μαθηματικά β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 19 11 2014

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού

Β΄ Γενικού Ημερησίου Λυκείου

2ο ΘΕΜΑ

Εκφωνήσεις ‐ Λύσεις

των

θεμάτων

Έκδοση 1η (18/11/2014)

– 2 –

Οι απαντήσεις και οι λύσεις

είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς

μελών του Δικτυακού Τόπου mathematica.gr με βάση υλικό που αναρτήθηκε στο mathematica

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46869

Συνεργάστηκαν οι:

Γιώργος Απόκης, Κωνσταντίνος Γεωργίου, Κώστας Ζυγούρης, Γιώργος Καλαθάκης, Ηλίας Καμπελής, Θοδωρής Καραμεσάλης, Μάνος Κοθρής, Δημήτρης Ε. Κοντοκώστας, Γιώργος Λέκκας,

Θανάσης Μπεληγιάννης, Περικλής Παντούλας, Θανάσης Παπασταθόπουλος, Γιώργος Ρίζος, Κώστας Τηλέγραφος,

Σωτήρης Στόγιας, Χρήστος Τσιφάκης, Σωτήρης Δ. Χασάπης, nikosxen, depymak

Την αποδελτίωση και σελιδοποίηση έκαναν οι:

Περικλής Παντούλας, Γιώργος Ρίζος, Κώστας Τηλέγραφος

Το Δελτίο διατίθεται ελεύθερα

από το δικτυακό τόπο mathematica.gr

– 3 –

Θέματα 2ης Ομάδας 2ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου

GI_V_MATHP_2_18556 [παράγραφος 1.5]

Δίνονται τα διανύσματα α και β με α, β∧⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= π3

και α 2= , β 2 2= .

α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο αβ . (Μονάδες 8)

β) Αν τα διανύσματα 2α β+ και κα β+ είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ . (Μονάδες 10)

γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 2α β+ (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ: α) Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε:

( ) 2π 1 4α β α β συν α,β 2 2 2 συν 2 2 2.3 2 2

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = =

Οπότε αβ 2.=

β) Έστω γ 2α β= + και δ κα β= + τα δοσμένα διανύσματα. Από την υπόθεση έχουμε:

( )( )γ δ γ δ 0 2α β κα β 0⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + + = ⇔

αβ 2222 22κα 2αβ καβ β 0 2κ α 4 2κ β 0

=

⇔ + + + = ⇔ + + + = ⇔

( )22

2κ 2 4 2κ 2 2 0 4κ 4 2κ 8 0 6κ 12 κ 2.⇔ + + + = ⇔ + + + = ⇔ = − ⇔ = −

γ) Θα υπολογίσουμε αρχικά το τετράγωνο του μέτρου για το γ 2α β= + . Έχουμε λοιπόν:

( ) ( )

αβ 2222 2 222 22α β 2α β 4α 4αβ β 4 α 8 β 4 2 8 2 2

=

+ = + = + + = + + = + + =

8 8 8 24 2α β 24 2 6.= + + = ⇒ + = =

– 4 –

GI_V_MATHP_2_18558 [παράγραφος 1.5] Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: ( )ΑΒ 4, 6= − − , ( )ΑΓ 2, 8= − .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΑΜ , όπου ΑΜ είναι η διάμεσος του τρι-γώνου ΑΒΓ .

(Μονάδες 7)

β) Να αποδείξετε ότι η γωνία Α είναι οξεία. (Μονάδες 10)

γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει ( )Α 3,1 , να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυ-

φών του Β και Γ . (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ: α) Η ΑΜ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ . Δηλαδή το σημείο Μ είναι μέσο του ΒΓ . Γνωρίζουμε ότι η διανυσματική ακτίνα του μέσου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισούται με το

ημιάθροισμα των διανυσματικών ακτίνων των άκρων. Οπότε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1ΑΜ ΑΒ ΑΓ 4, 6 2, 8 2, 14 1, 72 2 2

= + = − − + − = − − = − −⎡ ⎤⎣ ⎦

β) Η γωνία Α του τριγώνου είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα ΑΒ και ΑΓ . Δηλαδή ( )Α ΑΒ , ΑΓ= . Τη γωνία (Δηλ: το αν είναι αμβλεία ή οξεία ) των διανυσμάτων θα

την υπολογίσουμε μέσω του συνημιτόνου της. Δηλαδή από τη σχέση:

( ) ΑΒ ΑΓσυν ΑΒ , ΑΓΑΒ ΑΓ

⋅=

Καταρχήν έχουμε

ΑΒ 0, ΑΓ 0> >

Στη συνέχεια βρίσκουμε το εσωτερικό τους γινόμενο.

( ) ( )ΑΒ ΑΓ 4, 6 2, 8 8 48 40⋅ = − − ⋅ − = − + =

Έτσι ( ) ΑΒ ΑΓ 40συν ΑΒ , ΑΓ 0ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ

⋅= = > , άρα η γωνία των διανυσμάτων ΑΒ και ΑΓ

είναι οξεία αφού έχει θετικό συνημίτονο. Συνεπώς και η γωνία Α είναι επίσης οξεία.

γ) Είναι ( ) ( ) ( )B A B A B BΑΒ x x , y y 4, 6 x 3, y 1= − − ⇔ − − = − − ⇔

( )B Bx 3 4 και y 1 6⇔ − = − − = − ⇔ ( )B Bx 1 και y 5= − = − , δηλαδή ( )B 1, 5− − .

Ακόμη ( ) ( ) ( )Γ A Γ A Γ ΓΑΓ x x , y y 2, 8 x 3, y 1= − − ⇔ − = − − ⇔

( ) ( )Γ Γ Γ Γx 3 2 και y 1 8 x 5 και y 7⇔ − = − = − ⇔ = = − , δηλαδή ( )Γ 5, 7− .

– 5 –

GI_V_MATHP_2_18575 [παράγραφος 2.1] Δίνονται τα σημεία ( )Α 1, 2 και ( )Β 5,6 .

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και B . (Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει εξίσωση την y x 7= − + .

(Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ: α) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A και B είναι η

( ) ( )B AA A

B A

y y 6 2y y x x y 2 x 1 y 2 x 1 y x 1x x 5 1

− −− = − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = +

− −

β) Αν M το μέσο του AB , τότε A BM

x x 1 5x 32 2+ +

= = = και A BM

y y 2 6y 42 2+ +

= = = ,

αφού οι συντεταγμένες του μέσου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισούνται με το ημιάθροισμα των συντεταγμένων των άκρων. Οπότε ( )M 3, 4 . Επιπλέον:

ε AB ε εε AB λ λ 1 λ ·1 1 λ 1⊥ ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − .

Οπότε η εξίσωση της μεσοκαθέτου της ε της AB είναι: ( ) ( )M ε My y λ x x y 4 x 3 y 4 x 3 y x 7− = − ⇔ − = − − ⇔ − = − + ⇔ = − +


Έστω τα διανύσματα α και β για τα οποία : 2 α β 2 2= = και ( )α,β 60=

α) Να αποδείξετε ότι α β 2⋅ = . (Μονάδες 10)

β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α β+ και α β− (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ: α) Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε:

ο 1α β α β συν α , β 2 2 2 συν60 4 22

∧⎛ ⎞⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

β) Θα υπολογίσουμε αρχικά τα τετράγωνα των μέτρων. Έχουμε λοιπόν:

( ) ( )222 22 2

α β α β α 2α β β 2 2 2 2 2 2 4 8 14+ = + = + ⋅ + = + ⋅ + = + + =

και ( ) ( )222 22 2α β α β α 2α β β 2 2 2 2 2 2 4 8 6− = − = − ⋅ + = − ⋅ + = − + = .

Άρα α β 14+ = και α β 6− = .

– 6 –

GI_V_MATHP_2_18584 [παράγραφος 2.1] Δίνονται οι παράλληλες ευθείες 1ε : x 2y 8 0− − = , 2ε : 2x 4y 10 0− + = και το σημείο Α της

1ε που έχει τετμημένη το 4 .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α . (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κά-θετη στην ευθεία 1ε

(Μονάδες 10) γ) Αν Β είναι το σημείο τομής των ευθειώνε και 2ε , τότε να βρείτε τις συντεταγμένες του Β.

(Μονάδες 10) ΛΥΣΗ: α) Έστω ( )4,α οι συντεταγμένες του σημείου A . Το A είναι σημείο της ευθείας 1ε , κατά συ-

νέπεια οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της 1ε , οπότε για ( ) ( )x, y 4,α= η εξί-

σωση της 1ε γίνεται: 4 2α 8 0 2α 4 α 2.− − = ⇔ − = ⇔ = − Άρα ( )Α 4, 2 .−

β) Η 1ε είναι στη μορφή Αx By Γ 0+ + = , με Α 1= και Β 2= − , οπότε έχει συντελεστή διεύθυν-

σης 1ε

Α 1 1λΒ 2 2

= − = − =−

. Η ζητούμενη ευθεία ε είναι κάθετη στην 1ε , οπότε το γινόμενο

των συντελεστών διεύθυνσής τους είναι 1− . Δηλαδή: 11 ε ε εε ε λ λ 1 λ 2.⊥ ⇔ ⋅ = − ⇔ = −

Τότε η εξίσωση της ε είναι: ( )

( ) ( ) ( )A ε A

ε

y y λ x x

y 2 λ x 4 y 2 2 x 4y 2 2x 8 2x y 6 0.

− = − ⇔

− − = ⋅ − ⇔ + = − − ⇔

+ = − + ⇔ + − =

γ) Οι συντεταγμένες του σημείου B θα βρεθούν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των 2ε και ε .

Έχουμε: ( ) ( )( ) ( )2

ε : 2x y 6 0 1 2xε : 2x 4y 10 0 2

+ − =⇔

− + =y 6

2x+ =

−165y 16 y54y 10

⎧ ⎧⎪ ⇔ = ⇔ =⎨ ⎨+ =⎪ ⎩⎩

Τότε η ( ) 16 14 71 2x 6 10x 16 30 10x 14 x5 10 5

⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = =

Άρα: 7 16Β ,5 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

– 7 –

GI_V_MATHP_2_18587 [παράγραφος 2.1] Δίνονται οι ευθείες 1ε : x 8y 16 0− + = και 2ε : 2x y 15 0+ + = οι οποίες τέμνονται στο σημείο

Μ . Αν οι ευθείες 1ε και 2ε τέμνουν τον άξονα y y′ στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε:

α) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Μ , A και B . (Μονάδες 10)

β) αν Κ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ , να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύ-σματος ΜΚ

(Μονάδες 15) ΛΥΣΗ: α) Οι συντεταγμένες του σημείου M θα βρεθούν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων

των δύο ευθειών, αφού το σημείο M είναι κοινό τους σημείο.

Έχουμε: ( ) ( )( ) ( )

1

2

ε : x 8y 16 0 1 x 8y 16 2xε : 2x y 15 0 2 2x y 15

− + = − = − −⇔ ⇔

+ + = + = −16y 32

2x+ =

( )

y 15

+⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ = −⎪ ⎪ ⎪⎩⎩⎩

17y 17 y 1.= ⇔ = Τότε η ( )1 x 8 16 x 8.⇔ − = − ⇔ = − Άρα ( )Μ 8,1−

Η 1ε τέμνει τον άξονα y y′ στο σημείο A .

Για x 0= η εξίσωση της 1ε γίνεται: 8y 16 y 2.− = − ⇔ = Άρα ( )Α 0, 2 .

Η 2ε τέμνει τον άξονα y y′ στο σημείο B .

Για x 0= η εξίσωση της 2ε γίνεται: y 15.= − Άρα ( )Β 0, 15−

β) Έστω ( )Κ Κx , y οι συντεταγμένες του σημείου K . Από υπόθεση το K είναι μέσο του τμήμα-

τος AB , οπότε οι συντεταγμένες του θα ισούνται με το ημιάθροισμα των συντεταγμένων των άκρων.

Δηλαδή

Α ΒΚ

Α ΒΚ

x x 0x 02 2

y y 2 15 13y2 2 2

+⎧ = = =⎪⎪⎨ + −⎪ = = = −⎪⎩

Άρα 13Κ 0, .2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Για το διάνυσμα ΜΚ έχουμε:

( )Κ Μ Κ Μ13 15ΜΚ x x , y y 0 8, 1 8,2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = + − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Άρα: ΜΚΜΚ

ΜΚ

15y 152λx 8 16

−= = = − .

– 8 –

GI_V_MATHP_2_18589 [παράγραφος 2.2] Δίνονται οι ευθείες 1ε :8x y 28 0+ − = και 2ε : x y 1 0− + = οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ και, στη συνέχεια, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Μ και είναι κάθετη στον άξονα x x′ .

(Μονάδες 10) β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από το Μ και έχουν συντελεστή διεύθυν-

σης λ έχουν εξίσωση την: λx y 3λ 4 0− − + = , όπου λ∈ . (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ: α) Οι συντεταγμένες του σημείου M θα προκύψουν από τη λύση του συστήματος των ευθειών

1ε και 2ε , αφού το σημείο Μ ανήκει και στις δύο. Έχουμε λοιπόν:

( )( )

1

2

ε : 8x y 28 0 9x 27 0 x 3ε : x y 1 0 x y 1 0 y 4

++ − = ⎫ − = =⎫ ⎫⎪⇒ ⇒⎬ ⎬ ⎬− + = − + = =⎪ ⎭ ⎭⎭. Άρα ( )M 3, 4 .

