Post on 15-Sep-2015
description
Zadaci za vebae iz Analize 1, I smer
Nikola Lelas
24. maj 2015
Skup realnih brojeva
Zadatak 1. Neka je S R neprazan skup, koji je ograniqen sa obestrane. Definiximo
S = {x | x S} .Dokazati da je sup(S) = inf(S) i inf(S) = sup(S)Zadatak 2. Neka je S R neprazan skup koji je ograniqen odozgo i > 0 proizvoan realan broj. Definiximo
S = {x | x S} .
Dokazati da je sup(S) = sup(S).
Zadatak 3. Neka je A ={mn | m,n N, 0 < m < n
}. Nai supA i inf A.Rexee: supA = 1, inf A = 0
Zadatak 4. Apsolutna vrednost |.| na R definisana je na sledei na-qin:
|x| ={x, x 0x, x < 0 .
Pokazati da je |x+ y| |x|+ |y| za sve x, y R.(?)Pokazati da za sve x, y R vai ||x| |y|| |x y|.Zadatak 5. Napisati racionalan broj x = 1.1545454 . . . u obliku raz-lomka.
Rexee: x = 1143990
Matematiqka indukcija
Zadatak 6. Dokazati da za sve prirodne brojeve n vai
1 2 3 + 2 3 4 + + n (n+ 1) (n+ 2) = n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)4
.
1
Zadatak 7. Dokazati za sve prirodne brojeve n vai
3 | 5n + 2n+1.
Zadatak 8. Dokazati za sve prirodne brojeve n 5 vai
2n > n2.
Zadatak 9. Dokazati za sve prirodne brojeve n 2 vai7
9 2628 . . . n
3 1n3 + 1
=2
3
(1 +
1
n(n+ 1)
).
Zadatak 10. Dokazati za sve prirodne brojeve n vai
11+
12+ + 1
n> 2(n+ 1 1).
Zadatak 11 (?). Dokazati binomnu formulu :
(a+ b)n =
nk=0
(n
k
)ankbk,
za proizvone realne brojeve a i b i svako n N.Napomena: Koristiti identitet
(nk
)+(nk+1
)=(n+1k+1
).
Zadatak 12. Dokazati za sve prirodne brojeve n vai
12 + 22 + + n2 = n(n+ 1)(2n+ 1)6
.
Zadatak 13. Dokazati za sve prirodne brojeve n 2 vai(1 1
4
)(1 1
9
) . . .
(1 1
n2
)=n+ 1
2n.
Zadatak 14 (??). Dokazati da se n kvadrata mogu isei na delove takoda se od ih moe sastaviti novi kvadrat.
Realni nizovi
Zadatak 15. Dokazati po definiciji da je
1. limn n2n+2
3n2+2n4 =13 .
2. limn1+(1)n2
n2= 0.
3. limn log2
(1 +
1
n+1
)= 0.
2
Zadatak 16. Izraqunati sledee graniqne vrednosti
1. limn n sinn!n2+1 .
2. limn 2n cosnpi.
Rexee: 1. 0, 2. 0
Zadatak 17. Ako je q 1 realan broj, dokazati da niz (qn)nN nemagraniqnu vrednost (ni konaqnu ni beskonaqnu).
Zadatak 18. Izraqunati sledee graniqne vrednosti
1. limn(n+1)3(n1)2(n+1)3+(n1)3 .
2. limn(2n+1)4(n1)4(2n+1)4+(n1)4 .
3. limn(
2n2
2n+3 +13n33n2+1
).
4. limn(
3n2
2n+1 +16n31+4n2
).
Rexee: 1. 12 , 2.1517 , 3. 32 , 4. 34Zadatak 19. Izraqunati sledee graniqne vrednosti
1. limn n!(n+1)!n! .
2. limn(n+2)!+(n+1)!
(n+3)! .
3. limn(n+2)!+(n+1)!(n+2)!(n+1)! .
Rexee: 1. 0, 2. 0, 3. 1
Zadatak 20. Izraqunati sledee graniqne vrednosti
1. limn 2n12n+1 .
2. limn 21n1
21n+1.
3. limn 21
n+1+51
n+1
21n+5
1n.
Rexee: 1. 1, 2. 0, 3. 1
3
Zadatak 21. Neka su a1, a2, . . . , ak proizvoni pozitivni realni bro-jevi. Izraqunati graniqnu vrednost
limn
nan1 + a
n2 + + ank = `.
