Respuesta en frecuencia - Departamento de...

1

� Se puede representar completamente el comportamiento en frecuencia que tiene un circuito (o sistema cualquiera) de función de transferencia conocida mediante dos diagramas:

� b) Otro que represente el ángulo de fase en función de la frecuencia (f) o de la pulsación (ω)

Respuesta en frecuencia

� Nota: es indiferente utilizar la pulsación o la frecuencia en abscisas: puesto que ω =2·π ·f, la representación es semejante

� a) Uno que represente la amplitud o ganancia en función de la frecuencia (f) o de la pulsación (ω)

ω

)j(G ω⋅Diagrama de

módulosω

)j(G ω⋅Diagrama de

fases

Si la potencia se entrega sobre cargas iguales:

B = Punto referencia del circuitoA = Punto donde se mide la

ganancia respecto de B

El decibelio (dB)� Unidad de medida de ganancias respecto de un punto de

referencia en el circuito� Definición de ganancia de potencia en decibelios (dB) :

( )B

A10P P

Plog10dBA ⋅=

⋅=

B

A10 V

Vlog20

2

B

A10 V

Vlog10

⋅=

LOAD

2B

LOAD

2A

10

RV

RV

log10 ⋅=( )B

A10P P

Plog10dBA ⋅=

� Definición de ganancia de tensión en dB: ( )

⋅=

B

A10u V

Vlog20dBA

� Definición de ganancia de corriente en dB: ( )

⋅=

B

A10i I

Ilog20dBA

2

Diagrama de Bode� Representación de módulo y fase de una función de

transferencia o ganancia, en función de la frecuencia (f) o la pulsación (ω)� La frecuencia (o pulsación) se representa en escala logaritmica� El diagrama de módulos se representa en decibelios (escala logarítmica)� El diagrama de fases se representa linealmente

� Ejemplo:G(jωωωω)[dB]

20

40

0

-20

-40

0

90

-90

-180

-270

f (Hz)10

1

102

103

104

105

106

107

108

f (Hz)10

1

102

103

104

105

106

107

108

G(jωωωω) [º]

� Ventajas de la representación logarítmica:

� Se convierte el producto de amplitudes en suma:

Diagrama de Bode

BlogAlog)BAlog( +=⋅

� Existe un método de trazado del logaritmo de la amplitud, basado en una aproximación mediante rectas (asintótica).

� Permite ver fácilmente la respuesta del sistema a baja y alta frecuencia en el mismo diagrama.

� DEFINICIÓN DE DÉCADAS Y OCTAVAS:

� Década: banda de frecuencias (o pulsaciones) comprendidas entre f0 y 10·f0.

�Octava: banda de frecuencias (o pulsaciones) comprendidas entre f0 y 2·f0.

� Sobre el diagrama, la distancia entre frecuencias (o pulsaciones) que guardan igual relación es constante

3

Diagrama de Bode� DEFINICIÓN DE DÉCADAS Y OCTAVAS:

� Década: banda de frecuencias entre f0 y 10·f0.

f100 101 10210-110-2

0 1 2-1-2 Log(f)

1 2 103 4 5 6 7 8 9

Década DécadaDécada

� Octava: banda de frecuencias entre f0 y 2·f0.

f100 101 10210-110-2

0 1 2-1-2 Log(f)

1 2 103 4 5 6 7 8 9

Década DécadaDécada

f100 101 10210-110-2

1 2 103 4 5 6 7 8 9

Octavas

� En general, una función de transferencia será de la forma:

Trazado del Bode asintótico

(Laplace) )s(D

)s(N)s(G = senoidal) (Regimen

)j(D

)j(N)j(G

ωω

=ω

� N(jω) y D(jω) se pueden factorizar siempre en factores de grado 2 como máximo

� K Ganancia constante, y real

� Factores de primer orden1

n

1 )j1()Tj1( ±±

ωω

+=ω+

12

nn

jj21

±

ωω

+ωω

⋅ζ+� Factores de segundo orden

� Factores derivativos e integrales1)j( ±ω

� Factores posibles:

