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La divina La divina proporción:proporción:
número de oronúmero de oroEl númeroEl número
por Aidapor Aida
El número áureo o de oro (divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:
Se trata de un número irracional Se trata de un número irracional (decimal(decimal
infinito no periódico) que posee muchasinfinito no periódico) que posee muchaspropiedades interesantes y que fue propiedades interesantes y que fue
descubiertodescubiertoen la antigüedad, no como “unidad” en la antigüedad, no como “unidad”
sino comosino comorelación o proporción entre segmentos relación o proporción entre segmentos
de rectas.de rectas.
Una sección áurea es una división en dos Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones de un segmento según proporciones dadas por el número áureo.dadas por el número áureo.
La longitud total La longitud total a+ba+b es al segmento es al segmento más largo más largo aa como como aa es al segmento más es al segmento más corto corto bb..
Se dice que dos números positivos a y b estánSe dice que dos números positivos a y b estánen razón áurea si :en razón áurea si :
El rectángulo áureo:
siendo la altura a y laanchura b, se cumple:
...618034'1ab
Esta proporción se puede Esta proporción se puede encontrar en:encontrar en:
Figuras geométricas.Figuras geométricas.Naturaleza:Naturaleza:
Cuerpo humano.Cuerpo humano.Plantas (grosor de ramas, disposición de Plantas (grosor de ramas, disposición de hojas…).hojas…).Animales (abejas, vuelo del halcón…).Animales (abejas, vuelo del halcón…).Galaxias.Galaxias.
Avances tecnológicos (cohetes…).Avances tecnológicos (cohetes…).Arte: pintura.Arte: pintura.Arte: arquitectura.Arte: arquitectura.
En el pentágono regular la razón entre ladiagonal y el lado cumple la razón áurea:Si dividimos la diagonal entre el ladoobtenemos la divina proporción.
En geometría:En geometría:
En el decágono regular, la razón entre el lado y
el radio de la circunferencia circunscrita cumple
la razón áurea: dividiendo el radio entre el lado
obtenemos la divina proporción.
En geometría:En geometría:
La relación entre la cantidad de La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra abejas macho y abejas hembra en un panal. en un panal.
En la Naturaleza:En la Naturaleza:
La disposición de los pétalos de La disposición de los pétalos de las flores (ellas flores (el
papel del número áureo en papel del número áureo en botánica recibe elbotánica recibe el
nombre de nombre de Ley de Ludwig). ).
En la Naturaleza:En la Naturaleza:
Así se consigue aprovechar el espacio horizontalAsí se consigue aprovechar el espacio horizontalmás eficientemente.más eficientemente.
La disposición ramificada de flores La disposición ramificada de flores y árboles,y árboles,
y los puntos de un tallo en los que y los puntos de un tallo en los que se insertanse insertan
las hojas y ramas. las hojas y ramas.
En la Naturaleza:En la Naturaleza:
A medida que el A medida que el tallo crece, las tallo crece, las ramas no ramas no crecerán unas crecerán unas sobre otras, y sobre otras, y de esta forma de esta forma se aprovecha se aprovecha mejor la luz mejor la luz del sol.del sol.
La relación entre las nervaduras La relación entre las nervaduras de las hojas dede las hojas de
los árboles. los árboles.
En la Naturaleza:En la Naturaleza:
En el cuerpo humano el número áureo aparece enEn el cuerpo humano el número áureo aparece enmuchas medidas: la relación entre el primer muchas medidas: la relación entre el primer
huesohuesode los dedos (metacarpiano) y la primera falange,de los dedos (metacarpiano) y la primera falange,o entre la primera y la segunda, o entre lao entre la primera y la segunda, o entre lasegunda y la tercera, si dividimos todo es el segunda y la tercera, si dividimos todo es el número áureo Φ.número áureo Φ.
En el ser humano:En el ser humano:
El número áureo aparece también en la El número áureo aparece también en la relaciónrelación
entre la medida del antebrazo y la longitud deentre la medida del antebrazo y la longitud dela mano. la mano.
En el ser humano:En el ser humano:
La relación entre la altura de un ser La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo. humano y la altura de su ombligo.
La relación entre la distancia del hombro a La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los los dedos y la distancia del codo a los dedos. dedos.
La relación entre la altura de la cadera y la La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla. altura de la rodilla.
La relación entre el diámetro de la boca y La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz.el de la nariz.
la relación entre la longitud de la cabeza y la relación entre la longitud de la cabeza y su anchura.su anchura.
