Zadaci za vezbanje

Zadaci za vebae iz Analize 1, I smer

Nikola Lelas

24. maj 2015

Skup realnih brojeva

Zadatak 1. Neka je S R neprazan skup, koji je ograniqen sa obestrane. Definiximo

S = {x | x S} .Dokazati da je sup(S) = inf(S) i inf(S) = sup(S)Zadatak 2. Neka je S R neprazan skup koji je ograniqen odozgo i > 0 proizvoan realan broj. Definiximo

S = {x | x S} .

Dokazati da je sup(S) = sup(S).

Zadatak 3. Neka je A ={mn | m,n N, 0 < m < n

}. Nai supA i inf A.Rexee: supA = 1, inf A = 0

Zadatak 4. Apsolutna vrednost |.| na R definisana je na sledei na-qin:

|x| ={x, x 0x, x < 0 .

Pokazati da je |x+ y| |x|+ |y| za sve x, y R.(?)Pokazati da za sve x, y R vai ||x| |y|| |x y|.Zadatak 5. Napisati racionalan broj x = 1.1545454 . . . u obliku raz-lomka.

Rexee: x = 1143990

Matematiqka indukcija

Zadatak 6. Dokazati da za sve prirodne brojeve n vai

1 2 3 + 2 3 4 + + n (n+ 1) (n+ 2) = n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)4

.

1

Zadatak 7. Dokazati za sve prirodne brojeve n vai

3 | 5n + 2n+1.

Zadatak 8. Dokazati za sve prirodne brojeve n 5 vai

2n > n2.

Zadatak 9. Dokazati za sve prirodne brojeve n 2 vai7

9 2628 . . . n

3 1n3 + 1

=2

3

(1 +

1

n(n+ 1)

).


11+

12+ + 1

n> 2(n+ 1 1).

Zadatak 11 (?). Dokazati binomnu formulu :

(a+ b)n =

nk=0

(n

k

)ankbk,

za proizvone realne brojeve a i b i svako n N.Napomena: Koristiti identitet

(nk

)+(nk+1

)=(n+1k+1

).


12 + 22 + + n2 = n(n+ 1)(2n+ 1)6

.

Zadatak 13. Dokazati za sve prirodne brojeve n 2 vai(1 1

4

)(1 1

9

) . . .

(1 1

n2

)=n+ 1

2n.

Zadatak 14 (??). Dokazati da se n kvadrata mogu isei na delove takoda se od ih moe sastaviti novi kvadrat.

Realni nizovi

Zadatak 15. Dokazati po definiciji da je

1. limn n2n+2

3n2+2n4 =13 .

2. limn1+(1)n2

n2= 0.

3. limn log2

(1 +

1

n+1

)= 0.

2

Zadatak 16. Izraqunati sledee graniqne vrednosti

1. limn n sinn!n2+1 .

2. limn 2n cosnpi.

Rexee: 1. 0, 2. 0

Zadatak 17. Ako je q 1 realan broj, dokazati da niz (qn)nN nemagraniqnu vrednost (ni konaqnu ni beskonaqnu).


1. limn(n+1)3(n1)2(n+1)3+(n1)3 .

2. limn(2n+1)4(n1)4(2n+1)4+(n1)4 .

3. limn(

2n2

2n+3 +13n33n2+1

).

4. limn(

3n2

2n+1 +16n31+4n2

).

Rexee: 1. 12 , 2.1517 , 3. 32 , 4. 34Zadatak 19. Izraqunati sledee graniqne vrednosti

1. limn n!(n+1)!n! .

2. limn(n+2)!+(n+1)!

(n+3)! .

3. limn(n+2)!+(n+1)!(n+2)!(n+1)! .

Rexee: 1. 0, 2. 0, 3. 1


1. limn 2n12n+1 .

2. limn 21n1

21n+1.

3. limn 21

n+1+51

n+1

21n+5

1n.

Rexee: 1. 1, 2. 0, 3. 1

3

Zadatak 21. Neka su a1, a2, . . . , ak proizvoni pozitivni realni bro-jevi. Izraqunati graniqnu vrednost

limn

nan1 + a

n2 + + ank = `.

