Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

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Hugo Hugo Scaletti Scaletti Farina Farina Universidad Nacional de Ingenier Universidad Nacional de Ingenier í í a a Soluci Soluci ó ó n Num n Num é é rica de rica de Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales

description

numericos

Transcript of Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Page 1: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Hugo Hugo ScalettiScaletti FarinaFarinaUniversidad Nacional de IngenierUniversidad Nacional de Ingenierííaa

SoluciSolucióón Numn Numéérica derica deEcuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales

Page 2: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

En prácticamente todas las ramas de la ciencia y la ingeniería se plantean soluciones de diversos

problemas en términos de ecuaciones diferenciales

üu ρλ =∇+∆∇+ 2)( GG

( ) 2

2

tu

tupuT

∂∂

+∂∂

=+∇∇ ρµK

su&&&&& 1MxKxCxM −=++

Page 3: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

La solución analítica de tales ecuaciones esfactible sólo si la geometría y las condiciones

de borde del problema son muy simples

Ese no es normalmente el caso en losproblemas reales, que involucran típicamente

condiciones de borde complicadas

El desarrollo de las computadoras digitalesha hecho posible la solución numérica de tales

ecuaciones, incluso considerando mediosanisotrópicos y con comportamiento no lineal

Page 4: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Entre los procedimientos numéricos más empleados, pueden mencionarselas técnicas de diferencias finitas y

los métodos de elementos finitos

En ambos casos se trata de métodosaproximados, en los que la solución seexpresa como una colección de valores numéricos en un número finito de puntos

( ) ( ) ( ) Nyhxyyhxyyxyy L2020100 +≈+≈≈

Page 5: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

En el caso de las técnicas de diferencias finitas,se hacen aproximaciones para las derivadas

( )

( )

21,,1,

2,1,,12

22

11

1

22

2)(

)(

huuu

huuu

u

hOh

yyyyxy

hOh

yyyxy

nmnmnmnmnmnmmn

nnnnn

nnnn

+−+−

+−

+

+−+

+−≈∇

++−

=′′≈′′

+−

=′≈′

con lo que se convierte las ecuaciones diferencialesen “ecuaciones de diferencias”, cuya solución es análoga a las de las ecuaciones diferenciales

Page 6: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ]111

111111

1111

11

,,2

,,

,2,2

,,

+++

++++++

−+−+

++

++=

+=⇒=−

+=⇒=−

+=⇒=−

nnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

yxfyxfhyy

yxfhyyyxfh

yy

yxfhyyyxfh

yy

yxfhyyyxfh

yy

ED Ordinarias de Primer OrdenED Ordinarias de Primer Orden ( )yxfy ,=′

Page 7: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

i ix ( ) ixi exy = iy ifh

-0.0511.771-0.0941.7281.8220.66

-0.0390.1611.6101.6490.55

-0.0230.1461.464-0.0520.2441.4401.4920.44

-0.0190.1331.3311.3500.33

-0.0110.1211.210-0.0210.2401.2001.2210.22

-0.0050.1101.1001.1050.11

00.1001.00000.2001.0001.00000

errorerror

Solución con h = 0.1Solución con h = 0.2Solución exacta

iy ifh

( ) ( ) ( ) nnnnnnnn yhyhyyyxfhyy +=+=⇒+= ++ 1, 11

SoluciSolucióón de yn de y’’ = y con el m= y con el méétodo de Eulertodo de Euler

Page 8: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

∂∂

+≈==

+

α

εεy

xxnn

nyfh11

El error de El error de truncacitruncacióónn local, es decir el error local, es decir el error introducido en cada paso, es de introducido en cada paso, es de O(hO(h22))

Sin embargo, como el número de pasos que se realizan para integrar la EDO en un intervalo dado es inversamente proporcional a h, el error de truncación global es de O(h)

A esto deben agregarse los errores introducidos en A esto deben agregarse los errores introducidos en cada operacicada operacióón por la aritmn por la aritméética imperfecta de la tica imperfecta de la computadoracomputadora

El mEl méétodo de todo de EulerEuler no es adecuado para resolver no es adecuado para resolver yy’’=y. Puede demostrarse que:=y. Puede demostrarse que:

Page 9: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Convergencia, Consistencia y EstabilidadConvergencia, Consistencia y Estabilidad