4

ω

)j(G ω

� AMPLITUD

� Factores de ganancia K


[ ] 0Klog20K1KdB

<=⇒<� Si

[ ] 0Klog20K1KdB

>=⇒>� Si

� Representación en función de la frecuencia: Recta horizontal, de valor K[dB]

Ganancia K Ganancia K [dB]

0,01=10-2 20·log(10-2)= -40

0,1=10-1 20·log(10-1)= -20

1=100 20·log(100)= 0

10=101 20·log(101)= 20

100=102 20·log(102)= 40

� NOTA: al multiplicar la ganancia por 10, el valor en dB aumenta en 20 dB

K[dB]=20log(K)

ω

)j(G ω

� FASE

� Factores de ganancia K


π==ϕ⇒< º1800K� Si

º00K =ϕ⇒>� Si

Re(K)

Im(K)0K < K<0

180º

K<0-180º

0K >

K>0

5


� AMPLITUD [ ] ω=ω⋅=⋅= log20jlog20Glog20G 1dB1

� Representación en función de la frecuencia:

Recta� Pasa por

� Caso 1: Factor en el numerador: ω=ω j)j(G1

� Para [ ] 010log20G 101 0

dB10 =⋅=⇒==ω

[ ] 0G,1dB1 ==ω

� Si se aumenta la frecuencia una década, pasando de ω = ω1 a ω =10· ω1

( ) ( )[ ]dB111 20 log20 log2010 log2010 log20 +ω⋅=ω⋅+⋅=ω⋅⋅

� Pendiente: decada

dB20 ω

[ ]dB)j(G ω

20

10=ω

decada

dB20

� Factores derivativos e integrales: 1)j( ±ω

0

1=ω

ω

)j(G ω

� FASE



Recta ϕ=90º

2º90j G 1

π==ω==ϕ

Re(G)

Im(G)ωj

90º

� Caso 1: Factor en el numerador: ω=ω j)j(G1


6


Recta� Pasa por ω

[ ]dB)j(G ω


� AMPLITUD

� Si se aumenta la frecuencia una década: ω = ω1→ ω =10· ω1

[ ] ω−=ω−=ω

⋅= log20log201log20j

1log20G

dB2

� Caso 2: Factor en el denominador: ( )ω−=ω

=ω=ω − j

j

1j)j(G 1

2

� Para [ ] 010log20G 101 0

dB20 =⋅−=⇒==ω

[ ] 0G,1dB2 ==ω

( ) ( )[ ]dB111 20log20log2010log2010log20 −ω⋅−=ω⋅−⋅−=ω⋅⋅−

� Pendiente: decada

dB20− decada

dB20−

20−10=ω


0

1=ω



Recta ϕ=-90º

� FASE

Re(G)

Im(G)

ω−=ω

j

j

1ω

)j(G ω

-90º

2º90º90º0

j

1 G 2

π−=−=−=

ω==ϕ

� Caso 2: Factor en el denominador: ( )ω−=ω

=ω=ω − j

j

1j)j(G 1

2


7


� AMPLITUD

[ ]

2

nn3dB3 1log20j1log20Glog20G

ωω

+=ωω

+⋅=⋅=

� Caso 3: Factor en el numerador: n

3 j1)j(Gωω

+=ω

� Si

[ ] 010log201log20G 1 0

2

ndB3

n

=⋅≅

ωω

+⋅=⇒<<ωω

� Factores de primer orden: 1

n

1 )j1()Tj1( ±±

ωω

+=ω+

º00 arctg 1

arctg G n3 =≅

ωω

=

1

arctg G n3

ωω

=� FASE

Re(G)

Im(G) ϕ≅0



3 j1)j(Gωω

+=ω� Si

[ ]n

2

ndB3

n

log201log20G1ωω

≅

ωω

+=⇒>>ωω


n

1 )j1()Tj1( ±±

ωω

+=ω+

( ) º90 arctg 1

arctg G n3 =∞≅

ωω

=Re(G)

