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Microondas I
Prof. Fernando Massa Fernandeshttps://www.fermassa.com/microondas-i.php
Sala 5017 Efernando.fernandes@uerj.br
Aula 6
Microondas I
Equação de onda – Solução de onda plana
∇2 E−μϵ ∂
2 E∂ t2
= 0 ∇2 H−μϵ ∂2 H∂ t2
= 0
→ Solução de onda plana → Modo de propagação transversal eletromagnético (TEM)
z
E
H
Exemplo: E=Ex (z , t)
Ex =E0 sin (ωtt±kz )
Ex =E0 cos (ωtt±kz )
Ex =E0 e i (ωtt±kz )
Conjunto de soluções
ωt= 2 πff →Frequência
k=2 πfλ→Constantedepropagação
ωtt±kz→Fase v f=ωtk=
1
√μϵ
Revisão
→ Propagação na direção +z com polarização em x.
H=1η
n×E
Microondas I
Exercício 1.2 do livro:
Uma onda plana viaja ao longo do eixo-x em um região preenchida com poliestireno com
e campo elétrico dado por . A frequência é de 2,4 GHz e
. Encontre:
a) A amplitude e direção do campo magnético. b) A velocidade de fase.c) O comprimento de onda.d) A diferença de fase entre as posições x1 = 0,1m e x2 = 0,15m.
ϵr=2,54 E y=cos(ω t−kx )
E0=5,0V /m
Microondas I
Equação de onda – Solução (geral) de onda plana
H=1η
n×E
E=E0e−i k r
Revisão
Microondas I
Solução de onda plana – onda plana circularmente polarizada
H=1η
n×E
* Essa onda, discutida anteriormente, é uma onda linearmente polarizada.
** A direção da polarização se refere geralmente ao campo elétrico.
Microondas I
Solução de onda plana – onda plana circularmente polarizada
*** Em geral, a polarização da onda plana não é fixa e muda com o tempo!
**** Duas ondas planas polarizadas perpendicularmente produzem em geral uma onda elipticamente polarizada.
https://www.air-stream.org/technical-references/antenna-polarisation
E1 eE2 são (emgeral ) complexos
E1=|E1|. eiϕ1
Fase⇒ϕ=ϕ1−ϕ2
E2=|E2|.eiϕ2
Microondas I
Solução de onda plana – onda plana circularmente polarizada
*** Em geral, a polarização da onda plana não é fixa e muda com o tempo!
**** Duas ondas planas polarizadas perpendicularmente produzem em geral uma onda elipticamente polarizada.
E1 eE2 são (emgeral ) complexos
E1=|E1|. eiϕ1
Fase⇒ϕ=ϕ1−ϕ2
E2=|E2|.eiϕ2
http://www.rfcafe.com/references/electrical/ew-radar-handbook/polarization.htm
Microondas I
Solução de onda plana – onda plana circularmente polarizada
E1 eE2 são (emgeral ) complexos
E1=|E1|. eiϕ1
Fase⇒ϕ=ϕ1−ϕ2
E2=|E2|.eiϕ2
http://www.rfcafe.com/references/electrical/ew-radar-handbook/polarization.htm
ϕ=atan (E2/E1)
Microondas I
Solução de onda plana – onda plana circularmente polarizada
E1 e E2→ são em geral complexos
E1=|E1|. eiϕ1 Fase⇒ϕ=ϕ1−ϕ2
E2=|E2|.eiϕ2 ϕ=atan (E2/E1)
SeE1 =E2 =E0 ( Real )→Linearmentepolarizada
NocasoE1=±iE 2 =E0→Circularmentepolarizada E=E0 ( x±i y ) e−ik0 z
Fase de 90° entre E1 e E2⇒±i=e±iπf / 2
Microondas I
Solução de onda plana – onda plana circularmente polarizada
E1 eE2 são (emgeral ) complexos
E1=|E1|. eiϕ1 Fase⇒ϕ=ϕ1−ϕ2
E2=|E2|.eiϕ2 ϕ=atan (E2/E1)
NocasoE1=±iE 2 =E0→Circularmentepolarizada E=E0 ( x±i y ) e−ik0 z
Campo elétrico no tempo (fase de - 90o ):
E=E0 ( x−i y ) e−ik0 z
Fase de 90° entre E1 e E2⇒±i=e±iπf / 2
Microondas I
Solução de onda plana – onda plana circularmente polarizada
E1 eE2 são (emgeral ) complexos
E1=|E1|. eiϕ1 Fase⇒ϕ=ϕ1−ϕ2
E2=|E2|.eiϕ2 ϕ=atan (E2/E1)
NocasoE1=±iE 2 =E0→Circularmentepolarizada E=E0 ( x±i y ) e−ik0 z