En el ser humano:En el ser humano:
Leonardo Da Vinci realizó este dibujo
para ilustrar el libro De DivinaProportione del matemático Pacioli.En dicho libro se describen cuálesdeben ser las proporciones de lasconstrucciones artísticas.En particular, Pacioli propone unhombre perfecto en el que lasrelaciones entre las distintas partesde su cuerpo sean las del dibujoadjunto. Resulta que la relaciónentre la altura del hombre y la
alturade su ombligo es el número de oro.
En el arte:En el arte:
El hombre de Vitruvio
A la figura le añadimos las líneas a y b, que representan, respectivamente, la altura hasta el ombligo (a) y la altura total (b), y vemos que, efectivamente, la proporción es el número de oro:ab
La relación entre las partes, el techo y lasLa relación entre las partes, el techo y lascolumnas del Partenón, en Atenas (s. V columnas del Partenón, en Atenas (s. V
a.C.). a.C.).
En el arte (arquitectura):En el arte (arquitectura):
En Notre Dame, de París, los rectángulos En Notre Dame, de París, los rectángulos queque
conforman la fachada principal guardan laconforman la fachada principal guardan laproporción áurea. proporción áurea.
En el arte (arquitectura):En el arte (arquitectura):
En la torre En la torre Eiffel,Eiffel,
en París. en París.
En el arte (arquitectura):En el arte (arquitectura):
En el arte (pinturas En el arte (pinturas famosas):famosas):
El rostro de la El rostro de la monamona
lisa de Leonardo dalisa de Leonardo daVinci encierra unVinci encierra un‘’‘’rectángulo rectángulo
dorado’’dorado’’perfecto.perfecto.
En el arte (pinturas En el arte (pinturas famosas):famosas):
En El nacimiento de Venus, de En El nacimiento de Venus, de Botticelli. Botticelli.
En el Hermes de En el Hermes de PraxítelesPraxíteles
(s. IV a.C.) (s. IV a.C.) encontramosencontramos
relaciones basadas relaciones basadas en laen la
proporción áurea. proporción áurea.
En la escultura:En la escultura:
Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh.Gizeh.En los violines, la posición de las efes (los En los violines, la posición de las efes (los orificios que hay en la tapa) se relaciona con orificios que hay en la tapa) se relaciona con el número áureo.el número áureo.En las estructuras formales de las sonatas de En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).basándose en equilibrios de masas sonoras).
En el arte (música…):En el arte (música…):
Espiral de DureroEspiral de DureroAlberto Durero (1471 – 1528) fué pintor yAlberto Durero (1471 – 1528) fué pintor ygran amante de las matemáticas. En 1525gran amante de las matemáticas. En 1525publicó su obra publicó su obra Instrucción sobre la Instrucción sobre la
medidamedidacon regla y compás de figuras planas ycon regla y compás de figuras planas ysólidas sólidas para enseñar a los artistas para enseñar a los artistas
pintores ypintores ymatemáticos de la época diversos matemáticos de la época diversos
métodos paramétodos paratrazar distintas figuras geométricas.trazar distintas figuras geométricas.
La espiral de Durero y el La espiral de Durero y el número de oro: número de oro:
construcción de la espiralconstrucción de la espiralLos rectángulos áureos son aquellos Los rectángulos áureos son aquellos
cuyos ladoscuyos ladosestán en proporción áurea, es decir, el están en proporción áurea, es decir, el
cocientecocienteentre su lado mayor y su lado menor es,entre su lado mayor y su lado menor es,Precisamente, el número de oro.Precisamente, el número de oro.Construimos una sucesión de Construimos una sucesión de
rectángulos áureosrectángulos áureosencajados.encajados.
construcción de la espiral construcción de la espiral de Durerode Durero
A continuación si unimos mediante un arco deA continuación si unimos mediante un arco decircunferencia dos vértices opuestos de cada circunferencia dos vértices opuestos de cada
unounode los cuadrados obtenidos, utilizando comode los cuadrados obtenidos, utilizando comocentro de la misma otro de los vértices del centro de la misma otro de los vértices del
mismomismocuadrado, obtenemos una curva muy similar acuadrado, obtenemos una curva muy similar auna espiral logarítmica, es la famosa Espiral una espiral logarítmica, es la famosa Espiral
dedeDurero.Durero.
Espiral de Durero en la Espiral de Durero en la pinturapintura
La espiral de DureroLa espiral de Durerose aplicó en el arte,se aplicó en el arte,en una de las en una de las
pinturaspinturasmas famosas, mas famosas, LasLasMeninasMeninas de de
VelázquezVelázquez..
