Universidad de Antioquia, Depto. de MatematicasCAPITULO3APLICACIONESDELASE.D.DEPRIMERORDEN3.1. APLICACIONESGEOMETRICAS3.1.1. TrayectoriasIsogonalesyOrtogonalesyf(x)xg(x)Figura3.1Enlagura3.1setieneque= + ,luego= ,dondeesel anguloformadoporlastangentesenelpuntodeinterseccion.49 Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas50CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENDenici on3.1(TrayectoriasIsogonales).a). Dada una familia de curvas f(x, y, c) = 0, existe otra familiag(x, y, c) =0que cortaalafamiliaf bajounmismoangulo. Alafamiliag se le llamalafamiliade trayectorias isogonales de f yg(x, y, c) = 0essoluci ondelaE.D.:tan = tan( ) =tan tan 1 + tan tan =f(x) g(x)1 +f(x)g(x)=f(x) y1 +f(x)yb). En particular, cuando = 900, a g se le llama la familia de trayectoriasortogonalesdefyenestecasogessoluci ondelaE.D.:tan tan = f(x)g(x) = 1 = f(x)yEjemplo1.Hallarlastrayectoriasisogonalesa45odelafamiliay(x +c) = 1.Solucion:tan 450=f(x) y1 +f(x)y= 1porderivacionimplcita:ddx (y(x +c)) =ddx (1)y + (x +c)dydx= 0dydx= yx +cEnlaE.D.:1 =yx+c y1 +_yx+c_y=y1yy1 +_y1y_y= y2y1 y2y1 y2y= y2y y(y21) = 1 +y2y=y2+ 1y21 y21y2+ 1 dy= dx Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.1. APLICACIONESGEOMETRICAS 51_1 21 +y2_dy= dxy 2 tan1y= x +Kg(x, y, K) = 0 = y 2 tan1y x KEjercicio 1. Hallar las trayectorias isogonales a 45ode la familia y= ceax,dondecyasonconstantes.(Rta.: y +2a ln |ay 1| = x +c)Ejercicio2.Hallarlastrayectoriasortogonalesdelafamiliay2= cx3.(Rta.: 2x2+ 3y2= C2)Ejercicio3. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de hiperbo-lasequil aterasxy= c.(Rta.: x2y2= C)Ejercicio 4. Determinar lacurvaque pasapor (12,32) ycortaacadamiembrodelafamiliax2+y2= c2formandounangulode60o.(Rta.:3 tan1xy= 12 ln |x2+y2| +3 tan113 12 ln52)Ejercicio5. Hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia decurvasy= C1x2.(Rta.:x22+y2= C)Ejercicio6. Hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia decurvasy= C1ex.(Rta.:y22= x +C)Ejercicio 7. Encuentre la curva que pertenece a la familia de trayectoriasortogonalesdelafamiliadecurvasx +y= C1eyquepasapor(0, 5).(Rta.:y= 2 x + 3ex)3.1.2. ProblemasdePersecuci on:Ejemplo2. Unesquiador acu aticoP localizadoenel punto(a, 0) es Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas52CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENremolcadopor unbote de motor Qlocalizadoenel orgenyviajahaciaarriba a lo largo del eje Y . Hallar la trayectoria del esquiador si este se dirigeentodomomentohaciaelbote.xQyx(a, 0)P(x, y)Figura3.2Soluci on: delconceptogeometricodederivadasetieneque:y= tan = sec2 1,perodelagura3.2yteniendoencuentaquePQ = a,setienequesec = PQx= axporlotanto,y= sec21 = _a2x2 1 = a2x2x, donde x > 0,separandovariables:dy= a2x2xdx,pormediodelasustituci ontrigonometricax=sen enelladoderechodelaE.D.,sellegaaque:y= a ln_a +a2x2x_a2x2+C; Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.1. APLICACIONESGEOMETRICAS 53comoel esquiador arrancadesde el punto(a, 0), entonces las condicionesinicialessonx=a, y=0; sustituyendoenlasoluci ongeneral, seobtienequeC= 0.Luegolasoluci onparticulares:y= a ln_a +a2x2x_a2x2Ejercicio1. Supongaqueunhalc onPsituadoen(a, 0)descubreunapalomaQenelorgen,lacualvuelaalolargodelejeY aunavelocidadv;elhalc onemprendevueloinmediatamentehacialapalomaconvelocidadw.Cualeselcaminoseguidoporelhalc onensuvuelopersecutorio?(Rta.:y=a2_(xa)1+vw1+vw(xa)1vw1vw+c_,dondec =avww2v2)Ejercicio2.Undestructorestaenmediodeunanieblamuydensaquese levanta por un momento y deja ver un submarino enemigo en la supercieacuatrokil ometrosdedistancia.Suponga:i) que el submarino se sumerge inmediatamente y avanza a toda m aquina enunadirecci ondesconocida.ii)queeldestructorviajatreskil ometrosenlnearectahaciaelsubmarino.Que trayectoria debera seguir el destructor para estar seguro que pasara di-rectamente sobre el submarino, si su velocidad ves tres veces la del submari-no?(Rta.: r = e8)Ejercicio3.SupongaqueelejeY ylarectax = bformanlasorillasdeunrocuyacorrientetieneunavelocidadv(enladirecci onnegativadelejeY ).Unhombreestaenelorigenysuperroestaenelpunto(b, 0). Cuandoelhombrellamaalperro,esteselanzaalroynadahaciaelhombreaunavelocidadconstantew(w > v).Cualeslatrayectoriaseguidaporelperro?