Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi

IF - UFRJ

1º. semestre de 2010

Aula 7

Ref. Butkov, cap. 9, seções 9.3 e 9.4

O problema de Sturm-Liouville

• A separação de variáveis da equação de Helmholtz, em coordenadas cilíndricas ou esféricas, leva a equações do tipo

Essas equações são conhecidas como equa-ções de Sturm-Liouville, onde λ é uma cons-tante a ser determinada e as funções p(x),

s(x) e r(x) são conhecidas.

A equação de Sturm-Liouville pode ser escrita em termos do operador

como ,

Propositalmente, deixamos o termo envolvendo λ fora do operador .

Esta equação pode ser pensada, então, como uma equação de autovalores para λ, e autofunções y(x). A função r(x) é chamada função peso, e nos casos mais simples r(x)=1.

Esse operador é dito linear, graças à proprie-dade

análoga a outros operadores diferenciais.

Como nos casos estudados anteriormente, esperamos que as soluções (autofunções de ) formem um conjunto completo de funções ortonormais como as funções seno e cosseno, no caso das séries de Fourier.

Para mostrar este resultado explicitamente, vamos considerar que a variável x está definida no intervalo (a,b), que pode ser conveniente-mente estendido ao infinito, se necessário.

• Vamos, então, considerar, duas autofunções quaisquer e , não triviais, cujos autovalores são e , então

Vamos multiplicar a primeira equação por e a segunda por , subtrair as duas e então integrar entre a e b. O termo em s(x) se cancela. Já os termos com derivada podem ser reescritos fazendo uma integração por partes:

e uma equação análoga trocando por . A subtração dessas equações cancela as inte-grais contendo o produto .

Assim, encontramos

• Note que o lado esquerdo desta equação con-tém fatores que vão a zero, caso sejam impostas condições de contorno. Sendo este o caso, en-contramos

que é a condição de ortogonalidade das auto-funções correspondentes a diferentes autova-lores , levando em conta a função peso r(x).

Vamos, agora, supor que:

a) existe um número infinito de autofunções

b) as autofunções são todas ortogonais entre si

c) uma função f(x) pode ser representada pela série infinita

Multiplicando ambos os lados desta expansão por , integrando entre a e b, e usando a ortogonalidade das autofunções, vemos que todos os termos se cancelam, exceto para aqueles nos quais n = m. Logo,

Com isso, determinamos o n-ésimo coeficiente da série

Resta, agora, analisar as condições de contorno sobre as autofunções do operador de Sturm-Liouville.

• Para obter a ortogonalidade das autofunções, impusemos que

admitindo que essa expressão se anula devi-do às condições de contorno. Quais são essas condições?

Existem várias possibilidades de satisfazer essa equação e portanto várias condições de contor-no possíveis. Vejamos:

a) As funções e se anulam em x=a

e x=b . Condição (homogênea) de Dirichlet.

b) As derivadas e se anulam em x=a e x=b. Condição (homogênea) de Neumann)

Esses são os casos mais comuns e que encon-traremos frequentemente no nosso curso.

Outras condições de contorno possíveis

c) Uma combinação linear das funções e suas derivadas se anula em x=a e x=b, ou seja

onde α e β são constantes, ou seja fixas para todas as funções . Essas são as condições intermediárias (homogênas).

Mais casos

d) Uma das condições anteriores para x = a e outra para x = b.

e) Condições mistas, isto é, misturam as condições sobre e/ou suas derivadasnos pontos x = a e x = b. O exemplo maissimples é:

desde quef) Outro caso é p(a)=0 e p(b)=0. Este caso ocorre na ED de Legendre.

Operadores Autoadjuntos

• Vimos a pouco que o problema de Sturm-Liouville

onde o operador é definido como

pode ser escrito na forma

• O procedimento usado na discussão da orto-gonalidade do operador de Sturm-Liouvillepode ser resumido como

Conforme nossa discussão anterior, o lado esquerdo desta equação pode ser reescrito como

e portanto, se as funções satisfazem à alguma das condições de contorno, então elas são ortogonais e

• De fato, podemos repetir o argumento acima para quaisquer funções f(x) e g(x) que satisfaçam às condições de contorno, e portanto implicam na relação

Como as funções f(x) e g(x) são quaisquer (exceto pela exigência das c.c.) podemos enten-der a equação

como uma condição sobre sobre o operador .

Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de autoadjuntos.

Obs.: Essa discussão é válida para funções e operadores reais.

No caso funções e operadores complexos, um operador é dito autoadjunto se

• Neste caso, a ortogonalidade das autofunções é escrita como

para r(x) real. Operadores autoaudjuntos com-plexos são também chamados de Hermitianos.

Polinômios de Legendre

• Na discussão da separação de variáveis da e-quação de Helmholtz em coordenadas esféri-cas encontramos a ED de Legendre

As soluções para esta equação foram estudadas no curso de Métodos I, usando o método de séries de Frobenius.

Vimos que as soluções são finitas entre x = +1 e x = -1 desde que

de modo a truncar a série num polinômio.

Os primeiros polinômios de Legendre são

onde escolhemos uma certa normalização, como mostraremos adiante.

Vamos ver como aparecem esses polinômios associados à equação de Laplace na eletros-tática:

• Ao invés de começar pela solução de Frobe-nius, vamos partir da solução conhecida para o potencial de uma partícula carregada (na origem do sistema de coordenadas)

02

Se, agora, deslocarmos a partícula por uma distância igual a 1, na direção do eixo z, temos

onde k é o unitário nessa direção.

Essa escolha é conveniente, por exemplo, para tratar de dipolos elétricos.

Vamos ver que essa solução nos levará diretamente aos polinômios de Legendre!

Escrevendo essa solução em coordenadas esféricas temos que (mostrar diagrama vetorial)

que é independente da coordenada φ, devido à simetria azimutal do problema.

Vamos, agora, voltar à equação de Laplace, que em coordenadas esféricas é

02

Note que o último termo desta equação se anula devido à simetria azimutal.

• Assim, separando a parte em θ desta equação, temos

que corresponde à equação de Legendre, cujas soluções são os polinômios de Legendre , já que

Assim, a equação radial fica

que identificamos como a equação de Euler, cujas soluções são

e

Como queremos uma solução não singular em r = 0 (partícula fora da origem), vamos ficar somente com

Logo, a solução para o potencial , pode ser escrita como

desde que r < 1, para que a série seja bem comportada.

Por outro lado, sabemos que o potencial para a partícula deslocada da origem no eixo z, é

Naturalmente, essas duas expressões devem ser idênticas, para o problema em questão, ou seja

• onde fizemos