OCEANOGRAFA FSICA DINMICAVII. Ecuacin de conservacin.Consideremos un pequeo cubo de tamao x, y y z, dentro de un gran volumen de un lquido (figura 42). La densidad del fluido en el elemento cubico es . Podemos asumir que hay un flujo hacia adentro y un flujo haca afuera en todas las caras del cubo, pero para fines prcticos consideramos primero el fluido en la direccin x. La tasa en la que la masa est entrando en el cubo va a estar dada por 11yz, y la tasa en la que la masa est saliendo del mismo es 22yz. Por lo que la tasa de cambio ser:

Figura 42.

Podemos asumir que tanto la densidad como la velocidad cambian continuamente dentro del cubo y que:

Mientras que:

Puesto que al sustituir las expresiones 7.4 y 7.5, en la ecuacin 7.3 se obtiene una igualdad:

De igual manera tenemos que:

Si sustituimos las ecuaciones 7.4, 7.5, 7.6, 7.7 en 7.2 tenemos:

Si la ecuacin 7.8 se reduce a su forma diferencial tenemos:

De manera similar se puede obtener las tasas de cambio en las direcciones y y a, lo que nos da:

Cuando se trata de un fluido que tiene densidad constante, la ecuacin 7.10 puede expresarse como:

Lo que se puede simplificar a:

O bien en forma vectorial.

Donde define al operador.

Y donde:

Las ecuaciones 7.11 y 7.12 son las ecuaciones de continuidad o ecuaciones de conservacin de la masa para un lquido homogneo incompresible.La derivacin para la conservacin de sal (y otras caractersticas conservativas) es similar a la ecuacin de continuidad. La sal se mide generalmente en trminos de la salinidad.

Donde Ms es la masa de sal y Mw es la masa de agua. El producto esta en unidades de masa por unidad de volumen, lo que se requiere para la derivacin.Por analoga con la ecuacin de continuidad, el flujo de sal hacia adentro del cubo unidad en la direccin x es S11u1yz y el flujo haca afuera es S22u2yz usando argumentos idnticos, puede mostrarse que el cambio en la masa de sal dentro del cubo, provocada por el flujo de agua ser:

Usando el mismo procedimiento para evaluar la tasa en la cual entra y sale la sal en las direcciones y, z del cubo y reduciendo tenemos:

Al expandir la ecuacin anterior tenemos que:

Si asumimos la salinidad constante, tenemos:

Las ecuaciones 7.13 y 7.14 son las ecuaciones de la conservacin de la salinidad para un lquido homogneo incompresible.

VIII. ECUACIN DE MOVIMIENTO.Cualquier discusin cuantitativa de fuerzas y movimientos requiere de un sistema de coordenadas. El sistema ms comnmente utilizado en oceanografa es el de coordenadas cartesianas rectangulares en el que se asume que la tierra es plana. Un sistema de coordenadas esfricas es ms realista pero tambin es ms complicado. El sistema cartesiano, como se ha podido comprobar, es adecuado para casi todos los problemas en oceanografa fsica.La convencin usual es en el que el eje x apunta hacia el este, el eje y apunta hacia el norte y el eje z apunta hacia arriba. Los vectores correspondientes son u, v, w.La segunda Ley de Newton establece que la aceleracin de una partcula es proporcional a la suma de las fuerzas que actan en la partcula.

Cuando la ecuacin 8.1 se aplica a movimientos de fluidos puede expresarse como:

Donde se sobreentiende que las fuerzas son por unidad de volumen.Como la ecuacin 8.2 se deriva de la ecuacin 8.1, tenemos que:

Las ecuaciones 81 y 8.2 sea pilcan a las componentes de las fuerzas que actan en la direccin x. Ecuaciones similares pueden escribirse para las fuerzas componentes que actan a lo largo de los otros ejes.

Hay cuatro tipos importantes de fuerzas que actan en una partcula de fluido en el ocano: gravitacional, gradiente de presin, friccin y Coriolis. De manera generalizada la ecuacin 8.2 puede expresarse como:

8.5

La expresin matemtica para las fuerzas de gravedad, presin y Coriolis puede ser dada tan fcilmente cmo en la ecuacin 8.5. Las diversas formas de fuerzas friccinales no son tan simples y son considerablemente difciles de medir en el ocano.A continuacin vamos a analizar cada una de las componentes de la ecuacin 8.5, que es la ecuacin de movimiento.1. ACELERACIN.Antes de entrar en detalle de las fuerzas anteriormente sealadas, es necesario mencionar algunos aspectos acerca de la aceleracin de los fluidos. La segunda Ley de Newton tiene gran aplicacin en la mecnica de fluidos, como en el caso de la ecuacin 8.4, 8.4-1 y 8.4-2, que se aplica a1 movimiento de las partculas. En mecnica de fluidos hay dos clases de aceleracin. La primera es llamada aceleracin de la partcula. y la segunda aceleracin local. A pesar de que se pueden definir en trmino de las otras, las dos no son idnticas. Considrese la figura 43, en la que un volumen constante de agua ha sido forzado a fluir a travs de un canal que se hace cada vez ms angosto. Una partcula del fluido que pasa por el canal est siendo acelerada a medida que se mueve de A hacia B, sin embargo, un corrientmetro insertado en cualquier punto a lo largo del canal registra una velocidad promedio constante. Entonces en este ejemplo la aceleracin local es cero.

Figura 43.(a) A medida que el canal se hace mas angosto el agua debe fluir ms rpidamente. Un corrientmetro localizado en A o en B detecta una velocidad constante. De cualquier forma la velocidad de una partcula se incrementa al ir de A hacia B. (b) La aceleracin local es cero; no existe aceleracin promedio de las partculas entre A y B. (Knauss, 1978).

En muchos problemas es recomendable escribir la ecuacin 8.4 en trminos de la aceleracin local, en lugar de escribirla en trminos de la aceleracin de la partcula. Ambas estn relacionadas de la manera siguiente: En un fluido, la velocidad no es slo funcin del tiempo, sino tambin del espacio, es decir:

Por la regla de diferenciacin de la cadena tenemos:

Puesto que:

Entonces:

Para enfatizar la derivada total se puede escribir como :

Donde el subndice indica la derivada parcial. Similarmente:

En general podemos decir que:

En notacin vectorial:

O en general:

Ntese que o es la aceleracin de la partcula, y es la aceleracin local.

2. GRADIENTE DE PRESIN.De los otros trminos de la ecuacin 8.5, el gradiente de presin es el ms fcil de visualizar. Una partcula que se mueve de una regin, de alta presin a otra de baja presin, sufre una aceleracin, proporcional al gradiente .de presin. Una analoga mecnica la tenemos cuando una bola se mueve en un plano inclinado, sin friccin. La bola rueda hacia abajo por el plano (de alta a baja presin), y la aceleracin de la bola es proporcional a la inclinacin del plano (gradiente de presin).Hagamos la deduccin de las ecuaciones que representan el gradiente de presin;Considrese un cubo dentro de un fluido con densidad , con lados x, y, z, y dejamos a este elemento del fluido entrar en un canal donde la presin se incrementa de la izquierda a la derecha, como se muestra en la figura 44.

Figura 44.Recordando que una fuerza de presin es igual a la presin multiplicada por la seccin cuadrada del rea, con el vector fuerza actuando normal a la seccin cuadrada, la fuerza en los dos lados del cubo ser:

Hagamos a P2 ligeramente mayor que P1, entonces:

La masa del elemento fluido es simplemente, el valor de la densidad multiplicado por el volumen, es decir:

Introduciendo estas igualdades a la segunda ley de Newton, tenemos:

Entonces:

Haciendo el cubo muy pequeo, la ecuacin anterior toma la forma diferencial:

Ntese que F2 tiene signo negativo debido a que la fuerza fue dirigida en la direccin -x. El significado del signo negativo en la ecuacin final es que la partcula simplemente es acelerada de una regin de alta presin haca una regin de baja presin. Una derivacin similar puede ser hecha en las otras dos direcciones {y , z), lo que nos da:

8.10

En notacin vectorial:

Los gradientes de presin se presentan en una gran variedad de formas. Una de las ms simples es por medio de la pendiente de la superficie del agua, imagine un recipiente con un fluido ideal cuya densidad es , y que de alguna manera se puede tener la pendiente de la superficie como se muestra en la figura 45.

