1

ZADACI

IZ MEHANIKIH SVOJSTAVA MATERIJALA I ODREIVANJA OSNOVNIH PARAMETARA STANJA

2

1. tap poprenog preseka 20x75 mm je optereen silom od 480 KN. Normalni napon kojim deluje ova sila na tap odgovara taki proporcionalnosti (p) na dijagramu -. Pod dejstvom ovog napona tap se izdui za 6,8mm. Duina tapa je 1,6 m. Ako je Poasonov koeficijent jednak 0,32 izraunati:

a) Modul elastinosti b) Napon koji odgovara granici proporcionalnosti c) Skupljanje tapa u bonom pravcu Reenje: a) Povrina poprenog preseka je A = (20 mm)(75 mm) = 1500 mm2 Tako, normalni napon koji odgovara pritisku od 480 KN iznosi = E , odnosno = F/A = (480 KN)(1000 N/KN)/(1500 mm2) = 320 MPa Deformacija tapa u pravcu dejstva sile je = l/lo = (6,8 mm)/((1,6 m)(1000 mm/m)) = 0,004250 mm/mm Onda je modul elastinosti E = / = (320 MPa)/(0,00425 mm/mm) = 75 294 MPa = 75,3 GPa b) Kako je naznaeno u zadatku, napon u tapu odgovara naponu u taki p (taka

proporcionalnosti) na radnom dijagramu materijala, stoga je p = 320 MPa

c) Vrednost Poasonovog koeficijenta je data kao = 0,32. Deformaciju u pracu sile koja

deluje smo prethodno izraunali i iznosi: pod = 0,004250 mm/mm Odgovarajui popreni napon se moe odrediti iz Poasonovog koeficijenta = -pop/pod pop = - pod = -(0,32)(0,004250 mm/mm) = -0,001360 mm/mm Koristei ovu deformaciju, izraunavamo promenu u irini tapa irina = pop irina = (-0,001360 mm/mm)(75 mm) = -0,102 mm Promena u visini tapa je visina = pop visina = (-0,001360 mm/mm)(20mm) = -0,0272 mm

2. Cilindar nainjen od nekog metala duine 500 mm sa prenikom 12.7 mm, izloen je

dejstvu sile na zatezanje. Ako se poe od injenice da cilindar ne sme da bude plastino deformisan, niti da deformacija sme da pree vrednost izduenja od 1.3 mm kada se primeni sila od 29 kN, koji od etiri materijala, sa karakteristikama datim u tabeli, zadovoljava postavljene uslove. Objasni svoj izbor(e).

Materijal Modul

elastinosti (GPa)

Napon teenja (MPa)

vrstoa pri zatezanju

(MPa) Legura aluminijuma

70 255 420

Mesing 100 345 420 Bakar 110 210 275 elik 207 450 550

3

Reenje: Reavanje ovog problema zahteva da proverimo koji od etiri materijala u tabeli nee trpeti (1) plastinu deformaciju, (2) niti se izduiti za vie od 1.3 mm kada se primeni sila od 29 kN. Ako elimo da nam materijal ne trpi plastinu deformaciju onda sila kojom optereujemo materijal ne sme proizvesti napon koji je vei od napona teenja. Na prvom mestu treba izraunati napon koji odgovara sili 29 kN; materijal koji e zadovoljiti uslove date u tabeli mora obavezno imati napon teenja vei od ove vrednosti. Tako,

F 29kN 230MPa3A 12.7 10o

2

Na osnovu vrednosti od 230MPa proizilazi da samo bakar ne zadovoljava prvi uslov. Za preostale materijale treba izraunati izduenje: Aluminijum

o

o3

l El

230MPa 500mmll 1.64mmE 70 10 MPa

Na osnovi izraunate vrednosti sledi da aluminijum ne zadovoljava postavljeni uslov. Mesing

3

230MPa 500mml 1.15mm207 10 MPa

Mesing zadovoljava uslov elik

l 0.56mm

Oba uslova zadovoljavaju samo mesing i elik. 3. Na slici 1 je prikazan radni dijagram elika.

