Ecuaciones Diferenciales Ordinarias La ecuación de Bernoulli … · 2020. 9. 8. · Ecuaciones...

Transcript of Ecuaciones Diferenciales Ordinarias La ecuación de Bernoulli … · 2020. 9. 8. · Ecuaciones...

Ecuaciones Diferenciales OrdinariasLa ecuación de Bernoulli

v2ρ2 + P + ρgz = C

Daniel Bernoulli, matemático suizo (Groninga, 1700 - Basilea, 1782)

September 7, 2020

Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
La Ecuación de Bernoulli

Una ecuación de Bernoulli es aquella ecuación no lineal que es de la forma

y ′ + p(x)y = q(x)yn, con n número real

Observamos que si n = 0 o n = 1 dicha ecuación es una ecuación lineal, por loque para su resolución supondremos n , 0 y n , 1. Dividiendo toda la ecuaciónentre yn resulta:

y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)

Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 y calculando la derivada de esta nuevavariable, en términos de la derivada de y , resulta z′ = (−n + 1)y−ny ′, es decir:

y−ny ′ =z′

−n + 1Y al sustituir en (1) la expresión anterior y la definición z = y−n+1, tenemos

z′

−n + 1 + p(x)z = q(x),

es decir, obtenemos la ecuación lineal en z:

z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)





y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)


y−ny ′ =z′


z′

−n + 1 + p(x)z = q(x),


z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)





y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)


y−ny ′ =z′


z′

−n + 1 + p(x)z = q(x),


z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)





y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)


y−ny ′ =z′


z′

−n + 1 + p(x)z = q(x),


z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)





y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)


y−ny ′ =z′


z′

−n + 1 + p(x)z = q(x),


z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)





y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)


y−ny ′ =z′


z′

−n + 1 + p(x)z = q(x),


z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)





y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)


y−ny ′ =z′


z′

−n + 1 + p(x)z = q(x),


z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)

La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 1

Resolver la ecuación y ′ + xy = x3y3

Notamos que n = 3. Dividiendo entre y3 tendremos:

y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)

Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 = y−2, calculamos la derivada:z′ = −2y−3y ′, de donde

y−3y ′ =z′

−2Sustituyendo lo anterior en (2) resulta:

z′

−2 + xz = x3

Normalizando esta ecuación lineal:

z′ − 2xz = −2x3 (3)


Ejemplo 1



y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)


y−3y ′ =z′


z′

−2 + xz = x3


z′ − 2xz = −2x3 (3)


Ejemplo 1



y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)


y−3y ′ =z′


z′

−2 + xz = x3


z′ − 2xz = −2x3 (3)


Ejemplo 1



y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)


y−3y ′ =z′


z′

−2 + xz = x3


z′ − 2xz = −2x3 (3)


Ejemplo 1



y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)


y−3y ′ =z′


z′

−2 + xz = x3


z′ − 2xz = −2x3 (3)


Ejemplo 1



y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)


y−3y ′ =z′


z′

−2 + xz = x3


z′ − 2xz = −2x3 (3)


Ejemplo 1



y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)


y−3y ′ =z′


z′

−2 + xz = x3


z′ − 2xz = −2x3 (3)

Ejemplo 1. y ′ + xy = x3y3

Resolvamos esta ecuación lineal:

z′ − 2xz = −2x3 (4)

Aquí, p(x) = −2x , de manera que el factor de integración es:

µ(x) = e∫−2x dx = e−x

2

Multiplicamos la ecuación (4) por µ(x):

(e−x2z)′ = −2x3e−x2

Integrando (por partes):

e−x2z = −

∫2x3e−x

2dx = x2e−x

2+ e−x

2+ C = e−x

2(x2 + 1) + C

Deshaciendo el cambio de variable:

e−x2y−2 = e−x

2(x2 + 1) + C

Finalmente,y−2 = x2 + 1 + Cex

2



z′ − 2xz = −2x3 (4)


