El nmero   Qu© es el nmero  ? Qu© es el nmero  ? F³rmulas que...

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  • El nmero Qu es el nmero ? Qu es el nmero ? Frmulas que contienen el nmero Frmulas que contienen el nmero Problema de la cuadratura del crculo Problema de la cuadratura del crculo Aplicaciones del nmero Aplicaciones del nmero
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  • Qu es el nmero ? es la relacin entre la longitud de una circunferencia y su dimetro, en geometra euclidiana. Es un nmero irracional y una de las constantes matemticas ms importantes. Se emplea frecuentemente en matemticas, fsica e ingeniera. El valor numrico de , truncado a sus primeras cifras, es el siguiente: 3,14159265358979323846 3,14159265358979323846
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  • Frmulas que contienen el nmero En geometra Longitud de la circunferencia Longitud de la circunferencia L = 2 r reas: rea del crculo de radio r rea del crculo de radio r A = r rea de la elipse con semiejes a y b rea de la elipse con semiejes a y b A = ab Ecuaciones expresadas en radianes ngulos: 180 grados son equivalentes a radianes. ngulos: 180 grados son equivalentes a radianes.
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  • reas de cuerpos de revolucin: rea del cilindro rea del cilindro A=2 r + 2 r h rea del cono rea del cono A= r + r g rea de la esfera rea de la esfera A=4 r Frmulas que contienen el nmero
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  • Volmenes de cuerpos de revolucin: Volumen de la esfera de radio r: Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) r Volumen de un cilindro de radio r y altura h Volumen de un cilindro de radio r y altura h V = r h Volumen de un cono de radio r y altura h Volumen de un cono de radio r y altura h V = r h / 3
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  • Frmulas que contienen el nmero En probabilidad La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre s es: 6/ La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre s es: 6/ Si se eligen al azar dos nmeros positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el nmero 1 puedan ser los lados de un tringulo obtusngulo es: (-2)/4 Si se eligen al azar dos nmeros positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el nmero 1 puedan ser los lados de un tringulo obtusngulo es: (-2)/4 El nmero medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es /4 (el orden es relevante) El nmero medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es /4 (el orden es relevante) Experimento de la Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas lneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una lnea es: D/2L Experimento de la Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas lneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una lnea es: D/2L
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  • Frmulas que contienen el nmero En Anlisis Matemtico Frmula de Leibniz: Producto de Wallis:
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  • Frmulas que contienen el nmero Identidad de Euler: Euler: Frmula de Stirling:
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  • Frmulas que contienen el nmero rea bajo la campana de Gauss Una representacin de como suma de fracciones
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  • Frmulas que contienen el nmero Problema de Basilea, resuelto por Euler en 1735 Euler
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  • Frmulas que contienen el nmero Expresin de como desarrollo en series Fracciones con representacin aproximada a
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  • Problema de la cuadratura del crculo Se denomina cuadratura del crculo al problema matemtico consistente en hallar con slo regla y comps un cuadrado que posea un rea que sea igual a la de un crculo dado.
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  • Problema de la cuadratura del crculo Si queremos resolver el problema, por ejemplo para un crculo de radio r=1, tenemos que el rea del crculo sera 1= , por lo que el rea del cuadrado debera ser tambin , es decir, que l= , es decir, que entonces debe ser l =
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  • Problema de la cuadratura del crculo Pero es un nmero trascendente, y estos nmeros cumplen, entre otras, la propiedad de que no pueden ser calculados con slo regla y comps. Como es trascendente, tambin lo es, y de ah que este problema no pueda resolverse con slo regla y comps
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  • Aplicaciones del nmero Pi en los deportes Pi en los deportes Una espiral formada por semicrculos Una espiral formada por semicrculos La forma del delfn La forma del delfn El rea del crculo perdido El rea del crculo perdido Formas de cortar una pizza en tres partes iguales Formas de cortar una pizza en tres partes iguales Trozos tradicionales Trozos tradicionales Trozos concntricos Trozos concntricos Trozos de fantasa Trozos de fantasa
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  • Aplicaciones del nmero en los deportes en los deportes Alguna vez se te ha pasado por la cabeza que en las carreras de atletismo el atleta que corre por la calle de dentro tiene ventaja sobre los dems atletas porque recorre menos metros? El recorrido de los atletas estndar es de 400 metros y la anchura de cada calle es de 1,25 metros, y el recorrido se compone de dos tramos rectos y dos semicirculares.