Rexee: ` = max{a1, a2, . . . , ak}Zadatak 22. Dokazati da su nizovi xn =

n+ 1n i yn = 1n! 1(n+1)!opadajui i odrediti ihove graniqne vrednosti.

Rexee: limn xn = limn yn = 0

Zadatak 23. Dokazati da je niz

an = 1 +1

1!+

1

2!+

1

3!+ + 1

n!

konvergentan.

Zadatak 24 (?). Nai graniqnu vrednost limnnn!n .

Rexee:

1e

Zadatak 25. Ispitati monotonost sledeih nizova

1. xn =101 113 . . . n+92n12. yn =

3n+ 1 3n3. zn =

(1 + 12

)(1 + 14

). . .(1 + 12n

)Rexee: xn i yn su opadajui, a zn je rastui

Zadatak 26. Izraqunati graniqnu vrednost

limn

(1

1 2 +1

2 3 + +1

n(n+ 1)

)= `.

Rexee: ` = 1

Zadatak 27. Nai sve taqke nagomilavaa sledeih nizova

1. xn = n+ 5 cos npi3

2. yn = 3n1n+2 sin npi2Rexee: Kako je limn xn = , sledi da niz (xn) nema taqaka nago-milavaa u R, dok mu je jedina taqka nagomilavaa u R taqka 1 .Taqke nagomilavaa niza (yn) su {3, 0, 3}.1R = R {+,}

4

Zadatak 28 (?). Nai sve taqke nagomilavaa i ispitati konvergen-ciju niza

an =

(n+ 2

n 2)(1)nn

+ sinnpi

2.

Rexee: Taqke nagomilavaa niza an su {e4, e4 + 1, e4 1}. Odatlesledi da niz nije konvergentan (ima vixe od jedne taqke nagomilavaa).

Zadatak 29. Koristei Koxijev kriterijum konvergencije dokazati

da niz

an =sin 1

2+

sin 2

22+ + sinn

2n

konvergira.

Zadatak 30 (?). Koristei Koxijev kriterijum konvergencije doka-zati da niz

bn =1

ln 2+

1

ln 3+ + 1

lnnne konvergira.

Zadatak 31. Ispitati monotonost i ograniqenost niza

an =3

3 + 1+

3

32 + 2+ + 3

3n + n.

Rexee: Niz (an) je monotono rastui i ograniqen sa obe strane.


1. limn(

3n6 n4 + 5 n2

)

2. limn(

n2 5n+ 3n2 + 3n 5)

3. limn(

n2 + 2n+ 7n2 4n 5)Rexee: 1. 14 , 2. 4, 3. 3Zadatak 33. Izraqunati graniqnu vrednost

limn

(1 + 3 + 5 + + (2n 1)

n+ 1 2n+ 1

2

)= `.

Rexee: ` = 32Zadatak 34. Izraqunati sledee graniqne vrednosti

5

1. limn2 42 . . . 2n22. limn 2+2

2+23++2n52n+2

Rexee: 1. 2, 2. 110


1. limn(2n+32n5

)n2. limn n2 ln

(n3+3n2+5n+2n3+3n2+3n+1

)Rexee: 1. e4, 2. 2

Zadatak 36. Odrediti sve taqke nagomilavaa niza

xn = 1 +n

n+ 1cos

npi

2.

Rexee: {0, 1, 2}Zadatak 37. Odrediti graniqnu vrednost niza

Sn =1

3+

2

32+ + n

3n.

Rexee: limn Sn = 34Zadatak 38. Dat je niz

bn =

2 +

2 + +

2 (n korena).

Dokazati da taj niz konvergira i nai mu graniqnu vrednost.

Rexee: limn bn = 2

Zadatak 39. Niz (an) je zadatak rekurentnom relacijom

an+1 = an(2 an), n 1, a1 = 12.

Dokazati da je niz (an) konvergentan i odrediti mu graniqnu vrednost.Rexee: limn an = 1

Zadatak 40. Niz (an) je zadatak rekurentnom relacijom

an+1 =an 1an + 3

, n 0, a0 = 1.

Dokazati da je niz (an) konvergentan i odrediti mu graniqnu vrednost.Rexee: limn an = 1

6

Zadatak 41. Neka su an i bn nizovi takvi da je limn an = + ilimn bn = b, pri qemu je b (konaqan) realan broj. Pokazati da je tadalimn(an + bn) = +.