Figura 45.La pendiente de la superficial del mar crea un gradiente de presin (Ec. 8.12). (Knauss, 1978).

Recordando que la presin en cualquier punto en un fluido es simplemente el peso, tenemos:

El trmino resultante de gravedad de presin es:

Donde l es la pendiente de la superficie del lquido.

Puede mostrarse fcilmente que el gradiente horizontal de presin es idntico en cualquier parte dentro del lquido. Entonces, si no hay otras fuerzas que interacten, se dice que todo el lquido podra ser acelerado hacia la regin de baja presin (Ec. 8.10).3. FUERZA DE CORIOLISLa fuerza de Coriolis es de las cuatro fuerzas la ms difcil de comprender, porque la introduccin fsica es de poca validez. La mayora de nosotros tenemos algunas ideas cualitativas de las fuerzas de gravedad, presin y friccin; pero hay muy poco de nuestra experiencia que nos indique que le pasa a una partcula bajo la Influencia de la fuerza de Coriolis.La primer cosa que debemos comprender de la fuerza de Coriolis es que no es realmente una fuerza, ms bien es el efecto que sobre una partcula tienen las fuerzas de gravedad, presin y friccin en una tierra rotativa. Un ejemplo de esto es el siguiente:La tierra con un radio de aproximadamente 6,400 km da una vuelta sobre su eje de rotacin cada 24 horas y tiene velocidades tangenciales como las indicadas en la figura 46.

Figura 46,Debido a que con la latitud se produce un cambio de la velocidad tangencia!, una partcula que se est moviendo hacia el ecuador, parece ser acelerada hacia el oeste. (Knauss, 1978).

Supongamos que una partcula de agua se mueve hacia el sur a 1 m/s y que se encuentra a 45 LAT N y que la nica fuerza que acta sobre ella es la gravedad. De acuerdo con la primera Ley de Newton, una partcula en movimiento continuar movindose a una velocidad constante, en ausencia de cualquier fuerza. Entonces en un poco menos de dos das la partcula habr pasado los 30N, continuando a 1 m/s hacia el sur. Por supuesto la velocidad de 1 m/s es medida en relacin a la Tierra. En un sistema coordenado la partcula tambin tiene una velocidad de 326 m/s hacia el este. Mientras la velocidad tangencial a los 30N es de 402 m/s. Por lo que para un observador en la Tierra parecera que la partcula no slo tiene una componente hacia el sur de 1 m/s, sino que adems viaja hacia el oeste a una velocidad de 76 m/s. Por lo que para este observador parece que la partcula sufre una gran aceleracin hacia el oeste.Si hacemos lo mismo, pero en sentido contrario, es decir que la partcula viaja hacia el norte, partiendo de 30N a 1 m/s, cuando est a 45N, aparentemente habr viajado hacia el este a 76 m/s. A medida que movemos nuestra partcula de norte a sur y viceversa encontramos que: en el hemisferio norte la aceleracin aparente es siempre a la derecha de la direccin en la cual se mueve la partcula, mientras que en el hemisferio sur la aceleracin aparente es hacia la izquierda de la direccin del flujo. En el ecuador, la aceleracin pasa por un punto de inflexin ya que aqu no hay aceleracin de Coriolis.Como un segundo ejemplo considrese un pndulo suspendido en el polo norte y libre de moverse en cualquier direccin. Asuma que a las 12 A.M. se pone en movimiento de tal manera que oscile a lo largo de la lnea 90E - 90W. En ausencia de otras fuerzas continuar oscilando en la misma direccin a medida que la tierra gira bajo l. De tal forma que al cabo de una hora se ha movido 15 en el sentido de las manecillas del reloj. En 12 horas el pndulo estar oscilando nuevamente en la direccin 90E - 90W.

Figura 47.Un pndulo en el polo norte oscilar en su plano original. Para un observador en la Tierra, que esta rotando bajo el pndulo, parece que el pndulo estuviera rotando en el sentido de las manecillas del reloj a la tasa de 15/h. (Knauss, 1978).

Un resultado semejante ocurre en el hemisferio sur, slo para un observador que est en el espacio mirando hacia el sur, la Tierra parece girar en el sentido de las manecillas del reloj, mientras que para un observador situado en la superficie de la Tierra (en el polo sur), el pndulo parecer rotar en el sentido contrario de las manecillas del reloj.Imagine ahora un pndulo oscilando a o largo del eje (cartesiano) este-oeste en el Ecuador. A medida que la Tierra gira bajo l, el pndulo continuar oscilando a lo largo de este eje. Se puede demostrar que el tiempo necesario para que el pndulo rote a 180, de manera que oscile en el plano original es:

Donde es la latitud. A 90 de latitud el periodo es de 12 horas, en el ecuador el perodo es infinito. Un pndulo que se comporta de acuerdo a la ecuacin 8.13 se llama pndulo de Foucault.La obtencin del trmino de Coriolis puede ser hecha mediante algebra vectorial. Tmese el centro de la tierra como el origen del sistema coordenado. Un punto de la superficie de la Tierra estar dado por:

Donde i, j, k son los vectores unitarios que indican el este, el norte y hacia arriba con respecto a la superficie de la Tierra (Figura 48).

Figura 48.(Knauss, 1979)

Tomando la derivada de R con respecto al tiempo obtenemos dos juegos de trminos:

El primer trmino de la derecha representa el movimiento de ese punto en la superficie de la Tierra en relacin con un sistema fijo de coordenadas en la tierra. Este es el trmino al que usualmente nos referimos como la velocidad (V), y representa el movimiento que un observador en la tierra mide cuando ignora (como siempre lo hacemos) la rotacin de la tierra y su movimiento a travs del espacio. A este trmino le vamos a llamar velocidad relativa (R):

En donde el punto significa la derivada con respecto al tiempo:

El segundo trmino es el movimiento del sistema coordenado, es el movimiento de un punto fijo en la tierra en relacin al origen. Esto ltimo es simple y sencillamente el producto cruz del radio vector y de la velocidad angular de la tierra:

As el movimiento del punto en la superficie de la tierra, en relacin con un sistema coordenado cuyo origen es el centro de la tierra, es de dos clases:El movimiento en relacin con un sistema de coordenadas fijo en la superficie de la tierra y la rotacin de te sistema fijo en coordenadas.

El siguiente paso es calcular la segunda derivada de R con respecto al tiempo. Se puede derivar la ecuacin 15 despus de reducir los 12 terminos resultantes, o bien mediante el operador.

Entonces:

Ya que asumimos que la velocidad angular de la Tierra es constante, el tercer trmino de la derecha es cero:

El trmino en el lado izquierdo es la aceleracin de un punto en la superficie de la tierra, medida con respecto a un sistema coordenado cuyo origen es el centro de la tierra. El primer trmino en la derecha es la aceleracin en relacin a un sistema coordenado fijo en la superficie de la tierra. Es la aceleracin que un observador (parado sobre la superficie de la tierra) mide cuando no toma en cuenta la rotacin y el movimiento en el espacio, El segundo trmino representa la aceleracin de Coriolis. El tercer trmino est relacionado con lo que generalmente consideramos como una parte del campo gravitacional de la tierra. El trmino de Coriolis relaciona la aceleracin medida con respecto a un sistema coordenado cuyo origen es el centro de la tierra con respecto a otro sistema coordenado fijo en una tierra rotante.El paso final es trasladar los trminos de Coriolis al sistema de coordenadas fijo en la superficie de la tierra. Utilizando la notacin usual, tenemos que:

En donde es la latitud.

