Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales

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Universidad de Antioquia, Depto. de MatematicasCAPITULO3APLICACIONESDELASE.D.DEPRIMERORDEN3.1. APLICACIONESGEOMETRICAS3.1.1. TrayectoriasIsogonalesyOrtogonalesyf(x)xg(x)Figura3.1Enlagura3.1setieneque= + ,luego= ,dondeesel anguloformadoporlastangentesenelpuntodeinterseccion.49 Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas50CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENDenici on3.1(TrayectoriasIsogonales).a). Dada una familia de curvas f(x, y, c) = 0, existe otra familiag(x, y, c) =0que cortaalafamiliaf bajounmismoangulo. Alafamiliag se le llamalafamiliade trayectorias isogonales de f yg(x, y, c) = 0essoluci ondelaE.D.:tan = tan( ) =tan tan 1 + tan tan =f(x) g(x)1 +f(x)g(x)=f(x) y1 +f(x)yb). En particular, cuando = 900, a g se le llama la familia de trayectoriasortogonalesdefyenestecasogessoluci ondelaE.D.:tan tan = f(x)g(x) = 1 = f(x)yEjemplo1.Hallarlastrayectoriasisogonalesa45odelafamiliay(x +c) = 1.Solucion:tan 450=f(x) y1 +f(x)y= 1porderivacionimplcita:ddx (y(x +c)) =ddx (1)y + (x +c)dydx= 0dydx= yx +cEnlaE.D.:1 =yx+c y1 +_yx+c_y=y1yy1 +_y1y_y= y2y1 y2y1 y2y= y2y y(y21) = 1 +y2y=y2+ 1y21 y21y2+ 1 dy= dx Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.1. APLICACIONESGEOMETRICAS 51_1 21 +y2_dy= dxy 2 tan1y= x +Kg(x, y, K) = 0 = y 2 tan1y x KEjercicio 1. Hallar las trayectorias isogonales a 45ode la familia y= ceax,dondecyasonconstantes.(Rta.: y +2a ln |ay 1| = x +c)Ejercicio2.Hallarlastrayectoriasortogonalesdelafamiliay2= cx3.(Rta.: 2x2+ 3y2= C2)Ejercicio3. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de hiperbo-lasequil aterasxy= c.(Rta.: x2y2= C)Ejercicio 4. Determinar lacurvaque pasapor (12,32) ycortaacadamiembrodelafamiliax2+y2= c2formandounangulode60o.(Rta.:3 tan1xy= 12 ln |x2+y2| +3 tan113 12 ln52)Ejercicio5. Hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia decurvasy= C1x2.(Rta.:x22+y2= C)Ejercicio6. Hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia decurvasy= C1ex.(Rta.:y22= x +C)Ejercicio 7. Encuentre la curva que pertenece a la familia de trayectoriasortogonalesdelafamiliadecurvasx +y= C1eyquepasapor(0, 5).(Rta.:y= 2 x + 3ex)3.1.2. ProblemasdePersecuci on:Ejemplo2. Unesquiador acu aticoP localizadoenel punto(a, 0) es Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas52CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENremolcadopor unbote de motor Qlocalizadoenel orgenyviajahaciaarriba a lo largo del eje Y . Hallar la trayectoria del esquiador si este se dirigeentodomomentohaciaelbote.xQyx(a, 0)P(x, y)Figura3.2Soluci on: delconceptogeometricodederivadasetieneque:y= tan = sec2 1,perodelagura3.2yteniendoencuentaquePQ = a,setienequesec = PQx= axporlotanto,y= sec21 = _a2x2 1 = a2x2x, donde x > 0,separandovariables:dy= a2x2xdx,pormediodelasustituci ontrigonometricax=sen enelladoderechodelaE.D.,sellegaaque:y= a ln_a +a2x2x_a2x2+C; Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.1. APLICACIONESGEOMETRICAS 53comoel esquiador arrancadesde el punto(a, 0), entonces las condicionesinicialessonx=a, y=0; sustituyendoenlasoluci ongeneral, seobtienequeC= 0.Luegolasoluci onparticulares:y= a ln_a +a2x2x_a2x2Ejercicio1. Supongaqueunhalc onPsituadoen(a, 0)descubreunapalomaQenelorgen,lacualvuelaalolargodelejeY aunavelocidadv;elhalc onemprendevueloinmediatamentehacialapalomaconvelocidadw.Cualeselcaminoseguidoporelhalc onensuvuelopersecutorio?