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5 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS TRAYECTORIAS DE UN HAZ DE CURVAS: Se dice que una familia de curvas T(x, y, k) = 0 (k una constante arbitraria) es una trayectoria ω para una familia de curvas F(x,y,C) = 0 dada, si cualquier curva de la familia T corta a cada uno de los miembros de la familia de curvas F(x, y, C) = 0 bajo un ángulo constante ω. Sea F(x, y ,C) = 0 una familia de curvas conocida y sea ω un ángulo dado. Se desea determinar la familia de curvas T(x, y, k) = 0 que mantiene un ángulo constante ω con cada una de las curvas de la familia F(x, y, C) = 0. Ya que F(x, y, C) = 0 es conocida, se puede determinar la ecuación diferencial asociada a dicho haz, por medio del proceso de eliminación de constantes arbitrarias de un haz de curvas. Sea f(x, y, y’)= 0 dicha ecuación diferencial. Considérese una curva F 1 perteneciente a la familia F(x, y, C) = 0 y una trayectoria T 1 , a un ángulo ω, tal que se cortan en un punto P(x, y) (ver Figura 1) OBSERVACIÓN: Recuerde que el ángulo entre dos curvas queda determinado por el ángulo que forman las rectas tangentes a ambas curvas en cualquiera de sus puntos de intersección. L F1 ω P ( x , y ) L T1 T1 ( x, y, K1) = 0 Y X F 1 ( x, y, C 1 ) = 0 Figura 1 Sea θ el ángulo que forma la recta tangente a la curva F 1 (x, y, C 1 ) = 0, en el punto P(x, y), con el eje x; sea φ el ángulo que forma la recta tangente a la curva T 1 (x, y, K 1 ) = 0, en el punto P(x, y), con el eje x. Sea ω el ángulo entre ambas rectas (ver Figura 2).
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  • 5

    APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS

    TRAYECTORIAS DE UN HAZ DE CURVAS: Se dice que una familia de curvas T(x, y, k) = 0 (k una constante arbitraria) es una trayectoria para una familia de curvas F(x,y,C) = 0 dada, si cualquier curva de la familia T corta a cada uno de los miembros de la familia de curvas F(x, y, C) = 0 bajo un ngulo constante .

    Sea F(x, y ,C) = 0 una familia de curvas conocida y sea un ngulo dado. Se desea determinar la familia de curvas T(x, y, k) = 0 que mantiene un ngulo constante con cada una de las curvas de la familia F(x, y, C) = 0. Ya que F(x, y, C) = 0 es conocida, se puede determinar la ecuacin diferencial asociada a dicho haz, por medio del proceso de eliminacin de constantes arbitrarias de un haz de curvas. Sea f(x, y, y)= 0 dicha ecuacin diferencial. Considrese una curva F1 perteneciente a la familia F(x, y, C) = 0 y una trayectoria T1 , a un ngulo , tal que se cortan en un punto P(x, y) (ver Figura 1)

    OBSERVACIN: Recuerde que el ngulo entre dos curvas queda determinado por el ngulo que

    forman las rectas tangentes a ambas curvas en cualquiera de sus puntos de interseccin.

    L F1

    P ( x , y )

    L T1

    T1 ( x, y, K1) = 0

    Y

    X

    F1 ( x, y, C1) = 0

    Figura 1

    Sea el ngulo que forma la recta tangente a la curva F1(x, y, C1) = 0, en el punto P(x, y), con el eje x; sea el ngulo que forma la recta tangente a la curva T1(x, y, K1) = 0, en el punto P(x, y), con el eje x. Sea el ngulo entre ambas rectas (ver Figura 2).

  • 6

    L F1

    P ( x , y )

    L T1

    T1 ( x, y, K1) = 0

    Y

    X

    F1 ( x, y, C1) = 0

    Figura 2

    A cada punto de la curva F1(x, y, C1) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y), donde

    y = tg es la pendiente de la recta tangente a la curva F1 en el punto P(x, y).

    A cada punto de la curva T1(x, y, k1) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y), donde y= tg es la pendiente de la recta tangente a la curva T1 en el punto P(x, y).

    ec

    OBSERVACIN: A fin de evitar confusin con respecto a si la terna (x, y, y), est referida a los puntos de la curva F1, o a los puntos de la curva T1, slo a efectos de la demostracin se escribir (u, v, v ) para hacer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva T1. En el punto P(x, y) exactamente se tendr que:

    x = u , y = v , y = tg , v = tg

    Se debe llo, se trasladaorte de la recta

    ahora establecer una relacin entre las derivadas y = tg , v = tg . Para r la recta tangente a F1(x, y, C1) = 0 en el punto P(x, y), hasta el punto de tangente a T1(x, y, k1) = 0 en el punto P(x, y) con el eje x (ver Figura 3).

    L F1

    P ( x , y )

    L T1

    T1 ( x, y, K1) = 0

    Y

    X

    F1 ( x, y, C1) = 0

    Figura 3

  • 7

    De la Figura 3 se deduce que: = .

    Por identidades trigonomtricas

    tg = tg ( ) = +

    tgtg1tg-tg

    De acuerdo a lo indicado en la observacin tg = y, tg = v, entonces al sustituir en la ecuacin anterior, resulta que:

    y= +

    tg'v1tg-'v

    Esta ltima ecuacin permite establecer una relacin entre las derivadas de las curvas F1(x, y, C1) = 0 y T1(x, y, k1) = 0 en el punto P(x, y). Ya que f(x, y, y) = 0 es la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas F(x,

    y, C) = 0, entonces sustituyendo en dicha ecuacin diferencial y por +

    tg'v1tg-'v , se obtiene

    una nueva ecuacin diferencial f(x, y , +

    tg'v1tg-'v ) = 0

    Esta es la ecuacin diferencial asociada a la familia de trayectorias que mantiene un

    ngulo , con la familia F(x, y, C) = 0. Resolviendo la nueva ecuacin diferencial se obtiene la familia T(x, y, k) = 0, familia que representa las trayectorias a la familia dada F(x, y, C) = 0.

    ip

    OBSERVACIN: La ecuacin diferencial

    f(x, y, +

    tg'v1tg-'v ) = 0

    tiene sentido siempre y cuando 90, ya que tg 90 se indetermina.

    Si = 90 entonces las rectas tangentes a ambas curvas en los puntos de nterseccin son perpendiculares. Por geometra, se sabe que, si dos rectas son erpendiculares entonces el producto de sus pendientes es igual a -1, esto es:

    (tg ) (tg ) = -1

    Como tg = y, tg = v, resulta que:

    y = - '

    1v

  • 8

    Por lo tanto, si la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas dada

    F(x, y, C) = 0 es f(x, y, y) = 0, entonces sustituyendo y por v1

    se obtiene una nueva

    ecuacin diferencial f (x, y, 'v

    1 ) = 0, que es la ecuacin diferencial asociada a la familia de

    trayectorias que mantienen un ngulo de 90 con la familia dada.

    Al resolver esta nueva ecuacin diferencial, se obtiene la familia T(x, y, k) = 0, la cual representa la familia de trayectorias a 90 de la familia dada. Para este caso, cuando = 90, las trayectorias se denominan, trayectorias ortogonales.

    OBSERVACIN: Recuerde que solo para efecto de la demostracin, se utiliz ( u, v, v ) para hacer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva T(x, y, k) = 0.

    PASOS A SEGUIR PARA OBTENER LA FAMILIA DE TRAYECTORIAS A UN HAZ DE CURVAS DADO 1. Si la ecuacin del haz de curvas no est dada en forma explcita, debe determinarse. Sea F(x, y, C) = 0 la ecuacin del haz dado. 2. Debe determinarse la ecuacin diferencial asociada al haz F(x, y, C) = 0. Sea f(x, y, y) = 0 la ecuacin diferencial que resulta. 3. Si las trayectoria a buscar son a un ngulo 90, debe sustituirse y, en la

    ecuacin diferencial que se obtuvo en el paso 2, por +

    tg'y1tg'y ; as se obtiene la

    ecuacin diferencial f(x, y, +

    tg'y1tg'y ) = 0.

    Si las trayectorias a determinar son ortogonales ( = 90), se debe sustituir y, en la

    ecuacin diferencial que se obtuvo en el paso 2, por

    ; as se obtiene la

    ecuacin diferencial f(x, y,

    'y1

    'y1

    ) = 0.