Odrediti: a) Modul elastinosti b) Taku proporcionalnosti-p c) Napon teenja d) vrstou pri zatezanju

Slika 1

4

Reenje: Na osnovu radnog dijagrama materijala za elik moe se odrediti: a) Modul elastinosti kao nagib linearnog dela krive -; Ovo je lake uraditi koristei manju

sliku. Izabraemo sa dijagrama u pravolinijskom delu dve take. Taka 1 je u koordinatnom poetku, a taka 2 odgovara naponu od 1300 MPa. Deformacija za napon od 1300 MPa se oitava sa dijagrama i iznosi 6,25x10-3

2 1 32 11300 0 MPa

E 210GPa 6.25 10 0

b) Taka granice proporcionalnosti-p je vrednost napona koji odgovara taki na kraju linearnog dela krive -. Vrednost mu je priblino 1370MPa.

c) Linija koja se povlai paralelno sa pravolinijskim delom krive - iz take 0.002 daje u preseku taku kojoj odgovara vrednost napona od 1570 MPa.

d) vrstoa pri zatezanju iznosi 1970 MPa (oitava se sa veeg dijagrama). 4. Sila od 140 kN dejstvuje na uzorak u obliku cilindra nainjenog od elika (radni dijagram

je prikazan na slici 1) sa poprenim presekom od 10 mm. a) Koju vrstu deformacije trpi uzorak: elastinu i/ili plastinu deformaciju. Zato? b) Ako je poetna duina 500 mm, koliko e se uzorak izduiti pri dejstvu ove sile.

Reenje: Pri reavanju ovog zadatka potrebno je odrediti karakteristike uzorka od elika iji

dijagram - je prikazan na slici 1. a) U cilju definisanja da li se radi o elastinoj ili plastinoj deformaciji moramo izraunati

vrednost napona, zatim ga ucrtati u dijagram napon-deformacija. Tada e se pokazati da li ova taka pripada oblasti gde je elastina ili plastina deformacija

230

F 140kN 1782MPaA 10 10 m

2

Vrednost od 1782 MPa je iznad vrednosti take teenja te je deformacija plastina. b) Potrebno je izraunati izduenje. Sa dijagrama prikazanog na slici 1 se moe oitati

vrednost deformacije koja odgovara naponu od 1782 MPa. Ona iznosi priblino 0.017. Tada se izduenje izraunava prema formuli:

ol l 8.5mm 5. Uzorak nainjen od bronze u obliku cilindra, duine 100 mm moe da se izdui samo 5

mm kada se izloi dejstvu sile od 10 kN. Koliki radijus treba da ima uzorak u tom sluaju? Radni dijagram ovog uzorka je prikazan na slici 2.

Slika 2

5

Reenje: Prvi korak je izraunavanje deformacije koja odgovara ovom izduenju

2

o

l 5mm 5 10l 100mm

Sa slike 2 se vidi da ovoj deformaciji odgovara napon od 335 MPa, to je vee od napona

teenja (mala slika). Tada se za izraunavanje napona ne moe koristiti Hukov zakon. Kako je

2o

F r Onda je

o 6 2F 100kNr 0.0097m 9.7mm 335 10 N / m

6. Vrednost napona za koju poinje plastina deformacija (napon teenja) kod legure bakra iznosi 345 MPa, dok vrednost modula elastinosti iznosi 103 GPa.

a) Koja vrednost maksimalne sile se moe primeniti na uzorak iji popreni presek iznosi 130 mm2 a da pri tom ne doe do plastine deformacije?

b) Ako je poetna duina uzorka 76 mm koju je vrednost maksimalne duine mogue ostvariti a da ne doe do plastine deformacije?