Zadatak 42. Pretpostavimo da su svi qlanovi niza (an) nenegativni.Pokazati da tada vai

limn an 0,pod uslovom da ta graniqna vrednost postoji. Dodatno, izvesti i po-

sledicu po kojoj za svaka dva konvergentna niza (an) i (bn) za koje je

an bn, za sve n N poqevxi od nekog,

vai

limn an limn bn.

Zadatak 43. Nai primer konvergentnih nizova (an) i (bn) za kojevai

an < bn, za sve n N poqevxi od nekog,ali ne vai

limn an < limn bn.

Zadatak 44 (??). Dokazati da je broj e iracionalan.


limn

1 2 + 2 3 + + n (n+ 1)n3

.

Rexee:

13


limn

22 + 42 + + (2n)2(2n+ 1)(n 2)(n+ 3)

Rexee:

23


limn

(1p + 2p + + np

np np+ 1

), p N.

Rexee:

12

7


limn

(1 + 3 + + (2n 1)

n+ 1 2n+ 1

2

).

Rexee: 32Zadatak 49. Izraqunati graniqnu vrednost

limn

12 +

35 + . . .

2n1n2+1

n.

Rexee: 22


limn

1 1! + 3 2! + + (2n 1) n!(n+ 1)!

Rexee: 2

Graniqne vrednosti funkcija i asimptote


1. limx2 x23x+2x25x+6

2. limx1 3x44x3+1(x1)2

3. limx1 x41x1

Rexee: 1. 1, 2. 6, 3. 4Zadatak 52. Izraqunati sledee graniqne vrednosti

1. limx41+2x3x2

2. limx+x2+1x+1

3. limxx2+1x+1

4. limx+(

31 x3 + x

)5. limx

(1 + x+ x2 1 x+ x2

)Rexee: 1. 43 , 2. 1, 3. 1, 4. 0, 5. 1

8

Zadatak 53. Izraqunati leve i desne graniqne vrednosti funkcija

1. f1(x) =1

x21 u taqkama 1 i 1

2. f2(x) =1

1+e1xu taqki 0

3. f3(x) = arctg1

1x u taqki 1

4. f4(x) = [x] u taqki k, k ZRexee: 1. limx1 f1(x) = , limx1 f1(x) = , 2. limx0+ f2(x) =0, limx0 f2(x) = 1, 3. limx1 f3(x) = pi2 4. limxk+ f4(x) = k, limxk f4(x) =k 1Zadatak 54. Izraqunati sledee graniqne vrednosti (pri qemum,n, a R)

1. limx0 sinmxsinnx

2. limx0 cosmxcosnxx2

3. limx0 tg xsinxsin3 x

4. limxpi4tg 2x tg(pi4 x)

5. limx+ sinxx

Rexee: 1. mn , n 6= 0, 2. 12(n2 m2), 3. 12 , 4. 12 , 5. 0Zadatak 55. Izraqunati graniqnu vrednost

limx0

ln cos ax

ln cos bx

u zavisnosti od realnih parametara a i b.Rexee:

(ab

)2, b 6= 0Zadatak 56. Odrediti asimptote grafika sledeih funkcija

1. f1(x) =x+1x

2. f2(x) = x 10x3. f3(x) = x 3 + 1x2Zadatak 57. Nai asimptote grafika sledeih funkcija

1. y = 2x23x+5x24x

2. y = 2x1x2+x2

9

3. y = x 2 + 1x34. y =

x2 3x+ 25. y = 3

x2 x3

Zadatak 58. Dokazati da ne postoji graniqna vrednost

limx0

sin1

x.


1. limxaxa+xa

x2a2 , a > 0

2. limx89+2x53x2

3. limx+

x+x+x

x+1

4. limx1(1 x) tg pix2Rexee: 1. 1

2a, 2. 125 , 3. 1, 4.

2pi


1. limx0(1 2x) 1x

2. limxpi4(tg x)tg 2x

3. limx0(cosx)ctg2 x

4. limx1(1 + sinpix)ctg pix

5. limx(x2+x+1x2x1

)xRexee: 1. e2, 2. e1, 3. e

12 , 4. e1, 5. e2


limx+

ln(1 + 3x)

ln(1 + 2x),

kao i graniqnu vrednost

limx

ln(1 + 3x)

ln(1 + 2x).

