Soluci³n Num©rica Ecuaciones Diferenciales

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  • Hugo Hugo ScalettiScaletti FarinaFarinaUniversidad Nacional de IngenierUniversidad Nacional de Ingenieraa

    SoluciSolucin Numn Numrica derica deEcuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales

  • En prcticamente todas las ramas de la ciencia y la ingeniera se plantean soluciones de diversos

    problemas en trminos de ecuaciones diferenciales

    u =++ 2)( GG

    ( ) 22

    tu

    tupuT

    +=+ K

    su&&&&& 1MxKxCxM =++

  • La solucin analtica de tales ecuaciones esfactible slo si la geometra y las condiciones

    de borde del problema son muy simples

    Ese no es normalmente el caso en losproblemas reales, que involucran tpicamente

    condiciones de borde complicadas

    El desarrollo de las computadoras digitalesha hecho posible la solucin numrica de tales

    ecuaciones, incluso considerando mediosanisotrpicos y con comportamiento no lineal

  • Entre los procedimientos numricos ms empleados, pueden mencionarselas tcnicas de diferencias finitas y

    los mtodos de elementos finitos

    En ambos casos se trata de mtodosaproximados, en los que la solucin seexpresa como una coleccin de valores numricos en un nmero finito de puntos

    ( ) ( ) ( ) Nyhxyyhxyyxyy L2020100 ++

  • En el caso de las tcnicas de diferencias finitas,se hacen aproximaciones para las derivadas

    ( )( )

    21,,1,

    2,1,,12

    22

    11

    1

    22

    2)(

    )(

    huuu

    huuu

    u

    hOh

    yyyyxy

    hOh

    yyyxy

    nmnmnmnmnmnmmn

    nnnnn

    nnnn

    ++

    +

    +

    +++

    ++=

    +=

    con lo que se convierte las ecuaciones diferencialesen ecuaciones de diferencias, cuya solucin es anloga a las de las ecuaciones diferenciales

  • ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( )[ ]111

    111111

    1111

    11

    ,,2

    ,,

    ,2,2

    ,,

    +++

    ++++++

    ++

    ++

    ++=

    +==

    +==

    +==

    nnnnnn

    nnnnnnnn

    nnnnnnnn

    nnnnnnnn

    yxfyxfhyy

    yxfhyyyxfh

    yy

    yxfhyyyxfh

    yy

    yxfhyyyxfh

    yy

    ED Ordinarias de Primer OrdenED Ordinarias de Primer Orden ( )yxfy ,=

  • i ix ( ) ixi exy = iy ifh

    -0.0511.771-0.0941.7281.8220.66

    -0.0390.1611.6101.6490.55

    -0.0230.1461.464-0.0520.2441.4401.4920.44

    -0.0190.1331.3311.3500.33

    -0.0110.1211.210-0.0210.2401.2001.2210.22

    -0.0050.1101.1001.1050.11

    00.1001.00000.2001.0001.00000

    errorerror

    Solucin con h = 0.1Solucin con h = 0.2Solucin exacta

    iy ifh

    ( ) ( ) ( ) nnnnnnnn yhyhyyyxfhyy +=+=+= ++ 1, 11SoluciSolucin de yn de y = y con el m= y con el mtodo de Eulertodo de Euler

  • +

    ==+

    y

    xxnn

    nyfh11

    zz El error de El error de truncacitruncacinn local, es decir el error local, es decir el error introducido en cada paso, es de introducido en cada paso, es de O(hO(h22))

    z Sin embargo, como el nmero de pasos que se realizan para integrar la EDO en un intervalo dado es inversamente proporcional a h, el error de truncacin global es de O(h)

    zz A esto deben agregarse los errores introducidos en A esto deben agregarse los errores introducidos en cada operacicada operacin por la aritmn por la aritmtica imperfecta de la tica imperfecta de la computadoracomputadora

    zz El mEl mtodo de todo de EulerEuler no es adecuado para resolver no es adecuado para resolver yy=y. Puede demostrarse que:=y. Puede demostrarse que:

  • Convergencia, Consistencia y EstabilidadConvergencia, Consistencia y Estabilidad

    Al emplear un mtodo numrico para resolver una ecuacin diferencial, se espera que ste sea convergente, lo que significa que al trabajar con intervalos h cada vez ms pequeos, la solucin

    debe aproximar cada vez mejor a la exacta

    Para que el procedimiento numrico sea convergente debe ser consistente y estable

  • Convergencia, Consistencia y EstabilidadConvergencia, Consistencia y Estabilidad

    Consistencia significa que en el lmite laecuacin de diferencias que define el mtodo resulta formalmente la ecuacin diferencial

    Estabilidad se refiere a que los errores de truncacin y de redondeo, al propagarse durante el proceso, sean siempre pequeos en comparacin con la solucin exacta

    0h

  • Un ejemplo de inestabilidad numUn ejemplo de inestabilidad numricarica

    Considrese la ecuacin diferencialcon condicin inicial cuya solucin exacta es xey

    yyy

    ===

    1)0(

    Trabajando con la regla explcita del punto medio,

    con intervalo h = 0.1: ( )nnn

    nnnn

    yyyyxfhyy

    2.0,2

    11

    11

    =+=

    ++

    Para iniciar el proceso, adems de y0=1, se haobtenido 96035418837904.01.01 === eey h

