Física 3-07

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1

Prof. A.F.Guimares Fsica 3 Questes 7

Questo 1

A corrente que passa atravs de uma

associao de resistores conectados em srie

igual a 2 A. Liga-se, em srie com este conjunto,

um novo resistor cuja resistncia vale . Verifica-se que a corrente que passa atravs dos

resistores torna-se igual a 1,5 A. Encontre o valor

inicial da resistncia total, antes da introduo da

resistncia de . Resoluo:

A intensidade de corrente (ou simplesmente

corrente) que passa atravs da associao ser: (1.1)

Com a associao (em srie) do resistor de , a nova corrente do circuito ser:

(1.2)

Utilizando as equaes (1.1) e (1.2), teremos: (1.3)

Questo 2

Uma bateria possui f.e.m. e resistncia interna . A bateria est ligada a um motor que levanta um peso com velocidade constante . Suponha que no haja perda de potncia por efeito Joule. Ache

(a) a corrente i no circuito, (b) a diferena de

potencial nos terminais do motor.

Resoluo:

a) A potncia fornecida pela bateria dada por:

(2.1)

Porm, como no h perdas por efeito Joule, a

equao (2.1), se torna:

(2.2)

A potncia mdia relacionada ao trabalho do

motor dada por:

(2.3)

Assim, utilizando (2.2) e (2.3), teremos:

(2.4)

b) Desprezando as perdas na resistncia interna

da bateria, podemos concluir que a d.d.p. nos

terminais do motor vale:

(2.5)

No entanto, se considerarmos a queda de tenso

na resistncia interna da bateria (porm

desprezando as perdas por efeito Joule), teremos

para o motor uma d.d.p. dada por:

(2.6)

Questo 3

Considere os mesmos dados do problema

anterior. Suponha, no entanto, que exista perda de

potncia por efeito Joule. (a) Escreva a equao

para o balano da potncia (conservao da

potncia). (b) Suponha que a potncia dissipada

por efeito Joule na resistncia interna da bateria e

na resistncia interna do motor seja igual a 2 W;

calcule a corrente que flui no circuito; determine,

tambm, para este caso, (c) a resistncia interna

do motor, (d) a diferena de potencial nos

terminais do motor.


2

Resoluo:

a) A potncia fornecida pela bateria dada pela

expresso (2.1), a potncia consumida pelo motor

ser:

(3.1)

Assim, utilizando a conservao de potncia,

teremos:

(3.2)

Em que a resistncia equivalente da associao da resistncia da bateria com a

resistncia do motor.

b) Utilizando o resultado de (3.2), teremos: (3.3)

c) Utilizando o fato de que as potncias dissipadas

pelas resistncias internas juntas totalizam em

2W, teremos: (3.4)

d) A d.d.p. nos terminais do motor dada por:

(3.5)

Questo 4

Generalize a lei das malhas para um nmero N

qualquer de baterias e de resistores em srie.

Resoluo:

Seja o circuito de malha nica representado na

figura a seguir.

Figura 4.1

Utilizando a lei das malhas, teremos:

(4.1)

Questo 5

(a) Mostre que a potncia dissipada pelo efeito

Joule na resistncia R do circuito representado na

figura 5.1 mxima quando R igual resistncia

interna r da bateria. (b) Mostre que o valor P

dessa potncia mxima dado por . Resoluo:

Figura 5.1

a) A potncia fornecida pela bateria dada pela

expresso (2.1). Para obtermos o ponto de

mxima potncia, efetuamos a derivada e

posteriormente determinaremos o ponto cuja

derivada se anula. Logo:

(5.1)

A corrente no circuito dada por:

(5.2)

Assim, utilizando o resultado de (5.1) em (5.2),

teremos:


3

(5.3)

b) Agora, substituindo o resultado de (5.1) em

(2.1), temos:

(5.4)

Obs.: O resultado de (5.1), tambm pode ser

encontrado se analisarmos a equao do 2 grau

em um grfico por exemplo.

Questo 6

Um fio de resistncia igual a ligada aos terminais de uma bateria de 1,5 V de f.e.m. e cuja

resistncia interna vale . Supondo a corrente constante, estimar, para um intervalo de

tempo de 30 s, as seguintes grandezas: (a) a

energia qumica fornecida pela bateria, (b) a

energia dissipada por efeito Joule no fio, (c) a

energia dissipada por efeito Joule na bateria. (d)

Verifique a validade da lei de conservao da

energia.