Los primeros dos trminos son aquellos a los que en oceanografa generalmente nos referimos como aceleracin de Coriolis. El tercer trmino es generalmente ignorado, debido a que las velocidades verticales promedio en el ocano se consideran menores que las horizontales en varios rdenes de magnitud. Por supuesto este trmino no puede ser ignorado en problemas de balstica, en donde la velocidad vertical puede ser igual o mayor que la horizontal. El cuarto trmino es la direccin de la gravedad.De una manera similar puede ser demostrado que:

Donde r = R cos La ecuacin 8.19 representa la distancia de un punto sobre la tierra desde el eje de rotacin. Note que estos trminos son una funcin solamente de la posicin e independientes de la velocidad (importantes para determinar el campo gravitacional de la tierra).En ausencia de cualquier fuerza externa el lado izquierdo de la ecuacin 8.17 es cero, ignorando el trmino gravitacional (Ec. 8.19) y recordando que:

La ecuacin 8.17 queda:

En donde es Igual a 2 sen . Los trminos en el lado derecho de las ecuaciones 8.20, 8.21 y 8.22 son los trminos de la fuerza de Coriolis. Como se hizo ver anteriormente la velocidad vertical en el ocano es generalmente menor que la velocidad horizontal y el trmino w 2 cos es generalmente ignorado.A. EVALUACIN DE LA ACELERACIN DE CORIOLIS.La velocidad angular de la Tierra () es de 7.292 X 10-5 rad/s :

A 45 de latitud:

Considrese un rifle que dispara una bola a 3000 pies/s, la aceleracin de Coriolis ser de 1.03 x 10-4 X 3000 igual a 0.309 pie/s2. En 0.3 segundos la bola habr viajado 300 yardas (900 pies). Esta aceleracin producir un desplazamiento transversal (s = 1/2 at2) de 0.17 pulgadas, el cual es de importancia menor en relacin a otras fuerzas que intervienen. Ahora consideremos un automvil en la misma latitud, con una velocidad de 60 millas por hora (88 pie/s). La aceleracin de Coriolis ser de 0.00905 ft/s2. En los 60 segundos que tarda el auto en viajar una milla la desviacin ser de 16 pies, lo que no es de importancia considerando otras aceleraciones de mayor magnitud. Sin embargo, en el caso de una corriente ocenica, con una velocidad de 1 nudo, la aceleracin de Coriolis ser de tan solo 2.86 x 10-8 millas nuticas/s2, pero en una hora que tarda en viajar una milla, el desplazamiento transversal computado es de 0.186 millas, o sea aproximadamente un 20% de la distancia viajada. Por lo que cuando se trata de sistemas que viajan a poca velocidad el valor de la aceleracin de Coriolis se hace importante.4. GRAVEDAD.En el sistema coordenado que ha sido asumido la gravedad acta a lo largo del eje z. A pesar de que la gravedad varia de lugar a lugar, el cambio es insignificante para cualquier problema en oceanografa fsica. La gravedad superficial cambia tan solo un 0.5% (978 cm/s2 en el ecuador y 983 cm/s2 en los polos) con respecto a la latitud. El decrecimiento en el potencial gravitacional est relacionado con el giro de la Tierra. El primer trmino de la ecuacin 8.23 es la fuerza centrfuga., la cual vara entre 0 en los polos y 3.4 cm/s2 en el ecuador. Los restantes 5 cm/s2 entre el ecuador y los polos est relacionado con el hecho de que el radio terrestre es 22 km ms grande que el radio polar.Si la tierra fuera de densidad uniforme, la gravedad disminuira linealmente con la profundidad, pero como la densidad de la Tierra se incrementa con la profundidad, aunque el cambio es pequeo, tenemos que:

Donde la profundidad se mide en metros. Aunque en el fondo de la trinchera ms profunda el valor de la gravedad es tan slo 0.25% mayor que en la superficie.Las mediciones de gravedad en el mar son generalmente hechas desde un barco en movimiento. Un instrumento que mide la aceleracin no puede distinguir un tipo de aceleracin del otro. Las aceleraciones de periodo corto, como el bamboleo de un barco, pueden ser promediadas y descartadas, pero la aceleracin centrfuga debida al movimiento del barco no. En la ecuacin 8.18 el trmino 2u sen es una componente horizontal, mientras que 2u cos es la componente vertical, La componente horizontal es la fuerza de Coriolis, en tanto la componente vertical 2u cos que acta en la direccin del vector gravitacional es la correccin de Eotvos que debe de aplicarse a todas las observaciones de gravedad si estas se hacen desde una plataforma en movimiento, Un barco con una velocidad de 110 nudos, que viaja hacia el Este tendr una correccin de Eotvos de por lo menos 50 miligales (1 gal = 1 cm/s2) en latitudes medias.

5. FRICCIN.La ltima fuerza que discutiremos de la ecuacin de movimiento es la friccin. Un viento que sopla sobre la superficie del agua pondr en movimiento el agua de la superficie. Como el agua es viscosa, la fuerza friccional aplicada al agua ser transmitida hacia abajo. Si el viento cesa disminuir la velocidad del agua, hasta detenerse, finalmente a medida que la viscosidad del agua acta transformando la energa cintica en energa calorfica. La viscosidad molecular del agua se conoce por lo que la transferencia y disipacin de la energa puede ser calculada. De acuerdo a dichos clculos, el efecto de un viento de 20 nudos que sopla sobre la superficie del agua durante 48 horas podr ser detectado hasta dos metros bajo la superficie, A pesar de que cualquier persona sabe que el efecto se registrar a mayores profundidades. El problema no es con la teora molecular de la viscosidad, sino que el esfuerzo se transmite por procesos turbulentos.Considrese un viento en la superficie, el cual transfiere al agua una velocidad de un nudo. El momentum es transferido hacia abajo por movimiento molecular, movimiento de molculas asociado con la energa trmica del fluido. A medida que las molculas se mueven dentro del lquido, los patrones del flujo microscpico cambian gradualmente. .Asumiendo que haya alguna forma de mantener una velocidad constante en la superficie, el flujo despus de un da, 10 das y 1 ao podra ser como se muestra en la figura 50, donde las dimensiones y escalas son correctas para agua cuya viscosidad molecular es de 10-2 g/cm seg.Todo el movimiento es turbulento en el ocano. Entonces hay una transferencia de momentum hacia abajo por movimiento molecular y por movimiento turbulento. Algunos cientficos consideran el proceso de transferencia como un proceso anlogo al molecular, entonces el coeficiente de viscosidad de Eddie que es mucho mayor que el coeficiente de viscosidad molecular puede ser sustituido. Sin embargo, hay un problema de escala cuando se hace dicha sustitucin, de cualquier manera uno cree en la validez de la sustitucin.Los procesos friccinales disipan la energa cintica en la misma medida en la que la distribuyen. En ltimo caso la transferencia de energa cintica a energa calorfica deber ser por procesos de viscosidad molecular. Pero, como en un problema de la redistribucin inducida por el viento, la consideracin de procesos moleculares y coeficientes moleculares es insuficiente para tomarlo en cuenta en las observaciones. Unas cuantas mediciones sugieren que la transferencia de energa cintica a energa calorfica es del orden de 10-4 a 10-5 erg g-1 s-1. Hay algunas sugerencias de que la transferencia es mayor en regiones de corrientes fuertes, como por ejemplo, las corrientes de marea donde se ha encontrado un valor de 10-2 erg g-1 s-1.

Figura 49.Distribucin de la velocidad basada en la viscosidad molecular, despus de 1 da, 10 das y 1 ao, asumiendo una corriente superficial con una velocidad de 1 nudo. (Knauss, 1378)

Si la viscosidad de Eddie es considerada como una analoga fsica exacta de la viscosidad molecular, los trminos friccinales en la direccin x, y & z son:Friccin X.

Friccin Y.

Friccin Z.

8.24

Donde el subndice h y z denotan los coeficientes horizontal y vertical de viscosidad de Eddie, Los valores caractersticos son:

El efecto del viento que sopla sobre la superficie del ocano y la transferencia consecuente de momentum a ste por la viscosidad de Eddie puede ser escrito como:

8.25Donde y son los componentes en _x y en y del esfuerzo del viento. Sin embargo la manera ms simple de expresar los trminos de friccin es haciendo la suposicin de que la friccin es proporcional a la velocidad;

Friccin (x) = -JuFriccin (y) = -JvFriccin (z) = -JwNinguno de estos trminos es muy utilizado en procesos de transferencia turbulenta o de disipacin turbulentaUna forma ms sencilla es la de considerar a las corrientes compuestas de dos componentes, una componente promedio y otra turbulenta. El flujo registrado por un corrientmetro en una hora puede ser promediado para dar un flujo medio de u o si este flujo promedio es restado de la corriente instantnea, el remanente podra ser el componente turbulento u. Entonces la componen te instantnea u puede ser escrita como la suma del flujo promedio y del flujo turbulento.Si esta separacin se hace para cada trmino de la ecuacin 5, entonces esta ecuacin podra ser escrita en trminos del flujo promedio multiplicado por una serie de trminos remanentes, que Incluyen u,v, w . Estos trminos friccinales se llaman esfuerzo de Reynolds y son:Friccin x.

