Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales
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Transcript of Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales
Hugo Hugo ScalettiScaletti FarinaFarinaUniversidad Nacional de IngenierUniversidad Nacional de Ingenierííaa
SoluciSolucióón Numn Numéérica derica deEcuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales
En prácticamente todas las ramas de la ciencia y la ingeniería se plantean soluciones de diversos
problemas en términos de ecuaciones diferenciales
üu ρλ =∇+∆∇+ 2)( GG
( ) 2
2
tu
tupuT
∂∂
+∂∂
=+∇∇ ρµK
su&&&&& 1MxKxCxM −=++
La solución analítica de tales ecuaciones esfactible sólo si la geometría y las condiciones
de borde del problema son muy simples
Ese no es normalmente el caso en losproblemas reales, que involucran típicamente
condiciones de borde complicadas
El desarrollo de las computadoras digitalesha hecho posible la solución numérica de tales
ecuaciones, incluso considerando mediosanisotrópicos y con comportamiento no lineal
Entre los procedimientos numéricos más empleados, pueden mencionarselas técnicas de diferencias finitas y
los métodos de elementos finitos
En ambos casos se trata de métodosaproximados, en los que la solución seexpresa como una colección de valores numéricos en un número finito de puntos
( ) ( ) ( ) Nyhxyyhxyyxyy L2020100 +≈+≈≈
En el caso de las técnicas de diferencias finitas,se hacen aproximaciones para las derivadas
( )
( )
21,,1,
2,1,,12
22
11
1
22
2)(
)(
huuu
huuu
u
hOh
yyyyxy
hOh
yyyxy
nmnmnmnmnmnmmn
nnnnn
nnnn
+−+−
+−
+
+−+
+−≈∇
++−
=′′≈′′
+−
=′≈′
con lo que se convierte las ecuaciones diferencialesen “ecuaciones de diferencias”, cuya solución es análoga a las de las ecuaciones diferenciales
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )[ ]111
111111
1111
11
,,2
,,
,2,2
,,
+++
++++++
−+−+
++
++=
+=⇒=−
+=⇒=−
+=⇒=−
nnnnnn
nnnnnnnn
nnnnnnnn
nnnnnnnn
yxfyxfhyy
yxfhyyyxfh
yy
yxfhyyyxfh
yy
yxfhyyyxfh
yy
ED Ordinarias de Primer OrdenED Ordinarias de Primer Orden ( )yxfy ,=′
i ix ( ) ixi exy = iy ifh
-0.0511.771-0.0941.7281.8220.66
-0.0390.1611.6101.6490.55
-0.0230.1461.464-0.0520.2441.4401.4920.44
-0.0190.1331.3311.3500.33
-0.0110.1211.210-0.0210.2401.2001.2210.22
-0.0050.1101.1001.1050.11
00.1001.00000.2001.0001.00000
errorerror
Solución con h = 0.1Solución con h = 0.2Solución exacta
iy ifh
( ) ( ) ( ) nnnnnnnn yhyhyyyxfhyy +=+=⇒+= ++ 1, 11
SoluciSolucióón de yn de y’’ = y con el m= y con el méétodo de Eulertodo de Euler
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
+≈==
+
α
εεy
xxnn
nyfh11
El error de El error de truncacitruncacióónn local, es decir el error local, es decir el error introducido en cada paso, es de introducido en cada paso, es de O(hO(h22))
Sin embargo, como el número de pasos que se realizan para integrar la EDO en un intervalo dado es inversamente proporcional a h, el error de truncación global es de O(h)
A esto deben agregarse los errores introducidos en A esto deben agregarse los errores introducidos en cada operacicada operacióón por la aritmn por la aritméética imperfecta de la tica imperfecta de la computadoracomputadora
El mEl méétodo de todo de EulerEuler no es adecuado para resolver no es adecuado para resolver yy’’=y. Puede demostrarse que:=y. Puede demostrarse que:
Convergencia, Consistencia y EstabilidadConvergencia, Consistencia y Estabilidad
Al emplear un método numérico para resolver una ecuación diferencial, se espera que éste sea convergente, lo que significa que al trabajar con intervalos h cada vez más pequeños, la solución
debe aproximar cada vez mejor a la exacta
Para que el procedimiento numérico sea convergente debe ser consistente y estable
Convergencia, Consistencia y EstabilidadConvergencia, Consistencia y Estabilidad
Consistencia significa que en el límite laecuación de diferencias que define el método resulta formalmente la ecuación diferencial
Estabilidad se refiere a que los errores de truncación y de redondeo, al propagarse durante el proceso, sean siempre pequeños en comparación con la solución exacta
0→h
Un ejemplo de inestabilidad numUn ejemplo de inestabilidad numééricarica
Considérese la ecuación diferencialcon condición inicial cuya solución exacta es xey
yyy
−=
=−=′
1)0(
Trabajando con la regla explícita del punto medio,
con intervalo h = 0.1: ( )nnn
nnnn
yyyyxfhyy
2.0,2
11
11
−=+=
−+
−+
Para iniciar el proceso, además de y0=1, se haobtenido 96035418837904.01.0
1 === −− eey h
n nx ( )nxy ny ( )nnn xyye −=
1.6182911.6183370.00004510100
-1.464532-1.4644820.0000509.999
1.3253851.3254400.0000559.898
…
0.0002130.7410310.7408180.33
0.0003020.8190330.8187310.22
0.0000000.9048370.9048370.11
0.0000001.0000001.0000000.00
)(211 nnn yxyyyy −∆+=⇒−=′ −+
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0 2 4 6 8 10x
y(x)
Solución exacta
Solución numérica
1)0( =−=′
yyySolución de
( )nnn
nnn
yxyyxyyy
−∆+=∆−
≈′
−+
−+
22
11
11
La solución exacta es exponencialmente decreciente, como se indica en línea gruesa de color rojo en la figura
Sin embargo, el procedimiento numérico produce los resultados que se presentan en línea de color verde
Después de aproximadamente x=5 se observan valores con signos alternados, con amplitud cada vez mayor
Esto es una inestabilidad numérica
Si se reduce h o se aumenta el número de cifras en los cómputos el problema puede posponerse, pero no evitarse
¿A qué se debe esta inestabilidad?
Ecuación diferencial:
Método explícito del punto medio:
Solución de la ec. de diferencias:
Ecuación característica:
Raíces:
Solución general:Usando las condiciones iniciales:
Error en el paso 100:
( )( )
( )
( ) ( )( ) 645.110947469.7
1047.7
11
11
21
2
1.0100510022
5121
1.02
1
212211
12
21
2
11
21
=⋅≈
⋅≈−−=
≈−+≈+=
−≈−=
≈++=
+=
=
+==′
−
−−
−
−
−+
erC
rrreC
CeCeCrCrCy
er
r
ehhr
rhr
ry
yhyyyy
nn xnxnnn
h
h
nn
nnn
λλ
λ
λλλ
λ
λλ
Región de estabilidad absolutaRunge - Kutta 4o Orden
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-3 -2 -1 0 1
Re (λh)
Im (λh)Región de estabilidad absoluta - Euler
-2
-1
0
1
2
-3 -2 -1 0 1 2Re λh
Im λh
Región de estabilidad absolutaEuler Inverso
-2
-1
0
1
2
-2 -1 0 1 2 3
Re λh
Im λh
Región de estabilidad absolutaRunge Kutta - Segundo Orden
-2
-1
0
1
2
-3 -2 -1 0 1
Re λh
Im λh
hr λ+=1
hr
λ−=
11
( )22
11 hhr λλ ++=
( ) ( ) ( )42413
612
211 hhhhr λλλλ ++++=
RegiRegióón de estabilidad absoluta yn de estabilidad absoluta y’’==λλyy
MMéétodo de Diferencia Centraltodo de Diferencia Central
( ) mfuutfkuum /2 =+⇒=+ ω&&&&
211
2/12/1
12/1
)(2
tuuuu
tuuu
tuuu
nnnn
nnn
nnn
∆+−
=⇒
∆−
=
∆−
=+−
−+
++
&&&&
&&
&
( )
tuuu
tuuukutfum
nnn
nnn
nnn
∆+=
∆+=
−=
++
−+
21
21
21