Rexee:

ln 3ln 2 odnosno 0.

10

Zadatak 62. U zavisnosti od pozitivnih realnih parametara a, b i cizraqunati graniqnu vrednost

limx0

(ax + bx + cx

3

) 1x

.

Rexee:

3abc

Zadatak 63 (?). Date su funkcije

fn(x) =1 cosx cos 2x cosnx

x2

za svaki prirodan broj n.

1. Pokazati da postoji limx0 fn(x) = fn za sve n N.2. Odrediti vezu izmeu fn i fn1.

3. Izraqunati fn.

Rexee: fn =112n(n+ 1)(2n+ 1)

Zadatak 64. Odrediti asimptote grafika sledeih funkcija

1. y = 1x + 4x2

2. y = x2x2+1

3. y = 2x23x+5

(x1)(x2)

Zadatak 65. Odrediti konstante a i b tako da je

limx

(x2 x+ 1 ax b

)= 0.

Rexee: a = 1, b = 12Zadatak 66. Izraqunati sledee graniqne vrednosti

1. limx1 x2xx1

2. limxaxbabx2a2 , a > b

3. limx031+x2 412x

x+x2

Rexee: 1. 3, 2. 14aab , 3.

12


11

1. limya(sin ya2 tg

piy2a

)2. limxpi

2

(2x tg x picosx

)3. limx0

cos(a+x)cos(ax)x

4. limhsin(a+2h)2 sin(a+h)+sin a

h2

Rexee: 1. api , 2. 2, 3. 2 sin a, 4. sin aZadatak 68. Izraqunati sledee graniqne vrednosti

1. limx021+cosxsin2 x

2. limx01+x sinxcos 2x

tg2 x2

3. limx0 1cosxcos 2x

x2

4. limx1piarccosx

x+1

Rexee: 1.28 , 2. 6, 3.

32 , 4.

12pi


1. limx0 ex2cosxx2

2. limx0 exexsinx

3. limx0 esin 2xesin x

x

Rexee: 1. 32 , 2. 2, 3. 1


1. limxpi2tg2 x

(2 sin2 x+ 3 sinx+ 4

sin2 x+ 6 sinx+ 2

)2. limx0

1cos(1cosx)x4

3. limx+(x2(1 cos 1x

))4. limx+

(cosx+ 1 cosx)Rexee: 1. 112 , 2.

18 , 3.

12 , 4. 0


1. limx+(arctg x+1x+2 pi4

)2. limx+

(x(arctg x+1x+2 arctg xx+2

))12

3. limx0 arcsinxarctg xx3

Rexee: 1. 12 , 2. 12 , 3. 12Zadatak 72. Pokazati da je prava y = 2x+ 1 kosa asimptota grafikafunkcije

y =2x4 + x3 + 1

x3.

Zadatak 73. Odrediti asimptote grafika sledeih krivih

1. y = 1x24x+5

2. y = c+ a2

(xb)2 , a, b, c R

3. y = x ln(e+ 1x

)4. y = xe

1x2

5. y = xe2x + 1

6. y = 2x+ arctg x2

Neprekidnost

Zadatak 74. Ispitati neprekidnost funkcije f(x) definisane sa

f(x) =

0, x < 0,

x, 0 x < 1,x2 + 4x 2, 1 x < 3,4 x, x 3.Zadatak 75. Odrediti konstantu a tako da funkcija

f(x) =

{x+ 1, x 13 ax2, x > 1bude neprekidna.

Rexee: a = 1

Zadatak 76. Neka je

f(x) =

2 sinx, x pi2A sinx+B, pi2 < x < pi2cosx, x pi2 .Odrediti konstante A i B tako da funkcija f(x) bude neprekidna.Rexee: A = 1, B = 1

13

Zadatak 77. Funkcija

f(x) =x2 1x3 1nije definisana u taqki x = 1. Ispitati da li se moe dodefinisativrednost f(1) tako da dobijena funkcija bude neprekidna i u sluqajupozitivnog odgovora odrediti f(1).Rexee: Moe. f(1) = 23

Zadatak 78. Ispitati da li se funkcije

sinxx i

cosxx mogu dodefinisati

do neprekidnosti na celom skupu realnih brojeva.

