Soluciones de las ecuaciones diferenciales para la tensión y corriente.Representación Grafica

Para tomar en cuenta la naturaleza distribuida de las constantes de la línea de transmisión, considere el siguiente circuito, el cual representa una sección de línea de longitud Δx. V(x) e I(x) denotan la tensión y la corriente en la posición x, la cual se mide en metros desde la derecha, o extremo receptor de la línea. De modo semejante, V(x+Δx) e I(x+Δx) denotan la tensión y la corriente en la posición (x+Δx).

en donde G suele despreciarse para las líneas aéreas de 60 Hz. Escribiendo una ecuación de la LKV para el circuito:

V(x+Δx)=V(x)+(zΔx)I(x) volts.

Si se reacomodan los términos de la ecuación:

Y tomando el límite cuando Δx tiende a cero,

De igual manera, escribiendo una ecuación de la LKC para el circuito

Reacomodando los términos,

Y tomando el límite cuando Δx tiende a cero,

Las dos ecuaciones anteriores respectivamente son ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y de primer orden con dos incógnitas, V(x) e I(x).

SoluciónAl derivar la de I(x) eliminándola se puede utilizar del siguiente modo

O bien

Para la ecuación con una incógnita, V(x). Por inspección, su solución es:

En donde son constantes de integración y

γ, cuyas unidades son , llamada constante de propagación.

Ondas incidentes y reflejadas de voltaje y corriente

Onda incidenteUna onda plana que se encuentra en una región 1 viaja hacia la superficie de una frontera en z=0, es llamada onda incidente que a su ves esta se mueve alejándose de la superficie de la frontera hacia la región 2 conocida como onda transmitida

Onda reflejada

Es una onda que viaja alejándose de la frontera en la región 1 la cual es llamada onda reflejada

Términos EléctricosEl voltaje que se propaga, desde la fuente hacia la carga, se llama voltaje incidente, y el voltaje que se propaga, desde la carga hacia la fuente se llama voltaje reflejado. Es decir, es una cantidad vectorial que representa a la relación del voltaje reflejado al voltaje incidente o corriente reflejada a la corriente incidente.

CONSTANTE DE PROPAGACION

La constante de propagación se utiliza para determinar la reducción en voltaje ó corriente en la distancia conforme una onda TEM se propaga a lo largo de la LT.

σ = α + j β

σ: constante de propagaciónα: Coeficiente de atenuación (neper/unidad de longitud)β: Coeficiente de desplazamiento (rad/unidad de longitud)

Es una unidad compleja definida por:

σ =√(R + jωL)(G + jωC) Ya que el

desplazamiento de fase de 2rad ocurre sobre una distancia de una longitud de onda

A frecuencias de radio e intermedias, ωL>R y ωC>G, por tanto

ATENUACION

Las señales de transmisión a través de largas distancias están sujetas a distorsión que es una pérdida de fuerza o amplitud de la señal. La atenuación es la razón principal de que el largo de las redes tenga varias restricciones. Si la señal se hace muy débil, el equipo receptor no interceptará bien o no reconocerá esta información.

Esto causa errores, bajo desempeño al tener que transmitir la señal. Se usan repetidores o amplificadores para extender las distancias de la red más allá de las limitaciones del cable. La atenuación se mide con aparatos que inyectan una señal de prueba en un extremo del cable y la miden en el otro extremo.

FACTOR DE ATENUACION

Una onda de tensión o corriente experimenta una atenuación de N néper cuando su magnitud cambia en un factor e -N a medida que la onda avanza entre dos puntos en una línea de transmisión. El valor en Nepers se puede cambiar a dB mediante la relación:

1 Néper = 8.686 dB

EJEMPLO DE ATENUACION

FASE

FACTOR DE FASEEl término e-j βz es un número complejo cuya

magnitud es la unidad y cuyo ángulo de fase es bz radianes. No afecta a la magnitud de los fasores de tensión o corriente. Solo afecta a la fase, disminuyéndola en la dirección de incremento de z. β es llamado factor de fase y se expresa en radianes por unidad de longitud.

LONGITUD DE ONDA λ La longitud de onda es la distancia entre puntos

sucesivos de la onda con la misma fase eléctrica. De acuerdo a lo expuesto, la fase original de la onda incidente es (wt +θ ), y es modificada en la medida que la onda avanza, en un factor bz radianes, esto es: (wt - bz + θ ).

 

Al reducirse la vp, la longitud de onda en la línea se reduce también en forma proporcional. En las LT , la velocidad de propagación sería igual a la velocidad de la luz si el dieléctrico entre los conductores fuera aire, pero si el medio tiene una constante dieléctrica relativa er mayor que la unidad, la velocidad de propagación será menor, e igual a :

Nota: El término que multiplica a la velocidad de la luz es denominado factor de velocidad (k), y se expresa como un porcentaje.

La velocidad de fase y la velocidad de propagación son numéricamente iguales en las LT (modo TEM). Para un medio sin pérdidas se puede considerar entonces que:

El tiempo que tarda la onda en avanzar la longitud total de la línea es llamado tiempo de retardo de la línea (td), y es igual a:

ONDA ESTACIONARIA DE VOLTAJE Y CORRIENTE

La relación de onda estacionaria (SWR), se define como la relación del voltaje máximo con el voltaje mínimo, o de la corriente máxima con la corriente mínima de una onda. A ello también se llama relación de voltajes de onda estacionaria (VSWR). En esencia es una medida de la falta de compensación entre la impedancia de carga  y la impedancia característica de la línea de transmisión.

Los máximos de voltaje (Vmax) se presentan cuando las ondas incidentes  y reflejadas están en fase ( es decir, sus máximos pasan por el mismo punto de la línea, con la misma polaridad) y los mínimos de voltaje(Vmin) se presentan cuando las ondas incidentes y reflejadas están desfasadas 180º. La ecuación queda

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA LINEA ABIERTACuando las ondas incidentes de voltaje y corriente alcanzan una

terminación abierta, nada de la potencia se absorbe; toda se refleja nuevamente a la fuente. La onda de voltaje incidente se refleja exactamente, de la misma manera, como si fuera a continuar a lo largo de una línea infinitamente larga.

Las características de una línea de transmisión terminada en un circuito abierto pueden resumirse como sigue:

1. La onda incidente de voltaje se refleja de nuevo exactamente como si fuera a continuar (o sea, sin inversiónde fase).

2. La onda incidente de la corriente se refleja nuevamente 1800 de como habría continuado.

3. La suma de las formas de ondas de corriente reflejada e incidente es mínima a circuito abierto.

4. La suma de las formas de ondas de corriente reflejada e incidente es máxima a circuito abierto

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA LINEA EN CORTO CIRCUITO Así como en una línea de circuito abierto nada de la potencia

incidente será adsorbida por la carga, cuando una línea de transmisión se termina en un cortocircuito. Sin embargo, con una línea en corto, el voltaje incidente y las ondas de corriente se reflejan,nuevamente de la manera opuesta La onda de voltaje se refleja 180 invertidos de como habría continuado, a lo largo de una línea infinitamente larga, y la onda de corriente se refleja exactamente de la misma manera como si no hubiera corto.

Las características de una línea de transmisión terminada en corto puede resumir como sigue:

1.La onda estacionaria de voltaje se refleja hacia atrás 180 invertidos de cómo habría continuado.

2.La onda estacionaria de corriente Se refleja, hacia atrás, como si hubiera continuado.

3.La suma de las formas de ondas incidentes y reflejadas es máxima en el corto.

4.La suma de las formas de ondas incidentes y reflejadas es cero en el corto.