Η ευθεία ( )ε η οποία διέρχεται από το Μ είναι κάθετη στον άξονα x x′ και έχει εξίσωση της

μορφής ox x= , όπου ox η τετμημένη του γνωστού σημείου από το οποίο διέρχεται.

Οπότε ( ) Mε : x x x 3= ⇔ = .

β) Οι ευθείες που διέρχονται από το M και έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ έχουν εξίσωση: ( )y 4 λ x 3 y 4 λx 3λ λx y 3λ 4 0− = − ⇒ − = − ⇒ − − + = με λ∈ .

– 9 –

GI_V_MATHP_2_18592 [παράγραφος 2.1] Δίνονται οι ευθείες 1ε : x 3y 5 0− + = και 2ε : 3x y 5 0+ − =

α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες 1ε και 2ε είναι κάθετες μεταξύ τους.

(Μονάδες 9) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών 1ε και 2ε .

(Μονάδες 9) γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α και την αρχή Ο των

αξόνων. (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ: α) Αρκεί να δείξουμε ότι το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης των δύο ευθειών ισούται με

1− .

Είναι 11 5ε : x 3y 5 0 3y x 5 y x3 3

− + = ⇔ = + ⇔ = + οπότε: 1ε

1λ3

= .

Είναι 2ε : 3x y 5 0 y 3x 5+ − = ⇔ = − + οπότε: 2ε

λ 3= − .

Τότε: ( )1 2ε ε 1 2

1λ λ 3 1 ε ε .3

⋅ = ⋅ − = − ⇔ ⊥

β) Οι συντεταγμένες του σημείου A θα βρεθούν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των ( )1ε και ( )2ε , αφού το σημείο A ανήκει και στις δύο ευθείες.

Έχουμε:( )( )

( )x 3y 5 0 1 x 3y 5 x 3y 510x 10 x 1

3x y 5 0 2 3x y 5 9x 3y 15

+⎧ ⎧ ⎧− + = − = − − = −⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ =⎨ ⎨ ⎨+ − = + = + =⎪ ⎪ ⎪⎩⎩⎩

Τότε η ( )2 3 y 5 y 2.⇔ + = ⇔ = Άρα ( )Α 1, 2

γ) Έστω ( )ζ η ζητούμενη ευθεία. Η ( )ζ διέρχεται από την αρχή των αξόνων O , οπότε θα έχει

εξίσωση της μορφής y λx= , όπου λ ο συντελεστής διεύθυνσης. Επιπλέον η ευθεία διέρχεται από το σημείο A , κατά συνέπεια η εξίσωσή της επαληθεύεται

από τις συντεταγμένες του σημείου A , δηλαδή για x 1 και y 2= = έχουμε: λ 2= .

Άρα η εξίσωση της ( )ζ είναι y 2x.=

– 10 –

GI_V_MATHP_2_18595 [παράγραφος 2.1] Δίνονται οι ευθείες 1ε : 3x y 3 0+ + = και 2ε : x 2y 4 0+ − =

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών 1ε και 2ε .

(Μονάδες 8) β) Αν η ευθεία 1ε τέμνει τον άξονα y y′ στο σημείο Β και η ευθεία 2ε τέμνει τον άξονα

x x′ στο σημείο Γ , τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ .

(Μονάδες 8) ii) να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ έχει εξίσωση την

3x 4y 12 0− − = . (Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ: α) Οι συντεταγμένες του σημείου A θα βρεθούν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων

των ευθειών ( )1ε και ( )2ε αφού το σημείο A είναι κοινό σημείο των δύο ευθειών.

Έχουμε: ( )( )

( )1

2

ε : 3x y 3 0 1 3x y 3 6x 2y 65x 10

ε : x 2y 4 0 2 x 2y 4 x 2y 4

+⎧ ⎧+ + =⎧ + = − − − =⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔− =⎨ ⎨ ⎨+ − = + = + =⎪⎩ ⎪ ⎪⎩⎩

x 2.⇔ = − Τότε η ( ) ( )1 3 2 y 3 6 y 3 y 3⇔ ⋅ − + = − ⇔ − + = − ⇔ = . Άρα ( )Α 2,3−

β)(i) Το σημείο στο οποίο η ( )1ε τέμνει τον άξονα y y′ έχει τετμημένη μηδέν. Οπότε για x 0= η

εξίσωση της ( )1ε γίνεται: y 3 0 y 3.+ = ⇔ = − Άρα η ( )1ε τέμνει τον άξονα y y′ στο σημείο

( )Β 0, 3−

Το σημείο στο οποίο η ( )2ε τέμνει τον άξονα y y′ έχει τετμημένη μηδέν. Οπότε για y 0= η

εξίσωση της ( )2ε γίνεται: x 4 0 x 4.− = ⇔ = Άρα η ( )2ε τέμνει τον άξονα y y′ στο σημείο

( )Γ 4,0 .

(ii) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΒΓ είναι: Γ ΒΒΓ

Γ Β

y y 0 3 3λx x 4 0 4

− += = =

− −.

Τότε η εξίσωση της ΒΓ είναι:

( ) ( )Γ ΒΓ Γ3y y λ x x y 0 x 4 4y 3x 12 3x 4y 12 0.4

− = ⋅ − ⇔ − = ⋅ − ⇔ = − ⇔ − − =

– 11 –

GI_V_MATHP_2_18598 [παράγραφος 1.5] Δίνονται τα διανύσματα ( )2AΒ κ 6κ 9,κ 3= − + − και ( )AΓ 1,6= , όπου κ∈ .

α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο AB AΓ⋅ . (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τις τιμές του κ , ώστε τα διανύσματα AB και AΓ να είναι κάθετα. (Μονάδες 9)

γ) Για κ 1= να βρείτε το διάνυσμα BΓ . (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ: α) Από την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου έχουμε:

( )2 2ΑΒ ΑΓ κ 6κ 9 6 κ 3 κ 6κ⋅ = − + + ⋅ − = − 9 6κ+ + 218 κ 9.− = −

β) Τα AB και AΓ είναι κάθετα, οπότε το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν. α)

2 2ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ 0 κ 9 0 κ 9 κ 3 ή κ 3.⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = = −

γ) Για κ 1= είναι ( )ΑΒ 4, 2= − και ( )ΑΓ 1,6= . Χρησιμοποιώντας το σημείο A ως σημείο ανα-

φοράς έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( )ΒΓ ΑΓ ΑΒ 1,6 4, 2 1 4,6 2 3,8 .= − = − − = − + = −

– 12 –

GI_V_MATHP_2_18600 [παράγραφος 2.1] Θεωρούμε την ευθεία 1ε που τέμνει τους άξονες x x′ και y y′ στα σημεία ( )Α 3,0 και ( )Β 0,6

αντίστοιχα. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας 1ε .

(Μονάδες 8) β) Αν 2ε είναι η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην 1ε ,

τότε να βρείτε: i) την εξίσωση της ευθείας 2ε .

(Μονάδες 9) ii) τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών 1ε και 2ε .

(Μονάδες 8) ΛΥΣΗ: α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεί A και B είναι

B AAB

B A

y y 6 0λ 2x x 0 3

− −= = = −

− −.

Οπότε η ευθεία 1ε έχει εξίσωση:

( ) ( )A AB Ay y λ x x y 0 2 x 3 y 2x 6− = − ⇔ − = − − ⇔ = − +

β) i) Αφού 1 2ε ε⊥ , οι δύο ευθείες θα έχουν γινόμενο συντελεστών διεύθυνσης 1− . Οπότε θα είναι

1 2 2ε ε ε1λ λ 1 λ2

⋅ = − ⇔ =

Η ευθεία 2ε διέρχεται από το ( )Ο 0, 0 οπότε έχει εξίσωση της μορφής y λx= με 2ε

1λ λ2

= = ,

δηλαδή είναι η ευθεία ( )21ε : y x2

=

ii) Το σημείο τομής, έστω M , των δύο ευθειών θα προκύψει από τη λύση του συστήματος των δύο ευθειών, αφού το σημείο M είναι κοινό τους σημείο.

121y 2x 6 xx 2x 652

1 1 6y x y x y2 2 5

⎧⎧= − + == − +⎧ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨=⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎪ ⎪⎩ ⎩

,

οπότε το σημείο τομής τους είναι το 12 6Μ ,5 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

– 13 –

GI_V_MATHP_2_18601 [παράγραφος 2.1] Έστω ( )Μ 3,5 το μέσο ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με ( )Α 1,1 .

α) Να βρείτε: i) τις συντεταγμένες του σημείου Β .

(Μονάδες 6) ii) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β .

(Μονάδες 7) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Κ του άξονα x x′ έτσι, ώστε να ισχύει

( ) ( )ΚΑ ΚΒ= .

(Μονάδες 12) ΛΥΣΗ: α)(i) Έστω ( )1 2Β β ,β .

Από την υπόθεση το σημείο ( )Μ 3,5 είναι το μέσο του τμήματος AB και συνεπώς οι συντε-

ταγμένες του ισούνται με το ημιάθροισμα των συντεταγμένων των άκρων.

οπότε: Α Β Μ 1 1

Α Β Μ 2 2

x x 2x 1 β 6 β 5y y 2y 1 β 10 β 9

⎧ ⎧+ = + = =⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ = + = =⎪ ⎩⎪ ⎩⎩

Άρα ( )Β 5,9 .

ii) Έστω ( )ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A και B .

Τότε B Aε ΑΒ

B A

y y 9 1 8λ λ 2.x x 5 1 4

− −= = = = =

− −

Επομένως η εξίσωση της ευθείας θα είναι: ( ) ( )A ε Ay y λ x x y 1 2 x 1 y 1 2x 2 y 2x 1− = ⋅ − ⇔ − = ⋅ − ⇔ − = − ⇔ = −

β) Έστω ( )Κ κ,0 το σημείο του άξονα x x′ για το οποίο ισχύει ( ) ( ) ( )ΚΑ ΚΒ 1=

Τότε η ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2Α Κ Α Κ Β Κ Β Κ1 x x y y x x y y⇔ − + − = − + − ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 κ 1 0 5 κ 9 0 1 κ 1 5 κ 81⇔ − + − = − + − ⇔ − + = − + ⇔

( ) ( )2 2 21 κ 1 5 κ 81 1 2κ κ⇔ − + = − + ⇔ − + 225 10κ κ= − + 80+ ⇔

8κ 104 κ 13.⇔ = ⇔ = Άρα ( )Κ 13,0 .

– 14 –

GI_V_MATHP_2_18602 [παράγραφος 2.1] Δίνεται η ευθεία ( )ε :y x 1+ = και το σημείο ( )A 2, 4− .

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το A και είναι κάθετη στην ( )ε .

(Μονάδες 10) β) Να βρείτε την προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία ( )ε .

(Μονάδες 15) ΛΥΣΗ: α) Έστω ( )ζ η ευθεία που διέρχεται από το

Α με ( ) ( ) ( )ζ ε 1⊥

Έχουμε ( )ε : x y 1 y x 1,+ = ⇔ = − + άρα:

( )ελ 1 2= −

Τότε: ( )( )2

ζ ε ζε

11 λ λ 1 λ 1.λ

⇔ ⋅ = − ⇔ = − =

Οπότε η εξίσωση της ( )ζ είναι:

( ) ( )y 4 1 x 2 y 4 x 2

y x 6.− − = ⋅ − ⇔ + = −

⇔ = −

β) Δεδομένου ότι ( ) ( )ζ ε⊥ , η προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία ( )ε θα είναι το ση-

μείο τομής Κ των δύο ευθειών, το οποίο θα βρεθεί από τη λύση του συστήματος των εξισώ-σεων των ( )ε και ( )ζ ,

Έχουμε: ( )( )

7 7x xε : x y 1 x x 6 1 2x 7 2 2ζ :y x 6 y x 6 y x 6 7 5y 6 y

2 2

⎧ ⎧ ⎧ ⎧= =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎧ + = + − = =⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨= − = − = −⎪⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − = −⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎩⎩⎩

Άρα 7 5Κ ,2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

– 15 –

GI_V_MATHP_2_18603 [παράγραφος 1.3] Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε AΔ 2AB 5AΓ= + και

AΕ 5AB 2AΓ= + . α) Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των AB και AΓ .

(Μονάδες 13) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα.

(Μονάδες 12) ΛΥΣΗ: α) Χρησιμοποιώντας το σημείο Α ως σημείο αναφοράς έχουμε:

( )ΔΕ ΑΕ ΑΔ 5ΑΒ 2ΑΓ 2ΑΒ 5ΑΓ= − = + − + =

5ΑΒ 2ΑΓ 2ΑΒ 5ΑΓ 3ΑΒ 3ΑΓ= + − − = −

Άρα ΔΕ 3ΑΒ 3ΑΓ= −

β) Είναι: ( )ΔΕ 3ΑΒ 3ΑΓ 3 ΑΒ ΑΓ 3ΓΒ 3ΒΓ ΔΕ / /ΒΓ.= − = − = = − ⇔

– 16 –


Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και E , Z σημεία τέτοια ώστε: 2AE AΔ5

= , 2AΖ AΓ7

= .