Reenje: a)

. -46

F345 MPa130 10

F 4,485 10 MPa

b)

-3

o

o

345 MPa E 345 MPa l 3,35 101036 GPa l

l 0.254 mml l l 0.076254 mm

7. Uzorak legure elika u obliku cilindra sa prenikom od 10 mm i duine 75 mm izlae se

dejstvu napona na zatezanje, slika 3. Odrediti vrednost izduenja kada se uzorak optereti silom od 23.5 N.

Slika 3

6

Reenje: l=0.01 mm 8. Ispitivanjem krenjakog kamena ija specifina masa iznosi 2700 kg/m3 dobijeno je

upijanje vode od 6.5%, pod uobiajenim uslovima, dok je koeficijent zasienosti iznosio 0.77. Pod pretpostavkom da posmatrani kamen ima iskljuivo otvorenu poroznost i da je data vrednost koeficijenta zasienosti dobijena pri stoprocentnoj popunjenosti svih pora vodom, izraunati zapreminsku masu i poroznost datog kamena.

Reenje: Prvi korak u izraunavanju zapreminske mase kamena po formuli

sv

mV

je da se odredi iz polaznih podataka masa i zapremina.

up

UKU

(videti predavanje)

vz s

s v sv v sv u

sv sv upvz s v v

s

m mm m m V

K Vm m m mm

mvz - masa vode koju uzorak upije u normalnim uslovima (popunjenost otvorenih pora nije potpuna jer pored vode ima i vazduha) mv'- masa vode koju uzorak upije pod pritiskom (popunjenost pora vodom je potpuna) Vu=U-zapremina vode odreena u postupku postepenog upijanja vode Vup=Up

vz s v sv u

s ss

5su s

sv

m m m Vu 100 100 100

m mmu m

V 6.5 10 m 100

5uup s

VV 8.442 10 m

K

Vup-zapremina vode koja u potpunosti popunjava otvorene pore. Zbog toga je Vup jednako po vrednosti sa zapreminom otvorenih pora. Ukupna zapremina tela je jednaka

4a up sV V V 4.548 10 m

Va-zapremina vrste materije bez pora i upljina

4sa s

s

mV 3.704 10 m

Otuda je zapreminska masa jednaka

3s s4

m m 2199kg / mV 4.548 10

Poto je u tekstu zadatka naznaeno da je celokupna poroznost jednaka otvorenoj poroznosti onda

s vo

s

p p 18.6%

7

9. elina cev sa spoljanjim prenikom od 16.5 cm i debljine zidova 0.635 cm optereena je silom od 46.2 kN. Cev je postavljena na kvdratnu elinu plou, a ona na betonsku, slika 4.

a) Izraunati napon u leitu kojim elina cev deluje na metalnu podlogu. b) Ako je pritisak eline ploe na betonsku podlogu ogranien na max 0.62 MPa, izraunati irinu

metalne ploice kvadratnog preseka (a) koja e da zadaovolji ovaj uslov.

Slika 4

Reenje: Napon se izraunava na osnovu izraza

FA

Povrina preko koje deluje sila je povrina poprenog preseka cevi Popreni presek cevi je kruni prsten, a izraunava se preko izraza:

2 2 2 2 2cevi

A (D d ) (0.165 0.1523 ) 0.00314m4 4

d D-2t 0.165 -2 0.00635 0.1523 m

t-debljina krunog prstena a) Napon na graninoj povrini izmeu cevi i metalne ploe je

2

cevi

F 46.2kN 14713kN / m 14.7MPaA 0.00314

b) Sila F koja deluje na elinu cev se prenosi na metalnu plou i preko metalne ploe deluje

na betonsku plou. Napon koji vlada na granici izmeu metalne i betonske ploe se izraunava prema izrazu:

2 2m.ploa min min

min

F F 46.2kN 0.62MPaA a a

0.462a 0.273m0.62

Usvaja se 28cm.

