( , )+...+ ( , )+...+ ( , ) =j i i1

-1j 1 ij

-1j j in

-1j n ij

-1f e f f f f f fα α α α αλλά (fj,ei)=(ei,fj)*=αji

* Συνεπώς: ij

-1ji*=α α

Τώρα υπολογίζουμε τις συντεταγμένες ki συναρτήσει των vj συντεταγμένων χρησιμο-ποιώντας τη σχέση (6): [v]f=P-1[v]e της οποίας η συντεταγμένη i είναι:

( )n n

-1 -1 -1 *ili 1i 1 ni n l lelf i

l=1 l=1

[v = = + ... + = =] v v v vk α α α α∑ ∑

Παρατήρηση 1: Για τον πίνακα Ρ πρέπει να προσέξουμε το εξής: Αν και ονομάζεται πίνακας μετασχηματισμού (ή διάβασης) από την παλιά βάση ei στη νέα fi, δηλαδή έχουμε: Pei=fi, η επίδρασή του είναι να μετασχηματίζει τις συνιστώσες ενός διανύσματος ως προς τη νέα βάση fi στις συνιστώσες ως προς την παλιά βάση ei: P[v]f=[v]e

Το επόμενο θεώρημα δείχνει με ποιο τρόπο οι πίνακες που είναι παραστάσεις των γραμμικών τελεστών, επηρεάζονται από το μετασχηματισμό βάσης. Θεώρημα 2: Έστω Ρ ο πίνακας μετασχηματισμού από μια βάση ei στη βάση fi ενός διανυσματικού χώρου V. Τότε για οποιονδήποτε τελεστή Τ, στο V έχουμε: [T]f=P-1[T]eP Απόδειξη: Για οποιοδήποτε διάνυσμα v∈V έχουμε: P-1[T]eP[v]f=P-1[T]e[v]e=P-1[T(v)]e=[T(v)]f Αλλά [T]f[v]f= [T(v)]f Άρα P-1 [T]e P [v]f = [T]f [v] f Επειδή η απεικόνιση v → [v]f του V → Fn είναι επί P-1[T]ePX=[T]fX για κάθε X∈Fn. Επομένως: P-1[T]eP=[T]f Παράδειγμα 1: Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο R2, τις δύο βάσεις:

e e1

10

01

=⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

2, f f1

11

10

=⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

2,

και τον τελεστή Τ που ορίζεται από τη σχέση:


- 103 -

Tx

y

x y

x y

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

−

+

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

4 2

2

Ο πίνακας Ρ που μετασχηματίζει την παλιά βάση ei στη νέα fi είναι:

t

1 1 2

2 1 2

1 1 1 1 1 1P

1 0 1 0 1 0= + −⎫ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇒ = =⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭

f e ef e e

και ο αντίστροφός του είναι:

P− =−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

10 1

1 1

Η παράσταση [T]e υπό μορφή πίνακα του τελεστή Τ ως προς τη βάση ei είναι:

( )

( )

T T

T T

e e e

e e e

1 1 2

2 1 2

10

42

410

201

4 2

01

21

210

101

2 1

=⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜⎞⎠⎟ = +

=⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

⎛⎝⎜⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜⎞⎠⎟ = − +

⎫

⎬

⎪⎪

⎭⎪⎪

⇒ [ ]T e

t

=−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 22 1

4 22 1

Όμοια η παράσταση [T]f υπό μορφή πίνακα του τελεστή Τ ως προς τη βάση fi είναι:

t1 1 2

f

2 1 2

1 2T( ) T 3 1

1 3 3 1 3 2[T]

2 2 1 21 4T( ) T 2 2

0 2

⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = + ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⇒ = =⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪= = == − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭

f f f

f f f

Βάσει του θεωρήματος θα πρέπει: -1e fP [T ] P = [T ]

Πράγματι:

P-1[T]eP=0 1

1 1

4 2

2 1

1 1

1 0

2 1

2 3

1 1

1 0

3 2

1 2−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ = [ ]T f

Παράδειγμα 2: Για τον τελεστή της προηγούμενης άσκησης και για το διάνυσμα

v=(5,7)=5e1+7e2 όπου e1=10⎛⎝⎜⎞⎠⎟ , e2=

01⎛⎝⎜⎞⎠⎟ η συνήθης βάση του R2, να δειχθεί η σχέση:

[T]f[v]f=[Tv]f όπου f1=(1,1), f2=(-1,0) Λύση: Αναπτύσσουμε το διάνυσμα v ως προς την βάση f:

v=5e1+7e2==7f1+2f2 ⇒ [v]f=72⎛⎝⎜⎞⎠⎟

T(v)=(6,17)=17(1,1)+11(-1,0)=17f1+11f2 ⇒ [Tv]f=1711⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα [T]f=3 21 2

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ από την προηγούμενη άσκηση έχουμε

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV

- 104 -

[T]f[v]f=3 21 2

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

72⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =

1711⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =[Tv]f

Παρατήρηση 2: Έστω P=(αij) ένας τυχών τετραγωνικός πίνακας n×n με στοιχεία από το σώμα F που να έχει αντίστροφο. Αν e1,e2,⋅⋅⋅,en είναι μια βάση ενός διανυσματικού χώρου V στο σώμα F, τότε τα n διανύσματα: fi=α1ie1+α2ie2+⋅⋅⋅+αnien , i=1,2,⋅⋅⋅,n είναι γραμμικά ανεξάρτητα και επομένως σχηματίζουν μια άλλη βάση του V. Επί πλέον ο πίνακας Ρ είναι ο πίνακας μετασχηματισμού από τη βάση ei στη βάση fi. Κατά συνέπεια, αν Α είναι οποιαδήποτε παράσταση υπό μορφή πίνακα ενός γραμμικού τελεστή Τ στο V, ως προς κάποια βάση, (π.χ. την e), τότε ο πίνακας B=P-1AP είναι επίσης μια παράσταση υπό μορφή πίνακα του ίδιου τελεστή Τ ως προς κάποια άλλη βάση, (π.χ. την f). Παρατήρηση 3: Έστω V ένας διανυσματικός χώρος, Βe=ei, Βf=ef δυο βάσεις και Τ

ένας τελεστής V T⎯ →⎯ V, που αναφέρεται σε κάποιο φαινόμενο. Κάθε φαινόμενο,

(φυσικό σύστημα), πρέπει να είναι ανεξάρτητο από βάση ή σύστημα αναφοράς συντεταγμένων. Επομένως οι αναπαραστάσεις των τελεστών ως προς αυτές τις δυο βάσεις θα πρέπει να συνδέονται κατάλληλα. Το παρακάτω σχήμα δείχνει την σύνδεση αυτή:

Επομένως: [ ] [ ]T P TB Be f= −1 P

5.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Ορισμός 1: Θεωρούμε δύο τετραγωνικούς πίνακες Α και Β για τους οποίους υπάρχει ένας άλλος πίνακας Ρ ο οποίος έχει αντίστροφο, τέτοιος ώστε: B=P-1AP Τότε ο Β λέγεται όμοιος, (similar matrix), προς τον Α ή ότι προκύπτει από τον Α με ένα μετασχηματισμό ομοιότητας, (similarity transformation). Από το θεώρημα 2 και την παρατήρηση 3 της παραγράφου 5.4, έχουμε το εξής θεώρημα

Α παρατηρητής

Β παρατηρητής

VBe T

[ ]T Be

VBe

VBf VBf

P P-1

[ ]T B f


- 105 -

Θεώρημα 1: Δύο πίνακες Α και Β είναι παραστάσεις του ίδιου τελεστή, αν και μόνο αν είναι όμοιοι. Θεώρημα 2: Αν Α και Β είναι όμοιοι πίνακες, τότε detA=detB Απόδειξη: detA=det(P-1BP)=detP-1 detB detP = detB

διότι det -1P = 1detP

Θεώρημα 3: Αν Α και Β είναι όμοιοι πίνακες, τότε trA=trB. Απόδειξη:

trA= (P BP) = (P ) (B) (P) =i=1

n

iii=1

n-1

iii=1

n

j=1

n

k=1

n-1

ij jk ki=∑ ∑ ∑∑∑α

= (P) (P (B) = (PP ) (B) =i=1

n

j=1

n

k=1

n

ki ij jkj=1

n

k=1

n-1

kj jk∑∑∑ ∑∑−1)

= B (B) = trBj = 1

n

k = 1

n

kj jkk = 1

n

kk=∑∑ ∑δ ( )

Γενικά οι μετασχηματισμοί ομοιότητας έχουν την εξής ιδιότητα. "Κάθε σχέση μεταξύ των πινάκων (και κατ' επέκταση των τελεστών), παραμένει αναλλοίωτη ως προς τους μετασχηματισμούς ομοιότητας". Ορισμός 2: Ένας τελεστής Τ λέγεται ότι είναι διαγωνοποιήσιμος, (diagonalizable), εάν η παράσταση του ως προς μια βάση είναι ένας διαγώνιος πίνακας. Θεώρημα 4: Εάν [Τ] είναι η παράσταση υπό μορφή πίνακα ενός τελεστή Τ ως κάποια βάση, τότε ο τελεστής Τ είναι διαγωνοποιήσιμος εάν και μόνο εάν υπάρχει ένας αντι-στρέψιμος πίνακας Ρ τέτοιος ώστε ο πίνακας Ρ-1[Τ]Ρ να είναι διαγώνιος. 5.6 Γενική περίπτωση

Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με την παράσταση ενός γραμμικού μετα-σχηματισμού μεταξύ δυο διαφορετικών διανυσματικών χώρων. Θεωρούμε τους διανυσματικούς χώρους V και W επί του σώματος F, με δια-στάσεις n και m αντίστοιχα, δηλαδή dimV=n και dimW=m. Θεωρούμε επίσης και τις βάσεις Β1=e1, e2,⋅⋅⋅, en του V και B2=f1, f2,⋅⋅⋅, fm του W. Όπως θα δούμε παρακάτω υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ του συνόλου των πινάκων τύπου m×n με στοιχεία από το σώμα F και του συνόλου των γραμμικών μετασχηματισμών από τον V στον W. Αν Τ: V → W είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός, βρίσκουμε κατ' αρχήν την δράση του στα στοιχεία της βάσης Β1 , T: ej → Tej , j=1,2,⋅⋅⋅,n.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV

- 106 -

Επειδή τα Tej είναι στοιχεία του χώρου W μπορούν να γραφούν σαν γραμμικός συν-δυασμός των στοιχείων της βάσης Β2 του W δηλαδή

T j ji ii

m

e f==∑α

1 όπου j=1,2,⋅⋅⋅,n και αij ∈F. (1)

Από τα στοιχεία αji κατασκευάζουμε τον πίνακα Α=(αij) ο οποίος είναι τύπου m×n και ονομάζεται πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού Τ ως προς τις βάσεις Β1 και Β2 και συμβολίζεται με A = [ ]B B

T1 2

Παράδειγμα 1: Να βρεθεί ο πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού T: R3 → R2 με T(x,y,z) = ( x+y-z, 2x+z) ως προς τις βάσεις Β1 = e1,e2,e3 = (1,0,-1), (1,1,1), (1,0,0) και Β2 = f1,f2 = (0,1), (1,0) των R3 και R2 αντίστοιχα. Λύση Έχουμε Te1 = T(1.0,-1) = (2,1) = f1+2f2 Te2 = T(1,1,1) = (1,3) = 3f1+f2 Te3 = T (1,0,0) = (1,2) = 2f1+f2

Άρα Α = [ ]B BT

1 2 =

1 3 22 1 1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ .

Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι αν δίνεται ένας πίνακας Α=(αij) τύπου m×n, τότε υπάρχει ένας μοναδικός γραμμικός μετασχηματισμός ΤΑ: V → W με

ΤΑ: ej → TAej = α ji ii

m

f=∑

1, j = 1,2,⋅⋅⋅,n (2)

Με την βοήθεια της σχέσης (2) μπορούμε να ορίσουμε την δράση του ΤΑ σε τυχόν στοι-χείο του χώρου V. Παράδειγμα 2: Δίνονται οι βάσεις Β1=e1,e2,e3 και Β2=f1,f2, των διανυσματικών

χώρων R3 και R2 αντίστοιχα και ο πίνακας 1 1 12 0 1

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ .

Να οριστεί ο γραμμικός μετασχηματισμός που αντιστοιχεί στον πίνακα Α. Λύση: Λόγω της (2) έχουμε:

ΤAe1 = α11

2

i ii

f=∑ = α11 f1 + α12 f2 = f1 + 2f2

ΤAe2 = α21

2

i ii

f=∑ = α21 f1 + α22f2 = f1 (3)

ΤAe3 = α31

2

i ii

f=∑ = α31 f1 + α32 f2 = -f1 + f2.

Αν u ένα τυχόν στοιχείο του R3 τότε αυτό, ως προς την βάση B1, γράφεται u=x1e1+x2e2+x3e3. Άρα ΤΑu = TA(x1 e1+x2 e2+x3 e3)= x1TA e1+x2 TA e2+x3 TA e3 .


- 107 -

Η σχέση αυτή λόγω των (3) γράφεται ΤΑu = x1(f1+2f2)+ x2f1+x3(-f1+f2)=(x1+x2-x3)f1+(2x1+x3)f2 . Άρα T(x1,x2,x3)= (x1+x2-x3, 2x1+x3) Παράδειγμα 3: Να βρεθεί ο πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού Τ: R3 → R3 με T(x,y,z) = ( x-y, x+2y-z, 2x+y+z) ως προς τις βάσεις Β1 = e1,e2,e3 = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) και Β2 = f1,f2,f3 = (1,0,1), (-2,1,1), (1,-1,1)). Λύση Te1 = T(1,0,0) = (1,1,2) = α11 (1,0,1) + α12 (-2,1,1) + α13 (1,-1,1) Te2 = T(0,1,0) = (-1,2,1) = α21 (1,0,1) + α22 (-2,1,1) + α23 (1,-1,1) Te3 = T(0,0,1) = ( 0,-1,1) = α31 (1,0,1) + α32 (-2,1,1) + α33 (1,-1,1) Από τις σχέσεις αυτές προκύπτουν τα συστήματα α α α

α α

α α α

11 12 13

12 13

11 12 13

2 112

− + =− =

+ + =

α α αα α

α α α

21 22 23

22 23

21 22 23

2 121

− + = −− =

+ + =

α α αα α

α α α

31 32 33

32 33

31 32 33

2 01

1

− + =− = −

+ + =

Λύνοντας τα συστήματα αυτά βρίσκουμε α11 = 7/3 α21 = 5/3 α31 =-2/3 α12 = 1/3 α22 = 2/3 α32 = 1/3 α13 =-2/3 α23 =-4/3 α33 = 4/3

Άρα [ ]B BT

1 2= 1

3

7 5 21 2 12 4 4

−

− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

.

Από τα προηγούμενα είναι φανερό ότι όταν οι βάσεις αλλάζουν τότε και ο πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού αλλάξει. Στην συνέχεια θα μελετήσουμε την σχέση μεταξύ των πινάκων οι οποίοι προέρχονται από διαφορετικές βάσεις των χώρων. Θεωρούμε τους διανυσματικούς χώρους V και W, διαστάσεων n και m αντίστοιχα, στο ίδιο σώμα F και τον γραμμικό μετασχηματισμό T: V → W. Αν B1 = e1,e2,⋅⋅⋅,en και B2= f1,f2,⋅⋅⋅,fm βάσεις των χώρων V και W αντίστοιχα τότε ο πίνακας του Τ ως προς τις βάσεις αυτές είναι A = [ ]B B

T1 2

= ( αij)t τύπου m×n, τα στοιχεία

του οποίου ορίζονται από την σχέση

T j ij ii

m

e f==∑α

1 όπου j=1,2,⋅⋅⋅,n (4)

Αν B1′=e1′,e2′,⋅⋅⋅,en′ και B2′=f1′,f2′,⋅⋅⋅, fm′ δύο άλλες βάσεις των V και W ο πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού ως προς τις βάσεις αυτές είναι B= [ ]

1 2B B

T′ ′ = (βij)t τύπου

m×n με

T j ij ii

m

′= ′=∑e fβ

1 όπου j=1,2,⋅⋅⋅,n . (5)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV

- 108 -

θα αποδείξουμε ότι υπάρχουν αντιστρέψιμοι πίνακες D τύπου m×m και C τύπου n×n, τέτοιοι ώστε B = DAC-1 (6) Σχηματικά τα ανωτέρω απεικονίζονται ως εξής:

Στον χώρο V έχουν οριστεί βάσεις Β1 και Β1′ εκφράζουμε τα στοιχεία της βάσης Β1 σαν γραμμικό συνδυασμό των στοιχείων της βάσης Β1′ δηλαδή

e ej ij ii

n

c= ′=∑

1 , j = 1,2,⋅⋅⋅,n (7)

Οι συντελεστές cij ορίζουν τον πίνακα C=(cij)t τύπου n×n. Όταν ο μετασχηματισμός Τ δράσει στην (7) τότε έχουμε

T T c c Tj ij ii

n

ij ii

n

e e e= ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ′

= =∑ ∑

1 1 (8)

Η (8) λόγω της (5) γράφεται

T c c BCj iji

n

ki kk

m

ki iji

n

kk

m

kj kk

m

e f f f= ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ′ = ′

= = == =∑ ∑ ∑∑ ∑

1 1 11 1β β ( ) (9)

Εκφράζουμε στη συνέχεια τα στοιχεία της βάσης Β2 σαν γραμμικό συνδυασμό των στοιχείων της βάσης Β2′ και έχουμε

f fj ij ii

m

d= ′=∑

1 , j = 1,2,⋅⋅⋅,m . (10)

Ετσι ορίζεται ο πίνακας D=(dij)t τύπου m×m. Από τις σχέσεις (4) και (10) έχουμε

T d d DAj iji

m

i iji

m

ki kk

m

ki iji

m

kk

m

kj kk

m

e f f f f= = ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ′ = ′

= = = == =∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑α α α

1 1 1 11 1( ) (11)

Τέλος οι σχέσεις (9) και (11) δίνουν την ισότητα DC=DA ή αν ο C είναι αντιστρέψιμος B=DAC-1 (12) Το ότι ο πίνακας C είναι αντιστρέψιμος αποδεικνύεται ως εξής: Επειδή τα e1,e2,⋅⋅⋅,en είναι γραμμικά ανεξάρτητα, έχουμε ότι

VB1

T [ ]A TB B=

1 2

WB2

VB′1VB′2

C D

[ ]B TB B= ′ ′1 2


- 109 -

β j jj

n

f=∑ =

10 μόνο όταν βj = 0 , j = 1,2,...,n . (13)

Κάνουμε αντικατάσταση των ej στην (13) από την (7)

β βjj

n

ij ii

n

ij jj

n

ii

n

c c= = ==∑ ∑ ∑∑′

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ′

1 1 11f f = 0 (14)

Επειδή και τα e1′,e2′,⋅⋅⋅,en′ είναι γραμμικά ανεξάρτητα, η (14) ισχύει μόνο όταν

cij jj

n

β=∑ =

1

0 , i = 1,2,...,n . (15)

Η (15) είναι ένα ομογενές σύστημα n-εξισώσεων με n-αγνώστους τα β1,..,βn. Το σύστημα αυτό έχει μόνο την μηδενική λύση όταν ο πίνακας C=(cij) είναι αντιστρέψιμος.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Να βρεθεί η παράσταση υπό μορφή πίνακα των παρακάτω τελεστών επί του R2 ως προς την συνήθη βάση e1=(1,0), e2=(0,1) α) T(x,y)=(2x, 3x-y) β) T(x,y)=(3x-4y, x+5y) 2) Να βρεθεί η παράσταση υπό μορφή πίνακα των τελεστών της προηγουμένης άσκησης ως προς την βάση f1=(1,3), f2=(2,5) 3) Η γενική έκφραση ενός τελεστή Τ επί του διαν. χώρου R3 έχει την μορφή:

T(x,y,z)=(α1x+α2y+α3z, β1x+β2y+β3z, γ1x+γ2y+γ3z) Να δειχθεί ότι η παράσταση του τελεστή Τ υπό μορφή πίνακα ως προς την συνήθη βάση e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) είναι:

[T]e=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

321

321

321

γγγβββaaa

4) Να βρεθούν οι αναπαραστάσεις υπό μορφή πίνακα των παρακάτω τελεστών επί του διαν. χώρου R3 ως προς την συνήθη βάση ei, i=1,2,3 α) T(x,y,z)=(2x-3y+4z, 5x-y+2z, 4x+7y) β) T(x,y,z)=(2y+z, x-4y, 3x) 5) Έστω V ο διαν. χώρος των τετραγωνικών πινάκων τύπου 2×2 επί του σώματος R

και Μ ο πίνακας: M=1 23 4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . Θεωρούμε τον τελεστή Τ: V→V που ορίζεται από την

σχέση T: A∈V→T(A)≡MA. Να βρεθεί η παράσταση του τελεστή Τ υπό μορφή πίνακα ως προς την συνήθη βάση του V που είναι:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV

- 110 -

E1=1 00 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , E2=

0 10 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , E3=

0 01 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , E4=

0 00 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Να βρεθεί το ίχνος του Τ και η παράσταση του τυχαίου διανύσματος Α 6) Δίνεται ο τελεστής T: R3→R2 , Τ(x,y,z)=(3x+2y-4z, x-5y+3z) α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ που αντιστοιχεί ως προς τις βάσεις: f1=(1,1,1), f2=(1,1,0), f3=(1,0,0) του R3 και g1=(1,3), g2=(2,5) του R2

β) Να επαληθευθεί η σχέση [ ]T f

g [v]f=[T(v)]g

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο VI

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗ 6.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Όταν ένας τελεστής Τ επιδρά σ' ένα διάνυσμα v τότε το διάνυσμα Τv είναι γενικά διαφορετικό από το v. Είναι δυνατό όμως να υπάρxουν ορισμένα μη μηδενικά διανύσματα v για τα οποία το Τv είναι ακριβώς συγραμμικό του v, δηλαδή Tv=λv. (1) Ένα τέτοιο διάνυσμα, ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα, (eigenvector), του τελεστή Τ και η σταθερά λ, ιδιοτιμή, (eigenvalue). Επίσης λέμε ότι το ιδιοδιάνυσμα v ανήκει στην ιδιοτιμή λ. Η λύση της εξίσωσης (1), δηλαδή η εύρεση των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τελεστή, είναι γνωστή σαν εξίσωση ή πρόβλημα ιδιοτιμών. Όταν ο τελεστής Τ δίνεται υπό μορφή πίνακα, τότε η εξίσωση (1) ανάγεται σ' ένα αλγεβρικό σύστημα, ενώ υπό τη γενικότερη έννοια του τελεστή, (π.χ. όταν είναι διαφορικός, ολοκληρωτικός κ.λ.π.) μπορούμε να έχουμε μια διαφορική ή ολοκληρωτική εξίσωση. Οι πιο ενδιαφέρουσες περιπτώσεις προβλήματος ιδιοτιμών που συναντώνται στη Φυσική, είναι εκείνες, όπου οι τελεστές είναι δεύτερης τάξης διαφορετικοί τελεστές ως προς x, y και z. Στην Κβαντομηχανική δεχόμαστε ότι κάθε παρατηρήσιμο μέγεθος μπορεί να παρασταθεί από έναν ερμιτιανό τελεστή Τ και ότι το αποτέλεσμα οποιασδήποτε φυσικής μέτρησης του μεγέθους, πρέπει να είναι μια από τις ιδιοτιμές του Τ. Π.χ. οι επιτρεπτές τιμές

της ενέργειας ενός συστήματος με Hamiltonian H=−2 2

22m

d

dx+V(x) είναι οι τιμές Ε που

ικανοποιούν τη σχέση:

Hu=Eu ή − +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

2 2

22m

d

dxV x u x Eu x( ) ( ) ( ) (2)

όπου u τα ιδιοδιανύσματα – ιδιοσυναρτήσεις, που περιγράφουν τις φυσικές καταστάσεις στις επιτρεπτές ενέργειες Ε. Η σχέση (2) ονομάζεται εξίσωση Schrödinger η ανεξάρτητη από το χρόνο. 6.2 ΕΥΡΕΣΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΕΝΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗ

Ας υποθέσουμε ότι ο τελεστής Τ παριστάνεται από ένα τετραγωνικό πίνακα Α, τύπου n×n. Τότε η εξίσωση (1) γίνεται Αv=λv ή ισοδύναμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI

- 112 -

Av=λIv (3) με Ι τον ταυτοτικό πίνακα n×n. Η (3) γράφεται επίσης Αv-λIv=0 ⇒ (A-λΙ)v=0 (4) ή πιό αναλυτικά:

11 12 1n 1

21 22 2n 2

n1 n2 nn n

v 0v 0

v 0

α − λ α α⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α − λ α⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α α − λ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

(5)

Η εξίσωση (5) έχει μη μηδενική λύση v≠0, όταν ο πίνακας (Α-λΙ) δεν έχει αντίστροφο, δηλαδή αν:

det(A-λΙ)=

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

α − λ α αα α − λ α

α α α − λ

=0 (6)

Διότι αν det(A-λI)≠0, τότε υπάρχει ο αντίστροφος (Α-λΙ)-1 και από την (4) έχουμε: (Α-λΙ)-1(Α-λΙ)v=0 ⇒ v=0 δηλαδή δεν υπάρχει μη μηδενική λύση. Η εξίσωση (6) είναι βαθμού n ως προς λ και στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών έχει n ρίζες (όχι αναγκαστικά διαφορετικές). Οι ρίζες αυτές είναι οι ιδιοτιμές της εξίσωσης (3), το σύνολο των οποίων καλείται φάσμα, (spectrum), του πίνακα Α ή του τελεστή Τ στον οποίο αντιστοιχεί ο πίνακας αυτός. Το πολυώνυμο Δ(λ)=det(A-λI) ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Αν μια ρίζα λ1 είναι απλή τότε από την σχέση (5) για λ=λ1 προκύπτει το σύστημα:

( - )v + v +...+ v = 0v + ( - )v +...+ v = 0

.......................................................v + v +...+( - )v = 0

11 1 1 12 2 1n n

21 1 22 1 2 2n n

n1 1 n2 2 nn 1 n

α λ α αα α λ α

α α α λ

(8)

που είναι n εξισώσεων και n αγνώστων: v1, v2, …,vn οι οποίοι είναι οι συνιστώσες του ιδιοδιανύσματος v που ανήκει στην ιδιοτιμή λ1. Το σύστημα όμως (8) είναι ομογενές και γραμμικό και επομένως το ζητούμενο ιδιοδιάνυσμα v=(v1,v2,…,vn) είναι απροσδιόριστο κατά μια σταθερά. Αν δηλαδή v1 είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ1 , τότε το αv1 (όπου α αυθαίρετη σταθερά) είναι επίσης ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοτιμή. (Πράγματι αν Αv1=λ1v1 θα είναι και Α(αv1)=αΑv1= =αλ1v1=λ1(αv1)). Κατ' αυτό τον τρόπο μπορούμε να προσδιορίσουμε το λόγο δύο οποιωνδήποτε συνιστωσών του ιδιοδιανύσματος αλλά όχι τα απόλυτα μεγέθη των συνιστωσών. Μ' άλλα λόγια δηλαδή, μπορούμε να προσδιορίσουμε τη διεύθυνση του ιδιοδιανύσματος αλλά όχι και το μέτρο του. Συνήθως η σταθερά α εκλέγεται έτσι ώστε το ιδιοδιάνυσμα v1 να έχει μοναδιαίο μέτρο (να είναι νορμαλισμένο).

Ι ΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗ

- 113 -

Αν μια ρίζα λ1 είναι πολλαπλή με πολλαπλότητα nα1, τότε σ' αυτήν αντιστοιχούν συνήθως περισσότερα από ένα ιδιοδιανύσματα που και αυτά δεν ορίζονται μονοσήμαντα. Η πολλαπλή ιδιοτιμή λ1 και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα λέγονται εκφυλισμένα. Επίσης και το φάσμα του πίνακα Α λέγεται εκφυλισμένο. Ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ1, λέγεται γεωμετρική πολλαπλότητα ng1 της λ1. Ο αριθμός nα1 λέγεται αλγεβρική πολλαπλότητα της λ1. Εν γένει ισχύει nα>ng Παρατήρηση 1: Κάθε γραμμικός συνδυασμός ιδιοδιανυσμάτων που ανήκουν στην ίδια ιδιοτιμή είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που ανήκει στην ίδια ιδιοτιμή. Πράγματι αν v1 και v2 είναι ιδιοδιανύσματα που ανήκουν στην ιδιοτιμή λ, τότε: Av1=λv1 και Av2=λv2 και Α(αv1+βv2)=αΑv1+βΑv2=αλv1+ βλv2=λ(αv1+ βv2) Ακόμα κάθε πολλαπλάσιο kv ενός ιδιοδιανύσματος v είναι επίσης ιδιοδιάνυσμα του Α. A(kv)=kAv=kλv=λ(kv) Ο υπόχωρος που γεννιέται από τα ιδιοδιανύσματα που ανήκουν σε μια ιδιοτιμή ενός πίνακα Α λέγεται ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Παράδειγμα 1: Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα

A=1 23 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι:

|A-λΙ|=1 2

3 2−λ

−λ=0 ⇒ (1-λ)(2-λ)-6 ⇒ λ2-3λ-4=0 ⇒ λ1=-1 και λ2=4

Άρα οι ιδιοτιμές είναι -1 και 4.