α) Να γράψετε τα διανύσματα EZ και ZB ως γραμμικό συνδυασμό των AB και AΔ . (Μονάδες 13)

β) Να αποδείξτε ότι τα σημεία B , Z και E είναι συνευθειακά. (Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ:

α) Θεωρώντας ως σημείο αναφοράς το A έχουμε:

( )2 2 2 2EZ AZ AE AΓ AΔ AB AΔ AΔ7 5 7 5

= − = − = + − =

2 2 2 2 4 2 2AB AΔ AΔ AB AΔ AB AΔ7 7 5 7 35 7 5

⎛ ⎞+ − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Δηλαδή ( )2 2EZ AB AΔ 17 5⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

και

( )2 2 2 2ZB AB AZ AB AΓ AB AB AΔ AB AB AΔ7 7 7 7

= − = − = − + = − − =

5 2 5 2AB AΔ AB AΔ7 7 7 5

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Δηλαδή ( )5 2ZB AB AΔ 27 5⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

β) Από τις σχέσεις ( )1 και ( )2 έχουμε: ( )15 2 5 2 2 5ZB AB AΔ AB AΔ EZ

7 5 2 7 5 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5ZB EZ ZB / /EZ2

= ⇔

και αφού η αρχή του ενός διανύσματος είναι το πέρας του άλλου, τα δύο διανύσματα έχουν κοινό φορέα, που σημαίνει ότι τα σημεία B , Z και E είναι συνευθειακά.

– 17 –

GI_V_MATHP_2_18605 [παράγραφος 1.4] Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ 2i 4 j= + , OB 3i j= + και ΟΓ 5i 5j= − , όπου i και j είναι τα

μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x x′ και y y′ αντίστοιχα.

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των AB και BΓ . (Μονάδες 12)

β) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α , B και Γ μπορεί να είναι κορυφές τριγώνου. (Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ: α) Έχουμε ότι: ( ) ( ) ( )OA 2,4 ,OB 3,1 ,OΓ 5, 5= = = −

Οπότε: ( ) ( ) ( )AB OB OA 3,1 2,4 1, 3= − = − = −

και ( ) ( ) ( )BΓ OΓ OB 5, 5 3,1 2, 6= − = − − = −

β) Αρκεί τα διανύσματα AB,BΓ να μην είναι παράλληλα, ώστε τα Α,Β,Γ να μην είναι συγ-

γραμμικά. Οπότε αρκεί: ( )det AB,BΓ 0≠ .

Όμως ( ) ( ) ( )1 3

det AB,BΓ 1 6 2 3 6 6 02 6

−= = ⋅ − − ⋅ − = − + =

−

ΑΛΛΗ ΛΥΣΗ: α) Γνωρίζουμε ότι ( )i 1,0= και ( )j 0,1= . Οπότε για τα AB και BΓ χρησιμοποιώντας το σημείο

O ως σημείο αναφοράς έχουμε:

( )ΑΒ ΟΒ ΟΑ 3i j 2i 4 j 3i j 2i 4 j i 3 j= − = + − + = + − − = −

Άρα: ( )ΑΒ i 3 j ΑΒ 1, 3= − ⇔ = − .

Όμοια: ( )ΒΓ ΟΓ ΟΒ 5i 5 j 3i j 5i 5 j 3i j 2i 6 j= − = − − + = − − − = −

Άρα: ( )ΒΓ 2i 6 j ΒΓ 2, 6= − ⇔ = − .

β) Παρατηρούμε ότι: ( ) ( )ΒΓ 2, 6 2 1, 3 2ΑΒ ΒΓ / /ΑΒ,= − = ⋅ − = ⇔ οπότε τα σημεία Α,Β και Γ

είναι συνευθειακά, κατά συνέπεια δεν αποτελούν κορυφές τριγώνου. Συνεπώς τα σημεία Α,Β και Γ είναι συνευθειακά, οπότε δεν μπορούν να σχηματίζουν τρί-

γωνο.

– 18 –

GI_V_MATHP_2_20050

Δίνονται τα διανύσματα ( )α 1,7= και ( )β 2,4=

α) Να βρεθεί η προβολή του α πάνω στο β (Μονάδες 10)

β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να

είναι παράλληλη στο β (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ: α) Ο τύπος για την προβολή διανύσματος σε διάνυσμα είναι:

( )βα β β προβ α 1⋅ = ⋅ .

Ισχύει ότι: β βπροβ α / /β προβ α κ β, κ⇔ = ⋅ ∈

Άρα ( )βπροβ α κ β 2κ, 4κ= ⋅ =

Έτσι από την ( )1 έχουμε:

( )( ) ( )( )βα β β προβ α 1,7 2,4 2,4 2κ, 4κ⋅ = ⋅ ⇔ =

31 2 4 7 2 2κ 4 4κ 30 20κ κ2

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇔ = ⇔ =⇔

Επομένως ( )βπροβ α 3,6= .

β) Θέλουμε να αναλύσουμε το α σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να είναι παράλ-

ληλη στο β .

Δηλαδή ( )α u v 2= +

Όπως φαίνεται από το σχήμα η συνιστώσα u είναι η η

προβολή του α πάνω στο β ,

δηλαδή ( )βu προβ α 3,6= =

Άρα από τη σχέση ( )2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,7 v 3,6 v 1,7 3,6 2,1= + ⇔ = − = −

Επομένως ( ) ( ) ( )α 2,1 3,6 1, 7= − + = .

– 19 –

GI_V_MATHP_2_20052

Δίνονται τα διανύσματα α,β με α 1= , ( )α 2β ·β 7+ = και α·β 1= − .

α) Να υπολογίσετε τα 2α και β

(Μονάδες 6)

β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος α 2β+ .

(Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε την προβολή του α 2β+ στο διάνυσμα β .

(Μονάδες 10) ΛΥΣΗ:

α) Είναι: 22α α 1= = και

( ) 2 2α 2β ·β 7 α·β 2β 7 1 2 β 7+ = ⇔ + = ⇔ − + = ⇔

2β 4 β 2= ⇔ =

β) Είναι ( )22 2 2α 2β α 2β α 4α·β 4β 1 4 16 13+ = + = + + = − + =

Έτσι α 2β 13+ =

γ) Ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( )β ββ·πρoβ α 2β α 2β ·β β·πρoβ α 2β 7 1+ = + ⇔ + =

Όμως ( ) ( ) ( )β βπρoβ α 2β / /β πρoβ α 2β λβ,λ R 2+ ⇔ + = ∈

( )

( )22 71 λβ 7 4λ 7 λ

4⇒ = ⇒ = ⇔ =

Από τη ( ) ( )β

72 πρoβ α 2β β4

⇒ + =

– 20 –

GI_V_MATHP_2_20053

Δίνονται τα διανύσματα α,β→ →

με β 2 α 4 και α β 8→ → → →

= = ⋅ = − .

α) Να υπολογίσετε την γωνία α,β→ →⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

(Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι β 2α 0→ →

+ =


α) Είναι: α β 8 8συν α,β 1.2 4 8α β

→ →→ →

→ →

⎛ ⎞ ⋅ − −= = = = −⎜ ⎟

⋅⎝ ⎠ ⋅ Επομένως 0α,β 180

→ →⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠.

β) Αφού 0α,β 180→ →⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

θα είναι: α,β→ →

αντίρροπα, οπότε λόγω της υπόθεσης β 2 α→ →

=

θα είναι β 2α β 2α 0 .→ → → →

= − ⇔ + =

– 21 –

GI_V_MATHP_2_20054 Θεωρούμε τα σημεία P,Λ,K και M του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση

5PΛ 2PK 3PM= + . α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία K,Λ και M είναι συνευθειακά.

(Μονάδες 10) β) Για τα παραπάνω σημεία K,Λ και M να δείξετε ότι ισχύει:

2AΛ 3BΛ 2MB AK AM BK+ + = + + όπου A και B είναι σημεία του επιπέδου.


α) Ισχύει: 5PΛ 2PK 3PM 2PΛ 3PΛ 2PK 3PM= + ⇔ + = +

( ) ( )2PΛ 2PK 3PM 3PΛ 2 PΛ PK 3 PM PΛ⇔ − = − ⇔ − = −

32KΛ 3ΛM KΛ ΛM2

⇔ = ⇔ =

Επομένως KΛ / /ΛM . Επιπλέον έχουν ένα κοινό σημείο το Λ . Άρα τα σημεία K,Λ και M είναι συνευθειακά.

β) Αν P σημείο αναφοράς τότε

( )2AΛ 3BΛ 2MB AK AM BK 1+ + = + +

( ) ( ) ( )2 PΛ PA 3 PΛ PB 2 PB PM PK PA PM PA PK PB⇔ − + − + − = − + − + −

2PΛ 2PA 3PΛ 3PB 2PB 2PM PK PA PM PA PK PB 0⇔ − + − + − − + − + − + =

5PΛ 3PM 2PK 0⇔ − − =

5PΛ 3PM 2PK⇔ = + που ισχύει.

Επομένως ισχύει και η αρχική σχέση ( )1 .

– 22 –

GI_V_MATHP_2_20055 Θεωρούμε τα σημεία ( ) ( ) ( )Α α 1,3 ,Β α, 4 και Γ 4,5α 4 , α+ − + ∈ .

α) Να βρείτε τα διανύσματα ΑΒ,ΒΓ .

(Μονάδες 8) β) Να βρείτε για ποια τιμή του α , τα Α , Β , Γ είναι συνευθειακά.

(Μονάδες 10)

γ) Αν α 1= , να βρείτε αριθμό λ ώστε: ΑΓ λΑΒ= . (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ:

α) ( ) ( ) ( )B A B AΑΒ x x , y y α α 1,4 3 1,1= − − = − − − = − και

( ) ( ) ( )Γ Β Γ ΒΒΓ x x , y y 4 α,5α 4 4 4 α,5α= − − = − − + − = − − .

β) Τα Α , Β , Γ είναι συνευθειακά αν και μόνο αν

( ) ( )1 1

ΑΒ / /ΒΓ det ΑΒ,ΒΓ 0 0 5α 4 α 04 α 5α−

⇔ = ⇔ = ⇔ − − − − =− −

4α 4 0 α 1⇔ − + = ⇔ = .

γ) Για α 1= είναι ( )Α 2,3 , ( )Β 1, 4 και ( )Γ 4,9−

Άρα ( ) ( ) ( )Γ Α Γ ΑΑΓ x x , y y 4 2,9 3 6,6= − − = − − − = − .

Έτσι έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( )6 λ

ΑΓ λΑΒ 6,6 λ 1,1 6,6 λ,λ λ 66 λ

− = −⎧= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ ⇔ =⎨ =⎩

.

– 23 –

GI_V_MATHP_2_20056

Έστω α,β→ →

δύο διανύσματα με 5πα 2, β 2 , α,β και u α 2β .6

→ → → → → → →⎛ ⎞= = = = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

α) Να υπολογίσετε τα γινόμενα α β→ →

⋅ και β u .→ →

⋅

(Μονάδες 16)

β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u→

(Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ: α) Είναι:

5π 6π πα β α β συν α,β 2 2συν 2 2συν6 6

π π2 2συν π 2 2συν 26 6

→ → → → → →⎛ ⎞ −⎛ ⎞⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⋅ − = − ⋅ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

322

⋅ ⋅ 6= −

Επομένως: α β 6 .→ →

⋅ = −

Επίσης: ( )2 2

β u β α 2β β α 2 β 6 2 2 4 6→ → → → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅ + = ⋅ + = − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Επομένως: β u 4 6→ →

⋅ = −

β) Κατά τα γνωστά έχουμε:

( )

2 2 2 2 2 2 2

22

u α 2β α 2β α 2α 2β 2β α 4α β 4 β

2 4( 6) 2 4 4 6 2 6 4 6

→ → → → → → → → → → →→ →⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = + ⋅ + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + − + = − + = −

Επομένως: u 6 4 6 .→

= −

– 24 –

GΙ_V_MATHP_2_20057

Δίνονται τα διανύσματα ( ) πα,β με α 1, β 2, α,β3

= = = . Να υπολογίσετε τα εξής:

α) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α , β και κατόπιν την τιμή της παράστασης

( )2α α 2β+

(Μονάδες 10)

β) το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων α 2β− και β 2α+

(Μονάδες 15) ΛΥΣΗ: α) Είναι:

( ) 1αβ α β συν α,β 1 2 12

= = ⋅ ⋅ =

Ακόμα

( ) ( )22α α 2β α 2 αβ 1 2 1 3+ = + = + ⋅ =

β) Υπολογίζουμε πρώτα τα: ( )( )α 2β β 2α− + , α 2β− , β 2α+ .

Είναι:

( )( ) 2 2α 2β β 2α αβ 2 α 2 β 4αβ 3 1 2 1 2 4 9− + = + − − = − ⋅ + ⋅ − ⋅ = −

( )22 2 2

α 2β α 2β α 4αβ 4 β 1 4 1 4 4 13− = − = − + = − ⋅ + ⋅ = . Άρα α 2β 13− =

( )22 22

β 2α β 2α β 4αβ 4 α 4 4 1 4 1 12+ = + = + + = + ⋅ + ⋅ = . Άρα β 2α 12+ =

Επομένως

( ) ( )( )α 2β β 2α 9 9 13 3 3 39συν α 2β,β 2α13 3 2 2613 12α 2β β 2α

− + − − ⋅− + = = = = −

⋅ ⋅⋅− +

– 25 –

GI_V_MATHP_2_20058

Δίνονται τα διανύσματα ( ) ( )α 1, 3 , β 3,3= − = . Να υπολογίσετε

α) τη γωνία ( )α,β

(Μονάδες 10)

β) το διάνυσμα ( )22u α β α·β α= − .


