UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA

Facultad de Ingeniería, Ciencias y Administración

Departamento de Matemática y Estadística

El número irracional φ, una propuesta didáctica

interdisciplinaria

Tesis presentada para optar al grado de Magíster en Educación Matemática

Alumno: Daniel E. Sánchez Ibáñez

Profesor Guía: Raúl Benavides Gallardo

Septiembre 2012

2

Agradecimientos

Mis más sinceros agradecimientos son para mi profesora Rosa Eugenia Trumper

quien me otorgó la posibilidad y me ayudó en todo momento para poder enseñar

matemáticas en la Universidad Austral de Chile, labor que desempeño desde hace 5 años.

Sin sus conocimientos y experiencia no hubiera llegado a las instancias de realizar este

Magister en Educación Matemática y cambiar el rumbo de mi vida para trabajar como

profesor de matemáticas.

Cabe destacar también, la gran ayuda entregada por mi profesor guía, Sr. Raúl

Benavides y por el apoyo en todo momento de la Prof. Elena Olivos, ambos del cuerpo

docente del Magíster en Educación Matemática.

En especial, agradezco la paciencia y mucho amor entregado por mi mujer, Carola,

que me ayudó en todo momento para estar siempre alegre e feliz. Además, este trabajo fue

realizado con la mayor de las motivaciones gracias a mi querida hija, Alegría, a quien amo

mucho y me da felicidad día a día.

Finalmente, cabe mencionar que esta tesis de magíster está dedicada a mis padres,

Mónica e Iván, por haberme dado la oportunidad de vivir y darme muchas enseñanzas y

oportunidades para mi aprendizaje.

3

Resumen

Este estudio recopila, sintetiza y describe a un número irracional en particular,

denominado como número áureo o de oro y representado con el símbolo φ, desde

bibliografía y referencias, que establecen sus aplicaciones y singularidades a lo largo de la

historia de la humanidad hasta nuestros tiempos actuales.

Es entonces desarrollada, una temática que narra históricamente la aparición de este

número, su especial proporción involucrada, denominada como proporción divina o razón

áurea, y los aspectos formales matemáticos que lo envuelven. Con todo, se desarrollan

diversos problemas relacionados con el uso de algunas estrategias metodológicas de

enseñanza de la matemática con una actividad educativa final, de tipo taller, que permita

tanto a profesores como estudiantes de educación media, enriquecer su acervo cultural

matemático, utilizando por un lado, un software de geometría dinámica, como GeoGebra,

aplicado a la visualización experimental y didáctica de este número irracional en especial, y

por otro, establecer algunas relaciones con otros números irracionales cuyo desarrollo

metodológico específico, es descrito a través de este trabajo.

4

ÍNDICE

1. Introducción ............................................................................................... 6

2. Objetivo General ....................................................................................... 8

2.1 Objetivos Específicos ............................................................................ 8

3. Antecedentes y marco teórico ................................................................. 10

3.1 El número φ en la historia ................................................................. 10

3.1.1 Antigua Grecia y Egipto ..................................................................................... 10

3.1.2 Edad Media y Renacimiento .............................................................................. 13

3.1.3 Tiempos Modernos ............................................................................................. 16

3.2 La Razón Áurea o Divina Proporción ............................................... 18

3.2.1 Definición geométrica ........................................................................................ 18

3.2.2 El Rectángulo áureo ........................................................................................... 19

3.2.3 El Pentágono regular y el triángulo áureo .......................................................... 21

3.2.4 La razón áurea en la fisiología humana y la visión ............................................ 24

3.3 El número de oro desde un punto de vista matemático ..................... 27

3.3.1 Ecuación general y números metálicos .............................................................. 27

3.3.2 La sucesión de Fibonacci y su espiral ................................................................ 30

4. Problemas y desarrollos didáctico-matemáticos .................................. 33

4.1 Visualizando antiguas edificaciones áureas ...................................... 33

4.1.1 Problema N°1: Encontrar la relación entre las dimensiones del Partenón ....... 33

4.1.2 Problema N°2: Encontrar la relación entre las dimensiones de la Pirámide de

Keops ............................................................................................................................ 35

4.2 Proposición áurea de “Los Elementos” de Euclides ......................... 36

4.2.1 Problema N°3: Verificar geométricamente que “el área del cuadrado construido

sobre el segmento mayor es equivalente al área del rectángulo cuyos lados son el

segmento menor y toda la línea”, (sobre un segmento dividido en extrema y media

razón) ............................................................................................................................ 36

4.3 Otras formas de la sucesión de Fibonacci ......................................... 37

4.3.1 Problema N°4: Demostrar que el término general de la sucesión de Fibonacci

es: ............................................................................................................................ 37

5

4.4 Potencias de φ ..................................................................................... 39

4.4.1 Problema N°5: Probar que las potencias del número de oro cumplen la relación

1 2n n n , para todo n>1 .................................................................................... 39

4.4.2 Problema N°6: Investigar la existencia de una relación similar a la anterior con

las potencias del número de plata (n=2) y el número de bronce (n=3) ......................... 40

4.5 Comparando números descompuestos en fracciones continuas ...... 41

4.5.1 Problema N°7: Comparar las descomposiciones de los números irracionales e, π

y φ ............................................................................................................................ 41

4.6 El número áureo en polinomios de cuarto grado .............................. 45

4.6.1 Problema N°8: Visualizar las relaciones encontradas entre los puntos de

intersección de un polinomio de cuarto grado y una recta que pasa por los puntos de

inflexión de dicho polinomio ........................................................................................... 45

5. Elaboración del Taller ............................................................................ 50

5.1 Introducción y beneficios de los talleres didácticos en GeoGebra ... 50

5.2 El Taller ............................................................................................... 51

6. Conclusiones ............................................................................................. 69

6.1 Conclusión General ............................................................................ 69

6.2 Conclusiones específicas .................................................................... 70

6.3 Propuestas y proyecciones .................................................................. 71

7. Bibliografía y referencias ........................................................................ 72

7.1 Referencias bibliográficas .................................................................. 72

7.2 Referencia Web ................................................................................... 73

6

1. Introducción

En cada momento de nuestro trabajo, como profesores, se presentarán escenarios

donde el alumno sabe que allí encontrará un número irracional1, ¿pero dónde? Y esa parte

del hallazgo es la que nos brindará oportunidades para poner en marcha ciertas actividades

específicas, o no, de la matemática: plegar, trazar (regla y compás), medir, usar software

ad-hoc, calcular, buscar regularidades, conjeturar, demostrar.

Es justamente esta amplia variedad de actividades, no sólo matemáticas, que hará

entusiasmar de alguna manera a nuestros alumnos y alumnas, que por sus características,

son de por sí curiosos e indagadores.

Con este trabajo apostamos a potenciar un encuentro con el quehacer matemático,

entrelazando fuertemente la historia, el conocimiento y la práctica.

Dice Miguel de Guzmán: “el quehacer matemático es por naturaleza, eminentemente

comunicativo. Es arte, productor de belleza de la que hacemos a otros partícipes; es

ciencia, que explora la realidad en colaboración con otros; es herramienta, con la que se

puede dominar algunos aspectos interesantes de este mundo que compartimos; es juego,

del que se disfruta en compañía…….”

Además, se pretende ligar lo matemáticamente tradicional y exacto a lo

inconmensurable o no medible. En esencia, en muchas ocasiones, al obtener cierto

conocimiento y visualizar respuestas como ciertas por el resto de la sociedad, el hombre

tiende a conformarse e imitar lo realizado tantas veces sea necesario, ya que piensa, por

defecto, que siempre le dará resultado. Esta sucesión cotidiana se entrelaza con lo

tradicional de la comunidad en la que se encuentra el hombre inmerso y genera un gran

acostumbramiento.

1 Número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción.

7

Ahora bien, pensando en las matemáticas, como ciencias exactas, nos podemos

preguntar: ¿son bases sólidas, siempre medibles y sin ningún error? La respuesta es no, ya

que al igual que en muchas otras ciencias aplicadas, las matemáticas, presentaron

históricamente fragilidades, baches y caídas de las cuales el hombre ha logrado y sigue

intentando superar. Por ejemplo, remontándonos muchos siglos atrás, para los pitagóricos

(de la escuela pitagórica), toda la naturaleza podía ser representada por números, pero

cuando el triángulo rectángulo, cuyos catetos son igual a 1, generó una hipotenusa igual a

, apareció un profundo descontento entre ellos, pues la representación geométrica de los

números debería trasmitir armonía y felicidad, y esa extraña diagonal podía ser trazada pero

no podía ser medida, era inconmensurable. Así, y debido al misticismo que predominaba

entre los pitagóricos, el descubrimiento de un número como fue guardado en secreto, y

lo llamaron de “indivisible”. Se cuenta que Hipasos, discípulo de Pitágoras, reveló el

escándalo y fue asesinado. Además, otros, que se arriesgaron a contar tal revelación,

murieron en un naufragio2.

Actualmente: ¿es para nosotros extraño el símbolo y lo que representa? Lo más

probable es que no, ya que se presenta como un conocimiento general básico (verificable

con el Teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo) en muchas sociedades y pasa a ser

parte, ahora, de algo cotidiano y tradicional.

Con todo lo anterior, podemos obtener muchas conclusiones acerca de cómo abordar

los “nuevos” y los “antiguos” conocimientos, sea cual sea el área de estudios, ya que nos

abundan e invaden en esta época súper tecnológica de la historia de la humanidad,

utilizarlos sabiamente (lo cual no implica tener un pensamiento limitado) y nunca

“acostumbrarnos” creyendo que serán por siempre válidos.... y medibles.

2 Ejemplo sobre los pitagóricos extraído desde “A matematica na arte e na vida” de Paulo Martins Contador, 2da Edición.

Editora Livraria da Fisica, Sao Paulo, Brasil, 2011.

8

2. Objetivo General

A través de este trabajo, queremos estudiar fundamentalmente, un número irracional

particular, simbolizado por φ, llamado número áureo o de oro. Desde su aparición histórica

y su representación geométrica, intentaremos descubrir y describir en una amplia gama de

ejemplos y problemas la presencia de valores aproximados a ese número en diferentes

ámbitos interrelacionados como el arte, la biología y la matemática en si misma.

Por otro lado, pretendemos desarrollar una serie de actividades lúdicas integradas en

un taller didáctico experimental diseñado para alumnos y/o profesores de educación

media, sobre el número de oro, sus relaciones con otros números y que en cuanto a su uso

en el aula, pueden considerarse actividades integradoras, por las relaciones horizontales y

verticales establecidas con otras asignaturas y con otros contenidos de la propia

matemática.