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  • Aplicaciones del nmero Calle 1=2a+ 2(r+0,2)=2a+2r+ 20,2 Calle 2=2a+ 2(r+b+0,2)=2a+2r+2b+20,2 2b metros de ventaja Calle 3=2a+ 2(r+2b+0,2)=2a+2r+4b+20,2 4b metros de ventaja Calle 4=2a+ 2(r+3b+0,2)=2a+2r+6b+20,2 6b metros de ventaja
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  • Aplicaciones del nmero Sustituyendo los datos que tenamos de partida, a= 100 m, b=1,25 m, por lo tanto, como el recorrido ha de ser de 400 m, tenemos que 2a+2r+ 20,2= 400 de donde r=(500-)/(5 )31,63 m Las ventajas de los dems atletas seran las siguientes: El de la Calle 2 tendr una ventaja= 2b 7,85 m El de la Calle 3 tendr una ventaja= 4b 15,71 m El de la Calle 4 tendr una ventaja= 6b 23,56 m
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  • Aplicaciones del nmero Una espiral formada por semicrculos Una espiral formada por semicrculos Vamos a medir la longitud de la espiral y el rea de la espiral en la siguiente figura formada por semicrculos cuyos puntos M 0 y M u estn a una distancia a y son, respectivamente, los centros de los semicrculos:
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  • Aplicaciones del nmero
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  • La longitud de de la espiral es la suma de todos los b= a+ 2a+ 3a+ 4a+ 5a+ 6a+ 7a+ 8a+ 8a=44a Para comprobar que hemos hecho bien las reas de los semianillos vamos a sumar las reas de cada uno de ellos, con que deberamos obtener el rea del crculo grande: a1/2+ 2a+ 4a+ 6a+ 8a+ 10a+ 12a+ 14a+ a15/2=64a= (8a)
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  • Aplicaciones del nmero La forma del delfn La forma del delfn Vamos a calcular el rea y el permetro de la figura que presentamos a continuacin a la que llamaremos forma del delfn, donde el lado de cada cuadrado es de longitud a
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  • Aplicaciones del nmero Para ello, nos ayudamos de la figura completa: El permetro es, por lo tanto, 2a+ 2a+ 2(2a)+ 2(2a)= 3a
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  • Aplicaciones del nmero Vamos a calcular ahora el rea del delfn: El rea del segmento coloreado para un radio r cualquiera es r-r/2=(-2)r/4
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  • Aplicaciones del nmero Por tanto rea S 1 + rea S 2 = (-2)(2a)/4 + (- 2)(2a)/4 = 2(-2)a rea S 3 + rea S 3 = (-2)a/4 + (-2)a/4 = (-2)a Por tanto, tenemos que el rea del delfn es 2(-2)a - (-2)a = 3(-2)a/2 2(-2)a - (-2)a = 3(-2)a/2
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  • Aplicaciones del nmero El rea del crculo perdido El rea del crculo perdido Supongamos que tenemos cuatro trozos de cuerda iguales. Con el primero formamos un crculo, el segundo lo cortamos en dos partes iguales para formar dos crculos iguales, el tercer trozo lo cortamos en tres partes iguales y formamos tres crculos, y de forma similar formaramos cuatro crculos con el cuarto trozo
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  • Aplicaciones del nmero
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  • Por lo tanto, concluimos a partir de la tabla que la suma de las longitudes de las circunferencias es siempre la misma, pero las reas son ms pequeas cuantos ms crculos formemos con el trozo de cuerda, algo que aparentemente no esperbamos que ocurriese!
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  • Aplicaciones del nmero Formas de cortar una pizza para tres personas en partes iguales Formas de cortar una pizza para tres personas en partes iguales
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  • Aplicaciones del nmero Trozos tradicionales Trozos tradicionales Es la forma ms sencilla y ms utilizada para cortar las pizzas. Basta con que cada trozo de pizza tenga el ngulo interior de 120. Una forma sencilla de hacerlo consistira en tomar una cuerda y colocarlo alrededor de la pizza. Despus, cortamos la cuerda en tres partes iguales para tener los extremos de cada trozo de pizza
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  • Aplicaciones del nmero Crculos concntricos Crculos concntricos El problema consiste en hallar, sabiendo el radio de la pizza r, los radios r 1 y r 2 de manera que las tres reas sean iguales.
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  • Aplicaciones del nmero El rea del crculo interior es la ms sencilla=r 1 El rea del anillo BC sera r 2 - r 1 El rea del anillo AC sera r - r 2 Igualamos las tres reas y resolvemos el sistema de ecuaciones con lo que obtenemos q