Rexee: ` = max{a1, a2, . . . , ak}Zadatak 22. Dokazati da su nizovi xn =
n+ 1n i yn = 1n! 1(n+1)!opadajui i odrediti ihove graniqne vrednosti.
Rexee: limn xn = limn yn = 0
Zadatak 23. Dokazati da je niz
an = 1 +1
1!+
1
2!+
1
3!+ + 1
n!
konvergentan.
Zadatak 24 (?). Nai graniqnu vrednost limnnn!n .
Rexee:
1e
Zadatak 25. Ispitati monotonost sledeih nizova
1. xn =101 113 . . . n+92n12. yn =
3n+ 1 3n3. zn =
(1 + 12
)(1 + 14
). . .(1 + 12n
)Rexee: xn i yn su opadajui, a zn je rastui
Zadatak 26. Izraqunati graniqnu vrednost
limn
(1
1 2 +1
2 3 + +1
n(n+ 1)
)= `.
Rexee: ` = 1
Zadatak 27. Nai sve taqke nagomilavaa sledeih nizova
1. xn = n+ 5 cos npi3
2. yn = 3n1n+2 sin npi2Rexee: Kako je limn xn = , sledi da niz (xn) nema taqaka nago-milavaa u R, dok mu je jedina taqka nagomilavaa u R taqka 1 .Taqke nagomilavaa niza (yn) su {3, 0, 3}.1R = R {+,}
4
Zadatak 28 (?). Nai sve taqke nagomilavaa i ispitati konvergen-ciju niza
an =
(n+ 2
n 2)(1)nn
+ sinnpi
2.
Rexee: Taqke nagomilavaa niza an su {e4, e4 + 1, e4 1}. Odatlesledi da niz nije konvergentan (ima vixe od jedne taqke nagomilavaa).
Zadatak 29. Koristei Koxijev kriterijum konvergencije dokazati
da niz
an =sin 1
2+
sin 2
22+ + sinn
2n
konvergira.
Zadatak 30 (?). Koristei Koxijev kriterijum konvergencije doka-zati da niz
bn =1
ln 2+
1
ln 3+ + 1
lnnne konvergira.
Zadatak 31. Ispitati monotonost i ograniqenost niza
an =3
3 + 1+
3
32 + 2+ + 3
3n + n.
Rexee: Niz (an) je monotono rastui i ograniqen sa obe strane.
Zadatak 32. Izraqunati sledee graniqne vrednosti
1. limn(
3n6 n4 + 5 n2
)
2. limn(
n2 5n+ 3n2 + 3n 5)
3. limn(
n2 + 2n+ 7n2 4n 5)Rexee: 1. 14 , 2. 4, 3. 3Zadatak 33. Izraqunati graniqnu vrednost
limn
(1 + 3 + 5 + + (2n 1)
n+ 1 2n+ 1
2
)= `.
Rexee: ` = 32Zadatak 34. Izraqunati sledee graniqne vrednosti
5
1. limn2 42 . . . 2n22. limn 2+2
2+23++2n52n+2
Rexee: 1. 2, 2. 110
Zadatak 35. Izraqunati sledee graniqne vrednosti
1. limn(2n+32n5
)n2. limn n2 ln
(n3+3n2+5n+2n3+3n2+3n+1
)Rexee: 1. e4, 2. 2
Zadatak 36. Odrediti sve taqke nagomilavaa niza
xn = 1 +n
n+ 1cos
npi
2.
Rexee: {0, 1, 2}Zadatak 37. Odrediti graniqnu vrednost niza
Sn =1
3+
2
32+ + n
3n.
Rexee: limn Sn = 34Zadatak 38. Dat je niz
bn =
2 +
2 + +
2 (n korena).
Dokazati da taj niz konvergira i nai mu graniqnu vrednost.
Rexee: limn bn = 2
Zadatak 39. Niz (an) je zadatak rekurentnom relacijom
an+1 = an(2 an), n 1, a1 = 12.
Dokazati da je niz (an) konvergentan i odrediti mu graniqnu vrednost.Rexee: limn an = 1
Zadatak 40. Niz (an) je zadatak rekurentnom relacijom
an+1 =an 1an + 3
, n 0, a0 = 1.
Dokazati da je niz (an) konvergentan i odrediti mu graniqnu vrednost.Rexee: limn an = 1
6
Zadatak 41. Neka su an i bn nizovi takvi da je limn an = + ilimn bn = b, pri qemu je b (konaqan) realan broj. Pokazati da je tadalimn(an + bn) = +.