Im(G)

ϕ≅90º

Si se aumenta la frecuencia una década: ω = ω1→ ω =10· ω1

[ ]dBn

1

n

1

n

1 20log20 log2010 log2010 log20

+

ωω

⋅=ωω

⋅+⋅=

ωω⋅⋅

La ganancia aumenta en 20 dB por década

8



3 j1)j(Gωω

+=ω


n

1 )j1()Tj1( ±±

ωω

+=ω+

Re(G)

Im(G)

ϕ≅45º

� Transición entre ambos casos: si nn

1 ω=ω⇔=ωω

( ) º451 arctg 1

arctg G n3 ==

ωω

=

[ ] [ ]dB32log201log20G12

ndB3

n

==

ωω

+=⇒=ωω

� Si



3 j1)j(Gωω

+=ω

DIAGRAMA DE BODE (Conclusión)


n

1 )j1()Tj1( ±±

ωω

+=ω+

1n

<<ωω

Recta horizontal[ ]dB0)j(G3 ≅ω

º0)j(G3 =ω

1n

>>ωω

Recta de pendiente 20 dB/deccrece a 20[dB/dec] )j(G3 ω º90)j(G3 =ω

1n

=ωω [ ]dB3)j(G3 =ω º45)j(G3 =ω

MÓDULOS FASES

9

DIAGRAMA DE BODE (Curva real)

DIAGRAMA DE BODE (Aproximación asintótica)



3 j1)j(Gωω

+=ω


n

1 )j1()Tj1( ±±

ωω

+=ω+

ω

[ ]dB)j(G ω

200

ω

[ ]dB)j(G ω

200

n10ω=ωnω=ω10nω=ωω

)j(G ω

º900

ω

)j(G ω

º900

n10ω=ωnω=ω10nω=ω

n10ω=ωnω=ω10nω=ω n10ω=ωnω=ω10nω=ω

[ ]dB3decada

dB20

ω

[ ]dB)j(G ω

200

ω

[ ]dB)j(G ω

200

n10ω=ωnω=ω10nω=ω n10ω=ωnω=ω10nω=ω

[ ]dB3decada

dB20

º45decada

º45



3 j1)j(Gωω

+=ω


n

1 )j1()Tj1( ±±

ωω

+=ω+

� NOTA:Comparaciónentre desfases reales y aproximados

Pulsación(ω) Real

ωn·(1/10) ϕ= 5,7º

ωn·(1/2) ϕ=26,0º

ωn·10 ϕ=84,5º

ωn ϕ=45,0º

ωn·2 ϕ=63,5º

Desfase (º)

Aprox.

ϕ= 0º

ϕ=31,4º

ϕ=90º

ϕ=45,0º

ϕ=58,5º

0

n10ω=ωnω=ω10nω=ωω

)j(G ω

º90

10

� Caso 4: Factor en el denominador:

n

4

j1

1)j(G

ωω

+=ω


� AMPLITUD

[ ]

2

nn4dB4 1log20j1log20Glog20G

ωω

+−=ωω

+⋅−=⋅=

� Si

[ ] 010log201log20G 1 0

2

ndB4

n

=⋅−≅

ωω

+⋅−=⇒<<ωω


n

1 )j1()Tj1( ±±

ωω

+=ω+

º00 arctg 1

arctg G n4 =−≅

ωω

−=

1

arctg0 G n4

ωω

−=� FASE

Re(G)

Im(G)

ϕ≅0


� Si

[ ]n

2

ndB4

n

log201log20G1ωω

−≅

ωω

+−=⇒>>ωω

( ) º90 arctg 1

arctg G n4 −=∞−≅

ωω

−=

Re(G)Im(G)