α) Υπολογίζουμε α·β 1· 3 3 3 2 3= − + = ,

α 1 3 2= + = και β 3 9 12 2 3= + = =

επομένως

( ) α·β 2 3 1συν α,β22·2 3α β

= = = άρα η γωνία είναι o60 .

β) Ισχύει: 22 2α α 2 4= = = και ( ) ( )22 2

α·β α·β 2 3 12= = =

άρα

( ) ( ) ( )u 4β 12α 4 3,3 12 1, 3 4 3 12,12 12 3= − = − − = + − .

– 26 –

GI_V_MATHP_2_20059

Δίνονται τα διανύσματα ( ) 1α 1,3 , β 2,2

⎛ ⎞= − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u α 2β= − .

(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε το θετικό αριθμό x για τον οποία τα διανύσματα u και 2v (x , x 1)= − είναι

κάθετα. (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ:

α) Έχουμε ( ) ( ) ( ) ( )1u 1,3 2 2, 1,3 4,1 3,42

⎛ ⎞= − − − − = − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

β) Ισχύει ( )2 2u v u·v 0 3x 4 x 1 0 3x 4x 4 0⊥ ⇔ = ⇔ + − = ⇔ + − = .

Το τριώνυμο έχει Δ 64= και ρίζες 2x 2 0, x 03

= − < = > από τις οποίες δεκτή είναι η 2x3

= .

– 27 –

GI_V_MATHP_2_20060

Δίνονται τα διανύσματα ( )α 1, 1= − και ( )β 3,0= .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος 1u 4α β3

= −

(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης2

u5

και διέρχεται

από το σημείο ( )A 1,α β 2⋅ +

Μονάδες 15) ΛΥΣΗ:

α) Είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1u 4α β 4 1, 1 3,0 4, 4 1,0 3, 43 3

= − = ⋅ − − ⋅ = − − = −

β) Είναι: ( )22u 3 4 9 16 25 5= + − = + = =

Άρα

22 2uu 5 55 5 5= = =

Ακόμη ( ) ( )α β 1, 1 3,0 1 3 1 0 3 0 3⋅ = − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − = ,

Συνεπώς ( )A 1,5

Επομένως η ευθεία που αναζητούμε περνάει από το σημείο ( )A 1,5 και έχει συντελεστή

διεύθυνσης λ 5= .

Εφαρμόζουμε τον τύπο ( )0 0ε : y y λ x x− = −

Έτσι ( )ε : y 5 5 x 1 y 5 5x 5− = ⋅ − ⇔ − = −

Δηλαδή ε : y 5x=

– 28 –

GI_V_MATHP_2_20061 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία ( ) ( )Α 1,1 , Γ 4,3 και ( )Δ 2,3 .

α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ . (Μονάδες 9)

β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ , καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β .


α) Είναι ( ) ( )AΔ 2 1,3 1 1,2= − − = και ( ) ( )ΔΓ 4 2,3 3 2,0= − − =

Έτσι ( ) ( ) 2 2BΓ AΔ AΔ 1 2 5= = = + = και ( ) ( ) 2 2AB ΔΓ ΔΓ 2 0 4 2= = = + = =

β) Το σημείο Κ είναι μέσο του AΓ , επομένως οι συντεταγμένες του σημείου είναι:

A Γ A Γx x y yK ,2 2+ +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

, άρα 1 4 1 3 5K , K ,22 2 2+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Έστω ( )B x, y , άρα ( )AB x 1, y 1= − −

Είναι

( ) ( )AB ΔΓ x 1, y 1 2,0 x 1 2= ⇔ − − = ⇔ − = x 1 2⇔ − = και y 1 0− = x 3⇔ = και y 1=

Επομένως ( )B 3,1

– 29 –

GI_V_MATHP_2_20062 Δίνονται τα σημεία ( ) ( )A 1, 2 , B 2,3− .

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα A,B .

(Μονάδες 11) β) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου OKΛ , όπου O είναι η αρχή των αξόνων και K,Λ

είναι τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες x x, y y′ ′ αντίστοιχα.

(Μονάδες 14) ΛΥΣΗ: α) Αφού A Bx x≠ , ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για το AB και είναι ίσος με

( )3 2λ 5

2 1− −

= =−

.

Η ευθεία διέρχεται από το B άρα θα έχει εξίσωση: ( )(ε) : y 3 5 x 2 y 5x 7− = − ⇔ = −

β) Για x 0= έχουμε y 7= − και για y 0= έχουμε 7x5

= άρα 7K ,05

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

και ( )Λ 0, 7− .

To εμβαδόν επομένως είναι ( ) 1 7 49OKΛ 7 τ.μ.2 5 10

= ⋅ ⋅ =

– 30 –

GI_V_MATHP_2_20063 Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα AB με μέσο M και ( ) ( )A 1, 2 , M 2,5− − .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου B . (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου ε του AB καθώς και τα κοινά της σημεία με τους άξονες.


α) Αν ( )B x, y τότε ισχύουν

x 1 2 x 1 4 x 52y 2 y 2 10 y 125

2

+⎧ = −⎪ + = − = −⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− − = =⎩ ⎩⎪ =⎪⎩

άρα ( )B 5,12− .

β) Για το AB ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης AB12 ( 2) 7λ

5 1 3− −

= = −− −

άρα η κάθετη θα έχει

3λ7

= και αφού διέρχεται από το M θα έχει εξίσωση ( )3 3 41( ) : y 5 x 2 y x7 7 7

− = + ⇔ = +ε .

Για x 0= έχουμε 41y7

= και για y 0= έχουμε 41x3

= − άρα 41C 0,7

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

και 41D ,03

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

– 31 –

GI_V_MATHP_2_20065 Δίνεται η ευθεία ε : x y 2 0+ + = και το σημείο ( )Α 5,1 .

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας 1η , η οποία διέρχεται από το Α και είναι κάθετη

προς την ευθεία ε . (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας 2η , η οποία διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη

προς τον άξονα x x′ . (Μονάδες 7)

γ) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών 1η και 2η και την απόστασή του από την αρχή

των αξόνων. (Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ: α) Επειδή ελ 1= − και 1η ε⊥ , η ευθεία 1η έχει συντελεστή διεύθυνσης 1λ 1= και επειδή διέρχε-

ται από το σημείο A έχει εξίσωση:

( )1η : y 1 1 x 5 y x 4− = − ⇔ = −

β) Επειδή η ευθεία 2η είναι παράλληλη προς τον άξονα x x′ έχει συντελεστή διεύθυνσης 2λ 0=

και επειδή διέρχεται από το σημείο A έχει εξίσωση:

2 Aη : y y y 1= ⇔ = .

γ) Επειδή και η 1η και η 2η διέρχονται από το A προφανώς το σημείο τομής τους είναι το

( )A 5,1 . Η απόσταση του A από την αρχή των αξόνων είναι: ( ) 2 2OA 5 1 26= + = .

– 32 –

GI_V_MATHP_2_20066 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία ( )Α 3,1 , ( )Β 1,1− και ( )Γ 2, 4 .

α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ . (Μονάδες 7)

β) Να βρείτε τις εξισώσεις του ύψους ΒΔ και της διαμέσου ΑΜ . (Μονάδες 18)

ΛΥΣΗ:

α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΓ είναι ΑΓ4 1λ 32 3−

= = −−

, οπότε

( ) ( )A ΑΒ AΑΓ : y y λ x x y 1 3 x 3 y 1 3x 9 y 3x 10− = − ⇔ − = − − ⇔ − = − + ⇔ = − + .

β) Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το ύψος ΒΔ είναι κάθετη στην ΑΓ και διέρχεται από το

σημείο Β , οπότε BΔ ΑΓ ΒΔ1λ λ 1 λ3

⋅ = − ⇔ = και

( ) ( )Β ΒΔ Β

1 1 4ΒΔ : y y λ x x y 1 x 1 y x x 3y 4 03 3 3

− = − ⇔ − = + ⇔ = + ⇔ − + = .

Το μέσο Μ της ΒΓ έχει συντεταγμένες: M1 2 1x2 2

− += = και M

1 4 5y2 2+

= =

δηλαδή 1 5M ,2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΜ είναι ΑM

5 1 32λ 1 532

−= = −

−, οπότε

( ) ( )A ΑM A3ΑM : y y λ x x y 1 x 3 5y 5 3x 9 3x 5y 145

− = − ⇔ − = − − ⇔ − = − + ⇔ + =

– 33 –

GI_V_MATHP_2_20068

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ( )Α 5, 4− , ( )Β 1,6− , ( )Γ 4,1 και σημείο Μ της πλευράς ΑΒ για το

οποίο ισχύει 1AM AB4

= .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος AB . (Μονάδες 6)

β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ . (Μονάδες 9)

γ) Αν το σημείο Μ έχει συντεταγμένες 94,2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

, να υπολογίσετε την εξίσωση της ευθείας που

διέρχεται από τα σημεία Γ ,Μ .


α) Είναι: ( ) ( )( ) ( )B A B AAB x x , y y 1 5 ,6 4 4,2= − − = − − − − = .

β) Έστω ( )M MM x , y . Τότε έχουμε

( ) ( )M A M A M MAM x x , y y x 5, y 4= − − = + −

Άρα ( ) ( ) ( )M M M M1 1 1AM AB x 5, y 4 4,2 x 5, y 4 1,4 4 2

⎛ ⎞= ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

M M

M M

x 5 1 x 41 9y 4 y2 2

+ = = −⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨

− = =⎪ ⎪⎩ ⎩

. Άρα 9M 4,2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

γ) Επειδή M Γx x= για την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Μ ,Γ δεν ορίζεται συντελεστής

διεύθυνσης, η ευθεία αυτή είναι κατακόρυφη με εξίσωση ΜΓ : x 4= .

– 34 –

GI_V_MATHP_2_20069

Δίνονται τα διανύσματα ( )α 2, 3= − και 1β 1,2

= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

α) Να βρείτε την προβολή του α πάνω στο β .

(Μονάδες 10)

β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλλη-

λη με το β .


α) Η προβολή του διανύσματος α πάνω στο β είναι παράλληλη στο β , άρα ισχύει

( )β βπροβ α β προβ α λ β 1⇔ = ⋅

Επίσης ισχύει: ( ) 2

βα β β προβ α α β β λ β α β λ β⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ .

2 22

1 12 1 3α β 22 2λ λ5 51β 1 42

⋅ − ⋅⋅⇔ = = = ⇔ =

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Άρα β

2 1 2 1προβ α λ β 1, ,5 2 5 5⎛= ⋅ = ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⋅ .

β) Έστω x, y οι δύο ζητούμενες συνιστώσες του α .

Οπότε ισχύει α x y= + , x y⊥ και x β .

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι β

2 1x προβ α ,5 5

= = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

και ( ) 2 1 8 16y α x 2, 3 , ,5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

– 35 –

GI_V_MATHP_2_20070

Έστω α και β δύο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν

3 α β 9+ = , 2 α β 1− = και πα,β3

→ →⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠.

α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων α και β και το εσωτερικό γινόμενο α β⋅ .

(Μονάδες 12)

β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u 2α 3β= − .


α) Έστω ( )3 α β 9 1+ = και ( )2 α β 1 2− = οι δοθείσες σχέσεις. Προσθέτοντας κατά μέλη

έχουμε: 5 α 10 α 2= ⇔ = και από την ( )1 για α 2= βρίσκουμε β 3= .

Επιπλέον από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε:

πα β α β συν 1α,β α β 2 3 32

συν3

→ →⎛ ⎞⋅ = == ⋅ ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

β) Αρχικά θα υπολογίσουμε το τετράγωνο του μέτρου για το διάνυσμα u . Έχουμε:

( )

2 2

22

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

u 2α 3β u 2α 3β

u 2α 3β

u 2α 3β

u 4α 12αβ 9β

u 4 α 12αβ 9 β

u 4 2 12 3 9 3

u 61

u 61

= − ⇒ = − ⇒

= − ⇒

= − ⇒

= − + ⇒

= − + ⇒

= ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒

= ⇒

=

– 36 –

GI_V_MATHP_2_20071 Θεωρούμε τα σημεία ( )Α 1 2α, 4α 2+ − και ( )Β 5α 1, α , α+ − ∈ .

α) Να γράψετε το AB συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε AB 10= .

(Μονάδες 12) β) Έστω α 2= . Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x′ ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισο-

σκελές με βάση την ΑΒ . (Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ:

α) Είναι ( ) ( )AB 5α 1 1 2α, α 4α 2 3α, 2 5α= + − − − − + = − και

( ) ( )2 2 2 2AB 10 3α 2 5α 10 9α 4 20α 25α 100= ⇔ + − = ⇔ + − + = ⇔

2 234α 20α 96 0 17α 10α 48 0⇔ − − = ⇔ − − =

Η τελευταία εξίσωση έχει λύσεις α 2= , 24α17

= − ∉ . Άρα α 2= .