Friccin y.

Friccin z.

Por tanto, despus de analizar los diferentes trminos de la ecuacin 8.5 podemos resumir brevemente que las fuerzas que equilibran el trmino de aceleracin son 4: 1) La fuerza de gradiente de presin 2) La gravedad. 3) La friccin4) La fuerza de CoriolisEntonces:

Donde se refiere al esfuerzo del viento sobre la superficie del ocano.Otra forma de expresar la ecuacin de movimiento es al sustituir los trminos de la aceleracin en la ecuacin de movimiento:

Donde x, y, z: son fuerzas friccionales no definidas.

IX. CORRIENTES MARINAS.Las corrientes, que no son otra cosa que movimientos de masas de agua a gran escala, ocurren en cualquier parte del ocano. Las fuerzas generadoras de las corrientes provienen principalmente de los vientos y de la desigual distribucin de temperatura en las aguas ocenicas.Las corrientes marinas han sido cartografiadas desde hace cientos de aos, sin embargo las tcnicas modernas de observacin de corrientes en el ocano incluyen equipo muy sofisticado como es el caso de las boyas que se emplean para determinar la velocidad y direccin de las corrientes en el ocano.Algunas corrientes marinas tienen una longitud de algunos cientos o incluso miles de millas. A pesar de que el movimiento de las partculas de agua sufre muchas variaciones en su velocidad y direccin, las corrientes se caracterizan por sus velocidades y direcciones promedio, cuando existe poca variacin en los valores promedio de una corriente a lo largo del tiempo, en una localidad dada, se dice que sta es una corriente permanente; tambin existen movimientos de agua temporales, causados por factores variables o inestables a lo largo del ao, como por ejemplo los vientos.Otro tipo de corrientes lo constituyen las denominadas peridicas como las que se verifican acompaadas por las mareas. Estas tienen un sentido de flujo y reflujo en las bahas, esteros y ensenadas, pero cuando se manifiestan en el ocano abierto el desplazamiento de las partculas de agua vara constantemente a lo largo del tiempo, recorriendo generalmente todas las direcciones y creando un movimiento de marea giratorio, que en el hemisferio norte se caracteriza por seguir una trayectoria en el sentido de las manecillas del reloj, mientras que en el hemisferio sur la trayectoria es en el sentido contrario a las manecillas del reloj.De acuerdo a sus caractersticas las corrientes ocenicas se han clasificado de la siguiente manera:1) Por su origen:a) Corrientes de densidad producidas por la variacin de la distribucin horizontal de temperatura y salinidad.b) Corrientes inducidas por el viento, que surgen por fuerzas friccinales entre el viento y la superficie del agua.c) Corrientes de marea de viento, producidas por el desnivel de la superficie del mar provocado por la fuerza del viento.d) Corrientes de marea, que son el resultado de la accin gravitacional del sol y de la luna sobre las masas de agua ocenicas.e) Corrientes de gradiente brico, producidas por el alzamiento del nivel del mar en un rea determinada que se manifiesta como el resultado de las variaciones en la distribucin de la presin atmosfrica.2) Por su estabilidad o duracin:a) Corrientes permanentes, las que se observan siempre en un lugar determinado y presentan una velocidad y direccin promedio constante.b) Corrientes temporales, ocurren por la accin aperidica del viento.c) Corrientes peridicas, que se repiten en lapsos determinados de tiempo y en sucesin especfica.3) Por su profundidad; se dividen en superficiales, profundas y de fondo.4) Por su trayectoria; Se dividen en rectas y curvas.De sta clasificacin la ms importante es la que indica o explica el origen de las corrientes en el mar. Cabe sealar que las corrientes en el ocano son comnmente el resultado de la interaccin de varios factores y muy raras veces el de una slo.Cuando surge una corriente ocenica se ve inmediatamente afectada por fuerzas secundarias que nicamente la modifican ya que por s mismas no pueden generar desplazamiento de partculas.Estas fuerzas son:1) La fuerza de Coriolis, que desva hacia la derecha a cualquier partcula que se mueva en el hemisferio norte y a la izquierda a las que se mueven en el hemisferio sur.2) La fuerza de friccin, que se opone al movimiento de las partculas.3) La fuerza centrfuga, que vara de acuerdo a la latitud.A continuacin analizaremos algunos de los tipos ms comunes de corrientes marinas, basndonos en la ecuacin de movimiento.1. FLUJO GEOSTRFICO.Asmase que las corrientes marinas son horizontales y permanentes y que el viento y otras fuerzas friccinales son lo suficientemente pequeas para ser despreciadas. Sin los trminos de aceleracin y friccin la ecuacin de movimiento se reduce en el plano vertical a la ecuacin hidrosttica y a un balance entre la fuerza de presin y la fuerza re Coriolis en el plano horizontal de donde tenemos que:

Las ecuaciones 9.1 y 9.2 son las ecuaciones geostrficas, y las corrientes que se rigen de acuerdo a ellas son denominadas corrientes geostrficas. Las corrientes ms grandes en el ocano, tales como la Corriente del Golfo, la Circumpolar Antrtica y las Ecuatoriales son, en una primera aproximacin, corrientes geostrficas.

Las consecuencias de las ecuaciones geostrficas son extraordinarias; imagnese una elevacin del nivel del agua con una cierta inclinacin, donde sera de esperarse que el agua fluyera a lo largo de la pendiente desde la parte superior de la colina, lo cual no sucede debido a que por el efecto de Coriolis el agua se desplaza paralela a la pendiente girando alrededor de la elevacin.Las fuerzas que intervienen en el balance geostrfico son muy pequeas, generalmente menores que 1/100 dina/g, comparadas con las fuerzas hidrostticas que a los 100 metros de profundidad son de 107 dina/g, sin embargo, a pesar de su magnitud, las fuerzas de gradiente de presin y las de Coriolis, son las fuerzas horizontales ms importantes en el ocano, ya que prcticamente todas las estructuras de circulacin ocenica se encuentran en un balance geostrfico aproximado.Por ejemplo, la corriente del Golfo depende principalmente de la pendiente en la superficie del mar; se ha calculado que la pendiente superficial necesaria para mantener la corriente del golfo es de aproximadamente de 1:100000, como consecuencia el nivel del mar en Las Bermudas es aproximadamente 1 m ms alto que el nivel del mar en la costa este de los Estados Unidos.Las pendientes superficiales de 10-5 o menos no pueden ser medidas directamente. Existen una gran variedad de tcnicas para medir la pendiente superficial, la ms simple y ms utilizada consiste en asumir que el gradiente horizontal de presin disminuye con la profundidad, hasta que en una cierta distancia no existe gradiente de presin (Fig. 50). Si no hay gradiente horizontal de presin en la profundidad h entonces la presin en a ser igual a la presin en b; pero si la densidad promedio del agua en b es menor que en a, entonces la altura de la columna de agua en b ser ms grande.

Figura 50.Dada la distribucin de densidad en las estaciones a y b, como se muestra en la figura superior izquierda, la distribucin vertical de presin hidrosttica y de altura dinmica equivalentes se muestran en las figuras superior derecha y superior central. S asumimos que a una profundidad h existe un nivel de superficie donde no hay gradiente de presin horizontal entonces la variacin de pendiente y de gradiente de presin ser como se muestra en las figuras inferiores. (Knauss, T978).Como un ejemplo real, considere la distribucin de temperatura a travs de la corriente del Golfo (Fig. 51). El agua densa y fra costera est en la izquierda, el agua tibia ligera del mar de los Sargasos se encuentra a la derecha. Asumiendo que no hay, o que por lo menos es muy pequeo el gradiente horizontal de presin a una profundidad de 4000 m tendramos una columna de agua ms alta en el mar de los Sargasos que en la regin costera, lo que provoca que la pendiente de la superficie del mar decrezca hacia la izquierda. Entonces el gradiente de presin acta a la izquierda y se equilibra con la fuerza de Coriolis que acta hacia la derecha, como la corriente del golfo fluye en la direccin de su trayectoria.