Zadatak 79. Ispitati neprekidnost funkcije g(x) definisane na sledeinaqin:

g(x) =

{ |x|x , x 6= 00, x = 0.

Zadatak 80. Odrediti sve taqke prekida funkcije

y =1

ln|x| ,

kao i ihovu prirodu.

Zadatak 81. Pokazati da funkcija

f(x) =

{1

1+21x, x 6= 0,

2, x = 0

ima u taqki x = 0 prekid prve vrste.

Zadatak 82. Ispitati da li se funkcija

g(x) = 221

1x

moe dodefinisati u taqki x = 1 tako da je dobijena funkcija nepre-kidna.

Rexee: Ne moe.

Zadatak 83 (?). Nai sve taqke prekida funkcije f(x) definisane sa

f(x) =

(x+ 1) 2(

1|x|+

1|x|), x 6= 0,

0, x = 0.

Rexee: Funkcija ima prekid prve vrste u taqki x = 0.

Zadatak 84. Dodefinisati naredne funkcije u taqki x = 0 tako dadobijene funkcije budu neprekidne

14

1. f1(x) =1+x1

31+x1

2. f2(x) =tg 2xx

3. f3(x) = sinx sin1x

4. f4(x) = (1 + x)1x

5. f5(x) = e 1x2

6. f6(x) =

{1+sinx1+x , x < 0,1 + x, x > 0.

Rexee: 1. 32 , 2. 2, 3. 0, 4. e, 5. 0, 6. 1

Zadatak 85. Ispitati neprekidnost funkcije

f(x) =

{cos pix2 , |x| 1,|x 1|, |x| > 1.


f(x) =

{x2, 0 x 1,2 x, 1 < x 2.


f(x) = x2 [x2].

Zadatak 88. Ispitati neprekidnost sloenih funkcija f g i g fako je

f(x) = sgnx, g(x) = 1 + x2

f(x) = sgnx, g(x) = x(1 x2).Zadatak 89. Ispitati neprekidnost funkcije

f(x) =

{ex, x < 0,

a+ x, x 0u zavisnosti od konstante a.Rexee: Funkcija je neprekidna na celom R za a = 1, inaqe u taqkix = 0 ima prekid prve vrste.

Zadatak 90. Ispitati da li kvadrat prekidne funkcije mora i sam

biti prekidna funkcija.

15

Izvodi

Zadatak 91. Nai izvode sledeih funkcija

1. f1(x) =2x23x+54x2+2x3

2. f2(x) =1+xx

1xx

3. f3(x) = 2x(x2 + 1)

4. f4(x) = ln(x+x2 1)

5. f5(x) =12 ln

1+x1x

6. f6(x) =arcctg(x)

x

Rexee: 1. f 1(x) =16x252x+1(4x2+2x3)2 , 2. f

2(x) =

x

(1xx)2 , 3. f3(x) = 2

x(x2 ln 2+

2 ln 2), 4. f 4(x) =1x21 , 5. f

5(x) =

11x2 , 6. f

6(x) = 1x(1+x2) arcctg xx2Zadatak 92. Nai izvode sledeih funkcija

1. f1(x) = arctg1x

2. f2(x) = ln(ln(lnx))

3. f3(x) = (sinx)cosx

Rexee: 1.f 1(x) = 11+x2 , 2.f 2(x) = 1x lnx ln lnx , 3.f 3(x) = sinx1+cosx(ctg2 xln sinx)

Zadatak 93. Dokazati da je

1. (sinx)(n) = sin(x+ npi2 ), n N

2. (cosx)(n) = cos(x+ npi2 ), n N

3. (lnx)(n) = (1)n1 (n1)!xn , x > 0, n N

Zadatak 94. Nai n-ti izvod funkcije

f1(x) = xex,

kao i funkcije

f2(x) = x lnx.