2.1 Objetivos Específicos

Realizar una recopilación e investigación bibliográfica sobre el origen histórico y

estudios actuales (libros, papers, tesis antiguas y/o páginas web) con respecto a la

razón áurea y el número de oro (mitológica y matemáticamente).

Evidenciar la construcción de formas geométricas armónicas (triángulo, rectángulos,

pentágono y espiral), utilizando la razón áurea, y visualizar su representación artística

y arquitectónica.

Presentar las bases explícitamente matemáticas que envuelven al número de oro y su

representación como ecuación algebraica (y su asociación a los números metálicos),

en una sucesión (de Fibonacci) y en forma exponencial (potencias).

9

Desarrollar problemas matemáticos que involucren al número de oro y muestren los

desarrollos matemáticos necesarios que conlleven a resultados llamativos sobre este

número.

Crear y/o modificar actividades lúdicas y confeccionar con ellas un taller didáctico

experimental que incluya desarrollos en un software dinámico libre, como GeoGebra,

con experiencias y posibles resultados que evidencien las principales características y

formas de visualización del número áureo.

10

3. Antecedentes y marco teórico

3.1 El número φ en la historia

El número φ, así como muchas otras temáticas y aspectos ligados a la matemática, se

origina sobre un contexto histórico que nos lleva a preguntarnos si ¿fue creado por el

hombre? o bien, si ¿fue descubierto por el hombre y extraído desde la naturaleza?. Sin

embargo, lo que sí podemos afirmar es que ambas preguntas son difíciles de responder y de

separar como posibles causas independientes.

A continuación, será presentada una sinopsis histórica que abarca a algunos (no

todos) grandes personajes que de alguna u otra manera conocieron, admiraron y/o utilizaron

el número φ.

3.1.1 Antigua Grecia y Egipto

Nuestra primera aproximación a este número, la encontramos ligada a grandes

construcciones realizadas por arquitectos griegos y egipcios en tiempos anteriores al

nacimiento de Cristo. En ambas civilizaciones se buscaba la majestuosidad y a la vez la

belleza estética en sus templos lo que conllevó a la aparición de ciertas geometrías

estructurales que permitieron ir visualizando una proporción particularmente armoniosa

ligada directamente al número de oro φ, denominada razón áurea o proporción divina3.

La moderna denominación φ, la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor

al escultor y arquitecto Fidias (490 - 430 A. C.) ya que ésta era la primera letra de su

nombre escrito en griego. Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético

atribuido a sus esculturas, y porque utilizó la razón áurea en la construcción del Partenón

3 La proporción es una relación entre dos magnitudes cuantificables (en estos casos de alturas, anchuras y/o largos de las

construcciones). El nombre de proporción divina se debe a que tales edificaciones justamente proporcionan armonía y

majestuosidad, a estos templos asociados a dioses y divinidades en estas culturas.

11

(Figuras N°1 y N°2), que es de las más importantes, imponentes y antiguas construcciones

realizadas por el hombre, cuyas ruinas aún se mantienen en nuestros tiempos.

Figura N°1 y N°2: Ruinas a del Partenón y rectángulo áureo en su fachada frontal.

Esta construcción, el Partenón, es uno de los ejemplos más claros del saber en

geometría por parte de los matemáticos y arquitectos griegos ya que lograron obtener el

efecto visual más estético, armonioso y majestuoso con certeras alteraciones geométricas en

su construcción. Es así, que es posible visualizar entre otras características, por ejemplo,

que su fachada frontal queda inserta, aproximadamente, dentro de un rectángulo áureo4.

Se ha encontrado, también el número φ presente en obras del antiguo Egipto. Esto

debido a que los egipcios se basaban en las medidas humanas para proyectar sus

construcciones (luego veremos la relación de la fisiología humana y este número). Así

entonces, se encuentra que en la gran pirámide de Keops (Figuras N°3 y N°4) la relación

entre su altura y la mitad de un lado de su base es, aproximadamente φ.

La pirámide de Keops fue construida hace 4500 años, y es una de las primeras

aplicaciones arquitectónicas en la que encontramos al número φ. Como mencionamos

anteriormente, no necesariamente implica que los egipcios conocieran φ, si no que, en una

búsqueda de relaciones armoniosas, “casualmente” dieron con una que envuelve a este

número.

4 Rectángulo Áureo es aquel rectángulo cuyo lado mayor dividido en su lado menor es aproximadamente el número φ (se

detallará su construcción más adelante).

12

Figura N°3 y N°4: Pirámide de Keops y Relación de la pirámide con el número φ.

Ahora bien, dentro del contexto formal, a lo que nos conduce este trabajo, podemos

encontrar que la primera publicación oficial hallada y que involucra el número φ, sin ser

descrito como tal, se encuentra en el clásico Los Elementos5 de Euclides, que data del año

300 a. C. aproximadamente. Ahí, se define y se formaliza una proposición, pero en ambas,

se habla de una forma geométrica de dividir o cortar una recta de tal manera que sus lados o

formas que genere con ellas se encuentren en una determinada proporción o razón (que es

la razón áurea, como cociente entre las longitudes de los segmentos de recta resultantes

luego de la división).

Cabe destacar, que como en muchos otros temas científicos y matemáticos el número

φ (como tal o como proporción) era conocido en la antigua Grecia y que Euclides, en la

Universidad de Alejandría, y en particular en el tratado Los Elementos, (Figura N°5), diseña

una brillante síntesis de geometría, álgebra y aritmética recopilada en especial desde la

escuela pitagórica entre 570 - 480 a. C. aproximadamente.

5 Página web con ilustraciones y actualizada de “Los Elementos” de Euclides, disponible en

http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm

13

Figura N°5: Fragmento de los Elementos de Euclides, datado hacia el año 100 A. C. El diagrama acompaña la

Proposición 5 del Libro II.

3.1.2 Edad Media y Renacimiento

Posterior al nacimiento de Cristo y durante casi toda la Edad Media ocurre un

estancamiento general del desarrollo obtenido por los griegos y civilizaciones del medio

oriente con respecto a las matemáticas y en directa manera del número φ. Esta

“paralización científica” fue influenciada directamente por el fervor e imposición religiosa

y también por guerras entre los principales imperios y civilizaciones existentes (que

conllevan, por ejemplo, a la pérdida de libros al ser quemados en las invasiones).

Sin embargo, durante este periodo oscuro y bélico existieron ciertos personajes

(muchos de ellos clérigos, debido a su fuerte posicionamiento social en esos tiempos) que

de alguna manera u otra fueron conservando y transmitiendo de generación en generación

bases mínimas y útiles de las matemáticas, haciendo hincapié en la geometría ya que era

aplicable directamente en sus construcciones (como templos religiosos).

Uno de estos personajes, un matemático italiano, llamado Leonardo de Pisa (1175 -

1240), conocido como Fibonacci, (Figura N°6), se destaca en este periodo debido

principalmente a su pensamiento sin prejuicios, su conocimiento de otras culturas y su

14

profundización de varios asuntos matemáticos. La vinculación de Leonardo de Pisa con el

número φ surge de la relación directa entre su conocida sucesión6 (de Fibonacci) ya que la

razón entre dos sucesivos términos de ésta se aproxima al número φ.

Figuras N°6 y N°7: Retratos de Leonardo de Pisa (Fibonacci) y Leonardo da Vinci.

Luego del aletargado periodo medieval, surge en Europa un florecimiento espiritual y

científico que conlleva a un período de revolución cultural denominado como

Renacimiento. Es así, que un fraile llamado Luca di Borgo (nacido en 1445), más conocido

como Luca Pacioli, utiliza el número φ en su libro "De Divina Proportione" (la Divina

Proporción) término relativo a la razón o proporción ligada al denominado número áureo o

número de oro. El nombre de “número de oro” se debe al notable pintor italiano Leonardo

da Vinci, (Figura N°7), quien trabajó en las ilustraciones del libro de Pacioli, mencionado

anteriormente, y que se publicó en 1509. Es así que el número áureo, se junta al interés

matemático y el interés artístico de Leonardo y para numerosos otros artistas representando

la máxima expresión de la belleza, como la “proporción perfecta”, apareciendo en

innumerables edificios y obras de arte desde la antigüedad hasta nuestros días.

6 Más detalles de ésta sucesión y sus particularidades son presentados más adelante

15

Una representación muy conocida y que involucra el número áureo es ilustrada

magníficamente por Leonardo Da Vinci en el “Hombre de Vitrubio”. En esta obra se

representa explícitamente, entre otras proporciones, a la razón áurea en muchas secciones.

Una evidencia importante se establece comparando la altura total de la persona con la que

hay hasta su ombligo (Figura N°8) o como las falanges dividen el dedo según la razón

áurea. Además, existen también otras proporciones áureas en pies, brazos y en la división

entre la distancia del ombligo a los pies con la del ombligo a la cabeza, donde también se

obtiene, aproximadamente φ.

Figura N°8: El hombre de Vitrubio, Leonardo da Vinci, 1487.

ht

ho

16

3.1.3 Tiempos Modernos

Posterior al Renacimiento existen muchos autores entre matemáticos o artistas que

utilizan el número áureo y su proporción asociada. Cada uno de ellos aporta en gran medida

a la visualización científica y arquitectónica formal de este número irracional. Entre los

principales personajes que se destacan en este periodo se encuentra a Martin Ohm,

matemático alemán, que escribió sobre la sección áurea en 1835 en su libro "Die reine

elementar-mathematik", también fue el primero en utilizar la denominación “phi” en honor

a Fidias para este número. Luego, el filósofo alemán, doctor en filosofía y profesor, Adolf

Zeising (1810 - 1876), estudió la proporción áurea desde el punto de vista estético y

arquitectónico, buscando esta proporción en los monumentos clásicos. Se menciona que es

él quien introduce el lado mítico y místico del número φ. Otro personaje interesante fue

Matila Ghyka, rumano y último príncipe de Moldavia reinante, quien se destacó por un

exhaustivo estudio de la sección áurea, en la arquitectura y la naturaleza, a la cual fueron

dedicados voluminosos textos con títulos, por ejemplo, como “Esthétique des Proportions

dans la Nature et dans les Arts”, traducido como “Estética de las proporciones en la

naturaleza y en las artes”, de 1927.

Sin embargo, uno de los principales personajes de esta época que estudió y difundió

al número de oro, fue el arquitecto Suizo-Francés Charles Édouard Jeanneret-Gris,

conocido como “Le Corbusier”. Siendo considerado uno de los arquitectos más influyentes

del siglo XX, Le Corbusier ideó el “Modulor”, (Figura N°9), que era un sistema de medidas

arquitectónico basado en las proporciones humanas, en que cada magnitud se relaciona con

la anterior por el número áureo φ. Fue desarrollado entre los años 1948 a 1953 y de esta

forma retomaba el ideal antiguo (de griegos y egipcios) de establecer una relación directa, a

través del número áureo, entre las proporciones de los edificios y las del hombre.