Zadatak 42. Pretpostavimo da su svi qlanovi niza (an) nenegativni.Pokazati da tada vai
limn an 0,pod uslovom da ta graniqna vrednost postoji. Dodatno, izvesti i po-
sledicu po kojoj za svaka dva konvergentna niza (an) i (bn) za koje je
an bn, za sve n N poqevxi od nekog,
vai
limn an limn bn.
Zadatak 43. Nai primer konvergentnih nizova (an) i (bn) za kojevai
an < bn, za sve n N poqevxi od nekog,ali ne vai
limn an < limn bn.
Zadatak 44 (??). Dokazati da je broj e iracionalan.
Zadatak 45. Izraqunati graniqnu vrednost
limn
1 2 + 2 3 + + n (n+ 1)n3
.
Rexee:
13
Zadatak 46. Izraqunati graniqnu vrednost
limn
22 + 42 + + (2n)2(2n+ 1)(n 2)(n+ 3)
Rexee:
23
Zadatak 47. Izraqunati graniqnu vrednost
limn
(1p + 2p + + np
np np+ 1
), p N.
Rexee:
12
7
Zadatak 48. Izraqunati graniqnu vrednost
limn
(1 + 3 + + (2n 1)
n+ 1 2n+ 1
2
).
Rexee: 32Zadatak 49. Izraqunati graniqnu vrednost
limn
12 +
35 + . . .
2n1n2+1
n.
Rexee: 22
Zadatak 50. Izraqunati graniqnu vrednost
limn
1 1! + 3 2! + + (2n 1) n!(n+ 1)!
Rexee: 2
Graniqne vrednosti funkcija i asimptote
Zadatak 51. Izraqunati sledee graniqne vrednosti
1. limx2 x23x+2x25x+6
2. limx1 3x44x3+1(x1)2
3. limx1 x41x1
Rexee: 1. 1, 2. 6, 3. 4Zadatak 52. Izraqunati sledee graniqne vrednosti
1. limx41+2x3x2
2. limx+x2+1x+1
3. limxx2+1x+1
4. limx+(
31 x3 + x
)5. limx
(1 + x+ x2 1 x+ x2
)Rexee: 1. 43 , 2. 1, 3. 1, 4. 0, 5. 1
8
Zadatak 53. Izraqunati leve i desne graniqne vrednosti funkcija
1. f1(x) =1
x21 u taqkama 1 i 1
2. f2(x) =1
1+e1xu taqki 0
3. f3(x) = arctg1
1x u taqki 1
4. f4(x) = [x] u taqki k, k ZRexee: 1. limx1 f1(x) = , limx1 f1(x) = , 2. limx0+ f2(x) =0, limx0 f2(x) = 1, 3. limx1 f3(x) = pi2 4. limxk+ f4(x) = k, limxk f4(x) =k 1Zadatak 54. Izraqunati sledee graniqne vrednosti (pri qemum,n, a R)
1. limx0 sinmxsinnx
2. limx0 cosmxcosnxx2
3. limx0 tg xsinxsin3 x
4. limxpi4tg 2x tg(pi4 x)
5. limx+ sinxx
Rexee: 1. mn , n 6= 0, 2. 12(n2 m2), 3. 12 , 4. 12 , 5. 0Zadatak 55. Izraqunati graniqnu vrednost
limx0
ln cos ax
ln cos bx
u zavisnosti od realnih parametara a i b.Rexee:
(ab
)2, b 6= 0Zadatak 56. Odrediti asimptote grafika sledeih funkcija
1. f1(x) =x+1x
2. f2(x) = x 10x3. f3(x) = x 3 + 1x2Zadatak 57. Nai asimptote grafika sledeih funkcija
1. y = 2x23x+5x24x
2. y = 2x1x2+x2
9
3. y = x 2 + 1x34. y =
x2 3x+ 25. y = 3
x2 x3
Zadatak 58. Dokazati da ne postoji graniqna vrednost
limx0
sin1
x.
Zadatak 59. Izraqunati sledee graniqne vrednosti
1. limxaxa+xa
x2a2 , a > 0
2. limx89+2x53x2
3. limx+
x+x+x
x+1
4. limx1(1 x) tg pix2Rexee: 1. 1
2a, 2. 125 , 3. 1, 4.