(Rta.: y=x2[(xb)vw (bx)vw])Ejercicio4. Demuestre que el perro del Ej. anterior nunca tocar a la otraorillasiw < v.Suponga ahora que el hombre camina ro abajo a la velocidad vmientrasllamaasuperro.Podr aestavezelperrotocarlaotraorilla?(Rta.: S,enelpunto(0, bvw)) Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas54CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENEjercicio5. Cuatrocaracolessituadosenlasesquinasdeuncuadrado[0, a] [0, a] comienzan a moverse con la misma velocidad, dirigiendose cadaunohaciaelcaracolsituadoasuderecha.Quedistanciarecorrer anloscara-colesalencontrarse?(Rta.: aunidades)3.1.3. AplicacionesalageometraanalticaEjemplo 3. Hallar la ecuacion de todas las curvas que tienen la propiedadde que el punto de tangencia es punto medio del segmento tangente entre losejescoordenados.Solucion:tan = f(x) = 2y2xy= yx dyy= dxxln |y| = ln |x| + ln |c|ln |y| = lncxy=cx xy= cEjercicio1. EmpleandocoordenadasrectangulareshallarlaformadelespejocurvadotalquelaluzdeunafuentesituadaenelorigensereejeenelcomounhazderayosparalelosalejeX.(Rta.: y2= 2cx +c2)Ejercicio2. Unacurvapasapor el origenenel planoXY , al primercuadrante. El area bajo la curva de (0, 0) a (x, y) es untercio del areadel rectanguloquetieneesospuntoscomoverticesopuestos. Encuentrelaecuaciondelacurva.(Rta.: y= cx2)Ejercicio 3. Encontrar las curvas para las cuales la tangente en un puntoP(x, y)tieneinterceptossobrelosejesXyY cuyasumaes2(x +y)(Rta.: xy= c)Ejercicio 4. Hallar la ecuacion de todas las curvas que tienen la propiedad Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.2. CRECIMIENTOYDESCOMPOSICION 55dequeladistanciadecualquierpuntoal origen, esigual alalongituddelsegmentodenormalentreelpuntoyelinterceptoconelejeX.(Rta.: y2= x2+c)Ejercicio5. Hallarlaecuaciondetodaslascurvasdel planoXY quetienenlapropiedaddequeeltrianguloformadoporlatangentealacurva,elejeXylarectaverticalquepasaporelpuntodetangenciasiempretieneun areaigual alasumadeloscuadradosdelascoordenadasdel puntodetangencia.(Rta.: ln |cy| =215 tan1(4xy15y))Ejercicio6. Hallarlaecuaciondetodaslascurvasdel planoXY quetienenlapropiedaddequelaporciondelatangenteentre(x, y)yelejeXquedapartidaporlamitadporelejeY .(Rta.:y2= Cx)Ejercicio7. Hallarlaecuaciondetodaslascurvasdel planoXY quetienen la propiedad de que la longitud de la perpendicular bajada del origendecoordenadasalatangenteesigualalaabscisadelpuntodecontacto.(Rta.:x2+y2= Cx)Ejercicio8. Hallarlaecuaciondetodaslascurvasdel planoXY quetienenlapropiedaddequelaraz ondel segmentointerceptadoporlatan-genteenelejeOY alradiovector,esunacantidadconstantek.(Rta.:y=12(Cx1k1Cx1+k))Ejercicio9.Hallarlaecuaciondetodaslascurvasdel planoXY paralascualeslalongituddelsegmentointerceptadoenelejeY porlanormalacualquiera de sus puntos es igual a la distancia desde este punto al origen decoordenadas.(Rta.:y=12(Cx21C))3.2. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICIONExistenenelmundofsico,enbiologa,medicina,demografa,economa,etc. cantidades cuya rapidez de crecimiento o descomposicion vara en formaproporcionalalacantidadpresente,esdecir,dxdt=kxconx(t0)=x0,osea Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas56CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENquedxdt kx = 0que es una E.D. en variables separables o lineal en x de primer orden y cuyasoluci onesx = CektComox(t0) = x0= Cekt0C= x0ekt0Porlotantolasoluci onparticularesx = x0ekt0ekt= x0ek(tt0)Enparticularcuandot0= 0,entoncesx = x0ekt3.2.1. Desintegraci onradioactivaSiQeslacantidaddematerialradioactivopresenteenelinstantet,en-tonceslaE.D.esdQdt= kQ,dondekeslaconstantededesintegraci on.Se llama tiempo de vida media de un material radioactivo al tiempo nece-sarioparaqueunacantidadQ0setrasformeenQ02.Ejercicio1.SiTeseltiempodevidamedia,mostrarqueQ = Q0(12)tT .Ejercicio2.SupongaqueunelementoradioactivoAsedescomponeenunsegundoelementoradioactivoByesteasuvezsedescomponeenuntercerelementoradioactivoC. Si lacantidaddeApresenteinicialmenteesx0ylascantidadesdeAyBsonxeyrespectivamenteenelinstantetysik1yk2sonlasconstantesderapidezdedescomposicion,hallaryenfunci ondet.