    4. Se resuelve la ecuacin diferencial obtenida en el paso 3. 5. La solucin general de la ecuacin diferencial resuelta en el paso 4, representa la familia de trayectorias que mantiene un ngulo con la familia de curvas dada. (en el caso en que = 90, recuerde que las trayectorias se denominan trayectorias ortogonales).

  • 9

    EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMAS

    DE TRAYECTORIAS 1. La ecuacin y2 = Cx (C una constante arbitraria) define una familia de parbolas. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales. SOLUCIN: Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas y2 = Cx (1)

    Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuacin del haz se deriva solo una vez.

    Derivando implcitamente la ecuacin (1) respecto de x resulta 2yy = C (2)

    Como la ecuacin (2) an contiene la constante arbitraria C, dicha ecuacin no representa la ecuacin diferencial asociada. Debe recordarse que una de las caractersticas de las ecuaciones diferenciales es que no poseen constantes arbitrarias.

    Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

    C='yy2Cx=y2

    Aqu basta con sustituir la ecuacin (2) en la ecuacin (1), resultando y2 = 2yyx (3)

    La ecuacin (3) representa la ecuacin diferncial asociada a la familia de parbolas y2 = Cx. Una vez obtenida la ecuacin diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacin diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y2 = Cx. Para ello, basta con

    sustituir y en la ecuacin (3) por

    'y1 , resultando

    y 2 = 2y

    'y1 x

    multiplicando por y/y2

    y = yx2

  • 10

    Ya que la diferencial de la variable y est dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene

    dy = yx2 dx (4)

    Esta es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuacin (4) por y

    y dy = 2 x dx equivalentemente

    y dy + 2x dx = 0 integrando

    1Cdxx2dyy =+ (5)

    Ambas integrales son inmediatas

    = dyy 2y2

    + k1

    dxx = 2x2

    + k2

    sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (5)

    2y2 + x 2 = K

    Multiplicando por K1 ,

    1Kx

    K2y 22

    =+ (6)

    La ecuacin (6), que es la ecuacin de una familia de elipses con centro en el origen y eje mayor paralelo al eje y, representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de parbolas y2 = Cx

    OBSERVACIN: Observe que la constante arbitraria utilizada en la ecuacin de las trayectorias, no es la misma constante del haz de curvas dado.

  • 11

    2. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia y3 = Cx2 SOLUCIN:

    Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas y3 = Cx2 (1)

    Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuacin del haz se deriva solo una vez.

    Derivando implcitamente la ecuacin (1) respecto de x resulta 3y2y = 2Cx (2)

    Como la ecuacin (2) an contiene la constante arbitraria C, dicha ecuacin no representa la ecuacin diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

    =

    =

    Cx2'yy3

    Cxy2

    23

    Aqu basta con despejar C de la ecuacin (2) y sustituir en la ecuacin (1), resultando

    y = 2

    xy'3 (3)

    La ecuacin (3) representa la ecuacin diferncial asociada a la familia y3 = Cx2. Una vez obtenida la ecuacin diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacin diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y3 = Cx2. Para ello, basta con

    sustituir y en la ecuacin (3) por

    'y1 , resultando

    y = 3

    'y21 x

    equivalentemente,

    y = y2x3

    Ya que la diferencial de la variable y est dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene

    dy = y2x3

    dx (4)

    Esta es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuacin (4) por 2y

    2 y dy = - 3x dx

  • 12

    integrando

    = dxx3dyy2 (5) Ambas integrales inmediatas son inmediatas

    2ydyy

    2= + k1

    = 2xdxx2

    + k2

    Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (5)

    2x3

    2y2

    22= + k

    Multiplicando por k3

    1 ,

    1k2

    xk3

    y 22=+ (6)

    La ecuacin (6), que es la ecuacin de una familia de elipses con centro en el origen y eje mayor paralelo al eje y, representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y3 = Cx2 3. Encuentre el valor de la constante a, de tal forma que las familias

    y3 = C1 x , x2 + a y2 = C2 sean ortogonales SOLUCIN: Como aqu se tienen dos curvas, se debern denotar de manera diferente las derivadas de cada una de ellas; sean:

    y la derivada de la curva y3 = C1 x la derivada de la curva x2 +ay2 = C2

    De acuerdo con la definicin de curvas ortogonales, para que estas curvas sean ortogonales debe satisfacerse que el producto de las derivadas sea igual a -1, esto es: y. = -1 (1)

    Derivando implcitamente respecto de x, la curva y3 = C1 x (2) 3 y2 y = C1 (3)

    La constante C1 debe eliminase del sistema que se forma con las ecuaciones (2) y (3)

    =

    =

    12

    13

    C'yy3

    xCy

  • 13

    Sustituyendo (3) en (2) se tiene

    y = 3 y x

    Despejando y

    y = x3

    y (4)

    Derivando implcitamente respecto de x, la curva x2 + ay2 = C2 (5) 2 x + 2 a y ' = 0 (6)

    Despejando ' de la ecuacin (6)

    ' = ya

    x (7)

    Sustituyendo las ecuaciones (4) y (7) en la ecuacin (1)

    x3

    y

    ayx = -1

    Simplificando y despejando la constante a

    a = 31

    4. Determinar las trayectorias ortogonales para la familia y = - x 1 + C1 ex SOLUCIN:

    Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas y = - x 1 + C1 ex (1)

    Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuacin del haz se deriva solo una vez.

    Derivando implcitamente la ecuacin (1) respecto de x resulta y = - 1 + C1 ex (2)

    Como la ecuacin (2) an contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuacin no representa la ecuacin diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

    x

    x1

    1

    eC1'y

    eC1xy

    +=

    +=

    Despejando C1 ex de la ecuacin (2)

  • 14

    C1 ex = y + 1 (3)

    Sustituyendo (3) en la ecuacin (1), resulta y = - x + y (4)

    La ecuacin (4) representa la ecuacin diferencial asociada a la familia dada y = - x 1 + C1 ex Una vez obtenida la ecuacin diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacin diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia. Para ello, basta con

    sustituir y en la ecuacin (4) por

    'y1 , resultando

    y = x +

    'y1

    equivalentemente,

    y = yx

    1+

    Ya que la diferencial de la variable y est dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene

    dy = - yx

    1+

    dx (5)

    La ecuacin (5) es la ecuacin diferencial asociada a la familia de trayectorias ortogonales a la curva y = x 1 + C1 ex La ecuacin diferencial (5) no es una ecuacin de variables separables, pero puede escribirse de la forma dx + (x + y) dy = 0 (6)

    resultando una ecuacin diferencial reducible a exacta ( pues, P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, y

    xQ

    yP

    ).

    En efecto, si P(x, y) = 1 y Q(x, y) = x + y entonces 0yP=

    y 1

    xQ=

    ; luego la

    ecuacin no es exacta pero puede que admita un factor integrante de la forma

    (x,y) = con g(v) = dv)v(ge

    yvP

    xvQ

    xQ

    yP

    Si v = y entonces 0xv=

    1

    yv=

    ; sustituyendo en g(v) resulta:

  • 15

    g(v) = 11

    = 1

    As,

    (x, y) = dv)v(ge = ev = ey

    Por lo tanto el factor integrante es (x, y) = ey Multiplicando la ecuacin diferencial (6) por el factor integrante ey dx + ey (x + y) dy = 0 (7)

    La ecuacin (7) se puede escribir ey dx + x ey dy = y ey dy (8)

    El trmino izquierdo de la ecuacin (8) es la diferencial total de ( x e y ), esto es, ey dx + x ey dy = d ( x e y )

    As, la ecuacin (8) se transforma en

    d ( x e y ) = y ey dy

    Integrando

    = dyey)ex(d yy (9)

    Resolviendo las integrales

    = yy ex)ex(d + K1 dyey y se resuelve por el mtodo de integracin por partes:

    = duvvudvu , donde == == yy evdyedv dyduyu

    dyey y = y ey dye y = y ey ey = ey (y 1) + K2

    Sustituyendo los resultados de las integrales en (9) x ey + K1 = ey (y 1) + K2

    o equivalentemente

  • 16

    x ey = ey (1 y) + K multiplicando por e y

    x = (1 y) + K e y o tambin (x + y 1) ey = K (10)

    La ecuacin (10), representa la ecuacin de la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y = x 1 + C1 ex 5. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia y = (x C1)

    2

    SOLUCIN:

    Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas y = (x C1)

    2 (1)

    Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuacin del haz se deriva solo una vez.