2pi
Zadatak 60. Izraqunati sledee graniqne vrednosti
1. limx0(1 2x) 1x
2. limxpi4(tg x)tg 2x
3. limx0(cosx)ctg2 x
4. limx1(1 + sinpix)ctg pix
5. limx(x2+x+1x2x1
)xRexee: 1. e2, 2. e1, 3. e
12 , 4. e1, 5. e2
Zadatak 61. Izraqunati graniqnu vrednost
limx+
ln(1 + 3x)
ln(1 + 2x),
kao i graniqnu vrednost
limx
ln(1 + 3x)
ln(1 + 2x).
Rexee:
ln 3ln 2 odnosno 0.
10
Zadatak 62. U zavisnosti od pozitivnih realnih parametara a, b i cizraqunati graniqnu vrednost
limx0
(ax + bx + cx
3
) 1x
.
Rexee:
3abc
Zadatak 63 (?). Date su funkcije
fn(x) =1 cosx cos 2x cosnx
x2
za svaki prirodan broj n.
1. Pokazati da postoji limx0 fn(x) = fn za sve n N.2. Odrediti vezu izmeu fn i fn1.
3. Izraqunati fn.
Rexee: fn =112n(n+ 1)(2n+ 1)
Zadatak 64. Odrediti asimptote grafika sledeih funkcija
1. y = 1x + 4x2
2. y = x2x2+1
3. y = 2x23x+5
(x1)(x2)
Zadatak 65. Odrediti konstante a i b tako da je
limx
(x2 x+ 1 ax b
)= 0.
Rexee: a = 1, b = 12Zadatak 66. Izraqunati sledee graniqne vrednosti
1. limx1 x2xx1
2. limxaxbabx2a2 , a > b
3. limx031+x2 412x
x+x2
Rexee: 1. 3, 2. 14aab , 3.
12
Zadatak 67. Izraqunati sledee graniqne vrednosti
11
1. limya(sin ya2 tg
piy2a
)2. limxpi
2
(2x tg x picosx
)3. limx0
cos(a+x)cos(ax)x
4. limhsin(a+2h)2 sin(a+h)+sin a
h2
Rexee: 1. api , 2. 2, 3. 2 sin a, 4. sin aZadatak 68. Izraqunati sledee graniqne vrednosti
1. limx021+cosxsin2 x
2. limx01+x sinxcos 2x
tg2 x2
3. limx0 1cosxcos 2x
x2
4. limx1piarccosx
x+1
Rexee: 1.28 , 2. 6, 3.
32 , 4.
12pi
Zadatak 69. Izraqunati sledee graniqne vrednosti
1. limx0 ex2cosxx2
2. limx0 exexsinx
3. limx0 esin 2xesin x
x
Rexee: 1. 32 , 2. 2, 3. 1
Zadatak 70. Izraqunati sledee graniqne vrednosti
1. limxpi2tg2 x
(2 sin2 x+ 3 sinx+ 4
sin2 x+ 6 sinx+ 2
)2. limx0
1cos(1cosx)x4
3. limx+(x2(1 cos 1x
))4. limx+
(cosx+ 1 cosx)Rexee: 1. 112 , 2.
18 , 3.
12 , 4. 0
Zadatak 71. Izraqunati sledee graniqne vrednosti
1. limx+(arctg x+1x+2 pi4
)2. limx+
(x(arctg x+1x+2 arctg xx+2
))12
3. limx0 arcsinxarctg xx3
Rexee: 1. 12 , 2. 12 , 3. 12Zadatak 72. Pokazati da je prava y = 2x+ 1 kosa asimptota grafikafunkcije
y =2x4 + x3 + 1
x3.
Zadatak 73. Odrediti asimptote grafika sledeih krivih
1. y = 1x24x+5
2. y = c+ a2
(xb)2 , a, b, c R
3. y = x ln(e+ 1x
)4. y = xe
1x2
5. y = xe2x + 1
6. y = 2x+ arctg x2
Neprekidnost
Zadatak 74. Ispitati neprekidnost funkcije f(x) definisane sa
f(x) =
0, x < 0,
x, 0 x < 1,x2 + 4x 2, 1 x < 3,4 x, x 3.Zadatak 75. Odrediti konstantu a tako da funkcija
f(x) =
{x+ 1, x 13 ax2, x > 1bude neprekidna.