10. Uzorak u obliku prizme sa poprenim presekom 3.2 mm x 19.1 mm, nainjen od magnezijuma, izloen je dejstvu sile zatezanja. Koristei podatke date u tabeli

a) nacrtati dijagram - b) odrediti modul elastinosti c) odrediti napon teenja d) odrediti vrstou e) Izraunati duktilnost

Sila (kN) Duina (mm) 0 63.5

1.38 63.53 2.78 63.56

8

5.63 63.62 7.43 63.7 8.14 63.75 9.87 64.14 12.85 65.41 14.10 66.68 14.34 67.95 13.83 69.22 12.5 70.49

Reenje: Na osnovu rezultata merenja izraunava se i .

(P) 0 0

22.5 0.00047 45.5 0.00094 92 0.0019

121.6 0.0031 133.2 0.0039 161.5 0.01 210 0.03 231 0.05 235 0.07 226 0.09 205 0.11

a) Podaci iz ove tabele su predstavljeni na dva dijagrama, slika 5 i 6.: na prvom je prikazana cela kriva, slika 5. a na drugom samo poetni deo krive, slika 6.

Slika 5 Slika 6

b) Modul elastinosti predstavlja nagib krive u oblasti koja odgovara elastinom ponaanju

materijala. 45,5 MPa-0 MPaE 48,4 GPa 0.00094 0

c) Napon teenja se odreuje na osnovu deformacije 0.002 povlaenjem prave linije paralelne sa pravolinijskim delom dijagrama (druga slika). Ova prava linija see pravu u taki koja odgovara naponu od 140 P.

d) vrstoa pri zatezanju je napon koji odgovara maksimumu na prvom dijagramu (=230 Pa).

e) Duktilnost se izraunava na osnovu relacije m

y

0.07D 14 0.005

9

11. Uzorak nainjen od mesinga, u obliku cilindra, ima prenik 10 mm. Odrediti vrednost sile, ijim dejstvom dolazi do smanjenja prenika za vrednost 2,5x10-3 mm, ako je deformacija potpuno elastina (E=97 GPa), slika 7. Vrednost Poasonovog koeficijenta, je 0,34.

Slika 7

Reenje Za reavanje ovog problema je potrebno koristiti Poasonov koeficijent.

4x

z z

34

x0

4z

4z

2o

z z

2.5 10 d 2.5 10 2.5 10d 10

7.35 10 E 7.35 10 97GPa 71.3 MPa

d F F 5.6kNA 4

12. Radni dijagram zatezanja uzorka od plastike, oblika prikazanog na slici 1, irine 0,05 m i

debljine 0,009525 m ima mernu duinu 0,1016 m, slika 8. U oblasti elastine deformacije ovog materijala za silu 26,7 kN dolazi do izduenja od 0,00058 m i kontrakcije irine za 0,0001 m. Izraunati:

a) Modul elastinosti, E b) Poasonov koeficijent, c) Odrediti koji od dva materijala: (1) ispitan u takama (a) i (b) sa naponom teenja 100

MPa ili (2) materijal sa modulom elastinosti 15 GPa, naponom teenja 150 MPa, Poasonovim koeficijentom 0,4, istih dimenzija kao materijal (1) mogu izdrati skupljanje po irini od 2x10-4 m, a da ne doe do plastine deformacije.

Slika 8

10

Reenje: a)

2 4 2

3z

3z 3

z

F 26.7kN 26.7kN 56MPaA (0.05 0.009525)m 4.7625 10 m

z 0.00058m 5.7 10z 0.1016m

56MPaE E= 10 9.81GPa5.7 10

b)

3x

3x

3z

x 0.0001m 2.0 10x 0.05m

2.0 10 0.355.7 10

c)

4

x

xz

z y

xz

z y

2 10 m 0.0040.05m

0.004Materijal 1: 0.01140.35

=E =9810 0.0114=112MPa > =100MPa

0.004Materijal 2: 0.010.4

=E =15000 0.01=150MPa < =160MP

a

Materijal 2 moe da se upotrebi a da pri tome ne doe do plastine deformacije.