    Derivando implcitamente la ecuacin (1) respecto de x resulta y = 2 ( x C1 ) (2)

    Como la ecuacin (2) an contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuacin no representa la ecuacin diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

    ( )

    ==

    )Cx(2'yCxy

    1

    21

    Despejando ( x C1 ) de la ecuacin (2)

    ( x C1 ) = 2y' (3)

    Sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (1)

    y = 2'

    2y

    equivalentemente 4y = ( y)2

    esto es, 2 y = y (4)

    La ecuacin (4) representa la ecuacin diferencial asociada a la familia de parbolas y = ( x C1 )2

  • 17

    Una vez obtenida la ecuacin diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacin diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = ( x C1 )2

    Para ello, basta con sustituir y en la ecuacin (4) por

    'y1 , resultando

    2 y = 'y

    1

    equivalentemente,

    y= y2

    1

    Ya que la diferencial de la variable y est dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene

    dy = y2

    1 dx (5)

    Esta es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuacin (5) por y

    y dy = 21

    dx

    integrando

    = dx21dyy (6) Ambas integrales son inmediatas

    dyy = 232

    3y + k1

    dx = x + k2 Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (6)

    23

    23

    y = 21

    x + k

    Para despejar y, primero se multiplica por 23 a ambos lados de la igualdad y luego se

    eleva a 32

    32

    4K6x33

    2K

    23x

    43y

    +=

    +=

  • 18

    equivalentemente

    y = ( )32

    16x3k (7)

    La ecuacin (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de parbolas y = ( x C1 )2 6. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia C1 x 2 + y 2 = 1 SOLUCIN:

    Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas C1 x 2 + y 2 = 1 (1)

    Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuacin del haz se deriva solo una vez.

    Derivando implcitamente la ecuacin (1) respecto de x resulta 2 C1 x + 2 y y = 0 (2)

    Como la ecuacin (2) an contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuacin no representa la ecuacin diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

    =+=+

    0'yy2xC21yxC

    1

    221

    Despejando C1 de la ecuacin (2)

    C1 = xyy '

    (3)

    Sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (1)

    xyy ' x2 + y 2 = 1

    equivalentemente yy x + y 2 = 1 (4) La ecuacin (4) representa la ecuacin diferncial asociada a la familia

    C1 x 2 + y 2 = 1

  • 19

    Una vez obtenida la ecuacin diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacin diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia C1 x 2 + y 2 = 1

    Para ello, basta con sustituir y en la ecuacin (4) por

    'y1 , resultando

    y

    'y1 x + y 2 = 1

    equivalentemente,

    'yyx = 1 y2

    Despejando y

    2y1xy'y

    =

    Ya que la diferencial de la variable y est dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene

    dy = 2y1xy

    dx (5)

    Esta es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variables

    basta con multiplicar la ecuacin (5) por yy1 2

    yy1 2 dy = x dx

    integrando

    = dxxdyyy12

    (6)

    Ambas integrales son inmediatas

    dyyy1 2 = dyy1 dyy = ln | y | 2y

    2 + k1

    dxx = 2x2

    + k2

    sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (6)

    ln | y | 2

    y 2 =

    2x 2 + k

    multiplicando por 2 2 ln | y | = x 2 + y2 + 2K

  • 20

    aplicando propiedades de logaritmo ln y2 = x 2 + y2 + 2K

    aplicando e a ambos lados de la ecuacin

    y 2 = C (7)

    + 2y2x

    e

    La ecuacin (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas C1 x 2 + y 2 = 1 7. Determine la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas 2 x2 + y2 = C SOLUCIN:

    Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas 2 x 2 + y 2 = C (1)

    Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuacin del haz se deriva solo una vez.

    Derivando implcitamente la ecuacin (1) respecto de x resulta 4 x + 2 y y = 0 (2)

    Como la ecuacin (2) no contiene la constante arbitraria C, dicha ecuacin representa la ecuacin diferencial asociada al haz de curvas dado.

    Una vez obtenida la ecuacin diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacin diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia 2 x 2 + y 2 = C

    Para ello, basta con sustituir y en la ecuacin (2) por

    'y1 , resultando

    4 x + 2 y

    'y1 = 0

    equivalentemente, 2 x y y = 0

    Despejando y

    x2y'y =

    Ya que la diferencial de la variable y est dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene

    dy =x2y dx (3)

  • 21

    Esta es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variables

    basta con multiplicar la ecuacin (3) por y2

    y2 dy =

    x1 dx

    integrando

    = dxx1dyy12 (4)

    Ambas integrales son inmediatas

    dyy1 = yln + k1 dxx1 = xln + k2

    Sustituyendo los resultados de la integrales en la ecuacin (4) 2 ln | y | = ln | x | + k3

    aplicando propiedades de logaritmo ln y2 - ln | x | = k3

    esto es

    ln x

    y 2 = k3

    aplicando e a ambos lados de la ecuacin y 2 = k x (5)

    La ecuacin (5), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas 2x 2 + y 2 = C 8. Determinar la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas y = eCx SOLUCIN:

    Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas y = eCx (1)

    Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuacin del haz se deriva solo una vez.

    Derivando implcitamente la ecuacin (1) respecto de x resulta y = C eCx (2)

  • 22

    Como la ecuacin (2) an contiene la constante arbitraria C, dicha ecuacin no representa la ecuacin diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

    =

    =xC

    xC

    eC'y

    ey

    Despejando C de la ecuacin (1)

    C = xyln (3)

    Sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (2)

    y =

    xyln y (4)

    Una vez obtenida la ecuacin diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacin

    diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = e Cx

    Para ello, basta con sustituir y en la ecuacin (4) por

    'y1 , resultando

    'y1

    = x

    ylny

    equivalentemente,

    y = ylny

    x

    Ya que la diferencial de la variable y est dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene

    dy = ylny

    x dx (5)

    La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuacin (5) por (y ln y)

    y ln y dy = - x dx integrando

    = dxxdyylny (6)

    Para resolver la integral se aplica el mtodo de integracin por partes dyylny

  • 23

    = duvvudvu ; donde

    ==

    ==

    2yvdyydv

    dyy1duylnu

    2

    as

    dyylny = dyy12yyln2y22

    = dy

    2yyln

    2y2 = 4yyln2y

    22 + k1

    = 2xdxx2

    + k2

    Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (6)

    4yyln

    2y 22

    = 2x2

    + k

    multiplicando por 4 22 yylny2 = + 4 k2x2

    equivalentemente y2 ( ln y2 - 1 ) + 2 x2 = C1 (7)

    La ecuacin (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y = eCx 9. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y a = C1 xb donde a y b son constantes conocidas. SOLUCIN:

    Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas y a = C1 x b (1)

    Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuacin del haz se deriva solo una vez.

    Derivando implcitamente la ecuacin (1) respecto de x resulta a y a 1 y = C1 b x b 1 (2)

    Como la ecuacin (2) an contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuacin no representa la ecuacin diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

  • 24

    =

    = 1b

    11a

    b1

    a

    xbC'yya

    xCy

    Despejando C1 de la ecuacin (1)

    C1 = b

    a

    x

    y (3)

    Sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (2)

    a y a 1 y = b

    a

    x

    y b x b 1 (4)

    Una vez obtenida la ecuacin diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacin diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y a = C1 x b

    Para ello, se sustituye y en la ecuacin (4) por

    'y1 , resultando

    a y a 1

    'y1 = b

    xy a

    Despejando y

    y =

    ybxa

    Ya que la diferencial de la variable y est dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene

    dy =

    ybxa dx (5)

    Esta es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuacin (5) por (b y)

    b y dy = - a x dx

    integrando

    = dxxadyyb (6)

    Ambas integrales son inmediatas

    = 2ydyy2

    + k1

  • 25

    = 2xdxx2

    + k2

    Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (6)

    k2xa

    2yb 22

    +=

    Multiplicando por k1

    1

    aK2

    2x

    bK2

    2y=

    +

    (8)

    La ecuacin (8), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y a = C1 x b 10. Determine la ecuacin de la familia de trayectorias ortogonales al haz de

    curvas xC1xC1

    y1

    1+

    =

    SOLUCIN:

    Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de

    curvas xC1xC1y

    1

    1+

    = (1)

    Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuacin del haz se

    deriva solo una vez.