Θέτοντας λ1=-1 στην εξίσωση ιδιοτιμών (A-λI)v=0, με v=xy⎛⎝⎜⎞⎠⎟ έχουμε:

1 1 23 2 1

00

++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xy

⇒ 2 23 2

00

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xy

⇒ 2 2 03 3 0

x yx y+ =+ =

⇒ x+y=0

και για x=1 έχουμε y=-1 και το διάνυσμα v1=11−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του Α που

ανήκει στην ιδιοτιμή λ= -1 ή αλλοιώς μπορούμε να γράψουμε x x 1

= = =xy -x -1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v και

για x=1 προκύπτει v1=11−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

Όμοια για λ2=4 η εξίσωση ιδιοτιμών (A-λI)v=0, γίνεται:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI

- 114 -

1 4 2

3 2 400

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xy

⇒ −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

3 23 2

00

xy

⇒ − + =

− =3 2 03 2 0

x yx y

⇒ 3x-2y=0

Για x=2 έχουμε y=3 και το διάνυσμα v2=23⎛⎝⎜⎞⎠⎟ είναι ιδιοδιάνυσμα του Α που ανήκει στην

ιδιοτιμή λ2=4 ή αλλοιώς μπορούμε να γράψουμε x x 1

= = =xy 3x/2 3 / 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v και για x=2

προκύπτει v2=23⎛⎝⎜⎞⎠⎟ .

Παράδειγμα 2: (Περίπτωση εκφυλισμού). Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα:

A=1 3 33 5 36 6 4

−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι:

|A-λΙ|=1 3 3

3 5 36 6 4

− λ −− − λ− − λ

=0 ⇒ (λ+2)2(λ-4)=0

και οι ρίζες είναι λ1=λ2= -2 και λ3=4 εκ των οποίων η πρώτη είναι πολλαπλότητας 2. Άρα έχουμε εκφυλισμό.

Θέτοντας λ1,2=-2 στην εξίσωση (Α-λΙ)v=0 με v=xyz

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

έχουμε:

1 2 3 3 x 0

3 5 2 3 y 06 6 4 2 z 0

+ −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒ 3 3 3 03 3 3 06 6 6 0

x y zx y zx y z

− + =− + =− + =

⇒ x-y+z=0

Το σύστημα έχει δύο ανεξάρτητες λύσεις, δηλαδή δυο από τις μεταβλητές είναι ανεξάρτητες, ας θεωρήσουμε τις y και z.

Επομένως x y-z 1 1

= y = y =y 1 +z 0z z 0 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v

Έτσι τα ανεξάρτητα διανύσματα v1=110

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

και v2=101−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

είναι ιδιοδιανύσματα που ανήκουν

στην ιδιοτιμή λ2=-2.


- 115 -

Από την παρατήρηση 1 έχουμε ότι και κάθε γραμμικός συνδυασμός των v1 και v2 είναι πάλι ιδιοδιανύσματα που ανήκει στην ιδιοτιμή λ1,2=-2. Επομένως όλα τα ιδιοδιανύσματα που ανήκουν στην ιδιοτιμή λ1,2=-2 σχηματίζουν έναν υπόχωρο που ονομάζεται ιδιόχωρος που ανήκει στην ιδιοτιμή λ1,2=-2. Μια βάση του ιδιόχωρου είναι τα διανύσματα v1 και v2 . Θέτοντας λ3=4 στην εξίσωση (Α-λΙ)v=0 έχουμε:

1 4 3 3

3 5 4 36 6 4 4

000

− −− −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

xyz

⇒ − − + =

− + =− =

3 3 3 03 9 3 06 6 0

x y zx y zx y

⇒ x y zx y zx y

+ − =− + =− =

03 0

0 ⇒

Οι τρεις αυτές εξισώσεις δεν είναι ανεξάρτητες. Η τρίτη εξίσωση x-y=0 προκύπτει από τις δύο πρώτες με πρόσθεση και επομένως περιττεύει. Η εξάρτηση των τριών αυτών εξισώσεων μπορεί να ελεγχθεί από τον μηδενισμό ή όχι της ορίζουσας των συντελεστών, δηλαδή:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) [ ] [ ]

ανάπτυξηκατά την τρίτη στήλη 1 3 2 31 1 -1

1 3 1 11 -3 1 = 1 1

1 1 1 11 -1 0

1 1 3 1 1 1 1 1 3 2 0

+ +−− + =

− −

= − − − + − − = − + + − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Έτσι χρησιμοποιούμε τις δυο πρώτες εξισώσεις και προσπαθούμε να εκφράσουμε τα z και y συναρτήσει του x:

x y zx y z+ − =− + =

03 0

⇒ x y zx y+ − =− =

00

⇒ z=x+y=2xy=x

Επομένως x x 1

= y = x =x 1z 2x 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v

Άρα το διάνυσμα v3=112

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που ανήκει στην ιδιοτιμή λ=4.

Ο αντίστοιχος ιδιόχωρος είναι αυτός που γεννιέται από το διάνυσμα v3 που αποτελεί και βάση του ιδιοχώρου. Παράδειγμα 3: Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα

B=− −−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

3 1 17 5 16 6 3

Εργαζόμενοι όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, καταλήγουμε στη χαρακτηριστική εξίσωση: |B-λΙ|=(λ+2)2(λ-4)=0 ⇒ λ1,2=-2 και λ3=4 Θέτοντας λ1,2 =-2 στην εξίσωση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI

- 116 -

(Α-λΙ)v=0 με v=xyz

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

έχουμε:

− + −− +− − +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

3 2 1 17 5 2 16 6 3 2

000

xyz

⇒ − −−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1 17 7 16 6 1

000

xyz

⇒

-x+y-z=0

x-y+z=0 z=0-7x+7y+z=0

x-y=0 y=x-6x+6y-z=0

⎫⎪⇒ ⇒⎬⎪⎭

Το σύστημα έχει μόνο μια ανεξάρτητη λύση. Επομένως x x 1

= y = x =x 1z 0 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v

Έτσι το διάνυσμα: v1,2=110

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

είναι ιδιοδιάνυσμα που ανήκει στην εκφυλισμένη τιμή

λ1,2=-2 και αποτελεί μια βάση του αντίστοιχου ιδιόχωρου. Για λ3=4 η εξίσωση (Α-λΙ)v=0, καταλήγει στο σύστημα: 7x-y+z=0 x=0

που έχει μια ανεξάρτητη λύση. Επομένως x 0 0

= y = z =z 1z z 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v και συνεπώς το διάνυσμα:

v3=011

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

είναι ιδιοδιάνυσμα που ανήκει στην ιδιοτιμή λ3=-4 και αποτελεί μια βάση του αντί-

στοιχου ιδιόχωρου. Παρατήρηση 2: Στο παράδειγμα 1 και οι δύο ιδιοτιμές είναι αλγεβρικής και γεωμετρικής πολλαπλότητας 1. Επομένως το άθροισμα των ιδιοχώρων, που παράγονται από τα

ιδιοδιανύσματα 1

11

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

v και 2

23⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

v ταυτίζεται με τον αρχικό διανυσματικό χώρο R2

στον οποίο δρά ο τελεστής που παριστάνεται από τον πίνακα Α. Στο παράδειγμα 2, η ιδιοτιμή -2 είναι αλγεβρικής και γεωμετρικής πολλαπλότητας 2 και η ιδιοτιμή 4 είναι αλγεβρικής και γεωμετρικής πολλαπλότητας 1. Επομένως ο ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή -2 είναι διαστάσεων 2 και ο ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 4 είναι διαστάσεως 1. Το άθροισμα αυτών των ιδιοχώρων μας κάνει τον αρχικό χώρο R3.


- 117 -

Στο παράδειγμα 3, η ιδιοτιμή -2 είναι αλγεβρικής πολλαπλότητας 2, αλλά γεωμετρικής 1, και η ιδιοτιμή 4 είναι αλγεβρικής και γεωμετρικής πολλαπλότητας 1. Επομένως ο ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή -2 είναι διαστάσεων 1 και ο ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 4 είναι διαστάσεως 1. Το άθροισμα αυτών των ιδιοχώρων μας δεν μας κάνει τον αρχικό χώρο R3. Το άθροισμα αυτό είναι ένας γνήσιος υπόχωρος του R3 διαστάσεως 2. Η επίδραση επομένως του πίνακα Α στον χώρο R3 έχει σαν αποτέλεσμα να “συρρικνώνεται” ο R3 κατά μια διάσταση. Θεώρημα 1: Έστω v1,v2,…,vn, μη μηδενικά ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α που ανήκουν στις διακεκριμένες, (διαφορετικές μεταξύ τους), ιδιοτιμές λ1,λ2,…,λn. Τότε τα v1,v2,…,vn είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Απόδειξη: Θα αποδείξουμε το θεώρημα επαγωγικά. Για n=1 το v1 είναι γραμμικά ανεξάρτητο αφού v1≠0. Δεχόμαστε ότι ισχύει για n-1 δηλαδή τα v1,v2,..,vn-1 είναι γραμμικά ανεξάρτητα και συνεπώς κάθε συνδυασμός α1v1+ α2v2+…+ αn-1vn-1=0 συνεπάγεται τη σχέση: α1=α2=…=αn-1=0. Θεωρούμε τώρα ότι τα ιδιοδιανύσματα v1,v2,…,vn ικανοποιούν τη σχέση: β1v1+ β2v2+…+ βnvn=0 (1) Εφαρμόζοντας τον πίνακα Α στη σχέση (1), έχουμε: β1Αv1+ β2 Αv2+…+ βn Αvn=Α0=0 ⇒ β1λ1v1+ β2 λ2v2+…+ βn λnvn=0 (2) Πολλαπλασιάζοντας την (1) επί λn έχουμε: β1λnv1+ β2 λnv2+…+ βn λnvn=0 (3) Αφαιρώντας την (3) από την (2) προκύπτει: β1(λ1-λn)v1+…βn-1(λn-1-λn)vn-1=0 Επειδή τα λi είναι διακεκριμένα, τότε λi-λn≠0 για i≠n και επειδή τα v1…,vn-1 είναι γραμμικά ανεξάρτητα, θα έχουμε: β1=β2=…=βn-1=0 και η σχέση (1) γίνεται: βnvn=0 ⇒ βn=0 Άρα τα v1,…,vn είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Θεώρημα 2: Αν οι πίνακες Α και Β είναι τετραγωνικοί τύπου n×n να δειχθεί ότι οι πίνακες ΑΒ και ΒΑ έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές. (Υποθέτουμε ότι οι πίνακες Α και Β είναι μη ιδιάζοντες). Απόδειξη: Έστω λ μια ιδιοτιμή του ΑΒ, τότε υπάρχει ένα μη μηδενικό διάνυσμα v τέτοιο ώστε ABv=λv. Θέτουμε w=Bv ,τότε: Αw=ΑBv=λv (1) Πολλαπλασιάζουμε την (1) από τ' αριστερά με Β και έχουμε: BAw=BABv=λBv=λw (2)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI

- 118 -

Από την (2) βλέπουμε ότι το w είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του ΒΑ που ανήκει στην ιδιοτιμή λ. Συνεπώς το λ είναι ιδιοτιμή και του ΒΑ. Όμοια αποδεικνύεται ότι και κάθε ιδιοτιμή του ΒΑ είναι ιδιοτιμή του ΑΒ. Θεώρημα 3: Αν λ είναι ιδιοτιμή του πίνακα Α, ο οποίος έχει αντίστροφο, τότε το λ-1 είναι ιδιοτιμή του Α-1. Απόδειξη: Από τον ορισμό της ιδιοτιμής θα υπάρχει ένα μη μηδενικό διάνυσμα v τέτοιο ώστε Av=λv. Πολλαπλασιάζοντας από τ' αριστερά τον πίνακα Α-1 έχουμε: A-1Av=v=λΑ-1v ⇒ A-1v=λ-1v 6.3 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ

Η εξίσωση ιδιοτιμών Tv=λv γράφεται υπό τη μορφή (T-λΙ)v=0 με v≠0 (1) Από τη σχέση (1) μπορούμε να δώσουμε τον ορισμό του γενικευμένου ιδιοδιανύσματος και ιδιοτιμής ως εξής. Το διάνυσμα v που ικανοποιεί τις σχέσεις: (T-λI)mv=0 και (Τ-λΙ)m-1v≠0 ονομάζεται γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τάξης m του τελεστή Τ και ο αριθμός λ γενικευμένη ιδιοτιμή του Τ. Παρατήρηση 1: Αν k>m, τότε: (T-λΙ)kv=(T-λΙ)k-m(T-λΙ)mv=0 και αν j<m τότε το διάνυσμα w=(T-λI)jv είναι επίσης ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα του Τ, τάξης m-j (T-λΙ)m-jw=(T-λΙ)m-j(T-λΙ)jv=(T-λΙ)mv=0 με (T-λΙ)m-j-1w=(T-λΙ)m-1v≠0 Και στην περίπτωση των γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων και ιδιοτιμών έχουμε θεωρήματα ανάλογα της προηγούμενης παραγράφου, π.χ. Θεώρημα 1: Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές γενικευμένες ιδιοτιμές, είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Θεώρημα 2: Αν v είναι ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τάξης m τότε τα διανύσματα (T-λΙ)m-1v (T-λΙ)m-2v ………… (T-λΙ)v είναι γραμμικά ανεξάρτητα.


- 119 -

Παρατήρηση 2: Ένας Ερμιτιανός, (Hermitian), τελεστής δεν μπορεί να έχει γενικευμένα ιδιοδιανύσματα τάξης μεγαλύτερης από τη μονάδα. Απόδειξη: Έστω H+=H και (Η-λΙ)mv=0 με (Η-λΙ)m-1v≠0 τότε: ( ) ( )( )m 1 m 1H I , H I − −− λ − λv v ≠0

Αλλά οι γενικευμένες ιδιοτιμές ενός Hermitian τελεστή είναι πραγματικές όπως και οι "συνήθεις" ιδιοτιμές, γιατί θέτοντας (Η-λΙ)v′=0 με v′≡(H-λΙ))m-1v≠0 προκύπτει από το παρακάτω θεώρημα 8, § 6.4 (για τις πραγματικές ιδιοτιμές ενός Hermitian) ότι λ∈R. Τότε έχουμε:

( ) ( ) ( )m 1m 1 m 1*H H+ −− −+− λΙ = − λ Ι = Η − λΙ

και ( ) ( )( )m 1 m 1H I , H I − −− λ − λv v = ( ) ( )m 1 m 1, H I H I+

− −⎛ ⎞− λ − λ⎜ ⎟⎝ ⎠

v v =

= ( ) ( )( ) ( )( )m 1 m 1 2m 2, H I H I , H I − − −− λ − λ = − λv v v v ≠0

⇒ (Η-λΙ)2m-2v≠0 και από την παρατήρηση 1, έχουμε 2m-2<m ⇒ m<2 δηλαδή m=1. 6.4 ΑΥΤΟΣΥΝΑΦΕΙΣ ( HERMITIAN) ΚΑΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

Όπως έχουμε ήδη προαναφέρει στην Εισαγωγή του Κεφαλαίου 4, οι Hermitian και Unitary τελεστές παίζουν μεγάλο ρόλο στη Θεωρητική Φυσική.

Εδώ θα εξετάσουμε ορισμένες ιδιότητες αυτών των τελεστών, καθώς και εκείνες που έχουν σχέση με τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματά τους.

Ορισμός 1: Για κάθε τελεστή Α, ο τελεστής Α+ που ικανοποιεί την εξίσωση: (Av,u)=(v,A+u) ∀v,u ονομάζεται συναφής, (djoint) του Α, (ή συζυγοανάστροφος). Επειδή (v,Au)=(Au,v)*=(u,A+v)*=(A+v,u) μπορεί ο συναφής Α+ να ορισθεί ισοδύναμα από τη σχέση: (v,Au)=(A+v,u) ∀v,u Παρατήρηση 1: Ο συναφής Α+ ενός τελεστή Α πάντα υπάρχει και είναι μοναδικός. Στη συνέχεια αποδεικνύουμε μερικές ιδιότητες του συναφή τελεστή, αφού πρώτα αποδείξουμε ένα θεώρημα που θα μας χρησιμεύσει για τις αποδείξεις των ιδιοτήτων αυτών.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI

- 120 -

Θεώρημα 1: Ένας τελεστής Α σ' ένα χώρο εσωτερικού γινόμενου, είναι ο μηδενικός τελεστής αν και μόνο αν για κάθε v,u έχουμε: (v,Au)=0. Απόδειξη: Αν Α=0 τότε (v,Au)=(v,0)=0. Αντίστροφα, αν (v,Au)=0 για κάθε v, u και θέσουμε v=Au τότε (Au,Au)=0 ⇒ Au=0 για κάθε u (από την τρίτη ιδιότητα του εσωτερικού γινόμενου). Άρα Α=0. Θεώρημα 2: Ισχύουν οι σχέσεις: 1. (A+B)+ = A+ + B+ 2. (AB)+ = B+A+ 3. (αΑ)+ = α*A+ όπου α εν γένει μιγαδικός αριθμός 4. (Α+)+ = A Απόδειξη: 1. Για κάθε v,u έχουμε:

[ ]( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( )v u v u v v u v u v u, , , , ,A B A B A B A B+ = + = + = + =+

=(v,A+u)+(v,B+u)=(v,[A++B+]u) ⇒

[ ] [ ] ( )v u, A B A B+ − ++ + + =0 ⇒ (βάσει του θεωρήματος 1)

[Α+Β]+-[Α++Β+]=0 ⇒ [Α+Β]+=Α++Β+

2. [ ]( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )v u v u v u v u v u, , , , , ,A B AB B A B A AB B A+ + + + + + += = = ⇒ − =0

και χρησιμοποιώντας πάλι το θεώρημα 1, έχουμε: [ΑΒ]+-Β+Α+=0 ⇒ [ΑΒ]+=Β+Α+ 3. (v,[αA]+u)=(αΑv,u)=(Av,α*u)=(v,A[α*u])=(v,α*Au) ⇒

[αΑ]+=α*Α+ (θεώρημα 1) 4. (v[A+]+u)=([A+]v,u)=(A+v,u)=(v,Au) ⇒ (θεώρημα 1) [Α+]+=Α Θεώρημα 3: Αν στον τελεστή Α αντιστοιχεί ο πίνακας (A)ij = αij ως προς μια ορθο-κανονική βάση ei, τότε στον τελεστή Α+ αντιστοιχεί ο πίνακας (A+)ij = α*

ji δηλαδή [Α+]=[Αt]* Απόδειξη: Ως γνωστό είναι αij=(ei,Aej) . Επομένως: αij=(ei,Aej)=(A+ei,ej)= (ej, A+ei)*=[A+]ji

* ⇒ [A+]ij=αji*

Δηλαδή ο ορισμός του συναφή ενός τελεστή, ανάγεται στον ορισμό του συναφή ενός πίνακα. Ορισμός 2: Αν ο συναφής Α+ ενός τελεστή Α συμπίπτει με τον τελεστή, δηλ., Α=Α+ τότε ο Α λέγεται αυτοσυναφής, (self-adjoint). Σε μιγαδικούς χώρους λέγεται Ερμιτιανός (Hermitian) και σε πραγματικούς χώρους συμμετρικός. Από το θεώρημα 2 προκύπτει ότι το άθροισμα δύο Hermitian τελεστών είναι Hermitian. Επίσης αν Α είναι Hermitian τότε και ο αΑ είναι Hermitian αν και μόνο αν α∈R.


- 121 -

Θεώρημα 4: Αν Α και Β είναι αυτοσυναφείς, τότε ο ΑΒ είναι αυτοσυναφής όταν οι Α και Β μετατίθενται, δηλαδή [A,B]=AB-BA=0. Απόδειξη: Αν ΑΒ = ΒΑ τότε: (AB)+=B+A+=BA=AB ⇒ AB=Hermitian Αν (ΑΒ)+ = ΑΒ, τότε: AB=(AB)+=B+A+=BA ⇒ [A,B]=0 Στη συνέχεια θα αναφέρουμε δύο θεωρήματα που είναι υποπεριπτώσεις του θεωρήματος 1 στην περίπτωση των συμμετρικών και Hermitian τελεστών που ορίζονται αντίστοιχα σε πραγματικούς και μιγαδικούς χώρους. Θεώρημα 5: Έστω Α συμμετρικός τελεστής σε πραγματικό χώρο. Τότε Α=0 αν και μόνο αν (v,Av)=0 για κάθε v. Απόδειξη: α) Αν Α=0 τότε (v,Av)=0. β) Αντίστροφα αν (v,Av)=0 για κάθε v τότε Α=0. Θεωρούμε την έκφραση (v+u,A[v+u])=(v,Av)+(u,Au)+ (v,Au)+ (u,Av) από την οποία έχουμε: (v,Au)+ (u,Av)=(v+u,A[v+u])-(v,Av)-(u,Au) για κάθε v,u. Αλλά κάθε όρος του δεξιού μέλους είναι μηδέν γιατί είναι της μορφής (v,Av) επομένως

(v,Au)+(u,Av)=0. Αλλά (u,Av)=(Atu,v)=(Au,v)=(v,Au). επειδή At=A και ο χώρος είναι πραγματικός. Επομένως (v,Au)=0 για κάθε v και u και σύμφωνα με το θεώρημα 1, έχουμε Α=0. Σε μιγαδικό (Unitary) χώρο έχουμε το εξής θεώρημα στο οποίο ο τελεστής Α μπορεί να είναι οποιοσδήποτε. Θεώρημα 6: Αν Α είναι οποιοσδήποτε τελεστής σ' ένα Unitary χώρο, τότε Α=0 αν και μόνο αν (v,Av)=0 για κάθε v. Απόδειξη: α) Αν A=0 ή (v,Av)=0 για κάθε v β) αντίστροφα, στο προηγούμενο θεώρημα δείξαμε τη σχέση

(v,Au)+ (u,Av)=0 (1) χωρίς να χρησιμοποιήσουμε περισσότερες συνθήκες για το Α. Επομένως μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε και εδώ και να θέσουμε στη θέση του u το iu: (v,Aiu)+ (iu,Av)=I[(v,Au)- (u,Av)]=0 ⇒ (v,Au)- (u,Av)=0 ∀v,u (2) Προσθέτοντας τις (1) και (2) έχουμε (v,Au)=0 για κάθε v,u και από το θεώρημα 1 έχουμε ότι Α=0.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI

- 122 -

Από τα θεωρήματα 5 και 6 έχουμε το εξής πόρισμα. Πόρισμα 1: Αν Α είναι ένας αυτοσυναφής τελεστής σ' ένα χώρο εσωτερικού γινόμενου (πραγματικού ή Unitary) τότε Α=0 αν και μόνο αν (v,Av)=0 για κάθε v. Θεώρημα 7: Ένας τελεστής Α σε Unitary χώρο είναι Hermitian αν και μόνο αν (v,Av)∈R για κάθε v. Απόδειξη: α) Αν Α=Α+ τότε:

(v,Av)= (A+v,v)= (Av,v)= (v,Av)* ⇒ (v,Av)∈R β) Αντίστροφα, αν (v,Av)∈R για κάθε v , τότε: (v,Av)=(v,Av)*= (Av,v)=(v,A+v) ⇒ (v,[A-A+]v)=0 ⇒ (θεώρημα 5) Α-Α+=0 ⇒ Α=Α+ Παρατήρηση 2: Το θεώρημα 7 δεν ισχύει σε πραγματικούς χώρους, δηλαδή αν (v,Av)∈R, δεν έπεται ότι ο Α είναι συμμετρικός. Προφανώς είναι (v,Av) πάντα πραγματικός αριθμός σ' ένα πραγματικό χώρο, αλλά σ' ένα Unitary χώρο έχει σαν συνέπεια ο Α να είναι Hermitian.

Στην Κβαντομηχανική η ποσότητα (v,Av) ονομάζεται αναμενόμενη τιμή του τελεστή Α. Τα διανύσματα v ονομάζονται κυματοσυναρτήσεις, επειδή πράγματι πρόκειται για συναρτήσεις. Για κανονικοποιημένες συναρτήσεις ||v||=1, το (v,Av) είναι η μέση τιμή πολλών μετρήσεων του φυσικού μεγέθους Α ( στο οποίο αντιστοιχεί ο τελεστής Α) σε όμοια συστήματα που βρίσκονται στην ίδια κατάσταση που περιγράφεται από την κυματο-συνάρτηση v. Επόμενο είναι αυτός ο αριθμός να είναι πραγματικός. Γι' αυτό οι τελεστές της Κβαντομηχανικής που αντιστοιχούν σε φυσικά παρατηρήσιμα μεγέθη πρέπει να είναι Hermitian.

Ένας άλλος λόγος που επιβάλει οι τελεστές που παριστάνουν φυσικά μεγέθη να είναι Hermitian είναι ότι οι μόνες δυνατές τιμές ενός φυσικού μεγέθους, είναι οι ιδιοτιμές του αντίστοιχου Hermitian τελεστή οι οποίες πρέπει να είναι πραγματικές. Και πράγματι είναι όπως αποδείχνεται από το επόμενο θεώρημα. Θεώρημα 8: Οι ιδιοτιμές ενός Hermitian τελεστή είναι πραγματικές. Απόδειξη:

Av=λv ⇒ (v,Av)= (v,λv)=λ||v||2 ⇒ λ=( )v v

v,A

2 ∈R

Μια άλλη απόδειξη θα δοθεί στην παράγραφο 6.6, θεώρημα 1. Παράδειγμα 1: Όπως ξέρουμε , η Hamiltonian του αρμονικού ταλαντωτή είναι


- 123 -

H=2

2 2p 1 m x2m 2

+ ω

Θα αποδείξουμε ότι οι ιδιοτιμές Ε του τελεστή Η είναι θετικές. Θεωρούμε την εξίσωση ιδιοτιμών Hu=Eu όπου τα ιδιοδιανύσματα είναι κανονικο-ποιημένα, ||u||=1. Τότε:

( ) ( )

( ) ( )

22 2

+ 2 +

2

1pΕ=(u,Hu)= u, u + u, m u =w x2m 21 1= u,pu + u,xu =p mw x2m 2

1 1= pu,pu + xu,xumw2m 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

Διότι p και x, Hermitian τελεστές. Επομένως:

2 221 1= || pu | + || xu | 0 | |m2m 2Ε ≥ω επειδή m,ω>0

6.5 ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΟΙ UNITARY ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

Ορισμός: Αν ένας τελεστής U σ' ένα Unitary χώρο, ικανοποιεί τη σχέση: U+U=I τότε ονομάζεται ισομετρία ή ισομετρικός τελεστής. Αν επιπλέον UU+=I τότε ο ισομετρικός τελεστής U λέγεται μοναδιαίος ή Unitary τελεστής. Τέλος, σ' έναν Ευκλείδειο χώρο, ένας τελεστής Α που ικανοποιεί τη σχέση: A+A=I, ονομάζεται ορθογώνιος. Παρατήρηση 1: Οι έννοιες Unitary και ορθογώνιος τελεστής, αναφέρονται σε μιγαδικούς και πραγματικούς χώρους αντίστοιχα. Παρατήρηση 2: Σε διανυσματικούς χώρους πεπερασμένης διάστασης, η ύπαρξη του αριστερού αντιστρόφου U+, (U+U=I), συνεπάγεται ότι ο U+ είναι επίσης και δεξιός αντίστροφος (UU+=I)

Έτσι στον ορισμό 1 δεν χρειάζεται να αναφερόμαστε σε αριστερό ή δεξιό αντίστροφο τελεστή σε διανυσματικούς χώρους πεπερασμένης διάστασης.

Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι αν U είναι ισομετρικός σε χώρο πεπερασμένης διάστασης, τότε ο U έχει αντίστροφο και άρα είναι Unitary. Παρατήρηση 3: Δεν πρέπει να συγχέεται η έννοια Unitary τελεστής και Unitary (μιγαδικός) χώρος.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI

- 124 -

Στη συνέχεια παραθέτουμε ορισμένα θεωρήματα των ισομετρικών τελεστών, τα

οποία ισχύουν σε οποιοδήποτε διανυσματικό χώρο πεπερασμένης ή μη διάστασης. Θεώρημα 1: Οι τρεις επόμενες συνθήκες για ένα Unitary τελεστή σε Unitary χώρο είναι ισοδύναμες. 1. U+U=I 2. (Uu,Uw)=(u,w) για κάθε u,w 3. ||Uu||=||u|| για κάθε u Απόδειξη: Αν U+U=I, τότε:

(U ,U )=( ,U U )=( , ) u w u w u w+ για κάθε u,w και επί πλέον αν w=u, τότε:

(U ,U ) = ( , ) ||U || =|| || ||U ||=|| ||2 2u u u u u u u u⇒ ⇒ Έχουμε αποδείξει τις σχέσεις κατά τη σειρά (1) ⇒ (2) ⇒ (3). Υπολείπεται (3) ⇒ (1) και τότε θα έχουμε αποδείξει την ισοδυναμία των τριών συνθηκών.

||Uu||2=(Uu,Uu)= (U+Uu,u)= (u,u) ⇒ (U+U-Iu,u)=0 Αλλά ο τελεστής U+U-I είναι αυτοσυναφής διότι [U+U-I]+=(U+U)+-I+=U+(U+)+-I=U+U-I και βάσει του πορίσματος 1 της προηγούμενης παραγράφου, θα έχουμε: U+U-I=0 ⇒ U+U=I Από το θεώρημα αυτό φαίνεται γιατί ένας ισομετρικός τελεστής ονομάζεται έτσι. Η ιδιότητα 3 μας λέει ότι οι ισομετρικοί τελεστές διατηρούν τα μήκη. Από τον τύπο του συνημίτονου μίας γωνίας δύο διανυσμάτων u,w.

( , )cos =|| |||| ||

θu w

u w (1)

βλέπουμε ότι ο ισομετρικός τελεστής διατηρεί επίσης και τις γωνίες μεταξύ των διανυ-σμάτων, διότι διατηρεί το εσωτερικό γινόμενο (ιδιότητα 2) και τα μήκη (ιδιότητα 3). Αυτό ισχύει για πραγματικό διανυσματικό χώρο όπου μπορεί να ορισθεί η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων. Οι ισομετρικοί τελεστές χρησιμοποιούνται στην Κβαντομηχανική για να περιγράψουν την χρονική εξέλιξη ενός φυσικού συστήματος. Θεώρημα 2: Αν ei είναι ένα πλήρες ορθοκανονικό σύνολο, τότε το σύνολο Uei είναι επίσης πλήρες και ορθοκανονικό για οποιοδήποτε ισομετρικό τελεστή U. Απόδειξη: (Uei,Uej)= (ei,ej)=δij Άρα το σύνολο Uei είναι ορθοκανονικό. Για να δείξουμε την πληρότητα του Uei αρκεί να αποδείξουμε ότι το σύνολο Uei ικανοποιεί την ισότητα του Parseval (συνθήκη 5, θεώρημα 3, Κεφάλαιο 2). Έχουμε:


- 125 -

ii i

i

+i i

+( ,U )(U , ) = (U , )( ,U ) = (U ,U )∑ ∑ + +u e e v u e e v u v

εφ' όσον το σύνολο ei είναι πλήρες. Αλλά (U+u,U+v)= (u,UU+v)= (u,v) Επομένως η ισότητα του Parseval ικανοποιείται και το σύνολο Uei είναι πλήρες. Από το θεώρημα αυτό βλέπουμε, ότι οι ισομετρικοί τελεστές μας μεταφέρουν από μια ορθοκανονική βάση σε μια άλλη. Παράδειγμα ισομετρικών τελεστών είναι οι περιστροφές στο διανυσματικό χώρο όπου ο αντίστοιχος πίνακας αij μίας περιστροφής, ο οποίος είναι ορθογώνιος, ικανοποιεί τη σχέση:

kik jk

kki kj ij= =∑ ∑α α α α δ

Παρόμοια σχέση ικανοποιείται και από τους ισομετρικούς τελεστές U. Πράγματι, αν [U]ij = uij τότε: [U+]ij = u*

ji

και από τη σχέση: + + +

ijk

ik jk* +

ijk

ki*

kj ijUU =U U=I [UU ] = u u =[U U] = u u =⇒ ∑ ∑ δ

Σε πραγματικούς χώρους έχουμε: uij=uij* και η τελευταία σχέση συμπίπτει με την

προηγούμενη. Είναι γνωστό ότι οι πίνακες που παριστάνουν περιστροφές έχουν ορίζουσα ίση με 1. Ένα πιο γενικό θεώρημα ισχύει για τους ορθογώνιους πίνακες. Θεώρημα 3: Αν Α είναι ένας ορθογώνιος πίνακας, τότε detA=±1 Απόδειξη: Από τον ορισμό του ορθογωνίου πίνακα έχουμε: AtA=I. Επομένως: det(AtA)=detAt⋅detA=(detA)2=1 ⇒ detA=±1 Το +1 αντιστοιχεί σε μια περιστροφή και το -1 σε μια περιστροφή και μια αντιστροφή, δηλαδή από ένα αριστερόστροφο σύστημα συντεταγμένων, πηγαίνουμε σ' ένα δεξιόστροφο. Αν U είναι ένας Unitary πίνακας, τότε κατά παρόμοιο τρόπο έχουμε: |detU|=1 ή detU=eiφ όπου φ∈R 6.6 ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΤΩΝ ΑΥΤΟΣΥΝΑΦΩΝ ΚΑΙ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

Σ' αυτή την παράγραφο θα ασχοληθούμε με μερικά γενικά θεωρήματα γύρω από το φάσμα ορισμένων τελεστών. Τα θεωρήματα αυτά είναι πολύ βασικά για την Κβαντομηχανική όπου ενδιαφερόμαστε να βρούμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα Hermitian τελεστών. Θεώρημα 1: Οι ιδιοτιμές ενός αυτοσυναφή τελεστή είναι πραγματικές. Απόδειξη: Έστω Av=λv η εξίσωση ιδιοτιμών του αυτοσυναφή τελεστή Α με v≠0. Ισχύει:

(v,Av)=(v,λv)=λ(v,v) (1) και επειδή ο Α είναι αυτοσυναφής:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI

- 126 -

(v,Av)=(Av,v)= (λv,v)=λ*(v,v) (2) Αφαιρώντας την (2) από την (1) έχουμε: (v,v)(λ-λ*)=0 και επειδή v≠0 ⇒ (v,v)≠ 0 και επομένως λ=λ* ⇒ λ∈R. Το θεώρημα αυτό είναι μια απλή επέκταση του θεωρήματος 8 της παραγράφου 4. Θεώρημα 2: Οι ιδιοτιμές ενός ισομετρικού τελεστή έχουν απόλυτη τιμή 1. Απόδειξη: Αν U είναι ένας ισομετρικός τελεστής και Uu=λu, (u≠0), τότε: ||v||=||Uv||=||λu||=|λ|||u|| ⇒ |λ|=1 Θεώρημα 3: Αν Α είναι αυτοσυναφής ή ισομετρικός τελεστής, τότε τα ιδιοδιανύσματα του Α που ανήκουν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι ορθογώνια. Απόδειξη: Έστω Av1=λ1v1 και Av2=λ2v2 με λ1≠λ2 1. Αν Α αυτοσυναφής, τότε:

(v1,Av2)=(v1,λ2v2)= λ2(v1,v2) (1) και (v1,Av2)= (Αv1,v2)= (λ1v1,v2)= λ1*(v1,v2)= λ1(v1,v2) (2) επειδή Α+=Α και οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές. Αφαιρώντας τη (2) από την (1), έχουμε: (v1,v2)(λ2-λ1)=0 ⇒ (v1,v2)=0 αφού λ1≠λ2 2. Αν Α ισομετρικός, τότε: (v1,v2)= (Av1,Av2)= (λ1v1,λ2v2)=λ1*λ2(v1,v2) (1) αλλά |λ|2=λλ*=1 για έναν ισομετρικό τελεστή, επομένως

(1) ⇒ (v1,v2)= 2

1

λλ

(v1,v2) ⇒ λ1(v1,v2)=λ2(v1,v2) ⇒ (λ1-λ2)(v1,v2)=0 ⇒ (v1,v2)=0

εφ' όσον λ1≠λ2. Παρατήρηση 1: Όταν επιλύουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο για έναν πίνακα που αντιστοιχεί σε αυτοσυναφή ή ισομετρικό τελεστή, παίρνουμε n ιδιοτιμές. Αν είναι ανά δύο διάφορες, τότε τα ιδιοδιανύσματα είναι ορθογώνια μεταξύ τους και γεννούν το χώρο στον οποίο ορίζεται ο πίνακας. Αν k (k≤n) από τις ιδιοτιμές είναι ίσες (προς λο), τότε όπως θα δούμε στην παράγραφο 6.8, θεώρημα 1, υπάρχουν πάντα k γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα (όχι κατ' ανάγκη ορθογώνια) που ανήκουν στην ιδιοτιμή λο. Φυσικά τα k αυτά ιδιοδιανύσματα είναι ορθογώνια προς τα υπόλοιπα (n-k) που ανήκουν σε ιδιοτιμές διαφορετικές τις λο. Εφαρμόζοντας όμως τη μέθοδο ορθοκανονικοποιήσεως Gram-Schmidt μπορούμε να αντικαταστήσουμε τα k γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα από ένα ορθογώνιο σύνολο k ιδιοδιανυσμάτων. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται συχνά στην Κβαντομηχανική στην περίπτωση εκφυλισμένων τιμών. Για τους αυτοσυναφείς και ισομετρικούς τελεστές, η αλγεβρική πολλαπλότητα (δηλαδή ο αριθμός με τον οποίο επαναλαμβάνεται μια ρίζα στη λύση του χαρακτηριστικού πολυώνυμου), ισούται με τη γεωμετρική πολλαπλότητα, (δηλαδή με τον αριθμό των γραμμικά ανεξαρτήτων ιδιοδιανυσμάτων που ανήκουν σ' αυτή τη ρίζα). Επομένως τα ιδιοδιανύσματα ενός αυτοσυναφή ή ισομετρικού τελεστή, γεννούν το χώρο και μπορούν να εκλεγούν έτσι ώστε


- 127 -

να αποτελούν ένα ορθοκανονικό σύνολο. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε ένα παράδειγμα στο οποίο θα δούμε πως εφαρμόζονται τα προηγούμενα θεωρήματα. Παράδειγμα 1: Ο πίνακας περιστροφής και ο πίνακας Lorentz. Θα εξετάσουμε αυτούς τους δύο πίνακες από την πλευρά των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων. Στις δύο διαστάσεις ο πίνακας περιστροφής έχει τη μορφή

R=cos sinsin cosϕ ϕ⎛ ⎞

⎜ ⎟− ϕ ϕ⎝ ⎠

Είναι γνωστό ότι ο πίνακας περιστροφής περιγράφει το αποτέλεσμα της περιστροφής της βάσης ενός διανυσματικού χώρου. Ο πίνακας Lorentz περιγράφει το αποτέλεσμα των μετασχηματισμών Lorentz, οι οποίοι συνδέουν τις συντεταγμένες χώρου-χρόνου δύο παρατηρητών που κινούνται σχετικά με ομαλή ταχύτητα v, κατά μήκος του κοινού άξονα x3x3′. Οι μετασχηματισμοί Lorentz είναι: x1′=x1 x2′=x2 x3′=γ(x3-vt) (1)

t′=γ tvxc

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32

όπου γ≡2

11−β

, β≡v/c και c η ταχύτητα του φωτός.

Ο μετασχηματισμός (1) μπορεί να γραφεί και υπό μορφή πίνακα, θέτοντας x4=ict έτσι ώστε να έχουμε:

xii

2

1

4

=∑ =x1

2+ x22+ x3

2-c2t2 (2)

Η σχέση (2) παραμένει αναλλοίωτη στην ειδική θεωρία της σχετικότητας και εκφράζει το γεγονός ότι η ταχύτητα του φωτός παραμένει σταθερή σ' όλα τα αδρανειακά συστήματα. Οι συντεταγμένες (x1,x2,x3,x4=ict), αναφέρονται σαν συντεταγμένες στο χώρο του Minko-wski. Ο πίνακας που αντιστοιχεί στους μετασχηματισμούς Lorentz είναι:

L=

1 0 0 00 1 0 00 0 i0 0 i

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟γ βγ⎜ ⎟− βγ γ⎝ ⎠

(3)

διότι:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI

- 128 -

L⋅x=

1 0 0 00 1 0 00 0 i0 0 i

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟γ βγ⎜ ⎟− βγ γ⎝ ⎠

1

11 2

223

33

3 443

xxx xxx vx ctx i (ict)x c

i x xx ict vi x i ctc

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = = γ − γ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ γ + βγ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ − βγ + γ= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − γ + γ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= ( )

1 1

22

3

3

324

x xx

xx vt

xvic t xc x ict

′⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

′⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟γ −

′⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟γ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ′⎜ ⎟′=⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=x′

Μια απλή και χρήσιμη παραμετρική μορφή του πίνακα Lorentz προκύπτει αν θέσουμε:

γ≡2

11−β

≡coshα

Οπότε sinhα= 2

2cosh 1

1β

α− =−β

=βγ

Τότε ο πίνακας L παίρνει τη μορφή:

L=L(α)=

1 0 0 00 1 0 00 0 cosh isinh0 0 isinh cosh

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α α⎜ ⎟− α α⎝ ⎠

Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τις γενικές ιδιότητες των R και L. Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι RtR=I και L tL=I, δηλαδή ο αντίστροφος κάθε πίνακα συμπίπτει με τον ανάστροφό του. Για τον πίνακα R αυτό σημαίνει ότι ο αντίστροφος μιας περιστροφής R κατά γωνία φ προκύπτει αντικαθιστώντας την φ με -φ. Αυτό ισοδυναμεί παίρνοντας τον ανάστροφο του R. Στην περίπτωση του L ο αντίστροφος θα πρέπει από φυσικής πλευράς να προκύπτει με αντικατάσταση του v με -v, (δηλαδή το α με -α) που ισοδυναμεί με αναστροφή του L. Επομένως και οι δύο πίνακες R και L είναι ορθογώνιοι. Όμως τα προηγούμενα θεωρήματα αναφέρονται σε Unitary πίνακες και αν θελήσουμε να τα εφαρμόσουμε στα R και L θα πρέπει να δούμε αν οι R και L έχουν την ιδιότητα της Unitarity, δηλαδή R+R=I και L+L=I. Εφ' όσον τα στοιχεία του R είναι πραγματικά Rt=R+ και επομένως R+R=I άρα ο R είναι Unitary. Αλλά στην περίπτωση του L έχουμε Lt≠L+ διότι τα στοιχεία του L είναι μιγαδικά και επίσης L+L ≠ I. Επομένως ο L δεν είναι Unitary. Για τον Unitary πίνακα R μπορούμε να πούμε εκ των προτέρων ότι οι ιδιοτιμές του έχουν μέτρο τη μονάδα και τα ιδιοδιανύσματά του είναι ορθογώνια (αν οι ιδιοτιμές είναι διαφορετικές). Υπολογίζοντας τις ιδιοτιμές βρίσκουμε: λ1=eiφ , λ2=e-iφ


- 129 -

με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα: x1=(1,i) , x2=(1,-i) που πληρούν τις ιδιότητες: |λ1,2|=|e±iφ|=1 (θεώρημα 2)

και (x1,x2)=(1,i)1−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∗

i=(1,i)

1i⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =1⋅1+i⋅i=1-1=0 (από θεώρημα 3).

Για τον πίνακα L δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τα θεωρήματα των Unitary πινάκων, αφού ο L δεν είναι Unitary. Εύκολα όμως μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι L+=L δηλαδή ο L είναι αυτοσυναφής (Hermitian) πίνακας και επομένως μπορούμε τώρα για τον L να εφαρμόσουμε τα θεωρήματα των αυτοσυναφών τελεστών. Μπορούμε δηλαδή να πούμε ότι οι ιδιοτιμές του L είναι πραγματικές και ότι τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι ορθογώνια. Μετά από απλούς υπολογισμούς βρίσκουμε ότι οι ιδιοτιμές του L είναι: λ1=1 , λ2=1 , l3=coshα+sinhα , λ4=coshα-sinhα οι οποίες είναι πραγματικές, με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα x1=(1,0,0,0) , x2=(0,1,0,0) , x1=(0,0,1,i) , x1=(0,0,1,-i) (από θεώρημα 3) τα οποία είναι ορθογώνια όπως αναμενόταν. Το γεγονός ότι ο L είναι Hermitian μας δίνει όλες τις πληροφορίες για τις φασματικές ιδιότητες του L. Απεναντίας η ορθοκανονικότητα του L δεν μας λέει τίποτα, εκτός του ότι detL=±1 Μια άλλη πιό γενική κατηγορία τελεστών, είναι οι κανονικοί. Ορισμός 1: Ένας τελεστής ονομάζεται κανονικός, αν ΑΑ+=Α+Α. Παρατήρηση 2: Όλοι οι τελεστές, οι αυτοσυναφείς (Hermitian και συμμετρικοί), και οι ισομετρικοί (Unitary και ορθογώνιοι) είναι κανονικοί. Επίσης οι αντιαυτοσυναφείς (αντισυμμετρικοί Α=-Α+ και anti-hermitian (A=-A+)) είναι κανονικοί. Θεώρημα 4: Σ' ένα κανονικό τελεστή Α τα ιδιοδιανύσματα που ανήκουν σε διαφορε-τικές ιδιοτιμές είναι ορθογώνια. Απόδειξη: Πρώτα θα αποδείξουμε ότι: Av=λv ⇔ A+v=λ*v Έχουμε: ||Av||2=(Av,Av)= (A+Av,v)= (AA+v,v)= (A+v,A+v)=||A+v||2 (1) Αν ο Α είναι κανονικός, τότε και ο (Α-λ) είναι κανονικός και επειδή (Α-λ)t = Α+ -λ* θέτοντας (Α-λ) στη θέση του Α στη σχέση (1), έχουμε: ||Av-λv||2=||A+v-λ*v||2 ⇒ Av=λv ⇔ A+v=λ*v Τώρα αν Av1=λ1v1 και Av2=λ2v2 τότε (v1,Av2)=λ2(v1,v2) (v1,Av2)= (A+v1,v2)= (λ1*v1,v2)= λ1(v1,v2)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI

- 130 -

και με αφαίρεση (λ1+λ2) (v1,v2)=0 ⇒ v1,v2)=0 αφού λ1≠λ2 Παρατήρηση 3: Κάθε πίνακας Α μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα ενός αυτοσυναφή και ενός αντιαυτοσυναφή πίνακα, διότι ισχύει η ταυτότητα:

A 12

(A+ A ) +12

(A - A )+ +≡

με 12

(A+ A )+ αυτοσυναφή και ( )12

A A+ + αντιαυτοσυναφή.

Επίσης ένας πίνακας Α μπορεί να γραφεί και σαν

A [12

(A+ A )]+ i[12i

(A - A )]+ +≡

όπου οι πίνακες B 12

(A+ A )+≡ και C 12

i(A-A )+≡ είναι Hermitian.

Η ανάλυση αυτή του τελεστή Α είναι ανάλογη με την ανάλυση ενός μιγαδικού αριθμού, σε άθροισμα ενός πραγματικού και ενός φανταστικού αριθμού. 6.7 ΔΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Έστω T: V→V ένας τελεστής στο διανυσματικό χώρο V διάστασης n. Ο τελεστής Τ μπορεί να παρασταθεί από ένα διαγώνιο πίνακα:

1

2

n

0 00 0

0 0

λ⎛ ⎞⎜ ⎟λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎝ ⎠

αν και μόνο αν υπάρχει μια βάση v1,…,vn του V για την οποία έχουμε: Tv1=λ1v1

Tv2=λ2v2

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ Tvn=λnvn

δηλαδή τα διανύσματα v1, v2,…,vn είναι ιδιοδιανύσματα του Τ που ανήκουν αντίστοιχα στις ιδιοτιμές λ1, λ2,…,λn. Με άλλα λόγια: Θεώρημα 1: Ένας τελεστής T: V → V μπορεί να παρασταθεί από ένα διαγώνιο πίνακα D αν και μόνο αν ο V έχει μια βάση που αποτελείται από τα ιδιοδιανύσματα του Τ. Στην περίπτωση αυτή τα διαγώνια στοιχεία του D είναι οι αντίστοιχες ιδιοτιμές.


- 131 -

Θεώρημα 2: Αν Α και Β είναι δύο όμοιοι πίνακες (δηλαδή Β= P-1AP), τότε οι Α και Β έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές με τις ίδιες γεωμετρικές πολλαπλότητες. Απόδειξη: Έστω Avi=λivi και B=P-1AP. Τότε P-1Avi=λiP-1vi ⇒ P-1AIvi=λiP-1vi ⇒

P-1APP-1vi=λiP-1vi ⇒ (P-1AP)(P-1vi)=λi(P-1vi) ⇒ Bui=λiui με B=P-1AP και ui=P-1vi

δηλαδή ο πίνακας Β έχει τις ίδιες ιδιοτιμές λi όπως και ο πίνακας Α. Τα ιδιοδιανύσματα του Β που ανήκουν στην ιδιοτιμή λi είναι ui=P-1vi, και θα αποδείξουμε στη συνέχεια ότι αν υπάρχουν k γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα vi με Avi= λvi, (έτσι που η γεωμετρική πολλαπλότητα της λ να είναι k ), τότε υπάρχουν k γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα ui που ικανοποιούν τη σχέση Bui=λui. Θεωρούμε ένα γραμμικό συνδυασμό των ui που ανήκουν στη λ:

i=1

k

i ii=1

k

i-1

i-1

i=1

k

i i= P =P ∑ ∑ ∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟α α αu v v

Έτσι αν δεχτούμε ότι k

i ii=1

=α∑ 0u έπεται ότι:

k k-1

i ii ii=1 i=1

= =P⎛ ⎞

⇒α α⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑0 0v v

και επειδή τα vi είναι γραμμικά ανεξάρτητα, θα έχουμε αi=0 δηλαδή k

i i ii=1

= = 0⇒α α∑ 0u

και επομένως τα k ιδιοδιανύσματα ui είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Μια άλλη απόδειξη ότι όμοιοι πίνακες έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές, είναι η εξής: (B-λI)=P-1AP-λI=P-1AP-λP-1IP=P-1(A-λΙ)Ρ ⇒ det(B-λI)=det(P-1)det(A-λΙ)detP=det(A-λΙ) Επομένως αφού δύο όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο, έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές και αυτές οι ιδιοτιμές έχουν τις ίδιες αλγεβρικές πολλαπλότητες.

Το γεγονός ότι οι όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο, σημαίνει ότι οι συντελεστές κάθε δύναμης του λ πρέπει να είναι ίσοι. Ο συντελεστής του λο (ο σταθερός όρος του πολυώνυμου) είναι detA, έτσι έχουμε:

detA=detB Επίσης ο συντελεστής του λn-1 είναι το trA επομένως trA=trB. Αν Α είναι ο διαγώνιος πίνακας της μορφής:

Α=D=

dd

d

d nn

11

22

33

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

τότε η εξίσωση ιδιοτιμών Av=λv είναι ήδη λυμένη, διότι η χαρακτηριστική εξίσωση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI

- 132 -

det(D-λ λI)= (d - )=0i=1

n

ii∏

έχει λύσεις λi=dii, i=1,2,…,n δηλαδή οι ιδιοτιμές είναι απλά τα διαγώνια στοιχεία.

Έτσι αν μπορούμε να βρούμε ένα μετασχηματισμό ομοιότητας που διαγωνοποιεί τον Α, (και όπως έχουμε δει, τέτοιοι μετασχηματισμοί διατηρούν τις ιδιοτιμές) θα έχουμε αμέσως βρει τις ιδιοτιμές. Από τη σχέση

det(D-λ λI)= (d - )i=1

n

ii∏

και από το γεγονός ότι δύο όμοιοι πίνακες Α,Β έχουν την ίδια ορίζουσα (detA=detB), προκύπτει το εξής συμπέρασμα. Αν ο Α είναι διαγώνιος (A=D) τότε το γινόμενο των κοινών ιδιοτιμών των Α και Β ισούται με την κοινή ορίζουσα των Α και Β. Πράγματι,

detB= A= I) = (d - ) = d=0i

ii =0i

iii

idet det(D)=det(D-λ λ λλ λ∏ ∏ =∏

Επομένως αν ένας πίνακας Β διαγωνοποιείται, τότε detB=Πiλi όπου λi οι ιδιοτιμές του Β. Ένα σχετικό και αρκετά ενδιαφέρον θεώρημα είναι το εξής:

Θεώρημα 3: Έστω vi=1i

ni

p

p

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ιδιοδιανύσματα του Α με ιδιοτιμές λi, i=1,2,…,n έτσι ώστε

Avi=λivi. Αν τα διανύσματα vi γεννούν το χώρο, τότε ο πίνακας P=(pij) ( που έχει σαν στήλες τα ιδιοδιανύσματα vi), διαγωνοποιεί τον Α.

P-1AP=

1

2

n

0 00 0

0 0

λ⎛ ⎞⎜ ⎟λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎝ ⎠

=D=[λiδij]=[dij]

Αντίστροφα αν ο Α μπορεί να διαγωνοποιηθεί από ένα μετασχηματισμό ομοιότητας τότε το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων του Α γεννά το χώρο. Απόδειξη: Αν τα ιδιοδιανύσματα vi (που είναι οι στήλες του Ρ) γεννούν τον χώρο, τότε είναι γραμμικά ανεξάρτητα και επομένως detP≠0 και ο P-1 υπάρχει. Αλλά Avj=λjvj ή

kik kj j ij

kik kj j

kik kjp = Ip = p = p d∑ ∑ ∑α λ δ λ για i=1,2,...n , j=1,2,...n

Επομένως AP=PD ⇒ D=P-1AP Το αντίστροφο του θεωρήματος προκύπτει ακολουθώντας αντίθετα βήματα. Παρατήρηση 1: Από τα παραπάνω εύκολα μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι "ένας πίνακας διαγωνοποιείται όταν το άθροισμα των γεωμετρικών πολλαπλοτήτων των ιδιοτιμών ισούται με την διάσταση του διανυσματικού χώρου, δηλ.


- 133 -

igi

n =n=dimV∑

Παρατήρηση 2: Το να γεννούν το χώρο τα ιδιοδιανύσματα ενός πίνακα, είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για να διαγωνοποιείται από ένα μετασχηματισμό ομοιότητας. Σαν παράδειγμα πίνακα του οποίου τα ιδιοδιανύσματα δεν γεννούν το χώρο, είναι:

A=10 1

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

διότι έχει μια μόνο ιδιοτιμή λ=1 και ένα ιδιοδιάνυσμα 10⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

v το οποίο δεν μπορεί να

παραγάγει τον χώρο R2 που είναι δυο διαστάσεων. Μπορούμε πάντα να βρούμε ένα πίνακα Ρ ώστε AP=PD, (D διαγώνιος πίνακας), ακόμα και όταν δεν υπάρχει Ρ-1 τέτοιος ώστε P-1AP=D. Αφού κάθε πίνακας Α έχει τουλάχιστον μια ιδιοτιμή (έστω λ) και ένα ιδιοδιάνυσμα (έστω v) τότε ο πίνακας Ρ, ο οποίος κατασκευάζεται από n στήλες που κάθε μια είναι v, ικανοποιεί τη σχέση AP=PD. Πράγματι AP=λP έτσι D=λI αλλά ο Ρ δεν έχει αντίστροφο αφού οι στήλες του είναι ίσες. Παρατήρηση 3: Το θεώρημα 3 από πρακτικής πλευράς δεν είναι αρκετά χρήσιμο, διότι μπορεί κανείς να κατασκευάσει τον πίνακα Ρ όταν γνωρίζει τα ιδιοδιανύσματα τα οποία βρίσκονται με τον υπολογισμό των ιδιοτιμών.

Έτσι για να βρει κανείς τις ιδιοτιμές του Α κατασκευάζοντας ένα πίνακα Ρ που διαγωνοποιεί τον Α, πρέπει ήδη να ξέρει τις ιδιοτιμές του Α. Η κύρια σημασία όμως του θεωρήματος είναι ότι μας δίνει μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για τη διαγωνοποίηση. Παράδειγμα 1: Να βρεθούν οι ιδιοτιμές, τα ιδιοδιανύσματα και ο πίνακας Ρ που διαγωνοποιεί τον πίνακα του Pauli.