Al emplear un método numérico para resolver una ecuación diferencial, se espera que éste sea convergente, lo que significa que al trabajar con intervalos h cada vez más pequeños, la solución

debe aproximar cada vez mejor a la exacta

Para que el procedimiento numérico sea convergente debe ser consistente y estable

Page 10: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Convergencia, Consistencia y EstabilidadConvergencia, Consistencia y Estabilidad

Consistencia significa que en el límite laecuación de diferencias que define el método resulta formalmente la ecuación diferencial

Estabilidad se refiere a que los errores de truncación y de redondeo, al propagarse durante el proceso, sean siempre pequeños en comparación con la solución exacta

0→h

Page 11: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Un ejemplo de inestabilidad numUn ejemplo de inestabilidad numééricarica

Considérese la ecuación diferencialcon condición inicial cuya solución exacta es xey

yyy

−=

=−=′

1)0(

Trabajando con la regla explícita del punto medio,

con intervalo h = 0.1: ( )nnn

nnnn

yyyyxfhyy

2.0,2

11

11

−=+=

−+

−+

Para iniciar el proceso, además de y0=1, se haobtenido 96035418837904.01.0

1 === −− eey h

Page 12: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

n nx ( )nxy ny ( )nnn xyye −=

1.6182911.6183370.00004510100

-1.464532-1.4644820.0000509.999

1.3253851.3254400.0000559.898

0.0002130.7410310.7408180.33

0.0003020.8190330.8187310.22

0.0000000.9048370.9048370.11

0.0000001.0000001.0000000.00

)(211 nnn yxyyyy −∆+=⇒−=′ −+

Page 13: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 2 4 6 8 10x

y(x)

Solución exacta

Solución numérica

1)0( =−=′

yyySolución de

( )nnn

nnn

yxyyxyyy

−∆+=∆−

≈′

−+

−+

22

11

11

Page 14: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

La solución exacta es exponencialmente decreciente, como se indica en línea gruesa de color rojo en la figura

Sin embargo, el procedimiento numérico produce los resultados que se presentan en línea de color verde

Después de aproximadamente x=5 se observan valores con signos alternados, con amplitud cada vez mayor

Esto es una inestabilidad numérica

Si se reduce h o se aumenta el número de cifras en los cómputos el problema puede posponerse, pero no evitarse

¿A qué se debe esta inestabilidad?

Page 15: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Ecuación diferencial:

Método explícito del punto medio:

Solución de la ec. de diferencias:

Ecuación característica:

Raíces:

Solución general:Usando las condiciones iniciales:

Error en el paso 100:

( )( )

( )

( ) ( )( ) 645.110947469.7

1047.7

11

11

21

2

1.0100510022

5121

1.02

1

212211

12

21

2

11

21

=⋅≈

⋅≈−−=

≈−+≈+=

−≈−=

≈++=

+=

=

+==′

−−

−+

erC

rrreC

CeCeCrCrCy

er

r

ehhr

rhr

ry

yhyyyy

nn xnxnnn

h

h

nn

nnn

λλ

λ

λλλ

λ

λλ

Page 16: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Región de estabilidad absolutaRunge - Kutta 4o Orden

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1

Re (λh)

Im (λh)Región de estabilidad absoluta - Euler

-2

-1

0

1

2

-3 -2 -1 0 1 2Re λh

Im λh

Región de estabilidad absolutaEuler Inverso

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2 3

Re λh

Im λh

Región de estabilidad absolutaRunge Kutta - Segundo Orden

-2

-1

0

1

2

-3 -2 -1 0 1

Re λh

Im λh

hr λ+=1

hr

λ−=

11

( )22

11 hhr λλ ++=

( ) ( ) ( )42413

612

211 hhhhr λλλλ ++++=

RegiRegióón de estabilidad absoluta yn de estabilidad absoluta y’’==λλyy

Page 17: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

MMéétodo de Diferencia Centraltodo de Diferencia Central

( ) mfuutfkuum /2 =+⇒=+ ω&&&&

211

2/12/1

12/1

)(2

tuuuu

tuuu

tuuu

nnnn

nnn

nnn

∆+−

=⇒

∆−

=

∆−

=+−

−+

++

&&&&

&&

&

( )

tuuu

tuuukutfum

nnn

nnn

nnn

∆+=

∆+=

−=

++

−+

21

21

21

1 &

&&&&

&&

πωTt =≤∆

2

Page 18: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

0)0(1)0(02

===+uu

uu&

&& ω

05.0257.1

5

=∆==

tTω

Solución de

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

t

u

Page 19: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

0)0(1)0(02

===+uu

uu&

&& ω

401.0257.1

5

=∆==

tTω

Solución de

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 1 2 3 4 5

t

u

Page 20: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales OrdinariasSistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