    Derivando implcitamente la ecuacin (1) respecto de x resulta

    y = 21

    1111)xC1(

    )xC1(C)xC1(C

    ++

    desarrollando y simplificando

    y = ( ) 21

    1xC1

    C2

    (2)

    Como la ecuacin (2) an contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuacin no representa la ecuacin diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

  • 26

    ( )

    =

    +

    =

    21

    1

    1

    1

    xC1C2'y

    xC1xC1y

    Despejando C1 de la ecuacin (1)

    y ( 1 C1 x ) = 1 + C1 x C1 = ( ) x1y1y

    + (3)

    Sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (2)

    y = ( )

    ( )

    2x

    x1y1y1

    x1y1y2

    +

    +

    desarrollando y simplificando

    y =

    ( )x2

    )1y()1y(

    1y4

    1y1y

    x2

    2

    +=

    +

    +

    de aqu resulta que

    y = x2

    1y 2 (4)

    La ecuacin (4) representa la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas dada

    xC1xC1

    y1

    1+

    =

    Una vez obtenida la ecuacin diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacin

    diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia xC1xC1y

    1

    1+

    = . Para ello,

    basta con sustituir y en la ecuacin (4) por

    'y1 , resultando

    'y1

    = x2

    1y 2

    despejando y

    y = 1y

    x22

    = 2y1

    x2

  • 27

    Ya que la diferencial de la variable y est dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene

    dy = 2y1

    x2

    dx (5)

    Esta es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuacin (5) por ( 1 y 2 )

    ( 1 y 2 ) dy = 2 x dx integrando

    ( ) = dxx2dyy1 2 (6)

    Ambas integrales son inmediatas

    ( ) dyy1 2 = dy dyy2 = y 3y3

    + k1

    dxx = 2x2

    + k2

    sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (6)

    kx3yy 2

    3+=

    multiplicando por 3 3 x2 + y 3 3 y = C (7)

    La ecuacin (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas

    xC1xC1y

    1

    1+

    =

    11. Determine la ecuacin del haz de trayectorias ortogonales a la familia de curvas 2 x2 + y 2 = 4 C x SOLUCIN:

    Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas 2 x2 + y2 = 4 C x (1)

    Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuacin del haz se deriva solo una vez.

    Derivando implcitamente la ecuacin (1) respecto de x resulta 4 x + 2 y y = 4 C

    simplificando 2 x + y y = 2 C (2)

  • 28

    Como la ecuacin (2) an contiene la constante arbitraria C, dicha ecuacin no representa la ecuacin diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

    =+=+

    C2'yyx2xC4yx2 22

    Despejando C de la ecuacin (2)

    C = 2

    'yyx2 + (3)

    Sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (1)

    2 x2 + y2 = 4

    +

    2'yyx2 x

    desarrollando y simplificando

    2 x2 + y2 = 4 x2 + 2 x y y equivalentemente y2 2 x2 = 2 x y y (4) La ecuacin (4) representa la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas dada 2 x2 + y2 = 4 C x Una vez obtenida la ecuacin diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacin diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia 2x2 + y2 = 4 Cx . Para ello, se

    sustituye y en la ecuacin (4) por

    'y1 , resultando

    y2 2 x2 = 2 x y

    'y1

    despejando y y = 22 yx2

    yx2

    Ya que la diferencial de la variable y est dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene

    dy =

    22 yx2yx2 dx

    equivalentemente 2 x y dx + ( y2 2 x2 ) dy = 0 (5) La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial homognea, con grado dos de homogeneidad.

  • 29

    Sacando factor comn x2 en la ecuacin (5) ( x 0)

    x2 0dy2xydx

    xy2 2

    =

    +

    Multiplicando por 2x1 y efectuando el cambio de variable

    +=

    ==

    dxtdtxdy

    txyxyt

    2 t dx + ( t2 2 ) ( x dt + t dx ) = 0

    Desarrollando y sacando factor comn dx t3 dx + ( t2 - 2) x dt = 0 (6) La ecuacin (6) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las

    variables basta con multiplicar a ambos lados de la ecuacin por el factor 3tx

    1 , as resulta

    0dtt

    2tdxx1

    3

    2=

    +

    integrando l

    =+ dtt 2tdxx1 32

    C1 (7)

    Ambas integrales son inmediatas

    dxx1 = ln | x | + k1 =

    dtt 2t 32

    dtt1 dtt12 3 = ln | t | + 2t1 + k2 Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (7)

    ln | x | + ln | t | + 2t1 = k

    aplicando propiedades de logaritmo

    ln | x t | + 2t1 = k

    Devolviendo el cambio de variables ( t = xy )

    Ln | y | + 22

    yx = k

  • 30

    Aplicando e

    2y

    xey

    = C1 (8)

    La ecuacin (8), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas 2 x2 + y2 = 4 C x 12. Obtener las trayectorias ortogonales de la familia de curvas

    4 y + x 2 + 1 + C1 e 2y = 0 SOLUCIN:

    Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas 4 y + x 2 + 1 + C1 e 2y = 0 (1)

    Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuacin del haz se deriva solo una vez.

    Derivando implcitamente la ecuacin (1) respecto de x resulta 4 y + 2 x + 2 C1 y e2y = 0 (2)

    Como la ecuacin (2) an contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuacin no representa la ecuacin diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

    =++

    =+++

    0eC'y2x2'y4

    0eC1xy4y2

    1

    y21

    2

    Despejando C1 de la ecuacin (2)

    C1 = y2e'y2x2'y4 +

    (3)

    Sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (1)

    4 y + x 2 + 1 +

    + y2e'y2

    x2'y4 e 2y = 0

    simplificando ( 4y + x 2 + 1 ) y 2 y + x = 0

    sacando factor comn y (4y + x2 1) y + x = 0 (4)

  • 31

    La ecuacin (4) representa la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas dada 4 y + x 2 + 1 + C1 e 2y = 0 Una vez obtenida la ecuacin diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacin diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia. Para ello, se

    sustituye y en la ecuacin (4) por

    'y1 resultando

    (4y + x2 1)

    'y1 + x = 0

    despejando y

    y = x

    xy41 2

    Ya que la diferencial de la variable y est dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene

    dy =

    x

    xy41 2 dx

    esto es ( x 2 + 4 y - 1 ) dx + x dy = 0 (5)

    La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial reducible a exacta. Para resolverla, debe

    determinarse un factor integrante de la forma = , donde dv)v(ge

    g(v) =

    yvP

    xvQ

    xQ

    yP

    ; P(x, y) = x 2 + 4 y - 1 ; Q(x, y) = x

    Si v = x

    =

    =

    0yv

    1xv

    ; 1xQ;4

    yP

    =

    = , entonces g(v) =

    v3

    x3

    Q3

    ==

    Por lo tanto, el factor integrante es

    = dv

    v3

    e = e3 ln| v | = v 3 = x 3

    Multiplicando la ecuacin (5) por el factor integrante ( x 2 + 4 y - 1 ) x 3 dx + x 4 dy = 0 (6)

    La ecuacin (6) es una ecuacin diferencial exacta. Esto quiere decir que existe una funcin F(x,y) = K, tal que

  • 32

    335 xyx4xxF

    += )7(

    4xyF=

    )8(

    Integrando la ecuacin (8) parcialmente respecto de y ( x se asume constante )

    = y

    .cttex

    4 dyxyyF

    resolviendo las integrales F( x, y ) = x 4 y + h(x) (9)

    Derivando la ecuacin (9) parcialmente respecto de x

    yx4xF 3= +

    dx)x(hd (10)

    Comparando las ecuaciones (7) y (10) resulta

    x 5 + 4x3 y - x 3 = 4 x 3 y + dx

    )x(hd

    simplificando

    dx)x(hd = x5 - x3

    Ya que la diferencial de h(x) es dh(x) =

    dx)x(hd dx, sustituyendo

    dx)x(hd

    dh(x) = ( x5 x3 ) dx integrando

    ( )dxxx)x(hd 35 = (11)

    Ambas integrales son inmediatas

    )x(hd = h(x) + k1 dx)xx( 35 = 2

    46k

    4x

    6x

    +

    Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (11)

    h (x ) = k4x

    6x 46

    +

    Sustituyendo h(x) en la ecuacin (9)

  • 33

    F( x, y ) = x 4 y + k4x

    6x 46

    +

    De aqu resulta que, la familia de trayectorias ortogonales a la familia 4

    y + x 2 + 1 + C1 e 2y = 0 es x 4 y + k4x

    6x 46

    + = 0

    13. Determinar la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas

    131

    31

    Cyx =+ SOLUCIN:

    Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de

    curvas 131

    31

    Cyx =+ (1)

    Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuacin del haz se deriva solo una vez.