1 &
&&&&
&&
πωTt =≤∆
2
0)0(1)0(02
===+uu
uu&
&& ω
05.0257.1
5
=∆==
tTω
Solución de
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
t
u
0)0(1)0(02
===+uu
uu&
&& ω
401.0257.1
5
=∆==
tTω
Solución de
-60
-40
-20
0
20
40
60
0 1 2 3 4 5
t
u
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales OrdinariasSistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
DescomposiciDescomposicióón modal y solucin modal y solucióón de las ecuaciones desacopladas:n de las ecuaciones desacopladas:Procedimiento mProcedimiento máás frecuentemente utilizados frecuentemente utilizadoEs la alternativa mEs la alternativa máás eficiente para ecuaciones linealess eficiente para ecuaciones lineales
IntegraciIntegracióón directa de las ecuaciones diferenciales:n directa de las ecuaciones diferenciales:Indispensable para el caso no linealIndispensable para el caso no linealDiversas dificultades de orden prDiversas dificultades de orden práácticoctico
SoluciSolucióón en el dominio de frecuencias:n en el dominio de frecuencias:Mucho menos eficiente que la descomposiciMucho menos eficiente que la descomposicióón modaln modalHerramienta apropiada para el investigadorHerramienta apropiada para el investigador
Descomposición Modal
faHaC =+&
φCφH λ= ijjTi δ=φCφ
ijijTi δλ=φHφ
( ) ∑α= jjt φa
fφHφC =α+α ∑∑ jjjj&
iTiiii g==αλ+α fφ&
DeterminaciDeterminacióón de n de valores y vectores valores y vectores caractercaracteríísticossticos
Ecuaciones diferenciales acopladasEcuaciones diferenciales acopladas
Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales desacopladasdesacopladas
Descomposición Modal
( ) ( )∑α= jj tt φa
iii φMφK 2ω=
( )tfaKaCaM =++ &&&
( ) ( )∑α= jj tt φa &&
( ) ( )∑α= jj tt φa &&&&
( )tjjjjjj fφKφCφM =α+α+α ∑∑∑ &&&
Los Los nn vectores vectores caractercaracteríísticos constituyen sticos constituyen una base completauna base completa
Descomposición Modal
( )tjjjjjj fφKφCφM =α+α+α ∑∑∑ &&&
ijijTi m δ= *φMφ
ijiijTi m δωβ= *2φCφ
ijiijTi m δω= *2φKφ
fφφKφφCφφMφ Tijj
Tijj
Tijj
Ti =α+α+α ∑∑∑ &&&
( ) ( )tgmt iiTi
*=fφ ( )tgiiiiii =αω+αωβ+α 22 &&&
Otro ejemplo de inestabilidad numOtro ejemplo de inestabilidad numééricarica
0)0(1)0(012
1 ===+ ++ uuuu nn &&& ω
uAu =⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
&
&
&
u
v
u
v
01
0 2ω
2)()( φφuφφA 1 tqtpiii +=⇒= λ
qiqpip
ωω
−=+=
&
&
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+
+
n
n
n
n
n
n
u
v
u
v
u
v
01
0 2
1
1 ω
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
0 1 2 3 4 5
t
u
EulerExacto
0)0(1)0(02
===+uu
uu&
&& ω
05.0257.1
5
=∆==
tTω
Solución de por el método de Euler
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3 4 5
EulerExacto
0)0(1)0(02 2
===++
uuuuu
&
&&& ωβω
05.0257.105.0
5
=∆===
tTβω
Solución de por el método de Euler
MMéétodo de Diferencia Centraltodo de Diferencia Central
faKaM =+&&Forma sumada, para el caso en que no hay Forma sumada, para el caso en que no hay amortiguamiento viscoso:amortiguamiento viscoso:
( )nnn aKfaM −=&&
nnn taaa &&&& ∆+=−+ 2
121
211 ++ ∆+= nnn taaa &
( )tnn ∆≈aa( )0
1200
2100 fMaaa −∆≈⇒== t&&
Condiciones Condiciones iniciales:iniciales:
Paso tPaso tíípico:pico:
MMéétodo de Diferencia Centraltodo de Diferencia Central
máx
mínTtω
=π
≤∆2
El procedimiento es muy simple, fEl procedimiento es muy simple, fáácil de programar.cil de programar.