(Rta.:Sik1 = k2,entonces:y=k1x0k2k1(ek1tek2t)sik1= k2,entoncesy= k1x0tek1t)Ejercicio3. Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene11000de lacantidad original de C14. Determinar la edad del fosil, sabiendo que el tiempodevidamediadelC14es5600a nos.(Rta.: t 55,800 a nos) Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.2. CRECIMIENTOYDESCOMPOSICION 573.2.2. LeydeenfriamientodeNewtonSi setieneuncuerpoaunatemperaturaT, sumergidoenunmediodetama no innito de temperatura Tm(Tmno vara apreciablemente coneltiempo), el enfriamiento de este cuerpo se comporta de acuerdo a la siguien-teE.D.:ddt= k donde = T Tm.Ejercicio3. Uncuerposecalientaa1100Cyseexponeal airelibreaunatemperaturade100C. Si al cabodeunahorasutemperaturaesde600C. Cu anto tiempo adicional debe transcurrir para que se enfre a 300C?(Rta.:t =ln 5ln 2)3.2.3. Leydeabsorci ondeLambertEsta ley dice que la tasa de absorci on de luz con respecto a una profundi-dadxdeunmaterialtransl ucidoesproporcionalalaintensidaddelaluzauna profundidad x; es decir, si Ies la intensidad de la luz a una profundidadx,entoncesdIdx= kI.Ejemplo4. EnagualimpialaintensidadI a3piesbajolasupercieesdeun25 %delaintensidadI0enlasupercie.Cu aleslaintensidaddelrayoa15piesbajolasupercie?Solucion:x = 0 I= I0dIdx= kI I= CekxCuandox = 0,I= I0= CLuegoI= I0ekxCuandox = 3 I= 0,25 I0luego,0,25 I0= I0e3kek= (0,25)13 Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas58CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENI= I0(ek)x= I0((0,25)13)x= I0(0,25)x3parax = 15 I= I0(0,25)153portantoI= I0(0,25)5Ejercicio4. SiIaunaprofundidadde30pieses49delaintensidadenlasupercie;encontrarlaintensidada60piesya120pies.3.2.4. CrecimientospoblacionalesLaraz ondecrecimientodependedelapoblacionpresenteenperiododeprocrear, considerandolas tasas denatalidadydemuerte, el modeloquerepresentadichasituaciones:dQdt= kQdondeQ(t):poblacionenelinstantet.Ejercicio5.Sienunanalisisdeunabotelladelecheseencuentran500organismos(bacterias), undadespuesdehabersidoembotelladasyal se-gundo da se encuentran 8000 organismos. Cual es el n umero de organismosenelmomentodeembotellarlaleche?Ejercicio 6. En un modelo de evolucion de una comunidad se supone quelapoblacionP(t)serigeporlaE.DdPdt=dBdt dDdt , dondedBdteslarapidezconquenacelagenteydDdteslarapidezconquelagentemuere.Hallar:a)P(t)sidBdt= k1PydDdt= k2Pb)Analizarloscasosenquek1> k2,k1= k2yk1< k2Ejercicio7.Unapersonadeunpueblode1000habitantesregres ocongripa. Si sesuponequelagripasepropagaconunarapidezdirectamenteproporcionalal n umero de agripados como tambienaln umero de no agripa-dos. Determinar el n umero de agripados cinco das despues, si se observa queeln umerodeagripadoselprimerdaes100. Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.3. PROBLEMASDEDILUCION 59Ejercicio 8. Cuando se produce cierto alimento, se estima en Neln umerodeorganismosdeunaciertaclasepresentesenel paquete. Al cabode 60dias el n umeroNhaaumentadoa1000N. Sinembargo, el n umero200Nesconsideradocomoel lmitesaludable. Aloscuantosdias, despuesdeelaborado,venceelalimento.(Rta.:46.02dias)Observaci on: un modelo m as preciso para el crecimiento poblacional essuponer quelatasaper c apitadecrecimiento, es decir1PdPdtes igual alatasa promedio de nacimientos, la cual supondremos constante, menos la tasapromediodedefunciones, lacual supondremosproporcional alapoblacion,porlotantolaE.D.sera:1PdPdt= b aPdonde a y b son constantes positivas. Esta E.D. se le llama ecuaci on logsti-ca.ResolviendoestaE.D.porvariablesseparablesseobtiene|Pb aP| = ecebtSient = 0setieneP= P0entonceslasoluci onparticularesP(t) =bP0ebtb aP0 +aP0ebtPorlaregladelHopitalsepuedemostrarquelmtP(t) =ba3.3. PROBLEMASDEDILUCIONUnasoluci onesunamezcladeunsoluto(quepuedeserlquido,solidoogaseoso),enunsolventequepuedeserlquidoogaseoso.Tiposdemezclasosoluciones: Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas60CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENi) Soluciones lquidas cuandodisolvemos unsolidoounlquidoenunlquido.ii)Solucionesgaseosascuandosedisuelveungasenungas.Ecuaci ondeContinuidad:Tasadeacumulacion=Tasadeentrada Tasadesalida.Caso1.UnaSalmuera(soluciondesal enagua), entraenuntanqueaunavelocidadv1galonesdesalmuera/minutoyconunaconcentraciondec1librasdesalporgal ondesalmuera(lib.sal/gal.salmuera).Inicialmenteel tanquetieneQgalonesdesalmueraconPlibrasdesal di-sueltas. Lamezclabienhomogenizadaabandonael tanqueaunavelocidaddev2galonesdesalmuera/min.Encontrar una ecuacion para determinar las libras de sal que hay en el tanqueencualquierinstantet.