    Derivando implcitamente la ecuacin (1) respecto de x resulta

    ( ) ( )

    0'yy31x

    31 3232 =+

    (2)

    Como la ecuacin (2) no contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuacin representa

    la ecuacin diferencial asociada a la familia dada. Para obtener la ecuacin diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia, basta con sustituir y en la ecuacin (2)

    por

    'y1 , resultando

    ( ) ( )0

    'y1y

    31x

    31 3232 =

    +

    multiplicando por ( ) ( )

    32

    32

    yx'y3

    y( )32y ( )32x = 0

    Despejando y

    y = 3

    2

    yx

    Ya que la diferencial de la variable y est dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene

  • 34

    dy = 3

    2

    yx

    dx (3)

    Esta es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variables

    basta con multiplicar la ecuacin (3) por ( )32y

    ( )32y dy = ( )32x dx

    integrando

    = dxxdyy 3232 (4)

    Ambas integrales son inmediatas

    13

    5

    35

    32

    kydyy += 2

    35

    35

    32

    kxdyx += Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (4)

    k5

    x35

    y3 35

    35

    +=

    Multiplicando por (5/3) y elevando a las (3/5)

    y = ( ) 5335 Cx

    + (5)

    La ecuacin (5), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas

    131

    31

    Cyx =+ 14. Obtenga la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas x + y = C1 ey que pasa por el punto (0, 5) SOLUCIN:

    Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas x + y = C1 ey (1)

    Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuacin del haz se deriva solo una vez.

  • 35

    Derivando implcitamente la ecuacin (1) respecto de x resulta

    1 + y = C1 ey y (2)

    Como la ecuacin (2) an contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuacin no representa la ecuacin diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

    =+

    =+

    'yeC'y1

    eCyxy

    1

    y1

    Despejando C1 de la ecuacin (1)

    C1 = yeyx +

    (3)

    Sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (2)

    1 + y =

    +yeyx ey y

    desarrollando y simplificando ( x + y 1 ) y = 1 (4) La ecuacin (4) representa la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas dada x + y = C1 ey Una vez obtenida la ecuacin diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacin diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia x + y = C1 ey Para ello, basta

    con sustituir y en la ecuacin (4) por

    'y1 , resultando

    ( x + y 1 )

    'y1 = 1

    despejando y y = 1 x y

    Ya que la diferencial de la variable y est dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene dy = ( 1 x y ) dx

    equivalentemente ( x + y 1 ) dx + dy = 0 (5)

    La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial reducible a exacta (tambin lineal en y).

    Sea P(x, y) = x + y - 1 ; Q(x, y) = 1 ; 0xQ;1

    yP

    =

    = ; la ecuacin (5) admite un

    factor integrante de la forma = , donde dv)v(ge

  • 36

    g(v) =

    yvP

    xvQ

    xQ

    yP

    Si v = x , 0yv,1

    xv

    =

    = entonces sustituyendo en g(v), se tiene

    g(v) = ( ) ( ) 1Q1

    0P1Q01

    ==

    Luego, el factor integrante es

    = dv)v(g

    e = dve = xv ee =

    Multiplicando la ecuacin (5) por el factor integrante = ex ex ( x + y - 1 ) dx + ex dy = 0 (6)

    Esta ecuacin (6) es exacta, ya que si M(x, y) = ex ( x + y - 1 ) y N(x, y) = ex resulta xx e

    xNe

    yM

    =

    == .

    Por definicin, que la ecuacin (6) sea exacta, significa que existe una funcin

    F(x, y) = K tal que, la diferencial total de F(x, y) (dF(x, y) = dyyFdx

    xF

    +

    ) es

    dF(x,y) = 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+ es decir,

    )1yx(e)y,x(MxF x +==

    (7)

    xe)y,x(NyF

    ==

    (8)

    Integrando la ecuacin (8) parcialmente respecto de y

    = =

    ==

    y

    cttex

    y

    cttex

    x dyedy)y,x(NyyF (9)

    Ambas integrales son inmediatas

  • 37

    dyyF = F (x, y)

    dyex = ex y + h(x) sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (9) F (x, y) = ex y + h(x) (10) derivando la ecuacin (10) parcialmente respecto de x

    dx

    )x(dhyexF x += (11)

    Comparando las ecuaciones (7) y (11)

    ex ( x + y 1 ) = dx

    )x(dhyex +

    simplificando

    )1x(edx

    )x(dh x =

    Ya que la diferencial de la funcin h(x) es dh(x) = dxdx

    )x(dh

    , sustituyendo

    dx)x(hd

    dh(x) = dx )1x(ex integrando

    dx)1x(e)x(dh x = (12) Resolviendo las integrales

    )x(h)x(dh = La integral se resuelve por el mtodo de integracin por partes dx)1x(ex

    = duvvudvu donde == == xx evdxedv dxdu)1x(u

    dx)1x(ex = ( x 1 ) ex dxex = ( x 1 ) ex ex + C = ( x 2 ) ex + C

    Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (12)

  • 38

    h (x) = ( x 2 ) ex + C (12) Sustituyendo la ecuacin (12) en la ecuacin (10)

    F (x,y) = ex y + ( x 2 ) ex + C

    De aqu que, ex y + ( x 2 ) ex + C = 0 (13) es la familia de trayectorias ortogonales a la familia x + y = C1 ey Para obtener la curva perteneciente a la familia ex y + ( x 2 ) ex + C = 0 que pase por el punto (0, 5), se sustituye en la ecuacin (13) x = 0, y = 5

    e0 5 + (0-2) e0 + C = 0 C = 3 este valor obtenido para C, se sustituye en la ecuacin (13) ex y + ( x 2 ) ex = 3 (14) La ecuacin (14) es la ecuacin de la curva perteneciente a la familia ex y + ( x 2 ) ex + C = 0 que pasa por el punto (0,5) y permanece ortogonal a las curvas de la familia x + y = C1 ey 15. Obtenga la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas y = x + C1 que pasa por el punto (3,0) xe SOLUCIN:

    Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de

    curvas y = x + C1 (1) xe

    Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuacin del haz se deriva solo una vez.

    Derivando implcitamente la ecuacin (1) respecto de x resulta y = 1 C1 (2) xe

    Como la ecuacin (2) an contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuacin no representa la ecuacin diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

    =

    +=

    x1

    x1

    eC1'y

    eCxy

    Despejando C1 de la ecuacin (2) C1 = ( 1 y ) ex (3) sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (1)

    y = x + ( 1 y ) ex e -x simplificando

  • 39

    y = x + 1 y (4)

    La ecuacin (4) representa la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas dada y = x + C1 xe

    Una vez obtenida la ecuacin diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacin diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia dada y = x + C1 . Para ello,

    se sustituye y en la ecuacin (4) por

    xe

    'y1 , resultando

    y = x + 1 + 'y

    1

    despejando y

    y = 1xy

    1

    Ya que la diferencial de la variable y est dada por dy = y dx, sustituyendo y

    dy = 1xy

    1

    dx

    multiplicando por ( x + 1 y ) dx + ( x + 1 y ) dy = 0 (5)

    La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial reducible a exacta. Para resolverla, debe

    determinarse un factor integrante de la forma = dv)v(ge , donde g(v) =

    yvP

    xvQ

    xQ

    yP

    ; P(x, y) = 1 ; Q(x, y) = x + 1 y

    Si v = y

    =

    =

    1yv

    0xv

    ; 1xQ;0

    yP

    =

    = , entonces g(v) = 1

    11

    P1

    =

    =

    Por lo tanto, el factor integrante es

    = = e v = e y dve

    Multiplicando la ecuacin (5) por el factor integrante e y dx + e y ( x + 1 y ) dy = 0 (6)

  • 40

    La ecuacin (6) es una ecuacin diferencial exacta, ya que si M(x,y) = ey y N(x,y)

    = e y ( x + 1 y ) , entonces yy exNe

    yM

    =

    == .