µ(x) = e∫−2x dx = e−x

2


(e−x2z)′ = −2x3e−x2


e−x2z = −

∫2x3e−x

2dx = x2e−x

2+ e−x

2+ C = e−x

2(x2 + 1) + C


e−x2y−2 = e−x

2(x2 + 1) + C


2



z′ − 2xz = −2x3 (4)


µ(x) = e∫−2x dx = e−x

2


(e−x2z)′ = −2x3e−x2


e−x2z = −

∫2x3e−x

2dx = x2e−x

2+ e−x

2+ C = e−x

2(x2 + 1) + C


e−x2y−2 = e−x

2(x2 + 1) + C


2



z′ − 2xz = −2x3 (4)


µ(x) = e∫−2x dx = e−x

2


(e−x2z)′ = −2x3e−x2


e−x2z = −

∫2x3e−x

2dx = x2e−x

2+ e−x

2+ C = e−x

2(x2 + 1) + C


e−x2y−2 = e−x

2(x2 + 1) + C


2



z′ − 2xz = −2x3 (4)


µ(x) = e∫−2x dx = e−x

2


(e−x2z)′ = −2x3e−x2


e−x2z = −

∫2x3e−x

2dx = x2e−x

2+ e−x

2+ C = e−x

2(x2 + 1) + C


e−x2y−2 = e−x

2(x2 + 1) + C


2



z′ − 2xz = −2x3 (4)


µ(x) = e∫−2x dx = e−x

2


(e−x2z)′ = −2x3e−x2


e−x2z = −

∫2x3e−x

2dx = x2e−x

2+ e−x

2+ C = e−x

2(x2 + 1) + C


e−x2y−2 = e−x

2(x2 + 1) + C


2



z′ − 2xz = −2x3 (4)


µ(x) = e∫−2x dx = e−x

2


(e−x2z)′ = −2x3e−x2


e−x2z = −

∫2x3e−x

2dx = x2e−x

2+ e−x

2+ C = e−x

2(x2 + 1) + C


e−x2y−2 = e−x

2(x2 + 1) + C


2


Ejemplo 2

Resolver el siguiente problema de valor inicial:

y(6y2 − x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

Esta ecuación no tiene el aspecto Bernoulli ni es de variables separables.Hagamos la siguiente transformación:

2x dy − y(x + 1) dx + 6y3 dx = 0

Dividamos entre dx :2xy ′ − (x + 1)y = −6y3

o bien

y ′ − 12(1 +

1x)y = −3

xy3

Notamos que es una ecuación de Bernoulli, con n = 3. Dividiendo entre y3

tendremos:

y−3y ′ − 12(1 +

1x)y−2 = −3

x


Ejemplo 2


y(6y2 − x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1


2x dy − y(x + 1) dx + 6y3 dx = 0


o bien

y ′ − 12(1 +

1x)y = −3

xy3


tendremos:

y−3y ′ − 12(1 +

1x)y−2 = −3

x


Ejemplo 2


y(6y2 − x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1


2x dy − y(x + 1) dx + 6y3 dx = 0


o bien

y ′ − 12(1 +

1x)y = −3

xy3


tendremos:

y−3y ′ − 12(1 +

1x)y−2 = −3

x


Ejemplo 2


y(6y2 − x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1


2x dy − y(x + 1) dx + 6y3 dx = 0


o bien

y ′ − 12(1 +

1x)y = −3

xy3


tendremos:

y−3y ′ − 12(1 +

1x)y−2 = −3

x


Ejemplo 2


y(6y2 − x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1


2x dy − y(x + 1) dx + 6y3 dx = 0


o bien

y ′ − 12(1 +

1x)y = −3

xy3


tendremos:

y−3y ′ − 12(1 +

1x)y−2 = −3

x


Ejemplo 2


y(6y2 − x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1


2x dy − y(x + 1) dx + 6y3 dx = 0


o bien

y ′ − 12(1 +

1x)y = −3

xy3


tendremos:

y−3y ′ − 12(1 +

1x)y−2 = −3

x


Ejemplo 2


y(6y2 − x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1


2x dy − y(x + 1) dx + 6y3 dx = 0


o bien

y ′ − 12(1 +

1x)y = −3

xy3


tendremos:

y−3y ′ − 12(1 +

1x)y−2 = −3

x

La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo. y(6y2 − x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

y−3y ′ − 12(1 +

1x)y−2 = −3

x

Se propone el cambio de variable z = y−2, con lo cual z′ = −2y−3y ′, teniéndosey−3y ′ = z

′−2 . Al sustituir:

z′

−2 −12(1 +

1x)z = −3

xo, equivalentemente,

z′ + (1 +1x)z =

6x

(5)

Aquí, p(x) = 1 + 1x , de manera que el factor de integración es:

µ(x) = e∫

1+ 1x dx = e(x+ln |x |) = xex


(xex z)′ =6x

xex

Integrando:

xex z =∫

6ex dx = 6ex + C


y−3y ′ − 12(1 +

1x)y−2 = −3

x



z′

−2 −12(1 +

1x)z = −3


z′ + (1 +1x)z =

6x

(5)


µ(x) = e∫

1+ 1x dx = e(x+ln |x |) = xex


(xex z)′ =6x

xex

Integrando:

xex z =∫

6ex dx = 6ex + C


y−3y ′ − 12(1 +

1x)y−2 = −3

x



z′

−2 −12(1 +

1x)z = −3


z′ + (1 +1x)z =

6x

(5)


µ(x) = e∫

1+ 1x dx = e(x+ln |x |) = xex


(xex z)′ =6x

xex

Integrando:

xex z =∫

6ex dx = 6ex + C


y−3y ′ − 12(1 +

1x)y−2 = −3

x



z′

−2 −12(1 +

1x)z = −3


z′ + (1 +1x)z =

6x

(5)


µ(x) = e∫

1+ 1x dx = e(x+ln |x |) = xex


(xex z)′ =6x

xex

Integrando:

xex z =∫

6ex dx = 6ex + C


y−3y ′ − 12(1 +

1x)y−2 = −3

x



z′

−2 −12(1 +

1x)z = −3


z′ + (1 +1x)z =

6x

(5)


µ(x) = e∫

1+ 1x dx = e(x+ln |x |) = xex


(xex z)′ =6x

xex

Integrando:

xex z =∫

6ex dx = 6ex + C


y−3y ′ − 12(1 +

1x)y−2 = −3

x



z′

−2 −12(1 +

1x)z = −3


z′ + (1 +1x)z =

6x

(5)


µ(x) = e∫

1+ 1x dx = e(x+ln |x |) = xex


(xex z)′ =6x

xex

Integrando:

xex z =∫

6ex dx = 6ex + C

Ejemplo. y(6y2 − x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

Deshaciendo el cambio de variable obtenemos la solución general:

xex y−2 = 6ex + C

y despejando:

y−2 =6x+

Cxex

Para encontrar el valor de C utilizamos la condición inicial: y(1) = 1.Sustituimos en la solución general x = 1 y y = 1:

1 =61+

Ce, C = −5e

La solución buscada es

y−2 =6x+−5exex



xex y−2 = 6ex + C

y despejando:

y−2 =6x+

Cxex


1 =61+

Ce, C = −5e


y−2 =6x+−5exex



xex y−2 = 6ex + C

y despejando:

y−2 =6x+

Cxex


1 =61+

Ce, C = −5e


y−2 =6x+−5exex



xex y−2 = 6ex + C

y despejando:

y−2 =6x+

Cxex


1 =61+

Ce, C = −5e


y−2 =6x+−5exex



xex y−2 = 6ex + C

y despejando:

y−2 =6x+

Cxex


1 =61+

Ce, C = −5e


y−2 =6x+−5exex



xex y−2 = 6ex + C

y despejando:

y−2 =6x+

Cxex


1 =61+

Ce, C = −5e


y−2 =6x+−5exex


Ejemplo 3

Resolver la ecuación diferencial:

y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Esta ecuación no es de variables separables. Veamos si es de Bernoulli.Dividamos entre dx :

y2 + (xy − x3)y ′ = 0Esta ecuación no tiene la forma de Bernoulli. Si mejor dividimos entre dy :

y2dxdy

+ (xy − x3) = 0

es decir,y2 x ′ + (xy − x3) = 0

o sea es una ecuación de Bernoulli en x , con n = 3:

y2x ′ + yx = x3

En efecto:x ′ + y−1x = y−2x3


Ejemplo 3


y2 dx + (xy − x3) dy = 0



y2dxdy

+ (xy − x3) = 0

es decir,y2 x ′ + (xy − x3) = 0


y2x ′ + yx = x3



Ejemplo 3


y2 dx + (xy − x3) dy = 0



y2dxdy

+ (xy − x3) = 0

es decir,y2 x ′ + (xy − x3) = 0


y2x ′ + yx = x3



Ejemplo 3


y2 dx + (xy − x3) dy = 0



y2dxdy

+ (xy − x3) = 0

es decir,y2 x ′ + (xy − x3) = 0


y2x ′ + yx = x3



Ejemplo 3


y2 dx + (xy − x3) dy = 0



y2dxdy

+ (xy − x3) = 0

es decir,y2 x ′ + (xy − x3) = 0


y2x ′ + yx = x3



Ejemplo 3


y2 dx + (xy − x3) dy = 0



y2dxdy

+ (xy − x3) = 0

es decir,y2 x ′ + (xy − x3) = 0


y2x ′ + yx = x3



Ejemplo 3


y2 dx + (xy − x3) dy = 0



y2dxdy

+ (xy − x3) = 0

es decir,y2 x ′ + (xy − x3) = 0


y2x ′ + yx = x3


La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo. y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Dividiendo entre x3:x−3x ′ + y−1x−2 = y−2

Se propone el cambio de variable z = x−2, con lo cual z′ = −2x−3x ′, teniéndosex−3x ′ = z


z′

−2 + y−1z = y−2

o, equivalentemente,z′ − 2y−1z = −2y−2 (6)

Tenemos que, p(y) = − 2y y el factor de integración es:

µ(y) = e∫− 2y dy = e−2 ln |y | = y−2

Multiplicamos la ecuación (6) por µ(y):

(y−2z)′ = −2y−4

Integrando:

y−2z =∫−2y−4 dy = 2

3y3+ C





z′

−2 + y−1z = y−2



µ(y) = e∫− 2y dy = e−2 ln |y | = y−2


(y−2z)′ = −2y−4

Integrando:

y−2z =∫−2y−4 dy = 2

3y3+ C





z′

−2 + y−1z = y−2



µ(y) = e∫− 2y dy = e−2 ln |y | = y−2


(y−2z)′ = −2y−4

Integrando:

y−2z =∫−2y−4 dy = 2

3y3+ C





z′

−2 + y−1z = y−2



µ(y) = e∫− 2y dy = e−2 ln |y | = y−2


(y−2z)′ = −2y−4

Integrando:

y−2z =∫−2y−4 dy = 2

3y3+ C





z′

−2 + y−1z = y−2



µ(y) = e∫− 2y dy = e−2 ln |y | = y−2


(y−2z)′ = −2y−4

Integrando:

y−2z =∫−2y−4 dy = 2

3y3+ C





z′

−2 + y−1z = y−2



µ(y) = e∫− 2y dy = e−2 ln |y | = y−2


(y−2z)′ = −2y−4

Integrando:

y−2z =∫−2y−4 dy = 2

3y3+ C





z′

−2 + y−1z = y−2



µ(y) = e∫− 2y dy = e−2 ln |y | = y−2


(y−2z)′ = −2y−4

Integrando:

y−2z =∫−2y−4 dy = 2

3y3+ C

Ejemplo. y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Regresando a la variable x :

y−2x−2 =∫−2y−4 dy = 2

3y3+ C

y despejando obtenemos la solución general:

x−2 =2

3y+ Cy2



y−2x−2 =∫−2y−4 dy = 2

3y3+ C


x−2 =2

3y+ Cy2



y−2x−2 =∫−2y−4 dy = 2

3y3+ C


x−2 =2

3y+ Cy2



y−2x−2 =∫−2y−4 dy = 2

3y3+ C


x−2 =2

3y+ Cy2


Ejemplo 4


y ′ − y + √y = 0

Esta ecuación tiene la forma de Bernoulli. en y , con n = 12 :

y ′ − y = −√y

Dividiendo entre y12 :

y−12 y ′ − y 12 = −1

Hacemos el cambio de variable z = y12 , con lo cual z′ = 12 y

− 12 y ′, de dondey−

12 y ′ = 2z′. Sustituyendo:

2z′ − z = −1o, equivalentemente,

z′ − 12

z = −12

(7)

Tenemos que, p(x) = − 12 y el factor de integración es:

µ(x) = e∫− 12 dx = e−

12 x


Ejemplo 4


y ′ − y + √y = 0


y ′ − y = −√y


y−12 y ′ − y 12 = −1





z′ − 12

z = −12

(7)


µ(x) = e∫− 12 dx = e−

12 x


Ejemplo 4


y ′ − y + √y = 0


y ′ − y = −√y


y−12 y ′ − y 12 = −1





z′ − 12

z = −12

(7)


µ(x) = e∫− 12 dx = e−

12 x


Ejemplo 4


y ′ − y + √y = 0


y ′ − y = −√y


y−12 y ′ − y 12 = −1





z′ − 12

z = −12

(7)


µ(x) = e∫− 12 dx = e−

12 x


Ejemplo 4


y ′ − y + √y = 0


y ′ − y = −√y


y−12 y ′ − y 12 = −1





z′ − 12

z = −12

(7)


µ(x) = e∫− 12 dx = e−

12 x


Ejemplo 4


y ′ − y + √y = 0


y ′ − y = −√y


y−12 y ′ − y 12 = −1





z′ − 12

z = −12

(7)


µ(x) = e∫− 12 dx = e−

12 x


Ejemplo 4


y ′ − y + √y = 0


y ′ − y = −√y


y−12 y ′ − y 12 = −1





z′ − 12

z = −12

(7)


µ(x) = e∫− 12 dx = e−

12 x


Ejemplo 4


y ′ − y + √y = 0


y ′ − y = −√y


y−12 y ′ − y 12 = −1





z′ − 12

z = −12

(7)


µ(x) = e∫− 12 dx = e−

12 x

La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo y ′ − y + √y = 0

Multiplicamos la ecuación z′ − 12 z = − 12 por µ(x) = e−12 x :

(e−12 x z)′ = −1

2e−

12 x

Integrando:

e−12 x z = −

∫12

e−12 x dx = e−

12 x + C

Regresando a la variable y :

e−12 x y

12 = e−

12 x + C

y despejando obtenemos:

La solución general

y = (1 + Ce12 x)2



(e−12 x z)′ = −1

2e−

12 x

Integrando:

e−12 x z = −

∫12

e−12 x dx = e−

12 x + C


e−12 x y

12 = e−

12 x + C



y = (1 + Ce12 x)2



(e−12 x z)′ = −1

2e−

12 x

Integrando:

e−12 x z = −

∫12

e−12 x dx = e−

12 x + C


e−12 x y

12 = e−

12 x + C



y = (1 + Ce12 x)2



(e−12 x z)′ = −1

2e−

12 x

Integrando:

e−12 x z = −

∫12

e−12 x dx = e−

12 x + C


e−12 x y

12 = e−

12 x + C



y = (1 + Ce12 x)2



(e−12 x z)′ = −1

2e−

12 x

Integrando:

e−12 x z = −

∫12

e−12 x dx = e−

12 x + C


e−12 x y

12 = e−

12 x + C



y = (1 + Ce12 x)2

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias La ecuación de Bernoulli … · 2020. 9. 8. · Ecuaciones...