Figura 51.Distribucin tpica de temperatura en la corriente del Golfo. Si se asume que no hay gradiente de presin horizontal a 4000 m, entonces la pendiente de la superficie del mar ser como se indica. Para balancear el gradiente de presin deber haber una corriente geostrfica superficial que fluir del observador hacia adentro del papel, (Knauss, 1978)

Si uno ve en la direccin de la corriente la pendiente de la superficie sube hacia la derecha en el hemisferio norte. Entre ms grande sea la pendiente la corriente superficial ser ms fuerte. sta pendiente superficial est relacionada con la pendiente de la termoclina, la cual generalmente es inversa a la superficial, como puede apreciarse en la figura 52, que muestra un corte de seccin de las principales corrientes ecuatoriales en el Pacfico.

Figura 52Las corrientes nor y sud-ecuatorial fluyen hacia el oeste, separadas por la Contracorriente Ecuatorial (que fluye hacia el este) entre los 5 y 10N. Las corrientes estn confinadas casi completamente dentro de la capa de mezcla de la termoclina. Para que estas corrientes estn en balance geostrfico, la pendiente de la termoclina y de la superficie del mar deber ser como se muestra en la figura superior. La figura inferior muestra una distribucin de temperatura tpica para el Pacfico del Norte, la pendiente de la termoclina esta generalmente de acuerdo con lo que se muestra en el dibujo de la figura 53-a. (Knauss, 1978)

A. ECUACIN DE MARGULESEl ocano esta estratificado continuamente. Sin embargo, para fines prcticos puede pensarse en un ocano compuesto de dos o ms capas, cada una con una densidad constante, bajo estas suposiciones uno puede calcular fcilmente el flujo geostrfico, conociendo la densidad de cada capa, la pendiente de la superficie del mar, y la pendiente de las interfases entre las capas. La ecuacin de Margules permite calcular ms precisamente la corriente geostrfica en la capa ms baja de las dos capas si se conoce el flujo geostrfico de la capa superior as como la pendiente de la interfase:

Cuando i es la pendiente de la interfase en la direccin x, y los subscritos 1 y 2 se refieren a las capas superior e inferior respectivamente, la ecuacin 9.3 puede ser aplicada a cualquier nmero de capas sucesivamente ms profundas (figura 53). La base de la ecuacin de gradiente horizontal de presin en cualquier capa (n) relacionada con el gradiente de presin de la capa ubicada sobre ella.

Con las corrientes geostrficas,

Lo que nos da:

Figura 53.Relacin entre la densidad, la velocidad geostrfica y la pendiente de interfase entre capas de acuerdo a la ecuacin de Margules (figura a). En el diagrama b se muestra un caso de especial de un ocano de dos capas con una capa en el fondo sin movimiento. (Knauss, 1978).

Para el caso en que la velocidad de la capa del fondo sea cero (Vn = 0) tenemos que:

O en trminos de la pendiente de la superficie de mar:

Para una termoclina normal, 0.02g/s3, lo que significa que la pendiente de la termoclina ser aproximadamente 500 mayor que la de superficie y en direccin opuesta.2. CORRIENTES INDUCIDAS POR EL VIENTO.Cuando el viento sopla sobre la superficie del ocano produce olas y corrientes superficiales. Los detalles cuantitativos de como la tensin del viento se aplica a la superficie del ocano no est muy bien comprendida. La energa se transfiere por medio de alguna clase de proceso turbulento, y un conocimiento completo requiere de un examen detallado, no slo del viento promedio, corriente y campos de presin, sino tambin de las variaciones del viento, de la corriente y de la presin.Sin embargo, son utilizadas algunas observaciones semi-empricas, una de las cuales es que la corriente superficial inducida por el viento es de aproximadamente el 3% del viento, por lo que puede esperarse una corriente de 0.06 nudos producida por un viento que fluye a 20 nudos; otra observacin es que el esfuerzo aplicado a la superficie del mar se incrementa al cuadrado de la velocidad del viento de acuerdo a:

Donde W es la velocidad del viento en m/s y es el esfuerzo del viento en dinas/cm2. Un viento de 10 m/s causa un esfuerzo de aproximadamente 2 dinas/cm2.Si se asume un ocano con una superficie plana y gradiente horizontal de presin, y si la friccin interna puede ser ignorada, la nica fuerza de consecuencias importantes ser el esfuerzo del viento. Entonces podemos derivar una relacin interesante a partir de la ecuacin de movimiento:

9.8Si integramos desde la superficie hasta una profundidad en la que el efecto del viento sea despreciable tenemos:

9.9Dnde:

Y las unidades de Mx y de My son de masa por unidad de tiempo por unidad de longitud. Ntese que el viento que fluye desde el norte no mueva agua hacia el sur sino hacia el oeste (figura 54).El agua se mueve en ngulo recto a la direccin del viento, de tal forma que en el hemisferio norte se mueve hacia la direccin del viento, mientras que en el hemisferio sur, lo hace hacia la izquierda.Sustituyendo el trmino de friccin de viento por el trmino de viscosidad de Eddie, la ecuacin 9.8 se puede escribir como:

9.11

La solucin de estas ecuaciones da los mismos resultados que la ecuacin 9.9 para el transporte de agua inducido por el viento, pero adems, indica los detalles de la estructura de velocidad en la columna de agua. La solucin es una espiral en la que la superficie del agua se mueve en un ngulo de 45 con respecto a la direccin del viento (figura 55).

Figura 54.El viento que sopla desde el norte no mueve el agua de hacia el sur, sino hacia el oeste.

Figura 55Cuando el agua es puesta en movimiento por el viento, de acuerdo con la relacin de Ekman, el efecto de la fuerza de Coriolis provoca que cada capa de agua se mueva ligeramente haca la derecha de la que se encuentra sobre ella (en el hemisferio norte), lo que da como resultado la espiral de Ekman, donde el transporte neto de agua ocurre a 90 de la direccin del viento. (Knauss, 1978)

Esta clase de movimiento es llamado movimiento de Ekman, ya que fue el quin en 1902 analiz por primera vez este problema.

Las conclusiones de la teora de Ekman son las siguientes:

Figura 56.1. La corriente superficial se desva 45 hacia la derecha de la direccin del viento en el hemisferio norte y 45 hacia la izquierda en el hemisferio sur (Figura 56). Esta desviacin no depende ni de la velocidad del viento de la corriente ni de la latitud geogrfica.2. La velocidad de la corriente superficial V0 se determina por la relacin:

En donde es el coeficiente de friccin turbulenta, es la densidad del agua, es la velocidad angular de la tierra, es la latitud geogrfica y T es la presin tangencial del viento.

Como consecuencia de que el clculo o la medida de la fuerza de friccin es difcil de efectuar, en la prctica se utiliza la relacin emprica, entre la velocidad del viento y la velocidad de la corriente producida por l.Muchos autores (Nansen, Torade, Struisky otros) obtuvieron una dependencia muy simple entre la velocidad del viento y la velocidad de la corriente superficial de la deriva;

En donde 0.0127 es en coeficiente emprico llamado coeficiente del viento.3) La corriente vara en magnitud y en direccin con la profundidad. La velocidad de la corriente disminuye en forma exponencial y su direccin se desva siempre ms hacia la derecha (en el hemisferio norte) de la direccin del viento hasta llegar a una profundidad llamada profundidad de friccin, que tiene una direccin opuesta a la de la superficie. Esta profundidad se designa por D y se calcula por la relacin:

9.14A la profundidad igual a 0.50, el vector de la corriente es perpendicular al de la superficie. Hasta esta profundidad, la corriente total del agua tiene una direccin de encuerde con la corriente de superficie; ms abajo, hasta una profundidad de 1.5D, est dirigida en sentido contrario. A una profundidad 2D la corriente es sumamente pequea, ya que es igual a 1/135 de la corriente superficial y coincide en direccin con esta ltima corriente A la velocidad D la velocidad de la corriente tambin es pequea, ya que tiene aproximadamente un 4% de la velocidad de la corriente superficial (1/23 de la velocidad superficial).Debido a que la velocidad angular de rotacin de la tierra tiene un valor constante y la densidad del agua se puede considerar como igual a la unidad, entonces la profundidad de friccin depende de dos cantidades variables; el coeficiente de friccin turbulenta y la latitud del lugar . Esta particularidad no permite aplicar la teora de Ekman para un mar infinitamente profundo en las regiones ecuatoriales, ya que la profundidad de friccin es inversamente proporcional a la raz cuadrada -del seno de la latitud y por lo tanto en el ecuador sera infinito. El coeficiente de friccin turbulenta es muy variable y hasta la fecha no se ha determinado en forma absoluta.