Cada paso requiere muy pocas operaciones, Cada paso requiere muy pocas operaciones, especialmente si especialmente si MM es diagonales diagonal
No se requiere ensamblar K; puede ensamblarse No se requiere ensamblar K; puede ensamblarse directamente las fuerzas directamente las fuerzas con las que cada elemento con las que cada elemento o celda reacciona. Esto es muy ventajoso en el o celda reacciona. Esto es muy ventajoso en el ananáálisis no lineallisis no lineal
El procedimiento de diferencia central es El procedimiento de diferencia central es condicionalmente estable, por lo que habitualmente condicionalmente estable, por lo que habitualmente se requieren muchos pasos:se requieren muchos pasos:
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
0 2 4 6 8 10
t
u
u1u2
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛00
4114
2002
2
1
2
1
uu
uu&&
&&
1.0973.3581.1 =∆== tTmínmáxω
Método de Diferencia Central
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15
t
u
u1u2
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛00
4114
2002
2
1
2
1
uu
uu&&
&&
3.1973.3581.1 =∆== tTmínmáxω
Método de Diferencia Central
EstimaciEstimacióón del Intervalon del Intervalo
Las frecuencias naturales mLas frecuencias naturales máás bajas dependen de la s bajas dependen de la caractercaracteríísticas del medio estudiadosticas del medio estudiado
AAúún con un modelo pobre puede estimarse el pern con un modelo pobre puede estimarse el perííodo odo fundamental Tfundamental T11 = 2= 2ππ/w/w11
Si se hiciera una descomposiciSi se hiciera una descomposicióón modal, se observarn modal, se observaríía a que un nque un núúmero relativamente pequemero relativamente pequeñño de modos de o de modos de vibracivibracióón tiene influencia en los resultadosn tiene influencia en los resultados
Para tener precisiPara tener precisióón se requiere que el intervalo de n se requiere que el intervalo de integraciintegracióón sea una fraccin sea una fraccióón pequen pequeñña del menor a del menor perperííodo correspondiente a los modos de interodo correspondiente a los modos de interééss
EstimaciEstimacióón del Intervalon del Intervalo
pmín C
hT =
La frecuencia natural mLa frecuencia natural máás alta s alta wwmmááxx (que es la cr(que es la críítica tica para la estabilidad numpara la estabilidad numéérica) es una caracterrica) es una caracteríística del stica del modelo nummodelo numééricorico
El correspondiente perEl correspondiente perííodo odo TTmmíínn = 2= 2ππ//wwmmááxx puede puede estimarse como el tiempo que emplea la onda mestimarse como el tiempo que emplea la onda máás s rráápida en cruzar entre los dos nudos mpida en cruzar entre los dos nudos máás prs próóximosximos
La no linealidad tiende a reducir las velocidades de La no linealidad tiende a reducir las velocidades de onda y, por lo tanto, hace menos restrictiva la onda y, por lo tanto, hace menos restrictiva la condicicondicióón de estabilidad.n de estabilidad.
MMéétodo de todo de NewmarkNewmark
( )[ ] tnnnn ∆δ+δ−+= ++ 11 1 aaaa &&&&&&
( )[ ] ( )212
11 tt nnnnn ∆α+α−+∆+= ++ aaaaa &&&&&
⇓
⇓1111 ++++ =++ nnnn faKaCaM &&&
11ˆ
++ = nn raK y luego se determinany luego se determinan 11 ++ nn aa&
El mEl méétodo es incondicionalmente estable si:todo es incondicionalmente estable si:
( )221
41
21 δ+≥α≥δ
Consideraciones sobre el mConsideraciones sobre el méétodo de todo de NewmarkNewmark
Siendo el proceso incondicionalmente estable, el intervalo Siendo el proceso incondicionalmente estable, el intervalo de integracide integracióón estn estáá controlado por precisicontrolado por precisióónn