(Rta.:y=a2_(xa)1+vw1+vw(xa)1vw1vw+c_,dondec =avww2v2)Ejercicio2.Undestructorestaenmediodeunanieblamuydensaquese levanta por un momento y deja ver un submarino enemigo en la supercieacuatrokil ometrosdedistancia.Suponga:i) que el submarino se sumerge inmediatamente y avanza a toda m aquina enunadirecci ondesconocida.ii)queeldestructorviajatreskil ometrosenlnearectahaciaelsubmarino.Que trayectoria debera seguir el destructor para estar seguro que pasara di-rectamente sobre el submarino, si su velocidad ves tres veces la del submari-no?(Rta.: r = e8)Ejercicio3.SupongaqueelejeY ylarectax = bformanlasorillasdeunrocuyacorrientetieneunavelocidadv(enladirecci onnegativadelejeY ).Unhombreestaenelorigenysuperroestaenelpunto(b, 0). Cuandoelhombrellamaalperro,esteselanzaalroynadahaciaelhombreaunavelocidadconstantew(w > v).Cualeslatrayectoriaseguidaporelperro?(Rta.: y=x2[(xb)vw (bx)vw])Ejercicio4. Demuestre que el perro del Ej. anterior nunca tocar a la otraorillasiw < v.Suponga ahora que el hombre camina ro abajo a la velocidad vmientrasllamaasuperro.Podr aestavezelperrotocarlaotraorilla?(Rta.: S,enelpunto(0, bvw)) Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas54CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENEjercicio5. Cuatrocaracolessituadosenlasesquinasdeuncuadrado[0, a] [0, a] comienzan a moverse con la misma velocidad, dirigiendose cadaunohaciaelcaracolsituadoasuderecha.Quedistanciarecorrer anloscara-colesalencontrarse?(Rta.: aunidades)3.1.3. AplicacionesalageometraanalticaEjemplo 3. Hallar la ecuacion de todas las curvas que tienen la propiedadde que el punto de tangencia es punto medio del segmento tangente entre losejescoordenados.Solucion:tan = f(x) = 2y2xy= yx dyy= dxxln |y| = ln |x| + ln |c|ln |y| = lncxy=cx xy= cEjercicio1. EmpleandocoordenadasrectangulareshallarlaformadelespejocurvadotalquelaluzdeunafuentesituadaenelorigensereejeenelcomounhazderayosparalelosalejeX.(Rta.: y2= 2cx +c2)Ejercicio2. Unacurvapasapor el origenenel planoXY , al primercuadrante. El area bajo la curva de (0, 0) a (x, y) es untercio del areadel rectanguloquetieneesospuntoscomoverticesopuestos. Encuentrelaecuaciondelacurva.(Rta.: y= cx2)Ejercicio 3. Encontrar las curvas para las cuales la tangente en un puntoP(x, y)tieneinterceptossobrelosejesXyY cuyasumaes2(x +y)(Rta.: xy= c)Ejercicio 4. Hallar la ecuacion de todas las curvas que tienen la propiedad Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.2. CRECIMIENTOYDESCOMPOSICION 55dequeladistanciadecualquierpuntoal origen, esigual alalongituddelsegmentodenormalentreelpuntoyelinterceptoconelejeX.(Rta.: y2= x2+c)Ejercicio5. Hallarlaecuaciondetodaslascurvasdel planoXY quetienenlapropiedaddequeeltrianguloformadoporlatangentealacurva,elejeXylarectaverticalquepasaporelpuntodetangenciasiempretieneun areaigual alasumadeloscuadradosdelascoordenadasdel puntodetangencia.(Rta.: ln |cy| =215 tan1(4xy15y))Ejercicio6. Hallarlaecuaciondetodaslascurvasdel planoXY quetienenlapropiedaddequelaporciondelatangenteentre(x, y)yelejeXquedapartidaporlamitadporelejeY .(Rta.:y2= Cx)Ejercicio7. Hallarlaecuaciondetodaslascurvasdel planoXY quetienen la propiedad de que la longitud de la perpendicular bajada del origendecoordenadasalatangenteesigualalaabscisadelpuntodecontacto.