Resoluo:

a) Previamente, vamos encontrar a corrente que

percorre o circuito: (6.1)

Utilizando o resultado de (6.1), teremos para a

taxa de energia gerada (potncia gerada) pela

bateria:

(6.2)

Logo, a energia qumica gerada pela bateria ser: (6.3)

b) A energia dissipada no fio ser:

(6.4)

c) A energia dissipada no interior da bateria ser:

(6.5)

d) Utilizando os resultados de (6.3), (6.4) e (6.5),

teremos:

(6.6)

Questo 7

Introduz no circuito da figura 7.1 um

ampermetro de de resistncia. Qual ser a variao percentual da corrente devida

presena do ampermetro?

Figura 7.1

Resoluo:

A intensidade de corrente neste circuito vale:

(7.1)

Com a presena do ampermetro (obviamente

ligado em srie com a resistncia de ) a corrente ento:

(7.2)

Assim, a variao percentual ser:


4

(7.3)

Questo 8

O trecho do circuito AB da figura 8.1 absorve

uma potncia , sendo percorrido por uma corrente , no sentido indicado. (a) Qual a diferena de potencial A e B? (b) Se o

elemento C no tem resistncia interna, qual

ento a sua f.e.m.? (c) Qual a sua polaridade?

Figura 8.1

Resoluo:

a) A potncia transferida ao circuito dada por: (8.1)

Assim, substituindo os valores fornecidos teremos

para a d.d.p. entre A e B:

(8.2)

b) A d.d.p. total dada por:

(8.3)

Com o resultado de (8.2), teremos: (8.4)

c) A polaridade de B negativa.

Questo 9

Calcule a diferena de potencial entre os pontos c

e d do circuito da figura 9.1, utilizando para isso o

maio nmero de percursos diferentes. Considere .

Figura 9.1

Resoluo:

Previamente se faz necessrio conhecer as

correntes que percorrem o referido circuito.

Assim, vamos aplicar as leis das Malhas e tambm

a lei dos ns. Utilizando a lei dos ns, teremos:

(9.1)

Agora, utilizando a lei das malhas para a malha da

direita, percorrendo-a no sentido adba:

(9.2)

E para a malha da esquerda, sentido cbdc:

(9.3)

Substituindo os valores nas equaes (9.2) e (9.3)

e tambm utilizando (9.1), teremos o seguinte

sistema:

(9.4)

Resolvendo (9.4), teremos:

(9.5)

Substituindo os resultados de (9.5) em (9.1),

teremos:

A B C i

a b c

d


5

(9.6)

O sinal negativo em (9.6), indica que a corrente

est invertida. Agora, podemos determinar a d.d.p.

entre os pontos c e d. O primeiro percurso

fornece:

(9.7)

O segundo percurso:

(9.8)

O terceiro percurso:

(9.9)

Questo 10

A potncia dissipada por duas resistncias

ligadas em srie n vezes menor do que a

potncia dissipada pelas mesmas resistncias

quando elas so ligadas em paralelo (com a

mesma fonte). Conhecendo-se uma das

resistncias obtenha uma equao para a determinao da outra resistncia . Despreze a resistncia interna da fonte.

Resoluo:

Para a associao em srie, a tenso eltrica

dada por: (10.1)

E a potncia dissipada:

(10.2)

Para a associao em paralelo, a potncia

dissipada vale:

(10.3)

De acordo com a questo, temos a seguinte

relao entre as potncias:

(10.4)

Utilizando (10.1), (10.2) e (10.3) em (10.4),

teremos:

(10.5)

A equao final de (10.5), pode ser resolvida pela

frmula de Bhaskara. Assim, temos:

(10.6)

Em que .

Questo 11

Um fio de cobre macio possui raio . Este fio encapado por uma camada cilndrica de alumnio de raio externo . Na seo reta deste fio composto passa uma corrente . O fio ligado a uma fonte cuja tenso de sada constante e igual a V.

Determine: (a) a expresso das correntes que

passam na seo reta de cada metal, (b) os valores

de e , (c) o valor de V supondo que o comprimento total do fio seja igual 400 m e que as

correntes sejam aquelas calculadas no item

anterior, (d) a resistncia equivalente e a

resistncia de cada metal nas condies do item

(c).