(Vergura3.3)P : librasdesalv1c1v2c2Q: galonesdesalmuerav1c1v2c2t = 0 t > 0x: librasdesalQ+ (v1v2)t : galonesdesalmueraFigura 3.3Seax(t)laslibrasdesalenelinstantet.dxdt=Tasadeacumulacion == Tasadeentradadelsoluto Tasadesalidadelsoluto. Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.3. PROBLEMASDEDILUCION 61dxdt= v1 (gal.sol./min) c1 (lib.sal/gal.sol.) v2 (gal.sol./min) c2(lib.sal/gal.sol.)= v1c1v2xQ+ (v1v2)tyobtenemoslaE.D.linealenxdeprimerorden:dxdt+p(t) .. v2Q+ (v1v2)t x=v1c1..q(t)condicionesiniciales:t = 0, x = Pp(t) =v2Q+ (v1v2)t; q(t) = v1c1F.I. = e

p(t) dt= e

v21Q+(v1v2)t== ev2v1v2ln |Q+(v1v2)t|F.I. = [Q+ (v1v2)t]v2v1v2luegox F.I. =_F.I. q(t) dt +Ccon las condiciones iniciales x(0) = P, hallamos Cy se concluye que x = f(t)Ejercicio1:resolverlaanteriorE.D.conv1= v2Caso2. Uncolorantesolidodisueltoenunlquidonovol atil, entraauntanqueaunavelocidadv1galones desoluci on/minutoyconunacon-centraci ondec1librasdecolorante/galondesoluci on. Lasoluci onbienho-mogenizadasaledeltanqueaunavelocidaddev2galonesdesoluci on/min.y entra a un segundo tanque del cual sale posteriormente a una velocidad dev3galonesdesoluci on/min.Inicialmenteel primertanquetenaP1librasdecolorantedisueltasenQ1galonesdesoluci onyel segundotanqueP2librasdecolorantedisueltasenQ2galonesdesoluci on. Encontrardosecuacionesquedeterminenlaslibrasde colorante presentes en cada tanque en cualquier tiempo t.(Ver gura 3.4) Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas62CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENt > 0v1c1v2c2v3c3t = 0v1c1v2c2v3c3x: librasdecoloranteQ1 + (v1v2)t : galonesdesoluci onP1: librasdecoloranteQ1: galonesdesoluci onP2: librasdecoloranteQ2: galonesdesoluci ony : librasdecoloranteQ2 + (v2v3)t : galonesdesoluci onFigura 3.4x =librasdecoloranteenelprimertanqueenelinstantet.y=librasdecoloranteenelsegundotanqueenelinstantet.E.D.paraelprimertanque:dxdt=v1c1v2c2=v1c1v2xQ1+(v1v2)tdxdt+v2xQ1+(v1v2)t= v1c1,conlacondicioninicial t = 0, x = P1Lasoluci ones:x = f(t) = c1[Q1 + (v1v2)t] +C[Q1 + (v1v2)t]v2v1v2.E.D.paraelsegundotanque:dydt=v2c2v3c3=v2xQ1+(v1v2)t v3yQ2+(v2v3)tdydt+v3Q2+(v2v3)t y=v2Q1+(v1v2)t x =v2Q1+(v1v2)t f(t), t = 0, y= P2F.I. = [Q2 + (v2v3)t]v3v2v3parav2 = v3.Siv2= v3Cualserasufactorintegrante? Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.3. PROBLEMASDEDILUCION 63Ejercicio2.Resolverelcasodoscuandov1= v2= v3= vyQ1= Q2=Q.Caso 3. Una soluci on lquida de alcohol en agua, esta constantemente cir-culando entre dos tanques a velocidades v2y v3galones/minuto. Si al primertanque tambien entra una soluci on a una velocidad de v1galones/minutoydeconcentraci onc1galonesdealcohol/gal ondesoluci ony las cantidades iniciales en los tanques son P1y P2galones de alcohol en Q1y Q2galones de agua respectivamente. Encontrar dos ecuaciones para deter-minarlosgalonesdealcohol presentesencualquiertiempoencadatanque(Vergura3.5).v1c1t = 0c3v3v2c2P1: galonesdealcoholP1 +Q1: galonesdesoluci onP2: galonesdealcoholP2 +Q2: galonesdesoluci onv1c1t > 0c3v3v2c2x: galonesdealcoholP1 + Q1 + (v1 + v3v2)t :galonesdesoluci ony : galonesdealcoholP2 +Q2 + (v2v3)t :galonesdesoluci onFigura3.5x =galonesdealcoholenelprimertanqueenelinstantet.y=galonesdealcoholenelsegundotanqueenelinstantet.E.D.paraelprimertanque:dxdt=v1c1 +v3c3v2c2=v1c1 +v3yQ2 +P2 + (v2v3)t v2xQ1 +P1 + (v1 +v3v2)tdxdt+v2Q1 +P1 + (v1 +v3v2)t x =v3Q2 +P2 + (v2v3)t y +v1c1(3.1) Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas64CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENE.D.paraelsegundotanque:dydt= v2c2v3c3=v2Q1 +P1 + (v1 +v3v2)tx v3Q2 +P2 + (v2v3)ty (3.2)Balancetotal: galonesdealcohol presentesenlosdostanquesenel ins-tantet:Bal.tot.