    Por definicin de funcin exacta existe una funcin F(x,y) = K, tal que la diferencial

    total de F(x,y) es ( )0dF ==

    dF = dyyFdx

    xF

    +

    = M(x,y) dx + N(x,y) dy = ey dx + e y ( x + 1 y ) dy = 0

    De aqu resulta que,

    yexF=

    (7)

    )y1x(eyF y += (8)

    Integrando la ecuacin (7) parcialmente respecto de x ( y se asume constante )

    = x

    .cttey

    y dxexxF (9)

    Ambas integrales son inmediatas

    xxF

    = F(x, y)

    =

    x

    cttey

    y dye = x ey + h(y)

    sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (9) F( x, y ) = x ey + h(y) (10)

    derivando la ecuacin (10) parcialmente respecto de y

    yexyF=

    +

    dy)y(hd (11)

    Comparando las ecuaciones (8) y (11) resulta

    ( x + 1 y ) ey = yex + dy

    )y(hd

    despejando dy

    )y(hd

    dy)y(hd = ( 1 y ) ey

  • 41

    Ya que la diferencial de h(y) es dh(y) =

    dy

    )y(hd dy, sustituyendo dy

    )y(hd

    dh(y) = (1 y ) ey dy integrando

    ( ) dyey1)y(hd y = (12) Resolviendo las integrales

    )y(h)y(dh = La integral se resuelve por el mtodo de integracin por partes: dy)y1(ey

    = duvvudvu . Sea == == yy evdyedv dydu)y1(u

    dy)y1(ey = ( 1 y ) ey + dyey = ( 1 y ) ey + ey + C = ( 2 y ) ey + C sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (12) h (y) = ( 2 y ) ey + C (13) sustituyendo la ecuacin (13) en la ecuacin (9)

    F (x, y) = x ey + h (y) = ( 2 y ) ey + C por lo tanto, ( x + 2 y ) ey + C = 0 (14)

    es la ecuacin de la familia de trayectorias ortogonales a la familia y = x + C1 xe Para obtener la curva perteneciente a la familia ( x + 2 y ) ey + C = 0 que pase por el punto (3, 0), se sustituye en la ecuacin (14) x = 3, y = 0

    3 e0 + (2 - 0) e0 + C = 0 C = 5 Luego, ( x + 2 y ) ey = 5 es la curva perteneciente a la familia ( x + 2 y ) ey + C = 0 que pasa por el punto (3,0) y es ortogonal a cada una de las curvas de la familia y = x + C1 xe 16. Obtenga la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas y = C tg2x + 1 que pasa por el punto ( )0,8 SOLUCIN:

    Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de

    curvas y = C tg2x + 1 (1)

  • 42

    Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuacin del haz se deriva solo una vez.

    Derivando implcitamente la ecuacin (1) respecto de x resulta y = 2 C sec22x (2)

    Como la ecuacin (2) an contiene la constante arbitraria C, dicha ecuacin no representa la ecuacin diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

    =

    +=

    x2secC2'y

    1x2tgCy2

    despejando C de la ecuacin (2)

    C = 2

    x2cos'yx2sec2

    'y 22 = (3)

    sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (1)

    y = 2

    x2cos'y 2 tg 2x + 1

    simplificando

    y = 12

    x2senx2cos'y+ (4)

    La ecuacin (4) representa la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C tg 2x + 1 Una vez obtenida la ecuacin diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacin diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = C tg 2x + 1. Para ello, se

    sustituye y en la ecuacin (4) por

    'y1 , resultando

    y = 12

    x2senx2cos'y

    1

    +

    despejando y

    y = )1y(2

    x2senx2cos

    Ya que la diferencial de la variable y est dada por dy = y dx, sustituyendo y

    dy = )1y(2

    x2senx2cos

    dx

    multiplicando por 2 ( y 1 ) cos 2x sen 2x dx + 2 ( y 1 ) dy = 0 (5)

    La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial de variables separadas. Integrando

  • 43

    1Cdy)1y(2dxx2senx2cos =+ (6)

    Ambas integrales son inmediatas

    dxx2senx2cos = ( ) 2 x22senx2sendx2sen

    21dxx2cosx2sen2

    21

    ==

    2)1y(dy)1y(

    2=

    sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (6) resulta

    22

    )1y(2

    x2sen+ = C1 (7)

    La ecuacin (7) representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y = C tg2x + 1. Para obtener la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales

    22

    )1y(2

    x2sen+ = C1 que pasa por el punto ( )0,8 , se sustituye en la ecuacin de la

    familia x = 8 , y = 0

    ( )[ ] 282 )10(2

    2sen+

    = C1

    esto es,

    C1 = ( )

    451

    411

    222

    12

    sen

    2

    42

    =+=+

    =+

    Sustituyendo el valor obtenido de C1 en la ecuacin (7)

    22

    )1y(2

    x2sen+ =

    45 (8)

    La ecuacin (8) representa la ecuacin de la curva perteneciente a la familia

    22

    )1y(2

    x2sen+ = C1 que pasa por el punto ( )0,8 y es ortogonal a cada una de las

    curvas de la familia y = C tg2x + 1

  • 44

    17. Obtenga las trayectorias a 45 de la familia de curvas x2 = C1 y SOLUCIN: Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas dada x2 = C1 y (1) El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implcitamente respecto de x 2x = C1 y (2)

    Ya que la ecuacin (2) an posee la constante arbitraria C1 no representa la ecuacin diferencial. La constante C1 debe eliminarse del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2)

    ==

    'yCx2yCx

    1

    12

    despejando C1 de la ecuacin (2)

    'yx2C1 = (3)

    sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (1)

    x2 'yyx2

    =

    multiplicando por y x2 y = 2 x y (4)

    La ecuacin (4) es la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas dada x2 = C1 y . Para obtener la ecuacin diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45

    debe sustituirse en la ecuacin (4) y por 'y11'y

    45tg'y145tg'y

    +

    =+

    x2

    +

    'y11'y = 2 x y

    multiplicando por ( 1 + y ) x2 y x2 = 2 x y + 2 x y y

    sacando factor comn y ( x2 2 x y ) y = 2 x y + x2 (5)

    La ecuacin (5) es la ecuacin diferncial asociada a la familia de trayectorias a 45 de la familia x2 = C1 y. Despejando y de la ecuacin (5)

    yx2xxyx2'y 2

    2

    +=

  • 45

    Ya que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y

    dy =

    +

    yx2xxyx2

    2

    2 dx

    multiplicando por ( x 2 2xy ) ( 2 x y + x 2 ) dx + ( 2 x y - x 2 ) dy = 0 (6)

    La ecuacin (6) es una ecuacin diferencial homognea con grado 2 de

    homogeneidad. Sacando factor comn x2 en la ecuacin (6)

    x 2 )0x(0dy1xy2dx1

    xy2 =

    +

    + (7)

    multiplicando por 2x1 y efectuando el cambio de variable

    +==

    =

    dvxdxvdyxvyxyv

    la ecuacin (7) se transforma en ( 2 v + 1 ) dx + ( 2 v 1 ) (v dx + x dv ) = 0

    desarrollando y sacando factor comn dx ( 2 v + 1 + 2 v 2 v ) dx + x ( 2 v 1 ) dv = 0

    simplificando ( 2 v 2 + v + 1 ) dx + x ( 2 v 1 ) dv = 0 (8)

    La ecuacin (8) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las

    variables, se multiplica la ecuacin (8) por el factor ( )1vv2x12 ++

    ( )

    ( ) 0dv1vv21v2dx

    x1

    2 =++

    +

    integrando

    ( )( ) 22 Cdv1vv21v2dx

    x1

    =++

    + (9)

    Resolviendo las integrales

    dxx1 = ln | x | + C3

    En la integral ( )( ) dv1vv21v2

    2 ++ , debe observarse que el polinomio del denominador del integrando no tiene races reales, por lo que no se puede factorizar

  • 46

    Completando cuadrados en (2 v2 + v + 1)

    2 v2 + v + 1 = 2

    ++

    21

    2vv2 = 2

    +

    +

    21v

    412v2

    = 2

    +

    +

    +

    21

    41

    41v

    412v

    222

    = 2

    +

    +

    21

    161

    41v

    2 = 2

    +

    +

    167

    41v

    2

    =

    +

    +

    1

    167

    41v

    87

    2

    =

    ( )