17

Figura N°9: El “Modulor” de Le Corbusier.

Finalmente, podemos mencionar que durante este periodo de tiempos modernos

muchos artistas plásticos y pintores han utilizado de alguna manera u otra la armonía,

belleza y estética presentada por el número áureo, lo cual quedará establecido en los

siguientes capítulos.

18

3.2 La Razón Áurea o Divina Proporción

Como hemos mencionado en las secciones anteriores, el significado de “Razón

Áurea” o “Divina Proporción” corresponde a la denominación que se ha dado para aquella

proporción entre dos magnitudes medibles, como forma geométrica o bien en

construcciones que genera, premeditadamente o no, el número φ. Se denomina “de oro” por

su armonía y belleza, tal como lo hace este metal como pieza de adorno en construcciones y

en humanos y de ahí la propuesta de nombrarla (a la razón) como áurea (que viene de

dorado como el oro). Ahora bien, lo “divino” se debe a la asociación mística de

construcciones, como templos o iglesias, hacia las divinidades (de ahí lo “divino”) de

antiguas civilizaciones.

A continuación, se presentará una definición formal de la razón áurea y luego algunas

construcciones de formas geométricas muy utilizadas en la arquitectura y el arte

3.2.1 Definición geométrica

La definición formal de la Razón Áurea aparece en la el Libro VI (definición 3), de

Los Elementos de Euclides, como: “Se dice que una recta” (finita) “ha sido cortada en

extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento

mayor es al segmento menor”.

Tal definición, puede tratarse como un problema que se resuelve con regla y compás

(que era la manera eficaz y popular de resolver los problemas matemáticos antiguamente en

tiempos de los Bernoulli y Euler, entre otros). Así, dado un segmento AB de longitud l se

dice que un punto M lo divide en “media y extrema razón” si se verifica la siguiente

relación:

a b a

a b

19

Siendo l a b , a el lado mayor y b el lado menor del segmento AB cortado en el

punto M. Lo anterior, se representa en forma gráfica como sigue (Figura N°10):

Figura N°10: Segmento dividido en media y extrema razón.

De tal división, se cumple que 1,61803l a

a b . Una construcción en software de

este segmento y su partición en media y extrema razón, aparece en la actividad N°1 del

taller didáctico a realizar.

3.2.2 El Rectángulo áureo

El rectángulo áureo es un paralelógramo, con ángulos interiores rectos, cuyo lado

mayor es al lado menor, en proporción, igual al número φ, (Figura N°11). Este rectángulo

es posible de construir usando regla y compás. Una construcción en software aparece en la

actividad N°2 del taller didáctico a realizar.

Figuras N°11: Rectángulo Áureo construido en software GeoGebra.

b

l=a+b

a

20

Cabe destacar, que las medidas de los lados no son únicas ya que lo importante es la

proporción entre ellas, la cual genera el número áureo.

Como hemos mencionado brevemente, en los capítulos anteriores, el rectángulo áureo

comienza a aparecer en muchas construcciones y obras de artes como esculturas y pinturas,

desde ya la antigua Grecia (ya vimos el rectángulo áureo en la fachada del Partenón, en

Figuras N°1 y N°2) hasta nuestros tiempos modernos.

A modo de ejemplo, podemos a continuación apreciar el rostro de la Gioconda de

Leonardo da Vinci, en el cual se inscribe un rectángulo áureo (Figura N°12) para

contemplar y comprobar subjetivamente su armonía y estética.

Figuras N°12 y N°13: La Gioconda de Leonardo da Vinci, y Edificio de la ONU en Nueva York, Estados Unidos.

Una construcción moderna que representa muy gráficamente al rectángulo áureo es el

edificio de la ONU de Nueva York que es un rectángulo áureo que a su vez tiene marcas

distintivas lo dividen, de nuevo, según la razón áurea (Figura N°13).

21

Además, aprovechando su armonía y belleza “natural”, el rectángulo áureo ha sido

utilizado, actualmente, en objetos comerciales como avisos publicitarios y, entre otros, en

las tarjetas de crédito (Figura N°14):

8,261,607

5,14

Figura N°14: Proporciones áureas en tarjeta de crédito.

3.2.3 El Pentágono regular y el triángulo áureo

El pentágono regular está muy ligado al número áureo, ya que al trazar sus

diagonales se encuentran relaciones entre ellas y en los triángulos interiores que se forman,

como se presentan a continuación (Figura N°15).

Figura N°15: Pentágono Regular y triángulos áureos, construido en GeoGebra.

22

Podemos visualizar que se forman dos tipos de triángulos áureos (un tipo son los dos

triángulos en amarillo, y el otro es un tercer triángulo destacado en celeste, desde la Figura

N°16). Así, se tienen dos triángulos isósceles cuya proporción entre su base y uno de sus

lados congruentes generan al número φ. La asociación directa de este par de triángulos la

podemos encontrar en un famoso cuadro del pintor español Salvador Dalí llamado “Cristo

de San Juan de la Cruz” y que fue realizado en 1951.

Figura N°16: Imagen del “Cristo de San Juan de la Cruz”, de Salvador Dalí.

23

Es muy probable que, debido a lo místico y divino asociado a la razón áurea, el

pentágono o más bien el pentagrama asociado a éste (estrella de cinco puntas inscrita en un

pentágono regular) fuese utilizada en muchas culturas como símbolo religioso o de

sociedades, como la escuela pitagórica (Figura N°17) y de ahí a que se le conozca también

como estrella pitagórica.

Figura N°17: Manuscrito griego de los siglos XI-XII donde se visualiza el pentagrama místico de los pitagóricos.

Existe otro tipo de triángulo, igualmente asociado a la razón áurea llamado

“Triángulo de Kepler”, en honor a su descubridor Johannes Kepler (1571 - 1630), que fue

un astrónomo alemán y que consideró al numero φ como uno de los grandes tesoros de la

geometría. El triángulo de Kepler es rectángulo y combina dos conceptos clave de la

matemática, el teorema de Pitágoras y el número áureo, ya que sus lados están en la

proporción 1: : , y por lo tanto, se cumple que:

24

2 1

Esta expresión matemática es el polinomio característico o ecuación general del

número áureo que detallaremos más adelante. El área de los cuadrados construidos sobre

los catetos e hipotenusa formados en este triángulo son presentados a continuación (Figura

N°18).

Figura N°18: Triángulo de Kepler y área formada por sus catetos.

3.2.4 La razón áurea en la fisiología humana y la visión

Además de apreciar a la razón áurea de modo geométrico-arquitectónico es posible

encontrarla en la naturaleza y en específico en el cuerpo humano. Es así, que ya en el siglo

XX, un destacado investigador del número de oro, llamado Zeysing (nacido en 1850)

realiza investigaciones y observa el crecimiento en los seres humanos, de ambos sexos, y

establece una ley estadística (“Proportional Gesetz”) que fija una proporcionalidad

aparente entre las partes del cuerpo en 13 8 1,625 para el hombre y 8 5 1,6 para la

mujer. Estas dos relaciones son próximas (o bien, como cotas superior e inferior) a

1,61803 y además tienen números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci (que

veremos más adelante).

φ

1

25

Cabe mencionar, como ya fue descrito en el “Hombre de Vitrubio” por Leonardo da

Vinci, que es posible evidenciar la razón áurea en las falanges de la mano humana (Figura

N°19).

1,61803A B

B C

Figura N°19: Proporciones áureas en falanges de la mano.

Los trabajos de Zeysing fueron ampliados por Sir Th. Cook en “The Curves of Live”

y por Gustav Theodor Fechner, el inventor de la Psicología física, cuando en 1876, realizó

una secuencia de experiencias de estadística estética, solicitando a muchas personas que

eligieran entre diferentes rectángulos concluyendo que la mayoría se inclinó hacia el

rectángulo áureo.

Esto es una suerte de confirmación de una ley expresada por Zeysing que decía

“para que un objeto sea considerado bello desde el punto de vista de la forma debe haber

entre la parte menor y la mayor la misma relación que entre la mayor y el todo”.

Por otro lado, utilizando los ángulos promedio de visión horizontal y vertical del ojo

humano, más el teorema del seno en triángulos formados por estas líneas de visión, se ha

podido establecer que la zona donde la visión humana es más cómoda (no en los bordes

límites) tiene proporciones, aproximadamente, áureas. Así, por ejemplo, es posible insertar

un rectángulo áureo en la zona de estereovisión que es la zona de dominio simultáneo de

ambos ojos (Figura N°20).

26

Figura N°20: Zonas de visión humana y relación con las proporciones áureas.

Zona visión

ojo izquierdo Zona visión

ojo derecho

Rectángulo

áureo

Rectángulo

áureo

27

3.3 El número de oro desde un punto de vista matemático

Conocida la construcción geométrica del número φ, es posible además encontrarlo

definido algebraicamente, por una ecuación o bien al calcular el límite de una sucesión.

Estos dos y otros puntos de vista matemáticos de definición, más sus características y

aplicaciones son presentados a continuación.

3.3.1 Ecuación general y números metálicos

El número φ es notable por estar entre los números que se definen por una

proporción, que son raíces de ecuaciones algebraicas y que no son posibles de representar

como cociente de dos números enteros. Por lo tanto, se clasifican como números

irracionales algebraicos.

En el siglo XX se han estudiado otros números irracionales algebraicos que por la

forma como se definen constituyen una generalización del número de oro. Son los llamados

“Números Metálicos” que se pueden definir como las raíces positivas de la ecuación

cuadrática:

22 4

1 02

N Nx Nx x

Precisamente, se tiene que para N = 1 obtenemos el número de oro, luego con N = 2

el de plata y así sucesivamente, como se presenta a continuación:

2

1 51,61803

1 1 1 4 1 5 2

(oro) 2 2 1 50,61803

2

Nx

22 1 2 2,414212 2 4 2 81 2

(plata) 2 2 1 2 0,41421

Nx

28

2

3 133,30277

3 3 3 4 3 13 2

(bronce) 2 2 3 130,30277

2

Nx

24 2 5 4,236064 4 4 4 202 5

(cobre) 2 2 2 5 0,23606

Nx

Tal como el rectángulo áureo (de oro), es posible construir geométricamente el

rectángulo de Plata, el rectángulo de Bronce, etc. Este conjunto de rectángulos se les ha

denominado como los “Rectángulos Metálicos”.

Figura N°21: Rectángulos metálicos construidos en GeoGebra.