Resoluo:

a) Tanto o fio de cobre como a capa cilndrica de

alumnio, formam uma associao em paralelo de

resistores. Assim, teremos:


6

(11.1)

b) Previamente, determinaremos as resistncias

do fio de cobre e da capa de alumnio. Assim,

teremos: (11.2)

Como se trata de uma associao em paralelo,

temos: (11.3)

E, alm disso, ainda temos: (11.4)

As resistividades so respectivamente: e . Assim, utilizando os valores das resistividades, os

respectivos raios juntamente com (11.2), ento

(11.3) se torna: (11.5)

Utilizando o resultado de (11.5) em (11.4),

teremos: (11.6)

Utilizando o resultado de (11.6) em (11.5),

teremos: (11.7)

c) Vamos determinar pelo menos uma das

resistncias. Por exemplo, a resistncia do fio de

cobre. Logo, de (11.2):

(11.8)

Logo, utilizando os resultados de (11.7) e (11.8), a

d.d.p. para o fio de cobre ser:

(11.9)

d) A resistncia do cilindro de alumnio pode ser

obtida por meio de (11.2) ou como se segue:

(11.10)

Como os resultados de (11.6) e (11.9), teremos

para (11.10):

(11.11)

A resistncia equivalente ser:

(11.12)

Questo 12

Usando somente dois resistores,

separadamente, em srie ou em paralelo,

desejamos obter resistncias de 3, 4, 12 e 16 .

Que valores devem ter as resistncias desses dois

resistores?

Resoluo:

Quando dois resistores so associados, para

obter o maio valor da resistncia equivalente os

resistores devem estar associados em srie. Logo:


7

(12.1)

Para se obter um valor para a resistncia

equivalente menor do que o menor valor das

resistncias associadas, deve-se efetuar uma

associao em parelo. Logo: (12.2)

Utilizando (12.1) em (12.2), teremos: (12.3)

Agora achar dois nmeros que somados

resultam em 16 e multiplicados resultam em 48.

Os canditados so 12 e 4. Mas podemos encontrar

uma equao para isso. Utilizando (12.1) em

(12.3), teremos: (12.4)

Agora s resolver com auxlio da frmula de

Bhaskara.

Questo 13

Tome como referncia a figura 13.1. Considere

os valores: . Calcule: (a) a potncia consumida em cada resistor, (b) a potncia total consumida no

circuito, (c) a potncia total fornecida ao circuito.

(d) Verifique qual das duas baterias fornece e qual

das duas consome energia; verifique se existe

conservao da potncia total.

Figura 13.1

Resoluo:

a) Para calcular a potncia em cada resistor,

devemos conhecer previamente as intensidades

de correntes para cada resistor. Assim,

utilizaremos as leis de Kirchhoff. Da lei dos ns,

temos:

(13.1)

Da lei das malhas:

Malha da esquerda

(13.2)

Malha da direita

(13.3)

Substituindo os dados numricos nas equaes

(13.2) e (13.3), teremos respectivamente:

(13.4)

(13.5)

Utilizando (13.1) em (13.4) e (13.5), teremos o

seguinte sistema de equaes:

(13.6)

Temos como solues de (13.6):

(13.7)

De (13.1) teremos:

(13.8)


8

Assim, a potncia em cada resistor ser:

(13.9)

b) A bateria 1 recebe energia, pois a corrente 3

est invertida. A potncia da bateria 1 vale:

(13.10)

Assim, juntando os resultados de (13.9) e (13.10),

temos para a potncia total consumida:

(13.11)

c) Ento, a bateria 2 fornece energia para o

circuito, a uma taxa dada por:

(13.12)

d) Vide itens b e c.

Questo 14

Considere os seguintes valores na figura 14.1. . (a) Calcule o valor da potncia de cada bateria,

indicando se a bateria fornece ou se consome

energia. (b) Ache a potncia dissipada por efeito

Joule em cada resistor. (c) Verifique se existe

conservao da potncia total.