Cada paso requiere muchas mCada paso requiere muchas máás operaciones, pero el s operaciones, pero el intervalo puede ser mucho mayorintervalo puede ser mucho mayor
El mEl méétodo de todo de NewmarkNewmark requiere ensamblar la matriz de requiere ensamblar la matriz de rigidez; esto es problemrigidez; esto es problemáático en un antico en un anáálisis no lineal lisis no lineal
En el anEn el anáálisis no lineal serlisis no lineal seríía necesario a necesario refactorizarrefactorizar la la matriz de coeficientes en cada pasomatriz de coeficientes en cada paso
Las iteraciones requeridas en el anLas iteraciones requeridas en el anáálisis no lineal pueden lisis no lineal pueden hacer que el proceso no sea incondicionalmente establehacer que el proceso no sea incondicionalmente estable
Fuente: Bathe, K.J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, N.J. 1996
Ecuaciones en Derivadas ParcialesEcuaciones en Derivadas ParcialesEn este acápite se trata la solución de ecuaciones en derivadas parciales con técnicas de diferencias finitas
En sucesivos pasos se obtienen aproximaciones:
Los subíndices se refieren a la posición en espacio y el superíndice al tiempo
En general puede observarse que los métodos explícitos son condicionalmente estables
Los métodos implícitos pueden ser incondicionalmente estables, pero requieren mucho más esfuerzo de cómputo en cada paso
( )nkjnjk tyxuu ,,≈
Un método explícito para resolver la ecuación de difusión
2
2
xu
tu
∂
∂=
∂∂
ν( )
( )( )n
jnj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
uuux
tuu
x
uuut
uu
1121
211
1
2
2
+−+
+−+
+−∆
∆+=
⇓
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∆
+−=
∆
−
ν
ν
( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∆
∆
∆−=⇒= ∆
2sen
41 2
2
xpx
treru xjpinn
jν
( ) 211 2 ≤
∆
∆⇒≤
xtr ν
MMéétodo expltodo explíícito para una ecuacicito para una ecuacióón de difusin de difusióónn
-100
-75
-50
-25
0
25
50
75
100
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0100200300400
tt
∆
2
2
xu
tu
∂
∂=
∂∂
ν( )
( )nj
nj
nj
nj
nj uuu
xtuu 112
1 2 +−+ +−
∆∆
+=ν
( )509.000127.0105.0 2 =
∆∆
=∆==∆x
ttx νν
MMéétodo expltodo explíícito para una ecuacicito para una ecuacióón de ondan de onda
0=∂∂
+∂∂
xu
atu
011
=∆
−+
∆
− −+
xuu
at
uu nj
nj
nj
nj
( ) 1cos11212 ≤∆−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆∆
−∆
∆−=⇒= ∆ xp
xta
xtareru xjpinn
j
ax
tr∆
≤∆⇒≤ 1 condición de Courant
Los errores deben corregirse en el ámbito local, antes que se propaguen a puntos más alejados
Ecuación diferencial
Ecuación de diferencias
Integración de las ecuaciones de equilibrio
Relaciones ConstitutivasEsfuerzo - Deformación
Ecuaciones de Equilibrio
Actualiza coordenadas, velocidades y
desplazamientos
Determina fuerzas desequilibradas
Fuerzas desequilibradas
21
21
21
1 ++
−+
∆+=
∆+=
=
nnn
nnn
nn
t
t
uuu
uuufuM
&
&&&&
&&
)()()1(
)()()(
)()(
21
21
21
++
−+
∆+=
∆+=
=
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
nii
utuu
utuu
fum
&
&&&&
&&
ρ
π
GKC
ChTt
p
p
mínmín
34+
=
≈≤∆aceleraciones
fuerzas desequilibradasmasas
desplazamientos
velocidades
)()0()1( nii
ni uxx +=+
Componentes de deformación
∫∫ =∂
∂=
∂∂
S jn
iA j
ni
j
ni dSnu
AdA
xu
Axu )(
)()( 11 &&&
Deformación unitaria
Velocidad de deformación
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂∂
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂∂
=
i
nj
j
nin
ij
i
nj
j
nin
ij
xu
xu
xu
xu
)()(
21)(
)()(
21)(
&&&ε
ε
Fuerzas desequilibradas
∑ ∆=
=
)(
)()(21)(
)()(
e
eni
ni
nijj
ni
STr
nT σ
( ))()()(
)()()(
)()()(
ˆ
ˆ8.0
ˆ
nid
ni
ni
ni
ni
nid
ni
nexti
ni
fff
usignoff
rff
−=
=
−=
esfuerzos
fuerzas desequilibradas
tracciones de borde
amortiguamiento
fuerzas de respuesta longitud de
segmento de borde