β) Για α 2= έχουμε ( )Α 5,6 και ( )Β 11, 2− . Έστω ( )Μ x,0 ώστε ΜΑ ΜΒ= .

Οπότε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2MA MB x 5 6 x 11 2= ⇔ − + − = − + ⇔

2 2 16x 10x 25 36 x 22x 125 12x 64 x

3⇔ − + + = − + ⇔ = ⇔ = ,

άρα 16Μ ,03

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

– 37 –

GI_V_MATHP_2_20072 Θεωρούμε μια ευθεία ( )ε και ένα σημείο ( )Α 6, 1− εκτός της ( )ε .

Έστω ( )Μ 2,1 η προβολή του Α στην ( )ε . Να βρείτε:

α) Την εξίσωση της ευθείας ( )ε .

(Μονάδες 13)

β) Το συμμετρικό του Α ως προς την ( )ε .


α) Επειδή ( )ΑΜ

1 1 1λ2 6 2− −

= = −−

και ( )ΑΜ ε⊥ είναι ε ΑΜ ελ λ 1 λ 2⋅ = − ⇔ = .

Άρα ( ) ( ) ( )M ε Mε : y y λ x x y 1 2 x 2 y 2x 3− = − ⇔ − = − ⇔ = −

β) Έστω ( )B BB x , y το συμμετρικό του Α ως προς την ( )ε .

Τότε ισχύει

BB

6 x 2 x 22+

= ⇔ = − και BB

1 y 1 y 32

− += ⇔ = .

Άρα ( )B 2,3− .

– 38 –

GI_V_MATHP_2_20073 Δίνονται τα σημεία ( )A 2,3 , ( )B 1,5− και ( )Γ 2, 4− − .

α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο. (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε το συμμετρικό Δ του Β ως προς το μέσο Μ της ΑΓ . (Μονάδες 10)

γ) Τι σχήμα είναι το ΑΒΓΔ ; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας. (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ:

α) Επειδή ΑΓ4 3 7λ2 2 4− −

= =− −

και ΑB5 3 2λ1 2 3−

= = −− −

, οι ΑΒ , ΑΓ δεν είναι παράλληλες, άρα τα

σημεία Α ,Β ,Γ δεν είναι συνευθειακά και σχηματίζουν τρίγωνο.

Αλλιώς: ( )det AB,AΓ 0≠ .

β) Το μέσο Μ της ΑΓ έχει συντεταγμένες: M2 2x 0

2−

= = και M3 4 1y

2 2−

= = − δηλαδή

1M 0,2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

. Έστω ( )Δ ΔΔ x , y το συμμετρικό του Β ως προς το μέσο Μ της ΑΓ .

Τότε ισχύει

ΔM Δ

1 x x x 12

− += ⇔ = και Δ Δ

Μ Δ5 y 5 y 1y y 6

2 2 2+ +

= ⇔ = − ⇔ = − .

Άρα ( )Δ 1, 6− .

γ) Το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιοί του ΑΓ και ΒΔ έχουν κοινό μέσο το Μ , δηλαδή διχοτομούνται.

– 39 –

GI_V_MATHP_2_20140 Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία A(3, 2), B( 3,1),Γ(4,0)−

α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς AB (Μονάδες 9)

β) Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους ΓΔ , καθώς και την εξίσωση της ευθείας πάνω στην

οποία βρίσκεται αυτό. (Μονάδες 16)

ΛΥΣΗ:

α) 1 2 1 1 3(AB) : y-2= (x 3) y 2 (x 3) y x3 3 6 6 2−

− ⇔ − = − ⇔ = +− −

β) Η AB έχει συντελεστή AB1λ6

= , επομένως η ΓΔ ως κάθετη στην AB

θα έχει συντελεστή ΓΔλ 6= − και αφού διέρχεται από το Γ θα έχει εξίσωση :

y 0 6(x 4) y 6x 24− = − − ⇔ = − +

Το μήκος του ύψους ΓΔ είναι ίσο με την απόσταση d(Γ,AB)

Είναι Γ(4,0)και (AB) : x 6y 9 0− + =

Επομένως 2 2

| 4 6·0 9 | 13 13 37(ΓΔ) d(Γ,AB)37371 6

− += = = =

+

Σχόλιο: Είναι η GI_V_MATHP_2_20067, που αποσύρθηκε, με διορθωμένη εκφώνηση.

– 40 –

GI_V_MATHP_2_20148

Δίνονται τα διανύσματα α i 2 j= − , β 2i 5j= − και ( )γ 7,3=

α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α,β, γ είναι μη συγγραμμικά ανά δύο . (Μονάδες 10)

β) Να γραφεί το διάνυσμα γ ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων α και β . (Μονάδες 15) ΛΥΣΗ: α) Είναι ( )α 1, 2= − , ( )β 2, 5= − και ( )γ 7,3=

Επομένως έχουν συντελεστές διεύθυνσης :

α

2λ 21−

= = − , α

5 5λ2 2−

= = − και α

3λ7

= αντίστοιχα.

Αφού οι συντελεστές διεύθυνσης είναι ανά δύο διαφορετικοί, τότε τα διανύσματα είναι μη συγγραμμικά ανά δύο.

β) Θέλουμε να γράψουμε το διάνυσμα γ στη μορφή: γ κα μβ= + με κ,μ∈

Επομένως ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7,3 κ 1, 2 μ 2, 5 7,3 κ, 2κ 2μ, 5μ= − + − ⇔ = − + −

( ) ( )7,3 κ 2μ, 2κ 5μ⇔ = + − −

( )( )

2 2κ 4μ 14 1κ 2μ 72κ 5μ 3 2κ 5μ 3 2

⋅ + =⎧+ =⎧ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨− − = − − =⎩ ⎪⎩

Από τις σχέσεις (1 ) και (2 ) με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει μ 17= − και με αντικατά-σταση κ 41= , άρα γ 41α 17β= − .

– 41 –

GI_V_MATHP_2_18556

Δίνονται τα διανύσματα α και β με ( ) πα,β3

= και α 2= , β 2 2=

α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α β⋅

(Μονάδες 8)

β) Αν τα διανύσματα 2α β+ και κα β+ είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ.

(Μονάδες 10)

γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 2α β+


α) Είναι ( ) 2π 1α β α β συν α,β 2 2 2 συν 2 2 23 2

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

β) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22α β κα β 2α β κα β 0 2κα 2αβ καβ β 0+ ⊥ + ⇔ + ⋅ + = ⇔ + + + = ⇔

( )22 222κ α 2 2 κ 2 β 0 2κ 2 2 2 κ 2 2 2 0⇔ + ⋅ + ⋅ + = ⇔ + ⋅ + ⋅ + = ⇔

4κ 4 2κ 8 0 6κ 12 κ 2⇔ + + + = ⇔ = − ⇔ = − .

γ) Είναι

( ) ( ) ( )222 2 222 22α β 2α β 2α 2 2α β β 4 α 4αβ β 4 2 4 2 2 2+ = + = + ⋅ ⋅ + = + + = + ⋅ + =

4 2 4 2 4 2 24= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Τότε είναι 2α β 24 4 6 2 6+ = = ⋅ = ⋅

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού

Β΄ Γενικού Ημερησίου Λυκείου

4ο ΘΕΜΑ

Εκφωνήσεις ‐ Λύσεις

των

θεμάτων

Έκδοση 1η (19/11/2014)

– 2 –

Οι απαντήσεις και οι λύσεις

είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς

μελών του Δικτυακού Τόπου mathematica.gr με βάση υλικό που αναρτήθηκε στο mathematica

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46869

Συνεργάστηκαν οι:

Γιώργος Απόκης, Γιώργος Βισβίκης, Δημήτρης Ιωάννου Βασίλης Κακαβάς, Ηλίας Καμπελής, Σωτήρης Λουρίδας,

Στέλιος Μαρίνης, Θανάσης Μπεληγιάννης, Περικλής Παντούλας, Θανάσης Παπασταθόπουλος, Γιώργος Ρίζος, Μπάμπης Στεργίου,

Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης, Σωτήρης Χασάπης

Την αποδελτίωση και σελιδοποίηση έκαναν οι:

Περικλής Παντούλας, Γιώργος Ρίζος, Κώστας Τηλέγραφος

Το Δελτίο διατίθεται ελεύθερα

από το δικτυακό τόπο mathematica.gr

– 3 –

Θέματα 4ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου


Δίνονται τα διανύσματα ( )ΟA 4, 2= − και . ( )ΟB 1,2= ., όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων.

α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΟA και ΟΒ είναι κάθετα. (Μονάδες 4)

β) Αν ( )Γ α,β είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β , τότε:

i) να αποδείξετε ότι: ( )AB 3,4= − και ( )AΓ α 4,β 2= − + .

(Μονάδες 5) ii) να αποδείξετε ότι: 4α 3β 10+ = .

(Μονάδες 6)

iii) αν επιπλέον τα διανύσματα ΟΓ και AB είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ .

(Μονάδες 10) ΛΥΣΗ: α) Για να δείξουμε ότι τα διανύσματα είναι κάθετα, αρκεί να δείξουμε ότι το εσωτερικό τους γι-

νόμενο είναι μηδέν. Όντως έχουμε από την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου:

( ) ( ) ( )ΟA ΟB 4, 2 1,2 4 1 2 2 0⋅ = − ⋅ = ⋅ + − ⋅ = , άρα ΟA ΟB⊥ .

βi) Αφού τα ΟA,ΟB είναι οι διανυσματικές ακτίνες των Α, Β , είναι ( ) ( )Α 4, 2 , Β 1, 2− ,

οπότε

( ) ( )( ) ( )B A B AΑΒ x x , y y 1 4, 2 2 3, 4= − − = − − − = −

και

( ) ( )( ) ( )Γ A Γ AΑΓ x x , y y α 4, β 2 α 4, β 2= − − = − − − = − +

ii) Αφού το Γ είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β , τα σημεία

Α, Β, Γ είναι συνευθειακά και συνεπώς τα διανύσματα AB και AΓ έχουν κοινό φορέα, οπό-

τε η ορίζουσά τους είναι μηδέν. Είναι:

( ) ( ) ( )3 4

det AB, AΓ 0 0 3 β 2 4 α 4 0α 4 β 2−

= ⇔ = ⇔ − + − − =− +

3β 6 4α 16 0 4α 3β 10⇔ − − − + = ⇔ + =

– 4 –

ΑΛΛΗ ΛΥΣΗ:

Είναι ΑΒ4λ3

= − , οπότε η ευθεία που διέρχεται από τα Α, Β έχει εξίσωση

( )4y 2 x 1 3y 6 4x 4 4x 3y 103

− = − − ⇔ − = − + ⇔ + = .

Αφού το Γ ανήκει στην ευθεία, οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της, άρα εί-ναι 4α 3β 10+ = .

iii) H διανυσματική ακτίνα του Γ είναι ( )ΟΓ α, β= , οπότε, αφού ΟΓ ΑΒ⊥ , το εσωτερικό τους

γινόμενο θα είναι μηδέν.

Οπότε ( ) ( )ΟΓ ΑΒ 0 α,β 3,4 0 3α 4β 0⋅ = ⇔ ⋅ − = ⇔ − + =

Λύνουμε το σύστημα 34

4α 3β 10 12α 9β 303α 4β 0 12α 16β 0

⋅⋅

+ = + =⎧ ⎧⎯⎯→⎨ ⎨− + = − + =⎩ ⎩

οπότε, προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε 625β 30 β5

= ⇔ =

Άρα 18 32 84α 10 4α α5 5 5

= − ⇔ = ⇔ =

– 5 –


Σε τρίγωνο ABΓ είναι ( )AB λ,λ 1= + , ( )AΓ 3λ,λ 1= − , όπου λ 0≠ και λ 2≠ − , και M είναι

το μέσο της πλευράς BΓ .

α) Να αποδείξετε ότι ( )AM 2λ,λ= .

(Μονάδες 7 )

β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα AM είναι κάθετο στο διάνυσμα 2α , λλ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

(Μονάδες 8 ) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώ-

νου ABΓ . (Μονάδες 10 )

ΛΥΣΗ: α) Αφού το σημείο Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ , η διανυσματική του ακτίνα, θεωρώντας

ως σημείο αναφοράς το Α , θα ισούται με το ημιάθροισμα των διανυσματικών ακτίνων των άκρων. Δηλαδή είναι:

( ) ( ) ( )1 1AM AB AΓ 4λ, 2λ 2λ,λ2 2

= + = =

β) Τα διανύσματα AM και α θέλουμε να είναι κάθετα, οπότε το εσωτερικό τους γινόμενο θα πρέπει να είναι μηδέν. Έχουμε λοιπόν:

( )λ 2

22AM α 0 2λ,λ , λ 0 4 λ 0 λ 2λ

≠−⎛ ⎞⋅ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠

γ) Για λ 2= έχουμε ( )AB 2,3= και ( )AΓ 6,1= .

Τότε:

( ) ( ) ( )2 31 1ABΓ det AB, AΓ ABΓ 86 12 2

= = ⇔ = τ.μ.