29

Existe un aspecto muy interesante sobre los números metálicos que se genera al

descomponer éstos en fracciones continuas, estableciendo así una interesante propiedad.

Como explicación a la descomposición en fracciones continuas, se expondrá a

continuación la descomposición del número 14

5 y su notación definida por los coeficientes

enteros que aparecen:

14 10 4 10 4 4 1 1 1

2 2 2 2,1,45 4 1 15 5 5 5 5

4

2

144

En efecto, y como visto anteriormente, si tomamos la ecuación cuadrática

2 1 0x Nx , con N = 1 se obtiene el número de oro como solución positiva. Si

asumimos 0x y dividimos ambos miembros de dicha ecuación (con N = 1) obtenemos:

2 1 11 0 1 0 1x x x x

x x

Ahora bien, si remplazamos iteradamente el valor de “x” en el miembro derecho se

obtiene:

1

1 1,1,1, 11

11

1

x

Como los coeficientes “1” se repiten indefinidamente aparece la notación 1 (que

significa periódico puro, ya que es un solo número el que se repite) y podemos formalizar

otra definición del número áureo como descompuesto en fracciones continuas periódica

pura.

30

Análogamente, resolviendo la ecuación cuadrática 2 1 0x Nx , con N = 2 se

obtiene el número de plata como solución positiva y descompuesto en fracciones continuas

se obtiene:

2 1 1 12 1 0 2 0 2 2 2,2, 2

12

x x x xx x

En resumen, resolviendo ecuaciones cuadráticas del tipo 2 1 0x Nx , con N

natural, se obtienen como soluciones positivas miembros de la familia de números

metálicos cuya descomposición en fracciones continuas es periódica pura, de la forma:

x N

3.3.2 La sucesión de Fibonacci y su espiral

Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del

siglo XIII (ya descrito en el primer capítulo) y que es más conocido como Fibonacci

(diminutivo de hijo de Bonacci que era el apodo de su padre). Esta sucesión tiene

numerosas aplicaciones en ciencias, ya que aparece en configuraciones biológicas, como

por ejemplo, en las ramas de los árboles y en el crecimiento poblacional de conejos

(problema inicial que plantea y aplica la sucesión Fibonacci), entre muchas otras.

Desde el punto de vista matemático, la sucesión de Fibonacci (nF ) es una sucesión

infinita de número naturales definida como:

1 2 1 2; / 2 ; 1 1n n nF F F n n F y F

Así, la secuencia de números que se forman (llamados elementos o términos de

Fibonacci), como suma de los dos anteriores, es:

31

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

La importancia de esta sucesión tiene que ver con la convergencia del cociente entre

dos sucesivos términos de ella. Si se denota el n-ésimo término de Fibonacci como nF , y al

siguiente, como 1nF , descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón oscila, y es

alternadamente menor y mayor que la razón áurea.

1 2 3 5 8 13 21 34 55 891; 2 ; 1,5 ; 1,6 ; 1,6 ; 1,625 ; 1,6153 ; 1,6190 ; 1,6176 ; 1,6181

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Es posible conjeturar que: 1lim n

nn

F

F

Además, con los mismos números de la sucesión de Fibonacci, veremos que es

posible construir una curva especial en forma de espiral, que es una buena aproximación de

una espiral logarítmica, la cual se construye geométricamente a través de cuadrados de lado

igual a los términos de su sucesión (Figura N°22):

Figura N°22: Espiral de Fibonacci construida en GeoGebra.

32

Ahora bien, esta espiral se aproxima a la espiral áurea que se construye con una

iteración de rectángulos áureos (actividad del taller propuesto), lo cual podemos observar a

continuación:

Figura N°23: Espiral Áurea construida en GeoGebra.

Lo maravilloso de estas espirales es que representan a muchos fenómenos físicos de

la naturaleza. Por ejemplo, en la estructura de conchas de moluscos como el “nautilus”, en

la forma de tornados, huracanes y galaxias, en la disposición del polen en el corazón de

ciertas flores y en el vuelo en descenso de un halcón hacia su presa, entre otras

espectaculares semejanzas (Figuras N°24 y N°25).

Figuras N°24 y 25: Imagen de una Galaxia y “corazón” de un girasol.

33

4. Problemas y desarrollos didáctico-matemáticos

En este capítulo se expondrán algunas comprobaciones, demostraciones y actividades

lúdico-matemáticas creadas y/o modificadas sobre los antecedentes y marco teórico,

descrito en el capítulo anterior.

4.1 Visualizando antiguas edificaciones áureas

Comenzaremos comprobando si las antiguas edificaciones revelan las dimensiones

del número de oro en sus construcciones. En primer lugar, intentaremos verificar si la

fachada del Partenón está inmersa dentro de un rectángulo áureo. Las dimensiones exactas

no son fáciles de encontrar en bibliografía y referencias pero, en general, y

aproximadamente, se establecen las siguientes7:

Largo de la planta de 69,5 metros.

Ancho de la planta 30,88 metros

La altura máxima se estima en unos 13,72 metros (en centro de la fachada).

Altura de columnas 10,43 metros, media.

4.1.1 Problema N°1: Encontrar la relación entre las dimensiones del Partenón

Según dimensiones dadas, la razón con la cual fue diseñado, aparentemente, el

Partenón fue de 9 : 4r , lo cual es verificable ya que:

largoancho

alto ancho

30,88 69,50 92,25 , 2,25 y 2,25

13,72 30,88 4

7 Referencias sobre las dimensiones del Partenón en http://www.metrum.org/key/athens/dimensions.htm y

http://www.mlahanas.de/Greeks/Arts/Parthenon.htm (adicionalmente esta última página presenta un video magnifico de la

historia de construcción y reconstrucciones del Partenón).

34

Con lo cual no se establece la razón áurea. Sin embargo, tal relación expresa las

medidas rectangulares del edificio sin contar con su techo y sus peldaños de acceso. Una

aproximación de medidas sobre una foto actual y con buena resolución se presenta a

continuación (Figura N°26):

Figura N°26: Fachada del Partenón y medidas (en metros), aproximadas.

Así, tomando en consideración el techo triangular más todos los peldaños, la altura

que impone el Partenón es de 19,09 metros, aproximadamente, con lo cual:

ancho

alto

30,881,6176

19,09

Siendo esta última, una explicación a la asociación de esta edificación con el número

de oro, ya que de esta forma, se puede insertar un rectángulo áureo en torno a su fachada

(presentadas en Figuras N°1 y N°2).

1

0

,

4

3

1

3

,

7

2

≈3,54

≈1,83

35

En segundo lugar, verificaremos si la Pirámide de Keops, presenta similitudes en sus

relaciones dimensionales con el número áureo. El egiptólogo británico Sir William

Flinders, hizo el estudio más detallado realizado hasta el momento acerca del monumento,

siendo sus dimensiones las siguientes8:

Altura actual de 136,86 metros (altura original de 146,61 metros)

Pendiente: 51º 50' 35"

Media de la longitud de los lados de la base de 230,347 metros.

4.1.2 Problema N°2: Encontrar la relación entre las dimensiones de la Pirámide de

Keops

Según las dimensiones dadas, un triángulo formado en el centro de la pirámide

tendría las siguientes dimensiones (Figura N°27):

Figura N°27: Representación transversal triangular interna de las dimensiones de la pirámide de Keops,

construida en GeoGebra.

8 Extraído desde http://es.wikipedia.org/wiki/Gran_Pir%C3%A1mide_de_Guiza

36

Así, observamos que la razón áurea aparece cumpliéndose las relaciones tal como

nuestros antecedentes lo establecían (equivalentes hasta 3 decimales).

4.2 Proposición áurea de “Los Elementos” de Euclides

En el capitulo anterior (subcapítulo 3.2.1), fue descrita la definición geométrica

formal de la razón áurea tal como aparece en el libro “Los elementos” de Euclides. Ahora

bien, en el libro VI, aparece una proposición (la número 30) que señala otra definición de la

proporción áurea, presentada en el siguiente problema:

4.2.1 Problema N°3: Verificar geométricamente que “el área del cuadrado

construido sobre el segmento mayor es equivalente al área del rectángulo cuyos lados

son el segmento menor y toda la línea”, (sobre un segmento dividido en extrema y

media razón)

Se construye, sobre un segmento dividido en media y extrema razón, un cuadrado y

un rectángulo, siguiendo las indicaciones del texto presentado en el problema y se visualiza

como sigue (Figura N°28):

Figura N°28: Representación de la Prop. N°30, libro VI de Los Elementos, construida en GeoGebra.

37

Sea cual sea la medida del segmento, se comprueba que las áreas del cuadrado y

rectángulo construidos tienen igual valor numérico (esto se visualiza moviendo cualquiera

de los dos puntos originales del segmento, en un software geométrico-dinámico como

GeoGebra). Podemos comprobar algebraicamente, definiendo que el segmento todo tenga

longitud igual a “ 1x ”. Así: se tiene la siguiente relación:

211

1

xx x

x x

Por lo tanto, el área del cuadrado A sobre el lado mayor de la división del

segmento (en media y extrema razón) y el área del rectángulo A son:

2 1 1 1A x A x x A A

4.3 Otras formas de la sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci, asociada con el número áureo, visto en el capítulo anterior,

se conoce generalmente a través de una fórmula general que entrega el valor de cada

término según el valor de los dos términos anteriores. Sin embargo, es sabido que es

posible establecer una fórmula general para los sucesivos elementos de una sucesión.

4.3.1 Problema N°4: Demostrar que el término general de la sucesión de Fibonacci

es:

1

1 1 5 1 5

2 25

n n

nF

Haremos la demostración por Inducción Matemática, tomando como antecedente a

nuestra definición inicial de la sucesión de Fibonacci:

x 1

38

1 2 1 2; / 2 ; 1 1n n nF F F n n F y F

Primero verificamos que para n=3, (nuestro primer término) se verifica el tercer

elemento de la sucesión como sigue:

3 33 3

3

2 3 2 33 2 3 2

1 1 5 1 5 1 11 5 1 5

2 2 85 5

11 3 1 5 3 1 5 5 1 3 1 5 3 1 5 5

8 5

11 3 5 3 5 5 5 1 3 5 3 5 5 5

8 5

1 1 16 51 3 5 15 5 5 1 3 5 15 5 5 6 5 10 5 2

8 5 8 5 8 5

F

Luego, asumimos como verdadera a 1 1 5 1 5

2 25

k k

kF

y demostraremos

que

1 1

1

1 1 5 1 5

2 25

k k

kF

también lo es.