σx=0 11 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(Στην Κβαντομηχανική ο τελεστής για την x συνιστώσα του spin είναι: x xs =2 σ

)

Η χαρακτηριστική εξίσωση για τον σx είναι:

det(σx-λΙ)=1

1−λ

−λ=(-λ)2-1=0 ⇒ λ=±1

(Έτσι το spin Sx έχει ιδιοτιμές ± 2)

Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σ' αυτές τις ιδιοτιμές, θέτουμε στην εξίσωση σxv=λv , λ=1 και λ=-1. Για λ=1 έχουμε:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI

- 134 -

0 11 0

1

2

1

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

vv

vv

⇒ v1=v2=α

και επομένως ένα ιδιοδιάνυσμα που ανήκει στην ιδιοτιμή λ=1 έχει τη μορφή: α⎛ ⎞⎜ ⎟α⎝ ⎠

με α≠0

Όμοια ένα ιδιοδιάνυσμα που ανήκει στην ιδιοτιμή λ=-1 έχει τη μορφή:

β⎛ ⎞

⎜ ⎟−β⎝ ⎠ με β≠0

Έτσι Ρ=α β⎛ ⎞⎜ ⎟α −β⎝ ⎠

και detP=-2αβ≠0

Επομένως ο Ρ-1 υπάρχει και είναι:

P-1= 12

−β −β⎛ ⎞−⎜ ⎟−α ααβ ⎝ ⎠

Άρα P-1σxP= 1

2

00 1 1 0101 0 0 12λβ β α β ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ λα −α α −β −αβ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Άλλος τρόπος για να βρούμε τις ιδιοτιμές σ' αυτή την ειδική περίπτωση, είναι να παρατηρήσουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πίνακα του Pauli είναι ο ταυτοτικός πίνακας. Επομένως: v=Iv=σx

2v=σxσxv=σxλv=λσxv=λ2v ⇒ (λ2-1)v=0 ⇒ λ2=1 ⇒ λ=±1 και αυτό δεν ισχύει μόνο για τους πίνακες του Pauli, αλλά για οποιοδήποτε πίνακα που το τετράγωνό του είναι ο ταυτοτικός, οι ιδιοτιμές του είναι ±1 . 6.8 ΔΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ HERMITIAN ΚΑΙ UNITARY ΠΙΝΑΚΩΝ

Η διαγωνοποίηση ενός πίνακα, όπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο, είναι ισοδύναμη με την εύρεση των ιδιοτιμών του, που θα είναι τα διαγώνια στοιχεία. Πολύ συχνά η λύση ενός φυσικού προβλήματος περιέχει την διαγωνοποίηση ενός πίνακα. Στην Κλασσική Μηχανική ενδιαφερόμαστε να διαγωνοποιήσουμε τον πίνακα (τανυστή) της ροπής αδρανείας, ενώ στην Κβαντομηχανική, αν διαγωνοποιήσουμε τον πίνακα που παριστάνει ένα τελεστή ο οποίος αντιστοιχεί σε παρατηρήσιμο μέγεθος, τότε τα διαγώνια στοιχεία θα είναι όλα τα δυνατά αποτελέσματα των μετρήσεων γι' αυτό το παρατηρήσιμο μέγεθος.

Τα n ιδιοδιανύσματα ενός κανονικού πίνακα n×n (στους κανονικούς πίνακες ανήκουν οι Hermitian και Unitary πίνακες) με μη εκφυλισμένο φάσμα (δηλαδή με n διαφορετικές ιδιοτιμές ) είναι ορθογώνια και επομένως γραμμικά ανεξάρτητα. Έτσι γεννούν το χώρο και από το θεώρημα 3 της παραγράφου 6.7 μπορούμε να κατασκευάσουμε τον πίνακα Ρ του οποίου η i στήλη είναι το i ιδιοδιάνυσμα του Α. Τότε θα έχουμε:


- 135 -

(P-1AP)ij=λiδij Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι ο Ρ είναι Unitary πίνακας. Πράγματι, έστω

P=

p p pp p p

p p p

in

n

n n nn

11 12

21 22 2

1 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Τότε η i στήλη vi=

pp

p

i

i

ni

1

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

του Ρ είναι το i ιδιοδιάνυσμα το οποίο δεχόμαστε ότι είναι

κανονικοποιημένο ( μέτρο, ίσο με τη μονάδα). Επειδή τα ιδιοδιανύσματα είναι ορθογώνια έχουμε:

( , )= P P =i jk= 1

n

ki*

kj ijv v ∑ δ

και η σχέση αυτή υπό μορφή πινάκων γράφεται: P+P=I ⇒ P=Unitary

Το γεγονός ότι ένας κανονικός πίνακας με διαφορετικές ιδιοτιμές μπορεί να διαγωνοποιηθεί από ένα Unitary μετασχηματισμό ομοιότητας είναι αρκετά σπουδαίο. Ο περιορισμός όμως του φάσματος να μην είναι εκφυλισμένο, είναι αρκετά σοβαρός γιατί τα περισσότερα φυσικά προβλήματα έχουν εκφυλισμένο φάσμα. Η άρση των περιορισμών για τους Hermitian πίνακες γίνεται ως εξής:

Αν οι ιδιοτιμές ενός Hermitian πίνακα Α δεν είναι διακεκριμένες, μπορούμε να διαταράξουμε (μεταβάλλουμε) τα στοιχεία του Α, προσθέτοντας ένα Hermitian πίνακα δΑ έτσι που ο νέος Hermitian πίνακας Α+δΑ να έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές. Αυτό χρησιμοποιείται συχνά στην Κβαντομηχανική όπου π.χ. η παρουσία ενός μαγνητικού πεδίου (σαν διαταραχή) αίρει τον εκφυλισμό του φάσματος. Από τη στιγμή που δεν έχουμε εκφυλισμό, μπορούμε να εφαρμόσουμε τα προηγούμενα θεωρήματα δηλαδή υπάρχει Unitary μετασχηματισμός ομοιότητας που διαγωνοποιεί τον πίνακα Α+δΑ ο οποίος τώρα θα έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές με ορθογώνια τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα αφού είναι Hermitian. Επειδή τα ιδιοδιανύσματα πρέπει να είναι ορθογώνια για οσοδήποτε μικρό (αλλά όχι μηδέν) δΑ είναι προφανές ότι όταν το δΑ τελικά τείνει στο μηδέν τα ιδιοδιανύσματα δεν γίνονται γραμμικά εξαρτημένα. Είναι λογικό επομένως να περιμένουμε ότι όσο δΑ→0 συνεχίζουμε να έχουμε k γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα για μία ρίζα του χαρακτηριστικού πολυώνυμου πολλαπλότητας k και άρα ότι υπάρχει ένας Unitary μετασχηματισμός ομοιότητας που διαγωνοποιεί τον Α. Με λίγα λόγια δεν υπάρχει φόβος για τα ιδιοδιανύσματα που είναι ορθογώνια όσο δΑ≠0 να γίνουν γραμμικά εξαρτημένα όταν δΑ→0.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI

- 136 -

Θεώρημα 1: Οποιοσδήποτε Hermitian πίνακας Α, (με εκφυλισμένο ή όχι φάσμα ιδιοτιμών), μπορεί να διαγωνοποιηθεί από ένα Unitary μετασχηματισμό ομοιότητας, δηλαδή υπάρχει ένας Unitary πίνακας U, τέτοιος ώστε ο U-1 AU είναι διαγώνιος του οποίου τα διαγώνια στοιχεία είναι οι ιδιοτιμές του Α. Η απόδειξη γίνεται με επαγωγικό τρόπο, δηλαδή αποδείχνεται για πίνακα 2x2, το δεχόμαστε αληθές για (n-1)×(n-1) και το αποδείχνουμε για πίνακα n×n. Επειδή όμως είναι αρκετά μεγάλη την παραλείπουμε. Μία μερική τροποποίηση του θεωρήματος 1, είναι η εξής: Θεώρημα 2: Οποιοσδήποτε (πραγματικός) συμμετρικός πίνακας μπορεί να διαγωνοποιηθεί από ένα πραγματικό ορθογώνιο μετασχηματισμό ομοιότητας.

Από την παρατήρηση 3 της παραγράφου 6.6 είδαμε ότι κάθε πίνακας μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα δύο Hermitian πινάκων A=B+iC. Επίσης κάθε Hermitian πίνακας μπορεί να διαγωνοποιηθεί από ένα Unitary μετασχηματισμό ομοιότητας.

Εδώ δημιουργείται το εξής ερώτημα. Μπορεί οποιοσδήποτε πίνακας Α Hermitian ή όχι) να διαγωνοποιηθεί; Η απάντηση είναι ότι διαγωνοποιώντας τον πίνακα Β, παίρνουμε ένα συγκεκριμένο σύνολο βασικών διανυσμάτων ( τα ιδιοδιανύσματα του Β) ως προς τα οποία ο Β έχει διαγώνια μορφή χωρίς κατ' ανάγκη να έχει διαγώνια μορφή και ο C. Δηλαδή τα ιδιοδιανύσματα του Β δεν θα είναι συγχρόνως και ιδιοδιανύσματα του C. Αν όμως οι Β και C έχουν ένα κοινό σύστημα ιδιοδιανυσμάτων, τότε διαγωνοποιούνται συγχρόνως μ' ένα μετασχηματισμό ομοιότητας και επομένως και ο Α διαγωνοποιείται. Το επόμενο θεώρημα μας δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για να διαγωνοποιούνται συγχρόνως δύο πίνακες Β και C. Θεώρημα 3: Δύο Hermitian τελεστές Β και C μετατίθενται αν και μόνο αν υπάρχει ένα κοινό, πλήρες και ορθοκανονικό σύνολο ιδιοδιανυσμάτων. Απόδειξη: α) Έστω vi ένα πλήρες ορθοκανονικό σύνολο ιδιοδιανυσμάτων κοινό για τους πίνακες Β και C. Τότε Bvi=bivi και Cvi=civi ⇒ Bcvi=B(civi)=ciBvi=cibivi Επίσης Cbvi=cibivi Επομένως (BC-CB)vi=0 και επειδή τα vi γεννούν το χώρο, θα έχουμε (BC-CB)vi=0 για κάθε vi . Άρα BC=CB. β) Αντίστροφα. Έστω BC=CB και bi, vi οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ορθοκανονικά ιδιοδιανύσματα του Β. Τότε: Cbvi=biCvi ⇒ B(Cvi)=bi(Cvi) Δηλαδή το διάνυσμα Cvi είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του Β που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή bi. Διακρίνουμε τώρα τις εξής περιπτώσεις.: 1) Το φάσμα δεν είναι εκφυλισμένο, δηλαδή η πολλαπλότητα για όλες τις bi είναι 1. Τότε για κάθε i το Cvi πρέπει να ισούται με ένα πολλαπλάσιο του vi: Cvi=civi δηλαδή το vi είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του C με ιδιοτιμή ci. 2) Το φάσμα είναι εκφυλισμένο, δηλαδή υπάρχουν ιδιοτιμές πολλαπλότητας m>1.


- 137 -

Τότε θα υπάρχουν m ιδιοδιανύσματα (Cvi(1), Cvi

(2) ,…,Cvi(m)) που ανήκουν στην ιδιοτιμή bi

και κάθε ένα από αυτά θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των m γραμμικά ανεξάρτητων ιδιοδιανυσμάτων vi

(1), vi(2) ,…, vi

(m) που ανήκουν επίσης στην ιδιοτιμή bi. Διαλέγουμε τα Xi

(k) να είναι ένα ορθοκανονικό σύνολο και γράφουμε αυτούς τους γραμμικούς συνδυασμούς ως εξής:

Cv = v

Cv = v

........................................................

Cv = v

i(1)

j=1

m

j1 i(j)

i(2)

j=1

m

j2 i(j)

i(m)

j=1

m

jm i(j)

∑

∑

∑

α

α

α

όπου ο πίνακας αij των συντελεστών είναι Hermitian. Τώρα θα προσπαθήσουμε να βρούμε ένα γραμμικό συνδυασμό των ιδιοδιανυσμάτων vi

(k) του Β που ανήκουν στην ιδιοτιμή bi και που είναι συγχρόνως ιδιοδιανύσματα του C. Αν ο γραμμικός συνδυασμός

m(k)ik

k=1vγ∑

ήταν ιδιοδιάνυσμα του C, (όπως είναι του Β), τότε η έκφραση:

C( v ) vk=1

m

k i(k)

j,k=1

m

k jk i(j)∑ ∑≡γ γ α

θα είχε την μορφή:

C( xj=1

m

j i(j)∑γ

και αυτό θα συνέβαινε αν υπήρχαν γk τέτοια ώστε:

k = 1

m

jk k j= c∑α γ γ

αλλά η σχέση αυτή είναι ακριβώς η εξίσωση ιδιοτιμών για τον m×m Hermitian πίνακα αjk. Επομένως υπάρχουν m γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα τα οποία θεωρούμε ορθοκανονικά. Έτσι βρίσκουμε m ιδιοτιμές Cμ, μερικές από τις οποίες μπορούν να είναι ίσες, και m ορθοκανονικά ιδιοδιανύσματα γ(μ) όπως επίσης και τους m γραμμικούς συνδυασμούς

i( )

k = 1

m

k( )

i(k)u = vμ μγ∑

που είναι συγχρόνως ορθοκανονικά ιδιοδιανύσματα του Β και C. Στην Κβαντομηχανική (με μία γενίκευση του προηγούμενου θεωρήματος σε

διανυσματικούς χώρους απείρων διαστάσεων) οι τελεστές Η ( Hamiltonian), L2 (το τετράγωνο της ολικής στροφορμής) και Lz (η z-συνιστώσα της στροφορμής ), οι οποίοι μετατίθενται μεταξύ τους, έχουν το ίδιο σύνολο ιδιοδιανυσμάτων που σημαίνει από φυσικής πλευράς ότι μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI

- 138 -

Μία γενίκευση της διαγωνοποίησης των Hermitian πινάκων (Θεώρημα 1) είναι το εξής θεώρημα. Θεώρημα 4: Ένας πίνακας Α μπορεί να διαγωνοποιηθεί από ένα Unitary μετασχημα-τισμό ομοιότητας, αν και μόνο αν είναι κανονικός. Απόδειξη: Κάθε πίνακας Α μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα δύο Hermitian πινάκων (παρατήρηση 3, παράγραφος 6.6).

A = B+ iC = 12

(A + A ) + i12i

(A - A )+ +

Τώρα ο Α μπορεί να διαγωνοποιηθεί από ένα Unitary μετασχηματισμό ομοιότητας αν και μόνο αν οι Hermitian πίνακες Β και C μπορούν συγχρόνως να διαγωνοποιηθούν και αυτό γίνεται τότε και μόνο τότε όταν οι Β και C μετατίθενται, δηλαδή όταν ο Α και Α+ μετατίθενται. Άρα ο Α πρέπει να είναι κανονικός. Από το προηγούμενο θεώρημα συμπεραίνουμε ότι οποιοσδήποτε Unitary πίνακας (που είναι και κανονικός), μπορεί να διαγωνοποιηθεί από έναν Unitary μετασχηματισμό ομοιότητας.

Τελειώνοντας το κεφάλαιο αυτό ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα εκφυλισμού. Έστω ότι προσπαθώντας να διαγωνοποιήσουμε τον πίνακα που παριστάνει έναν Hermitian τελεστή Α, βρήκαμε τις εξής ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: λ1=λ2≠λ3=λ4=λ5≠λ6≠λ7≠…≠λn με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα v1,v2,…,vn. Για τις ιδιοτιμές λ6,λ7,…,λn θα έχουμε κατά τα γνωστά: αij=(vi,Αvj)=(vi,λjvj)=λj(vi,vj)=λiδij , j=6,7,⋅⋅⋅, Για τα πρώτα δύο διαγώνια στοιχεία θα είναι: α11=(v1,Av1)=(v1,λ1v1)=λ1(v1,v1) α22=(v2,Av2)=(v2,λ2v2)=λ2(v2,v2) Για τα μη διαγώνια στοιχεία έχουμε:

α12=(v1,Av2)=(v1,λ2v2)=λ2(v1,v2)=λ1(v1,v2) διότι λ1=λ2

α21=(v2,Av1)=(v2,λ1v1)=λ1(v2,v1)=λ1(v1,v2)* Στην περίπτωση αυτή όμως μπορεί να είναι (v1,v2)≠0 διότι τα ιδιοδιανύσματα ενός Hermitian τελεστή είναι ορθογώνια μόνο αν αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές. Επομένως τα στοιχεία α12 και α21 θα είναι εν γένει μη μηδενικά. Για τον ίδιο λόγο και τα στοιχεία α34, α35, α43, α45, α53, α54 θα είναι εν γένει διάφορα του μηδενός. Ο αντίστοιχος λοιπόν πίνακας θα έχει την μορφή:


- 139 -

A=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nλ

λλ

λαααλαααλ

λααλ

0000000

00000000000000000000000000000000000000000

7

6

35453

45343

35343

121

121

Ο πίνακας αυτός έχει κατά μήκος της κύριας διαγωνίου του ένα μικρό υποπίνακα 2x2 που αντιστοιχεί στο διπλό εκφυλισμό λ1=λ2 και έναν υποπίνακα 3x3 που αντιστοιχεί στον τριπλό εκφυλισμό λ3=λ4=λ5. Δηλαδή όταν υπάρχει εκφυλισμός δεν μπορούμε να διαγωνοποιήσουμε τον πίνακα Α αλλά αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να πάρουμε ένα πίνακα της παραπάνω μορφής, δηλαδή της μορφής υποπινάκων κατά μήκος της διαγωνίου. Χρησιμοποιώντας όμως τη μέθοδο Gram-Schmidt παίρνουμε από τα ιδιοδιανύσματα v1,v2,…,vn ένα ορθοκανονικό σύστημα e1,e2,…,en ως προς το οποίο ο τελεστής Τ έχει διαγώνιο μορφή.

- 139 -

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο VII

ΧΩΡΟΙ HILBERT

ΠΛΗΡΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Οι βασικοί κλάδοι των μαθηματικών, άλγεβρα, γεωμετρία και ανάλυση, συνδέονται μεταξύ τους όταν οι συναρτήσεις θεωρηθούν σαν διανύσματα ενός διανυσματικού χώρου. Αυτή η ενοποίηση βρίσκει μεγάλη εφαρμογή στη θεωρητική Φυσική. Στα προηγούμενα κεφάλαια ασχοληθήκαμε με διανυσματικούς χώρους πεπερασμέ-νης διάστασης. Εδώ γίνεται μία γενίκευση των διανυσματικών χώρων σε χώρους απείρων διαστάσεων. Δημιουργείται όμως αμέσως το εξής πρόβλημα. Πως πρέπει να μεταχειριστούμε ένα γραμμικό συνδυασμό ενός απείρου πλήθους διανυσμάτων που στην

περίπτωση αυτή θα είναι μία σειρά k=1

k k

∞

∑α v .

Αμέσως έχουμε προβλήματα συγκλίσεως. Κάθε σειρά διανυσμάτων θα συγκλίνει; και με ποια έννοια θα συγκλίνει; ( ασθενής και ισχυρά σύγκλιση) και αν ναι το όριο είναι μονοσήμαντα ορισμένο και βρίσκεται μέσα στο χώρο; Είναι ευνόητο τώρα, ότι ο νέος διανυσματικός χώρος, ο χώρος Hilbert των απείρων διαστάσεων, θα πρέπει να είναι εφοδιασμένος με ορισμένες ιδιότητες με τις οποίες να αντιμετωπίζονται αυτά τα προβλήματα. Όταν τα διανύσματα vk είναι συναρτήσεις, τότε έχουμε το πρόβλημα της ανάπτυξης μίας συνάρτησης σε σειρά. Συγκεκριμένα, σε ειδικές συναρτήσεις της Μαθηματικής Φυσικής, π.χ. οι σφαιρικές αρμονικές, τα πολυώνυμα Legendre, Hermite και Laguerre μπορούν να εξετασθούν με τον πιο κατάλληλο τρόπο όταν θεωρηθούν σαν διανύσματα ενός χώρου Hilbert. Στην Κβαντική Φυσική, ο χώρος Hilbert αποτελεί το μαθηματικό υπόβαθρο. Τα παρατηρήσιμα μεγέθη, παριστάνονται από τελεστές σ' ένα χώρο Hilbert και οι φυσικές καταστάσεις ενός συστήματος είναι διανύσματα (συναρτήσεις) σ' ένα χώρο Hilbert. Μία από τις πιο σπουδαίες ιδιότητες των συναρτήσεων που περιγράφουν τις δυνατές καταστάσεις ενός φυσικού συστήματος, είναι να αποτελούν ένα πλήρες σύνολο. Ολόκληρη η κβαντική θεωρία, στηρίζεται σ' αυτό το γεγονός που θα μας απασχολήσει ιδιαίτερα. 7.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ HILBERT ΧΩΡΟΣ

Ένα παράδειγμα διανυσματικού χώρου πεπερασμένης διάστασης είναι ο διανυσματικός χώρος Pn των πολυωνύμων βαθμού n. Τα διανύσματα του διανυσματικού αυτού χώρου είναι μία τάξη απλών συναρτήσεων, των πολυωνύμων. Θα ορίσουμε τώρα έναν άλλο διανυσματικό χώρο, του οποίου τα στοιχεία είναι συναρτήσεις. Τα στοιχεία του χώρου αυτού είναι οι μιγαδικές συναρτήσεις μίας πραγματικής μεταβλητής x που ορίζονται

ΚΕΦΑΛΑΙΟ VII

- 140 -

στο κλειστό διάστημα [α,b] και είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες. Ο χώρος αυτός συμβολίζεται με L2, ονομάζεται συναρτησιακός χώρος και είναι απείρων διαστάσεων. Η πρόσθεση δύο διανυσμάτων f1 και f2 ορίζεται από τη σχέση: (f1+f2)(x)≡f1(x)+f2(x) και ο πολλαπλασιασμός με ένα μιγαδικό αριθμό α: (αf)(x)≡αf(x) Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι οι δύο αυτές πράξεις ικανοποιούν τις ιδιότητες ενός διανυσματικού χώρου. Η μόνη πιθανή δυσκολία θα είναι αν αυτές οι πράξεις είναι κλειστές, δηλαδή το άθροισμα δύο τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων και το γινόμενο ενός αριθμού επί μία τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση, είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις; Η απάντηση είναι καταφατική και αποδεικνύεται ως εξής:

|f +f | = |f | +|f | +f f +f f =

=|f | +|f | +2Re(f f ) |f | +|f |f | +2|f f |

|f | +|f | +2|f ||f |

1 22

12

22

1*

2 1 2*

12

22

1*

2 12

2 22

1*

2*

12

22

1 2

≤ ≤

≤

(1)

Επίσης 0≤(|f1|-|f2|)2=|f1|2+|f2|2-2|f1||f2| ⇒ |f1|2+|f2|2≥2|f1||f2| (2) (1), (2) ⇒ |f1+f2|2≤2|f1|2+2|f2|2 (3) Ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη της (3) έχουμε:

1. ( (b b b2 2

1 2 1 2f (x) f (x) dx 2 | f (x) | dx 2 | f (x) | dxα α α

+ ≤ + ⟨+∞∫ ∫ ∫ ⇒

f1(x)+f2(x) = τετραγωνικά ολοκληρώσιμες

2. b b b2 2 2 2 2(cf (x) | dx | c | | f (x) | dx | c | | f (x) | dxα α α

= = ⟨+∞∫ ∫ ∫

Τον συναρτησιακό χώρο, που ορίσαμε προηγούμενα, μπορούμε να τον εφοδιάσουμε με εσωτερικό γενόμενο που ορίζεται από τη σχέση: (f ,f ) f (x)f (x)dx1 2

b1*

2≡ ∫α η οποία έχει νόημα διότι

|f f |= |f ||f | 12

(|f | + |f | )

|f f |dx12

|f | dx+i2

|f | dx<+

f f dx <+

1*

2 1 2 12

22

b1*

2b

12 b

22

b1*

2

≤ ⇒

∫ ≤ ∫ ∫ ∞ ⇒

∫ ∞

α α α

α

Για f1=f2=f έχουμε (f,f) ||f|| = |f(x)| dx <+2 b 2≡ ∫ ∞α και το μέγεθος ||f|| ονομάζεται norm ή στάθμη της f. Η σχέση (4) ικανοποιεί τις δύο πρώτες ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου, αλλά η τρίτη ιδιότητα που χαρακτηρίζει το εσωτερικό γινόμενο σαν θετικά ορισμένο, παρουσιάζει το εξής πρόβλημα. Προφανώς έχουμε: (f,f) ||f || |f(x) | dx 02 b 2≡ ∫ ≥α

αλλά ισχύει η σχέση (f,f)=0 ⇔ f(x)=0, ∀x∈[α,b] ;

ΧΩΡΟΙ HILBERT

- 141 -

Από τον ολοκληρωτικό λογισμό είναι γνωστό ότι αν μία συνάρτηση f(x) είναι μη μηδενική μόνο για πεπερασμένο πλήθος σημείων, τότε το ολοκλήρωμα είναι μηδέν. Δηλαδή δεν έχουμε καμια συνεισφορά στο ολοκλήρωμα, ακόμα και όταν η ολοκληρώσιμη ποσότητα δεν ταυτίζεται με το μηδέν σ' όλο το διάστημα [α,b]. Οι δυσκολίες αυτές υποχωρούν αν χρησιμοποιήσουμε ένα πιο γενικό ορισμό της ολοκλήρωσης. Το ολοκλήρωμα κατά Riemann αντιμετωπίζει αρκετές δυσκολίες. Π.χ. ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f(x) η οποία παίρνει την τιμή 1 για κάθε ρητό αριθμό στο διάστημα [0,1], και 0 για κάθε άρρητο στο ίδιο διάστημα. Επειδή υπάρχουν "πολύ λίγοι" ρητοί, στην πραγματικότητα μόνο ένα αριθμήσιμο πλήθος, θα περιμέναμε ότι το ολοκλήρωμα αυτής της συνάρτησης θα ήταν μηδέν. Αν όμως σχηματίσουμε το άνω και κάτω ολοκλήρωμα κατά Riemann διαμερίζοντας το διάστημα [0,1] σε τμήματα Δxi έχουμε:

∫ ∑

∫ ∑

≤ ≤

≤ ≤

f x x [f(x)]=1 , x x x + x

f(x)dx= x [f(x)]=0 , x x x x

ii i i i

ii i i i

( )dx= max

min

Δ Δ

Δ Δ

και επομένως το ολοκλήρωμα κατά Riemann δεν υπάρχει. Στην ολοκλήρωση όμως κατά Lebesgue το ολοκλήρωμα υπάρχει και είναι μηδέν, διότι μία συνάρτηση f(x) είναι f(x)=0, εκτός από ένα σύνολο σημείων μέτρου μηδέν ή με άλλα λόγια f(x)=0 σχεδόν παντού. Δεν θα ασχοληθούμε περισσότερο με το ολοκλήρωμα κατά Lebesgue αφού οι περισσότερες συναρτήσεις της Θεωρητικής Φυσικής μπορούν να ολοκληρωθούν κατά Riemann όπως π.χ. οι κατά τμήματα συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες σε κλειστά διαστήματα. Τέλος το ολοκλήρωμα κατά Riemann όταν υπάρχει, ισούται με το ολοκλήρωμα κατά Lebesgue. Συνοψίζοντας, αν f είναι μία συνάρτηση σ' ένα συναρτησιακό χώρο και (f,f)=0, τότε η f(x) δεν χρειάζεται να είναι μηδέν για κάθε x, αλλά, μόνο σ' ένα σύνολο μέτρου μηδέν. Θα λέμε ότι (f,f)=0 συνεπάγεται f(x)=0 σχεδόν παντού. Κάθε συνάρτηση, που ισούται με το μηδέν σχεδόν παντού, ονομάζεται μηδενική συνάρτηση. Μ' αυτό το γενικευμένο ορισμό της μηδενικής συνάρτησης ικανοποιείται η τρίτη ιδιότητα του εσωτερικού γινόμενου και η σχέση (4) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο. Ο συναρτησιακός χώρος των μιγαδικών τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων με το εσωτερικό γινόμενο (4) γίνεται τώρα ένας Unitary χώρος. Από φυσικής πλευράς, θα πρέπει ένας χώρος εσωτερικού γινόμενου να είναι και πλήρης. Σαν πλήρη εννοούμε ένα χώρο στον οποίο κάθε ακολουθία του Cauchy10 που συγκλίνει, να έχει όριο μέσα στο χώρο. 10 Μία ακολουθία vn, n∈N, λέγεται ακολουθία του Cauchy όταν: (∀ε>0)(∃n0∈Ν)[ n,m≥n0 → ||vn-vm||<ε ] Μία συγκλίνουσα ακολουθία είναι ακολουθία του Cauchy το αντίστροφο δεν αληθεύει πάντα.