Documents

Transcript of Ecuaciones Diferenciales Ordinarias La ecuación de Bernoulli … · 2020. 9. 8. · Ecuaciones...

Ch3 The Bernoulli Equation - PE Exampe-exam.org/Study_Documents/WR-ENV-Materials-Online/Bernoulli E… · Ch3 The Bernoulli Equation The most used and the most abused equation in

Introduccion a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.pdf

LECTURE 4 FLUID FLOW & BERNOULLI - Canvas Login

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias La ecuación de …...Ecuaciones Diferenciales Ordinarias La ecuación de Bernoulli v2ˆ 2 +P +ˆgz = C Daniel Bernoulli, matemático suizo (Groninga,

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - WordPress.com...Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Introducción Solución de una ecuación diferencial Solución de una ecuación

Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales

Some theorems on Bernoulli numbers of higher order

SIXTY YEARS OF BERNOULLI CONVOLUTIONSu.math.biu.ac.il/~solomyb/RESEARCH/sixty.pdf · SIXTY YEARS OF BERNOULLI CONVOLUTIONS YUVAL PERES, WILHELM SCHLAG, AND BORIS SOLOMYAK Abstract.

Ampliacion Ed Analisis Matematico_Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

The future is efficiency · Diferenciales bloqueados o cegados • Aparecen problemas con diferenciales clase AC y A en líneas donde la corriente de fuga tenga componentes de alta

Equazione di Bernoulli - personalpages.to.infn.itpersonalpages.to.infn.it/~masera/CTF/fis05.pdf · di pressione (dal teorema di Bernoulli) FISICA - CTF. 9. Legge di Hagen Poiseuille

Ecuaciones Diferenciales · Ecuaciones Diferenciales Tarea No 13: Laplace Avanzado Maestra Graciela Trevino,~ Verano 2010 Grupo: Matr cula: Nombre: Tipo:0 1.Indique cu al opci on

Billiards and Bernoulli Schemesipparco.roma1.infn.it/pagine/deposito/1967-1979/42-bilbernoul.pdf · Billiards and Bernoulli Schemes 85 There is another dynamical system which can

MULTIPLE ZETA VALUES, POLY-BERNOULLI NUMBERS, AND RELATED ZETA FUNCTIONSmkaneko/papers/18MZV_pB_Nagoya.pdf · 2014-07-29 · and show that the poly-Bernoulli numbers introduced in

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES ... - ing.uc.edu.vejpaez/MA3B06/contenidos/contenido_ma3b06_te… · 5 aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden a problemas

Euler-Maclaurin Summation Formula - Fractional Calculusfractional-calculus.com/euler_maclaurin_sum_formula.pdf · 4 Euler-Maclaurin Summation Formula 4.1 Bernoulli Number & Bernoulli

Which Bernoulli Measures Are Good Measures?

MULTIPLE ZETA VALUES, POLY-BERNOULLI NUMBERS, AND …mkaneko/papers/18MZV... · 2020. 4. 11. · POLY-BERNOULLI NUMBERS, AND RELATED ZETA FUNCTIONS TSUNEO ARAKAWA and MASANOBU KANEKO

Hukum bernoulli

Teorema di Bernoulli - scienze.uniroma2.it°-24°-ora-15... · Teorema di Bernoulli ØConsideriamo un fluido a densità costante che scorre in regime stazionario attraverso il tubo