(Rta.:x2+y2= Cx)Ejercicio8. Hallarlaecuaciondetodaslascurvasdel planoXY quetienenlapropiedaddequelaraz ondel segmentointerceptadoporlatan-genteenelejeOY alradiovector,esunacantidadconstantek.(Rta.:y=12(Cx1k1Cx1+k))Ejercicio9.Hallarlaecuaciondetodaslascurvasdel planoXY paralascualeslalongituddelsegmentointerceptadoenelejeY porlanormalacualquiera de sus puntos es igual a la distancia desde este punto al origen decoordenadas.(Rta.:y=12(Cx21C))3.2. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICIONExistenenelmundofsico,enbiologa,medicina,demografa,economa,etc. cantidades cuya rapidez de crecimiento o descomposicion vara en formaproporcionalalacantidadpresente,esdecir,dxdt=kxconx(t0)=x0,osea Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas56CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENquedxdt kx = 0que es una E.D. en variables separables o lineal en x de primer orden y cuyasoluci onesx = CektComox(t0) = x0= Cekt0C= x0ekt0Porlotantolasoluci onparticularesx = x0ekt0ekt= x0ek(tt0)Enparticularcuandot0= 0,entoncesx = x0ekt3.2.1. Desintegraci onradioactivaSiQeslacantidaddematerialradioactivopresenteenelinstantet,en-tonceslaE.D.esdQdt= kQ,dondekeslaconstantededesintegraci on.Se llama tiempo de vida media de un material radioactivo al tiempo nece-sarioparaqueunacantidadQ0setrasformeenQ02.Ejercicio1.SiTeseltiempodevidamedia,mostrarqueQ = Q0(12)tT .Ejercicio2.SupongaqueunelementoradioactivoAsedescomponeenunsegundoelementoradioactivoByesteasuvezsedescomponeenuntercerelementoradioactivoC. Si lacantidaddeApresenteinicialmenteesx0ylascantidadesdeAyBsonxeyrespectivamenteenelinstantetysik1yk2sonlasconstantesderapidezdedescomposicion,hallaryenfunci ondet.(Rta.:Sik1 = k2,entonces:y=k1x0k2k1(ek1tek2t)sik1= k2,entoncesy= k1x0tek1t)Ejercicio3. Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene11000de lacantidad original de C14. Determinar la edad del fosil, sabiendo que el tiempodevidamediadelC14es5600a nos.(Rta.: t 55,800 a nos) Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.2. CRECIMIENTOYDESCOMPOSICION 573.2.2. LeydeenfriamientodeNewtonSi setieneuncuerpoaunatemperaturaT, sumergidoenunmediodetama no innito de temperatura Tm(Tmno vara apreciablemente coneltiempo), el enfriamiento de este cuerpo se comporta de acuerdo a la siguien-teE.D.:ddt= k donde = T Tm.Ejercicio3. Uncuerposecalientaa1100Cyseexponeal airelibreaunatemperaturade100C. Si al cabodeunahorasutemperaturaesde600C. Cu anto tiempo adicional debe transcurrir para que se enfre a 300C?(Rta.:t =ln 5ln 2)3.2.3. Leydeabsorci ondeLambertEsta ley dice que la tasa de absorci on de luz con respecto a una profundi-dadxdeunmaterialtransl ucidoesproporcionalalaintensidaddelaluzauna profundidad x; es decir, si Ies la intensidad de la luz a una profundidadx,entoncesdIdx= kI.Ejemplo4. EnagualimpialaintensidadI a3piesbajolasupercieesdeun25 %delaintensidadI0enlasupercie.Cu aleslaintensidaddelrayoa15piesbajolasupercie?Solucion:x = 0 I= I0dIdx= kI I= CekxCuandox = 0,I= I0= CLuegoI= I0ekxCuandox = 3 I= 0,25 I0luego,0,25 I0= I0e3kek= (0,25)13 Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas58CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENI= I0(ek)x= I0((0,25)13)x= I0(0,25)x3parax = 15 I= I0(0,25)153portantoI= I0(0,25)5Ejercicio4