ϕ≅-90º

Si se aumenta la frecuencia una década: ω = ω1→ ω =10· ω1

[ ]dBn

1

n

1

n

1 20log20 log2010 log2010 log20

−

ωω

⋅−=ωω

⋅−⋅−=

ωω⋅⋅−


n

4

j1

1)j(G

ωω

+=ω


n

1 )j1()Tj1( ±±

ωω

+=ω+

La ganancia decrece en 20 dB por década

11


1 ω=ω⇔=ωω

( ) º451 arctg 1

arctg G n4 −=−=

ωω

−=

[ ] [ ]dB32log201log20G12

ndB4

n

−=−=

ωω

+−=⇒=ωω

� Si



n

4

j1

1)j(G

ωω

+=ω


n

1 )j1()Tj1( ±±

ωω

+=ω+

Re(G)Im(G)

ϕ≅-45º


1n

<<ωω


º0)j(G4 =ω

1n

>>ωω

Recta de pendiente -20 dB/decdecrece a 20[dB/dec] )j(G4 ω º90)j(G4 −=ω

1n

=ωω [ ]dB3)j(G4 −=ω º45)j(G4 −=ω

MÓDULOS FASES


n

4

j1

1)j(G

ωω

+=ω


n

1 )j1()Tj1( ±±

ωω

+=ω+Trazado del Bode asintótico

12

DIAGRAMA DE BODE (Curva real)

DIAGRAMA DE BODE (Aproximación asintótica)

ω[ ]dB

)j(G ω

20−0

ω[ ]dB

)j(G ω

20−0

n10ω=ωnω=ω

10nω=ω

n10ω=ωnω=ω

10nω=ω

[ ]dB3−decada

dB20−

ω[ ]dB

)j(G ω

20−0

ω[ ]dB

)j(G ω

20−0

n10ω=ωnω=ω

10nω=ω

n10ω=ωnω=ω

10nω=ω

[ ]dB3−decada

dB20−

)j(G ω

º90−

0ω

)j(G ω

º90−

0ω



º45−

decada

º45−


n

4

j1

1)j(G

ωω

+=ω


n

1 )j1()Tj1( ±±

ωω


Trazado del Bode asintótico� Factores de segundo orden:

12

nn

jj21

±

ωω

+ωω

⋅ζ+

� Caso 5: Factor en el denominador

1

n2n

212

nn5 j21jj21)j(G

−−

ωω⋅ζ+

ωω−=

ωω

+ωω⋅ζ+=ω

� Si se descompone en dos factores reales de grado 11>ζ

� Si no existen raíces reales (caso a analizar)10 <ζ<

� AMPLITUD

[ ]

2

n

2

2n

2

5dB5 21log20Glog20G

ωωζ+

ωω−⋅−=⋅=

2

n

2

2n

2

n2n

25

21

1

j21

1G

ωω⋅ζ+

ωω−

=

ωω

⋅ζ+ωω−

=

13


� FASE

n2n

2

n2n

25 j21 0

j21

1G

ωω

⋅ζ+ωω−−=

ωω

⋅ζ+ωω−

=

ωω

−

ωωζ

−=2

n

n5

1

2

arctgG

� Factores de segundo orden: 12

nn

jj21

±

ωω

+ωω

⋅ζ+

� Caso 5:

Factor en el denominador 1

n2n

2

5 j21)j(G−

ωω⋅ζ+

ωω−=ω


� Si 1n

⇒<<ωω

[ ] ( ) 01log201log2021log20G 2

2

n

2

2n

2

dB5 =−=⋅−≅

ωωζ+

ωω−⋅−=

Re(G)

Im(G)

ϕ≅0

º01

0arctg

1

2

arctgG

2n

2n

5 =−≅

ωω−

ωωζ

−=


nn

jj21

±

ωω

+ωω

⋅ζ+

� Caso 5:


n2n

2

5 j21)j(G−

ωω⋅ζ+

ωω−=ω

14


� Si 1n

⇒>>ωω

n

2

n

2

2n

2

log40log20log20ωω

−=

ωω

⋅−≅

ωω

⋅−≅

Re(G)

Im(G)