Este vara en dependencia del grado de estratificacin del mar y del gradiente de velocidad de desplazamiento del agua, y consecuentemente, de la velocidad del viento. Una gran velocidad del viento produce corrientes relativamente fuertes y esto conduce al surgimiento en el flujo del agua de una gran cantidad de remolinos que son considerados en el coeficiente de friccin turbulenta. Consecuentemente, como resultado final, la profundidad de friccin .depende de la latitud y de la velocidad del viento. En la tabla siguiente se muestra la dependencia de la profundidad de friccin respecto a estas dos cantidades.TABLA 13Variacin de la profundidad de friccin (en m) con respecto a la velocidad del viento (en m/s) y a la latitud del lugar (Neuman and Pierson, 1966)

Latitud ()Velocidad del viento

1020

4590180

5087175

5585170

6082165

7080160

8075150

Como se ve en la tabla la profundidad de friccin disminuye lentamente con el aumento de la latitud y crece fuertemente con el aumento de la velocidad del viento.Las mediciones de la profundidad a la que llegan las corrientes de deriva, efectuadas por Crommel en la corriente ecuatorial del norte en el ocano Atlntico, mostraron que D es igual a 150 m.Las mediciones de Makarov en la corriente ecuatorial del sur del ocano Pacfico dieron por resultado D = 200 m. En calidad de lmite Inferior de la extensin de las corrientes de deriva podemos considerar que 0 es igual a 300 m.Ekman considera que el tiempo necesario para que una corriente de viento se establezca a una profundidad determinada, vara en un rango muy amplio que va desde algunas horas hasta algunos meses. As, a gran distancia de la orilla (unos 100 km) y o la profundidad de menos de 500m, una corriente de viento se establece en algunos das y la corriente superficial en el transcurso de algunas horas, en tanto que a profundidades mayores se establece en el transcurso de algunos meses.4. La corriente total de agua en toda la capa del mar influida por la corriente de deriva tiene una direccin perpendicular a la del viento (hacia la derecha en el hemisferio norte).Estas son las principales conclusiones de la teora de Ekman en su forma ms general. En una segunda aproxima cien, Ekman consider la influencia de la profundidad del mar sobre la corriente.Si el mar tiene una profundidad H menor que la profundidad de friccin D, entonces el ngulo 0 entre la direccin de la corriente superficial y la direccin del viento vara en la forma siguiente:

H/D0.10.250.51

021.545.045.0

Estos valores muestran que la corriente en los niveles superficiales de un mar somero, est dirigida en la misma direccin que el viento.

A. SURGENCIAS.Es el trmino empleado en oceanografa para describir el proceso mediante el cual el agua profunda es llevada a la superficie. Estos procesos tienen una gran importancia ya que las aguas transportadas hasta la superficie acarrean consigo una gran cantidad de nutrientes necesarios para el crecimiento de las poblaciones de fitoplancton. Por esta razn las regiones donde existen surgencias son las reas biolgicas ms ricas del mundo.De acuerdo a Ekman el efecto del viento es conducir el agua hacia la derecha en la trayectoria en que sopla el viento (en el hemisferio norte). Por lo que las surgencias ocurren en reas donde el viento sopla paralelo a las costas (figura 57). Esta clase de vientos ocurren en las costas de Baja California y del Per.

Figura 57.El viento que sopla paralelo a la costa transportar el agua hacia mar adentro. El agua superficial ser reemplazada por agua ms fra que surgir" del fondo. (Knauss, 1978).

Las surgencias tambin pueden ocurrir en aguas ocenicas del mar abierto. La tensin del viento superficial puede producir divergencias en la superficie y surgencias en la misma regin. Las divergencias o convergencias pueden ser relacionadas con la vorticidad de tensin del viento.

Si el valor numrico de la ecuacin 9.15 es negativo, entonces existe una convergencia y ocurre una sumergencia (figura 58). Note que los vientos ciclnicos de un huracn provocan surgencias. Se ha observado la presencia de aguas fras superficiales en el ojo de un huracn. La explicacin podra ser en parte relacionada con la fuerte mezcla de las aguas superficiales, pero la divergencia inducida por el transporte tambin juega un papel importante.B. MOVIMIENTO lNERCIAL.Una relacin simple de la ecuacin de movimiento puede inferirse asumiendo que de alguna forma una partcula de un fluido se pone en movimiento y que no hay fuerzas horizontales que acten sobre ella. Si la presin, la tensin del viento y la friccin son iguales a cero, entonces de acuerdo con la primera Ley de Newton, una partcula en movimiento continuar movindose a velocidad constante en ausencia de otras fuerzas.

Figura 58.Lo relacin de Ekman puede producir una divergencia de las corrientes superficiales y consecuentemente una surgencia con un giro ciclnico. La relacin formal entre la vorticidad y la divergencia est dada por la ecuacin 9.15 (Knauss, 1978).

Sin embargo una partcula que se mueve en una tierra que gira est sujeta siempre a la fuerza de Coriolis, entonces la primera Ley de Newton equivalente estar dada por:

Si ahora encontramos un vector V resultante de la suma de du/dt + dv/dt tenemos que:

Figura 59.Entonces:

Si hacemos:

Tenemos que:

Por lo que esto representa la ecuacin de un crculo, y la partcula se mueve en una trayectoria circular con radio r a una velocidad constante V y con un perodo Ti= 12h/sen.Una partcula puesta en movimiento con una velocidad de 50 cm/seg a 42 de latitud describe un crculo con un radio de 5 km y con un perodo de 18 horas. En el hemisferio norte el crculo es en el sentido de las manecillas del reloj, mientras que en hemisferio sur la partcula tiene trayectoria circular en el sentido contrario de las manecillas del reloj.Esta trayectoria se denomina "un crculo inercial". Tales movimientos inerciales han sido observados frecuentemente en el ocano. Puede esperarse encontrar movimiento que es, por lo menos, parcialmente inercial despus del paso de una tormenta que ha puesto la superficie del agua en movimiento.C. VORTICIDAD Y CORRIENTES OCCIDENTALES DE FRONTERA.La vorticidad de una partcula es una medida del giro (spin) de una partcula alrededor de su eje. La vorticidad es proporcional al momento angular de una partcula, la vorticidad es negativa cuando el spin ocurre en el sentido de las manecillas del reloj, mientras que ser positiva cuando gira en el sentido contrario de las manecillas del reloj. Las fuerzas que imparten el spin o vorticidad se conocen como torques. Es posible escribir una serie de ecuaciones similares a la ecuacin de movimiento que muestran el balance de torques y la tasa de cambio en la vorticidad.La vorticidad puede ser definida como el producto cruz de la velocidad:

9.18Cuando X V = 0 se dice que el movimiento es irrotacional. Los dos componentes horizontales de la ecuacin de movimiento son escritos a menudo en forma de una ecuacin de vorticidad en trminos de la vorticidad horizontal, la cual est definida como:Comencemos con los componentes horizontales de la ecuacin de movimiento:

Diferenciando la componente y con respecto a x y la componente x con respecto a y. Asuma que x, y, x y y son lo suficientemente pequeas para ser despreciadas, y notando que x es cero pero y no, restando la componente x del componente y y reducido tminos, el resultado es:

9.19

Como:

9.20

Podemos escribir:

9.21Los trminos y + , estn como definidos vorticidad relativa y vorticidad absoluta respectivamente.Un caso especial utilizable de la ecuacin de vorticidad, es el considerar una capa de densidad constante. Primero hay que integrar la ecuacin de continuidad sobre una capa de grosor z:

9.22

Sustituyendo 9.22 en 9.21, tenemos:

Se asume que todos los trminos entre parntesis estn promediados sobre una capa z. El grosor de z es solo funcin del tiempo.