=x +y=P1 +P2 +v1 (gal.sol./min) c1(gal.alcohol/gal.sol.) tx +y= P1 +P2 +v1c1tluegoy=P1 +P2 +v1c1t x (3.3)(3.3)en(3.1):dxdt+v2Q1 +P1 + (v1 +v3v2)tx =v3Q2 +P2 + (v2v3)t(P1 +P2 +v1c1t x) +v1c1dxdt+_v2Q1 +P1 + (v1 +v3v2)t+v3Q2 +P2 + (v2v3)t_x =(P1 +P2 +v1c1t)v3Q2 +P2 + (v2v3)t+v1c1(3.4)Conlacondicioninicial: t = 0, x = P1Nota: nohaynecesidadderesolverlaecuaciondiferencial (3.2)porquey= P1 +P2 +v1c1t x.Caso4.Unteatrodedimensiones10 30 50 mt.3,contienealsalirelp ublico0,1 %porvolumendeCO2.Sesoplaairefrescoaraz onde500 mt.3por minuto y el sistema de aire acondicionado lo extrae a la misma velocidad. Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.3. PROBLEMASDEDILUCION 65c1v2c2v1t > 0x: mt3deCO2Figura 3.6Si el aire atmosferico tiene un contenido de CO2del 0,04 % por volumen y ellmitesaludableesde0,05 %porvolumen.Enquetiempopodr aentrarelp ublico?(Vergura3.6)Seax =mt.3deCO2presentesenelteatroenelinstantet.CantidaddeCO2enelteatroent = 0:0,001mt.3deCO2mt.3de aire 10 30 50mt.3=15mt.3Porlaecuaciondecontinuidad,tenemosdxdt=v1c1v2c2== 500mt.3aire/min. 0,04100 mt.3CO2/mt.3aire500mt.3aire/min. xmt.3CO210 30 50 mt.3aire= 0,2 x30portanto,dxdt+x30=0,2, E.D. lineal deprimerordenconp(t)=130yQ(t) = 0,2 Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas66CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENSoluciongeneral: x = 6 +Cet30.Condicionesiniciales:ent = 0setienequex = 15,portantolasoluci onparticulares:x = 6 + 9et30.LacantidaddeCO2enellmitesaludablees:x =0,05100 10 30 50 = 7,5,por tanto 7,5 = 6+9et30y despejando t se tiene que t = 30 ln 6 = 53,75min.Ejercicio1.Enuntiempot=0untanqueAcontiene300galonesdesalmueraenel cual hay50librasdesal yuntanqueBcon200galonesdeaguapura.AltanqueAleentran5galonesdeagua/min.ylasalmuerasalealamismavelocidadparaentraraltanqueBydeestepasanuevamentealtanqueA,aunavelocidadde3gal/min.Calcularlascantidadesdesalenambostanquesenuntiempot=1hora=60min..(Rta.:tanqueA = 29,62 libras, tanqueB= 20,31 libras)Ejercicio 2. Un tanque tiene inicialmente 100 galones de agua pura. Unasalmueraquecontiene12libradesal/gal ondesalmuerauyeal interiordeltanqueaunarapidezde2galones/min.ylamezclabienhomogenizadasaledeltanqueconlamismavelocidad.Despuesde10minutoselprocesosede-tieneyseintroducealtanqueaguapuraconunarapidezde2galones/min,abandonandoeltanquealamismavelocidad.Determinarlacantidaddesal enel tanquecuandohanpasadountotal de20minutos.(Rta.:7,34 libras)Ejercicio3.Untanquecontiene100galonesdesalmuera; 3galonesdesalmueralacualcontiene2librasdesal/gal ondesalmueraentranaltanquecadaminuto.La mezcla asumida uniforme sale a una velocidad de 2 gal/min. Si la concen-traci onesde1,8librasdesal/gal ondesalmueraalcabode1hora,Calcularlaslibrasdesalquehabaninicialmenteeneltanque.(Rta.:118,08 libras) Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.3. PROBLEMASDEDILUCION 67Ejercicio4. Undepositocontiene 50galones desalmueraenlas queestandisueltas25librasdesal.Comenzandoeneltiempot = 0,entraaguaal dep osito a raz on de 2 gal./min. y la mezcla sale al mismo ritmo para entrara un segundo deposito que contena inicialmente 50 galones de agua pura.Lasalmuerasaledeestedepositoalamismavelocidad.Cu andocontendr aelsegundodep ositolamayorcantidaddesal?(Rta.: cuandot 25minutos)Ejercicio5.Untanquecontieneinicialmenteaguapura. Salmueraquecontiene2librasdesal/gal. entraal tanqueaunavelocidadde4gal./min.Asumiendo la mezcla uniforme, la salmuera sale a una velocidad de 3 gal./min.Si laconcentraci onalcanzael 90 %desuvalorm aximoen30minutos, cal-cularlosgalonesdeaguaquehabaninicialmenteeneltanque.(Rta.: Q =304101)Ejercicio6. El aire de un teatro de dimensiones 1284 mt.3contiene0,12 %desuvolumendeCO2. Sedesearenovaren10minutosel aire, demodoquellegueacontenersolamenteel0,06 %deCO2.Calculareln umerode mt.3por minuto que deben renovarse, suponiendo que el aire exterior con-tiene0,04 %deCO2.