DescomposiciDescomposicióón modal y solucin modal y solucióón de las ecuaciones desacopladas:n de las ecuaciones desacopladas:Procedimiento mProcedimiento máás frecuentemente utilizados frecuentemente utilizadoEs la alternativa mEs la alternativa máás eficiente para ecuaciones linealess eficiente para ecuaciones lineales

IntegraciIntegracióón directa de las ecuaciones diferenciales:n directa de las ecuaciones diferenciales:Indispensable para el caso no linealIndispensable para el caso no linealDiversas dificultades de orden prDiversas dificultades de orden práácticoctico

SoluciSolucióón en el dominio de frecuencias:n en el dominio de frecuencias:Mucho menos eficiente que la descomposiciMucho menos eficiente que la descomposicióón modaln modalHerramienta apropiada para el investigadorHerramienta apropiada para el investigador

Page 21: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Descomposición Modal

faHaC =+&

φCφH λ= ijjTi δ=φCφ

ijijTi δλ=φHφ

( ) ∑α= jjt φa

fφHφC =α+α ∑∑ jjjj&

iTiiii g==αλ+α fφ&

DeterminaciDeterminacióón de n de valores y vectores valores y vectores caractercaracteríísticossticos

Ecuaciones diferenciales acopladasEcuaciones diferenciales acopladas

Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales desacopladasdesacopladas

Page 22: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Descomposición Modal

( ) ( )∑α= jj tt φa

iii φMφK 2ω=

( )tfaKaCaM =++ &&&

( ) ( )∑α= jj tt φa &&

( ) ( )∑α= jj tt φa &&&&

( )tjjjjjj fφKφCφM =α+α+α ∑∑∑ &&&

Los Los nn vectores vectores caractercaracteríísticos constituyen sticos constituyen una base completauna base completa

Page 23: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Descomposición Modal

( )tjjjjjj fφKφCφM =α+α+α ∑∑∑ &&&

ijijTi m δ= *φMφ

ijiijTi m δωβ= *2φCφ

ijiijTi m δω= *2φKφ

fφφKφφCφφMφ Tijj

Tijj

Tijj

Ti =α+α+α ∑∑∑ &&&

( ) ( )tgmt iiTi

*=fφ ( )tgiiiiii =αω+αωβ+α 22 &&&

Page 24: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Otro ejemplo de inestabilidad numOtro ejemplo de inestabilidad numééricarica

0)0(1)0(012

1 ===+ ++ uuuu nn &&& ω

uAu =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛ −=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

&

&

&

u

v

u

v

01

0 2ω

2)()( φφuφφA 1 tqtpiii +=⇒= λ

qiqpip

ωω

−=+=

&

&

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛ −+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

+

n

n

n

n

n

n

u

v

u

v

u

v

01

0 2

1

1 ω

Page 25: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

0 1 2 3 4 5

t

u

EulerExacto

0)0(1)0(02

===+uu

uu&

&& ω

05.0257.1

5

=∆==

tTω

Solución de por el método de Euler

Page 26: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5

EulerExacto

0)0(1)0(02 2

===++

uuuuu

&

&&& ωβω

05.0257.105.0

5

=∆===

tTβω

Solución de por el método de Euler

Page 27: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

MMéétodo de Diferencia Centraltodo de Diferencia Central

faKaM =+&&Forma sumada, para el caso en que no hay Forma sumada, para el caso en que no hay amortiguamiento viscoso:amortiguamiento viscoso:

( )nnn aKfaM −=&&

nnn taaa &&&& ∆+=−+ 2

121

211 ++ ∆+= nnn taaa &

( )tnn ∆≈aa( )0

1200

2100 fMaaa −∆≈⇒== t&&

Condiciones Condiciones iniciales:iniciales:

Paso tPaso tíípico:pico:

Page 28: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

MMéétodo de Diferencia Centraltodo de Diferencia Central

máx

mínTtω

≤∆2

El procedimiento es muy simple, fEl procedimiento es muy simple, fáácil de programar.cil de programar.