Tomamos el antecedente original y lo asumido como hipótesis ( kF ):

1 1

1 1

1 1

1 1 5 1 5 1 1 5 1 5

2 2 2 25 5

1 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5

2 2 2 2 2 25

1 1 5

25

k k k k

k k k

k k k k

F F F

1

2 1 5 2 1 1 5 3 5 1 5 3 51 1

2 2 21 5 1 5 5 1 5 1 5

1 1 5 3 5 1 5 1 5 3 5 1 5

2 25 1 5 1 5 1 5 1 5

k k k k

k k

1

39

3 51 1 5

25

k

1 5

2 3 5

3 51 5

2

k

1 5

2 3 5

1 11 5 1 51 1 5 1 5 1 1 5 1 5

2 2 2 2 2 25 5

k k k k

Por lo tanto, se comprueba que es posible describir el término general de la sucesión

de Fibonacci, en función del número de oro:

1

1 1 5 1 5 11

2 25 5

n n

n n

nF

4.4 Potencias de φ

Desde la ecuación algebraica que define a nuestro número de oro 2 1 0x x se

infiere que φ es solución de la misma y por lo tanto cumple:

2 21 0 1

4.4.1 Problema N°5: Probar que las potencias del número de oro cumplen la

relación 1 2n n n , para todo n>1

Primero probamos la relación:

2 3 2

3 2 4 3 2

1 2 3 1 2

1 / ya que 0

/

/n n n n n n

40

Sin embargo, lo importante podría ser el resultado que generan estas potencias (desde

1 2n n n ):

1 01n 1

1 2 2

2 1 0

1 1 51 1 1 0

2

2n

12 2

3 2 1 2

1 51 1 0

2

1 53 1 0 0

2n

1 2 2 1

2

2 1 51 0 0 0

2

k kk k k k k k k

k k

n k

Con lo cual, descartando una solución trivial igual a cero, se obtiene siempre el

número de oro y su “conjugado” (1 5 1 5

y 12 2

).

4.4.2 Problema N°6: Investigar la existencia de una relación similar a la anterior

con las potencias del número de plata (n=2) y el número de bronce (n=3)

Visualizando la ecuación algebraica y la formulación en potencia anterior se puede

inferir para el número de plata y el número de bronce lo siguiente:

Para n = 2, el número de plata: 1 22n n n

1 01 2n 1

1 2 2

2 1 0

12 2 1 2 1 0 1 2

2 2n

12 2

3 2 1 2

2 1 2 1 0 1 2

3 2 2 1 0 0 1 2n

1 2 2 1

2

2

2 2 2

2 1 0 0 0 1 2

k kk k k k k k k

k k

n k

Para n = 3, el número de bronce: 1 23n n n

41

1 01 3n 1

1 2 21 3 133 3 1 3 1 0

2

2 1 02 3n

12 2

3 2 1 2

3 133 1 3 1 0

2

3 133 3 3 1 0 0

2n

1 2 2 1

2

2

3 3 3

3 133 1 0 0 0

2

k kk k k k k k k

k k

n k

Por lo tanto, hemos visualizado fórmulas para las potencias n-ésimas de una ecuación

cuyo resultado, no trivial, genera el número de plata y el número de bronce.

4.5 Comparando números descompuestos en fracciones continuas

Ya que todo número real puede ser desarrollado en fracciones continuas, se propone a

continuación presentar una comparación y evidenciar una afirmación entre tres números

irracionales.

4.5.1 Problema N°7: Comparar las descomposiciones de los números irracionales e,

π y φ

Primero, describimos los tres números con 10 cifras decimales:

2,7182818284 , 3,1415926535 , 1,6180339887e

La descomposición en fracciones parciales sería la siguiente:

a) Para e y como 2 3e , se tiene que:

42

1,4

2,5

1,8

1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2

3 1 1 111 1 1 1

3 8 1222 2 2333

3 8

e ee

eeee

eee

e

1,4

4,5

1 1 1 12 2 2 2

1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 12 2 2 2

11 4 1 1 11 1 1 1

7 19 13 83 81 1

11 411 411 4

7 19

e

eee

eee

e

Entonces se puede evidenciar que 2,1,2,1,1,4e cuyo significado se aprecia en la

fracción racional de aproximación:

5

1 1 1 1 12 2 2 2 2

1 1 1 1 11 1 1 1 1

1 1 1 1 52 2 2 2 2

1 1 4 9 91 1 1

1 5 5 51

4 4

1 1 1 23 872 2 2 2 2,71875

1 9 32 32 321 1

23 23 23

9

e

Así, se puede observar que en la quinta fracción racional de aproximación el valor es

exacto hasta 3 decimales.

b) Para y como 3 4 , se tiene que:

7,1

15,9

1 1 1 13 3 3 3 3 3

22 7 1 117 7 7

106 333333 1522 722 7

43

1,003

1 13 3

1 17 7

1 115 15

355 11322 71

106 333106 333

Entonces se puede evidenciar que 3,7,15,1 cuyo significado se aprecia en la

fracción racional de aproximación:

3

1 1 1 16 3553 3 3 3 3,1415929

1 1 113 113 1137 7

1 16 1615

1

Así, se puede observar que en la tercera fracción racional de aproximación el valor

es exacto hasta 6 decimales.

c) Finalmente, para y como 1 2 , se tiene que:

1,6

1,6

1,6

1,6

1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 11 1 1 1 1 12 3 1 11 11 1 1 1

5 32 22 12 32 3

1 11 1 1

1 11 1

1 11 1

1 11 1

5 82 3 15 35 3

1,6

1 11

1 11 1

1 11 1

1 11 1

1 11 1

13 85 3 15 85 8

44

1,6

1,6

1 1 11 1 1

1 1 11 1 1

1 1 11 1 1

1 1 11 1 1

1 1 11 1 1

1 1 11 1 1

13 21 15 8 1 113 8 13 813 8

13 21

Entonces se puede evidenciar que 1,1,1,1,1,1,1,1 cuyo significado se aprecia en

la fracción racional de aproximación:

7

1 1 11 1 1

1 1 11 1 1

1 1 11 1 1

1 1 11 1 1

1 1 11 1 1

1 1 11 1 1

1 1 1 21

1

1 1 1 1 11 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 1 1 1

1 1 1 3 81 1 1 1

1 2 5 5 51 1

3 3 3

2

1 1 1 1 13 341 1 1 1 1 1,6190

1 1 8 21 21 211 1 1

5 13 13 131

8 8

476190

Así, se puede observar que en la séptima fracción racional de aproximación el valor

es exacto hasta 2 decimales.

Al comparar la descomposición entre los tres números irracionales presentados y al

verificar que la descomposición del número de oro, presentará sucesivos e infinitos “unos”

45

podemos concluir que “el número de oro es el más irracional de todos los irracionales”

[Spinadel].

4.6 El número áureo en polinomios de cuarto grado

Un aspecto muy interesante del número de oro es que puede encontrarse en diversos

aspectos matemáticos relativamente “inesperados”. Es así, que en el año 2005, Mcmullin y

Weeks, en su libro “The Golden Ratio and Fourth Degree Polynomials”, describe un

peculiar aparecimiento del número áureo, que se introduce en el mundo del Cálculo, y en

particular, en desarrollos que involucran a un polinomio de cuarto grado. A continuación,

describiremos, en el problema a desarrollar, los notables descubrimientos realizados:

4.6.1 Problema N°8: Visualizar las relaciones encontradas entre los puntos de

intersección de un polinomio de cuarto grado y una recta que pasa por los puntos de

inflexión de dicho polinomio

Para este problema necesitamos de una herramienta como GeoGebra para graficar y

visualizar las relaciones entre los puntos en cuestión. Comenzamos escogiendo a

4 3 22 3 5 1P x x x x x como un polinomio de cuarto grado, a modo de ejemplo. Su

gráfica, (Figura N°29), presenta dos “ondas” que aseguran la existencia de dos puntos de

inflexión:

Figura N°29: Polinomio de cuarto grado con dos “ondas”, construido en GeoGebra.

46

A continuación, se establecen la primera y segunda derivada de P x . Con la

segunda derivada se establecen las abscisas de sus puntos de inflexión:

3 2 2

2 2

' 4 6 6 5 '' 12 12 6

'' 0 12 12 6 0 6 6 3 0

P x x x x P x x x

P x x x x x

21

2

6 108 1 30,37

6 6 4 6 3 6 36 72 12 2

2 6 12 6 108 1 31,37

12 2

i

x

i

Entonces, los puntos de inflexión son:

1 1 2 2

1 3 1 3 1 3 1 3, , , ,

2 2 2 2i P i P i P i P

Además, la recta que pasa por estos dos puntos posee la ecuación:

2 1

1 1

2 1

:P i P i

L y x i P ii i

Ahora bien, para ubicar los puntos de inflexión en el programa GeoGebra se efectúan

las derivadas del polinomio con el comando “derivada” que permite colocar la función a

derivar y el orden que se requiere (en este caso orden 2, para la segunda derivada). Además,

las abscisas de los puntos de inflexión para este polinomio serán aquellos donde la segunda

derivada sea igual a cero (como mostrado anteriormente), ubicables en el programa con la

herramienta “intersección entre dos objetos” para la función cuadrática de la segunda

derivada y el eje X (puntos A y B, de la Figura N°30).

47

Figura N°30: Segunda derivada y visualización para obtención de puntos de inflexión, construido en GeoGebra.

Así, se pueden obtener los puntos de inflexión en la barra de entrada como

, ,C x A P x A D x B P x B donde para nosotros 1 2x A i x B i .

Luego, y explicando lo realizado en el programa, con la herramienta “Recta que pasa por

dos puntos” se genera la recta L (Figura N°31).

Figura N°31: Recta que pasa por los puntos de inflexión del polinomio, construido en GeoGebra.

Esta recta intersecta la curva en otros dos puntos. Para encontrar formalmente esos

puntos de intersección se debe resolver una ecuación de cuarto grado 0P x y donde

48

es necesario la utilización de un Programa Computacional de Algebra avanzado (CAS) y un

gran trabajo de simplificación para comprobar que las abscisas de los puntos de

intersección faltantes 1 2x x están directamente relacionados con las abscisas de los

puntos de inflexión y el número de oro, mediante las siguientes fórmulas9:

1 1 2 2 2 1

1 5 1 5 1 5 1 5

2 2 2 2x i i x i i

Según estas fórmulas podemos ver que:

1 2

1 2

1 5 1 3 1 5 1 3 1 5 1 3 1 5 1 3

2 2 2 2 2 2 2 2

1 5 3 15 1 5 3 15 1 5 3 15 1 5 3 15

4 4 4 4

x x

x x

1

1 5x

3 15 1 5 32

15 1 5

4x

3 15 1 5 3

1 2

15

4

2 2 15 1 15 2 2 15 1 151,436491673103708 2,436491673103708

4 2 4 2x x

Sin embargo, y utilizando nuevamente la gran versatilidad del programa GeoGebra,

es posible ubicar los puntos de intersección de esta recta con el polinomio, simplemente

con una herramienta (“Intersección entre dos objetos”), y obtener el valor numérico de

estos puntos con una aproximación de hasta 15 decimales, con lo cual se verifica lo

entregado por las fórmulas.