(Rta.: 53,23 mt.3deaire/minuto)Ejercicio7. Aire que contiene 30 % de oxgeno puro pasa a traves de unfrascoquecontieneinicialmente3galonesdeoxgenopuro.Suponiendoquelavelocidaddeentradaesigualaladesalida;hallarlacantidaddeoxgenoexistentedespuesdeque6galonesdeairehanpasadoporelfrasco.(Rta.: 1,18galones)Ejercicio 8. Untanque contiene 50 litros de agua. Al tanque entrasalmueraquecontienekgramosdesal porlitro, araz onde1.5litrosporminuto. Lamezclabienhomogenizada, saledel tanquearaz ondeunlitroporminuto.Silaconcentraci ones20gr/litroalcabode20minutos.Hallarelvalordek.(Rta.:k = 47,47)Ejercicio9. Untanque contiene 500galones de salmuera. Al tanqueuyesalmueraquecontiene2librasdesal porgal on, araz onde5galonesporminutoylamezclabienhomogenizada, salearaz onde10galonespor Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas68CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENminuto.Silacantidadm aximadesaleneltanqueseobtienealos20minu-tos.Cualeralacantidaddesalinicialeneltanque?(Rta.:375libras)Ejercicio10. Un tanque contiene 200 litros de una soluci on de coloranteconunaconcentraci onde1gr/litro. El tanquedebeenjuagarseconagualimpiaqueentraaraz onde2litros/min. ylasoluci onbienhomogenizadasaleconlamismarapidez.Encuentreeltiempoquetrascurrir ahastaquelaconcentraci ondelcoloranteeneltanquealcanceel1 %desuvalororiginal.(Rta.:460.5min.)3.4. VACIADODETANQUESUn tanque de una cierta forma geometrica esta inicialmente lleno de aguahastaunaalturaH. El tanquetieneunoricioenel fondocuyaareaesApie2.Seabreeloricioyellquidocaelibremente.Laraz onvolumetricadesalidadQdtesproporcional alavelocidaddesalidayal areadel oricio, esdecir,dQdt= kAv,aplicandolaecuaciondeenerga:12mv2=mgh v=2gh,porlotanto,dQdt= kA_2ghdondeg=32 pie/seg2=9,81 mt./seg.2Laconstantekdependedelaformadeloricio:Sieloricioesdeformarectangular,laconstantek =0,8.Sieloricioesdeformatriangular,laconstante0,65 k 0,75.Sieloricioesdeformacircular,laconstantek =0,6.Caso1.CilndrocirculardealturaH0piesyradiorpies,dispuestoenforma vertical y con un oricio circular de di ametro (pulgadas) (Ver gura3.7). Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.4. VACIADODETANQUES 69RH0Figura 3.7dQdt= kA_2ghdQdt= 0,6_ 24_22 32 h = 4,82576h (3.5)perodQ = r2dh dQdt=r2 dhdt(3.6)Como(3.5)=(3.6):r2 dhdt= 4,85762hyseparandovariables:dhh= 4,8576r2 2dth12dh = 4,8576r2 2dteintegrando:2h = 4,8576r22t +C.Conlascondicionesiniciales: t =0, h =H0,hallamoslaconstanteC. Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas70CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDEN R(0, R)xdhH0hFigura 3.8Eltiempodevaciado(tv): seobtienecuandoh =0.HallartvCaso2. El mismo cilndro anterior pero dispuesto horizontalmente y coneloricioenelfondo(Vergura3.8).dQdt= kA_2gh = 4,82576h (3.7)perodelagura3.8,tenemos:dQ =2x H0dhytambien(x 0)2+ (h r)2=r2x2+h22rh +r2= r2luegox =2rh h2sustituyendodQ =22rh h2H0dh Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.4. VACIADODETANQUES 71H0hRdh rFigura 3.9dQdt= 2H02rh h2 dhdt(3.8)(3.8)=(3.7):2H02rh h2 dhdt= 4,82576h2H0h2r h dhdt= 4,82576h, donde h = 02r hdh = 4,822 576 H0dtcondicionesiniciales:ent0= 0 h = 2r,conellahalloconstantedeintegraci on.Eltiempodevaciadotvseproducecuandoh = 0.Hallartv.Caso3.UnconocircularrectodealturaH0yradioRdispuestoverti-calmenteconoriciocircularenelfondodedi ametro(Vergura3.9).dQdt= kA_2gh = 0,6_24_22 32h Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas72CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENdQdt= 4,82576h (3.9)Porsemejanzadetriangulostenemosque:Rr=H0hr =RhH0(3.10)ycomo dQ =r2dhentonces,sustituyendo(3.10):dQ =R2h2H20dhdQdt=R2H20h2 dhdt(3.11)(3.9)=(3.11):R2H20h2dhdt= 4,82576hh32 dhdt= 4,82H20576R2Condicionesiniciales:cuandot =0, h =H0Eltiempodevaciadotvseproducecuandoh = 0.Hallartv.Ejercicio1. Untanquesemiesfericotieneunradiode1pie; el tanqueestainicialmentellenodeaguayenel fondotieneunoriciode1pulg. dedi ametro.Calculareltiempodevaciado.(Rta.: 112seg.)Ejercicio 2. Un cono circular recto de radio R y altura Htiene su verticehaciaabajo.Eltanquetieneunoricioenelfondocuya areaAescontrola-daporunav alvulayesproporcionalalaalturadelaguaencadainstante.Suponiendoqueeltanqueestallenodeagua,calculareltiempodevaciado.Del tiempo de vaciado, que porcentaje es requerido para vaciar la mitad delvolumen?