En ausencia de friccin 9.23

La ecuacin 9.23 es la forma de la ecuacin de vorticidad utilizada como punto de partida;

Para la solucin de muchos problemas en oceanografa es ms conveniente pensar en trminos de vorticidad y torques que en el balance de fuerzas lineales como en la ecuacin de movimiento. Sin embargo podemos decir que cualquier problema que pueda resolverse en trminos de vorticidad puede, en principio, ser resuelto por medio de la ecuacin de continuidad.Asmase una gran cuenca rectangular sobre la cual esta soplando el viento como se ve en la figura 60. Para propsitos de comparacin esta cuenca podra representar el ocano Atlntico y el campo viento al cual est sujeto representaran los vientos del oeste que soplan en las altas latitudes o los vientos del este que soplan en las bajas latitudes. A medida que sopla el viento el agua de la cuenca comenzar a moverse en el sentido de las manecillas del reloj. El viento acta como un torque negativo que incrementa la vorticidad negativa del agua de la cuenca. Asuma que la friccin del agua puede ser representada por Ju y Jv como en la ecuacin de movimiento. Esta friccin acta en la direccin opuesta a la de la rotacin del agua, entonces la friccin es un torque positivo que se incrementa a medida que la velocidad aumenta. Eventualmente el agua ir a tal velocidad que el torque positivo de la friccin estar en equilibrio con el torque negativo de la tensin del viento y, por lo tanto, el agua se mover a una velocidad constante a pesar de que el viento contine soplando.Tomando valores de la fuerza del viento, las dimensiones de la cuenca y el trmino de friccin, H. Stonnel demostr en 1948 el patrn de circulacin mostrado en la figura 60.

Figura 60.Una fuerza de viento anticiclnica aplicada a la superficie del mar produce una circulacin anticiclnica. El flujo mostrado en el diagrama superior es casi paralelo a los contornos de altura de la superficie del mar, los cuales estn en centmetros como se nuestra en el diagrama inferior. Bajo la suposicin de una fuerza de Coriolis constante, el flujo es simtrico. (Knauss, 1978).

En la figura se puede observar que hay tensin de viento y friccin, pero el flujo es casi geostrfico. Las corrientes fluyen paralelas y cercanas a las isbaras. Los efectos de la friccin contribuyen con una pequea componente de pendiente abajo del flujo. La fuerza del viento agrega suficiente energa para contrarrestar las prdidas friccinales y para mantener la inclinacin de la superficie del mar, por esta razn estas corrientes son conocidas como "corrientes de viento".En el ocano una pequea cantidad de energa potencial se est perdiendo continuamente debido a la friccin, pero la cantidad perdida es reemplazada por el viento. La cantidad total de energa asociada con los sistemas principales de corrientes es suficiente para mantener la circulacin por muchos meses sin la accin del viento,El aspecto ms interesante del modelo de Stonnel ocurre cuando, adems de lo considerado anteriormente, no incluye el trmino de Coriolis. El primer ejemplo simplemente representa un balance de vorticidad entre la vorticidad que ocurre en el sentido de las manecillas del reloj y la que ocurre en el sentido contrario. Sin embargo, la rotacin de la tierra imparte una vorticidad adicional a una partcula de agua que se mueve hacia el norte o hacia el sur. Considere una partcula que se mueve hacia el norte a una velocidad constante. Ya que el seno de la latitud se incrementa con el aumento de la latitud, la partcula comienza a desviarse hacia la derecha a medida que se mueve hacia el norte, ganando as vorticidad negativa (positiva en el hemisferio sur), a la cual se le conoce como vorticidad planetaria, debido a que est asociada con la rotacin terrestres (Figura 61).

Figura 61.La vorticidad planetaria es el resultado de que el efecto del trmino de Coriolis se incrementa con la latitud. El efecto del trmino de Coriolis sobre una corriente que fluye hacia el polo es el de producirle una vorticidad anticiclnica, mientras que a una corriente que fluye hacia el ecuador le produce una vorticidad ciclnica, (Knauss, 1978).

Dejando variar el trmino de Coriolis con la latitud, el balance de vorticidad est ahora compuesto de tres trminos: tensin del viento, friccin y el cambio del trmino Coriolis con la latitud. La solucin ya no es simtrica (Figura 62). La diferencia entre las soluciones analticas descritas por las figuras 60 y 62 puede ser visualizada cualitativamente considerando los siguientes balances de vorticidad.Para la figura 60: TENSIN DEL VIENTO () = FRICCIN ()Para la figura 62 tenemos que como la vorticidad planetaria ocurre en el sentido de las manecillas del reloj para corrientes que se mueven hacia el norte en el lado occidental y en el sentido contrario a las manecillas en las corrientes que se mueven hacia el sur en el lado oriental, tenemos que:OCEANO OCCIDENTALTENSIN DEL VIENTO () + VORTICIDAD PLANETARIA ()= FRICCIN ()

OCEANO ORIENTALTENSIN DEL VIENTO () = VORTICIDAD PLANETARIA ()+ FRICCIN ()

Figura 62.Con la misma tensin del viento que en la figura 60 y con una fuerza de Coriolis que vara con la latitud el flujo se hace asimtrico. La corriente contina con la tendencia de ser casi paralela a las isbaras, sin embargo existe una fuerte corriente de frontera occidental. (Knauss, 1978).

La vorticidad provocada por el viento es constante en ambos lados del ocano. El valor absoluto de la vorticidad planetaria y de la vorticidad de friccin son proporcionales a la velocidad. La nica solucin es aquella en la que la velocidad de las corrientes en el lado occidental es mayor que la del lado oriental del ocano.Esta intensificacin de la velocidad de las corrientes en el lado oeste de las cuencas ocenicas, esta caracterizada por la presencia en el Atlntico de la corriente del Golfo, y en el Pacfico por la corriente de Kuroshio.3. CIRCULACIN GENERAL EN EL MAR ABIERTO.La circulacin superficial general del ocano se muestra en la figura 63. Los patrones de circulacin son ms o menos semejantes en las tres cuencas ocenicas principales; con sus diferencias geogrficas. La mayora de la superficie ocenica ecuatorial est regida por un flujo de agua hacia el oeste en las corrientes norecuatorial y sud-ecuatorial, impulsadas principalmente por los vientos alisios. Estas corrientes estn separadas por una estrecha corriente que fluye hacia el este, denominada contracorriente ecuatorial. Asociado con cada una de estas corrientes ecuatoriales se encuentra un giro de corriente, un sistema de corrientes prcticamente cerrado, en ambos casos el giro esta elongado en la direccin este-oeste y descansa primeramente en las zonas subtropicales, ubicadas entre las latitudes 30N y 30S.Adems de lo anterior, cada uno de estos giros incluye otra corriente en la direccin este-oeste, que fluye en direccin opuesta a la de las corrientes ecuatoriales. Esta es la deriva de viento oeste, la mayor y ms importante corriente de agua en el hemisferio sur. En el Pacfico del norte, a la corriente de deriva de viento oeste se le conoce como corriente del nor-Pacfico. La corriente del Nor-Atlntico es la continuacin de la corriente del Golfo, y ocupa una posicin similar a las corrientes de deriva de viento oeste de las otras cuencas ocenicas. El ocano ndico tiene corriente ecuatorial solamente en el hemisferio sur. Cerca de Asia los vientos estacionalmente variables causados por el calentamiento y enfriamiento de los continentes, producen un sistema de corrientes estacionalmente variables, denominado corrientes de Monzn, indicadas en la figura 64.En las regiones polares y sub-polares de las cuencas ocenicas, existen pequeos giros de corriente. Estos giros de altas latitudes circulan en forma opuesta a la de los giros subtropicales, debido a la posicin de los continentes. Los giros sub-polares estn bien desarrollados en el hemisferio norte, donde su trayectoria va en contra del giro de las manecillas del reloj (vase figura 63).Los giros subpolares pueden ser vistos tambin en el hemisferio sur, pero la circulacin bsica de esta regin no favorece su desarrollo. El continente Antrtico ocupa una posicin central en la circulacin del hemisferio sur, as que la deriva del viento oeste fluye esencialmente alrededor de ste continente. Sin embargo, es posible observar unos pequeos giros en el sentido de las manecillas del reloj en la vecindad de Antrtida.

