Soluciones de las ecuaciones diferenciales para la tensi³n y corriente. Representaci³n...

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Soluciones de las ecuaciones diferenciales para la tensión y corriente. Representación Grafica. - PowerPoint PPT Presentation

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Diapositiva 1

Soluciones de las ecuaciones diferenciales para la tensin y corriente.Representacin GraficaPara tomar en cuenta la naturaleza distribuida de las constantes de la lnea de transmisin, considere el siguiente circuito, el cual representa una seccin de lnea de longitud x. V(x) e I(x) denotan la tensin y la corriente en la posicin x, la cual se mide en metros desde la derecha, o extremo receptor de la lnea. De modo semejante, V(x+x) e I(x+x) denotan la tensin y la corriente en la posicin (x+x).

en donde G suele despreciarse para las lneas areas de 60 Hz. Escribiendo una ecuacin de la LKV para el circuito:

V(x+x)=V(x)+(zx)I(x) volts.

Si se reacomodan los trminos de la ecuacin:

Y tomando el lmite cuando x tiende a cero,

De igual manera, escribiendo una ecuacin de la LKC para el circuito

Reacomodando los trminos,

Y tomando el lmite cuando x tiende a cero,

Las dos ecuaciones anteriores respectivamente son ecuaciones diferenciales lineales homogneas y de primer orden con dos incgnitas, V(x) e I(x). SolucinAl derivar la de I(x) eliminndola se puede utilizar del siguiente modo

O bien

Para la ecuacin con una incgnita, V(x). Por inspeccin, su solucin es:

En donde son constantes de integracin y

, cuyas unidades son , llamada constante de propagacin.

Ondas incidentes y reflejadas de voltaje y corrienteOnda incidenteUna onda plana que se encuentra en una regin 1 viaja hacia la superficie de una frontera en z=0, es llamada onda incidente que a su ves esta se mueve alejndose de la superficie de la frontera hacia la regin 2 conocida como onda transmitidaOnda reflejadaEs una onda que viaja alejndose de la frontera en la regin 1 la cual es llamada onda reflejadaTrminos ElctricosEl voltaje que se propaga, desde la fuente hacia la carga, se llama voltaje incidente, y el voltaje que se propaga, desde la carga hacia la fuente se llama voltaje reflejado. Es decir, es una cantidad vectorial que representa a la relacin del voltaje reflejado al voltaje incidente o corriente reflejada a la corriente incidente. CONSTANTE DE PROPAGACIONLa constante de propagacin se utiliza para determinar la reduccin en voltaje corriente en la distancia conforme una onda TEM se propaga a lo largo de la LT. = + j

: constante de propagacin: Coeficiente de atenuacin (neper/unidad de longitud): Coeficiente de desplazamiento (rad/unidad de longitud)

Es una unidad compleja definida por:

=(R + jL)(G + jC) Ya que el desplazamiento de fase de 2rad ocurre sobre una distancia de una longitud de onda

A frecuencias de radio e intermedias, L>R y C>G, por tanto

ATENUACIONLas seales de transmisin a travs de largas distancias estn sujetas a distorsin que es una prdida de fuerza o amplitud de la seal. La atenuacin es la razn principal de que el largo de las redes tenga varias restricciones. Si la seal se hace muy dbil, el equipo receptor no interceptar bien o no reconocer esta informacin.Esto causa errores, bajo desempeo al tener que transmitir la seal. Se usan repetidores o amplificadores para extender las distancias de la red ms all de las limitaciones del cable. La atenuacin se mide con aparatos que inyectan una seal de prueba en un extremo del cable y la miden en el otro extremo.

FACTOR DE ATENUACION Una onda de tensin o corriente experimenta una atenuacin de N nper cuando su magnitud cambia en un factor e-Na medida que la onda avanza entre dos puntos en una lnea de transmisin. El valor en Nepers se puede cambiar a dB mediante la relacin:

1 Nper = 8.686 dB

EJEMPLO DE ATENUACION

FASEFACTOR DE FASEEl trmino e-j z es un nmero complejo cuya magnitud es la unidad y cuyo ngulo de fase esbz radianes. No afecta a la magnitud de los fasores de tensin o corriente. Solo afecta a la fase, disminuyndola en la direccin de incremento dez. es llamado factor de fase y se expresa en radianes por unidad de longitud.