  • n nx ( )nxy ny ( )nnn xyye =

    1.6182911.6183370.00004510100

    -1.464532-1.4644820.0000509.999

    1.3253851.3254400.0000559.898

    0.0002130.7410310.7408180.33

    0.0003020.8190330.8187310.22

    0.0000000.9048370.9048370.11

    0.0000001.0000001.0000000.00

    )(211 nnn yxyyyy +== +

  • -2.0

    -1.5

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0

    0 2 4 6 8 10x

    y

    (

    x

    )

    Solucin exacta

    Solucin numrica

    1)0( ==

    yyySolucin de

    ( )nnnnn

    n

    yxyyxyyy

    +=

    +

    +

    22

    11

    11

  • La solucin exacta es exponencialmente decreciente, como se indica en lnea gruesa de color rojo en la figura

    Sin embargo, el procedimiento numrico produce los resultados que se presentan en lnea de color verde

    Despus de aproximadamente x=5 se observan valores con signos alternados, con amplitud cada vez mayor

    Esto es una inestabilidad numrica

    Si se reduce h o se aumenta el nmero de cifras en los cmputos el problema puede posponerse, pero no evitarse

    A qu se debe esta inestabilidad?

  • Ecuacin diferencial:Mtodo explcito del punto medio:

    Solucin de la ec. de diferencias:

    Ecuacin caracterstica:

    Races:

    Solucin general:Usando las condiciones iniciales:

    Error en el paso 100:

    ( )( )

    ( )( ) ( )

    ( ) 645.110947469.71047.7

    11

    11

    21

    2

    1.0100510022

    5121

    1.02

    1

    212211

    12

    21

    2

    11

    21

    ==

    ++=

    =++=

    +==

    +==

    +

    erC

    rrreC

    CeCeCrCrCy

    er

    r

    ehhr

    rhr

    ry

    yhyyyy

    nn xnxnnn

    h

    h

    nn

    nnn

  • Regin de estabilidad absolutaRunge - Kutta 4o Orden

    -4

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    4

    -3 -2 -1 0 1

    Re (h)

    Im (h)Regin de estabilidad absoluta - Euler-2

    -1

    0

    1

    2

    -3 -2 -1 0 1 2Re h

    Im h

    Regin de estabilidad absolutaEuler Inverso

    -2

    -1

    0

    1

    2

    -2 -1 0 1 2 3

    Re h

    Im h

    Regin de estabilidad absolutaRunge Kutta - Segundo Orden

    -2

    -1

    0

    1

    2

    -3 -2 -1 0 1

    Re h

    Im h

    hr +=1

    hr = 1

    1

    ( )2211 hhr ++=

    ( ) ( ) ( )42413612211 hhhhr ++++=

    RegiRegin de estabilidad absoluta yn de estabilidad absoluta y==yy

  • MMtodo de Diferencia Centraltodo de Diferencia Central

    ( ) mfuutfkuum /2 =+=+ &&&&

    211

    2/12/1

    12/1

    )(2

    tuuuu

    tuuu

    tuuu

    nnnn

    nnn

    nnn

    +=

    =

    =+

    +

    ++ &&&&&&

    &

    ( )

    tuuu

    tuuukutfum

    nnn

    nnn

    nnn

    +=+=

    =

    ++

    +

    21

    21

    21

    1 &&&&&

    &&

    Tt = 2

  • 0)0(1)0(02

    ===+uu

    uu&

    &&

    05.0257.1

    5

    ===

    tT

    Solucin de

    -1.5

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    1.5

    0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

    t

    u

  • 0)0(1)0(02

    ===+uu

    uu&

    &&

    401.0257.1

    5

    ===

    tT

    Solucin de

    -60

    -40

    -20

    0

    20

    40

    60

    0 1 2 3 4 5

    t

    u

  • Sistemas de Ecuaciones Diferenciales OrdinariasSistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

    DescomposiciDescomposicin modal y solucin modal y solucin de las ecuaciones desacopladas:n de las ecuaciones desacopladas:zz Procedimiento mProcedimiento ms frecuentemente utilizados frecuentemente utilizadozz Es la alternativa mEs la alternativa ms eficiente para ecuaciones linealess eficiente para ecuaciones lineales

    IntegraciIntegracin directa de las ecuaciones diferenciales:n directa de las ecuaciones diferenciales:zz Indispensable para el caso no linealIndispensable para el caso no linealzz Diversas dificultades de orden prDiversas dificultades de orden prcticoctico

    SoluciSolucin en el dominio de frecuencias:n en el dominio de frecuencias:zz Mucho menos eficiente que la descomposiciMucho menos eficiente que la descomposicin modaln modalzz Herramienta apropiada para el investigadorHerramienta apropiada para el investigador

  • Descomposicin Modal

    faHaC =+&CH = ijjTi =C

    ijijTi =H

    ( ) = jjt afHC =+ jjjj&

    iTiiii g==+ f&

    DeterminaciDeterminacin de n de valores y vectores valores y vectores caractercaractersticossticos

    Ecuaciones diferenciales acopladasEcuaciones diferenciales acopladas

    Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales desacopladasdesacopladas

  • Descomposicin Modal

    ( ) ( )= jj tt aiii MK

    2=( )tfaKaCaM =++ &&&

    ( ) ( )= jj tt a &&( ) ( )= jj tt a &&