– 6 –

GI_V_MATHP_4_18610 [παράγραφος 2.2 ] Δίνονται οι ευθείες 1ε : 2x y 10λ 16 0− − + = και 2ε :10x y 2λ 4 0+ − − = , όπου λ∈ .

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ οι ευθείες 1ε και 2ε τέμνονται και

να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους M . (Μονάδες 7)

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ το σημείο M ανήκει στην ευθεία ε :8x y 6 0+ − = .

(Μονάδες 7) γ) Αν η ευθεία ε τέμνει τους άξονες x x′ και y y′ στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε:

i) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων

και είναι παράλληλη προς την ευθεία AB . (Μονάδες 5)

ii) αν Κ είναι τυχαίο σημείο της ευθείας ζ , να αποδείξετε ότι ( ) 9ΚΑΒ4

= .

(Μονάδες 6) ΛΥΣΗ: α) Για να δείξουμε ότι οι ευθείες 1ε και 2ε τέμνονται,αρκεί να λύσουμε το σύστημα των εξισώ-

σεών τους και να δείξουμε ότι έχει λύση για κάθε τιμή της παραμέτρου λ .

Έχουμε λοιπόν: 2x y 10λ 16 010x y 2λ 4 0

− − + =⎧⎨ + − − =⎩

.

Προσθέτοντας κατά μέλη είναι 12x 12λ 12 x λ 1= − ⇔ = − ,

οπότε, ( )y 2λ 4 10 λ 1 8λ 14= + − − = − + .

Αφού το σύστημά τους δεν είναι αδύνατο, οι ευθείες τέμνονται στο σημείο

( )Μ λ 1, 8λ 14 , λ− − + ∈

β) Έστω ( )Μ x, y , x, y∈ οι συντεταγμένες του σημείου ( )Μ λ 1, 8λ 14 , λ− − + ∈ .

Τότε είναι:

( )( )1x λ 1 8x 8λ 82y 8λ 14 y 8λ 14

= − = −⎧ ⎧⇔⎨ ⎨= − + = − +⎩ ⎩

Θα απαλείψουμε την παράμετρο λ , προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο εξισώσεις.

Οπότε ( ) ( )1 2+ ⇒ 8x y 6 0+ − = . Δηλαδή το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία

( )ε :8x y 6 0+ − = για κάθε λ∈ .

– 7 –

γi) H ευθεία ε τέμνει τον άξονα x x′ σε σημείο με τεταγμένη 0 , οπότε για y 0= έχουμε:

6 38x 0 6 x8 4

+ = ⇔ = = . Δηλαδή η ( )ε τέμνει τον άξονα x x′ στο σημείο 3Α , 04

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

H ( )ε τέμνει τον άξονα y y′ σε σημείο με τετμημένη 0 , οπότε είναι για x 0= :

8 0 y 6 y 6⋅ + = ⇔ = .

Δηλαδή η ( )ε τέμνει τον άξονα y y′ στο ( )Β 0, 6 .

Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης B AΑΒ

B A

y y 6 0 6λ 83 3x x 04 4

− −= = = − = −

− −. Η ζητούμενη

ευθεία ( )ζ είναι παράλληλη στην ΑΒ , οπότε έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Δηλαδή

( ) ζ ΑΒ ζζ / /ΑΒ λ λ λ 8⇔ = ⇔ = − . Επιπλέον η ( )ζ διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Συνε-

πώς η εξίσωση της ευθείας ( )ζ είναι:

ζy λ x y 8x= ⇔ = −

ii) Έστω ( ) ( )Κ x, y x, 8x , x= − ∈ τυχαίο σημείο της ( )ζ .

Τότε 3ΑΚ x , 8x4

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

και ( )ΒΚ x, 8x 6= − − και

( ) ( ) 2 23x 8x1 1 1 9 9ΚΑΒ det ΑΚ, ΒΚ 8x 6x 6x 8x4

2 2 2 2 4x 8x 6

− −= = = − + − + + =

− −

Σχόλιο: Το εμβαδόν είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του σημείου K , γιατί η ευθεία ζ στην ο-

ποία ανήκει το Κ είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ . Συνεπώς θεωρώντας ως βάση του τρι-γώνου ΚΑΒ την ΑΒ , για οποιοδήποτε σημείο Κ της ζ , το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση

είναι σταθερό και ίσο με την απόσταση των παράλληλων ευθειών.

– 8 –

GI_V_MATHP_4_18611 [παράγραφος 2.3] Δίνεται η ευθεία ε : x 4y 7 0− − = και τα σημεία ( )Α 2, 4− και ( )B 2,6 .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου M της ευθείας ε το οποίο ισαπέχει από τα σημεία A και B .

(Μονάδες 7) β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ .

(Μονάδες 8)

γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία ( )Κ x, y για τα οποία ισχύει ( ) ( )ΚΑΒ ΜΑΒ= ανήκουν

στις ευθείες με εξισώσεις τις: x 2y 5 0− − = και x 2y 25 0− + = .

(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ:

α) Η ( )ε γράφεται x 4y 7 0 x 4y 7.− − = ⇔ = +

Επειδή το σημείο M ανήκει στην ευθεία ε , οι συντεταγμένες του θα ικανοποιούν την εξίσω-ση της ε και συνεπώς θα είναι της μορφής ( )M 4α 7,α ,α+ ∈ και θα ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2MA MB 4α 9 α 4 4α 5 α 6= ⇔ + + − = + + − ⇔

2 2 2 216α 72α 81 α 8α 16 16α 40α 25 α 12α 36+ + + − + = + + + − + ⇔

36α 36 α 1= − ⇔ = − Άρα το σημείο M της ευθείας ε το οποίο ισαπέχει από τα σημεία A και B είναι το

( )M 3, 1− .

β) Έχουμε ( )AM 5, 5= − και ( )AB 4,2= , οπότε:

( ) ( ) 5 51 1MAB det MA, AB 15 τ.μ.4 22 2

−= = =

γ) Έχουμε τα σημεία ( )Α 2, 4− , ( )B 2,6 , ( )M 3, 1− και ( )Κ x, y . Τότε:

( ) ( )K A K AΑΚ x x , y y x 2, y 4= − − = + −

( ) ( )B A B AAB x x , y y 4,2= − − =

( )MAB 15= και

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1KAB det AK, AB 2 x 2 4 y 44 22 2 2

x 2 y 4= = = + − =

+ −−

1 12x 4 4y 16 2x 4y 20 x 2y 102 2

+ − + = − + = − +

Τότε από την ισότητα των εμβαδών έχουμε ( ) ( )ΚΑΒ ΜΑΒ x 2y 10 15− + == ⇔ Άρα τα σημεία Κ(x, y) ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις:

x 2y 5 0 και x 2y 25 0− − = − + =

– 9 –

GI_V_MATHP_4_18612 [παράγραφος 2.2] Δίνεται η εξίσωση: 2 2x 2xy y 6x 6y 8 0+ + − − + =

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει γεωμετρικά δύο ευθείες γραμμές 1ε και 2ε οι

οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους. (Μονάδες 7)

β) Αν 1ε : x y 2 0+ − = και 2ε : x y 4 0+ − = , να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ε

των 1ε και 2ε .

(Μονάδες 8) γ) Αν Α είναι σημείο της ευθείας 1ε με τεταγμένη το 2 και Β σημείο της ευθείας 2ε με

τετμημένη το 1, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων A και Β .

(Μονάδες 2) ii) να βρείτε τις συντεταγμένες δύο σημείων Γ και Δ της ευθείας ε έτσι, ώστε το τε-

τράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο. (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ:

α) Η εξίσωση γράφεται: ( ) ( )22 2x 2xy y 6x 6y 8 0 x y 6 x y 8 0+ + − − + = ⇒ + − + + = .

Θέτοντας x y ω+ = η εξίσωση μετασχηματίζεται στη δευτεροβάθμια 2ω 6ω 8 0− + = , η οποία

έχει διακρίνουσα Δ 4= και ρίζες ω 2

6 2ω ή2

ω 4

=⎧± ⎪= ⇒ ⎨

⎪ =⎩

. Οπότε x y 2 0

ήx y 4 0

+ − =⎧⎪⎨⎪ + − =⎩

, οι οποίες είναι οι

εξισώσεις δύο ευθειών. Παρατηρούμε ότι 1 2λ λ 1= = − .

Άρα η εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους.

β) Έχουμε ( )1ε : x y 2 0+ − = και ( )2ε : x y 4 0+ − = . Θα βρούμε δύο σημεία Η και Θ, ένα σε κα-

θεμία από τις δύο ευθείες. Για x 0= σε καθεμία από τις δύο ευθείες, έχουμε:

Το σημείο ( ) ( )1Η 0, 2 ε∈ και το ( ) ( )2Θ 0, 4 ε∈ .

Το μέσο Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΗΘ έχει συντεταγμένες ( )Η Θ Η Θx x y y, 0,32 2+ +⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Άρα η μεσοπαράλληλη των ( )1ε , ( )2ε διέρχεται από το M και έχει λ 1= − .

Άρα έχει εξίσωση:

( ) ( )M My y λ x x y 3 1 x 0 y 3 x x y 3 0− = − ⇔ − = − − ⇒ − = − ⇒ + − = .

– 10 –

γ)

i) Για y 2= στην ( )1ε : x y 2 0+ − = προκύπτει

x 0= , άρα ( )Α 0, 2 .

Για x 1= στην ( )2ε : x y 4 0+ − = προκύπτει

y 3= , άρα ( )B 1,3 .

ii) Η πλευρά ΑΔ θα σχηματίζει γωνία ο45 με την διαγώνιο ΑΒ , άρα ΑΔ / /x x′ , οπότε η εξίσωση

της είναι ( )ΑΔ : y 2= η οποία τέμνει την (ε)

στο σημείο ( )Δ 1, 2 . Όμοια ( )Γ 0,3 .

2η ΛΥΣΗ:

Αν 1 5Κ ,2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

το μέσον του ΑΒ . Ο κύκλος με κέντρο το 1 5Κ ,2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

και ακτίνα

2 2 21 5 1 2 2R ΑΚ 0 2 2

2 2 2 4 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − + − = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

τέμνει την ευθεία ( )ε στα σημεία

( )Γ 0,3 και ( )Δ 1, 2 .

– 11 –


Δίνεται η εξίσωση 2 2 2x y 2xy 3λx 3λy 2λ 0+ − − + + = , με λ διαφορετικό του 0 .

α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει στο επίπεδο, δύο ευθείες παράλλη-λες μεταξύ τους, καθεμιά από τις οποίες έχει κλίση ίση με 1.

(Μονάδες 12) β) Αν το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες

του ερωτήματος α) είναι ίσο με 2 , να βρείτε την τιμή του λ . (Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ: α) Η δοσμένη εξίσωση γίνεται:

( ) ( )22 2 2 2x y 2xy 3λx 3λy 2λ 0 x y 3λ x y 2λ 0+ − − + + = ⇔ − − − + = ⇔

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2x y λ x y 2λ x y 2λ 0 x y x y λ 2λ x y λ 0⇔ − − − − − + = ⇔ − − − − − − = ⇔

( )( )x y λ x y 2λ 0 x y λ 0⇔ − − − − = ⇔ − − = ή x y 2λ 0− − = ⇔

y x λ⇔ = − ή y x 2λ= − .

Άρα έχουμε δύο ευθείες την ε : y x λ= − και την ζ : y x 2λ= − , παράλληλες μεταξύ τους, με

συντελεστή διεύθυνσης (κλίση) ίσο με 1.

2η ΛΥΣΗ: Η εξίσωση γράφεται:

( ) ( )22 2 2 2x y 2xy 3λx 3λy 2λ 0 x y 3λ x y 2λ 0+ − − + + = ⇔ − − − + = .

Θέτοντας x y t− = η εξίσωση μετασχηματίζεται στη δευτεροβάθμια 2 2t 3λt 2λ 0− + = , η ο-

ποία έχει διακρίνουσα ( )2 2 2Δ 3λ 4 1 2λ λ 0= − − ⋅ ⋅ = > , αφού λ 0≠ .

Οπότε: ( )( )

( )( )

1

1,2

2

t λε : x y λ ε : x y λ 03λ λt ή

2 ζ : x y 2λ ζ : x y 2λ 0t 2λ

=⎧ − = − − =⎧ ⎧± ⎪ ⎪ ⎪= ⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨− = − − =⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎩=⎩

Αφού ε ζλ λ 1= = , έπεται ότι οι δύο ευθείες είναι παράλληλες.

β) Αφού οι ευθείες ( )ε και ( )ζ είναι παράλληλες, η πλευρά α του τετραγώνου θα είναι ίση με

την απόσταση μεταξύ των δύο παράλληλων ευθειών. Για την απόσταση των δύο ευθειών θα βρούμε ένα σημείο πάνω σε μία από τις δύο ευθείες καιι θα πάρουμε την απόστασή του από

την άλλη. Το σημείο ( )Α 0, λ− , που προέκυψε για x 0= στην ( )ε , είναι σημείο της ( )ε .

– 12 –

Άρα

( ) ( ) ( )0 λ 2λ λ λα d ε,ζ d A,ζ

2 2 2

− − − −= = = = = .