    +

    +

    1

    16716

    1v4

    87

    2

    =

    ( )

    +

    +

    1

    16716

    1v4

    87

    2

    =

    +

    + 17

    1v487 2

    Sustituyendo en la integral

    ( )( ) dv1vv21v2

    2 ++ = ( ) dv1

    71v4

    87

    1v22

    +

    +

    = ( ) dv1

    71v4

    1v278

    2

    +

    +

    (10)

    Esta integral se resuelve aplicando la sustitucin trigonomtrica

    =

    ==

    +

    2sec47dv

    41tg7vtg

    71v4

    Sustituyendo el cambio de variable en la ecuacin (10)

    ( )( ) dv1vv2

    1v22 ++ = +

    dsec471tg1

    41tg7

    2

    78 2

    2

    Pero tg2 + 1 = sec2 , desarrollando y simpliicando

  • 47

    ( )( ) dv1vv2

    1v22 ++ = d23tg27772 = d773dtg

    = ln | sec | 7

    73

    Devolviendo el cambio de variable efectuado adycatopcattg

    71v4

    ==+

    4v + 1 ( )21v47 ++ 7

    adycathipsec = =

    ( )7

    1v47 2++ y = arctg

    +7

    1v4

    Por lo tanto

    ( )( ) dv1vv2

    1v22 ++ = ln ( ) +++ 7 1v4arctg7737 1v47

    2 + C4

    Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (9)

    ln | x | + ln ( )

    +++

    71v4arctg

    773

    71v47 2

    = C

    Falta devolver el primer cambio de variable efectuado v = xy

    ln | x | + ln

    +

    +

    +

    7

    1xy4

    arctg7

    737

    1xy47

    2

    = C

    desarrollando

  • 48

    ln | x | + ln

    ( )

    +

    ++

    7x

    xy4

    arctg7

    737x

    xy4x72

    22

    = C

    realizando operaciones

    ln | x | + ln

    +

    +++

    x7xy4arctg

    773

    x7xyx8y16x7 222

    = C

    aplicando propiedades de logaritmo

    ln

    +

    ++

    x7xy4arctg

    773

    x7y8yx8y16

    x22

    = C

    simplificando

    ln

    +

    ++

    x7xy4arctg

    773

    7y8yx8y16 22

    = C (11)

    La ecuacin (11) representa la ecuacin de la familia de trayectorias a 45 de la familia

    x2 = C1 y

    18. Obtenga las trayectorias a 45 para la familia de curvas y = C1 x SOLUCIN: Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C1 x (1) El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implcitamente respecto de x y = C1 (2)

    Ya que la ecuacin (2) an posee la constante arbitraria C1, est debe buscar eliminarse a partir del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones (1) y (2).

    =

    =

    1

    1

    C'y

    xCy

    Sustituyendo la ecuacin (2) en la ecuacin (1) resulta y = y x (3)

    La ecuacin (3) representa la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C1 x

  • 49

    Para obtener la ecuacin diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45 debe

    sustituirse en la ecuacin (3) y por 'y11'y

    45tg'y145tg'y

    +

    =+

    y =

    +

    'y11'y

    x

    multiplicando por ( 1 + y ) y + y y = x y - x

    sacando factor comn y ( y - x ) y + y + x = 0 (4)

    La ecuacin (4) es la ecuacin diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45 de la familia y = C1 x. Despejando y de la ecuacin (4)

    yxyx'y

    +

    =

    Ya que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y

    dy =

    +

    yxyx dx

    multiplicando por ( x y ) (x + y) dx + (y -x ) dy = 0 (5)

    La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial homognea con grado 1 de

    homogeneidad. Sacando factor comn x en la ecuacin (5) ( x 0 )

    0dy1xydx

    xy1x =

    +

    + (6)

    multiplicando por x1 y efectuando el cambio de variable

    +==

    =

    dvxdxvdyxvyxyv

    la ecuacin (6) queda ( 1 + v ) dx + ( v 1 ) (v dx + x dv ) = 0

    Desarrollando y sacando factor comn dx

    ( 1 + v + v2 v ) dx + x (v 1 ) dv = 0

    simplificando ( 1 + v2 ) dx + x ( v 1 ) dv = 0 (7)

    La ecuacin (7) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las

    variables, basta con multiplicar la ecuacin (7) por el factor ( )2v1x1+

  • 50

    0dv)v1(

    )1v(dxx1

    2 =+

    +

    integrando

    22 Cdvv11vdx

    x1

    =+

    + (8)

    Ambas integrales son inmediatas

    dxx1 = ln | x | + C3

    dvv1

    1v2 + = dvv1 v 2 + dvv1 1 2 +

    = dvv1v2

    21

    2 + dvv1 1 2 + = 2v1ln

    21

    + arctg v + C4

    Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (8)

    ln | x | + 2v1ln21

    + arctg v = C (9)

    Multiplicando por 2 y aplicando las propiedades de logaritmo, la ecuacin (9) se transforma en

    ln ( )22 v1x + - 2 arctg v = 2C

    Devolviendo el cambio de variable

    ln

    +

    22

    xy1x - 2 arctg

    xy = 2C

    desarrollando y simplificando

    ln 22 yx + - 2 arctg

    xy = 2C

    aplicando e

    ( )

    + xyarctg222 eyx = K (10)

    La ecuacin (10) representa la familia de trayectorias a 45 a la familia de curvas y = C1 x

  • 51

    19. Obtenga las trayectorias a 45 para la familia de curvas x2 + y2 = C1 x SOLUCIN: Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas dada x2 + y2 = C1 x (1) El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implcitamente respecto de x 2 x + 2 y y = C1 (2)

    Ya que la ecuacin (2) an posee la constante arbitraria C1 est debe buscar eliminarse a partir del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones (1) y (2).

    =+=+

    1

    122

    C'yy2x2xCyx

    Sustituyendo la ecuacin (2) en la ecuacin (1) resulta

    x 2 + y 2 = ( 2 x + 2 y y ) x desarrollando y simplificando y2 x2 = 2 x y y (3)

    La ecuacin (3) representa la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas dada x2 + y2 = C1 x Para obtener la ecuacin diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45 debe

    sustituirse y en la ecuacin (3) por 'y11'y

    45tg'y145tg'y

    +

    =+

    y2 x2 = 2 x y

    +

    'y11'y

    multiplicando por ( 1 + y ) ( y2 x2 ) + ( y2 x2 ) y = 2 x y y 2 x y

    sacando factor comn y ( y2 x2 2 x y ) y + y2 x2 + 2 x y = 0 (4)

    La ecuacin (4) es la ecuacin diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45 de la familia x2 + y2 = C1 x Despejando y de la ecuacin (4)

    xy2yxyx2xy'y 22

    22

    +

    +=

    Ya que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y resulta

  • 52

    dy =

    +

    +

    xy2yxyx2xy

    22

    22 dx

    multiplicando por ( x2 y2 + 2xy ) (y2 x2 + 2 x y) dx + (y2 x2 2 x y ) dy = 0 (5)

    La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial homognea con grado 2 de

    homogeneidad. Sacando factor comn x2 en la ecuacin (5) )0x(

    x2 0dyxy21

    xydx

    xy21

    xy 22

    =

    +

    +

    (6)

    multiplicando por 2x1 y efectuando el cambio de variable

    +==

    =

    dvxdxvdyxvyxyv

    la ecuacin (6) queda ( v2 + 2v 1) dx + ( v2 2v 1 ) (v dx + x dv ) = 0

    desarrollando y sacando factor comn dx (v2 + 2v 1 + v3 2v2 - v ) dx + x (v2 2v 1 ) dv = 0

    simplificando ( v3 v2 + v 1 ) dx + x ( v2 2v 1 ) dv = 0 (7)

    La ecuacin (7) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las

    variables, se multiplica la ecuacin (7) por el factor ( )1vvvx1

    23 +

    0dv)1vvv(

    )1v2v(dxx1

    23

    2=

    +

    +

    integrando

    dxx1 + + dv)1vvv( )1v2v( 23

    2= C2 (8)