Rexee: a = 1
Zadatak 76. Neka je
f(x) =
2 sinx, x pi2A sinx+B, pi2 < x < pi2cosx, x pi2 .Odrediti konstante A i B tako da funkcija f(x) bude neprekidna.Rexee: A = 1, B = 1
13
Zadatak 77. Funkcija
f(x) =x2 1x3 1nije definisana u taqki x = 1. Ispitati da li se moe dodefinisativrednost f(1) tako da dobijena funkcija bude neprekidna i u sluqajupozitivnog odgovora odrediti f(1).Rexee: Moe. f(1) = 23
Zadatak 78. Ispitati da li se funkcije
sinxx i
cosxx mogu dodefinisati
do neprekidnosti na celom skupu realnih brojeva.
Zadatak 79. Ispitati neprekidnost funkcije g(x) definisane na sledeinaqin:
g(x) =
{ |x|x , x 6= 00, x = 0.
Zadatak 80. Odrediti sve taqke prekida funkcije
y =1
ln|x| ,
kao i ihovu prirodu.
Zadatak 81. Pokazati da funkcija
f(x) =
{1
1+21x, x 6= 0,
2, x = 0
ima u taqki x = 0 prekid prve vrste.
Zadatak 82. Ispitati da li se funkcija
g(x) = 221
1x
moe dodefinisati u taqki x = 1 tako da je dobijena funkcija nepre-kidna.
Rexee: Ne moe.
Zadatak 83 (?). Nai sve taqke prekida funkcije f(x) definisane sa
f(x) =
(x+ 1) 2(
1|x|+
1|x|), x 6= 0,
0, x = 0.
Rexee: Funkcija ima prekid prve vrste u taqki x = 0.
Zadatak 84. Dodefinisati naredne funkcije u taqki x = 0 tako dadobijene funkcije budu neprekidne
14
1. f1(x) =1+x1
31+x1
2. f2(x) =tg 2xx
3. f3(x) = sinx sin1x
4. f4(x) = (1 + x)1x
5. f5(x) = e 1x2
6. f6(x) =
{1+sinx1+x , x < 0,1 + x, x > 0.
Rexee: 1. 32 , 2. 2, 3. 0, 4. e, 5. 0, 6. 1
Zadatak 85. Ispitati neprekidnost funkcije
f(x) =
{cos pix2 , |x| 1,|x 1|, |x| > 1.
Zadatak 86. Ispitati neprekidnost funkcije
f(x) =
{x2, 0 x 1,2 x, 1 < x 2.
Zadatak 87. Ispitati neprekidnost funkcije
f(x) = x2 [x2].
Zadatak 88. Ispitati neprekidnost sloenih funkcija f g i g fako je
f(x) = sgnx, g(x) = 1 + x2
f(x) = sgnx, g(x) = x(1 x2).Zadatak 89. Ispitati neprekidnost funkcije
f(x) =
{ex, x < 0,
a+ x, x 0u zavisnosti od konstante a.Rexee: Funkcija je neprekidna na celom R za a = 1, inaqe u taqkix = 0 ima prekid prve vrste.
Zadatak 90. Ispitati da li kvadrat prekidne funkcije mora i sam
biti prekidna funkcija.
15
Izvodi
Zadatak 91. Nai izvode sledeih funkcija
1. f1(x) =2x23x+54x2+2x3
2. f2(x) =1+xx
1xx
3. f3(x) = 2x(x2 + 1)
4. f4(x) = ln(x+x2 1)
5. f5(x) =12 ln
1+x1x
6. f6(x) =arcctg(x)
x
Rexee: 1. f 1(x) =16x252x+1(4x2+2x3)2 , 2. f
2(x) =
x
(1xx)2 , 3. f3(x) = 2
x(x2 ln 2+
2 ln 2), 4. f 4(x) =1x21 , 5. f
5(x) =
11x2 , 6. f
6(x) = 1x(1+x2) arcctg xx2Zadatak 92. Nai izvode sledeih funkcija
1. f1(x) = arctg1x
2. f2(x) = ln(ln(lnx))
3. f3(x) = (sinx)cosx
Rexee: 1.f 1(x) = 11+x2 , 2.f 2(x) = 1x lnx ln lnx , 3.f 3(x) = sinx1+cosx(ctg2 xln sinx)
Zadatak 93. Dokazati da je
1. (sinx)(n) = sin(x+ npi2 ), n N
2. (cosx)(n) = cos(x+ npi2 ), n N
3. (lnx)(n) = (1)n1 (n1)!xn , x > 0, n N
Zadatak 94. Nai n-ti izvod funkcije
f1(x) = xex,
kao i funkcije
f2(x) = x lnx.