Αλλά 2

2 2τετρ

λΕ 2 α 2 2 λ 4 λ 22

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ή λ 2= − .

3η ΛΥΣΗ: α) Η πρώτη εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:

2 2 2x 2xy 3λx y 3λy 2λ 0− − + + + = ή ( )( )2x 2xy 3λx y λ y 2λ 0− − + + + = ή

( ) ( )( )2x y λ y 2λ x y λ y 2λ 0− + + + + + + = ή ( )( )x y λ x y 2λ 0− − − − = ή

[ ( )y x λ= − ή ( )y x 2λ= − ].

β) Η ευθεία y x,= − που είναι κάθετη στις δύο προηγούμενες παράλληλες ευθείες τις τέμνει στα

σημεία ( )λ λ, , λ, λ2 2

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

αντίστοιχα.

Επομένως ισχύει 2 2 2 2

2λ λ λ λλ λ 2 2 λ 4,2 2 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + = ⇔ + = ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

από όπου παίρνουμε

λ 2= ή λ 2.= − Παρατήρηση: Θα μπορούσε το (β) ερώτημα να ήταν: Αν η πλευρά ρόμβου, του οποίου δύο πλευρές είναι πάνω στις ευθείες του α) ερωτήματος εί-

ναι k , με k να είναι δεδομένου μέτρου ευθύγραμμο τμήμα, βρείτε τη τιμή του λ.

– 13 –

GI_V_MATHP_4_18614 [παράγραφος 2.3] Δίνονται οι ευθείες 1ε : 3x y 3 0+ + = και 2ε : x 2y 4 0+ − = .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών 1ε και 2ε .

(Μονάδες 5) β) Αν η ευθεία 1ε τέμνει τον άξονα y y′ στο σημείο Β και η ευθεία 2ε τέμνει τον άξονα

x x′ στο σημείο Γ , τότε: i) να βρείτε εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ .

(Μονάδες 5) ii) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ .

(Μονάδες 5)

γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία ( )Κ x, y για τα οποία ισχύει ( ) ( )ΚΒΓ ΑΒΓ= ανήκουν σε

δύο παράλληλες ευθείες, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις. (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ: α) Για το σημείο τομής A των δύο ευθειών, λύνουμε το σύστημα εξισώσεων των δύο ευθειών,

αφού το A ανήκει και στις δύο ευθείες. Έχουμε λοιπόν: 3x y 3 3x y 3 3x y 3 x 2x 2y 4 3x 6y 12 5y 15 y 3+ = − + = − + = − = −⎧ ⎧ ⎧ ⎧

⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ = − − = − − = − =⎩ ⎩ ⎩ ⎩

Επομένως το σημείο τομής των ευθειών 1ε και 2ε είναι ( )A 2,3− .

β) Το σημείο στο οποίο η 1ε τέμνει τον άξονα y y′ έχει τετμημένη μηδέν. Οπότε για x 0= στην

1ε βρίσκουμε y 3= − , οπότε ( )B 0, 3− . Επίσης, το σημείο στο οποί η 2ε τέμνει τον άξονα x x′

έχει τεταγμένη μηδέν. Οπότε για y 0= στην 2ε βρίσκουμε x 4= , δηλαδή ( )Γ 4,0 .

i) Η εξίσωση της ευθείας ΒΓ είναι:

( )Γ BB B

Γ B

y yy y x xx x

−− = − ⇔

−( ) ( )0 3 3y 3 x 0 y 3 x 3x 4y 12 0

4 0 4+

− − = − ⇔ + = ⇔ − − =−

ii) Επειδή ( ) ( )AB 2, 6 ,AΓ 6, 3= − = − , από τον τύπο εμβαδού τριγώνου με την ορίζουσα βρί-

σκουμε:

( ) 2 61 1 1E det AB, AΓ 30 156 32 2 2

−= = = ⋅ =

− τ.μ.

γ) Είναι ( ) ( )KB x, 3 y ,KΓ 4 x, y= − − − = − , οπότε:

( ) ( ) ( )1KBΓ det KB,KΓB 3Γ2

A 0= ⇔ = ⇔

– 14 –

x 3 y1 30 3x 4y 12 304 x y2− − −

= ⇔ − + + = ⇔−

( )3x 4y 12 30 ή 3x 4y 12 30− − = − − = − ⇔

3x 4y 42 0 ή 3x 4y 18 0− − = − + =

Οπότε τα σημεία ( )Κ x, y ανήκουν στις ευθείες

( )1ζ : 3x 4y 42 0− − = και ( )2ζ : 3x 4y 18 0− + =

οι οποίες είναι παράλληλες καθώς 1 2ζ ζ

3 3λ λ4 4

= = − =−

.

– 15 –

GI_V_MATHP_4_18615 [παράγραφος 2.3 ] Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που είναι παράλληλο προς την ευθεία ε : y x= , με

( )1 1Α x , y , ( )2 2Β x , y και 1 2x x< .

Αν το σημείο ( )Μ 3,5 είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και το γινόμενο των τε-

τμημένων των σημείων Α και Β ισούται με 5 , τότε: α) να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β .

(Μονάδες 13)

β) να αποδείξετε ότι ( )ΟΑΒ 4= , όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων.

(Μονάδες 5)

γ) να αποδείξετε ότι τα σημεία ( )Κ x, y για τα οποία ισχύει ( ) ( )ΚΑΒ 2 ΟΑΒ= ανήκουν

στις ευθείες με εξισώσεις τις: x y 2 0− − = και x y 6 0− + = .

(Μονάδες 7) ΛΥΣΗ: α) Οι συντεταγμένες του μέσου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισούνται με το ημιάθροισμα των

συντεταγμένων των άκρων. Οπότε, αφού το M είναι μέσο του AB έχουμε:

1 2 1 2x x y yM ,2 2+ +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Έτσι ( )1 21 2

x x 3 x x 6 12+

= ⇔ + = και ( )1 21 2

y y 5 y y 10 22+

= ⇔ + =

Αφού το γινόμενο των τετμημένων των σημείων A και B ισούται με 5 έχουμε ( )1 2x x 5 3= .

Στις σχέσεις ( ) ( )1 , 3 έχουμε το άθροισμα και το γινόμενο των 1 2x , x . Συνεπώς τα 1 2x , x είναι

λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ( )( )2w 6w 5 0 w 1 w 5 0 w 1η w 5− + = ⇔ − − = ⇔ = =

Άρα 1x 1= και 2x 5= αφού 1 2x x<

Επειδή το AB είναι παράλληλο προς την ευθεία ( )ε : y x= , αν λ είναι ο συντελεστής διεύ-

θυνσης του ΑΒ θα ισχύει:

( )2 12 1

2 1

y yλ 1 1 y y 4 4x x

−= ⇔ = ⇔ − =

− αφού 2 1x x 4− =

Προσθέτοντας την ( )2 και ( )4 παίρνουμε 2 22y 14 y 7= ⇔ = και άρα 1y 3= από την ( )4 .

Άρα ( )A 1,3 και ( )B 5,7

β) Είναι ( )ΟΑ 1,3= και ( )ΟΒ 5,7= οπότε: ( )1 31 1OAB det OA,OB 45 72 2

→ →⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

– 16 –

γ) Είναι ( )ΑΚ x 1, y 3= − − και ( )ΑΒ 4,4=

Οπότε

( ) ( ) 1KAB 2 OAB det AK,AB 82

→ →⎛ ⎞= ⇒ = ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

x 1 y 316 4x 4 4y 12 16

4 4− −

= ⇔ − − + = ⇔

4x 4y 8 16 4x 4y 8 16 η 4x 4y 8 16− + = ⇔ − + = − + = − ⇔

x y 2 0 η x y 6 0− − = − + =

Άρα τα σημεία ( )K x, y ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις x y 2 0− − = και x y 6 0− + = .

– 17 –


Δίνονται τα διανύσματα α , β και γ για τα οποία ισχύουν:

α 2= , β 1= , ( )α,β 60= και κγ α β2

= ⋅ − , όπου κ∈ .

α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο α β⋅ .

(Μονάδες 3)

β) Αν ισχύει β γ κ⋅ = , τότε:

i) να αποδείξετε ότι: κ 2= − . (Μονάδες 6)

ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ .

(Μονάδες 8)

iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 3α 2γ+ και β γ− είναι κάθετα.


α) Έχουμε o 1α β α β συν60 2 1 12

⋅ = = ⋅ ⋅ =

βi) Ισχύει 2 2κ κ κβ·γ κ β· α β κ α β β κ 1 1 κ κ 2

2 2 2⎛ ⎞= ⇔ − = ⇔ ⋅ − = ⇔ ⋅ − = ⇔ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

ii) Για κ 2= − έχουμε ( )2 2 222γ α β γ α β γ α 2α β β= − − ⇒ = − − ⇔ = + ⋅ + ⇔

2 22 2γ 2 2·1 1 γ 7 γ 7+⇔ = + ⇔ = ⇔ =

iii) Υπολογίζουμε τα ( ) 2 2α γ α α β α α β 2 1 5⋅ = ⋅ − − = − − ⋅ = − − = −

και ( ) 2 2β γ β· α β α β β 1 1 2⋅ = − − = − ⋅ − = − − = −

επομένως

( ) ( ) ( ) ( )23α 2γ β γ 3α β 3α γ 2β γ 2 γ 3 1 3 5 2 2 2 7 0+ ⋅ − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − = ⋅ − − + − − ⋅ =

Άρα τα διανύσματα είναι κάθετα.

– 18 –


Δίνονται τα διανύσματα α και b με μέτρα 2 , 6 αντίστοιχα και [ ]φ 0,π∈ η μεταξύ τους γω-

νία. Επίσης δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) ( )αb 12 x αb 12 y 5 0 1+ + − − = .

α) Να αποδείξετε ότι η ( )1 παριστάνει ευθεία για κάθε [ ]φ 0,π∈ .

(Μονάδες 3)

β) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα y y′ , να αποδείξετε ότι b 3α= .

(Μονάδες 7)

γ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα x x′ , να αποδείξετε ότι b 3α= − (Μονάδες 7)

δ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στην διχοτόμο πρώτης και τρίτης γωνίας των

αξόνων, να αποδείξετε ότι b α⊥ (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ:

α) Η ( )1 είναι στη μορφή Ax By Γ 0+ + = με A αb 12= + , B αb 12= − και Γ 5= −

Για να παριστάνει ευθεία, αρκεί A 0≠ ή B 0≠ . Δηλαδή αb 12 0+ ≠ ή αb 12 0− ≠ .

Δηλαδή αb 12≠ − ή αb 12≠ που ισχύει.

Άρα η εξίσωση ( )1 παριστάνει ευθεία για κάθε [ ]φ 0,π∈ .

β) Αν η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα y y′ δεν θα ορίζεται για αυτή συντελεστής διεύθυν-

σης.

Οπότε B 0 αb 12 0 αb 12 α b συνφ 12= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔[ ]φ 0,π

συνφ 1 φ 0∈

= ⇔ = . Δηλαδή, τα

διανύσματα είναι ομόρροπα και b 6 3 α= = .

Οπότε b 3α= . γ) Αν η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα x x′ θα έχει συντελεστή διεύθυνσης 0 . Οπότε:

A 0 αb 12 0 αb 12 α b συνφ 12= ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔[ ]φ 0,π

συνφ 1 φ π∈

= − ⇔ = .

Δηλαδή, τα διανύσματα είναι αντίρροπα και b 6 3 α= = . Οπότε b 3α= − .

δ) Η διχοτόμος της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων είναι η ευθεία με εξίσωση ( )y x ε= .

Οποτε, η ευθεία ( )1 και η ( )ε θα έχουν ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Έχουμε λοιπόν:

1 εαb 12λ λ 1 αb 12 αb 12 2αb 0 αb 0 α bαb 12

+= ⇔ − = ⇔ − − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ ⊥

−

– 19 –

2η ΛΥΣΗ: α) Oι συντελεστές των x, y προφανώς δε μηδενίζονται συγχρόνως, άρα η ( )1 παριστάνει ευθεία

για κάθε [ ]φ 0,π∈ ,

β) Ισχύει a·b 12 0 a·b 12 a·b | a || b |− = ⇒ = ⇒ = άρα τα διανύσματα είναι ομόρροπα και αφού

| b | 3 | a |= έχουμε ότι b 3a= .

γ) Ισχύει a·b 12 0 a·b 12 a·b | a || b |+ = ⇒ = − ⇒ = − άρα τα διανύσματα είναι αντίρροπα και αφού

| b | 3 | a |= έχουμε ότι b 3a= − .

δ) Για την ευθεία ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης, που θα ισούται με την κλίση της διχοτόμου, άρα έχουμε

a·b 12 1 a·b 12 a·b 12 a·b 0 a ba·b 12

+− = ⇒ − − = − ⇒ = ⇒ ⊥

−

– 20 –


α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες: u v u v+ = + και u v u v+ = − .

(Μονάδες 10)

β) Δίνονται τα διανύσματα α,β, γ για τα οποία ισχύουν: α β γ 0+ + = και α β γ

3 4 7= = .

i) Να αποδείξετε ότι: α β↑↑ και β γ↑↓ .

(Μονάδες 8)

ii) Να αποδείξετε ότι: 7α 3γ 0+ = .


