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    APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS

    TRAYECTORIAS DE UN HAZ DE CURVAS: Se dice que una familia de curvas T(x, y, k) = 0 (k una constante arbitraria) es una trayectoria para una familia de curvas F(x,y,C) = 0 dada, si cualquier curva de la familia T corta a cada uno de los miembros de la familia de curvas F(x, y, C) = 0 bajo un ngulo constante .

    Sea F(x, y ,C) = 0 una familia de curvas conocida y sea un ngulo dado. Se desea determinar la familia de curvas T(x, y, k) = 0 que mantiene un ngulo constante con cada una de las curvas de la familia F(x, y, C) = 0. Ya que F(x, y, C) = 0 es conocida, se puede determinar la ecuacin diferencial asociada a dicho haz, por medio del proceso de eliminacin de constantes arbitrarias de un haz de curvas. Sea f(x, y, y)= 0 dicha ecuacin diferencial. Considrese una curva F1 perteneciente a la familia F(x, y, C) = 0 y una trayectoria T1 , a un ngulo , tal que se cortan en un punto P(x, y) (ver Figura 1)

    OBSERVACIN: Recuerde que el ngulo entre dos curvas queda determinado por el ngulo que

    forman las rectas tangentes a ambas curvas en cualquiera de sus puntos de interseccin.

    L F1

    P ( x , y )

    L T1

    T1 ( x, y, K1) = 0

    Y

    X

    F1 ( x, y, C1) = 0

    Figura 1

    Sea el ngulo que forma la recta tangente a la curva F1(x, y, C1) = 0, en el punto P(x, y), con el eje x; sea el ngulo que forma la recta tangente a la curva T1(x, y, K1) = 0, en el punto P(x, y), con el eje x. Sea el ngulo entre ambas rectas (ver Figura 2).

  • 6

    L F1

    P ( x , y )

    L T1

    T1 ( x, y, K1) = 0

    Y

    X

    F1 ( x, y, C1) = 0

    Figura 2

    A cada punto de la curva F1(x, y, C1) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y), donde

    y = tg es la pendiente de la recta tangente a la curva F1 en el punto P(x, y).

    A cada punto de la curva T1(x, y, k1) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y), donde y= tg es la pendiente de la recta tangente a la curva T1 en el punto P(x, y).

    ec

    OBSERVACIN: A fin de evitar confusin con respecto a si la terna (x, y, y), est referida a los puntos de la curva F1, o a los puntos de la curva T1, slo a efectos de la demostracin se escribir (u, v, v ) para hacer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva T1. En el punto P(x, y) exactamente se tendr que:

    x = u , y = v , y = tg , v = tg

    Se debe llo, se trasladaorte de la recta

    ahora establecer una relacin entre las derivadas y = tg , v = tg . Para r la recta tangente a F1(x, y, C1) = 0 en el punto P(x, y), hasta el punto de tangente a T1(x, y, k1) = 0 en el punto P(x, y) con el eje x (ver Figura 3).

    L F1

    P ( x , y )

    L T1

    T1 ( x, y, K1) = 0

    Y

    X

    F1 ( x, y, C1) = 0

    Figura 3

  • 7

    De la Figura 3 se deduce que: = .

    Por identidades trigonomtricas

    tg = tg ( ) = +

    tgtg1tg-tg

    De acuerdo a lo indicado en la observacin tg = y, tg = v, entonces al sustituir en la ecuacin anterior, resulta que:

    y= +

    tg'v1tg-'v

    Esta ltima ecuacin permite establecer una relacin entre las derivadas de las curvas F1(x, y, C1) = 0 y T1(x, y, k1) = 0 en el punto P(x, y). Ya que f(x, y, y) = 0 es la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas F(x,

    y, C) = 0, entonces sustituyendo en dicha ecuacin diferencial y por +

    tg'v1tg-'v , se obtiene

    una nueva ecuacin diferencial f(x, y , +

    tg'v1tg-'v ) = 0

    Esta es la ecuacin diferencial asociada a la familia de trayectorias que mantiene un

    ngulo , con la familia F(x, y, C) = 0. Resolviendo la nueva ecuacin diferencial se obtiene la familia T(x, y, k) = 0, familia que representa las trayectorias a la familia dada F(x, y, C) = 0.

    ip

    OBSERVACIN: La ecuacin diferencial

    f(x, y, +

    tg'v1tg-'v ) = 0

    tiene sentido siempre y cuando 90, ya que tg 90 se indetermina.