ϕ≅180ºº1802

arctg

1

2

arctgG n

2n

2n

5 −=

ω−ω⋅ζ

−=

ωω−

ωωζ

−=


nn

jj21

±

ωω

+ωω

⋅ζ+

� Caso 5:


n2n

2

5 j21)j(G−

ωω⋅ζ+

ωω−=ω

[ ] ≅

ωωζ+

ωω

⋅−≅

ωωζ+

ωω−⋅−=

2

n

2

2n

22

n

2

2n

2

dB5 2log2021log20G

Decrece a 40

dB/década


1 ω=ω⇔=ωω

º90j2 arctg Gj2 Gn

5

1

n5 −=

ωωζ−=⇒

ωωζ=

−


12

nn

jj21

±

ωω

+ωω

⋅ζ+

� Caso 5:


n2n

2

5 j21)j(G−

ωω⋅ζ+

ωω−=ω

� Si[ ] ( )ζ⋅−=⇒=

ωω

2log20G1dB5

n

10 <ζ<

Depende de los valores de ζ

Re(G)Im(G)

ϕ=-90º

15


1n

<<ωω


º0)j(G5 =ω

1n

>>ωω

Recta de pendiente -40 dB/decdecrece a 40[dB/dec] )j(G5 ω º180)j(G 5 −=ω

1n

≅ωω

ζ=ω de endeDep)j(G5 º90)j(G5 −=ω

MÓDULOS FASES


n

5

j1

1)j(G

ωω

+=ω


n

1 )j1()Tj1( ±±

ωω



12

nn

jj21

±

ωω

+ωω

⋅ζ+

� Caso 5:


n2n

2

5 j21)j(G−

ωω⋅ζ+

ωω−=ω

1n

=ωω

[ ] [ ]dB3220logG0,702

1 ζ Si

dB5 −=−→⇒==

ω

)j(G ω

ωn

[ ] ( )ζ⋅−= 2log20GdB5

� Si

8,0=ζ

[ ] [ ]dB620log2G 1ζ SidB5 −=−→⇒→

[ ] ( ) ∞=∞−−→⇒→dB5G 0ζ Si

10 <ζ<

7,0=ζ

6,0=ζ4,0=ζ

3,0=ζ

década

dB40−

16

� Una función de transferencia cualquiera será de la forma:


)j(D...)j(D)j(D

)j(N...)j(N)j(N

)j(D

)j(N)j(G

m21

n21

ω⋅⋅ω⋅ωω⋅⋅ω⋅ω

=ωω

=ω

� Factores: ,)j1()Tj1( 1

n

1 ±±

ωω

+=ω+

12

nn

jj21

±

ωω

+ωω

⋅ζ+,)j( 1±ω,K

[ ] [ ] [ ] [ ] )j(Dlog20)j(Dlog20)j(Nlog20...)j(Nlog20 m1n1 ω−ω−ω++ω=

� En dB, el producto pasa a ser una suma:

¿Cómo afecta cada factor agregado a G(jω)?

[ ] [ ]dBdBNN )j(GFactorlog20)j(G)j(GFactor)j(G ω+=ω⇒ω⋅=ω

[ ] =ωω

=ω )j(D

)j(Nlog20)j(G

dB

ω

[ ]dB)j(G ω

ω

[ ]dB)j(G ω

K[dB]

ω

[ ]dB)j(G ω

[ ]dB)j(G ω

[ ]dBNUEVA )j(G ω

K[dB]


� Factor K(jω)=cte⇒ Suma una constante

� Diagrama de MÓDULOS

K[dB]