A continuación, se muestra la recta L y x que pasa por los puntos de inflexión del

polinomio P x y en donde se han modificado los nombres (Figura N°32) de los 4 puntos

de intersección (nombre genérico en mayúscula según el nombre dado a su abscisa):

9 MCMULLIN, L., y WEEKS, A. (2005): The Golden Ratio and Fourth Degree Polynomials. National Council of

Teachers of Mathematics.

49

Figura N°32: Renombre de puntos en recta L, construido en GeoGebra.

Ahora, lo más interesante de esta construcción son las impresionantes relaciones entre

estos puntos y el número de oro, las cuales se visualizan a continuación (Figura N°33):

Figura N°33: Relaciones en donde se encuentra al número de oro, construido en GeoGebra.

Por último, cabe destacar que es posible encontrar otra gran relación en las áreas

generadas entre el polinomio y la recta. La relación es 1:2:1 y es posible efectuarla y

visualizarla, a través de la integración definida entre las curvas (Figura N°34).

50

Figura N°34: Relaciones de áreas encontradas por integración, construido en GeoGebra.

5. Elaboración del Taller

A continuación serán presentadas algunas reseñas sobre la realización de talleres

didácticos y sobre herramientas informáticas, como GeoGebra.

5.1 Introducción y beneficios de los talleres didácticos en GeoGebra

Los talleres didácticos como el que se presentará a continuación, surgen de visualizar

herramientas de apoyo a la docencia en Tecnologías de la Información y Comunicación

(TIC). La idea de estos talleres es presentarlos en congresos y/o seminarios para ser de

práctica ayuda a estudiantes de pedagogía en matemáticas, a estudiantes de nivel

secundario y a profesores que tengan relación y estén interesados en la actualización e

innovación con el quehacer matemático.

Sobre las herramientas informáticas como software de álgebra o geometría, existe una

gran gama de productos que se dividen en los que tienen acceso liberado (software libre de

licencias pagadas) o acceso restringido (al pago de licencias, por un tiempo limitado).

51

En nuestro taller, y bajo un aspecto muy futurista y solidario, aceptamos y difundimos

la idea de trabajar con software libre y a disposición de toda la comunidad, siendo el de

nuestra elección GeoGebra.

GeoGebra es un software de matemática, de uso libre para educación en todos sus

niveles, disponible en múltiples plataformas. Reúne dinámicamente, aritmética, geometría,

álgebra y cálculo en un único conjunto tan sencillo a nivel operativo como potente. Ofrece

representaciones diversas de los objetos desde cada una de sus posibles perspectivas: vistas

gráficas, algebraicas, estadísticas y de organización en organización en tablas y planillas y

hojas de datos dinámicamente vinculadas. Ha recibido numerosas distinciones y ha sido

galardonado en Europa y USA en organizaciones y foros de software educativo10

.

5.2 El Taller

A continuación, será presentado el taller tal cual está organizado (con distinto formato

de la tesis) por lo cual será encuadrado:

El número áureo ϕ, una propuesta didáctica.

Daniel Sánchez I. y Rosa Eugenia Trompar M.

Universidad Austral de Chile, Coyhaique, Chile.

danielsanch@gmail.com, retrumper@gmail.com

Introducción

El uso de nuevas tecnologías como recurso para la enseñanza de la matemática

requiere la intervención docente en el diseño didáctico, en la elección de los medios, en la

sistematización de los conocimientos, y en la adaptación de las herramientas tecnológicas

a las condiciones institucionales. Esto implica la necesidad de incorporar nuevos

elementos a la formación del profesorado y a la modernización de los actuales profesores.

10

Sitio Oficial del Programa en http://www.geogebra.org/cms/es

52

El propósito de este taller es presentar una secuencia de actividades sobre

construcciones geométricas que visualizan al número φ usando un software matemático

interactivo libre, llamado GeoGebra. Se enfatizará en la visualización de la “divina

proporción” que ha sido utilizados en las artes y en los emblemas históricos, relacionando

así distintas disciplinas como la pintura, escultura, arquitectura e ingeniería.

El taller está dirigido a profesores de enseñanza media con el objeto de contribuir a

incorporar en la práctica docente el uso de este recurso tecnológico y el diseño de

actividades organizadas dentro de un marco metodológico adecuado para la enseñanza de

la geometría en la escuela. Con este trabajo apostamos a potenciar un encuentro con el

quehacer matemático, entrelazando fuertemente la historia, el conocimiento y la práctica.

El taller

GeoGebra es un software libre y de plataformas múltiples que se abre a la educación

para interactuar dinámicamente con la matemática, en un ámbito en que se reúnen la

Geometría, el Algebra y el Cálculo. Lo ha desarrollado Markus Hohenwarter en la

Universidad Atlantic de Florida para la enseñanza de matemática escolar. Desde el punto

de vista geométrico GeoGebra es un sistema de geometría dinámica. Permite realizar

construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos y secciones cónicas como con

funciones que a posteriori se pueden modificar dinámicamente. Cuando entramos en

GeoGebra aparece la ventana geométrica que será nuestro lugar de trabajo.

La ventana geométrica (a la derecha) expone gráficamente la representación de

puntos, vectores, segmentos, polígonos, funciones, rectas y secciones cónicas. Cuando el

mouse se desplaza sobre un objeto, se ilumina y exhibe su descripción.

La ventana geométrica se denominará, ocasionalmente, zona gráfica o “área

gráfica”.

53

La barra de herramientas consta de distintos íconos que agrupan herramientas

semejantes. En este documento, se han agregado indicaciones que señalan cuáles son las

herramientas que predominan en cada ícono y para identificarlos se usará un orden de

izquierda a derecha (primer, segundo, tercer ícono, etc.) de la barra de herramientas. Por

ejemplo al desplegar quedan a disposición del usuario:

Barra de menú Barra de Herramientas

Zona Gráfica

Ventana Algebraica

Campo de

Entradas

54

Actividad Inicial

Objetivo: Conocer los elementos básicos del software GeoGebra.

Nuestra primera tarea será construir un

octógono regular inscrito. Preparemos nuestra

pantalla: En el menú Vista desmarque Ejes y

Vista Algebraica. En el menú Opciones elija

“Rotulado” y seleccione “Ningún Nuevo

Objeto”. Despliegue el sexto ícono y elija

“Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos”.

Cursor

Puntos Rectas

Paralelas y

perpendiculares Transformaciones

Isométricas

Deslizador y texto

Circunferencias

Ángulos

Utilidades

Polígonos

Cónicas

55

Haga clic y obtendrá el punto del centro,

arrastre el ratón hasta dar a la circunferencia el

radio deseado y haga clic. Obtendrá dos puntos:

el centro y un punto sobre la circunferencia. Con

la tecla derecha del ratón, haga clic sobre el

centro, elija Renombra y llame O a este punto.

Repita con el punto sobre la circunferencia,

llamándolo A.

Trace ahora

una recta que

contenga un

diámetro. Para ello,

del tercer ícono,

seleccione “Recta

que pasa por Dos

Puntos”, haciendo

clic primero en O y luego en A.

Observe que a la derecha de los íconos, GeoGebra le proporciona ayuda sobre la

forma de utilizar el elemento elegido.

A continuación

trace una recta que

contenga el diámetro

perpendicular a AO . En

el ícono “Paralelas y

Perpendiculares”, elija

56

“Recta Perpendicular” y seleccione primero O y luego la recta AO . Los puntos de

intersección de estas rectas con la circunferencia son los vértices de un cuadrado regular

inscrito. Encuentre los puntos de intersección, eligiendo “Intersección de dos

objetos” del ícono “Puntos”. Llame a los puntos encontrados B, C y D. Los vértices del

octógono son los puntos medios de los arcos AB, BC, CD y DA .

Para encontrar los puntos medios, basta encontrar las mediatrices de dos lados

consecutivos del cuadrado. Para

ello elija “Mediatriz” del ícono

“Paralelas y perpendiculares” y

haga clic en A y B para encontrar

una mediatriz, y en B y C para la

otra. Determine ahora los puntos de

intersección de las mediatrices con

la circunferencia y una los 8

vértices consecutivamente usando

la herramienta “Polígono”. Debe

terminar en el mismo vértice en que empezó.

Usando el cursor (primer ícono), arrastre A para comprobar si se altera el tamaño o

la posición sin que la construcción pierda sus propiedades. Repita con el punto O. Arrastre

también otros puntos ¿Qué observa?

Procederemos ahora a ocultar los elementos secundarios utilizados en la

construcción. Para ello, haga clic con la tecla derecha del ratón sobre el elemento que

desea ocultar y desmarque “Muestra Objeto”. También puede eliminar el rótulo

desmarcando “Muestra Rótulo”.

Para mejorar el aspecto de su construcción, haga clic con la tecla derecha sobre él y

elija “Propiedades”. Podrá modificar el color, grosor de las líneas, sombreado, etc.

57

Procure dar a su octógono un

aspecto parecido al que se muestra en la

figura:

Guarde su archivo con el nombre de

Octógono.

Actividad 1.

Objetivo: Construir y dividir un segmento en extrema y media razón.

Nuestra primera tarea será construir un segmento áureo. Preparemos nuestra

pantalla: En el menú Vista desmarque “Ejes” (y si le es más cómodo puede marcar

“Cuadrícula”). Del menú Opciones escoja “Rotulado” y seleccione “Solo los Nuevos

Puntos”. La construcción comienza con el segmento a dividir. Despliegue el tercer ícono

y elija “Segmento entre dos Puntos” y genere un segmento horizontal. Se observará

un segmento que por defecto tendrá puntos extremos A y B. Despliegue el sexto ícono y

elija “Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos”. Genere una

circunferencia con centro en A y uno de sus puntos escoja alguno (punto C) sobre el

segmento sin pasar la mitad de este. Llame C1 a esta circunferencia. Usando la herramienta

“Punto Medio o Centro” determine el punto medio de AC y llámelo D. Trace una

,C CD y llámela C2. Usando “Recta Perpendicular”, del tercer ícono al segmento

pasando por C y que cortará a la circunferencia (con centro en C) en los puntos F y E

(utilice las herramientas de “Recta Perpendicular” y “Intersección entre dos

Objetos”, respectivamente). Según lo anterior, deberíamos visualizar algo como:

58

Continuando con nuestra construcción, generemos una semirrecta con inicio en A y

que pase por F (en el tercer ícono se encuentra la herramienta “Semirrecta que pasa

por dos Puntos”). Seleccione la herramienta “Compás” y marque a C y luego a D

(estamos designando el radio) y luego marque en F (centro de la nueva circunferencia).