Rexee: (f1(x))(n) = ex(x+ n), (f2(x))

(n) = (1)n (n2)!xn1 , n 2

16

Zadatak 95. Odrediti taqku u kojoj tangenta krive

y = x2 3x+ 2gradi sa x-osom ugao = pi4 .Rexee: x = 2

Zadatak 96 (?). Data je funkcija

f(x) =

{x2 sin 1x , za x 6= 0,0, za x = 0.

1. Dokazati da je funkcija f(x) neprekidna.

2. Dokazati da f(x) ima izvod u taqki x = 0 i da je on jednak nuli.

3. Dokazati da f(x) nema drugi izvod u taqki x = 0.

Zadatak 97 (?). Neka je f funkcija koja je definisana i dva putadiferencijabilna za sve x x0. Odrediti konstante a, b i c takve dafunkcija

F (x) =

{f(x), x x0,a(x x0)2 + b(x x0) + c, x > x0.bude dva puta diferencijabilna.

Rexee: a = 12f(x0), b = f (x0), c = f(x0)

Zadatak 98. Pokazati da funkcija

y(x) = C1 cosx+ C2 sinx,

pri qemu su C1 i C2 proizvone konstante, zadovoava jednaqinu

y(x) + y(x) = 0, x R.Zadatak 99. Odrediti y(10) ako je y = e

x

x .

Rexee: y(10) = ex10n=0

(1)n(10n ) n!xn+1Zadatak 100. Pokazati da jednaqina

x3 + 3x 6 = 0ima samo jedno realno rexee.

Zadatak 101. Pokazati da za sve x < 0 vai

x x3

6< sinx.

17

Zadatak 102. Dokazati da je

arcsinx = arctgx

1 x2

za sve x (1, 1).Zadatak 103. Dokazati sledee nejednakosti

1. cosx > 1 x22 , x > 02. lnx x 1, x > 03. ex > 1 + x, x 6= 0Zadatak 104. Ispitati monotonost sledeih funkcija

1. f1(x) = x3

2. f2(x) =2x

1+x2

3. f3(x) = x2ex

Zadatak 105. Odrediti Maklorenov polinom n-tog stepena funkcije

f(x) = (1 + x), R \ N.

Rexee: Mn(x) = 1 + x+(2

)x2 + + (n)xnZadatak 106. Odrediti Maklorenov polinom petog stepena funkcija

1. f1(x) = tg x

2. f2(x) = arctg x

3. f3(x) = arcsinx

Zadatak 107. Odrediti intervale monotonosti i lokalne ekstremume

sledeih funkcija

1. f1(x) = x3 6x2 + 9x 42. f2(x) = cos

2 x

3. f3(x) = x23 (x2 1) 13

4. f4(x) = xe|x1|

5. f5(x) = xnex, n N

18

Zadatak 108. Odrediti najmau i najveu vrednost funkcije

f(x) = 2x

na segmentu [1, 5], kao i funkcije

g(x) = x+1

x

na segmentu [ 1100 , 100].Rexee: min f = 12 , max f = 32, min g = 2, max g = 100.01

Zadatak 109. Odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti, kao i

prevojne taqke sledeih funkcija

1. f1(x) = x+ sinx

2. f2(x) = x lnx

3. f3(x) = xx

4. f4(x) = x2ex

Zadatak 110 (?). Nai n-ti izvod funkcije

f(x) =

{e

1x2 , x 6= 0

0, x = 0

u taqki x = 0.Rexee: f (n)(0) = 0 za sve n N

Zadatak 111 (?). Funkciju f(x) = x21 x2 aproksimirati u okolinitaqke a = 0 Tejlorovim polinomom xestog stepena i oceniti grexkuako je 0 x 12 .Rexee:

Zadatak 112 (?). Izraqunati 31.1 sa taqnoxu na pet decimala.Rexee: 1.03228

Zadatak 113 (?). Izraqunati ln 0.9 sa taqnoxu na qetiri decimale.Rexee: 0.1054

Zadatak 114 (?). Napisati Maklorenov polinom funkcije ex kojiomoguava izraqunavae vrednosti te funkcije na intervalu 1 x 2 sa grexkom maom od 103.Rexee: U pitau je odgovarajui polinom stepena 10

19

Zadatak 115 (?). Odrediti interval za x tako da je priblina for-mula

cosx 1 x2

2+x4

24

daje vrednost kosinusa sa grexkom maom od

12 105.Rexee: |x| < 0.39149Zadatak 116. Odrediti lokalne ekstremume narednih funkcija

1. f1(x) = 2x2 x4

2. f2(x) =ln2 xx

3. f3(x) =3(x 1)2(x+ 1)4. f4(x) = x

3 + 3ax+ 1, a RZadatak 117. Dokazati da je za x 0 i 0 < < 1, ispueno

x x 1 .