Cada paso requiere muy pocas operaciones, Cada paso requiere muy pocas operaciones, especialmente si especialmente si MM es diagonales diagonal

No se requiere ensamblar K; puede ensamblarse No se requiere ensamblar K; puede ensamblarse directamente las fuerzas directamente las fuerzas con las que cada elemento con las que cada elemento o celda reacciona. Esto es muy ventajoso en el o celda reacciona. Esto es muy ventajoso en el ananáálisis no lineallisis no lineal

El procedimiento de diferencia central es El procedimiento de diferencia central es condicionalmente estable, por lo que habitualmente condicionalmente estable, por lo que habitualmente se requieren muchos pasos:se requieren muchos pasos:

Page 29: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

0 2 4 6 8 10

t

u

u1u2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

4114

2002

2

1

2

1

uu

uu&&

&&

1.0973.3581.1 =∆== tTmínmáxω

Método de Diferencia Central

Page 30: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15

t

u

u1u2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

4114

2002

2

1

2

1

uu

uu&&

&&

3.1973.3581.1 =∆== tTmínmáxω

Método de Diferencia Central

Page 31: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

EstimaciEstimacióón del Intervalon del Intervalo

Las frecuencias naturales mLas frecuencias naturales máás bajas dependen de la s bajas dependen de la caractercaracteríísticas del medio estudiadosticas del medio estudiado

AAúún con un modelo pobre puede estimarse el pern con un modelo pobre puede estimarse el perííodo odo fundamental Tfundamental T11 = 2= 2ππ/w/w11

Si se hiciera una descomposiciSi se hiciera una descomposicióón modal, se observarn modal, se observaríía a que un nque un núúmero relativamente pequemero relativamente pequeñño de modos de o de modos de vibracivibracióón tiene influencia en los resultadosn tiene influencia en los resultados

Para tener precisiPara tener precisióón se requiere que el intervalo de n se requiere que el intervalo de integraciintegracióón sea una fraccin sea una fraccióón pequen pequeñña del menor a del menor perperííodo correspondiente a los modos de interodo correspondiente a los modos de interééss

Page 32: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

EstimaciEstimacióón del Intervalon del Intervalo

pmín C

hT =

La frecuencia natural mLa frecuencia natural máás alta s alta wwmmááxx (que es la cr(que es la críítica tica para la estabilidad numpara la estabilidad numéérica) es una caracterrica) es una caracteríística del stica del modelo nummodelo numééricorico

El correspondiente perEl correspondiente perííodo odo TTmmíínn = 2= 2ππ//wwmmááxx puede puede estimarse como el tiempo que emplea la onda mestimarse como el tiempo que emplea la onda máás s rráápida en cruzar entre los dos nudos mpida en cruzar entre los dos nudos máás prs próóximosximos

La no linealidad tiende a reducir las velocidades de La no linealidad tiende a reducir las velocidades de onda y, por lo tanto, hace menos restrictiva la onda y, por lo tanto, hace menos restrictiva la condicicondicióón de estabilidad.n de estabilidad.

Page 33: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

MMéétodo de todo de NewmarkNewmark

( )[ ] tnnnn ∆δ+δ−+= ++ 11 1 aaaa &&&&&&

( )[ ] ( )212

11 tt nnnnn ∆α+α−+∆+= ++ aaaaa &&&&&

⇓1111 ++++ =++ nnnn faKaCaM &&&

11ˆ

++ = nn raK y luego se determinany luego se determinan 11 ++ nn aa&

El mEl méétodo es incondicionalmente estable si:todo es incondicionalmente estable si:

( )221

41

21 δ+≥α≥δ

Page 34: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Consideraciones sobre el mConsideraciones sobre el méétodo de todo de NewmarkNewmark

Siendo el proceso incondicionalmente estable, el intervalo Siendo el proceso incondicionalmente estable, el intervalo de integracide integracióón estn estáá controlado por precisicontrolado por precisióónn

Cada paso requiere muchas mCada paso requiere muchas máás operaciones, pero el s operaciones, pero el intervalo puede ser mucho mayorintervalo puede ser mucho mayor

El mEl méétodo de todo de NewmarkNewmark requiere ensamblar la matriz de requiere ensamblar la matriz de rigidez; esto es problemrigidez; esto es problemáático en un antico en un anáálisis no lineal lisis no lineal