Utilice “Intersección entre Dos Objetos” entre la recién creada circunferencia y la

semirrecta. Deberían aparecer los puntos G y H. Repetimos la anterior acción del compás,

pero con un radio AC y centro en H. Utilice “Intersección entre Dos Objetos” entre

la última circunferencia y la semirrecta. Deberían aparecer los puntos J e I (I queda sobre

G y representan el mismo punto). Para finalizar la construcción genere una recta que pase

por J y B (herramienta “Recta que pasa por Dos Puntos”) y otra paralela a ésta y que

pase por H (herramienta “Recta Paralela”). La intersección de esta última recta con el

segmento genera el punto K (mediante “Intersección entre Dos Objetos”)

Utilizando la proporcionalidad entre paralelas entregada por Thales, hemos

establecido una partición del segmento AB en el punto K, de tal manera que lo hemos

dividido en extrema y media razón, o sea que:

AB AK

AK KB

59

Tal proporción, nos presenta el número de oro φ cuyo valor decimal podemos

mostrarlo en GeoGebra. Determine las distancias

AB, AK y KB utilizando la herramienta

“Distancia o Longitud”. Luego, visualicemos las

proporciones con “Inserta Texto” y en el cuadro

de texto escribimos, según muestra la figura a la

derecha para AB

AK y repetimos finalmente para

AK

KB

Actividad 2.

Objetivo: Construir rectángulos metálicos.

Al igual que en el trabajo anterior, preparemos nuestra

pantalla: En el menú Vista desmarque “Ejes” y “Vista

Algebraica” y marque “Cuadrícula”. Además, diríjase al

menú Opciones escoja “Rotulado” y seleccione “Solo los

Nuevos Puntos”. Comenzamos esta actividad construyendo

un cuadrado a través de la herramienta “Polígono Regular”,

60

de modo que se obtenga un cuadrado, de lado 1, tal como el que se muestra en la imagen

arriba (para tener un ordenamiento establecido en la construcción de los sucesivos otros

rectángulos). A continuación, establezca el punto medio entre B y C. Por defecto, debería

generar el punto E que será centro de una circunferencia de radio ED (utilice la

herramienta “Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos”). Extienda el

lado inferior del cuadrado con una semirrecta con origen en B y que pasa por C. La

intersección entre la semirrecta y la

circunferencia generará el punto F

(herramienta “Intersección de Dos

Objetos”). Establezca una recta

perpendicular a la semirrecta que pase

por F (“Recta Perpendicular”) y

construya otra semirrecta con origen en

A y que pase por D. La intersección de éstas dos últimas determina el punto G. Con la

herramienta “Expone / Oculta Objeto” toque una vez a la circunferencia, a cada

semirrecta, a la recta perpendicular al cuadrado y cada uno de los puntos C, D y E, todo

por separado y notará que se remarcarán más intensos. Luego de marcar estos elementos,

diríjase al ícono de la flechita “Elige y Mueve”. Se deberían ocultar todos los elementos

salvo los puntos A, B, F y G. Una estos cuatro puntos con la herramienta “Polígono” y

obtendrá el rectángulo áureo. Comprobemos que la relación entre los lados de este

rectángulo genera el número de oro. Para ello marquemos las distancias del lado mayor y

menor del rectángulo con la herramienta “Distancia o Longitud”. Ahora despliegue

“Inserta Texto” y en su cuadro de dialogo escriba “φ=” + (distancia BF / distancia FG),

con fórmula Latex seleccionada, y generará la razón entre el lado mayor y el lado menor,

que es el número de oro. Ampliemos el número de decimales en el menú “Opciones”,

luego “Redondeo” y seleccione “5 lugares decimales”. Con el botón derecho sobre su

rectángulo, marque “Propiedades” y seleccione un color similar al oro, y en un

61

sombreado de 50 % (en etiquetas

Color y Estilo, respectivamente).

Ahí mismo, en propiedades

renombre el rectángulo y de el

nombre “ORO”. Su trabajo

debiera ser similar a la figura.

Desde el punto de vista

puramente matemático φ es

notable por estar entre los números que son raíces de ecuaciones algebraicas, se definen

por una proporción y en cambio no es posible representarlos como cociente de dos

números enteros. Por tanto, se clasifican como números irracionales algebraicos. En el

siglo XX se han estudiado otros números irracionales algebraicos que por la forma como

se definen constituyen una generalización del número de oro. Son los llamados números

metálicos que se pueden definir como las raíces positivas de la ecuación cuadrática

2 1 0x Nx . Esta ecuación en el caso N = 1 define el número áureo. Para N se

pueden determinar los sucesivos números metálicos:

22 4

1 02

N Nx Nx x

2

1 51,61803

1 1 1 4 1 5 2

(oro) 2 2 1 50,61803

2

Nx

22 1 2 2,414212 2 4 2 81 2

(plata) 2 2 1 2 0,41421

Nx

2

3 133,30277

3 3 3 4 3 13 2

(bronce) 2 2 3 130,30277

2

Nx

24 2 5 4,236064 4 4 4 202 5

(cobre) 2 2 2 5 0,23606

Nx

62

Para la construcción de los próximos rectángulos metálicos ocuparemos las mismas

herramientas, y una muy similar sucesión de pasos para la construcción, utilizadas para el

rectángulo áureo. Basándose en un lado menor igual a la unidad, podemos construir los

sucesivos rectángulos metálicos montándolos uno tras otro en sentido contrario a las

manecillas del reloj, como se presenta en la figura, que además describe como se obtienen

las raíces de estos números utilizando el teorema de Pitágoras

Por ejemplo, para el rectángulo de plata construya una circunferencia con centro en

G y radio FG . Desmarque la recta perpendicular que pasa por F. Establezca los puntos de

intersección de esta circunferencia con el lado AG del cuadrado (punto H) y con la parte

superior de recta perpendicular que pasa por F (punto J). Genere una circunferencia con

centro en J y radio JH . Cortará a la recta perpendicular que pasa por F en el punto K

63

(inferior) y L (superior). Usted, genere dos

rectas perpendiculares, una al lado AG que

pase por H y al lado GL que pase por L y

establezca el punto de intersección entre

ellas en el punto M que es el cuarto vértice

para construir el polígono que representa el

rectángulo de plata. La distancia GL es el

lado mayor y la distancia HG es el lado

menor del rectángulo, que deben ser

establecidas y presentadas en un cuadro de

texto para mostrar su razón. Oculte

circunferencias y rectas auxiliares y deje

sombreado y de color plata a su rectángulo.

Los rectángulos de Bronce y Plata quedan

como tareas según todas las indicaciones

dispuestas anteriormente.

Actividad 3

Objetivo: Construcción del Espiral de Fibonacci y comparar con imágenes reales

En esta actividad utilizaremos iteraciones creadas por una herramienta propia para

poder repetir la construcción del

rectángulo áureo tantas veces se

quiera (o pueda). En primer lugar

construyamos un cuadrado, por

ejemplo de lado 5 (con herramienta

“Polígono Regular”). Desde este

cuadrado y hacia la derecha,

construimos nuestro rectángulo

64

áureo tal cual como en la actividad anterior. Una vez construido oculte todas las rectas o

circunferencias auxiliares, deje sólo los vértices del rectángulo áureo más los vértices C y

D del cuadrado y coloréelo con un tono lo más claro posible

Generemos nuestra propia herramienta para ir repitiendo este proceso. En menú

“Herramientas” seleccione “Creación de Nueva Herramienta” y en el cuadro de

texto aparecerán 3 etiquetas. Rellénelas según lo que se quiere construir iteradamente

“Objetos de Salida”, en este caso el rectángulo áureo y el segmento CD más sus puntos

extremos visibles. Los “Objetos de Entrada” serán los puntos A y B y el nombre para

la nueva herramienta puede ser “Rectángulos ORO”.

Una vez diseñada la

herramienta y seleccionado su

ícono marque el punto G y luego el

D para formar un rectángulo áureo

interior al primero. La cantidad de

iteraciones y dirección de los

rectángulos áureos debe ser hacia el

centro de la espiral. Este centro

queda ubicado en la intersección de

la diagonal AF del primer rectángulo áureo y el segmento GC que es una diagonal del

65

segundo rectángulo áureo.

Nuestra espiral se crea como una aproximación a una espiral logarítmica a través de

arcos de circunferencia. Así, para nuestro primer arco seleccione la herramienta “Arco de

Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos” y marque el punto C como centro

y luego a D y B como dos puntos extremos de ese arco. Repita este procedimiento con

centro H y extremos I y D. Continúe hasta llegar cercano al punto centro de la espiral

mencionado anteriormente. Finalmente, puede personalizar la espiral colocándose sobre

los arcos construidos y con botón derecho seleccionar “Propiedades” y luego modificar a

gusto en las etiquetas

“Color” y “Estilo”. Si

tiene problemas en

encontrarlos arcos puede

desmarcar ocultando a

los rectángulos utilizados

en la construcción.

Podría generar una

espiral como:

Para finalizar esta actividad comparemos nuestra espiral con una imagen real de la concha

de un Nautilos. Oculte todos los elementos auxiliares de la construcción y deje sólo a la

espiral. Diríjase a la herramienta “Inserta Imagen” y en la carpeta imágenes seleccione

a la concha de Nautilos y ubíquela ala derecha de nuestra espiral (puede usted moverla con

la herramienta “Elije y Mueve” (la flechita puntero).

66

Ahora, genere un segmento (o recta) vertical entre la imagen y su espiral. Luego

seleccione la herramienta “Refleja Objeto en Recta” y marque a la imagen y luego al

segmento. Intente mover el tamaño de la reflexión con la rueda del mouse de modo que

quede lo más aproximado a su espiral

67

Actividad 4

Objetivo. Visualizar el triángulo áureo en el decágono y construir el espiral.

Empezamos esta actividad utilizando la herramienta “Polígono Regular”, en el

quinto ícono, generando un decágono (polígono de diez lados). Tocando dos puntos de

nuestra ventana gráfica se abrirá un cuadro de dialogo consultándonos el número de lados

del polígono regular a construir, que en nuestro caso es 10. Luego, divida al polígono con

un segmento entre dos vértices opuestos (el quinto desde uno al otro) y ubique el centro

del polígono (punto medio de este segmento). Construya un triángulo (herramienta

“Polígono”, del quinto ícono) cuyos vértices son dos vértices consecutivos del decágono y

su tercer vértice el centro de éste.