Aquí podemos ver la sucesión de Aquí podemos ver la sucesión de rectángulos áureos:rectángulos áureos:
Las Meninas y la espiral de Las Meninas y la espiral de DureroDurero
Esta obra fue pintada a Esta obra fue pintada a proporción de unaproporción de una
espiral de Durero que empieza espiral de Durero que empieza en el pecho deen el pecho de
la Infanta Margarita donde la la Infanta Margarita donde la espiral deespiral de
reparte por toda la pintura.reparte por toda la pintura.
En Las Lanzas de Velázquez En Las Lanzas de Velázquez podemos verpodemos verotra espiral relacionada con el otra espiral relacionada con el número de oro.número de oro.
Y en este cuadro de Dalí:Y en este cuadro de Dalí:
O en la imagen de este sello O en la imagen de este sello sueco:sueco:
La sucesión de Fibonacci La sucesión de Fibonacci
En matemáticas, la sucesión de En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es laFibonacci es la
siguiente sucesión infinita de siguiente sucesión infinita de númerosnúmeros
naturales:naturales:La sucesión inicia con 0 y 1, y a La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.la suma de los dos anteriores.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…89, 144…
La sucesión fue descrita por La sucesión fue descrita por Fibonacci como la como lasolución a un problema de la cría de conejos: solución a un problema de la cría de conejos:
El problema de los conejos:
Leonardo de Pisa (Leonardo de Pisa (Fibonacci) usa la ) usa la sucesión que llevasucesión que llevasu nombre para calcular el número de su nombre para calcular el número de pares de conejospares de conejosnn meses después de que una primera meses después de que una primera pareja comienza apareja comienza areproducirse (suponiendo que los reproducirse (suponiendo que los conejos están aisladosconejos están aisladospor muros, se empiezan a reproducir por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen doscuando tienen dosmeses de edad, tardan un mes desde la meses de edad, tardan un mes desde la fecundaciónfecundaciónhasta la aparición y cada camada es de hasta la aparición y cada camada es de dos conejos). dos conejos).
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… 34, 55, 89, 144… Resulta que el cociente entre cada dos Resulta que el cociente entre cada dos
númerosnúmerosconsecutivos de esta sucesión, es el número consecutivos de esta sucesión, es el número
dedeoro. oro. ,...
5589,
3455,
2134,
1321,
813,
58,
35,
23
...618'15589...;617'1
3455...;619'1
2134
...;615'11321;625'1
813;6'1
58...;66'1
35;5'1
23
Espiral de FibonacciEspiral de FibonacciPodemos construir una serie de rectángulos utilizando losPodemos construir una serie de rectángulos utilizando losnúmeros de la sucesión de Fibonacci.números de la sucesión de Fibonacci.Empezamos con un cuadrado de lado 1, los dos primerosEmpezamos con un cuadrado de lado 1, los dos primerostérminos de la sucesión.términos de la sucesión.Construimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primerConstruimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primerrectángulo Fibonacci de dimensiones 2 x1.rectángulo Fibonacci de dimensiones 2 x1.Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado ySobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado ytenemos un nuevo rectángulo de 3x2.tenemos un nuevo rectángulo de 3x2.Sobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos Sobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos
ahoraahoraun rectángulo 5x3, luego uno 5x8, 8x13, 13x21...un rectángulo 5x3, luego uno 5x8, 8x13, 13x21...Cuanto más avanzamos en este proceso más nos Cuanto más avanzamos en este proceso más nos
aproximamosaproximamosal rectángulo aureo.al rectángulo aureo.Si unimos los vértices de estos rectángulos se va formando laSi unimos los vértices de estos rectángulos se va formando laespiral de Fibonacci.espiral de Fibonacci.
Una espiral que, de forma Una espiral que, de forma aproximadaaproximada,,
está presente en el crecimiento de lasestá presente en el crecimiento de lasconchas de los moluscos, en los conchas de los moluscos, en los
cuernoscuernosde los rumiantes... Es decir, la espiral de los rumiantes... Es decir, la espiral
deldelcrecimiento y la forma del reino crecimiento y la forma del reino
animal.animal.
La relación que existeLa relación que existeen la distancia entreen la distancia entrelas espiras del interiorlas espiras del interiorde los caracoles comode los caracoles comoel Nautilus.el Nautilus.Se trata de una espiralSe trata de una espirallogarítmica, que selogarítmica, que sepuede puede aproximaraproximar por la por lade Fibonacci.de Fibonacci.