Campo elétrico no tempo (fase de - 90o ):
E=E0 ( x−i y ) e−ik0 z
RHCP
Fase de 90° entre E1 e E2⇒±i=e±iπf / 2
Microondas I
Solução de onda plana – onda plana circularmente polarizada
Campo elétrico (fase de - 90o ):
E=E0 ( x−i y ) e−ik 0 z
RHCP
Campo elétrico (fase de + 90o ):
LHCP
E=E0 ( x+i y ) e−ik0 z
Microondas I
Solução de onda plana – onda plana circularmente polarizada
Campo elétrico (fase de - 90o ):
RHCP
Campo elétrico (fase de + 90o ):
LHCP
http://www.rfcafe.com/references/electrical/ew-radar-handbook/polarization.htm
Radar – Para um número ímpar de reflexões (antena receptora para polarização oposta)
Microondas I
Solução de onda plana – onda plana circularmente polarizada
Campo elétrico (fase de - 90o ):
RHCP
Campo elétrico (fase de + 90o ):
LHCP
http://www.rfcafe.com/references/electrical/ew-radar-handbook/polarization.htm
Radar – Para um número par de reflexões (antena receptora para mesma polaridade)
Microondas I
Solução de onda plana – onda plana circularmente polarizada
https://www.air-stream.org/technical-references/antenna-polarisation
Receptor de TV via satélite
Microondas I
Energia e potência
Dadoumvolume'V''S'→SuperfícieenvolvendoovolumeV
Meioarbitrário→ ϵ=ϵ '−iϵ ''
μ=μ '− iμ ' '
Teorema de Poynting (conservação de energia)
Aplicando o princípio de conservação da energia ao volume (V), contendo
fontes de corrente elétrica
e magnética geradoras, obtemos o Teorema de Poynting.
( J= J s+σ E )
(M s)
Físico J. H. Poynting1852* - 1914†
J s→ fonte de corrente σ E→corrente de condução
Microondas I
Energia e potência - Teorema de Poynting (conservação de energia)
Dadoumvolume'V'
PS=P0+Pl+P r
PS→Potência total complexa entregue pelas fontes ( J S , M S) dentro de'S'
P0→Fluxo de potência para fora da superfície fechada'S'
Pl→Potência dissipada em calor no interior do volume'V'
Pr→Energia reativa estocada no volume'V'
(1 ) (2 ) (3 ) (4 )
Microondas I
Energia e potência - Teorema de Poynting (conservação de energia)
Dadoumvolume'V'
PS=P0+Pl+P r
(1 ) PS→Potência total complexa entregue pelas fontes ( J S , M S ) dentro de'S'
(1 ) (2 ) (3 ) (4 )
( W )
Potência consumida na fonte
Média temporal <cos2 ωtt > = 1/2
Microondas I
Energia e potência - Teorema de Poynting (conservação de energia)
Dadoumvolume'V'
PS=P0+Pl+P r
(1 ) (2 ) (3 ) (4 )
(2 ) P0→Fluxo de potência para fora da superfície fechada'S'
S→Vetor de Poynting
Fundamental!!
S=E×H *
Microondas I
Energia e potência - Teorema de Poynting (conservação de energia)
Dadoumvolume'V'
PS=P0+Pl+P r
(1 ) (2 ) (3 ) (4 )
(3 ) Pl→Potência dissipada em calor no interior do volume 'V'
Pl=Plc+P ld+Plm
3 .1 −Dissipação devida a condutividade (σ )→Plc
3 . 2 −Efeito de amortecimento dielétrico (ϵ '' )→Pld
3 .3 −Efeito de amortecimento diamagnético (μ'' )→P lm
Microondas I
Energia e potência - Teorema de Poynting (conservação de energia)
Dadoumvolume'V'
PS=P0+Pl+P r
(1 ) (2 ) (3 ) (4 )
(4 ) Pr→Energia reativa estocada no volume 'V'
→ϵ2∫E2 (r ) dv=W e
→μ2∫ H2 (r )dv=W m
Para campos estáticos: Pre= 2 iωt( 14ϵ '∫ E . E * dv )= 2iωtW e
Prm=−2 iωt( 14
μ'∫ H . H * dv )=−2iωtW m
Microondas I
Potência absorvida por um bom condutor (σ≫ωtϵ ' )
STotal=S+S0
→A superfície 'S' não contribui!
→Toda a potência é dissipada dentro do volume.