Figura 14.1

Resoluo:

a) Vamos previamente determinar os valores das

intensidades das correntes do circuito. E para isso

vamos recorrer s leis de Kirchhoff. Da lei dos ns

teremos:

(14.1)

Da lei das malhas:

Malha maior

(14.2)

Malha menor

(14.3)

Substituindo os dados numricos em (14.2) e

(14.3), teremos:

(14.4)

Como as correntes 2 e 3 esto invertidas, ento as

baterias 2 e 3 fornecem energias e a bateria 1

consome. Assim, teremos:

(14.5)

b) As potncias dissipadas:

(14.6)

c) Para conferir se houve conservao da

potncia, tomamos a soma das potncias

fornecidas e das potncias consumidas:

(14.7)

Questo 15

Um ampermetro introduzido no ramo do

circuito da figura 15.1 que contm o resistor .


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(a) Qual o valor indicado pelo aparelho se ? (b) Suponha, agora que trocamos de posio o

ampermetro e a fonte de f.e.m., de modo que o

primeiro passa a ocupar o lugar do segundo e

vice-versa. Mostre que o ampermetro ainda

marca o mesmo valor da corrente. Esta relao de

reciprocidade vlida para qualquer circuito que

contenha uma nica fonte de f.e.m.

Figura 15.1

Resoluo:

a) Previamente vamos determinar a corrente do

circuito. Para isso, vamos determinar a resistncia

equivalente do circuito. Os resistores esto associados em paralelo (considerando que o

ampermetro ideal, ). Assim, para essa associao teremos:

(15.1)

O resistor est associado em srie com . Assim, para o circuito a resistncia equivalente

ser: (15.2)

A corrente na bateria vale ento: (15.3)

A d.d.p. para a associao dos resistores vale:

(15.4)

Assim, a corrente no ampermetro ser:

(15.5)

b) Trocando a posio do ampermetro com a

posio da fonte, os resistores estaro associados em paralelo. A resistncia equivalente

para essa associao ser:

(15.6)

O resistor est associado em srie com . Assim, a resistncia equivalente do circuito ser:

(15.7)

A corrente do circuito ser:

(15.8)

Em que dado por (15.7). A d.d.p. para a associao dos resistores , ser:

(15.9)

Logo, a corrente no ampermetro ser:

(15.10)

Questo 16

A Ponte de Wheatstone. A resistncia varivel

da figura 16.1 pode ser ajustada de modo que os

pontos a e b tenham exatamente o mesmo

potencial. (Verifique essa situao ligando

momentaneamente um medidor sensvel entre os

pontos a e b. No havendo diferena de potencial,

no haver deslocamento no ponteiro do

medidor.) Mostre que, aps essa ajustagem, a

seguinte relao torna-se verdadeira

A


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.

A resistncia de um resistor pode ser medida por este processo (chamado de Ponte de

Wheatstone), em funo das resistncias de outros resistores calibrados anteriormente.

Figura 16.1

Resoluo:

A d.d.p. entre x e a dada por:

(16.1)

A d.d.p. entre x e b dada por:

(16.2)

Supondo que , temos:

(16.3)

De forma semelhante teremos:

(16.4)

E

(16.5)

Como :

(16.6)

De (16.3) e (16.6), teremos:

(16.7)

Questo 17

Mostre que se os pontos a e b da figura 16.1

forem ligados por um fio de resistncia r, este ser

percorrido por uma corrente igual a

,

onde fizemos e o valor da f.e.m. da bateria.

Resoluo:

Figura 17.1

Aplicando a lei das malhas no circuito da figura

17.1, teremos:

Malha xbyx:

(17.1)

Malha xabx:

(17.2)

Malha ayba:

a

b

x y

a

b

x y


11

(17.3)

Malha xayx: (17.4)

Da equao (17.1), temos: (17.5)

E da equao (17.4): (17.6)

Em que . Agora, utilizando (17.5) e (17.6) em (17.2), teremos:

(17.7)

Aps algumas manipulaes algbricas teremos: (17.8)

Questo 18

Considere a questo 17. Suponha que todas as

cinco resistncias sejam desiguais. Considere e calcule a resistncia equivalente entre os pontos x e y da figura 17.1.