13. Na stub kvadratnog poprenog preseka (a=12 cm) deluje sila P. Sila P se u ravni AV

razlae na komponente N i V. Ako je intenzitet sile P 450 kN koliki napon stvara sila N na povrini AV, a koliki sila V po istoj povrini (V/AAV). Kako se zove napon koji pri svom delovanju proizvodi komponenta V po povrini AV?

60

a a

30

V

N

Pn

t

11

Reenje:

N

14. Na punoj opeci normalnog formata (250x120x65 mm), odreeno je upijanje vode. Ako je

masa potpuno suve opeke bila 3.471 kg, a vlane 3.826 kg odrediti: a) Zapreminsku masu, upijanje vode opeke b) Ukupnu poroznost opeke kao materijala, pretpostavljajui da se zatvorena i otvorena poroznost materijala odnose kao 1:4. c) Specifinu masu opeke Specifina masa vode je 1000 kg/m3.

Reenje:

a) 333.471kg 1780kg/m

0.25 0.12 0.065m

ov ov

o

m m 3.826 3.471U 100 100 10.2%m 3.471

b) o vov

1780P U 10.2 18.2% 1000

o z o o o1 5 5P P P P P P 18.2 22.7%4 4 4

zP 4.5% , oP 18.2%

c) s s ss

P 0.227

s 0.773 3

s 2302,7 kg / m 15. Opeka normalnog formata (250x120x65 mm sa upljinom, slika 9) osuena je u sunici.

Nakon toga je izmerena masa u suvom stanju (ms=1.986 kg), a potom je potopljena u vodu. Po vaenju iz vode odreena je masa opeke u vodom zasienom stanju (mvz=2.249 kg). U isti uzorak je pod pritiskom dodatno utisnuta voda, i izmerena je masa ovako vodomzasienog uzorka (mvz=2.304 kg). Odrediti:

a) Zapreminsku masu b) Upijanje vode c) Ukupnu, otvorenu i zatvorenu poroznost ako je odnos zapremine zatvornih i otvorenih

pora 1:2

12

d) Specifinu masu opeke

120 cm250 cm

10cm

Slika 9- Puna opeka 250x120x65 mm sa upljinom

Reenje: a) Zapreminska masa

3s 2m 1.986 1.986 1379 kg/mV 0.001440.25 0.12 0.05 3.14 0.065

b) ov o

vo

m m 2.249 1.986U 0.117m 2.249

c) 3 3ov o

oov

m m 2.304 1.986V 0.318 10 m 1000

Zapremina zatvorenih pora

3 3oz

VV 0.159 10 m

2

Ukupna zapremina pora je 3 3

p o zV V V 0.477 10 m

Ukupna poroznost 3

p3

V 0.477 10P 0.331V 1.44 10

P 33.1% z

o

P 11.04%P 22.08%

d) Specifina masa je

3os 3pm 1.986 2062 kg/m

V V 1.44 0.477 10

16. Za odreivanje zapreminske mase kamena nepravilnog oblika (krenjak puar), koji ima

odreenu poroznost, pripremljen je uzorak obeen o konac. Masa konca je zanemarljiva. Odreena je masa kamena u suvom stanju na vazduhu (mo=255 g), potom je suv uzorak potopljen u vodu. Uzorak je ostavljen da stoji u vodi naredna 24 h nakon ega je izmerena masa u vazduhu (m1= 258 g), a potom masa uzorka potopljenog u vodi na hidrostatikoj vagi (m2= 138 g).