Microondas I
Potência absorvida por um bom condutor (σ≫ωtϵ ' )
STotal=S+S0
* Potência média entrando no condutor (Pavg
)
d S= z . ds→(Real)
Microondas I
Potência absorvida por um bom condutor (σ≫ωtϵ ' )
STotal=S+S0
* Potência média entrando no condutor (Pavg
)
d S= z . ds→
Usando id . vetorial→
z× E=η H
Pavg=12
Re [η ]∫|H|2 dS (W )
H=1η
n×E
Microondas I
Potência absorvida por um bom condutor (σ≫ωtϵ ' )
STotal=S+S0
* Potência média entrando no condutor (Pavg
):
* Potência incidente em S0 por área:
* Resistência superficial (RS):
Pavg=12
Re [η ]∫|H|2 dS (W )
Pavg=12
Re [ S . z ] (W /m2 ) S=E×H *
(W)
RS = Re [η]
Microondas I
Potência absorvida por um bom condutor (σ≫ωtϵ ' )
STotal=S+S0
* Potência média entrando no condutor (Pavg
)
d S= z . ds→
Usandoid .vetorial→
z× E=η H
(W)
Pavg=12
Re [η ]∫|H|2 dS (W )
Microondas I
Reflexão e transmissão de onda plana
- Incidência normal à superfície da interface (meio geral)
* Para obterΓe T aplicamos condições de continuidade nainterface (z=0)
→ Γé o coeficiente de reflexão → T é o coeficiente de transmissão
(dedução)
Microondas I
Reflexão e transmissão de onda plana
- Incidência normal à superfície da interface (meio geral)
* Pra obterΓ e T aplicamos condições de continuidade na interface (z=0)
Ei + Er = Et
H i + H r = H t
Em z= 0 => => =>
(incidência normal)
Microondas I
Reflexão e transmissão de onda plana
- Incidência normal à superfície da interface (meio geral)
Ei + Er = Et
H i + H r = H t
Em z= 0 => => =>
- Num meio geral
Microondas I
Reflexão e transmissão de onda plana
- Num dielétrico sem perdas (σ = 0 ; μ e ϵ reais)
Constante de propagação →
Comprimento de onda no dielétrico →
Velocidade de fase →
λ0→comprimento de onda no espaço livre
Impedância intrínseca do dielétrico →
*Oscampos E e H estão em fase .
Microondas I
Adaptado do exercício 1.5 do livro:
Uma onda plana incide normalmente na superfície de uma camada dielétrica de Kevlar, com
permitividade e espessura , onde .
Se a camada é cercada por espaço livre dos dois lados, encontre o coeficiente de reflexão.
ϵr=4,27 d=λ / 4d
Microondas I
Reflexão e transmissão de onda plana
- Num bom condutor
Constante de propagação →
Comprimento de onda →
Velocidade de fase →
Impedância intrínseca do bom condutor →
*Oscampos E e H possuemuma fase de+45o .
(σ>0, σ≫ωtϵ ' )
Ceficiente de atenuação →
Profundidade de película →
Constante de fase →
→ E = ηH = √2
σδ ei π/4 H
Microondas I
Reflexão e transmissão de onda plana
- Num bom condutor (σ>0, σ≫ωtϵ ' )
No lado z < 0 =>
No lado z > 0 =>
Na interface em z = 0 => S - = S+
Vetor de Pynting
Microondas I
Reflexão e transmissão de onda plana
- Num bom condutor (σ>0, σ≫ωtϵ ' )
P- = P+ ( z=0)
Fluxo de potência nos dois lados
S- = z|E02|
1η0(1−|Γ|2+2 iΓ sen2k 0 z)
P+ = P- e−2α z (z>0)
P- = P i+Pr
W /m2
Microondas I
Reflexão e transmissão de onda plana
- Num bom condutor (σ>0, σ≫ωtϵ ' )
Densidade de corrente no condutor
J t = σ Et = σT E0 e−γ z x (A /m2) ×eiω t
Potência real média dissipada no condutor por m2 (ou transmitida)
Da lei de Joule →
Pt≡PS do teoremade Poynting
Microondas I
Reflexão e transmissão de onda plana
- Condutor perfeito (reflexão perfeita)
α→∞η→0δ p→0
z > 0 => σ → ∞ => =>Γ→−1T→0
z < 0 =>
H i
Ei
z Er
− zH r
Et = x T E0 e−γ z=0
H t = y T E0η e−γ z
=0
Microondas I
Reflexão e transmissão de onda plana
- Condutor perfeito (reflexão perfeita)
α→∞η→0δ p→0
z > 0 => σ → ∞ => =>Γ→−1T→0
z < 0 =>
H i
Ei
z Er
− zH r
Et = x T E0 e−γ z=0
H t = y T E0η e−γ z
=0
Γ=−1 (z<0) ⇒
Microondas I
Reflexão e transmissão de onda plana
- Condutor perfeito (reflexão perfeita)
z = 0 =>
z < 0 =>
E = 0 H = 2E0η0
y
Γ=−1 (z<0) ⇒
→ puramente complexo
=> Não existe potencia real entregue ao condutor!
Microondas I
Reflexão e transmissão de onda plana
- Condutor perfeito (reflexão perfeita)
z = 0 => E = 0 H = 2E0η0
y
Γ=−1 (z<0) ⇒
Densidade superficial de corrente (na interface 2D, z = 0)
→ Da cond. de contorno n×(H 2−H 1)=J S
⇒ J S=n×H=− z×(2E0η0
y )=2 E0η0
x [A /m]