Zadatak 118 (?). Od svih pravougaonika date povrxine P odreditionaj sa najmaim obimom.

Rexee: U pitau je kvadrat date povrxine (tj. stranice jednake

P ).

Zadatak 119. Primenom Lopitalovih pravila izraqunati sledee gra-

niqne vrednosti

1. limx0 x ctg x1x2

2. limx0 xex+x2ex+2

x3

3. limx0 arcsin 2x2 arcsinxx3

4. limx0 axasin xx3

, a > 0

Rexee: 1. 13 , 2. 16 , 3. 1, 4. 16 ln aZadatak 120. Primenom Lopitalovih pravila izraqunati sledee gra-

niqne vrednosti

1. limx1(2 x)tg pix2

2. limxpi2(tg x)sin 2x

3. limx+ x1x

Rexee: 1. e2pi , 2. 1, 3. 1

20

Zadatak 121. Primenom Lopitalovih pravila izraqunati sledee gra-

niqne vrednosti

1. limxpi2

(x

ctg x pi2 cosx)2. limx0

(1+x)1xe

x

Rexee: 1. 1, 2. e2Zadatak 122. Primenom Lopitalovih pravila izraqunati sledee gra-

niqne vrednosti

1. limx0 (x lnx)

2. limx+(x sin ax

), a R

3. limx+ (lnx (pi 2 arctg x))

Rexee: 1.0, 2. a, 3. 0

Zadatak 123 (?). Dokazati da su sve nule izvoda polinoma

p(x) = (x+ 1)(x 1)(x 2)(x 3)

realne i odrediti intervale u kojima se one nalaze.

Zadatak 124. Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije

f(x) = e|x|

u taqki x = 0.Rexee: Neprekidna je, ali nije diferencijabilna.

Zadatak 125. Funkcija f(x) = |sinx| je neprekidna u taqki x = 0.Dokazati da u toj taqki ona nije diferencijabilna. Ispitati da li

ima jox taqaka u kojima f(x) nije diferencijabilna.

Zadatak 126. Odrediti taqku u kojoj je tangenta parabole y = x2 nor-malna na pravu 2x 6y + 5 = 0.Rexee:

(32 , 94)Zadatak 127. Dokazati da kriva

y =x+ 1

x2 + 1

ima tri prevojne taqke koje lee na jednoj pravoj.

21

Zadatak 128. Iz taqke P (0,2) povuqene su tangente na krivu y =2x2 + x 1. Odrediti jednaqine odgovarajuih tangenti, kao i ihovedodirne taqke sa krivom.

Rexee: U taqki

(12, 1

2

)tangenta je y+2 = (2

2+1)x, dok je u taqki(

12, 1

2

)tangenta y + 2 = (1 22)x.

Zadatak 129. Detano ispitati tok i skicirati grafike sledeih

funkcija

1. y = x2 x3

2. y = 4x1+x2

3. y = x2x2+1

4. y = x23 (x2 1) 13

5. y = x2 lnx

6. y = x+ ex

7. y = sin3 x+ cos3 x

8. y = arcsin 2x1+x2

Zadatak 130. Detano ispitati tok i skicirati grafike sledeih

funkcija

1. y = 2x35x2+14x6

4x2

2. y = logx23x+2 2

3. y = sinx2+cosx

4. y = x lnxx21

5. y = xex2

6. y = x arctg x

7. y = xe1

ln(x)

8. y = ln(x+4x2)2 43x9. y = 3

(x+ 1)2 3

x2

10. y = x3

3(2+x3)2

22

11. y =(x+ 1)2 ln (x+ 1)2

12. y = arcsin 2x

1+x

13. y = arctg(1 + 1x

)14. y = arcsin 1x

2

1+x2 217x

23

Zadaci za vezbanje

Documents

Transcript of Zadaci za vezbanje