Odrediti zapreminsku masu kamena. (ov=1000 kg/m3)

13

Reenje Izraz na osnovu kog se dobija vrednsot zapreminske mase kamena glasi:

3o

1 2

ov

m 0.255 2237 kg/mm m 0.258 0.1441000

17. Za odreivanje poroznosti opeke ugraene u objekat izvaen je iz zida uzorak u obliku

cilindra, prenika, D=10 cm., slika 10. Uzorak je u jednom delu od opeke, h=8 cm, a ostatak je malter. Zapreminska masa maltera je 1950 kg/m3, a ukupna masa cilindra 1,248 kg. Odrediti:

a) Zapreminsku masu opeke b) Specifinu masu opeke za odreivanje ove vrednosti koriena je metoda pri vakuumu

(podaci: mp=23,5 g, mp+s=64,5g, mp+s+v=97,5g, ov=1 g/cm3-specifina masa vode) c) Ukupnu poroznost d) Otvorenu i zatvorenu poroznost ako je odnos Pz:Po=1:2.

8 cm

10 cm

Slika 10

Reenje Zapreminska masa opeke u uzorka u obliku cilindra je

a) 3oo 2o

m 0.942 1500kg / mV 0.10 3.14 0.08

4

2

o u m u m m0.10 3.14m m m m V 1.248 1950 0.02

4

om 1.248 0.306 0.942kg b) p s p 3s

p s w p s

w

m m 64.5 23.5 2412kg / mm m 97.5 64.55050 1

c) s vs

2412 1500P 100 100 37.8% 2412

d) o z z z zP P P 2P P 3P 37.8% zP 12.6%, oP 37.8 12.6 25.2%

14

18. Za opeku predstavljenu na slici 11 odrediti:

a) Dimenzije upljina (a,b) i rastojanje izmeu upljina (), ako je povrina upljina 40% od povrine 219x65 mm.

aa

a

219

mm

b65 mm

250 mm

Slika 11

b) Izraunati zapreminsku masu opeke ako se u upljine postavi mineralna vuna. Masa opeke je 4.3 kg, a zapreminska masa mineralne vune je 600 kgm3. (Ukupnu vrednost zapreminske mase izraunati po foremuli

o m.v.o m.v.

V V V V

, V-ukupna zapremina opeke i mineralne vune

Reenje a) 219 3a 4 (1)

65 b 2 (2) 3ab 0.4 219 65 (3) Reavanjem sistema jednaina dobija se: b 35.5 mm 14.5 mm a 53.3 mm

b) 3 3oV 219 65 3 53.3 35.5 250 2.14 10 m 3 3

V 3 53.3 35.5 250 1.42 10 m

3 33

3

2.14 10 4.3 1.42 10 600 1447 kg/m0.219 0.065 0.250 0.219 0.065 0.2502.14 10

19. Opeka normalnog formata, slika 12, ima dve upljine u obliku valjka sa prenikom

D=0.018 m. upljine su popunjene termikim izolatorom (stiropor, z,s=750 kg/m3). Masa opeke zajedno sa stiroporom iznosi 3,541 kg. Izraunati:

a) Zapreminsku masu opeke b) Specifinu masu opeke ako je zatvorena poroznost 3%, upijanje vode 5% a specifina

masa vode ow= 1000 kg/m3.

15

0,06

5m

Slika 12

Reenje

a)

2 25 3

5 3

5o

5 3 3o

ozo 3 3 3

o

D 0.018 3.14V h 0.065 1.65 10 m4 4

2 V 3.3 10 m

m 3.541 3.3 10 750 3.541 0.02475 3.516kg

V 0.25 0.125 0.065 3.3 10 1.998 10 m

m 3.516kg kg1760.6V 1.997 10 m m

b)

z

zoo v

ow

o z

s z zs 3

s

P 0.031760.6P u 0.05 0.0881000

P P P 0.03 0.088 0.118kgP 0.118 1961.5

1 0.118 m

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

/CreateJDFFile false /Description > /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ > /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ]>> setdistillerparams> setpagedevice