Resoluo:

Vamos aproveitar as equaes da questo anterior

sendo que os resultados (17.5) e (17.6) sero

dados respectivamente por: (18.1)

E

(18.2)

Em que e . Assim, a expresso (17.8) toma a seguinte forma:

(18.3)

Desta forma, podemos obter a corrente total do

circuito :

(18.4)

Chamamos de resistncia equivalente, aquela que

ao ser conectada a bateria a mesma corrente total

se estabelece no circuito:

(18.5)

Assim, utilizando (18.1), (18.2), (18.3) e (18.4) em

(18.5), teremos:

(18.6)

Em que

(18.7)

Questo 19

Medida da resistncia. Um voltmetro

(resistncia interna ) e um ampermetro (resistncia interna ) so ligados a um resistor a fim de medir o valor R da sua resistncia como

mostra a figura 19.1. O valor da resistncia

obtido de , onde V dado pela leitura do voltmetro e i o valor da corrente que atravessa

o resistor R. Uma frao da corrente i registrada

pelo ampermetro passa atravs do voltmetro, de

modo que o quociente entre as leituras d


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apenas um valor aparente R para a resistncia.

Mostre que R e R esto relacionados por

Note-se que se , ento .

Figura 19.1

Resoluo:

A corrente que percorre o ampermetro dada

por: (19.1)

Em que a corrente que atravessa o resistor e a corrente que atravessa o voltmetro. O resistor e o voltmetro esto associados em

paralelo, portanto, esto sob a mesma d.d.p., a

saber, V. Assim, definimos a resistncia R por: (19.2)

No entanto, a resistncia R deve ser dada por: (19.3)

Substituindo (19.2) e (19.3) em (19.1), teremos: (19.4)

Em que .

Questo 20

Medida da resistncia. Numa medida de

resistncia, o ampermetro e o voltmetro tambm

podem ser ligados na forma indicada pela figura

20.1. Aqui, novamente, o quociente entre as

leituras dos instrumentos d apenas o valor de R

da resistncia. Mostre que, agora,

Onde a resistncia do ampermetro. Note-se que temos, outra vez, , quando .

Figura 20.1

Resoluo:

A d.d.p. medida pelo voltmetro dada por:

(20.1)

Em que a d.d.p. no resistor, dada por:

(20.2)

A d.d.p. no ampermetro, dada por:

(20.3)

A resistncia R definida de acordo com (19.2).

Assim, substituindo (19.2), (20.2) e (20.3) em

(20.1), teremos:

(20.4)

A V V

A V V


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Questo 21

Um resistor de e um capacitor esto ligados em srie, sendo-lhes subitamente aplicado

um potencial de 12 V. Sabendo-se que o potencial

atravs do capacitor sobe a 5 V em , qual a capacitncia do capacitor?

Resoluo:

Com a soluo da equao diferencial (veja, por

exemplo, Fsica III Sears e Zemansky 10

edio), temos para a d.d.p. nos terminais do

capacitor: (21.1)

Substituindo os dados teremos: (21.2)

Questo 22

Tome como referncia a figura 22.1. Suponha

que o capacitor esteja carregado com uma carga

mxima ; no instante t = 0 a chave S movida do terminal a para o terminal b. Mostre que toda

energia eltrica inicial transformada em calor por efeito Joule.

Figura 22.1

Resoluo:

Na descarga do capacitor, a expresso da carga

armazenada nele dada por:

(22.1)

A expresso da energia armazenada no capacitor

dada por:

(22.2)

Assim, utilizando (22.2) em (22.1), teremos:

(22.3)

Em que .

Assim, tomando o limite de (22.3), quando o

tempo tende ao infinito, teremos:

(22.4)

A energia cedida pelo capacitor foi aproveitada

pelo resistor em seu prprio aquecimento.

Podemos tambm encontrar a potncia dissipada

pelo resistor. De (22.1), teremos para a corrente

no resistor:

(22.5)

Utilizando (22.5), teremos para a potncia

dissipada:

(22.6)

Tomando o limite de (22.6), utilizando (22.4),

teremos:

(22.7)

a

b


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Questo 23

Sejam , respectivamente, as correntes e diferenas de potencial atravs dos

resistores do circuito da figura 23.1. Seja tambm a diferena de potencia entre as placas do capacitor C. (a) Faa um grfico que

descreva, qualitativamente, a dependncia com o

tempo das grandezas acima, a partir do momento

em que ligada a chave S. (b) Depois de

permanecer ligada durante vrias constantes de

tempo, a chave S desligada. Faa um novo grfico

qualitativo da variao com o tempo das mesmas

grandezas, a partir do momento em que S

desligada.