    Resolviendo las integrales

    dxx1 = ln | x | + C3

    En la integral + dv)1vvv( )1v2v( 232

    , factorizando el denominador

    v3 v2 + v 1 = ( v 1 ) ( v2 + 1 ) sustituyendo en la integral

  • 53

    + dv)1vvv( )1v2v( 232

    = + )1v()1v( 1v2v 22

    dv

    El integrando se descompone como suma de fracciones simples

    )1v()1v(

    )CA(v)BC(v)BA(1vCBv

    )1v(A

    )1v()1v(1v2v

    2

    2

    22

    2

    +

    +++=

    +

    ++

    =

    +

    (9)

    Comparando los numeradores

    v2 2v 1 = ( A + B ) v2 + ( C B ) v + ( A C ) por igualdad entre polinmios

    ==

    =+

    1CA2BC

    1BA

    resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtiene A = 1 B = 2 C = 0

    sustituyendo los valores obtenidos para A, B y C en la ecuacin (9)

    + )1v()1v( 1v2v 22

    = ++ dv1v v2dv1v 1 2 (10)

    Ambas integrales son inmediatas

    dv1v 1 = ln | v 1 | + dv1v v22 = ln | v2 + 1 |

    sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (10)

    + )1v()1v( 1v2v 22

    = ln | v 1 | + ln | v2 + 1 |

    aplicando las propiedades de logaritmo y devolviendo el cambio de variable

    + )1v()1v( 1v2v 22

    = ln 1v1v2

    + + C4 = ln

    1xy

    1xy 2

    +

    + C4 = ln )xy(xxy 22

    + + C4

    sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (8)

    ln | x | + )xy(x

    xyln22

    + = C5

  • 54

    Aplicando las propiedades de logaritmo

    ln xyyx 22

    + = C5

    aplicando e ( x2 + y2 ) = C ( y x ) (11)

    La ecuacin (11) representa la familia de trayectorias a 45 a la familia de curvas x2 + y2 = C1 x

    20. Obtenga la curva de la familia de las trayectorias a 60 de la familia de curvas

    x2 + y2 = C1, que pasa por el punto

    23,

    21

    SOLUCIN: Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas dada x2 + y2 = C1 (1) El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implcitamente respecto de x

    2 x + 2 y y = 0 equivalentemente x + y y = 0 (2)

    Ya que la ecuacin (2) no posee la constante arbitraria C1, est representa la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas dada x2 + y2 = C1 Para obtener la ecuacin diferencial asociada a la familia de trayectorias a 60 debe

    sustituirse y en la ecuacin (2) por 'y31

    3'y60tg'y1

    60tg'y+

    =+

    x + y

    +

    'y313'y = 0

    multiplicando por ( 1 + 3 y ) x + 3 x y + y y 3 y = 0

    sacando factor comn y ( 3x + y ) y + x 3 y = 0 (3)

    La ecuacin (3) es la ecuacin diferencial asociada a la familia de trayectorias a 60 de la familia x 2 + y 2 = C1 Despejando y de la ecuacin (3)

    yx3xy3'y

    +

    =

  • 55

    Ya que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y resulta

    dy =

    +

    yx3xy3 dx

    multiplicando por ( )yx3 + ( x 3y ) dx + ( 3x + y ) dy = 0 (4)

    La ecuacin (4) es una ecuacin diferencial homognea con grado 1 de

    homogeneidad. Sacando factor comn x en la ecuacin (4) )0x(

    x 0dyxy3dx

    xy31 =

    ++

    (5)

    multiplicando por x1 y efectuando el cambio de variable

    +==

    =

    dvxdxvdyxvyxyv

    la ecuacin (5) queda ( 1 3v ) dx + ( 3+ v ) (v dx + x dv ) = 0

    Desarrollando y sacando factor comn dx

    (1 3 v + 3 v + v2 ) dx + x ( 3+ v) dv = 0

    simplificando ( 1 + v2 ) dx + x ( 3+ v) dv = 0 (6)

    La ecuacin (6) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las

    variables, se multiplica la ecuacin (6) por el factor ( )2v1x1+

    0dv)v1(

    v3dxx1

    2 =+

    ++

    integrando

    dxx1 + ++ dvv1 v3 2 = C2 (7)

    Ambas integrales son inmediatas

    dxx1 = ln |x| + C3

  • 56

    ++ dvv1 v3 2 = +++ dvv1 v221dvv1 3 22 = 3 arctg v +

    21 ln | 1 + v 2 | + C4

    sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (7)

    ln | x | + 3 arctg v + 21 ln | 1 + v 2 | = C5 (8)

    devolviendo el cambio de variable

    ln | x | + 3 arctg

    xy +

    21 ln

    +

    2

    xy1 = C5

    multiplicando por 2 y efectuando las operaciones

    2 ln | x | + 2 3 arctg

    xy + ln

    +2

    22

    xyx = 2 C5

    aplicando las propiedades de logaritmo

    +2

    222

    xyxxln + 2 3 arctg

    xy = 2C5

    aplicando e

    ( x2 + y2 )

    xyactrg32

    e = K (9)

    La ecuacin (9) representa la familia de trayectorias a 60 a la familia de curvas x2 + y2 = C1 Para obtener la curva perteneciente a la familia representada por la ecuacin (9), que

    pasa por el punto

    23,

    21 se sustituye en dicha ecuacin x =

    21 , y =

    23 .

    K =

    +

    22

    23

    21 e2 3arctg3 =

    + 3

    32e

    43

    41 =

    332

    e

    Este valor de K se sustituye en la ecuacin (10)

    ( x2 + y2 )

    xyactrg32

    e =

    332

    e

    multiplicando por

    332

    e

    ( x2 + y2 )

    3xyactrg32

    e = 1 (10)

  • 57

    La ecuacin (10), es la ecuacin de la curva perteneciente a la familia de trayectorias

    a 60 del haz de curvas x2 + y2 = C1, que pasa por el punto

    23,

    21

    21. Obtenga la curva de la familia de las trayectorias a 135 de la familia de curvas y = C x2e SOLUCIN: Se debe comenzar por determinar la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C e-2x + 3x (1) El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implcitamente respecto de x y = - 2 C + 3 (2) x2e

    Ya que la ecuacin (2) an posee la constante arbitraria C1, esta deber eliminarse del sistema de ecuaciones que se forma con las ecuaciones (1) y (2)

    +=

    +=

    3eC2'y

    x3eCyx2

    x2

    despejando C de la ecuacin (1), x2e

    C = y 3x (3) x2e sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (2) y = 2 ( y 3x ) + 3 (4)

    La ecuacin (4) es la ecuacin diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C + 3x x2e

    Para obtener la ecuacin diferencial asociada a la familia de trayectorias a 135 debe

    sustituirse y en la ecuacin (4) por 'y11'y

    135tg'y1135tg'y

    +

    =+

    'y11'y

    + = 2y + 6x + 3

    multiplicando por ( 1 y ) y + 1 =2y + 6x + 3 y (2y + 6x +3)

    sacando factor comn y ( 2y +6x + 4 ) y = 2y + 6x + 2 (5)

    La ecuacin (5) es la ecuacin diferencial asociada a la familia de trayectorias a 135 de la familia y = C + 3x x2e

  • 58

    Despejando y de la ecuacin (5)

    2x3y1x3y

    4x6y22x6y2'y

    ++++

    =++++

    =

    Ya que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y

    dy =

    ++++

    2x3y1x3y dx

    multiplicando por (3x y + 2) ( 3x y + 1 ) dx + (3x + y 2) dy = 0 (6)

    La ecuacin (6) es una ecuacin diferencial reducible a una de variable separable, ya

    que las funciones involucradas, 3x y + 1 = 0 , 3 x + y 2 = 0 representan ecuaciones de rectas paralelas (ambas tienen pendiente 3).

    Para resolver la ecuacin diferencial (6) se efecta el cambio de variable

    ===

    dvdx3dyvx3yyx3v

    sustituyendo el cambio de variable en (6) ( v + 1 ) dx + ( v 2 ) ( 3 dx dv ) = 0

    desarrollando y sacando factor comn dx

    ( v + 1 3v 6 ) dx + ( v + 2 ) dv = 0 simplificando (2v 5 ) dx + ( v + 2 ) dv = 0 (7)

    La ecuacin (7) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las

    variables, se multiplica la ecuacin (7) por el factor )5v2(

    1

    dx

    ++

    5v22v dv = 0

    integrando

    dx ++ dv5v2 2v = C