    Si = 90 entonces las rectas tangentes a ambas curvas en los puntos de nterseccin son perpendiculares. Por geometra, se sabe que, si dos rectas son erpendiculares entonces el producto de sus pendientes es igual a -1, esto es:

    (tg ) (tg ) = -1

    Como tg = y, tg = v, resulta que:

    y = - '

    1v

  • 8

    Por lo tanto, si la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas dada

    F(x, y, C) = 0 es f(x, y, y) = 0, entonces sustituyendo y por v1

    se obtiene una nueva

    ecuacin diferencial f (x, y, 'v

    1 ) = 0, que es la ecuacin diferencial asociada a la familia de

    trayectorias que mantienen un ngulo de 90 con la familia dada.

    Al resolver esta nueva ecuacin diferencial, se obtiene la familia T(x, y, k) = 0, la cual representa la familia de trayectorias a 90 de la familia dada. Para este caso, cuando = 90, las trayectorias se denominan, trayectorias ortogonales.

    OBSERVACIN: Recuerde que solo para efecto de la demostracin, se utiliz ( u, v, v ) para hacer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva T(x, y, k) = 0.

    PASOS A SEGUIR PARA OBTENER LA FAMILIA DE TRAYECTORIAS A UN HAZ DE CURVAS DADO 1. Si la ecuacin del haz de curvas no est dada en forma explcita, debe determinarse. Sea F(x, y, C) = 0 la ecuacin del haz dado. 2. Debe determinarse la ecuacin diferencial asociada al haz F(x, y, C) = 0. Sea f(x, y, y) = 0 la ecuacin diferencial que resulta. 3. Si las trayectoria a buscar son a un ngulo 90, debe sustituirse y, en la

    ecuacin diferencial que se obtuvo en el paso 2, por +

    tg'y1tg'y ; as se obtiene la

    ecuacin diferencial f(x, y, +

    tg'y1tg'y ) = 0.

    Si las trayectorias a determinar son ortogonales ( = 90), se debe sustituir y, en la

    ecuacin diferencial que se obtuvo en el paso 2, por

    ; as se obtiene la

    ecuacin diferencial f(x, y,

    'y1

    'y1

    ) = 0.

    4. Se resuelve la ecuacin diferencial obtenida en el paso 3. 5. La solucin general de la ecuacin diferencial resuelta en el paso 4, representa la familia de trayectorias que mantiene un ngulo con la familia de curvas dada. (en el caso en que = 90, recuerde que las trayectorias se denominan trayectorias ortogonales).

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    EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMAS

    DE TRAYECTORIAS 1. La ecuacin y2 = Cx (C una constante arbitraria) define una familia de parbolas. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales. SOLUCIN: Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas y2 = Cx (1)

    Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuacin del haz se deriva solo una vez.

    Derivando implcitamente la ecuacin (1) respecto de x resulta 2yy = C (2)

    Como la ecuacin (2) an contiene la constante arbitraria C, dicha ecuacin no representa la ecuacin diferencial asociada. Debe recordarse que una de las caractersticas de las ecuaciones diferenciales es que no poseen constantes arbitrarias.

    Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

    C='yy2Cx=y2

    Aqu basta con sustituir la ecuacin (2) en la ecuacin (1), resultando y2 = 2yyx (3)

    La ecuacin (3) representa la ecuacin diferncial asociada a la familia de parbolas y2 = Cx. Una vez obtenida la ecuacin diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacin diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y2 = Cx. Para ello, basta con

    sustituir y en la ecuacin (3) por

    'y1 , resultando

    y 2 = 2y

    'y1 x

    multiplicando por y/y2

    y = yx2

  • 10

    Ya que la diferencial de la variable y est dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene

    dy = yx2 dx (4)

    Esta es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuacin (4) por y

    y dy = 2 x dx equivalentemente

    y dy + 2x dx = 0 integrando

    1Cdxx2dyy =+ (5)

    Ambas integrales son inmediatas

    = dyy 2y2

    + k1

    dxx = 2x2

    + k2

    sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (5)

    2y2 + x 2 = K

    Multiplicando por K1 ,

    1Kx

    K2y 22

    =+ (6)

    La ecuacin (6), que es la ecuacin de una familia de elipses con centro en el origen y eje mayor paralelo al eje y, representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de parbolas y2 = Cx

    OBSERVACIN: Observe que la constante arbitraria utilizada en la ecuacin de las trayectorias, no es la misma constante del haz de curvas dado.

  • 11

    2. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia y3 = Cx2 SOLUCIN:

    Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas y3 = Cx2