α) ( )22 2 22 2v u v u v u v u v 2v u u v 2 v u u+ = + ⇔ + = + ⇔ + ⋅ + = + ⋅ + ⇔

2v u 2 v u v u v u⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ . Άρα v, u ομόρροπα.

Όμοια

( )22 2 22 2v u v u v u v u v 2v u u v 2 v u u+ = − ⇔ + = − ⇔ + ⋅ + = − ⋅ + ⇔

2v u 2 v u v u v u⇔ ⋅ = − ⋅ ⇔ ⋅ = − ⋅ . Άρα v, u αντίρροπα.

βi) 1ος ΤΡΟΠΟΣ

Αν θέσουμε

α β γ

λ3 4 7= = = τότε α 3λ= , β 4λ= , γ 7λ=

Είναι

α β γ 0 α β γ+ + = ⇔ + = − .

Οπότε

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2α β γ α 2α β β γ 2α β 49λ 16λ 9λ 2α β 24λ+ = − ⇔ + ⋅ + = ⇔ ⋅ = − − ⇔ ⋅ = ⇔

2α β 12λ α β α β⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ = ⋅ . Άρα α,β ομόρροπα.

Όμοια προκύπτει ότι β, γ αντίρροπα.

2ος ΤΡΟΠΟΣ Αν θέσουμε

α β γ

λ3 4 7= = = τότε α 3λ= , β 4λ= , γ 7λ= ( )1 .

– 21 –

α β γ α β γ+ = − ⇔ + = ( )2 .

Παρατηρούμε ότι

α β 3λ 4λ 7λ γ+ = + = = ( )3 .

Από τις ( )2 και ( )3 έχουμε ότι α β α β+ = + , άρα α,β ομόρροπα.

Τότε α λβ= με λ 0> και από τη σχέση ( )α β γ 0 γ λ 1 β+ + = ⇔ = − + .

Αν θέσουμε όπου ( )ρ λ 1 0= − + < τότε γ ρβ= άρα γ,β αντίρροπα.

ii) 1ος ΤΡΟΠΟΣ

Αν θέσουμε v 7α= και u 3γ= τότε έχουμε ότι v , u είναι αντίρροπα.

Αφού όμως από τη σχέση α β γ

3 4 7= = έχουμε ότι 7 α 3 γ= προκύπτει v u=

Άρα v , u αντίθετα οπότε 7α 3γ 0+ = .

2ος ΤΡΟΠΟΣ

( )22 2 2 2 2 29 37α 3γ 7α 3γ 49 α 42αγ 9 γ 49 γ 42 γ 9 γ 0

49 7+ = + = + + = ⋅ − + = .

Άρα 7α 3γ 0 7α 3γ 0+ = ⇔ + = .

– 22 –


Δίνονται οι ευθείες ( )1ε : 2λ 1 x y 5 0− + − = , ( )22ε : λ 3 x y 15 0+ − − = με λ∈ και το σημείο

( )Α 2, 1− .

α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε τιμή του λ∈ οι ευθείες τέμνονται. (Μονάδες 7)

β) Αν οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Α , να βρείτε την τιμή του λ∈ . (Μονάδες 10)

γ) Έστω λ 2= και Β,Γ τα σημεία που οι 1ε και 2ε τέμνουν τον άξονα y y′ . Να βρείτε το

εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ . (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ:

α) Η ορίζουσα του συστήματος των ( )1ε και ( )2ε είναι:

( )22 22

2λ 1 1D 2λ 1 λ 3 λ 2λ 2 λ 1 1 0

λ 3 1−

= = − + − − = − − − = − + − <+ −

για κάθε λ∈ .

Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση για κάθε λ∈ , δηλαδή για κάθε τιμή του λ∈ οι ευ-θείες τέμνονται.

β) Πρέπει οι συντεταγμένες του σημείου Α να επαληθεύουν τις εξισώσεις των ( )1ε και ( )2ε .

Οπότε έχουμε: ( )( ) 22

2λ 1 2 1 5 0 4λ 8λ 2

λ 42 λ 3 1 15 0

⎧ − − − = =⎧⎪ ⇒ ⇒ =⎨ ⎨ =+ + − = ⎩⎪⎩.

γ) Για λ 2= είναι: 1ε : 3x y 5 0+ − = και 2ε : 7x y 15 0− − = .

Το σημείο στο οποίο η ( )1ε τέμνει τον άξονα y y′ έχει τετμημένη μηδέν. Οπότε για x 0=

στην ( )1ε βρίσκουμε ότι η ( )1ε τέμνει τον y y′ στο σημείο ( )Β 0,5 , Αντίστοιχα για x 0=

στην ( )2ε , βρίσκουμε ότι η ( )2ε τέμνει τον άξονα y y′ στο σημείο ( )Γ 0, 15− .

Είναι:

( ) ( )AB 0 2,5 1 2,6= − + = − και ( ) ( )AΓ 0 2, 15 1 2, 14= − − + = − − ,

άρα

( ) ( ) 2 61 1 1 1ΑΒΓ det AB, AΓ 28 12 40 20τ.μ2 142 2 2 2−

= = = + = ⋅ =− −

.

– 23 –

GI_V_MATHP_4_18621 [παράγραφος 1.5-2.1] Δίνονται οι ευθείες ( )ε : 2κx 1 κ y 1 3κ 0− + + − = και ( ) ( )ζ : 1 3κ x κ 1 y 2 6κ 0+ + − + − = , όπου

κ∈ . α) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του κ , ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες.

(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ( )ε και ( )ζ .


α) Το διάνυσμα ( )u 1 κ, 2κ= − − − είναι παράλληλο στην ευθεία ( )ε και το διάνυσμα

( )v κ 1, 3κ 1= − − − είναι παράλληλο στην ευθεία ( )ζ .

Έχουμε ( ) 21 κ 2κε ζ u v det u, v 0 0 5κ 2κ 1 0

κ 1 3κ 1− − −

⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ + + =− − −

η τελευταία εξίσωση έχει διακρίνουσα Δ 16= − , άρα είναι αδύνατη στο . Άρα δεν υπάρχει τιμή του πραγματικού κ ώστε να είναι ε ζ .

β) Έστω ( )ω v,u= . Τότε:

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 κ κ 1 2κ 3κ 1u vσυνωu v 1 κ 2κ κ 1 3κ 1

− − − + − − −⋅= = =

⋅ − − + − − + − −

( )

2 2

22 2

5κ 2κ 1 5κ 2κ 1 222 5κ 2κ 15κ 2κ 1 10κ 4κ 2

+ + + += = =

+ ++ + + +.

Άρα η οξεία γωνία των διανυσμάτων είναι 0ω 45= και η αμβλεία είναι 0135 . Οπότε και η αμ-

βλεία γωνία των ευθειών ( )ε και ( )ζ είναι 0135 .

– 24 –


Δίνονται τα σημεία 3Α 1,2−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( )B 2, 1− και μ 4Γ μ,2−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

, όπου μ∈ .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων AB και ΒΓ (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε μ∈ το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα

σημεία Α και Β . (Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε την τιμή του μ έτσι, ώστε μ ΒΓ AB⋅ = − .

(Μονάδες 6)

δ) Για την τιμή του μ που βρήκατε στο ερώτημα γ), να αποδείξετε ότι ( )ΟΒΓ 1= , όπου O

είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 3)

ΛΥΣΗ:

α) Είναι 3 1AB 2 1, 1 1,2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

και

μ 4 μ 2ΒΓ μ 2, 1 μ 2,2 2− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

β) Αρκεί να δείξουμε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά.

Πράγματι

( )11 μ 2 μ 22det AB,ΒΓ 0

μ 2 2 2μ 22

− −= = − =

−−

,

άρα είναι AB BΓ δηλαδή τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά.

γ) ( )μ 2 1 1 1μ BΓ AB μ μ 2, 1, μ μ 2 1, 1,2 2 2 2−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = − ⇔ ⋅ − = − ⇔ − = − ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )22μ μ 2 1 μ 2μ 1 0 μ 1 0 μ 1⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = .

δ) Για μ 1= είναι 3Γ 1,2−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

, δηλαδή το Γ ταυτίζεται με το Α .

( ) ( )2 1

1 1 1ΟΒΓ det ΟB,ΟΓ 3 1 1τ.μ32 2 212

−= = = − + =−

– 25 –

GI_V_MATHP_4_18623 [παράγραφος 2.3] Δίνονται τα σημεία ( )Α 3, 4 , ( )B 5,7 και ( )Γ 2μ 1,3μ 2+ − , όπου μ∈ .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ABκαι AΓ και, στη συνέχεια, να απο-δείξετε ότι τα σημεία Α , B και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του μ .

(Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι: i) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δεν εξαρτάται από το μ .

(Μονάδες 5) ii) για κάθε τιμή του μ το σημείο Γ ανήκει σε ευθεία ε , της οποίας να βρείτε την

εξίσωση. (Μονάδες 7)

γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιμή του μ ;


α) Είναι ( ) ( )AB 5 3,7 4 2,3= − − = και

( ) ( )AΓ 2μ 1 3,3μ 2 4 2μ 2,3μ 6= + − − − = − −

Επειδή ( ) 2 3det AB,AΓ 6μ 12 6μ 6 6 0

2μ 2 3μ 6= = − − + = − ≠

− − τα διανύσματα AB , AΓ δεν

είναι παράλληλα, άρα τα σημεία Α,Β,Γ δεν είναι συνευθειακά.

βi) Είναι: ( ) ( ) 2 31 1 1ΑΒΓ det AB, AΓ 6μ 12 6μ 6 3τ.μ2μ 2 3μ 62 2 2

= = = − − + =− −

,

άρα το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι ανεξάρτητο του μ .

(ii) Αφού ( )Γ 2μ 1,3μ 2+ − έχουμε: x 2μ 1y 3μ 2= +⎧

⎨ = −⎩ απ’όπου x 1μ

2−

=

και x 1y 3 2 2y 3x 3 4 3x 2y 72−

= − ⇒ = − − ⇒ − = .

Άρα το Γ για οποιαδήποτε τιμή του μ ανήκει στην ευθεία ( )ε με εξίσωση ε : 3x 2y 7− = .

(γ) Παρατηρούμε ότι . ε AB

3λ λ2

= = ,οπότε . ε / /ΑΒ ..

Άρα για οποιαδήποτε θέση του Γ

στην ( )ε το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ από το γ

έχει σταθερό μήκος, οπότε και το εμβαδόν μένει σταθερό.

– 26 –

GI_V_MATHP_4_20147 Δίνονται τα σημεία ( )A λ 1,λ 1+ − , ( )B 2, 2 και ( )Γ 4,6 , λ R∈ .

α) Να βρείτε την μεσοκάθετο του τμήματος BΓ . (Μονάδες 7)

β) Αν το σημείο A ισαπέχει από τα σημεία B και Γ , να βρείτε την τιμή του λ . (Μονάδες 8)

γ) Για λ 4= ,να βρείτε σημείο Δ ώστε το τετράπλευρο ABΔΓ να είναι ρόμβος. (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ:

α) Το μέσο M του τμήματος BΓ είναι: 2 4 2 6M ,2 2+ +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

δηλαδή το ( )M 3, 4

Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας BΓ είναι: BΓ6 2λ 24 2−

= =−

Αν δ είναι η μεσοκάθετος του BΓ τότε δ BΓ δ1λ ·λ 1 λ2

= − ⇔ = − και η εξίσωση της δ εί-

ναι:

( ) ( )M δ M1y y λ x x y 4 x 3 x 2y 112

− = − ⇔ − = − − ⇔ + =

β) Αφού το A ισαπέχει από τα σημεία B και Γ τότε ανήκει στη μεσοκάθετο του BΓ δηλα-δή στην ευθεία δ .

Έτσι με x λ 1= + και y λ 1= − η δ γίνεται:

( )λ 1 2 λ 1 11 λ 4+ + − = ⇔ =

γ) Αν λ 4= τότε ( )A 5,3 . Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΔΓ ρόμβος πρέπει κι αρκεί το Μ να

είναι μέσο της ΒΔ, άρα A Δ Μ Δ Δ

A M Δ Δ

x x 2x 5 x 6 x 1y y 2y 3 y 8 y 5Δ

+ = + = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ = + = =⎩ ⎩ ⎩

οπότε Δ(1, 5)

ΑΛΛΗ ΛΥΣΗ: Το σημείο Δ πρέπει να ισαπέχει από τα Β, Γ , οπότε βρίσκεται στη μεσοκάθετο του BΓ , άρα

έχει συντεταγμένες ( )Δ 11 2α, α , α R− ∈ .

Οπότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ΜΔ ΜΑ 11 2α 3 α 4 5 3 3 4= ⇔ − − + − = − + − ⇔

( ) ( )2 2 28 2α α 4 5 α 8α 15 0⇔ − + − = ⇔ − + =

Η εξίσωση δίνει α 5= , οπότε ( )Δ 1, 5 ή α 3= που απορρίπτεται αφού ταυτίζεται με το A

ΣΧΟΛΙΟ: Είναι το 4_18619 (που αποσύρθηκε), με αλλαγμένες τις συντεταγμένες του A .

μαθηματικά β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 19 11 2014

Documents

Transcript of μαθηματικά β λυκείου θέματα & λύσεις (Mathematica) 19 11 2014