17

ω

[ ]dB)j(G ω

1=ωω

[ ]dBjω

ω

[ ]dB)j(G ω

[ ]dB)j(G ω

1=ω

decada

dB20

[ ]dBNUEVA )j(G ω


� Factor en el numerador: jω⇒ Suma 20dB/decada


20

00 20−

40

20 020

ω

[ ]dB)j(G ω

1=ωω

[ ]dBjω−

ω

[ ]dB)j(G ω

[ ]dB)j(G ω

1=ωdecada

dB20−

[ ]dBN )j(G ω


� Factor en el denominador: (jω)-1⇒ Resta 20dB/decada


20

00 20−

40−20−

0

20−

18

ω

[ ]dB)j(G ω

ω

[ ]dBn

j1ωω

+

ω

[ ]dB)j(G ω

[ ]dB)j(G ω

nω=ω

decada

dB20

[ ]dBNUEVA )j(G ω

Trazado del Bode asintótico� Diagrama de MÓDULOS

� Factor en el numerador:n

j1ωω

+Si ω>ωn⇒Suma 20dB/dec

Si ω<ωn⇒Ni suma ni resta

nω=ω

20 00 20−

2020 0 20− 0

ω

[ ]dB)j(G ω

ω[ ]dB

1

n

)j1( −

ωω

+

ω

[ ]dB)j(G ω

[ ]dB)j(G ω

nω=ω

decada

dB20−


� Factor en denominador: 1

n

)j1( −

ωω

+Si ω>ωn⇒Resta 20dB/dec


nω=ω

20

0

0

20−20 0 20−

40− 20−

[ ]dBNUEVA )j(G ω

19

ω

[ ]dB)j(G ω

ω

[ ]dB5G

ω

[ ]dB)j(G ω

[ ]dB)j(G ω

nω=ω

decada

dB40− [ ]dBNUEVA )j(G ω


Factor de orden 2 en denominador:Si ω>ωn⇒Resta 40dB/dec


nω=ω

20 00

20−20 0 20−

60−40−

ω

[ ]dB)j(G ω

ω

[ ]dB6G

ω

[ ]dB)j(G ω

[ ]dB)j(G ω

nω=ω

decada

dB40

[ ]dBNUEVA )j(G ω


Factor de orden 2 en numerador:Si ω>ωn⇒ Suma 40dB/dec


nω=ω

20 00 20−

20 0 20−20

40

20

ω

18090

0-90

-180

)j(GNUEVO ω


� Factores K, jω y (jω)-1

Suman una fase constante en todas las frecuencias�

� Diagrama de FASES

� Factor (jω)-1 Suma -90º (o resta 90º)

� Factor K>0 Suma 0º

� Factor K<0 Suma/Resta 180º

� Factor jω Suma 90º

ωj0K <

( ) 1j −ωω

18090

0-90

-180

)j(G ω

0K >

� Factor en denominador:� Factor en el numerador:

Trazado del Bode asintótico� Diagrama de FASES

n

j1ωω

+

Suma una fase de 90º

entre ω=ωn/10 y ω=10·ωn

ω

nω=ω

n

j1ωω

+

10nω=ω n10ω=ω

Factores de primer orden: 1

n

)j1( ±

ωω

+

1

n

j1−

ωω

+

Resta una fase de 90º


ωnω=ω

1

n

)j1( −

ωω

+

10nω=ω

n10ω=ωdecada/º45

º90

decada/º45−º90−

21

� Factor en denominador:

ωnω=ω10nω=ω

n10ω=ω

)j(G5 ω

decada/º90− º180−

Resta una fase de 180º


� Factor en el numerador:

Trazado del Bode asintótico� Diagrama de FASES

Suma una fase de 180º


ω

nω=ω

)j(G6 ω

10nω=ω n10ω=ω

Factores de segundo orden:

decada/º90

º180

12

nn5 jj21)j(G

−

ωω

+ωω

⋅ζ+=ω

ωω

+ωω

⋅ζ+=ω2

nn6 jj21)j(G

� Paso 1: Ordenar las frecuencias de transición fn (o ωn)

� Paso 2: Empezar a dibujar los diagramas empezando por las frecuencias menores� Diagrama de módulos

a) Se parte de la pendiente dada por los factores K y (jω)±1

b) Cada frecuencia de transición cambia la pendiente en ωn

c) El cálculo del módulo a cualquier ω fija la posición

� Diagrama de fases

a) Se parte de la fase dada por los factores K y (jω)±1

b) Cada frecuencia de transición cambia la fase entre ωn/10 y 10·ωn

Trazado del Bode asintótico� Método de trazado

Respuesta en frecuencia - Departamento de...

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