- 142 -

Ένα κλασικό παράδειγμα μη πλήρους χώρου είναι το σύνολο των ρητών αριθμών.

Η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων nk=0

n

S =1k!∑ είναι μία ακολουθία ρητών

αριθμών που συγκλίνει στον αριθμό e που δεν είναι ρητός. Αντίθετα το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι πλήρες. Το θεώρημα της Ανάλυσης των Riesz-Fischer μας εξασφαλίζει ότι ο χώρος των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων είναι πλήρης. Ορισμός 1: Ένας διανυσματικός χώρος, ο οποίος 1. Είναι απείρων διαστάσεων. 2. Έχει εσωτερικό γινόμενο. 3. Είναι πλήρης, (ως προς τη norm που ορίζει το εσωτερικό γινόμενο). 4. Είναι διαχωρίσιμος.11 λέγεται χώρος Hilbert. Παρατήρηση 1: Η ονομασία χώρος Hilbert δεν χρησιμοποιείται από όλους τους συγγραφείς με την ίδια έννοια. Στη Θεωρητική Φυσική χρησιμοποιείται ο χώρος Hilbert με τον παραπάνω ορισμό. Άλλοι συγγραφείς ορίζουν το χώρο Hilbert χωρίς να απαιτούνται οι ιδιότητες 1 και 4. Παρατήρηση 2: Κάθε διανυσματικός χώρος εσωτερικού γινομένου πεπερασμένης διάστασης είναι πλήρης και διαχωρίσιμος. Παρατήρηση 3: Κάθε υποσύνολο ενός διαχωρίσιμου χώρου είναι διαχωρίσιμο. Ένα σπουδαίο παράδειγμα διαχωρίσιμου χώρου Hilbert απείρων διαστάσεων, ιδίως για τη μηχανική των πινάκων είναι ο l 2(∞) Παράδειγμα 1: Το σύνολο l 2(∞) όλων των πινάκων στηλών από μιγαδικούς αριθμούς με αριθμήσιμο πλήθος στοιχείων

α=1

2

α⎛ ⎞⎜ ⎟α⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11 Ένας διανυσματικός χώρος V λέγεται διαχωρίσιμος, όταν έχει ένα αριθμήσιμο

υποσύνολο Α ( δηλαδή μία ακολουθία vn διανυσμάτων του V) παντού πυκνό: A =V. Πιο αναλυτικά αυτό σημαίνει ότι: (∀v∈V)(∀ε>0)(∃n∈N)[ ||v-vn||<ε ] δηλαδή κάθε διάνυσμα v∈V μπορεί να προσεγγιστεί από έναν όρο της ακολουθίας vn με οποιαδήποτε ακρίβεια θέλουμε.

ΧΩΡΟΙ HILBERT

- 143 -

για τα οποία k=1

k2| | <+

∞

∑ ∞α (1)

γίνεται ένας διαχωρίσιμος χώρος Hilbert με διανυσματικές πράξεις:

α+b=1 1

2 2

bb

α +⎛ ⎞⎜ ⎟α +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(2)

λα=1

2

λα⎛ ⎞⎜ ⎟λα⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

λ∈C (3)

και εσωτερικό γινόμενο:

( ,b) = bk=1

k*

kα α∞

∑ (4)

Κατ' αρχήν οι πράξεις (2) και (3) είναι κλειστές διότι: 1. Για n διαστάσεις έχουμε την τριγωνική ανισότητα

1/2

k=1

n

k k2

k=1

n

kk=1

n

k2| + b | | + |b | ∑ ∑ ∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

≤⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

α α |/

/21 2

1 2

της οποίας το αριστερό μέλος συγκλίνει όταν v→∞ αφού τα α,b∈l 2(∞)

2. | | =| | | | <+ k=1

k2 2

k=1k

2∞ ∞

∑ ∑ ∞λα λ α εξ' αιτίας της (1)

Το εσωτερικό γινόμενο (4) συγκλίνει απόλυτα διότι εφαρμόζοντας την ανισότητα Schwarz-Cauchy για v διαστάσεις, έχουμε:

k =1

n

k*

kk =1

n

k kk =1

n

k2

k =1

n

k2| b |= | ||b | | |b |∑ ∑ ∑ ∑≤

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

α α α |/ /1 2 1 2

και για n →∞ ⇒ | b |<+k=1

k*

k

∞

∑ ∞α

3. Η πληρότητα του χώρου αποδεικνύεται ως εξής:

Έστω α(1), α(2),... μία ακολουθία Cauchy, όπου ( )

(n)1

(n)2

n

(n)k

⎛ ⎞α⎜ ⎟α⎜ ⎟⎜ ⎟α =⎜ ⎟α⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Προφανώς για k=1,2,... έχουμε:


- 144 -

(m) (n) (m) (n)k k| - | || - ||α α α α≤

και επομένως για k σταθερό η ακολουθία αk(1) , αk

(2) , αk(3) είναι ακολουθία Cauchy

μιγαδικών αριθμών με όριο έστω το bk. Θα αποδείξουμε ότι η στήλη

b=bb

1

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

είναι στοιχείο του χώρου l 2(∞) και ότι η ακολουθία α(1), α(2),... συγκλίνει στο b. Εφαρμόζοντας ξανά την τριγωνική ανισότητα για n διαστάσεις, έχουμε:

k =1

n

k k(n) 2

k =1

n

k k(m) 2

k =1

n

k(m)

k(n) 2|b - | |b - | + | - |∑ ∑ ∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

≤⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

α α α α

1 2 1 2 1 2/ / /

(5)

η οποία αληθεύει για m=1,2,... Επειδή α(1), α(2),... είναι μία ακολουθία Cauchy θα είναι:

2v2 2(m) (n) (m) (n)

o o k kk=1

ε( ε>0)( (ε) N)( v N) m,n> (ε) | - || - | < | |α α α αn n 4.

⎡ ⎤∀ ∃ ∈ ∀ ∈ → ≤⎢ ⎥

⎣ ⎦∑

Αφ' ετέρου επειδή limm→∞αk(m)=bk, τότε:

(m)v v k k

ε( k N)( v N)( ε>0)( (ε) N) m> (ε) | - | < b αn n k+122

⎡ ⎤⎢ ⎥

∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∃ ∈ →⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Από τη σχέση (5) για n>no(ε) και ν∈N έχουμε:

ν ν

2(n)k k k+1

k=1 k=1 k=1

ε ε ε1 1| - ε + + =ε|b α 2k2 2 22

∞

≤ ≤∑ ∑ ∑ (6)

Επειδή το δεξιό μέλος της (6) είναι ανεξάρτητο του n και η ανισότητα ισχύει για n>no(ε) η (6) γίνεται: (γιά n→∞)

( )2(n)k k 0

k=1| - ε για n>n ε|b α

∞

≤∑ (7)

Στις n διαστάσεις έχουμε:

k=1

n

k

1/2

k =1

n

k k(n) 2

1/2

k=1

n

k(n) 2|b | |b | + | |∑ ∑ ∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

≤⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

21 2/

α α

και για n→∞συμπεραίνουμε ότι b∈l 2(∞) και από τη σχέση (7) ότι η ακολουθία α(1), α(2),... συγκλίνει στο b.

ΧΩΡΟΙ HILBERT

- 145 -

4. Για να αποδείξουμε τη διαχωρισιμότητα του χώρου l 2(∞), θεωρούμε το σύνολο D των στηλών α∈ l 2(∞) των οποίων οι συνιστώσες, που είναι μιγαδικοί αριθμοί, έχουν ρητούς αριθμούς στο πραγματικό και φανταστικό μέρος και επί πλέον αn+1=αn+2=…=0 (8) για κάποιο ακέραιο k. Το σύνολο D είναι αριθμήσιμο. Για να αποδείξουμε ότι το D είναι παντού πυκνό στο l 2(∞), παίρνουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο c∈ l 2(∞) με ck σαν k συνιστώσα. Επειδή c∈ l 2(∞), θα έχουμε:

2

2k

k n 1

( 0) ( u N) | c |2

∞

= +

⎡ ⎤ε∀ε⟩ ∃ ∈ ⟨⎢ ⎥

⎣ ⎦∑

Ως γνωστό το σύνολο των ρητών αριθμών είναι παντού πυκνό στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Επομένως, μπορούμε να διαλέξουμε ένα α∈D που να ικανοποιεί την (8) και τέτοιο ώστε:

|c - | < 2n

k kαε

για k=1,2,…n

Έτσι έχουμε:

||c - ||= |c - | + |c | 1/2

k =1

n

k k2

k =n+ 1k

2α α ε∑ ∑∞⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

<

που αποδεικνύει ότι ο χώρος l 2(∞) είναι διαχωρίσιμος. 7.3 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ , ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΒΑΣΗ ΕΝΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ

Σ' ένα χώρο V πεπερασμένης διάστασης στο σώμα F, είχαμε ορίσει ότι τα διανύσματα v1,v2,v3,.…,vn είναι γραμμικά ανεξάρτητα αν η σχέση: α1v1+ α2v2+…+ αnvn=0 με αi∈F I=1,2,…,n συνεπάγεται τη σχέση: α1=α2=…=αn=0. Σε χώρο τώρα άπειρης διάστασης (αριθμήσιμης ή όχι) ο ορισμός ων γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων, τροποποιείται ως εξής Ορισμός 1: Ένα υποσύνολο S (πεπερασμένο ή άπειρο) ενός διανυσματικού χώρου V λέγεται σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων, αν οποιοδήποτε πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων από το S είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Ορισμός 2: Ένα (πεπερασμένο ή άπειρο, αλλά αριθμήσιμο) σύνολο S γεννά το διανυ-σματικό χώρο V αν κάθε διάνυσμα u του V μπορεί να γραφεί είτε σαν ένας γραμμικός συνδυασμός u=α1v1+ α2v2+…+ αnvn v1, v2, …, vn∈S ενός πεπερασμένου πλήθους που ανήκουν στο S,


- 146 -

είτε σαν το όριο u = u u + vn

n nk=1

n

k nlim→∞

∑με α

Ορισμός 3: Ένα (πεπερασμένο ή άπειρο) σύνολο S, που γεννά το διανυσματικό χώρο V και είναι σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων, λέγεται διανυσματική βάση του V. Ορισμός 4: Διάσταση ενός διανυσματικού χώρου V λέγεται το ελάχιστο άνω φράγμα (το οποίο μπορεί να είναι πεπερασμένο ή θετικά άπειρο) του συνόλου των ακέραιων k για τους οποίους υπάρχουν k γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα. Όταν το μέγιστο πλήθος των γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων σ' ένα διανυσματικό χώρο V είναι πεπερασμένο και ίσο με n, τότε από τον ορισμό 4, ο V είναι n διαστάσεων, διαφορετικά η διάσταση του V είναι +∞ και τότε ο V λέγεται απείρων διαστάσεων. 7.4 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ

Ορισμός 1: Ένα υποσύνολο S ενός διανυσματικού χώρου (Hilbert) λέγεται γραμμική πολλαπλότητα και συμβολίζεται με (S) αν είναι κλειστό ως προς τη διανυσματική πρόσθεση και το βαθμωτό πολλαπλασιασμό, δηλαδή: (∀α,β∈F)(∀f,g)[αf+βg∈S] όπου F=R ή C ή οποιοδήποτε άλλο σώμα στο οποίο ορίζεται ο χώρος Η. Το S σαν υποσύνολο του Η είναι διαχωρίσιμο (παρατήρηση 3, 7.2) δεν είναι όμως κατ' ανάγκη και πλήρες. Ορισμός 2: Στην περίπτωση που το S είναι και πλήρες, δηλαδή όταν κάθε διάνυσμα f∈Η, που είναι το όριο μίας ακολουθίας fn∈S, ανήκει στο S, τότε το S ονομάζεται κλειστή γραμμική πολλαπλότητα ή υπόχωρος του Η και συμβολίζεται με [S]. Παρατήρηση 1: Κάθε υπόχωρος [S] ενός χώρου Hilbert Η είναι επίσης χώρος Hilbert. Παρατήρηση 2: Κάθε γραμμική πολλαπλότητα (S) ενός χώρου Hilbert Η μπορεί να γίνει

υπόχωρος του Η αν συμπεριλάβει όλα τα οριακά διανύσματα, δηλαδή το κλείσιμο (S) της

γραμμικής πολλαπλότητας (S) ταυτίζεται με τον υπόχωρο [S]: (S)=[S]. Παρατήρηση 3: Η γραμμική πολλαπλότητα (S) που γεννιέται από το σύνολο S ενός χώρου Hilbert Η παίρνοντας όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των στοιχείων του S είναι μικρότερη12 γραμμική πολλαπλότητα του Η που περιέχει το S. Ο δε υπόχωρος [S] που 12 Δηλαδή αν Τ είναι μια γραμμική πολλαπλότητα του Η και S⊂T, τότε αναγκαστικά (S)⊂T.

ΧΩΡΟΙ HILBERT

- 147 -

γεννιέται από ένα υποσύνολο S⊂H είναι ο μικρότερος υπόχωρος του Η που περιέχει το S. Στην περίπτωση διανυσματικού χώρου Η πεπερασμένης διάστασης, έχουμε (S)=[S] διότι όλοι οι πεπερασμένης διάστασης διανυσματικοί χώροι είναι πλήρεις και άρα κλειστοί. 7.5 ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΕ ΧΩΡΟ HILBERT

Η έννοια των ορθοκανωνικών συστημάτων σε χώρο Hilbert είναι μεταφορά της έννοιας του ορθοκανονικού συνόλου (2.11 Ορισμός 2), από χώρους πεπερασμένης διάστασης σε χώρους άπειρης διάστασης (χώρος). Ορισμός 1: Ένα πεπερασμένο ή άπειρο (αριθμήσιμο ή όχι ) σύνολο S διανυσμάτων ενός διανυσματικού χώρου Η, λέγεται ορθογώνιο σύστημα αν ανά δύο τα διανύσματά του είναι ορθογώνια, δηλαδή (vi,vj)=0, i≠j. Αν επί πλέον κάθε διάνυσμα vi έχει μοναδιαίο μήκος ||v ||= (v ,v ) = 1i i i τότε το σύνολο S λέγεται ορθοκανονικό σύστημα. Τα διανύσματα vi ενός ορθοκανονικού συστήματος που είναι αριθμήσιμο, ικανοποιούν τη σχέση: (v ,v ) =i j ijδ η οποία ονομάζεται συνθήκη ορθοκανονικότητας. Ορισμός 2: Αν v1,v2,.. είναι ένα ορθοκανονικό σύστημα ενός χώρου Η, τότε για κάθε διάνυσμα u∈H οι αριθμοί αi=(vi,vi) λέγονται συντελεστές Fourier του διανύσματος u ως προς το ορθοκανονικό σύστημα v1,v2,.... Θεώρημα 1: Κάθε ορθοκανονικό σύστημα διανυσμάτων S ενός χώρου Η είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Απόδειξη: Πρέπει να δείξουμε ότι η εξίσωση k=1

n

k kv = 0∑α , για κάθε πεπερασμένο n και

για όλα τα vk∈S συνεπάγεται ότι αk=0, k=1,...,n

Πράγματι αν k=1

n

k kv = 0∑α τότε:

( )0 =|| v || = v +...+ v , v +...+ v = | | = =...= = 0k =1

n

k k2

1 1 n n 1 1 n nk =1

n

k2

1 2 n∑ ∑ ⇒α α α α α α α α α

Παρατήρηση 1: Από το προηγούμενο θεώρημα, κάθε ορθοκανονικό σύνολο το οποίο γεννά μία γραμμική πολλαπλότητα, είναι μία βάση γι' αυτή την πολλαπλότητα, η οποία ονομάζεται ορθοκανονική βάση.


- 148 -

Θεώρημα 2: Αν S είναι ένα πεπερασμένο ή αριθμήσιμα άπειρο σύνολο διανυσμάτων ενός χώρου Η και (S) η γραμμική πολλαπλότητα που γεννιέται από το S, τότε υπάρ-χει ένα ορθοκανονικό σύστημα Τ διανυσμάτων τα οποία παράγουν την (S), δηλαδή (T)=(S). Αν το Τ είναι πεπερασμένο, τότε και το S είναι πεπερασμένο. Απόδειξη: Έστω ότι τα στοιχεία του S είναι: S=u1, u2, … αντιστοιχώντας κάθε διάνυσμα του S σ' ένα φυσικό αριθμό. Αν τα διανύσματα του S είναι γραμμικά ανεξάρτητα, τότε εφαρμόζουμε τη μέθοδο ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmidt και κατασκευάζουμε το ορθοκανονικό σύστημα T=v1 ,v2 , …

με nn n-1 n n-1 1 n 1

n n-1 n n-1 1 n 1v =

u (v ,u )v (v ,u )vu (v ,u )v (v ,u )v

− − −− − −

(1)

Από τη σχέση (1) βλέπουμε ότι τα διανύσματα vn μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει των un και αντίστροφα. Επομένως (T)=(S). Αν τώρα το S αποτελείται από γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα, τότε κατασκευάζουμε από το S ένα σύνολο So από γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα ως εξής: Για n=1,2,.. το διάνυσμα un ανήκει στο So όταν δεν είναι το μηδενικό διάνυσμα και δεν είναι γραμμικός συνδυασμός των προηγουμένων u1,...,un-1. Με τον τρόπο αυτό το So είναι τελικά ένα σύνολο από γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα στο οποίο εφαρμόζουμε τη μέθοδο ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmidt όπως προηγούμενα. Θεώρημα 3: Αν V=v1,v2,..,vn είναι ένα πεπερασμένο ή ορθοκανονικό σύστημα και u∈H

τυχαίο διάνυσμα, τότε από τους γραμμικούς συνδυασμούς i=1

n

i ib v∑ με bi τυχαίους αριθμούς

εκείνος που προσεγγίζει καλλίτερα το u είναι ο γραμμικός συνδυασμός i=1

n

i iv∑α όπου

αi=(u,vi) οι συντελεστές Fourier του u ως προς το V δηλαδή ισχύει η ανισότητα

||u- v || ||u- b v ||i=1

n

i ii=1]

n

i i∑ ∑≤α

Απόδειξη: Ζητάμε να βρούμε για πoιά bi η έκφραση:

||u - b v ||i=1

n

i i∑

ελαχιστοποιείται. Έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( )||u - b v || = u - b v , u - b v = u,u b v u - b u v b b v vi=1

n

i i2

i=1

n

i ij=1

n

j j i ii

n

j jj

n

i j i jj

n

i

n

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − + =

==

* *, , ,11

( ) ( ) ( ) ( ) ( )u,u b v u - b u v b b u b v u - b v u b bi ii

n

i jj

n

i ii

n

i ii

n

i jj

n

i ii

n

− + = − +∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑= =

* * * * *, , || || , ,1

2

1=

ΧΩΡΟΙ HILBERT

- 149 -

= ||u|| - |(v ,u)| + |(v ,u) - b |2

i=1

n

i2

i=1

n

i i2∑ ∑

και επομένως ||u- b v ||=i=1

n

i i∑ min όταν bi=(vi,u)

Στην περίπτωση αυτή έχουμε:

||u- (v ,u)v || =||u|| - |(v ,u)|i=1

n

i i2 2

i=1

n

i2∑ ∑

και επειδή το πρώτο μέλος είναι μη αρνητικό, έχουμε την ανισότητα

i=1

n

i2 2|(v ,u)| ||u||∑ ≤

η οποία ονομάζεται ανισότητα του Bessel. Θεώρημα 4: Έστω v1,v2,⋅⋅⋅ ένα άπειρα αριθμήσιμο ορθοκανονικό σύστημα ενός χώρου εσωτερικού γινομένου. Τότε για κάθε διάνυσμα u έχουμε:

i=1

i2 2|(v ,u) | ||u||

∞

∑ ≤

Απόδειξη: Από την ανισότητα του Bessel παρατηρούμε ότι τα μερικά αθροίσματα

ni=1

n

i2S = |(v ,u) |∑ , φράσσονται από το ||u||2 και επειδή κάθε μερικό άθροισμα περιέχει μόνο

θετικούς όρους, το όριο της ακολουθίας των μερικών αθροισμάτων για n→∞ υπάρχει και

φράσσεται και αυτό από το ||u||2. Επομένως η σειρά i=1

i2|(v ,u) |

∞

∑ συγκλίνει και φράσσεται

από το ||u||2, δηλαδή:

i=1

i2 2|(v ,u) | ||u||

∞

∑ ≤

Βλέπουμε ότι και στην περίπτωση του απείρου αριθμήσιμου ορθοκανονικού συστήματος, ισχύει η ανισότητα του Bessel. Μία προσεκτική εξέταση της απόδειξης του προηγούμενου θεωρήματος, μας δίνει την εξής γενίκευση. Θεώρημα 5: Έστω v1,v2,⋅⋅⋅ ένα άπειρα αριθμήσιμο ορθοκανονικό σύστημα, αi μία

οποιανδήποτε ακολουθία αριθμών και υποθέτουμε ότι το διάνυσμα u = vi=1

i i

∞

∑α υπάρχει

(αυτό σημαίνει ότι η διανυσματική σειρά i=1

i iv∞

∑α συγκλίνει, δηλαδή ότι η ακολουθία

ni-1

n

n nS = v∑α έχει όριο).


- 150 -

Τότε: k=1

k2 2| | =||u||

∞

∑α

Μέχρι εδώ είδαμε μερικά ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά των αριθμήσιμων ορθοκανονικών βάσεων και το ρόλο που παίζουν στη γέννηση χώρων. Θεώρημα 6: Έστω V ένας διαχωρίσιμος χώρος εσωτερικού γινόμενου. Τότε κάθε ορθοκανονικό σύνολο S του V είναι αριθμήσιμο. Απόδειξη: Έστω vα και vι∈S , άρα (vα , vβ)=0 και ||vα||=||vβ||=1 Ένας απλός υπολογισμός δίνει: ||v - v ||= (v - v ,v - v ) = 21/2

α β α β α β (1)

Επειδή ο V είναι διαχωρίσιμος, υπάρχει ένα αριθμήσιμο υποσύνολο D=y1, …, yk, …

παντού πυκνό D=V. Επομένως για τα vα και vβ θα υπάρχει ένα τουλάχιστον Yn και ένα Ym του D τέτοιο ώστε:

d(v ,y )=||v -y ||<2

3n nα α και d(v ,y ) =||v - y ||<2

3m mβ β (2)

Χρησιμοποιώντας δύο φορές την τριγωνική ιδιότητα έχουμε: ||v -v || ||v -y ||+||y y ||+||y -v ||n n m mα β α β≤ (3) η οποία με την βοήθεια των σχέσεων (1) και (2) δίνει

||y - y ||>2

3n m

Οι σχέσεις αυτές σημαίνουν το εξής Στο vα∈S αντιστοιχεί, με το κριτήριο d(v ,y ) <3

2nα ,

ένα μη κενό υποσύνολο Dα του D και στο vβ∈S αντιστοιχεί, με το παρόμοιο κριτήριο

d(v ,y )<3

2mβ , ένα άλλο μη κενό υποσύνολο Dβ του D με Dα και Dβ διακεκριμένα,

α βD D =∩ ∅ (αν y∈Dα δηλαδή d(v ,y)<3

2α , τότε εύκολα αποδείχνεται ότι d(v ,y)>3

2 .β ⇒

y∉Dβ Διατρέχοντας όλα τα στοιχεία του S παίρνουμε μία οικογένεια (Dρ) μη κενών και διακεκριμένων υποσυνόλων του D με ρ

ρ

D D⊂∪

Επειδή το D είναι αριθμήσιμο και τα στοιχεία της οικογένειας Dρ είναι αριθμήσιμα και επομένως και το S είναι αριθμήσιμο. Θεώρημα 7: Κάθε διαχωρίσιμος χώρος V εσωτερικού γινόμενου, έχει μία αριθμήσιμη ορθοκανονική βάση.

ΧΩΡΟΙ HILBERT

- 151 -

Απόδειξη: Θα κατασκευάσουμε ένα συγκεκριμένο αριθμήσιμο ορθοκανονικό σύνολο και θα δείξουμε ότι το κλείσιμο της γραμμικής πολλαπλότητας που γεννιέται από αυτό το σύνολο είναι όλος ο χώρος. Επειδή ο χώρος V είναι διαχωρίσιμος, υπάρχει ένα αριθμήσιμο υποσύνολο D=...,yk,...

παντού πυκνό D=V. Το επόμενο βήμα είναι να κάνουμε το D γραμμικά ανεξάρτητο στην περίπτωση που δεν είναι. Η γραμμική ανεξαρτοποίηση του D γίνεται ως εξής. Παίρνουμε για x1 οποιοδήποτε μη μηδενικό στοιχείο του D, έστω το y1 . Κατόπιν εκλέγουμε για x2 το πρώτο yk(k>1), το οποίο είναι γραμμικά ανεξάρτητο του x1=ψ1. Στη συνέχεια διαλέγουμε για x3 το επόμενο στοιχείο ye∈D,(l>k>1) το οποίο είναι γραμμικά ανεξάρτητο των x1=ψ1 και x2=yk. Προχωρώντας κατά τον ίδιο τρόπο κατασκευάζουμε ένα αριθμήσιμο σύνολο S=..., xk,... ( που μπορεί να είναι πεπερασμένο) γραμμικά ανεξάρτητο. Θεωρούμε τώρα τη γραμμική πολλαπλότητα:

L=n

k k k kk 1

x / n 1,2,... x S =

⎧ ⎫α = ∈ και α στοιχεια ενος σωματος⎨ ⎬

⎩ ⎭∑

που γεννιέται από το S. Επειδή όμως το S είναι γραμμικά ανεξάρτητο και γεννά το L θα είναι μία βάση του L καθώς και του L. Από το αριθμήσιμο και γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο S μπορούμε με τη μέθοδο Gram-Schmidt να κατασκευάσουμε μία αριθμήσιμη ορθοκανονική βάση B=l1,l2,...,lk,... για το L. Αυτό που απομένει να δείξουμε είναι ότι το L είναι όλος ο χώρος V. Παρατηρούμε ότι η πολλαπλότητα L είναι η ίδια μ' εκείνη που θα πρόκυπτε από το σύνολο D. Πράγματι, κάθε ye που παραλείψαμε όταν κατασκευάσαμε το S, μπορούμε να το έχουμε παίρνοντας το γραμμικό συνδυασμό των xk που προηγήθηκαν κατά τη διαδικασία της κατασκευής των στοιχείων ye.

Αλλά D=V και D⊂L⊂V. Επομένως L =V και l1,...,lk,... είναι μία ορθοκανονική βάση του V. Ένα άμεσο και σπουδαίο αποτέλεσμα από αυτό το θεώρημα, είναι ότι σ' ένα διαχωρίσιμο χώρο V εσωτερικού γινόμενου, κάθε διάνυσμα u μπορεί να παρασταθεί υπό την μορφή

u= lk=1

k k

∞

∑α

όπου το l1,..,lk,... είναι μία ορθοκανονική βάση. Παρατήρηση 2: Το θεώρημα 7 γενικεύει το γεγονός ότι σ' ένα διανυσματικό χώρο εσωτερικού γινόμενου πεπερασμένης διάστασης, μπορούμε πάντα να έχουμε μία ορθοκανονική βάση που μας επιτρέπει μία μοναδική ανάπτυξη όλων των διανυσμάτων. Αυτή η γενίκευση όμως γίνεται μόνο σε διανυσματικούς χώρους απείρων διαστάσεων, οι οποίοι είναι διαχωρίσιμοι. Επίσης δεν μπορούμε, αντίθετα με την περίπτωση της πεπερασμένης διάστασης που ένας απλός υπολογισμός δίνει την τιμή αk=(lk,u) για τους συντελεστές ανάπτυξης, να προβλέψουμε κάτι παρόμοιο και για την περίπτωση απείρων διαστάσεων.