Rexee: (f1(x))(n) = ex(x+ n), (f2(x))
(n) = (1)n (n2)!xn1 , n 2
16
Zadatak 95. Odrediti taqku u kojoj tangenta krive
y = x2 3x+ 2gradi sa x-osom ugao = pi4 .Rexee: x = 2
Zadatak 96 (?). Data je funkcija
f(x) =
{x2 sin 1x , za x 6= 0,0, za x = 0.
1. Dokazati da je funkcija f(x) neprekidna.
2. Dokazati da f(x) ima izvod u taqki x = 0 i da je on jednak nuli.
3. Dokazati da f(x) nema drugi izvod u taqki x = 0.
Zadatak 97 (?). Neka je f funkcija koja je definisana i dva putadiferencijabilna za sve x x0. Odrediti konstante a, b i c takve dafunkcija
F (x) =
{f(x), x x0,a(x x0)2 + b(x x0) + c, x > x0.bude dva puta diferencijabilna.
Rexee: a = 12f(x0), b = f (x0), c = f(x0)
Zadatak 98. Pokazati da funkcija
y(x) = C1 cosx+ C2 sinx,
pri qemu su C1 i C2 proizvone konstante, zadovoava jednaqinu
y(x) + y(x) = 0, x R.Zadatak 99. Odrediti y(10) ako je y = e
x
x .
Rexee: y(10) = ex10n=0
(1)n(10n ) n!xn+1Zadatak 100. Pokazati da jednaqina
x3 + 3x 6 = 0ima samo jedno realno rexee.
Zadatak 101. Pokazati da za sve x < 0 vai
x x3
6< sinx.
17
Zadatak 102. Dokazati da je
arcsinx = arctgx
1 x2
za sve x (1, 1).Zadatak 103. Dokazati sledee nejednakosti
1. cosx > 1 x22 , x > 02. lnx x 1, x > 03. ex > 1 + x, x 6= 0Zadatak 104. Ispitati monotonost sledeih funkcija
1. f1(x) = x3
2. f2(x) =2x
1+x2
3. f3(x) = x2ex
Zadatak 105. Odrediti Maklorenov polinom n-tog stepena funkcije
f(x) = (1 + x), R \ N.
Rexee: Mn(x) = 1 + x+(2
)x2 + + (n)xnZadatak 106. Odrediti Maklorenov polinom petog stepena funkcija
1. f1(x) = tg x
2. f2(x) = arctg x
3. f3(x) = arcsinx
Zadatak 107. Odrediti intervale monotonosti i lokalne ekstremume
sledeih funkcija
1. f1(x) = x3 6x2 + 9x 42. f2(x) = cos
2 x
3. f3(x) = x23 (x2 1) 13
4. f4(x) = xe|x1|
5. f5(x) = xnex, n N
18
Zadatak 108. Odrediti najmau i najveu vrednost funkcije
f(x) = 2x
na segmentu [1, 5], kao i funkcije
g(x) = x+1
x
na segmentu [ 1100 , 100].Rexee: min f = 12 , max f = 32, min g = 2, max g = 100.01
Zadatak 109. Odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti, kao i
prevojne taqke sledeih funkcija
1. f1(x) = x+ sinx
2. f2(x) = x lnx
3. f3(x) = xx
4. f4(x) = x2ex
Zadatak 110 (?). Nai n-ti izvod funkcije
f(x) =
{e
1x2 , x 6= 0
0, x = 0
u taqki x = 0.Rexee: f (n)(0) = 0 za sve n N
Zadatak 111 (?). Funkciju f(x) = x21 x2 aproksimirati u okolinitaqke a = 0 Tejlorovim polinomom xestog stepena i oceniti grexkuako je 0 x 12 .Rexee:
Zadatak 112 (?). Izraqunati 31.1 sa taqnoxu na pet decimala.Rexee: 1.03228
Zadatak 113 (?). Izraqunati ln 0.9 sa taqnoxu na qetiri decimale.Rexee: 0.1054
Zadatak 114 (?). Napisati Maklorenov polinom funkcije ex kojiomoguava izraqunavae vrednosti te funkcije na intervalu 1 x 2 sa grexkom maom od 103.Rexee: U pitau je odgovarajui polinom stepena 10
19
Zadatak 115 (?). Odrediti interval za x tako da je priblina for-mula
cosx 1 x2
2+x4
24
daje vrednost kosinusa sa grexkom maom od
12 105.Rexee: |x| < 0.39149Zadatak 116. Odrediti lokalne ekstremume narednih funkcija
1. f1(x) = 2x2 x4
2. f2(x) =ln2 xx
3. f3(x) =3(x 1)2(x+ 1)4. f4(x) = x
3 + 3ax+ 1, a RZadatak 117. Dokazati da je za x 0 i 0 < < 1, ispueno
x x 1 .