En el anEn el anáálisis no lineal serlisis no lineal seríía necesario a necesario refactorizarrefactorizar la la matriz de coeficientes en cada pasomatriz de coeficientes en cada paso

Las iteraciones requeridas en el anLas iteraciones requeridas en el anáálisis no lineal pueden lisis no lineal pueden hacer que el proceso no sea incondicionalmente establehacer que el proceso no sea incondicionalmente estable

Page 35: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Fuente: Bathe, K.J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, N.J. 1996

Page 36: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones en Derivadas ParcialesEcuaciones en Derivadas ParcialesEn este acápite se trata la solución de ecuaciones en derivadas parciales con técnicas de diferencias finitas

En sucesivos pasos se obtienen aproximaciones:

Los subíndices se refieren a la posición en espacio y el superíndice al tiempo

En general puede observarse que los métodos explícitos son condicionalmente estables

Los métodos implícitos pueden ser incondicionalmente estables, pero requieren mucho más esfuerzo de cómputo en cada paso

( )nkjnjk tyxuu ,,≈

Page 37: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Un método explícito para resolver la ecuación de difusión

2

2

xu

tu

∂=

∂∂

ν( )

( )( )n

jnj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

uuux

tuu

x

uuut

uu

1121

211

1

2

2

+−+

+−+

+−∆

∆+=

⎟⎟

⎜⎜

+−=

ν

ν

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∆

∆−=⇒= ∆

2sen

41 2

2

xpx

treru xjpinn

( ) 211 2 ≤

∆⇒≤

xtr ν

MMéétodo expltodo explíícito para una ecuacicito para una ecuacióón de difusin de difusióónn

Page 38: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

-100

-75

-50

-25

0

25

50

75

100

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0100200300400

tt

2

2

xu

tu

∂=

∂∂

ν( )

( )nj

nj

nj

nj

nj uuu

xtuu 112

1 2 +−+ +−

∆∆

+=ν

( )509.000127.0105.0 2 =

∆∆

=∆==∆x

ttx νν

Page 39: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

MMéétodo expltodo explíícito para una ecuacicito para una ecuacióón de ondan de onda

0=∂∂

+∂∂

xu

atu

011

=∆

−+

− −+

xuu

at

uu nj

nj

nj

nj

( ) 1cos11212 ≤∆−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆

−∆

∆−=⇒= ∆ xp

xta

xtareru xjpinn

j

ax

tr∆

≤∆⇒≤ 1 condición de Courant

Los errores deben corregirse en el ámbito local, antes que se propaguen a puntos más alejados

Ecuación diferencial

Ecuación de diferencias

Page 40: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Integración de las ecuaciones de equilibrio

Relaciones ConstitutivasEsfuerzo - Deformación

Ecuaciones de Equilibrio

Actualiza coordenadas, velocidades y

desplazamientos

Determina fuerzas desequilibradas

Page 41: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Fuerzas desequilibradas

21

21

21

1 ++

−+

∆+=

∆+=

=

nnn

nnn

nn

t

t

uuu

uuufuM

&

&&&&

&&

)()()1(

)()()(

)()(

21

21

21

++

−+

∆+=

∆+=

=

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

nii

utuu

utuu

fum

&

&&&&

&&

ρ

π

GKC

ChTt

p

p

mínmín

34+

=

≈≤∆aceleraciones

fuerzas desequilibradasmasas

desplazamientos

velocidades

)()0()1( nii

ni uxx +=+

Page 42: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales
Page 43: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Componentes de deformación

∫∫ =∂

∂=

∂∂

S jn

iA j

ni

j

ni dSnu

AdA

xu

Axu )(

)()( 11 &&&

Deformación unitaria

Velocidad de deformación

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂+

∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂+

∂∂

=

i

nj

j

nin

ij

i

nj

j

nin

ij

xu

xu

xu

xu

)()(

21)(

)()(

21)(

&&&ε

ε

Page 44: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales

Fuerzas desequilibradas

∑ ∆=

=

)(

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fff

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rff

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=

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esfuerzos

fuerzas desequilibradas

tracciones de borde

amortiguamiento

fuerzas de respuesta longitud de

segmento de borde

Page 45: Solución Numérica Ecuaciones Diferenciales