- 152 -

Αργότερα θα βρούμε την επί πλέον συνθήκη, που πρέπει να ικανοποιεί ένας διανυσματικός χώρος, για να γενικεύσουμε και αυτή την περίπτωση. Μεταξύ όλων των ορθοκανονικών συστημάτων ( αριθμήσιμων ή όχι), που μπορούν να κατασκευαστούν σ' ένα διανυσματικό χώρο V, ειδικό ενδιαφέρον παρουσιάζουν εκείνα τα οποία δεν μπορούν να αυξηθούν σ' ένα μεγαλύτερο ορθοκανονικό σύστημα. Τέτοια ορθοκανονικά συστήματα λέγονται πλήρη13 ορθοκανονικά σύνολα. Ορισμός 3: Ένα σύνολο διανυσμάτων S=..., vα,... ονομάζεται πλήρες ορθοκανονικό σύνολο, αν είναι ορθοκανονικό δηλαδή α) (v ,v ) = 0α β για α≠β β) ||α||=1 και γ) δεν υπάρχει διάνυσμα v∈V τέτοιο ώστε το σύνολο VUv να είναι ορθοκανονικό, δηλαδή δεν υπάρχει γνήσιο υπερσύνολο του S που να είναι ορθοκανονικό. Το επόμενο θεώρημα μας δείχνει τον ειδικό ρόλο που παίζουν τα πλήρη ορθοκανονικά συστήματα. Θεώρημα 8: Αν σ' ένα διανυσματικό χώρο V εσωτερικού γινόμενου, ένα ορθοκανονικό σύστημα S γεννά το χώρο (δηλαδή είναι μία ορθοκανονική βάση του V) τότε το S είναι πλήρες. Απόδειξη: Έστω ότι το S=...,vα,... δεν είναι πλήρες. Τότε θα υπάρχει κάποιο v≠0 του V τέτοιο ώστε ( v, vα)=0 για κάθε vα∈S. Τότε το v θα ήταν επίσης κάθετο σε κάθε διάνυσμα του V, αφού το V γεννιέται από το S. Έτσι το v θα είναι ορθογώνιο και προς τον εαυτόν του (αφού v∈V), που είναι αδύνατο. Παρατήρηση 3: Από την άποψη του θεωρήματος 8, μπορούμε να πούμε ότι το ορθοκανονικό σύστημα που κατασκευάζεται με το θεώρημα 7 σ' ένα διαχωρίσιμο χώρο εσωτερικού γινόμενου είναι πλήρες ή ότι κάθε διαχωρίσιμος χώρος εσωτερικού γινόμενου έχει ένα αριθμήσιμο πλήρες ορθοκανονικό σύστημα. Παρατήρηση 4: Το αντίστροφο του θεωρήματος 8 γενικά δεν ισχύει. Δηλαδή κάθε πλήρες ορθοκανονικό σύστημα, δεν είναι πάντα και βάση. Σε χώρους πεπερασμένης διάστασης, το αντίστροφο ισχύει πάντα, αλλά σε χώρους απείρων διαστάσεων χρειάζεται ένα επί πλέον κριτήριο με το οποίο θα ασχοληθούμε αργότερα. Με το επόμενο θεώρημα που είναι το αντίστροφο του θεωρήματος 7, τελειώνουμε το θέμα ορθοκανονικών βάσεων. Θεώρημα 9: Αν ένας χώρος V εσωτερικού γινόμενου έχει μία αριθμήσιμη ορθοκανονική βάση S, τότε ο χώρος είναι διαχωρίσιμος.

13 Δεν πρέπει να γίνεται σύγχιση μεταξύ πλήρους (ορθοκανονικού) συστήματος και πλήρους χώρου.

ΧΩΡΟΙ HILBERT

- 153 -

Απόδειξη: Έστω S= l1,...lk,... μία αριθμήσιμη ορθοκανονική βάση. Θεωρούμε το σύνολο D που αποτελείται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των lk με ρητούς συντελεστές14. Το σύνολο D είναι αριθμήσιμο και πυκνό. Πράγματι, έστω u∈V , τότε υπάρχει στο D ένα διάνυσμα ω = r l

kk k∑ (με rk ρητό), τέτοιο ώστε:

d(u,w)= ||u-w||= || ( r )l || ||( r )l ||= | r |||l ||= | -r |< k

k k kk

k k kk

k k kk

k k∑ ∑ ∑ ∑≤α α α α ε για δεδομένο ε>0.

όπου το τελευταίο βήμα έπεται από το γεγονός ότι οι ρητοί αποτελούν ένα πυκνό σύνολο στο σώμα των πραγματικών αριθμών, έτσι που |αk-rk| μπορεί να γίνει οσοδήποτε μικρό με κατάλληλη εκλογή του rk. Επομένως ο V περιέχει ένα αριθμήσιμο πυκνό σύνολο και άρα ο V είναι διαχωρίσιμος. Τα θεωρήματα 7 και 9 μαζί, έχουν ως εξής: "Ένας χώρος εσωτερικού γινόμενου είναι διαχωρίσιμος, αν και μόνο αν περιέχει μία αριθμήσιμη ορθοκανονική βάση".

14 Θεωρούμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός είναι ρητός αν το πραγματικό και φανταστικό μέρος είναι ρητοί αριθμοί.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΣΥΝΔΙΑΣΜΟΙ , ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ

1) Να γραφεί το πολυώνυμο u(t) σαν γραμμικός συνδυασμός των πολυωνύμων v(t)=2t2+3t-4, w(t)=t2-2t-3, όπου α) u(t)=3t2+8t-5, β) u(t)=4t2-6t-1. 2) Να γραφεί ο πίνακας Μ σαν γραμμικός συνδυασμός των πινάκων

Α=1 10 1−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , Β=

1 11 0−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , Γ=

1 10 0

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

όπου α) Μ=3 11 2

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , β) Μ=

2 11 2− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3) Να δειχθεί ότι οι μιγαδικοί αριθμοί v=2+3i, u=1-2i παράγουν το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών, όταν το C θεωρείται διαν. χώρος επί του σώματος R των πραγματικών αριθμών. 4) Δείξτε ότι τα διανύσματα v=(1+i , 2i) και w=(1 , 1+i) του διαν. χώρου C2 είναι γραμμικά εξαρτημένα επί του σώματος C και γραμμικά ανεξάρτητα επί του σώματος R. 5) Έστω V ο διαν. χώρος των πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής, f: R → R. Να δειχθεί ότι οι συναρτήσεις f(x), g(x), h(x)∈V είναι ανεξάρτητες όπου: 1) f(x)=e2x, g(x)=x2, h(x)=x, 2) f(x)=sinx, g(x)=cosx, h(x)=x. 6) Να δειχθεί ότι τα πολυώνυμα (1-x)3, (1-x)2, 1-x, 1 παράγουν τον χώρο των πολυωνύμων βαθμού ≤3.

7) Να βρεθεί ένα διάνυσμα του διαν. χώρου R3, το οποίο παράγει τον διαν. υπόχωρο, ο οποίος είναι η τομή των υποχώρων U=(α,β,0) (ΟΧΥ επίπεδο) και W ο οποίος παράγεται από τα διανύσματα v1=(1,2,3) και v2=(1,-1,1).

8) Να εξετασθεί εάν το υποσύνολο W=(α,β,γ) του R3 είναι υπόχωρος όταν

α) α=2β, β) α≤β≤γ, γ) αβ=0, δ) α=β=γ, ε) α=β2, ζ) λ1α+λ2β+λ3γ=0 , λi∈R και λi=σταθερές. 9) Έστω U, V, W οι εξής υπόχωροι του R3:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 156 -

U=(α,β,γ) / α+β+γ=0, V=(α,β,γ) / α=γ, W=(0,0,γ) / γ∈R Να δειχθεί ότι 1) R3=U+V, 2) R3=U+W, 3) R3=V+W. Σε ποια περίπτωση το άθροισμα είναι ευθύ ; 10) Έστω U και W οι υπόχωροι του R3 που ορίζονται από τις σχέσεις: U=(α,β,γ) / α=β=γ και W=(0,β,γ)= το επίπεδο ΟΥΖ Να δείξετε ότι R3=U⊕W 11) Έστω V ο διαν. χώρος των πινάκων n×n επί του σώματος R. Έστω οι υπόχωροι U και W των συμμετρικών και αντισυμμετρικών πινάκων αντίστοιχα, δηλ. U=M / Mt=M, M∈V και W=M / Mt=-M, M∈V.Να δείξετε ότι V=U⊕W. 12) Έστω V=f(x) / f: R → R ο διαν. χώρος των πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής, και

U=f(x) / f: R → R ∧ f(-x)=f(x) , W=f(x) / f: R → R ∧ f(-x)=-f(x) οι υπόχωροι των αρτίων και περιττών συναρτήσεων αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι V=U⊕W. 13) Έστω U και W υπόχωροι ενός διαν. χώρου V. Να δειχθεί ότι α) οι υπόχωροι U, W περιέχονται στον υπόχωρο U+W β) ο υπόχωρος U+W είναι ο μικρότερος υπόχωρος του V που περιέχει τους U και W, δηλ. U+W=L(U,W). ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΑΣΗ


α) Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του W. β) Να επεκταθεί η βάση αυτή σε μια βάση όλου του χώρου R4. 2) Έστω W ο υπόχωρος που παράγεται από τα πολυώνυμα v1(x)=x3-2x2+4x+1, v2(x)=x3+6x-5, v3(x)=2x3-3x2+9x-1, v4(x)=2x3-5x2+7x+5 Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του W. 3) Έστω U και W οι υπόχωροι του R4 , οι οποίοι ορίζονται ως εξής:

U=(α,β,γ,δ) / β+γ+δ=0, W=(α,β,γ,δ) / α+β=0, γ=2δ Να βρεθεί η διάσταση και μια βάση των υποχώρων i) U, ii) W, iii) U∩W 4) Έστω V ο διαν. χώρος των συμμετρικών πινάκων 2×2. Να δειχθεί ότι dimV=3.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 157 -

5) Έστω V ο χώρος των πολυωνύμων ως προς x βαθμού μικρότερου ή ίσου του n. Δείξτε ότι τα παρακάτω σύνολα πολυωνύμων αποτελούν βάσεις του V.

(1) 1, x, x2,⋅⋅⋅,xn (2) 1, 1-x, (1-x)2,⋅⋅⋅,(1-x)n και επομένως dimV=n

ΧΩΡΟΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

1) Ποιές από τις επόμενες εκφράσεις ορίζουν εσωτερικά γινόμενα επί του

διανυσματικού χώρου C[1, -1] των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται επί

του κλεστού διαστήματος [1, -1] , όπου f, g ∈ C[1, -1];

(i) ( ) ( )1

-1(f, g)= f x g x dx∫

(ii) 1 2

-1(f, g)= (1-x )f(x)g(x)dx∫

(iii) 1 2

-1(f,g)= x f(x)g(x)dx∫

2) Έστω V ο διαν. χώρος των πολυωνύμων εφοδιασμένος με το εσωτερικό

γινόμενο: ( )f x g x f x g x dx( ), ( ) ( ) ( )= ∫01

. Έστω f(x)=x+2, g(x)=x2-2x-3. Να υπολογιστούν α)

(f(x),g(x)), β) ||f(x)||, ||g(x)||.

3) Να δειχτεί ότι οι συναρτήσεις: sinx, sin2πx, . . . ,sinnπx του C[0,1] είναι

ορθογώνιες μεταξύ τους ως προς το εσωτερικό γινόμενο ( )1

1 2 1 20

f ,f = f (x)f (x)dx∫ και να

ορισθεί από αυτές τις συναρτήσεις ένα ορθοκανονικό σύνολο συναρτήσεων.

ΠΙΝΑΚΕΣ

1) Εάν Α και Β είναι αντίστοιχα ένας συμμετρικός και ένας αντισυμμετρικός πίνακας έτσι ώστε ΑΒ=ΒΑ και ο πίνακας Α+Β είναι αντιστρέψιμος, να δειχθεί ότι ο πίνακας (Α+Β)-1(Α-Β) είναι ορθογώνιος. Λύση: Έχουμε: At=A, Bt=-B, AB=BA. Έστω Γ=(Α+Β)-1(Α-Β). Θέλουμε να αποδείξουμε ότι Γt=Γ-1 ή ΓΓt=I

Γt=(Α-Β)t[(Α+Β)-1]t=(A+B)[(At+Bt)-1]= (A+B)[(A-B)-1] ΓΓt=(Α+Β)-1(Α-Β) (A+B)[(A-B)-1]= (Α+Β)-1(Α2-AB+BA-B2)[(A-B)-1]= =(A+B)-1(A+B)(A-B)(A-B)-1=I

2) Αφού δείξετε ότι οι παρακάτω πίνακες είναι αντιστρέψιμοι, βρείτε στη συνέχεια

τους αντίστροφους των.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 158 -

(i) -2 3 26 0 34 1 -1

⎛ ⎞⎜ ⎟Α = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(ii) 1 2 31 3 51 5 12

⎛ ⎞⎜ ⎟Β = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3) Για ποιές τιμές του t ο επόμενος πίνακας δεν είναι αντιστρέψιμος; Για όλες τις άλλες τιμές του t, ποιός είναι ο αντίστροφος;

1 t 0

A= 0 1 - 1t 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

4) Να υπολογιστεί η παρακάτω ορίζουσα:

2 2

2 2

2 2

a (b+c) bcb (c+a) cac (a+b) ab

5) Να βρεθεί η γενική τιμή του θ η οποία ικανοποιεί την εξίσωση:

2 2

2 2

2 2

1+sin θ cos θ 4sin2θsin θ 1+cos θ 4sin2θsin θ cos θ 1+4sin2θ

= 0

ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

1) Να δειχθεί ότι οι επόμενες απεικονίσεις είναι γραμμικές: α) Τ: R2 → R2 , T(x,y)=(x+y,x) β) T: R3 → R , T(x,y,z)=2x-3y+4z 2) Να δειχθεί ότι οι επόμενες απεικονίσεις δεν είναι γραμμικές: α) Τ: R2 → R , T(x,y)=xy β) T: R2 → R3 , T(x,y)=(x+1,2y,x+y) γ) T: R3 → R2 , T(x,y,z)=(|x|,0) 3) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των τετραγωνικών πινάκων n×n επί του σώματος F. Εάν Μ τυχαίος πίνακας του V, τότε η απεικόνιση Τ: V→V που ορίζεται από την σχέση Τ(Α)=ΑΜ+ΜΑ με A∈V είναι γραμμική. 4) Έστω Τ: R2 → R μια γραμμική απεικόνιση για την οποία γνωρίζουμε ότι Τ(1,1)=3 και Τ(0,1)=-2. Να βρεθεί η γενική έκφραση T(x,y).

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 159 -

5) Έστω T: R3→R3 η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από την σχέση T(x,y,z)=(x+2y-z, y+z, x+y-2z) Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση α) της εικόνας U=ImT και β) του πυρήνος W=kerT ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

1) Έστω S και T γραμμικοί τελεστές που ορίζονται ως εξής: S: R2→R2 , S(x,y)=(y,x) , T: R2→R2 , S(x,y)=(0,x)

Να βρεθούν οι εκφράσεις για τους τελεστές S+T, 2S-3T, TS, S2, T2. 2) Έστω Τ ο τελεστής επί του R3 ο οριζόμενος από την σχέση:

T(x,y,z)=(2x, 4x-y, 2x+3y-z) α) Να δειχθεί ότι ο Τ είναι αντιστρέψιμος, β) να βρεθεί ο τύπος του Τ-1 .

ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

1) Να βρεθεί η παράσταση υπό μορφή πίνακα των παρακάτω τελεστών επί του R2 ως προς την συνήθη βάση e1=(1,0), e2=(0,1) α) T(x,y)=(2x, 3x-y) β) T(x,y)=(3x-4y, x+5y) 2) Να βρεθεί η παράσταση υπό μορφή πίνακα των τελεστών της προηγουμένης άσκησης ως προς την βάση f1=(1,3), f2=(2,5) 3) Η γενική έκφραση ενός τελεστή Τ επί του διαν. χώρου R3 έχει την μορφή:


[T]e=á á á

â â â

ã ã ã

1 2 3

1 2 3

1 2 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

4) Να βρεθούν οι αναπαραστάσεις υπό μορφή πίνακα των παρακάτω τελεστών επί του διαν. χώρου R3 ως προς την συνήθη βάση ei, i=1,2,3 α) T(x,y,z)=(2x-3y+4z, 5x-y+2z, 4x+7y) β) T(x,y,z)=(2y+z, x-4y, 3x) 5) Έστω V ο διαν. χώρος των τετραγωνικών πινάκων τύπου 2×2 επί του σώματος R




ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 160 -

E1=1 00 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , E2=

0 10 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , E3=

0 01 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , E4=

0 00 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Να βρεθεί το ίχνος του Τ και η παράσταση του τυχαίου διανύσματος Α 6) Δίνεται ο τελεστής T: R3→R2 , Τ(x,y,z)=(3x+2y-4z, x-5y+3z) α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ που αντιστοιχεί ως προς τις βάσεις: f1=(1,1,1), f2=(1,1,0), f3=(1,0,0) του R3 και g1=(1,3), g2=(2,5) του R2


g [v]f=[T(v)]g

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΣΥΝΔΙΑΣΜΟΙ, ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ

1) Να γραφεί το πολυώνυμο u(t) σαν γραμμικός συνδυασμός των πολυωνύμων v(t)=2t2+3t-4, w(t)=t2-2t-3, όπου α) u(t)=3t2+8t-5, β) u(t)=4t2-6t-1. Λύση: α) u(t)=λv(t)+μw(t) ⇒ 3t2+8t-5=λ(2t2+3t-4)+μ(t2-2t-3) ⇒

3t2+8t-5=(2λ+μ)t2+(3λ-2μ)t+(-4λ-3μ) ⇒ 2λ+μ=3 , 3λ-2μ=8 , -4λ-3μ=-5 ⇒ λ=2, μ=-1

Ομοίως και η β) ερώτηση. 2) Να γραφεί ο πίνακας Μ σαν γραμμικός συνδυασμός των πινάκων

Α=1 10 1−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , Β=

1 11 0−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , Γ=

1 10 0

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ όπου α) Μ=

3 11 2

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , β) Μ=

2 11 2− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Λύση: α) Μ=λΑ+μΒ+νΓ ⇒ 3 11 2 0 0 0 0

− λ λ μ μ ν −ν λ +μ + ν λ +μ − ν⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −λ −μ −μ −λ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒

λ+μ+ν=3, λ+μ-ν=-1, -μ=1, -λ=-2 ⇒ λ=2, μ=-1, Τις τιμές αυτές τις αντικαθιστούμε στις δυο πρώτες εξισώσεις και διαπιστώνουμε ότι συναληθεύουν για ν=2. Ομοίως και η β) ερώτηση. 3) Να δειχθεί ότι οι μιγαδικοί αριθμοί v=2+3i, u=1-2i παράγουν το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών, όταν το C θεωρείται διαν. χώρος επί του σώματος R των πραγματικών αριθμών. Απόδειξη: Έστω ένας μιγαδικός αριθμός z=x+yi. Θα δείξουμε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί λ, μ τέτοιοι ώστε z=λv+μu. Πράγματι,

z=λv+μu ⇒ x+yi=λ(2+3i)+μ(1-2i) ⇒ x=2λ+μ , y=3λ-2μ ⇒

2x+yλ=

7,

3x+2yμ=7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 161 -

4) Δείξτε ότι τα διανύσματα v=(1+i,2i) και w=(1,1+i) του διαν. χώρου C2 είναι γραμμικά εξαρτημένα επί του σώματος C και γραμμικά ανεξάρτητα επί του σώματος R. Απόδειξη: α) Θεωρούμε ένα γραμμικό συνδυασμό των v, w: c1v+c2w=0 με c1=x1+iy1, c2=x2+iy2 , τότε:

(x1+iy1)[1+i , 2i]+(x2+iy2)[1 , 1+i]=0 ⇒ [x1+x2-y1+i(x1+y1+y2), -2y1+x2-y2+i(2x1+x2+y2)]=(0+i0, 0+i0) ⇒ x1+x2-y1=0 , x1+y1+y2=0, -2y1+x2-y2=0, 2x1+x2+y2=0

Η διακρίνουσα του παραπάνω ομογενούς συστήματος είναι d=0. Επομένως το σύστημα έχει και μη μηδενική λύση, άρα υπάρχουν μη μηδενικά x1, y1, x2, y2 ή ισοδύναμα μη μιγαδικοί αριθμοί c1, c2 . Τελικά τα διανύσματα v, w είναι γραμμικά εξαρτημένα επί του σώματος C. β) Εάν οι συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού είναι πραγματικοί αριθμοί, έχουμε: c1v+c2w=0

c1[1+i , 2i]+c2[1 , 1+i]=0 ⇒ [c1(1+i)+c2 , 2ic1+c2(1+i) ]= (0+i0, 0+i0) ⇒ c1=0, c2=0

Άρα τα διανύσματα v, w είναι γραμμικά ανεξάρτητα επί του σώματος R. 5) Έστω V ο διαν. χώρος των πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής, f: R → R. Να δειχθεί ότι οι συναρτήσεις f(x), g(x), h(x)∈V είναι ανεξάρτητες όπου: 1) f(x)=e2x, g(x)=x2, h(x)=x, 2) f(x)=sinx, g(x)=cosx, h(x)=x. Απόδειξη: 1) Έστω ότι ισχύει c1e2x+c2x2+c3x=0 ∀x. Θεωρούμε τρεις τυχαίες τιμές x1, x2, x3 του x ,οπότε θα έχουμε τις τρεις παρακάτω εξισώσεις:

c e c x c xc e c x c xc e c x c x

e x xe x xe x x

x

x

x

x

x

x

12

2 12

3 1

12

2 22

3 2

12

2 32

3 3

212

12

22

22

32

3

1

2

3

1

2

3

000

0+ + =

+ + =

+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪⇒ ≠

Το παραπάνω σύστημα έχει μόνο την μηδενική λύση c1=c2=c3=0 και οι συναρτήσεις e2x, x2, x είναι γραμμικά ανεξάρτητες 2) Ομοίως 6) Να δειχθεί ότι τα πολυώνυμα (1-x)3, (1-x)2, 1-x, 1 παράγουν τον χώρο των πολυωνύμων βαθμού ≤3. Απόδειξη: Έστω Ρ3(x)=α3x3+α2x2+α1x+α0 Θα δείξουμε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί c3, c2, c1, c0 τέτοιοι ώστε Ρ3(x)=c3(1-x)3+c2(1-x)2+c1(1-x)+c0 Πράγματι,

α3x3+α2x2+α1x+α0=c3(1-3x+3x2-x3)+c2(1-2x+x2)+c1(1-x)+c0 ⇒ (α3+c3)x3+(α2+3c3+c2)x2+(α1-3c3-2c2-c1)x+(α0+c3+c2+c1+c0)=0 ⇒

α3+c3=0 , α2+3c3+c2=0 , α1-3c3-2c2-c1=0, α0+c3+c2+c1+c0=0 Από τις παραπάνω εξισώσεις μπορούμε να λύσουμε ως προς c3, c2, c1, c0 συναρτήσει των α3, α2, α1, α0 και βρίσκουμε: c3=-α3 , c2=3α3-α2 , c1=-3α3+2α2+α1 , c0=α3-α2-α1-α0 .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 162 -

7) Να βρεθεί ένα διάνυσμα του διαν. χώρου R3, το οποίο παράγει τον διαν. υπόχωρο, ο οποίος είναι η τομή των υποχώρων U=(α,β,0) (ΟΧΥ επίπεδο) και W ο οποίος παράγεται από τα διανύσματα v1=(1,2,3) και v2=(1,-1,1). Λύση: Ένα τυχαίο διάνυσμα w∈W γράφεται:

w=λv1+μv2=λ(1,2,3)+μ(1,-1,1)=(λ+μ,2λ-μ,3λ+μ) Για να είναι το διάνυσμα w στοιχείο και του διαν. υπόχωρου U θα πρέπει η τρίτη συνιστώσα του να είναι μηδέν, δηλ. 3λ+μ=0 ⇒ μ=-3λ. και επομένως w=(-2λ,5λ,0)=λ(-2,5,0) και για λ=1 παίρνουμε w=(-2,5,0) 8) Να εξετασθεί εάν το υποσύνολο W=(α,β,γ) του R3 είναι υπόχωρος όταν

α) α=2β, β) α≤β≤γ, γ) αβ=0, δ) α=β=γ, ε) αβ2=0, ζ) λ1α+λ2β+λ3γ=0 , λi∈R και λi=σταθερές. Λύση: α) W=(2β,β,γ) . Για να είναι το υποσύνολο W υπόχωρος θα πρέπει:

∀λ,μ∈R και ∀w1,w2∈W να ισχύει λw1+μw2∈R3

Εάν w1=(2β1,β1,γ1) και w2=(2β2,β2,γ2) τότε λw1+μw2=λ(2β1,β1,γ1)+μ(2β2,β2,γ2)=(2(λβ1+μβ2), λβ1+μβ2, λγ1+μγ2)

από την τελευταία σχέση βλέπουμε ότι η πρώτη συνιστώσα είναι διπλάσια της δεύτερης. Άρα το υποσύνολο W είναι διαν. υπόχωρος. β) Έστω w1=(α1,β1,γ1), w2=(α2,β2,γ2) με α1≤β1≤γ1 , α2≤β2≤γ2 τότε ένα τυχαίος γραμμικός συνδυασμός αυτών:

λw1+μw2=(λα1+μα2, λβ1+μβ2, λγ1+μγ2) δεν εγγυάται ότι θα είναι λα1+μα2≤ λβ1+μβ2≤ λγ1+μγ2 αφού τα λ, μ είναι τυχαία. Άρα το υποσύνολο W δεν είναι διαν. υπόχωρος. γ) Έστω w1=(α1,β1,γ1), w2=(α2,β2,γ2) με α1β1=0 , α2β2=0 τότε ένα τυχαίος γραμμικός συνδυασμός αυτών:

λw1+μw2=(λα1+μα2, λβ1+μβ2, λγ1+μγ2) δεν εγγυάται ότι θα είναι (λα1+μα2)(λβ1+μβ2)=0 διότι

(λα1+μα2)(λβ1+μβ2)=λ2α1β1+μ2α2β2+λμ(α1β2+α2β1)=λμ(α1β2+α2β1) μπορεί να είναι διάφορο του μηδενός διαλέγοντας π.χ. α1=0, β2=0 και α2≠0, β1≠0 έτσι ώστε να εξασφαλίζεται ότι α1β1=0 και α2β2=0 Άρα το υποσύνολο W δεν είναι διαν. υπόχωρος. δ) Έστω w1=(α1,β1,γ1), w2=(α2,β2,γ2) με α1=β1=γ1 , α2=β2=γ2 τότε ένα τυχαίος γραμμικός συνδυασμός αυτών:

λw1+μw2=(λα1+μα2, λβ1+μβ2, λγ1+μγ2) όπου θα είναι λα1+μα2= λβ1+μβ2= λγ1+μγ2 Άρα το υποσύνολο W είναι διαν. υπόχωρος. ε) Έστω w1=(α1,β1,γ1), w2=(α2,β2,γ2) με α1β1

2=0 , α2β22=0

τότε ένα τυχαίος γραμμικός συνδυασμός αυτών: λw1+μw2=(λα1+μα2, λβ1+μβ2, λγ1+μγ2)

δεν εγγυάται ότι θα είναι (λα1+μα2)(λβ1+μβ2)2=0 διότι (λα1+μα2)(λβ1+μβ2)2=λ3α1β1

2+λμ2α1β22+2λ2μα1β1β2+μλ2α2β1

2+μ3α2β22+2λμ2α2β1

2=

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 163 -

=λμ2α1β22+2λ2μα1β1β2+μλ2α2β1

2+2λμ2α2β12

Από τις σχέσεις α1β12=0 , α2β2

2=0 μπορεί να έχουμε την εξής περίπτωση: α1=0, β1≠0, α2≠0, β2=0 έτσι ώστε να ισχύουν οι σχέσεις α1β1

2=0 , α2β22=0 αλλά

(λα1+μα2)(λβ1+μβ2)2≠0 επειδή ο όρος μλ2α2β12 θα είναι εν γένει διάφορος του μηδενός.