¿Qué tipo de triángulo se creó?

Para corroborarlo visualicemos sus

ángulos interiores con la

herramienta “Angulo”, del octavo

ícono. Oculte todo elemento

excepto al triangulo. Este triángulo

es llamado áureo ya que la

relación entre la longitud de

cualquiera de sus lados iguales y la longitud del lado basal

genera la divina proporción. Ahora bien, ya que sabemos

comprobar eso con distancias, es bueno ahora comprobarlo

con otra triada trigonométrica de proporciones que es el

Teorema del Seno:

sen sen sen

a b c

Intente comprobar la relación áurea de este triángulo

68

a través de una razón que utilice la función trigonométrica del seno. (GeoGebra reconoce

la función “sin(x)”).

Otra importante cualidad del triángulo áureo es que desde él, al igual que en el

rectángulo de oro, es posible generar y construir una espiral áurea. Empezamos la

construcción generando una bisectriz (herramienta “Bisectriz”, del cuarto ícono, y en la

imagen abajo desde el punto J) de un ángulo basal que cortará un lado del triángulo en un

punto a establecer por intersección entre dos objetos (el

punto L). La bisectriz dividió al triángulo inicial en otros

dos, uno de mayor área y otro de menor, el cual es áureo

(semejante al inicial). Repetiremos el proceso descrito

anteriormente, hasta aproximarse al centro de la espiral en

un punto (punto O) que es intersección de un segmento

que va desde el punto medio del lado del triángulo inicial

donde no pasa la bisectriz hacia el vértice opuesto

(segmento MI) y un segmento que va desde el punto

medio del lado basal del triángulo inicial al vértice opuesto del nuevo triángulo áureo

menor (segmento NL). La siguiente bisectriz se genera desde el vértice correspondiente

(según imagen el vértice I) al cual se hizo en el

triángulo áureo inicial. Marque los puntos de

intersección necesarios para generar unas tres

bisectrices más. Ahora, generaremos la curva de la

espiral con la herramienta “Arco de Circunferencia

dados su Centro y Dos Extremos”, del sexto ícono.

Estos arcos se generan con dos vértices de triángulo

áureo consecutivos (K y L, según la imagen) y desde

el punto de intersección de la bisectriz como centro

(en nuestro caso, el punto L). Oculte todos los elementos de la construcción y deje sólo a

la espiral personalizada (en color y estilo) y vuelva a hacer visibles a los puntos iniciales A

y B (los cuales permiten mover nuestra construcción). Finalmente, inserta una imagen

llamada “oreja guagua” y con las herramientas del noveno icono intente superponerla a la

69

espiral y vea lo que ocurre.

6. Conclusiones

A continuación, se describen las principales consecuencias y resultados obtenidos en

el trabajo descrito en los capítulos anteriores.

6.1 Conclusión General

El trabajo presentado fue describiendo histórica y matemáticamente al

número irracional algebraico φ. Así, fue descubierto el significado de sus denominaciones

tales como número de oro, razón áurea y/o divina proporción. También, fueron presentadas,

a la par, algunas aplicaciones y apariciones del número en diversos ámbitos que involucran

a diferentes áreas de la ciencia. Con todo, fueron descritos diversos acontecimientos y

70

problemáticas matemáticas que permitieron crear y/o modificar actividades lúdicas que

involucren al número φ, generando un Taller didáctico experimental, a realizar con ayuda

del software GeoGebra. Finalmente, es posible afirmar que el Taller realizado, o bien,

modificaciones y/o creaciones similares a éste, son trabajos que surgen con el uso de las

Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC), que de ésta forma permiten

potenciar un encuentro con el quehacer matemático entrelazando fuertemente la historia, el

conocimiento y la práctica, a profesores, como estudiantes de educación media, y a

estudiantes de pedagogía en matemáticas.

6.2 Conclusiones específicas

Se realizó una recopilación e investigación bibliográfica sobre el origen histórico y

estudios actuales en libros y páginas web con respecto a la razón áurea y el número

de oro, encontrando una enorme información al respecto, la cual fue filtrada en sus

aspectos más fundamentales.

Se presentaron construcciones de formas geométricas armónicas utilizando la razón

áurea, como el segmento y rectángulo áureo, el triángulo áureo y de Kepler, el

pentágono regular y espirales. También, se hicieron comparaciones de las apariciones

de estas figuras como representaciones artísticas, en la naturaleza, en el cuerpo

humano y en la arquitectura.

Se presentaron bases explícitamente matemáticas que envuelven al número de oro,

surgido como razón geométrica en la división de un segmento, como ecuación

algebraica, en forma de límite en una sucesión (de Fibonacci), en forma de

descomposición en fracciones continuas, como abscisas de puntos de intersección

entre un polinomio de cuarto grado y una recta que pasa por sus puntos de inflexión,

y en forma exponencial (potencias).

71

Se desarrollaron algunos problemas que muestran sorprendentes resultados que

involucran al número de oro, utilizando desarrollos algebraicos simples, desde

razones y proporciones hasta algunos elementos básicos de cálculo como derivadas.

Se elaboró un taller didáctico experimental que incluyó desarrollos en el software

dinámico GeoGebra, que contempla experiencias, y muestra algunos resultados que

evidencian las principales características y formas de visualización del número áureo.

6.3 Propuestas y proyecciones

Durante el desarrollo del presente estudio se establecieron sorprendentes e

inesperadas apariciones del número de oro, lo que conlleva a preguntarse si es posible aun

seguir encontrando evidencias de este número tan especial en otras áreas de las ciencias y

en especifico en otros aspectos matemáticos. Esto perfectamente, puede ser aprovechado en

investigaciones a fondo que involucren el estudio exhaustivo de publicaciones actualizadas

del tema, ya que dentro de la bibliografía utilizada en este trabajo, encontraremos estudios

que no superan los 10 años desde su creación, o bien, su descubrimiento.

Por otro lado, en el ámbito de innovación del quehacer matemático, a través de

talleres didácticos, se intenta con este trabajo difundir abiertamente este tipo de actividades

y potenciar estos desarrollos para que generen en sus potenciales participantes, iniciativa

propia en rehacer e inventar nuevos talleres para diferentes áreas de la matemática, que

involucren una activa participación de estudiantes, logrando así un ambiente matemático

más gentil, agradable y de mejores resultados de aprendizaje.

72

7. Bibliografía y referencias

7.1 Referencias bibliográficas

[1] Paulo Martins Contador, “A matematica na arte e na vida”, 2da Edición. Editora

Livraria da Fisica, Sao Paulo, Brasil, 2011.

[2] Carlos Sánchez, “¿Cómo hacer apetitoso el discurso matemático? Experiencias con

sabor cubano”. Conferencia Paralela, XIII Conferencia Interamericana de Educación

Matemática, Recife, Brasil, 2011.

[3] Carlos Sánchez F., Concepción Valdés C. “Problemas históricos atractivos para el

aprendizaje de la matemática”. Minicurso, XIII Conferencia Interamericana de Educación

Matemática, Recife, Brasil, 2011.

[4] Rosa E. Trumper M. y María I. Del Rio, “Construyendo Polígonos Interesantes”. Taller

de geometría dinámica, III Congreso Nacional de Estudiantes de Pedagogía en Matemática,

Universidad de La Frontera, Temuco, Chile, 2010.

[5] Gilberto G. Garbi, “A Rainha das Ciências – Um passeio histórico pelo maravilhoso

mundo da matemática”. Editora Livraria da Fisica, Sao Paulo, Brasil, 2006.

[6] Spinadel, V.: “La familia de los números metálicos y el diseño” (PDF 157Kb). Centro

de Matemática y Diseño MAY DI. Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo.

Universidad de Buenos Aires, 1995

[7] Condesse V. y Minnard C.: “La familia de los números metálicos y su hijo pródigo: el

número de oro” (PDF 90Kb). Revista Iberoamericana de Educación, ISSN 1681-5653, Vol.

42, Nº. 2, 2007,

73

7.2 Referencia Web

[1] Número Áureo. Wikipedia, La enciclopedia libre, extraído el 20 de Agosto de 2011,

desde: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo

[2] El Hombre de Vitruvio, La Divina Proporción. Portal Planeta Sedna, extraído el 12 de

Agosto de 2011, desde: http://www.portalplanetasedna.com.ar/divina_proporcion.htm

[3] El Número de Oro; Phi; la Divina Proporción. Youtube, extraído el 12 de Agosto de

2011, desde:

http://www.youtube.com/watch?v=j9e0auhmxnc&feature=player_embedded#!

[4] El Partenón. Wikipedia, La enciclopedia libre, extraído el 15 de Abril de 2012, desde:

http://es.wikipedia.org/wiki/Parten%C3%B3n

[5] Número Áureo. Lawebdemanel, extraído el 16 de Abril de 2012, desde:

http://www.lawebdemanel.com/matematicas/phi/NumeroAureo.htm

[6] Los Elementos de Euclides (con applets de geometría). Euclides.org, extraído el 11 de

Marzo de 2012, desde: http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm

[7] Leonardo de Pisa. Wikipedia, La enciclopedia libre, extraído el 23 de Abril de 2012,

desde: http://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_de_Pisa

[8] Leonardo da Vinci. Wikipedia, La enciclopedia libre, extraído el 2 de Mayo de 2012,

desde: http://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci

[9] El Número Áureo o Número de Oro. Jorge Fernández, extraído el 20 de septiembre de

2011, desde: http://www.jorge-fernandez.es/proyectos/angulo/temas/temag/index.html

74

[10] Espiral Logarítmica. Wikipedia, La enciclopedia libre, extraído el 25 de Septiembre

de 2011, desde: http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmica

[11] Triángulo de Kepler. Wikipedia, La enciclopedia libre, extraído el 4 de Marzo de

2012, desde: http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_de_Kepler

[12] El número de oro en el cuerpo humano. Juan Bragado Rodríguez, extraído el 13 de

Marzo de 2012, desde:

http://www.telefonica.net/web2/lasrotas/ficheros/Geogebra/Numero%20de%20oro%204.ht

ml

[13] La espiral de Durero y el Número de Oro. Juan Bragado Rodríguez, extraído el 13 de

Marzo de 2012, desde:

http://www.telefonica.net/web2/lasrotas/ficheros/Geogebra/Numero%20de%20oro%203.ht

ml

[14] El número de oro en la función de 4º grado. Ignacio Larrosa, extraído el 8 de Abril de

2012, desde: http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Fi_en_la_cuartica.html

(“Phi-N=Fin”)