Figura 23.1

Resoluo:

a) Imediatamente aps a ligao, podemos

considerar o capacitor como um condutor comum.

Assim, teremos uma resistncia equivalente dada

por: (23.1)

Com isso, a corrente fornecida pela bateria ser: (23.2)

Depois de certo tempo, vrias vezes a constante

de tempo capacitiva, o capacitor est

praticamente carregado e a corrente no resistor 3

praticamente nula. Assim a resistncia

equivalente do circuito ser: (23.3)

E desta forma, a corrente fornecida pela bateria

ser:

(23.4)

Em que . Logo, teremos para os grficos do resistor 1:

Para o resistor 2, imediatamente aps a ligao,

teremos:

(23.5)

E

(23.6)

Utilizando (23.6) em (23.5), teremos:

S


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(23.7)

E (23.8)

Em que dada por (23.2). Pode-se observar que . Aps o intervalo de tempo de carga do capacitor supracitado, teremos:

(23.9)

Ento teremos para os resistores 2 e 3:

E para o capacitor, temos que inicialmente a

tenso nula. E para o intervalo de tempo vrias

vezes a constante de tempo capacitiva, a tenso

tende para a tenso do resistor 2. Assim, teremos:

b) Desligando a chave, teremos para o resistor 1, . Agora, levando em considerao que o capacitor se encontra carregado, a corrente

fornecida por ele ser:

(23.10)

Em que . O sinal negativo indica que a corrente fornecida pelo capacitor tem o


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sentido invertido. Assim, para os resistores 2 e 3

teremos:

Obs.: S por uma questo de coerncia com o sinal

da corrente, construiu-se o grfico com a curva

abaixo do eixo dos tempos.

Agora, para a tenso (d.d.p.) para os resistores 2 e

3, teremos:

Tambm aqui foram construdos os grficos com

as curvas abaixo do eixo dos tempos.

Questo 24

No circuito da figura 24.1, temos . Com o capacitor C completamente descarregado, a

chave S fechada, repentinamente (t = 0). (a)

Determinar, para t = 0 e t = , as correntes

atravs de cada resistor. (b) Representar

qualitativamente num grfico a queda de

potencial atravs de desde t = 0 at t = . (c) Quais so os valores numricos de em t = 0 e t = ? (d) Dar o significado fsico de t = e

estabelecer um limite inferior aproximado, mas

significativo (em segundos), para t = , neste

caso.

Figura 24.1

Resoluo:

a) Essa questo semelhante questo anterior.

Para t = 0, o capacitor, estando descarregado,

funciona como um condutor comum. Sendo assim,

a resistncia equivalente dada por (23.1).

Substituindo os valores, teremos para a

resistncia equivalente do circuito:

(24.1)

Com isso, a corrente fornecida pela bateria ser:

(24.2)

Que a corrente que percorre o resistor 1. Para os

resistores 2 e 3, como so idnticos:

(24.3)

S


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Agora para t = , a resistncia equivalente ser

dada por (23.3), ou seja: (24.4)

Logo, a corrente fornecida pela bateria ser: (24.5)

Que tambm ser a corrente do resistor 2. Como o

capacitor estar carregado, a corrente no resistor

3 ser nula.

b) e c)Utilizando os resultados de (24.3) e (24.5),

teremos:

(24.6)

d) Esse tempo o esperado para uma carga total

do capacitor. O limite inferior ser a constante de

tempo capacitiva RC. Sabemos que a equao para

a carga desse capacitor dada por: (24.7)

Ento a corrente no resistor 3 dada por: (24.8)

Para t = 0, teremos:

(24.9)

Assim, de (24.8), utilizando (24.6) e (24.9),

teremos:

(24.10)

Questo 25

Malha infinita. A rede com os resistores e indicados na figura 25.1 se estende at o infinito

pelo lado direito. Prove que a resistncia total dessa rede infinita dada por:

.

(Dica: Uma vez que a rede se estende at o

infinito, a resistncia da rede situada direita dos

pontos c e d tambm igual a )

Figura 25.1

Resoluo:

Um problema semelhante foi resolvido em:

Questes de eletricidade 6 em ensino mdio

exerccios resolvidos. A resoluo idntica ao

referido caso.