Zadatak 118 (?). Od svih pravougaonika date povrxine P odreditionaj sa najmaim obimom.
Rexee: U pitau je kvadrat date povrxine (tj. stranice jednake
P ).
Zadatak 119. Primenom Lopitalovih pravila izraqunati sledee gra-
niqne vrednosti
1. limx0 x ctg x1x2
2. limx0 xex+x2ex+2
x3
3. limx0 arcsin 2x2 arcsinxx3
4. limx0 axasin xx3
, a > 0
Rexee: 1. 13 , 2. 16 , 3. 1, 4. 16 ln aZadatak 120. Primenom Lopitalovih pravila izraqunati sledee gra-
niqne vrednosti
1. limx1(2 x)tg pix2
2. limxpi2(tg x)sin 2x
3. limx+ x1x
Rexee: 1. e2pi , 2. 1, 3. 1
20
Zadatak 121. Primenom Lopitalovih pravila izraqunati sledee gra-
niqne vrednosti
1. limxpi2
(x
ctg x pi2 cosx)2. limx0
(1+x)1xe
x
Rexee: 1. 1, 2. e2Zadatak 122. Primenom Lopitalovih pravila izraqunati sledee gra-
niqne vrednosti
1. limx0 (x lnx)
2. limx+(x sin ax
), a R
3. limx+ (lnx (pi 2 arctg x))
Rexee: 1.0, 2. a, 3. 0
Zadatak 123 (?). Dokazati da su sve nule izvoda polinoma
p(x) = (x+ 1)(x 1)(x 2)(x 3)
realne i odrediti intervale u kojima se one nalaze.
Zadatak 124. Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije
f(x) = e|x|
u taqki x = 0.Rexee: Neprekidna je, ali nije diferencijabilna.
Zadatak 125. Funkcija f(x) = |sinx| je neprekidna u taqki x = 0.Dokazati da u toj taqki ona nije diferencijabilna. Ispitati da li
ima jox taqaka u kojima f(x) nije diferencijabilna.
Zadatak 126. Odrediti taqku u kojoj je tangenta parabole y = x2 nor-malna na pravu 2x 6y + 5 = 0.Rexee:
(32 , 94)Zadatak 127. Dokazati da kriva
y =x+ 1
x2 + 1
ima tri prevojne taqke koje lee na jednoj pravoj.
21
Zadatak 128. Iz taqke P (0,2) povuqene su tangente na krivu y =2x2 + x 1. Odrediti jednaqine odgovarajuih tangenti, kao i ihovedodirne taqke sa krivom.
Rexee: U taqki
(12, 1
2
)tangenta je y+2 = (2
2+1)x, dok je u taqki(
12, 1
2
)tangenta y + 2 = (1 22)x.
Zadatak 129. Detano ispitati tok i skicirati grafike sledeih
funkcija
1. y = x2 x3
2. y = 4x1+x2
3. y = x2x2+1
4. y = x23 (x2 1) 13
5. y = x2 lnx
6. y = x+ ex
7. y = sin3 x+ cos3 x
8. y = arcsin 2x1+x2
Zadatak 130. Detano ispitati tok i skicirati grafike sledeih
funkcija
1. y = 2x35x2+14x6
4x2
2. y = logx23x+2 2
3. y = sinx2+cosx
4. y = x lnxx21
5. y = xex2
6. y = x arctg x
7. y = xe1
ln(x)
8. y = ln(x+4x2)2 43x9. y = 3
(x+ 1)2 3
x2
10. y = x3
3(2+x3)2
22
11. y =(x+ 1)2 ln (x+ 1)2
12. y = arcsin 2x
1+x
13. y = arctg(1 + 1x
)14. y = arcsin 1x
2
1+x2 217x
23