En la Naturaleza:En la Naturaleza:
Éste es un corte de laÉste es un corte de laconcha de un nautilus,concha de un nautilus,donde se aprecian lasdonde se aprecian lascámaras formando,cámaras formando,aproximadamenteaproximadamente, una, unaespiral de Fibonacci. espiral de Fibonacci.
Se pueden aproximar espirales Se pueden aproximar espirales logarítmicaslogarítmicas
utilizando la sucesión de Fibonacci utilizando la sucesión de Fibonacci o lao la
proporción áurea.proporción áurea.
Por tanto, vemos que:Por tanto, vemos que:
La espiral logarítmicaLa espiral logarítmica
Espiral logarítmicaEspiral logarítmicaUna espiral logarítmica o espiral de Una espiral logarítmica o espiral de
crecimiento escrecimiento esuna clase de curva espiral que una clase de curva espiral que
apareceaparecefrecuentemente en la naturaleza. Su frecuentemente en la naturaleza. Su
nombrenombreproviene de la expresión de una de proviene de la expresión de una de
sus ecuaciones: sus ecuaciones:
Espirales logarítmicas en la naturaleza
Una borrasca sobre
Islandia. El patrónque sigue se
aproximaa la forma de unaespiral
logarítmica.
Espirales logarítmicas en la naturaleza
La espiral logarítmica vinculada a losrectángulos áureos gobierna el crecimientoarmónico de muchas formas vegetales
(flores yfrutos) y animales (conchas de moluscos),aquellas en las que la forma se mantieneinvariante. El ejemplo más visualmenterepresentativo es la concha del nautilus.
Espirales logarítmicas en la naturaleza
Imagen de la galaxiaespiral M81 (o galaxiade Bode), en la que sepuede observar polvointerestelar siguiendoaproximadamente
unaespiral logarítmica.
Los brazos de las galaxias espirales sonaproximadamente espirales logarítmicas.Nuestra propia galaxia, la Vía Láctea, se creeque tiene cuatro brazos espirales mayores,
cadauno de los cuales es una espiral logarítmica
deunos 12 grados.
Espirales logarítmicas en la naturaleza
Los brazos de losciclones
tropicales,como los
huracanes,también formanespirales
logarítmicas.La tormenta tropical Richard
Tormenta tropical Franck
Espirales logarítmicas en la naturaleza
En biología son frecuentes las
estructuras aproximadamente
iguales a la espiral logarítmica.
Por ejemplo, las telas de araña y
las conchas de molusco.
Espirales logarítmicas en la naturaleza
El halcón se aproxima a supresa según una espirallogarítmica: su mejor visiónestá en ángulo con su
direcciónde vuelo; este ángulo es elmismo que el grado de laespiral.
Espirales logarítmicas en la naturaleza
Los insectos se aproximan a la luz
según una espiral logarítmicaporque acostumbran a volar conun ángulo constante a la fuenteluminosa. Normalmente el Sol esla única fuente de luz y volar deesta forma consiste
prácticamenteen seguir una línea recta.
Espirales logarítmicas en la naturaleza
La dinámica de un agujero
negro también se aproxima a
la espiral logarítmica.
Espirales en el arteEsta curva ha
cautivado, porsu belleza y
propiedades, laatención de
matemáticos,artistas y
naturalistas.
Inspirando, también, bellas fotografías
matemáticas…
En resumen:En resumen:El número de oro aparece en ciertas figuras geométricas,en la Naturaleza, en el Arte…La espiral de Durero, construída sobre rectángulos áureos,ha sido utilizada en el arte (pintura, arquitectura,escultura…).Asociada al número de oro está la sucesión de Fibonacci:el cociente de dos términos consecutivos es φ. Con ellaconstruimos la espiral de Fibonacci, ayudándonos deuna sucesión de cuadrado de lado los términos de lasucesión. Esta espiral se utiliza para aproximar la espirallogarítmica.La espiral logarítmica describe multitud de fenómenosnaturales.
Y, para despedirnos, un poemaA LA DIVINA PROPORCION
A tí, maravillosa disciplina,media, extrema razón de la hermosura
que claramente acata la clausuraviva en la malla de tu ley divina.
A tí, cárcel feliz de la retina,áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesuraque el universo armónico origina.A tí, mar de los sueños angulares,flor de las cinco flores regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.A tí, divina proporción de oro.
Rafael Alberti
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