Seja a resistncia equivalente entre os

terminais c e d igual a . O fato de se adicionar aos terminais c e d um ramo esquerda com os

terminais a e b, no deve oferecer nenhuma

mudana significativa, ou seja, a resistncia

equivalente entre os terminais a e b tambm ser . Assim poderemos escrever:

a

b

c

d

. . .


18

(25.1)

Resolvendo a equao (25.1), teremos: (25.2)

Resolvendo a ltima equao de (25.2), por

Bhaskara, teremos: (25.3)

No entanto, devemos tomar o sinal positivo, pois . Logo: (25.4)

Questo 26

Axnios e cadeia atenuadora. A rede que se

estende at o infinito da figura 25.1 denomina-se

cadeia atenuadora, uma vez que nessa cadeia de

resistores a diferena de potencial entre o fio

superior e o fio inferior diminui, ou se atenua, ao

longo do comprimento da cadeia. A) Mostre que,

se a diferena de potencial entre os pontos a e b

indicados na figura 25.1 , ento a diferena de potencial entre os pontos c e d dada por , onde e , a resistncia total da rede, foi obtida na questo anterior (eq. (25.4)). B) Se a diferena de

potencial entre os terminais a e b da extremidade

esquerda da rede na figura 25.1 for , mostre que a diferena de potencial entre pontos do fio

superior e os pontos do fio inferior situados a uma

distncia igual a n segmentos da rede contados a

partir da extremidade esquerda dada por . Considerando , quantos segmentos sero necessrios para produzir uma

reduo da diferena de potencial at um valor menor do que 1% do valor de ? C) Uma cadeia atenuadora infinita fornece um modelo para

propagao de um pulso de voltagem ao longo de

uma fibra nervosa conhecida como axnio. Cada

segmento da rede na figura 25.1 representa um

pequeno segmento do axnio com um

comprimento . A resistncia representa a resistncia do fluido dentro e fora da parede da

membrana do axnio. A resistncia da membrana

para uma corrente que flui atravs da parede

representada por . Para um segmento de axnio com um comprimento (a parede da membrana um bom isolante). Calcule e para um axnio infinitamente comprido. (Essa afirmao boa,

visto que o comprimento do axnio muito maior

do que sua largura; o maior axnio no sistema

nervoso humano possui cerca de de comprimento, porm seu raio aproximadamente

igual a .) D) Qual a frao da diminuio da diferena de potencial entre a parte interna e a

parte externa do axnio depois de uma distncia

igual a 2,0 mm? A atenuao da diferena de

potencial mostra que o axnio no pode ser

simplesmente um cabo passivo conduzindo a

corrente eltrica; a diferena de potencial deve ser

periodicamente reforada ao longo do

comprimento do axnio pelo mecanismo do

potencial de ao. E) O mecanismo do potencial de

ao lento, de modo que o sinal se propaga ao

longo do axnio com uma velocidade de apenas . Quando se torna necessria uma resposta mais rpida, o axnio revestido com

uma camada de material gorduroso denominado

mielina. Os segmentos possuem comprimento

aproximado de 2 mm e so separados por lacunas

chamadas de nodos de Ranvier; os potenciais de

ao so gerados somente nesses nodos. A mielina

produz um aumento da resistncia de um

segmento de da membrana para . Para esse axnio revestido com a camada de mielina, qual a frao da diminuio

da diferena de potencial entre a parte interna e

parte externa do axnio depois de uma distncia

compreendida entre dois nodos de Ranvier

consecutivos? Essa atenuao menor permite que

o pulso chegue ao nodo seguinte com intensidade

suficiente para gerar um novo potencial de ao; a

velocidade de propagao aumenta porque o

pulso se desloca como um sinal eltrico

convencional nos segmentos que contm mielina.