(Rta.: elporcentajerequeridoparabajarlamitaddelvolumenes29,3 %)Ejercicio3.Untanquec ubicodelado4 pies,estallenodeagua,lacualsale por una hendidura vertical de18 pulg. de ancho y de 4 pies de alto. Encon-trar el tiempo para que la supercie baje 3 pies. (Ayuda: encontrar el n umerode pies c ubicos por segundo de agua que salen de la hendidura cuando el agua Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.5. APLICACIONESALAFISICA 73tienehpiesdeprofundidad).(Rta.:360segundos.)Ejercicio4. Encontrar el tiempo requerido para llenar un tanque c ubicode lado 3 pies si tiene un oricio circular de 1 pulg. de di ametro en la base ysientraaguaaltanquearaz ondepies3/min.(Rta.:26min, 14seg.)Ejercicio5. Un tanque rectangular vaco de base B2pies2, tiene un agu-jero circular de area A en el fondo. En el instante t = 0, empieza a llenarse araz on de Epies c ubicos por segundo. Hallar t en funci on de h. Mostrar que sieltanquetieneunaalturaH,nuncasellenaraamenosqueE> 4,8 AH.(Rta.:t =2a_blnbbh h_,b >h,donde,a =4,8 AB2, b =E4,8 A.)Ejercicio6.Unembudode10piesdedi ametroenlapartesuperiory2piesdedi ametroenlaparteinferiortieneunaalturade24pies.Sisellenadeagua,hallareltiempoquetardaenvaciarse.(Rta.: 14,016seg.)Ejercicio7. Untanqueconunaciertaformageometricaestallenodeagua.Elaguasaleporunoriciosituadoenlabaseaunarataproporcionalalarazcuadradadelvolumenrestanteeneltanqueentodotiempot.Sieltanque contiene inicialmente 64 galones de agua y 15 galones salen el primerda,calculareltiempoenelcualhay25galoneseneltanque.(Rta.: 72horas)Ejercicio8.Unembudode5piesderadioenlapartesuperiory1piederadioenlaparteinferiortieneunaalturadeHpies.Sisellenadeagua:a)Hallareltiempodevaciado;b)DeltiempodevaciadoqueporcentajeesnecesarioparaqueelnivelbajeaH4 ?(Rta.:a)2,86H;b)86.41 %)3.5. APLICACIONESALAFISICACaso1.Cadalibre.(Vergura3.10)PorlasegundaleydeNewton(vertextosdeFsica),sellegaaque: Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas74CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENxOmgx +Figura 3.10md2xdt2= m ddt_dxdt_ = mdvdt=mgdvdt=g v= gt +C1tomemoscomocondicionesiniciales:t =0 v=v0 v=gt +v0porlotanto,dxdt=gt +v0,eintegrando,obtenemos:x =gt22+v0t +C2ytomemoslassiguientescondicionesiniciales: t =0 x =x0x =gt22+v0t +x0Caso2.Cadaconresistenciadelaire.PorlasegundaleydeNewton(vertextosdeFsica),sellegaaque:md2xdt2=mg kv Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.5. APLICACIONESALAFISICA 75dividiendopormd2xdt2=g kmvdvdt=g kmvobtenemoslaE.D.linealenvdvdt+kmv=g.HallemoselF.I.F.I. =e

kmdt= ekmtresolviendolavekmt=_ekmt(g) dt +Cvekmt=mkg ekmt+Cv=mk g +Cekmt.Supongamosquelascondicionesinicialesson: t=0, v=0 (esdecir,parte del reposo),entonces0 =mgk+C C= mgkv=mgkmgkekmt=mgk_1 ektm_;observesequecuando t v mgk.Resolviendoparaxyteniendocomocondicionesinicialest=0yx=0sellegaaque:x =mgkt m2gk2(1 ekmt) Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas76CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENCaso3.Cuerposconmasavariable.PorlasegundaleydeNewtonparamasavariable(vertextosdeFsica),sellegaaque:F=ddt (mv) ddt (mv) =

F+ (v +)dmdtdonde,

F:Fuerzasqueact uansobreelcuerpo,:velocidadenrelaci onamdelaspartculasquesedesprendendelcuerpo.mdvdt+vdmdt=

F+vdmdt+dmdtportanto,mdvdt=

F+dmdtEjemplo 5. Un cohete con masa estructural m1, contiene combustible demasa inicial m2; se dispara en lnea recta hacia arriba, desde la supercie dela tierra, quemando combustible a un ndice constante a (es decir,dmdt= a,dondemeslamasavariabletotal del cohete)yexpulsandolosproductosdeescapehaciaatr as, aunavelocidadconstantebenrelaci onal cohete. Sise desprecian todas las fuerzas exteriores excepto la fuerza gravitacional mg,dondeglasuponemosconstante;encontrarlavelocidadylaalturaalcanza-da en el momento de agotarse el combustible (velocidad y altura de apagado).Solucion:Comodmdt= a m = at +C1Ent =0, m =m1 +m2luegom1 +m2= a 0 +C1portanto,C1= m1 +m2, m = m1 +m2atComo= bentonces,mdvdt= mg bdmdtmdvdt= mg b(a)oseaque,mdvdt= mg +ab Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.5. APLICACIONESALAFISICA 77Reemplazom:(m1 +m2at)dvdt= (m1 +m2at)g +abdividiendoporm1 +m2at:dvdt= g +abm1+m2atluegov= gt abaln |m1 +m2at| +C2= gt b ln |m1 +m2at| +C2Condicionesiniciales:ent =0, v=0 0 =0 b ln |m1 +m2| +C2portantoC2=b ln |m1 +m2|v= gt b ln |m1 +m2at| +b ln |m1 +m2| = gt +b lnm1 +m2m1 +m2atPero tenamos que m =m1+m2at y como el tiempo de apagado se producecuando m=m1yaquenohaycombustible,esdecir,m1=m1 + m2 at.Portantoat =m2 t =m2aoseaquecuandot =m2av=velocidaddeapagado.Sustituyendo,quedaquev= gm2a+b lnm1 +m2m1 +m2am2aluegov= m2ga+b ln_m1+m2m1_Delamismamaneraseencuentraqueha=alturaalcanzadaalacabarseelcombustible= m22g2a2+bm2a+bm1alnm1m1 +m2Caso 4. Cuerpos en campo gravitacional variable. (Ver gura 3.11)PorlaleydeGravitacionUniversaldeNewton(vertextosdeFsica):F=GMm(x +R)2donde,x:ladistanciadelcuerpoalasuperciedelatierra.M:lamasadelatierra.m:lamasadelcuerpo.R:elradiodelatierra.G:laconstantedegravitacionuniversal. Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas78CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENm+MFigura 3.11Sedeneelpesodeuncuerpocomow(x) =k1m(x+R)2,dondek1= GM.Six = 0,entonceselpesodelcuerpodemasamenlasuperciedelatierraes:w(0) = mg=k1mR2,entoncesk1= gR2,porlotantoelpesodeuncuerpoaunadistanciaxdelasuperciedelatierraes:w(x) =mgR2(x+R)2.Ejemplo6.Selanzauncuerpodemasamhaciaarribadelatierraconvelocidad inicial v0. Suponiendo que no hay resistencia del aire, pero tomandoencuentalavariaci ondel campogravitacional conlaaltura, encontrar lamenorvelocidadinicial v0quenecesitael cuerpoparaquenoregresealatierra. Estavelocidadinicial v0selellamavelocidaddeescape(Vergura3.12).Solucion:m dvdt= w(x) = mgR2(x +R)2dondeel signomenosindicaqueladirecci ondelafuerzaeshaciael centrodelatierra.Cancelando m, y resolviendo la ecuacion diferencial resultante y poniendocomocondicionesiniciales,ent = 0,x = 0yv= v0,sellegaaque:v2= v202gR +2gR2x +R 0 Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas3.5. APLICACIONESALAFISICA 79 0+Rx w(x)tierraFigura 3.12Porlotanto,v20 2gRdeaquconclumosquelavelocidaddeescapev0=2gREjercicio1.Untorpedosedesplazaaunavelocidadde60millas/horaen el momento de agotarse el combustible; si el agua se opone al movimientoconunafuerzaproporcional asuvelocidadysi enunamilladerecorridoreducesuvelocidada30millas/hora.Aquedistanciasedetendr a?(Rta.:2 millas)Ejercicio2.Enelinteriordelatierralafuerzadegravedadespropor-cional a la distancia del centro, si se perfora un oricio que atraviese la tierradepoloapoloyselanzaunapiedraeneloricioconvelocidadv0,conquevelocidadllegar aalcentro?(Rta.:v=_gR +v20,dondeReselradiodelatierra.)Ejercicio3. Una bala se introduce en una tabla de h =10 cm. de espe-sorconunavelocidadv0=200mt/seg,traspas andolaconv1=80mt/seg.Suponiendoquelaresistenciadelatablaal movimientodelabalaespro-porcional al cuadradodelavelocidad. Hallarel tiempoquedemoralabalaenatravesarlatabla.(Rta.:t =h0(v1v0)v0v1 ln

v1v0

=34000 ln 2,5seg.) Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas80CAPITULO3. APLIC.DELASE.D.DEPRIMERORDENEjercicio4. Unacadenade4piesdelongitudtiene1piedelongitudcolgando del borde de una mesa. Despreciando el rozamiento, hallar el tiem-poquetardalacadenaendeslizarsefueradelamesa.(Rta.:t =_4g ln(4 +15) seg.)Ejercicio5. Unpuntomaterial demasaungramosemueveenlnearectadebidoalaacciondeunafuerzaqueesdirectamenteproporcional altiempocalculadodesdeel instantet=0einversamenteproporcional alavelocidaddelpunto.Enelinstantet =10seg.,lav=50cm/segylaf=4dinas. Que velocidad tendr a el punto al cabo de un minuto desde el comienzodelmovimiento?(Rta.:v=72500 cm./seg.= 269,3cm/seg.)Ejercicio6. Un barco retrasa su movimiento por accion de la resistenciadel agua, queesproporcional alavelocidaddel barco. Lavelocidadinicialdel barco es 10 mt/seg, despues de 5 seg. su velocidad sera 8 mt/seg. Despuesdecuantotiempolavelocidadsera1mt/seg?(Rta.:t = 5 ln 10ln 0,8seg.)Ejercicio7.UncuerpodemasaMsedejacaerdesdeel reposoenunmedio que ofrece una resistencia proporcional a la magnitud de la velocidad.Encuentre el tiempo que transcurre hasta que la velocidad del cuerpo alcanceel80 %desuvelocidadlmite.(Rta.:t = Mkln 0,2)