LONGITUD DE ONDA La longitud de ondaes la distancia entre puntos sucesivos de la onda con la misma fase elctrica. De acuerdo a lo expuesto, la fase original de la onda incidente es (wt +), y es modificada en la medida que la onda avanza, en un factorbz radianes, esto es: (wt -bz +). Al reducirse la vp, la longitud de onda en la lnea se reduce tambin en forma proporcional. En las LT , la velocidad de propagacin sera igual a la velocidad de la luz si el dielctrico entre los conductores fuera aire, pero si el medio tiene una constante dielctrica relativaermayor que la unidad, la velocidadde propagacinser menor, e igual a :

Nota: El trmino que multiplica a la velocidad de la luz es denominadofactor de velocidad (k), y se expresa como un porcentaje.

La velocidad de fase y la velocidad de propagacin son numricamente iguales en las LT (modo TEM). Para un medio sin prdidas se puede considerar entonces que:

El tiempo que tarda la onda en avanzar la longitud total de la lnea es llamadotiempo de retardode la lnea (td), y es igual a:

ONDA ESTACIONARIA DE VOLTAJE Y CORRIENTE La relacin de onda estacionaria (SWR), se define como la relacin del voltaje mximo con el voltaje mnimo, o de la corriente mxima con la corriente mnima de una onda. A ello tambin se llama relacin de voltajes de onda estacionaria (VSWR). En esencia es una medida de la falta de compensacin entre la impedancia de carga y la impedancia caracterstica de la lnea de transmisin.

Los mximos de voltaje (Vmax) se presentan cuando las ondas incidentes y reflejadas estn en fase ( es decir, sus mximos pasan por el mismo punto de la lnea, con la misma polaridad) y los mnimos de voltaje(Vmin) se presentan cuando las ondas incidentes y reflejadas estn desfasadas 180. La ecuacin queda

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA LINEA ABIERTACuando las ondas incidentes de voltaje y corriente alcanzan una terminacin abierta, nada de la potencia se absorbe; toda se refleja nuevamente a la fuente. La onda de voltaje incidente se refleja exactamente, de la misma manera, como si fuera a continuar a lo largo de una lnea infinitamente larga. Las caractersticas de una lnea de transmisin terminada en un circuito abierto pueden resumirse como sigue: 1. La onda incidente de voltaje se refleja de nuevo exactamente como si fuera a continuar (o sea, sin inversinde fase). 2. La onda incidente de la corriente se refleja nuevamente 1800 de como habra continuado. 3. La suma de las formas de ondas de corriente reflejada e incidente es mnima a circuito abierto. 4. La suma de las formas de ondas de corriente reflejada e incidente es mxima a circuito abierto

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA LINEA EN CORTO CIRCUITOAs como en una lnea de circuito abierto nada de la potencia incidente ser adsorbida por la carga, cuando una lnea de transmisin se termina en un cortocircuito. Sin embargo, con una lnea en corto, el voltaje incidente y las ondas de corriente se reflejan,nuevamente de la manera opuesta La onda de voltaje se refleja 180 invertidos de como habra continuado, a lo largo de una lnea infinitamente larga, y la onda de corriente se refleja exactamente de la misma manera como si no hubiera corto. Las caractersticas de una lnea de transmisin terminada en corto puede resumir como sigue: 1.La onda estacionaria de voltaje se refleja hacia atrs 180 invertidos de cmo habra continuado. 2.La onda estacionaria de corriente Se refleja, hacia atrs, como si hubiera continuado. 3.La suma de las formas de ondas incidentes y reflejadas es mxima en el corto. 4.La suma de las formas de ondas incidentes y reflejadas es cero en el corto.