Άρα το υποσύνολο W δεν είναι διαν. υπόχωρος. ζ) Έστω w1=(α1,β1,γ1), w2=(α2,β2,γ2) με λ1α1+λ2β1+λ3γ1=0 και λ1α2+λ2β2+λ3γ2=0 τότε ένα τυχαίος γραμμικός συνδυασμός αυτών:

ρw1+μw2=(ρα1+μα2, ρβ1+μβ2, ργ1+μγ2) θα ικανοποιεί την σχέση: ρ(λ1α1+λ2β1+λ3γ1)+μ(λ1α2+λ2β2+λ3γ2)=0 Επομένως ο τυχαίος γραμμικός συνδυασμός ρw1+μw2 ανήκει στο υποσύνολο W και άρα το W είναι διαν. υπόχωρος. 9) Έστω U, V, W οι εξής υπόχωροι του R3:

U=(α,β,γ) / α+β+γ=0, V=(α,β,γ) / α=γ, W=(0,0,γ) / γ∈R Να δειχθεί ότι 1) R3=U+V, 2) R3=U+W, 3) R3=V+W. Σε ποια περίπτωση το άθροισμα είναι ευθύ ; Απόδειξη: 1) Έστω ένα διάνυσμα (x,y,z)∈R3 . Θα προσπαθήσουμε να βρούμε δυο διανύσματα u=(α1, β1, γ1)∈U με α1+β1+γ1=0 (1) και v=(α2, β2, γ2)∈V με α2=γ2 (2) τέτοια ώστε: (x,y,z)=u+v=(α1, β1, γ1)+(α2, β2, γ2)=(α1+α2, β1+β2, γ1+γ2) ⇒

x=α1+α2 (3) y=β1+β2 (4) z=γ1+γ2 (5) Οι σχέσεις (1), (2), (3), (4), (5) αποτελούν ένα σύστημα 5 εξισώσεων με εξι αγνώστους: α1, β1, γ1 , α2, β2, γ2. Το σύστημα αυτό έχει άπειρες λύσεις, επομένως R3=U+V. Επειδή δε οι λύσεις είναι άπειρες το άθροισμα U+V δεν είναι ευθύ. Αυτό προκύπτει και από το γεγονός ότι η τομή U∩V δεν περιέχει μόνο το μηδενικό διάνυσμα. Πράγματι η τομή των διανυσματικών χώρων U, V αποτελείται από όλα τα διανύσματα (α,β,γ) για τα οποία ισχύει α+β+γ=0 και α=γ, δηλ. έχουμε την σχέση β+2α=0. Άρα τα διανύσματα της τομής έχουν την γενική έκφραση: (α,-2α,α). 2) Έστω ένα διάνυσμα (x,y,z)∈R3 . Θα προσπαθήσουμε να βρούμε δυο διανύσματα u=(α1, β1, γ1)∈U με α1+β1+γ1=0 (1) και w=(0, 0, γ2)∈W τέτοια ώστε: (x,y,z)=u+w=(α1, β1, γ1)+(0, 0, γ2)=(α1, β1, γ1+γ2) ⇒

x=α1 (2) y=β1 (3) z=γ1+γ2 (4) Οι σχέσεις (1), (2), (3), (4) αποτελούν ένα σύστημα 4 εξισώσεων με 4 αγνώστους: α1, β1 , γ1 , γ2. Το σύστημα αυτό έχει μια μοναδική λύση την α1=x , β1=y , γ1=-x-y , γ2=x+y+z επομένως R3=U+V.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 164 -

Επειδή δε η λύση είναι μοναδική το άθροισμα U+V είναι ευθύ: R3=U⊕V. 3) Έστω ένα διάνυσμα (x,y,z)∈R3 . Θα προσπαθήσουμε να βρούμε δυο

διανύσματα u=(α1, β1, γ1)∈V με α1=γ1 (1) και w=(0, 0, γ2)∈W τέτοια ώστε: (x,y,z)=v+w=(α1, β1, γ1)+(0, 0, γ2)=(α1, β1, γ1+γ2) ⇒

x=α1 (2) y=β1 (3) z=γ1+γ2 (4) Οι σχέσεις (1), (2), (3), (4) αποτελούν ένα σύστημα 4 εξισώσεων με 4 αγνώστους: α1, β1 , γ1 , γ2. Το σύστημα αυτό έχει μια μοναδική λύση την α1=x , β1=y , γ1=-x , γ2=z-x επομένως R3=U+V. Επειδή δε η λύση είναι μοναδική το άθροισμα U+V είναι ευθύ: R3=U⊕V.

10) Έστω U και W οι υπόχωροι του R3 που ορίζονται από τις σχέσεις: U=(α,β,γ) / α=β=γ και W=(0,β,γ)= το επίπεδο ΟΥΖ Να δείξετε ότι R3=U⊕W Απόδειξη: Για να αποδείξουμε ότι R3=U⊕W πρέπει να αποδείξουμε δυο συνθήκες: α) R3=U+W και β) U∩W=0. α) Εάν v=(x,y,z)∈R3 τότε θα πρέπει: (x,y,z)=(α,α,α)+(0,β,γ)=(α, α+β, α+γ) ⇒ x=α, y=α+β, z=α+γ ⇒ α=x, β=y-x, γ=z-x δηλ.

(x,y,z)=(x,x,x)+(0,y-x,z-x) Άρα R3=U+W. β) Η τομή U∩W=0 διότι εάν v=(α,β,γ)∈U∩W τότε α=β=γ και α=0 άρα α=β=γ=0 και επομένως v=0. 11) Έστω V ο διαν. χώρος των πινάκων n×n επί του σώματος R. Έστω οι υπόχωροι U και W των συμμετρικών και αντισυμμετρικών πινάκων αντίστοιχα, δηλ. U=M / Mt=M, M∈V και W=M / Mt=-M, M∈V. Να δείξετε ότι V=U⊕W. Απόδειξη: α) Θα δείξουμε ότι U∩W=0. Έστω Μ∈U∩W ⇒ 1) Μ∈U ⇒ M=Mt 2) M∈W ⇒ M=-Mt άρα Μ=-Μ ⇒ Μ=0

β) Έστω Α∈V, Α= 12

12

A A A At t+ + −

αλλά 12

A At+ ∈U διότι

( ) 12

12

12

A A A A A At t t t t t+ = + = +

και άρα ο πίνακας 12

A At+ είναι συμμετρικός.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 165 -

Επίσης 12

A At− ∈W διότι

( ) 12

12

12

12

A A A A A A A At t t t t t t− = − = − = − −

και άρα ο πίνακας 12

A At− είναι αντισυμμετρικός.

Επομένως κάθε πίνακας Α∈V μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα δυο πινάκων εκ των οποίων ο ένας είναι συμμετρικός και ο άλλος αντισυμμετρικός και κατά συνέπεια V=U+W και σε συνδυασμό ότι U∩W=0 καταλήγουμε ότι V=U⊕W.

12) Έστω V=f(x) / f: R → R ο διαν. χώρος των πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής, και

U=f(x) / f: R → R ∧ f(-x)=f(x) , W=f(x) / f: R → R ∧ f(-x)=-f(x) οι υπόχωροι των αρτίων και περιττών συναρτήσεων αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι V=U⊕W. Απόδειξη: Αρκεί να δείξουμε ότι α) U∩W=0 και β) V=U+W.

α) Έστω f(x)=f(-x) και f(-x)=-f(x) ⇒ f(x)=-f(x) ⇒ 2f(x)=0 ⇒ f(x)=0 β) V∋f(x)=½f(x)+f(-x)+½f(x)-f(-x)=fα(x)+fπ(x), fα(x)= άρτια, fπ(x)=περιττή

13) Έστω U και W υπόχωροι ενός διαν. χώρου V. Να δειχθεί ότι α) οι υπόχωροι U, W περιέχονται στον υπόχωρο U+W β) ο υπόχωρος U+W είναι ο μικρότερος υπόχωρος του V που περιέχει τους U και W, δηλ. U+W=L(U,W). Απόδειξη: α) Έστω u∈U. Εξ υποθέσεως το W είναι υπόχωρος του V και επομένως 0∈W. Άρα u=u+0∈U+W. Κατά συνέπεια ο U περιέχεται στον U+W. Ομοίως ο W περιέχεται στον U+W. β) Επειδή ως γνωστόν, το άθροισμα U+W είναι υπόχωρος του V και περιέχει τους υποχώρους U και W, πρέπει να περιέχει και τον υπόχωρο L(U,W), δηλ.

L(U,W)⊂U+W Από την άλλη πλευρά, εάν v∈U+W τότε v=u+w=1u+1w, όπου u∈U και w∈W, άρα το v είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων του συνόλου U∪W και επομένως ανήκει στον χώρο L(U,W). Επομένως U+W⊂L(U,W) Τελικά U+W=L(U,W) ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΑΣΗ


α) Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του W. β) Να επεκταθεί η βάση αυτή σε μια βάση όλου του χώρου R4.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 166 -

Λύση: α) Ελέγχουμε εάν τα διανύσματα v1, v2, v3 είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι. c1v1+c2v2+c3v3=c1(1,-2,5,-3)+c2(2,3,1,-4)+c3(3,8,-3,-5)=0 (1) ⇒ c1+2c2+3c3=0 , -2c1+3c2+8c3=0 , 5c1+c2-3c3=0 , -3c1-4c2-5c3=0

Λύνουμε τις δυο πρώτες εξισώσεις ως προς c1 και c2 συναρτήσει του c3 και βρίσκουμε: c1=c3 , c2=-2c3 Οι λύσεις αυτές ικανοποιούν και τις δυο τελευταίες εξισώσεις. Άρα υπάρχουν μη μηδενικές σταθερές ώστε να ικανοποιείται η (1). Τα διανύσματα v1, v2, v3 είναι επομένως γραμμικά εξαρτημένα. Μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι π.χ. το τρίτο διάνυσμα v3 μπορεί να γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός των v1, v2 εάν διαλέξουμε c3=1, οπότε c1=1, c2=-2 δηλ. v3=-1v1+2v2 . Επομένως από το σύνολο των διανυσμάτων v1, v2, v3 διαγράφουμε το v3 και το νέο σύνολο v1, v2 είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αφού δεν ισχύει v1 =λv2 . Επομένως το σύνολο v1, v2 αποτελεί βάση του υποχώρου W αφού τον παράγει και dimW=2. β) Το σύνολο v1, v2 για να επεκταθεί σε βάση πρέπει να συμπληρωθεί με δυο νέα διανύσματα u3, u4, τα οποία μαζί με τα διανύσματα v1, v2 να είναι γραμμικά ανεξάρτητα.. Υπάρχει απειρία τέτοιων διανυσμάτων. Τα διανύσματα u1=(0,0,1,0) και u2=(0,0,0,1) είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα και εύκολα μπορούμε να δούμε ότι και το σύνολο των διανυσμάτων v1, v2, u3, u4 είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Επειδή τα διανύσματα v1, v2, u3, u4 είναι 4 σε πλήθος, θα αποτελούν μια βάση του R4. Το ότι τα τέσσερα διανύσματα v1, v2, u3, u4 είναι γραμμικά ανεξάρτητα μπορούμε να το διαπιστώσουμε από το γεγονός ότι η ορίζουσα του πίνακα που έχει σαν γραμμές τα διανύσματα αυτά είναι διάφορη του μηδενός. Πράγματι:

|Δ|=

1 2 5 32 3 1 40 0 1 00 0 0 1

− −−

=7

2) Έστω W ο υπόχωρος που παράγεται από τα πολυώνυμα v1(x)=x3-2x2+4x+1, v2(x)=x3+6x-5, v3(x)=2x3-3x2+9x-1, v4(x)=2x3-5x2+7x+5 Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του W. Λύση: Οι διανυσματικές συνιστώσες των πολυωνύμων ως προς την συνήθη βάση x3, x2, x, 1 είναι: v1=(1,-2,4,1), v2=(1,0,6,-5), v3=(2,-3,9,-1), v4=(2,-5,7,5) Η ορίζουσα του πίνακα που έχει σαν γραμμές τα διανύσματα αυτά είναι

|Δ|=

1 2 4 12 3 9 11 0 6 52 5 7 5

−− −

−−

=0

Επομένως τα διανύσματα v1, v2, v3, v4 είναι γραμμικά εξαρτημένα, Άρα υπάρχουν μη μηδενικοί συντελεστές c1, c2, c3, c4 τέτοιοι ώστε να ισχύει:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 167 -

c1v1+c2v2+c3v3+c4v4 =0 ⇒ c1(1,-2,4,1)+c2(1,0,6,-5)+c3(2,-3,9,-1)+c4(2,-5,7,5)=0 ⇒ c1+c2+2c3+2c4=0 -2c1+0c2-3c3-5c4=0 4c1+6c2+9c3+7c4=0 c1-5c2-1c3+5c4=0

Η λύση του παραπάνω συστήματος είναι: c1=3c2-4c4 , c3=c4-2c2 με c2, c4 τυχαίους Διαλέγοντας c2=c4=1 βρίσκουμε c1=-1, c3=-1 και έχουμε: v1+v2-v3+v4 =0 ⇒ v4=v1-v2+v3 και επομένως μπορούμε να διαγράψουμε το v4. Στη συνέχεια ελέγχουμε εάν τα διανύσματα v1, v2, v3 είναι γραμμικά εξαρτημένα. Από τον γραμμικό συνδιασμό: c1v1+c2v2+c3v3=0 προκύπτει το σύστημα:

c1+c2+2c3=0 -2c1+0c2-3c3=0 4c1+6c2+9c3=0

του οποίου η ορίζουσα είναι:

1 1 22 0 3

4 6 9− − =0

άρα υπάρχουν μη μηδενικές λύσεις, οι οποίες έχουν την μορφή: c1=3c2, c3=-2c2 με c2 τυχαίο Διαλέγοντας c2=1 βρίσκουμε c1=3, c3=-2 και έχουμε: 3v1+v2-2v3 =0 ⇒ v2=-3v1+2v3 και επομένως μπορούμε να διαγράψουμε το v2 και μένουν τα διανύσματα v1=(1,-2,4,1), v3=(2,-3,9,-1) τα οποία προφανώς είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν μια βάση του υποχώρου W. 3) Έστω U και W οι υπόχωροι του R4 , οι οποίοι ορίζονται ως εξής:

U=(α,β,γ,δ) / β+γ+δ=0, W=(α,β,γ,δ) / α+β=0, γ=2δ Να βρεθεί η διάσταση και μια βάση των υποχώρων i) U, ii) W, iii) U∩W Λύση: i) Η σχέση β+γ+δ=0 γράφεται και ως 0α+β+γ+δ=0 στην οποία μπορούμε να θεωρήσουμε σαν ελεύθερες μεταβλητές τις α, γ, δ. Θέτοντας

1) α=1, γ=0, δ=0 , 2) α=0, γ=1, δ=0 , 3) α=0, γ=0, δ=1 προκύπτουν οι αντίστοιχες λύσεις: v1=(1,0,0,0), v2=(0,-1,1,0), v3=(0,-1,0,1) Το σύνολο v1, v2, v3 αποτελεί μια βάση του U και dimU=3 Πιο γενικά μπορούμε να θεωρήσουμε τις εξισώσεις: α=τυχαίο, β=-γ-δ οπότε η γενική μορφή των διανυσμάτων του υποχώρου U είναι: (α,-γ-δ,γ,δ). Διαλέγοντας κατάλληλες τιμές για τα α,γ,δ μπορούμε να πάρουμε τρία γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, όπως κάναμε προηγουμένως.. ii) Στις σχέσεις α+β=0, γ=2δ μπορούμε να θεωρήσουμε σαν ελεύθερες μεταβλητές τις β και δ. Θέτοντας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 168 -

1) β=1, δ=0 , 2) β=0, δ=1 προκύπτουν οι αντίστοιχες λύσεις: v1=(-1,1,0,0), v2=(0,0,2,1) Το σύνολο v1, v2 αποτελεί μια βάση του W και dimW=2. Πιο γενικά μπορούμε να θεωρήσουμε τις εξισώσεις: β=-α, γ=2δ οπότε η γενική μορφή των διανυσμάτων του υποχώρου W είναι: (α,-α,2δ,δ). Διαλέγοντας κατάλληλες τιμές για τα α,δ μπορούμε να πάρουμε δύο γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, όπως κάναμε προηγουμένως.. iii) Για την τομή U∩W ισχύουν οι σχέσεις: β+γ+δ=0, α+β=0, γ=2δ Σαν ελεύθερη μεταβλητή μπορεί να θεωρηθεί η δ . Θέτοντας δ=1 βρίσκουμε την λύση v=(3,-3,2,1). Έτσι το v είναι μια βάση της τομής U∩W και dimU∩W=1. Πιο γενικά λύνουμε το σύστημα των παραπάνω τριών εξισώσεων ως προς α, β, γ και βρίσκουμε: α=3δ, β=-3δ, γ=2δ και για δ=1 έχουμε το συγκεκριμένο διάνυσμα v=(3,-3,2,1). Το σύνολο v αποτελεί μια βάση του U∩W και dim U∩W =1. 4) Έστω V ο διαν. χώρος των συμμετρικών πινάκων 2×2. Να δειχθεί ότι dimV=3.

Λύση: Ένας τυχαίος συμμετρικός πίνακας Α έχει την μορφή Α=α β⎛ ⎞⎜ ⎟β γ⎝ ⎠

, (δηλ. ο πίνακας

Α ορίζεται από τρεις μεταβλητές). Θέτοντας i) α=1, β=0, γ=0 ii) α=0, β=1, γ=0 iii) α=0, β=0, γ=1

προκύπτουν οι αντίστοιχοι πίνακες:

Ε1=1 00 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , Ε2=

0 11 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , Ε3=

0 00 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

για τους οποίους θα αποδείξουμε ότι παράγουν τον χώρο V και ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητοι. Πράγματι: (1) Για κάθε συμμετρικό πίνακα Α∈V έχουμε:

Α=α β⎛ ⎞⎜ ⎟β γ⎝ ⎠

=α1 00 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + β

0 11 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +γ

0 00 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =αΕ1+βΕ2+γΕ3

έτσι το σύνολο των πινάκων Ε1, Ε2, Ε3 παράγουν τον χώρο V. (2) Έστω c1E1+c2E2+c3E3=0 ⇒

c11 00 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + c2

0 11 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +c3

0 00 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

0 00 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⇒ c1=0 , c2=0 , c3=0

άρα το σύνολο των πινάκων Ε1, Ε2, Ε3 είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Τελικά το σύνολο Ε1, Ε2, Ε3 αποτελεί βάση του διαν. χώρου V και dimV=3. Άλλος τρόπος: Ο πίνακας Α γράφεται:

1 0 0 1 0 0A=α +β +γ

0 0 1 0 0 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

δηλαδή σαν γραμμικός συνδιασμός των πινάκων:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 169 -

1 0 0 1 0 0, ,

0 0 1 0 0 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Οι πίνακες αυτοί παράγουν τον χώρο των συμμετρικών πινάκων 2×2 και επειδή είναι γραμμικά ανεξάρτητοι, όπως είδαμε παραπάνω, αποτελούν μία βάση του V, του οποίου η διάσταση είναι dimV=3. 5) Έστω V ο χώρος των πολυωνύμων ως προς x βαθμού μικρότερου ή ίσου του n. Δείξτε ότι τα παρακάτω σύνολα πολυωνύμων αποτελούν βάσεις του V.

(1) 1, x, x2,⋅⋅⋅,xn (2) 1, 1-x, (1-x)2,⋅⋅⋅,(1-x)n και επομένως dimV=n+1 Λύση: (1) Προφανώς κάθε πολυώνυμο του V είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των πολυωνύμων 1, x, x2,⋅⋅⋅,xn . Επί πλέον τα πολυώνυμα αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα γιατί κανένα δεν είναι γραμμικός συνδυασμός των προηγουμένων. Έτσι το σύνολο 1, x, x2,⋅⋅⋅,xn αποτελεί μια βάση του V με dim=n+1. (2) Κάθε πολυώνυμο από το σύνολο 1, 1-x, (1-x)2,⋅⋅⋅,(1-x)n είναι βαθμού μεγαλύτερου από τους βαθμούς των προηγουμένων και έτσι δεν μπορεί να είναι γραμμικός συνδιασμός των προηγουμένων. Τελικά τα n+1 σε πλήθος πολυώνυμα 1, 1-x, (1-x)2,⋅⋅⋅,(1-x)n είναι ανεξάρτητα και αποτελούν μια βάση του V. ΧΩΡΟΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ

1) Ποιές από τις επόμενες εκφράσεις ορίζουν εσωτερικά γινόμενα επί του διανυσματικού χώρου C[1, -1] των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται επί του κλεστού διαστήματος [1, -1] , όπου f, g ∈ C[1, -1];

(i) ( ) ( )1

-1(f, g)= f x g x dx∫

(ii) 1 2

-1(f, g)= (1-x )f(x)g(x)dx∫

(iii) 1 2

-1(f,g)= x f(x)g(x)dx∫

Λύση: Θα εξετάσουμε εάν ισχύουν οι ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου: 1. (∀v,u∈V)[ (v,u)=(u,v)* ]

2. (∀α,β∈F)(∀v,u,w∈V)[ (αv+βu,w)=α*(v,w)+β*(u,w) ] 3. (∀v∈V)[ (v,v)≥0 και (v,v)=0 ⇔ v=0 ] για κάθε μια περίπτωση

(i) Για 1

-1(f,g)= f(x)g(x)dx∫

1) 1 1

-1 -1(f,g)= f(x)g(x)dx= g(x)f(x)dx=(g,f)∫ ∫

2) Έχουμε:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 170 -

( )( ) ( )

1 1 1

-1 -1 -1αf+bg,h = (αf(x)+bg(x))h(x)dx=α f(x)h(x)dx+b g(x)h(x)dx=

=α f,h +b g,h∫ ∫ ∫

3) ( ) [ ]1,1x0)x(f0)f,f(0dx)x(f)f,f(1

1

2 −∈∀=⇔=≥= ∫−

άρα αν f≠0 τότε (f, f)>0 και επομένως ορίζει εσωτερικό γινόμενο .

(ii) Για ∫− −=1

1

2 dx)x(g)x(f)x1()g,f(

1) ( )1 12 2

-1 -1(f, g)= (1-x )f(x)g(x)dx= (1-x )g(x)f(x)dx= g,f∫ ∫

2) Έχουμε:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 2

-11 12 2

-1 -1

αf+bg,h = 1 x (af(x)+bg(x))h(x)dx=

=α 1-x f(x)h(x)dx+b 1 x g(x)h(x)dx=

=α f,h +b g,h

−

−

∫∫ ∫

3) ( )( )∫− −=1

1

22 dxxf)x1()f,f(

αλλά (1-x)2 (f(x))2 ≥ 0 ∀x∈[-1,1] και (1-x)2 (f(x))2 =0 για f=0 Άρα για f≠0 είναι (f, f)>0 και (f,f)=0 ⇔ f=0.

Άρα ορίζει εσωτερικό γινόμενο .

(iii) Για ∫−=1

1

2 dx)x(g)x(fx)g,f( με την ίδια μέθοδο έχουμε :

1) ( )1 12 2

-1 -1(f, g)= x f(x)g(x)dx= x g(x)f(x)dx= g,f∫ ∫

2) Έχουμε:

( )

( ) ( )

1 1 12 2 2

-1 -1 -1αf+bg,h = x (af(x)+bg(x))h(x)dx=α x f(x)h(x)dx+b x g(x)h(x)dx=

=α f,h +b g,h∫ ∫ ∫

3) ( )( )1 22

-1(f, f)= x f x dx∫

αλλά (1-x)2 (f(x))2 ≥ 0 ∀x∈[-1,1] και (1-x)2 (f(x))2 =0 για f=0 Άρα για f≠0 είναι (f, f)>0 και (f,f)=0 ⇔ f=0.

Άρα ορίζει εσωτερικό γινόμενο .

2) Έστω V ο διαν. χώρος των πολυωνύμων εφοδιασμένος με το εσωτερικό γινόμενο:

( )f x g x f x g x dx( ), ( ) ( ) ( )= ∫01

. Έστω f(x)=x+2, g(x)=x2-2x-3. Να υπολογιστούν α) (f(x),g(x)),

β) ||f(x)||, ||g(x)||.

Λύση: α) ( )f x g x f x g x dx( ), ( ) ( ) ( )= ∫01

= ( )( )∫ ( )∫x x x dx x x dx+ − − = − −2 2 3 7 62

0

13

0

1

=

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 171 -

=14

72

6374

4 2

0

1

x x x− −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= −

β) ||f(x)||= ( ) ∫ ( )∫( )

f x f x f x dx x dxx

( ), ( ) ( )= = + =+

=2

0

12

0

1 3

0

1

22

3193

||g(x)||= ( ) ∫ ( )∫g x g x g x dx x x dx( ), ( ) ( )= = − − =2

0

12 2

0

1

2 320315

3. Να δειχτεί ότι οι συναρτήσεις: sinx, sin2πx, . . . ,sinnπx του C[0,1] είναι

ορθογώνιες μεταξύ τους ως προς το εσωτερικό γινόμενο ( )1

1 2 1 20

f ,f = f (x)f (x)dx∫ και να

ορισθεί από αυτές τις συναρτήσεις ένα ορθοκανονικό σύνολο συναρτήσεων. Λύση Έστω κ1,κ2∈Ν* με κ1≠κ2 οπότε θεωρούμε τις συναρτήσεις f1(x)=sinκ1πx και f2(x)=sinκ2πx. Θα δείξουμε ότι είναι ορθογώνιες δηλ. ότι το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με μηδέν. Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου για τις συναρτήσεις [ ]1 2f ,f C 0,1∈ έχουμε ότι

( )1

1 2 1 20

f ,f = f (x)f (x)dx∫

οπότε

( )

[ ]

1 1

1 2 1 2 1 20 0

1

1 2 1 20

1f ,f = sin(κ πx)sin(κ πx)dx= 2sin(κ πx)sin(κ πx)dx2

1= cos(κ πx-κ πx)-cos(κ πx-κ πx) dx=2

=∫ ∫

∫

1 1

1 2 1 20 0

1

1 2 1 21 2 0

1

1 2 1 21 2 0

1 1= cos[(κ -κ )πx]dx- cos[(κ +κ )πx]dx2 2

1= cos[(κ -κ )πx]d[(κ -κ )πx]2(κ -κ )π

1 cos[(κ +κ )πx]d[(κ +κ )πx] (1)2π(κ +κ )

=

−

−

∫ ∫

∫

∫

Αλλά επειδή κ1≠κ2ισχύει κ1-κ2≠0 και εφόσον κ1,κ2∈Ν* ⇒ κ1 + κ2 ≠ 0 Συνεχίζοντας από (1) έχουμε:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 172 -

( ) 1 11 2 1 2 0 1 2 0

1 2 1 2

1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2

1 1f ,f = sin(κ -κ )πx - sin(κ +κ )πx2(κ -κ )π 2π(κ +κ )

1 1 1 1= sin[(κ -κ )π]- sin0- sin[(κ +κ )π]+ sin0 2π(κ -κ ) 2π(κ -κ ) 2π(κ +κ ) 2π(κ +κ )

=

Αλλά 1 21 2

1 sin[(κ +κ )π]=02π(κ +κ )

, γιατί το (κ1+κ2)π είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π και

στα σημεία αυτά, το ημίτονο είναι πάντα μηδέν.