19

Resoluo:

a) A diferena de potencial entre a e b dada por:

(26.1)

A diferena de potencial entre c e d dada por:

(26.2)

Utilizando (26.1) em (26.2), teremos:

(26.3)

Agora, utilizando a primeira equao de (25.2),

teremos:

(26.4)

b) Observa-se que para o primeiro segmento,

temos de (26.4):

(26.5)

Para o segundo segmento:

(26.6)

E claro, considerando a rede infinita:

(26.7)

Agora, seja . Teremos: (26.8)

Logo:

(26.9)

Utilizando (26.7) e (26.9), para ,

teremos:

(26.10)

Ou seja, cerca de 4 segmentos.

c) Substituindo os dados, teremos:

(26.11)

Um segmento possui um comprimento de ento 2,0 mm possui 2000 segmentos. Utilizando

(26.7) e (26.11), teremos:

(26.12)

d) Utilizando o novo valor para , teremos:

(26.13)

Ento:

(26.14)

Questo 27

Um capacitor de alarme contra ladres. A

capacitncia de um capacitor pode ser alterada

por um material dieltrico que, embora fora do

capacitor, esteja suficientemente prximo do

capacitor para ser polarizado pelo campo eltrico

existente nas bordas de um capacitor carregado.

Esse efeito da ordem de picofarads (pF), porm

ele pode ser usado com um circuito eletrnico


20

apropriado para detectar uma variao do

material dieltrico que est na vizinhana do

capacitor. Tal material dieltrico poderia ser o

corpo humano, e esse efeito poderia ser usado

para projetar um alarme contra ladres.

Considere o circuito simples indicado na figura

27.1. A fonte de tenso possui fem e o capacitor apresenta capacitncia . O circuito eletrnico para detectar a corrente,

representado por um ampermetro no diagrama,

possui resistncia desprezvel, sendo capaz de

detectar uma corrente da ordem de pelo menos e que persista por um tempo de pelo menos depois que a capacitncia mudar repentinamente de C para C. O alarme contra

ladres projetado para ser ativado quando a

capacitncia varia de 10%. A) Determine a carga

no capacitor de quando ele est plenamente carregado. B) Supondo que o

capacitor esteja plenamente carregado antes de o

intruso ser detectado e desprezando o tempo

necessrio para produzir a variao de

capacitncia de 10%, deduza uma equao que

fornea a corrente que passa em R em funo do

tempo t desde o momento em que a capacitncia

foi alterada. C) Determine o intervalo de valores

para os quais a resistncia R satisfaa as condies

especificadas do alarme contra ladres. O que

ocorreria se o valor de R fosse demasiadamente

pequeno? E se fosse muito grande? (Dica: No h

como resolver analiticamente o problema, porm

possvel usar um mtodo numrico. Expresse o

valor de R como uma funo logartmica de R mais

grandezas conhecidas. Comece com um valor

estimado de R e calcule pela expresso um novo

valor. Continue esse procedimento at obter um

valor de R com trs algarismos significativos.)

Figura 27.1

Resoluo:

a) A carga plena dada por:

(27.1)

b) Alterando o dieltrico, altera-se a capacitncia

e consequentemente altera-se a carga do

capacitor. Assim, aplicando a lei das malhas

teremos:

(27.2)

Em que q e C so respectivamente a nova carga e

a nova capacitncia. Resolvendo a equao

diferencial (27.2), com , teremos:

(27.3)

Em que dada por (27.1) e . Logo, para a corrente, teremos:

(27.4)

c) Utilizando os valores fornecidos, teremos, para

(27.4):

(27.5)

Para satisfazer a equao (27.5), temos que:

(27.6)

E de forma um tanto bvia, R > 0. Podemos

determinar os valores de R que satisfaam a

equao (27.5) construindo os grficos das duas

funes.

A


21

Sejam . Para os grficos, teremos:

As curvas se cruzam nos pontos em que . O grfico foi construindo a partir de uma planilha. Esse

processo no muito preciso. No entanto nos

fornece uma boa aproximao.

Agora, utilizando o seguinte algoritmo em C++,

possvel encontrar os valores aproximados

acima citados com maior preciso.

//

// Programa para calcular o valor da resistncia para o alarme de presena

//

#include

#include

#include

#include

using namespace std;

int main(int nNumberofArgs, char* pszArgs[])

{

double nL = 1.0;

double Delta = 1.0e-8;

while (nL < 9.0e+7)

{

double A = (1.1e-8)*nL;

double B = -2.0e+7/(1.1*nL);

double Dif = log(A) - B;

if (Dif < Delta && Dif > -Delta)

{

cout

Física 3-07

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