Ομοίως 1 21 2

1 sin[(κ -κ )π]=02π(κ -κ )

Άρα βρήκαμε ότι ( )1 2f ,f =0 και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

Τελικά το ορθογώνιο σύνολο είναι: sinπx, sin2πx, . . . , sinnπx όπου n ∈N* . Κανονικοποιούμε τώρα τα διανύσματα αυτά :

( )

( )

1 12

0 01 1

10

0 0

2

1-cos(2nπx)sin(nπx), sin(nπx) = sin (nπx)dx= dx2

1 1 1 1 1 1 1= dx- cos(2nπx)dx= - sin(2nπx) = - [sin(2nπ)-sin0]2 2 2 2 2nπ 2 4nπ

1 2sin(nπx), sin(nπx) = = sin(nπx) ηsin(nπx) =2 2

=

⇒ ⇒

∫ ∫

∫ ∫

Άρα το ζητούμενο ορθοκανονικό σύνολο είναι : 2 2 2sin(πx), sin(2πx), ... , sin(nπx)2 2 2

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

όπου n∈N*

ΠΙΝΑΚΕΣ

1) Εάν Α και Β είναι αντίστοιχα ένας συμμετρικός και ένας αντισυμμετρικός πίνακας έτσι ώστε ΑΒ=ΒΑ και ο πίνακας Α+Β είναι αντιστρέψιμος, να δειχθεί ότι ο πίνακας (Α+Β)-1(Α-Β) είναι ορθογώνιος. Λύση: Έχουμε: At=A, Bt=-B, AB=BA. Έστω Γ=(Α+Β)-1(Α-Β). Θέλουμε να αποδείξουμε ότι Γt=Γ-1 ή ΓΓt=I Γt=(Α-Β)t[(Α+Β)-1]t=(A+B)[(At+Bt)-1]= (A+B)[(A-B)-1] ΓΓt=(Α+Β)-1(Α-Β) (A+B)[(A-B)-1]= (Α+Β)-1(Α2-AB+BA-B2)[(A-B)-1]= =(A+B)-1(A+B)(A-B)(A-B)-1=I

2) Αφού δείξετε ότι οι παρακάτω πίνακες είναι αντιστρέψιμοι, βρείτε στη συνέχεια τους αντίστροφους των.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 173 -

(i) -2 3 26 0 34 1 -1

⎛ ⎞⎜ ⎟Α = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(ii) 1 2 31 3 51 5 12

⎛ ⎞⎜ ⎟Β = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση (i) Ξέρουμε ότι για να είναι ένας πίνακας αντιστρέψιμος πρέπει η ορίζουσά του να είναι διάφορή του μηδενός. Ετσι detA=72≠0 άρα υπάρχει αντίστροφος. Βρίσκουμε τον προσηρτημένο πίνακα του Α

adjA =

0 3 3 2 3 21 1 1 1 0 3

3 5 96 3 2 2 2 2

18 6 184 1 4 1 6 3

6 14 186 0 2 3 2 34 1 4 1 6 0

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟− −⎜ ⎟ −⎛ ⎞⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎜ ⎟− + − = −⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎜ ⎟− − −⎜ ⎟+ − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Άρα

-1

3 5 9adjA 1A = 18 6 18detA 72

6 14 18

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

=

51 1- -24 72 81 1 1- -4 12 4

71 1- -12 36 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(ii) Όπως και παραπάνω βρίσκουμε την ορίζουσα του πίνακα Β: det(Β)=36+10+15-9-25-24=3≠0 Άρα υπάρχει ο αντίστροφος του Β. Βρίσκουμε τον προσαρτημένο του Β

adjΒ =

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−+

−+−

+−+

3121

5121

5131

5131

12131

12151

5332

12532

12553

=11 -9 1-7 9 -22 -3 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

-1

11 133 311 9 1adjB 1 7 2B = = 7 9 2 33 3detB 3

2 3 1 2 113 3

⎛ ⎞−−⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎝ ⎠

3) Για ποιές τιμές του t ο επόμενος πίνακας δεν είναι αντιστρέψιμος; Για όλες τις άλλες τιμές του t, ποιός είναι ο αντίστροφος;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 174 -

1 t 0

A= 0 1 - 1t 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Λύση Ο πίνακας δεν είναι αντιστρέψιμος αν det(A)=0

Όμως 2

1 t 0det(A)= 0 1 - 1 1 t

t 0 1= −

Για τις τιμές t =± 1 ο πίνακας δεν είναι αντιστρέψιμος. Για όλες τις άλλες τιμές του t ο πίνακας έχει αντίστροφο που δίδεται από τον τύπο:

-1 adj(A)A =det(A)

adj(A) =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

−−

−

10t1

0tt1

0t10

1001

1t01

1t10

110t

100t

1011

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

1tt 11t tt1

2

Άρα για όλες τις τιμές του t εκτός των ± 1 θα ισχύει :

A-1= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−⋅

−1tt11ttt1

t 11

22

4) Να υπολογιστεί η παρακάτω ορίζουσα:

2 2

2 2

2 2


Λύση: Εφαρμόζοντας τις ιδιότητες των οριζουσών έχουμε διαδοχικά:

2 2

2 2

2 2


=

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

a b +c +2bc bc a b +c bcb c +a +2ca ca = b c +a ca +c a +b +2ab ab c a +b ab

2

2

2

0

a 2bc bcb 2ca cac 2ab ab

=

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 175 -

=

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

a a +b +c bcb b +c +a cac c +a +b ab

= (α2+b2+c2)

2

2

2

a 1 bcb 1 cac 1 ab

= (α2+b2+c2)

2

2 2

2 2

a 1 bcb -a 0 ca-bcc -a 0 ab-bc

= -(α2+b2+c2)2 2

2 2

b -a ca-bcc -a ab-bc

= -(α2+b2+c2)(b+a)(b-a) -c(b-a)(c+a)(c-a) -b(c-a)

=

= -(α2+b2+c2)(b-α)(c-α)b+a -cc+a -b

= -(α2+b2+c2)(b-α)(c-α)b+a+c -cc+a+b -b

= -(α2+b2+c2)(α+b+c)(b-α)(c-α)1 -c1 -b

= -(α2+b2+c2)(α+b+c)(b-α)(c-α)(c-b)

= -(α2+b2+c2)(α+b+c)(α-b)(b-c)(c-α) 5) Να βρεθεί η γενική τιμή του θ η οποία ικανοποιεί την εξίσωση:

2 2

2 2

2 2


= 0

Λύση: Εφαρμόζοντας ιδιότητες οριζουσών, έχουμε: 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1+sin θ cos θ 4sin2θ 1+sin θ+cos θ+4sin2θ cos θ 4sin2θsin θ 1+cos θ 4sin2θ = sin θ+1+cos θ+4sin2θ 1+cos θ 4sin2θsin θ cos θ 1+4sin2θ sin θ+cos θ+1+4sin2θ cos θ 1+4sin2θ

=

2

2

2

2+4sin2θ cos θ 4sin2θ2+4sin2θ 1+cos θ 4sin2θ2+4sin2θ cos θ 1+4sin2θ

= (2 + 4sin2θ)

2

2

2

1 cos θ 4sin2θ1 1+cos θ 4sin2θ1 cos θ 1+4sin2θ

=

= 2(1 + 2sin2θ)

2

1

1 cos θ 4sin2θ0 1 00 0 1

= 2(1 + 2sin2θ)

Άρα από την αρχική εξίσωση έχουμε: 2 2

2 2

2 2


⇒ 2(1 + 2sin2θ) = 0 ⇒ 1 + 2sin2θ = 0 ⇒

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 176 -

⇒ sin2θ = -21⇒ sin2θ = sin ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

6π

⇒

π2θ=- +2kπ6

π2θ=π- - +2kπ6

⎧⎪⎪⎨

⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

, k = 0,±1,±2,… ⇒

⇒

πθ=- +kπ127πθ= +kπ12

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

, k = 0,±1,±2,…

ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

1) Να δειχθεί ότι οι επόμενες απεικονίσεις είναι γραμμικές: α) Τ: R2 → R2 , T(x,y)=(x+y,x) β) T: R3 → R , T(x,y,z)=2x-3y+4z Λυση: α) Έστω v=(v1, v2) και w=(w1,w2) τότε T(v+w)=T(v1+w1, v2+w2)=(v1+w1+v2+w2, v1+w1)=(v1+v2, v1)+(w1+w2, w1)=T(v)+T(w) T(kv)=T(kv1,kv2)=(kv1+kv2, kv1)=k(v1+v2, v1)=kT(v) Άρα ο μετασχηματισμός Τ είναι γραμμικός. β) Έστω v=(v1, v2, v3) και w=(w1, w2, w3) τότε

T(v+w)=T(v1+w1,v2+w2,v3+w3)=2(v1+w1)-3(v2+w2)+4(v3+w3)= =(2v1-3v2+4v3)+ (2v1-3v2+4v3)=T(v)+T(w)

T(kv)=T(kv1,kv2,kv3)=2kv1-3kv2+4kv3=k(2v1-3v2+4v3)=kT(v) Άρα ο μετασχηματισμός Τ είναι γραμμικός. 2) Να δειχθεί ότι οι επόμενες απεικονίσεις δεν είναι γραμμικές: α) Τ: R2 → R , T(x,y)=xy β) T: R2 → R3 , T(x,y)=(x+1,2y,x+y) γ) T: R3 → R2 , T(x,y,z)=(|x|,0) Λύση: α) T(v+w)=T(v1+w1, v2+w2)=(v1+w1)(v2+w2)=v1v2+w1w2+(v1w2+v2w1)= =T(v)+T(w)+ (v1w2+v2w1) ⇒ T(v+w)≠ T(v)+T(w) Επομένως ο μετασχηματισμός Τ δεν είναι γραμμικός β) Εφ' όσον Τ(0,0)=(1,0,0)≠(0,0,0) ο μετασχηματισμός Τ δεν είναι γραμμικός γ) Τ(v+w)=(|v1+w1|,0) , T(v)=(|v1|,0) , T(w)=(|w1|,0) ⇒ (|v1+w1|,0)≠ (|v1|,0)+(|w1|,0) δηλ. T(v+w)≠ T(v)+T(w) Επομένως ο μετασχηματισμός Τ δεν είναι γραμμικός 3) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των τετραγωνικών πινάκων n×n επί του σώματος F. Εάν Μ τυχαίος πίνακας του V, τότε η απεικόνιση Τ: V→V που ορίζεται από την σχέση Τ(Α)=ΑΜ+ΜΑ με A∈V είναι γραμμική. Λύση: T(A+B)=(A+B)M+M(A+B)=(AM+MA)+(BM+MB)=T(A)+T(B) T(kA)=(kA)M+M(kA)=k(AM+MA)=kT(A) Επομένως ο μετασχηματισμός Τ είναι γραμμικός

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 177 -

4) Έστω Τ: R2 → R μια γραμμική απεικόνιση για την οποία γνωρίζουμε ότι Τ(1,1)=3 και Τ(0,1)=-2. Να βρεθεί η γενική έκφραση T(x,y). Λύση: Έστω ένα τυχαίο διάνυσμα v=(x,y). Η δυάδα (x,y) αναφέρεται ως προς την συνήθη βάση e1=(1,0), e2=(0,1). Τα διανύσματα fl=(1,1), f2=(0,1) προφανώς αποτελούν μια άλλη βάση του R2 και επομένως μπορούμε να αναπτύξουμε το διάνυσμα v ως προς αυτή την βάση: v=(x,y)=c1f1+c2f2=c1(1,1)+c2(0,1)=(c1, c1+c2) ⇒ c1=x , c1+c2=y ⇒ c1=x , c2=y-x δηλ v=(x,y)=xf1+[y-x]f2=x(1,1)+[y-x](0,1) Τελικά θα έχουμε: T(x,y)= T(c1f1+c2f2)=T(x(1,1)+[y-x](0,1))=xT(1,1)+[y-x]T(0,1)=3x+[y-x](-2)=5x-2y Άλλος τρόπος Η ζητούμενη γενική έκφραση Τ(x,y) θα πρέπει να είναι γραμμική ως προς x και y, δηλ. T(x,y)=αx+βy Για (x,y)=(1,1) έχουμε T(1,1)=α+β=3 και για (x,y)=(0,1) έχουμε T(0,1)=β=-2 Από τις εξισώσεις α+β=3, β=-2 προκύπτει η λύση =5, β=-2 Τελικά T(x,y)=5x-2y 5) Έστω T: R3→R3 η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από την σχέση T(x,y,z)=(x+2y-z, y+z, x+y-2z) Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση α) της εικόνας U=ImT και β) του πυρήνος W=kerT Λύση: α) Είναι γνωστό ότι οι εικόνες των γεννητόρων του R3 γεννούν την εικόνα U του T. Σαν γεννήτορες του R3 θεωρούμε την συνήθη βάση (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) και έχουμε T(1,0,0)=(1,0,1) , T(0,1,0)=(2,1,1) , T(0,0,1)=(-1,1,-2) Ελέγχουμε εάν η ορίζουσα του πίνακα, που σχηματίζεται από τις παραπάνω εικόνες μηδενίζεται ή όχι:

D=1 2 10 1 11 1 2

0−

−=

Άρα τα διανύσματα (1,0,1) , (2,1,1) , (-1,1,-2) δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Είναι όμως γραμμικά ανεξάρτητα τα δυο πρώτα διανύσματα (1,0,1) , (2,1,1) τα οποία μπορούν να αποτελέσουν μια βάση της εικόνας Im(T) του μετασχηματισμού T, της οποίας η διάσταση είναι 2 β) Αναζητούμε το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) τέτοια ώστε:

T(x,y,z)=(x+2y-z, y+z, x+y-2z)=(0,0,0) Από την παραπάνω σχέση προκύπτει το σύστημα:

x+2y-z=0 , y+z=0 , x+y-2z=0 Παρατηρούμε ότι η δεύτερη εξίσωση προκύπτει εάν από την πρώτη αφαιρέσουμε την τρίτη. Έτσι το σύστημα περιορίζεται στις δυο εξισώσεις:

x+2y-z=0 , x+y-2z=0 Το σύστημα αυτό έχει ένα βαθμό ελευθερίας άρα dimW=1 και εάν λύσουμε ως προς x, y βρίσκουμε: x=3z και y=-z

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 178 -

Επομένως η γενική μορφή των διανυσμάτων του πυρήνα W είναι: (x,y,z)=(3z,-z,z)=z(3,-1,1)

Άρα μια βάση του πυρήνα W είναι (3,-1,1) ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

1) Έστω S και T γραμμικοί τελεστές που ορίζονται ως εξής:

S: R2→R2 , S(x,y)=(y,x) , T: R2→R2 , S(x,y)=(0,x) Να βρεθούν οι εκφράσεις για τους τελεστές S+T, 2S-3T, ST, TS, S2, T2. Λύση: (S+T)(x,y)=S(x,y)+T(x,y)=(y,x)+(0,x)=(y,2x) (2S-3T)(x,y)=2S(x,y)-3T(x,y)=2(y,x)-3(0,x)=(2y,-x) (ST)(x,y)=S(T(x,y))=S(0,x)=(x,0) (TS)(x,y)=T(y,x)=(0,y) S2(x,y)=S(S(x,y))=S(y,x)=(x,y) S2= ο ταυτοτικός τελεστής T2(x,y)=T(T(x,y))=T(0,x)=(0,0) T2= ο μηδενικός τελεστής 2) Έστω Τ ο τελεστής επί του R3 ο οριζόμενος από την σχέση:

T(x,y,z)=(2x, 4x-y, 2x+3y-z) α) Να δειχθεί ότι ο Τ είναι αντιστρέψιμος, β) να βρεθεί ο τύπος του Τ-1 . Λύση: α) Βρίσκουμε τον πυρήνα W=KerT:

T(x,y,z)=(2x, 4x-y, 2x+3y-z)=(0,0,0) ⇒ 2x=0, 4x-y=0, 2x+3y-z=0 ⇒ x=0, y=0, z=0 ⇒ W=0

και κατά συνέπεια ο Τ είναι μη ιδιάζων και άρα αντιστρέψιμος. β) Έστω (r,s,t) η εικόνα του (x,y,z), T(x,y,z)=(r,s,t) ⇒ (x,y,z)=T-1(r,s,t) Θα βρούμε τις τιμές των x,y,z συναρτήσει των r,s,t. Έχουμε:

T(x,y,z)=(2x, 4x-y, 2x+3y-z)=(r,s,t) ⇒ 2x=r, 4x-y=s, 2x+3y-z=t ⇒ x=r/2, y=2r-s, z=7r-3s-t

Τελικά T-1(r,s,t)=(r/2, 2r-s, 7r-3s-t) ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

1) Να βρεθεί η παράσταση υπό μορφή πίνακα των παρακάτω τελεστών επί του R2 ως προς την συνήθη βάση e1=(1,0), e2=(0,1) α) T(x,y)=(2x, 3x-y) β) T(x,y)=(3x-4y, x+5y)

Λύση: α) T(1,0)=(0,3)=0e1+3e2 T(0,1)=(2,-1)=2e1-e2 ⇒ [T]e=0 23 1−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 179 -

β) T(1,0)=(3,1)=3e1+1e2 T(0,1)=(-4,5)=-4e1+5e2 ⇒ [T]e=3 41 5

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2) Να βρεθεί η παράσταση υπό μορφή πίνακα των τελεστών της προηγουμένης άσκησης ως προς την βάση f1=(1,3), f2=(2,5) Λύση: Πρώτα πρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες ενός τυχαίου διανύσματος (α,β)∈R2 ως προς την βάση fi. (α,β)=μ(1,3)+ν(2,5)=(μ+2ν, 3μ+5ν) ⇒ α=μ+2ν , β=3μ+5ν ⇒ μ=2β-5α , ν=3α-β άρα (α,β)=(2β-5α)f1+(3α-β)f2 α) Έχουμε T(x,y)=(2x, 3x-y) και επομένως

T(f1)=T(1,3)=(2,0)=-4f1+6f2 , T(f2)=T(2,5)=(4,1)=-18f1+11f2 ⇒ [T]f=4 18

6 11− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

β) Έχουμε T(x,y)= (3x-4y, x+5y) και επομένως

T(f1)=T(1,3)=(-9,16)=77f1-43f2 , T(f2)=T(2,5)=(-14,27)=124f1-69f2 ⇒ [T]f=77 12443 69− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3) Η γενική έκφραση ενός τελεστή Τ επί του διαν. χώρου R3 έχει την μορφή:


[T]e=1 2 3

1 2 3

1 2 3

α α αβ β βγ γ γ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση: T(e1)=T(1,0,0)=(α1, β1, γ1)=α1e1+β1e2+γ1e3 T(e2)=T(0,1,0)=(α2, β2, γ2)=α2e1+β2e2+γ2e3 T(e3)=T(0,0,1)=(α3, β3, γ3)=α3e1+β3e2+γ3e3

Επομένως [T]e=1 2 3

1 2 3

1 2 3

α α αβ β βγ γ γ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Παρατήρηση: Η ιδιότητα αυτή ισχύει για οποιονδήποτε διαν. χώρο V=Fn αλλά μόνο ως προς την συνήθη βάση. 4) Να βρεθούν οι αναπαραστάσεις υπό μορφή πίνακα των παρακάτω τελεστών επί του διαν. χώρου R3 ως προς την συνήθη βάση ei, i=1,2,3 α) T(x,y,z)=(2x-3y+4z, 5x-y+2z, 4x+7y) β) T(x,y,z)=(2y+z, x-4y, 3x) Λύση: Με την βοήθεια της προηγούμενης άσκησης έχουμε:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 180 -

α) [T]e=2 3 45 1 24 7 0

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

β) [T]e=0 2 11 4 03 0 0

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

5) Έστω V ο διαν. χώρος των τετραγωνικών πινάκων τύπου 2×2 επί του σώματος R




E1=1 00 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , E2=

0 10 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , E3=

0 01 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , E4=

0 00 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Να βρεθεί το ίχνος του Τ και η παράσταση του τυχαίου διανύσματος Α Λύση:

T(E1)=ME1=1 23 4

1 00 0

1 03 0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =1E1+0E2+3E3+0E4

T(E2)=ME2=1 23 4

0 10 0

0 10 3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =0E1+1E2+0E3+3E4

T(E3)=ME3=1 23 4

0 01 0

2 04 0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =2E1+0E2+4E3+0E4

T(E4)=ME4=1 23 4

0 00 1

0 20 4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =0E1+2E2+0E3+4E4

Άρα [T]E=

1 0 2 00 1 0 23 0 4 00 3 0 4

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⇒ tr(T)=1+1+4+4=10

Εάν Α= 11 12

21 22

α αα α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

τότε Α=α11Ε1+ α12Ε2+ α21Ε3+ α22Ε4 και επομένως

[Α]Ε=

11

12

21

22

αααα

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

6) Δίνεται ο τελεστής T: R3→R2 , Τ(x,y,z)=(3x+2y-4z, x-5y+3z) α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ που αντιστοιχεί ως προς τις βάσεις: f1=(1,1,1), f2=(1,1,0), f3=(1,0,0) του R3 και g1=(1,3), g2=(2,5) του R2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- 181 -


g [v]f=[T(v)]g Λύση: α) Όπως στην άσκηση 2 βρίσκουμε: (α,β)=(2β-5α)g1+(3α-β)g2 Άρα

T(f1)=T(1,1,1)=(1,-1)=-7g1+4g2

T(f2)=T(1,1,0)=(5,-4)=-33g1+19g2 ⇒ [ ]T f

g =− − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

7 33 134 19 8

T(f3)=T(1,0,0)=(3,1)=-13g1+8g2 β) Έστω v=(x,y,z), αναπτύσσουμε το διάνυσμα αυτό ως προς την βάση f1,f2,f3 και βρίσκουμε v=zf1+(y-z)f2+(x-y)f3 . Επίσης έχουμε:

Τ(x,y,z)=(3x+2y-4z, x-5y+3z)= =[2(x-5y+3z) –5(3x+2y-4z)]g1+[3(x-5y+3z) –(3x+2y-4z)]g2= =(-13x-20y+26z)g1+(8x+11y-15z)g2

Άρα [v]f=z

y z

x y

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟και [T(v)]g=

− − ++ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13 20 268 11 15

x y z

x y z Έτσι

[ ]T f

g [v]f=− − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

7 33 134 19 8

z

y z

x y

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=− − +

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13 20 268 11 15

x y z

x y z=[Τ(v)]g

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

B

Bessel ανισότητα, 40, 149

C

Chebyshev I πολυώνυμα, 47 Chebyshev II πολυώνυμα, 47

G

Gauss απαλοιφή, 67 Gram-Schmidt μεθοδος ορθοκανονικοποιήσεως, 42

H

Hermite πολυώνυμα, 47 Hilbert χώρος, 142

L

Laguere πολυώνυμα, 47 Legendre πολυώνυμα, 46 Lorentz πίνακας, 127 Lorenz μετρική, 39

N

norm, 35, 47, 140

S

Schrödinger εξίσωση, 111

U

Unitary τελεστής, 123 Unitary χώρος, 35

Α

Αβελιανή ομάδα, 4 άθροισμα δυο πινάκων, 56 άθροισμα διανυσματικών υποχώρων, 25

ακέραια περιοχή, 14 άλγεβρα, 24 Άλγεβρα με ουδέτερο στοιχείο., 24 αλγεβρική δομή, VI, 2 αλγεβρική πολλαπλότητα, 113 Ανάστροφος πίνακας, 59 ανεξάρτητα διανύσματα, 145 αντεναλλάκτης πινάκων, 62 αντίθετο στοιχείο, 4 αντιμετάθεση, 11 αντιμεταθέτης πινάκων, 62 Αντιμεταθετική άλγεβρα, 24 αντιμεταθετική ομάδα, 4 αντιμεταθετικός δακτύλιος, 13 αντίστροφο στοιχείο, 4 άπειρη διάσταση, VI άπειρη ομάδα, 8 απόσταση, 48 άρτια μετάθεση, 12 αρχή της επαλληλίας, 20

Β

βαθμωτός πολλαπλασιασμός, 2 βάση διανυσματικού χώρου, 29

Γ

γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα, 118 γεωμετρική πολλαπλότητα, 113 γινόμενο αριθμού επί πίνακα, 56 γινόμενο δυο πινάκων, 57 γραμμές του πίνακα, 55 γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, 26 γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο, 40 γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα, 26 γραμμικές πράξεις, V γραμμική πολλαπλότητα, 146 γραμμικός μετασχηματισμός, 81 γραμμικός συνδυασμός, 24 γραμμικός χώρος, VI

Δ

δακτύλιος, VI, 13 δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο, 14 διακεκριμένη άπειρη ομάδα, 8

- 183 -

διαμερισμένος πίνακας, 72 διάνυσμα γραμμή, 56 διάνυσμα στήλη, 93 διάνυσμα. στήλη, 56 διανυσματική βάση, 146 διανυσματικός χώρος απείρων διαστάσεων, 31 διανυσματικός υπόχωρος, 22 διανυσματικός χώρος, VI, 19 Διάσταση διανυσματικού χώρου, 31 διάσταση πεπερασμένη, 31 διαχωρίσιμος χώρος, 142

Ε

εικόνα μετασχηματισμού, 84 εκφυλισμένα ιδιοδιανύσματα, 113 εκφυλισμένοφάσμα, 113 ελάσσονα ορίζουσα, 64 εναλλάκτης πινάκων, 62 εξίσωση ιδιοτιμών, 111 Εξωτερική πράξη δευτέρου είδους, 1 Εξωτερική πράξη πρώτου είδους, 1 Εσωτερική πράξη, 1 εσωτερικό γινόμενο, 2, 32, 35 εσωτερικός νόμος συνθέσεως, 1 ευθύ άθροισμα διανυσματικών υποχώρων, 25 Ευκλείδειος χώρος, 35

Η

ημιομάδα, 3

Ι

ιδιάζων μετασχηματισμός, 86 ιδιοδιάνυσμα, 111 ιδιοτιμή, 111 ιδιόχωρος, 113 ίσοι πίνακες, 56 ισομετρία, 123 ισομετρικός τελεστής, 123 ισομορφισμός, 86 Ίχνος πίνακα, 62

Κ

κανονικοποιημένο σύνολο, 39 κλειστή γραμμική πολλαπλότητα, 146 κλειστή πράξη, V κυκλική μετάθεση, 11 κύκλος μήκους k, 11

κύρια διαγώνιο, 60

Μ

μετάβαση, 11 μεταθέσεις n βαθμού, 10 μεταθέτης πινάκων, 62 μεταθέτης τελεστών, 90 μετασχηματισμό ομοιότητας, 104 μετασχηματισμός διαφορικός, 83 μετασχηματισμός ολοκληρωτικός, 83 μετασχηματισμός συνόλου, 9 μη ιδιάζων μετασχηματισμός, 86 μηδενοδιαιρέτες, 14 μήτρα, 55 μιγαδικός χώρος, 20 μιγαδικός χώρος εσωτερικού γινομένου, 35 μονοειδές, 3

Ο

ομάδα, VI, 3 ομαλός μετασχηματισμός, 86 όμοιος πίνακας, 104 ορθογώνια διανύσματα, 39 ορθογώνιο σύστημα, 147 ορθοκανονικό σύνολο, 39 ορίζουσα πίνακα, 63 ουδέτερο στοιχείο, 3

Π

παράσταση τελεστή, 94 πεπερασμένη διάσταση, VI πεπερασμένη ομάδα, 8 πίνακας, 55 πίνακας αντίστροφος, 62 πίνακας αντισυμμετρικός, 61 πίνακας διαγώνιος, 60 πίνακας μετασχηματισμού, 99 πίνακας μη ιδιάζων, 68 πίνακας μηδενικός, 61 πίνακας ομαλός, 68 πίνακας ορθογώνιος, 62 πίνακας προσηρτημένος, 68 πίνακας συζυγοανάστροφος, 59 πίνακας συμμετρικός, 61 πίνακας συναφής, 59 πίνακας ταυτοτικός, 60 πίνακας τριγωνικός, 60 πίνακας τύπου m×n, 55 πλήρες σύνολο, 39

- 184 -

πολλαπλασιαστική ομάδα, 4 πραγματικός χώρος, 20 πραγματικός χώρος εσωτερικού γινομένου, 35 Προσεταιριστική άλγεβρα, 24 Προσεταιριστική ιδιότητα, 3 προσθετική ομάδα, 4 πυρήνας μετασχηματισμού, 84

Σ

σημείο μετάθεσης, 12 στάθμη, 47, 140 στάθμη ενός διανυσματικού χώρου, 35 Σταθμητός χώρος, 47 στήλες του πίνακα, 55 Συζυγής πίνακας, 59 συζυγοανάστροφος τελεστής, 119 συμμετρική ομάδα n βαθμού, 10 συμμετρική, διγραμμική μορφή, 35 συμμετρικό στοιχείο, 3 συμπληρωματικός υπόχωρος, 25 συμπολλαπλασιαστή στοιχείου πίνακα, 64 συναρτησιακοί χώροι, VI, 22 συναφής τελεστής, 119 συνεχής ομάδα, 8 συνθήκη ορθοκανονικότητας, 147 σύστημα γεννητόρων, 24, 29 σώμα, VI Σώμα, 15

Τ

τάξη ομάδας, 8 ταυτότητα του Jacobi, 63 τελεστής αντιστρέψιμος, 90 τελεστής αντίστροφος, 90 τελεστής αυτοσυναφής,, 120 τελεστής γραμμικός, 89 τελεστής ερμιτιανός, 120 τελεστής κανονικός, 129 τελεστής μετατοπίσεως, 7 τελεστής μοναδιαίος, 123 τελεστής ορθογώνιος, 123 τελεστής συμμετρικός, 120 τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις, 38 τετραγωνικός πίνακας, 59 τριγωνοποίηση πίνακα, 71

Υ

υποομάδα, 13 υπόχωρος, VI, 146

Φ

φάσμα τελεστή, 112

Χ

χαρακτηριστικό πολυώνυμο, 112

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. "Linear Algebra and Geometry" Dieundonne, Hermann, Paris, 1969

2. "Linear Algebra" VNR, New York,1971 3. "Finite-Dimensional Vector Spaces"

VNR, Princetan, New Jersey, 1958

4. "Linear Algebra" L.Lang. Addison Wisley, 1970

5. "Linear Algebra" P. Knopp, Hamilton Publishing Co., Santa Barbara, California 1974

6. "Linear Algebra" G. Shilov, Dover, New York, 1977

7. “Applied Algebra and Functional Analysis”

A. Mixhel, C. Herget , Dover Publications, INC New York 1993

8. “Algebra”

S. MacLane, G. Birkhoff, Chelsea Publishing Company, New York, 1967

9. “Μια εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα”

Α. Morris, Έκδοση Γ. Πνευματικού 1980

10. “ Finite dimensional vector spaces”

Princeton 1958

Γραμμική Άλγεβρα - Σουρλάς

Documents

Transcript of Γραμμική Άλγεβρα - Σουρλάς