Figura 63.Corrientes Superficiales del Ocano (Knauss, 1978)

Figura 64.Vientos superficiales y corrientes de Monzn en el verano (izquierda) durante el Monzn del Duroeste y durante el invierno (derecha) durante el Monzn del Noreste. (Gross, 1972)

Las corrientes superficiales estn sujetas a variacin y son en esencia mucho ms complicadas que lo que se muestra en la figura 63. Las irregularidades de la lnea de costa continental provocan Eddies locales en las corrientes ocenico-costeras, y los cambios estacionales del viento provocan cambios an ms considerables en las corrientes, especialmente comunes en el ocano costero. Por ejemplo la corriente de la costa de Washington-Oregon est bien desarrollada en invierno cuando los fuertes vientos del sur-oeste descargan agua dulce a lo largo de la costa e inducen el movimiento de las aguas superficiales hacia el norte- Durante el verano, cuando los vientos del norte tienden a mover el agua hacia mar adentro, la corriente de Davison o de Washington-Oregon desaparece. A lo largo de la costa Atlntica de los Estados Unidos la extensin de la corriente del Labrador lleva aguas fras del norte hasta las costas de Virginia en el sur, durante el invierno. Mientras que en el verano esta corriente apenas llega a cabo Code en Massachusetts.El ms complejo de los cambios estacionales de corrientes, es la circulacin de Monzn en la porcin norte del ocano ndico. Este sistema estacionalmente variable est ntimamente asociado con los vientos de Monzn. Durante el verano, Asia es calentada en mucho mayor grado que el ocano adyacente. A medida que el aire caliente continental se eleva, jala aire del ocano ndico hacia tierra firme como se muestra en la figura 64. Cuando esto ocurre la corriente de monzn suroeste sustituya a la corriente nor-ecuatorial, como se ve en la figura 64.1. En invierno se registran condiciones inversas: el viento en Asia es mucho ms fro que el aire que est sobre el ocano, como se ve en la figura 64-c, reapareciendo la corriente nor-ecuatorial, como se aprecia en la figura 64-d.X. OLAS.1. PROPIEDADES Y CLASIFICACIN DE LAS OLAS.Las olas en el ocano aparecen como cambios confusos del mar con crestas y valles debido a las irregularidades en su inclinacin y la variacin que presentan en su direccin de propagacin. Esto es particularmente cierto cuando las olas se encuentran bajo la influencia del viento. Una descripcin de la superficie del mar es difcil de elaborar debido a la interaccin entre las olas individuales. Cuando las olas se mueven lejos de la zona donde son afectadas por el viento, asumen un estado ms ordenado con crestas y valles definidos. Estas olas pueden viajar cientos o miles de millas lejos de la zona de generacin. La energa de la ola se disipa enteramente en el lquido por interaccin con el aire, por turbulencia en el rompimiento y en el fondo en aguas poco profundas.Las olas que alcanzan la zona costera gastan gran parte de su energa en esta zona. A medida que la ola se acerca a la costa, la energa de la misma se disipa en forma de calor por el flujo turbulento del agua provocado por, rompimiento de la ola, friccin con el fondo y percolacin. Mientras que la disipacin por calor es poco importante en los procesos costeros, la friccin y percolacin son importantes porque afectan tanto a las playas como a las estructuras costeras hechas por el hombre; por tanto las medidas de proteccin de costas y el diseo de estructuras dependen de la habilidad que se tenga para predecir la forma de las olas y el movimiento de partculas por las mismas.Se han desarrollado varios modelos matemticos para predecir el oleaje, sin embargo estos nunca se ajustan en un 100% a la realidad.El fenmeno de las olas en el agua es complejo y difcil de describir matemticamente debido a la no linealidad de las olas, las caractersticas tridimensionales y la interaccin Sin embargo, hay dos teoras clsicas, una desarrollada por Airy (1845) y la otra por Stokes (1880), que describen olas simples. Es tas teoras describen bien el comportamiento de las olas donde la profundidad del agua en relacin a la longitud de la onda es grande. Para olas de agua poco profunda la teora de la ola conoidal es ms aceptable.

La teora ms elemental, denominada teora de la ola de pequea amplitud, o teora de la ola lineal fue desarrollada en 1845 por Airy. Esta teora es de importancia fundamental no slo porque es fcil de aplicar, sino adems porque es representativa de lo que realmente ocurre en gran parte del ocano. Matemticamente hablando, la teora de Airy puede ser considerada como una primera aproximacin de una descripcin terica ms completa del comportamiento de las olas. Una descripcin ms compleja de las olas puede ser obtenida como la suma de un nmero infinito de aproximaciones sucesivas donde cada trmino se va agregando y corresponde a una correccin a los trminos anteriores. En ciertas ocasiones las olas pueden ser descritas mejor por estas teoras de mayor orden que son definidas como teoras de amplitud finita. La primera teora de amplitud finita, conocida como teora trocoidal, fue desarrollada por Gerstner (1802), es llamada as porque el perfil libre de la ola corresponde a una trocoide. Esta teora es mencionada por su inters clsico, pero no es recomendada para ser aplicada, ya que el movimiento de las partculas de agua que la teora predice no corresponde al que se observa en la naturaleza. Sin embargo esta teora predice el perfil de la ola con ms precisin que otras teoras.Stokes (1880) desarroll una teora de amplitud finita ms satisfactoria que la teora trocoidal.Para regiones de aguas someras, la teora de la ola conoidal, desarrollada por Korteweg y De Vries (1895), predice aceptablemente la forma de la ola y sus movimientos asociados en ciertas condiciones. Sin embargo, la teora de la ola conoidal ha recibido poca atencin con respecto a sus aplicaciones reales en la solucin de problemas de ingeniera. Esto puede ser debido a las dificultades para hacer los clculos, recientemente el trabajo para usar este modelo se ha reducido mediante la introduccin de tabuladores y grficas para el clculo de las funciones. En el lmite de la teora de la onda conoidal pueden ser descritos ciertos aspectos del comportamiento de la ola mediante el uso de la teora de la ola solitaria. A diferencia de la teora de la onda conoidal, la teora de la onda solitaria es fcil de usar, debido a que puede ser evaluada sin recurrir a tablas especiales.

Figura 66. Teoras del oleaje.

A. CLASIFICACIN DF LAS OLAS.Cualquier descripcin fsica de una onda de agua incluye tanto su forma superficial como el movimiento del fluido bajo la ola. Una onda que puede ser descrita en trminos matemticos simples es llamada "onda simple". Las ondas que son difciles de describir en su forma o movimiento y que pueden estar compuestas de varios componentes se llaman "olas complejas". Las ondas sinusoidales, u ondas armnicas simples, son ejemplo de ondas simples puesto que su superficie puede ser descrita por una funcin seno o coseno. Una ola es peridica si su movimiento y perfil superficial ocurren en intervalos iguales de tiempo. Una onda que se mueve en relacin a un fluido es llamada ola progresiva y la direccin en la que se desplaza se llama "direccin de propagacin de la ola". Si la ola se mueve solamente de arriba a abajo en una posicin fija se llama "ola completamente estacionaria" o "clapotis". Una ola progresiva tiene forma permanente cuando al propagarse no experimenta cambios en su configuracin superficial.Las olas de agua son consideradas oscilatorias o casi oscilatorias si el movimiento de las partculas de agua es descrito por orbitas que ocurren prcticamente en cada perodo de la ola. La teora lineal o de Airy describe ondas puramente oscilatorias. La mayora de las teoras de amplitud finita describen las casi oscilatorias ya que el lquido se mueve una pequea distancia en la direccin de avance de la ola. Este movimiento es llamado transporte de masa de las olas. Cuando las partculas de agua avanzan con la ola, se dice que esta es una ola de traslacin. Un ejemplo de la ola de traslacin lo constituye una ola solitaria como los tsunamis.Es importante poder distinguir los diferentes tipos de olas. Una forma de hacerlo es por medio del perodo T (tiempo que tarda una ola en avanzar una distancia equivalente a una amplitud de onda), la frecuencia de la ola (f) o el recproco del perodo (1/T = f). Una ilustracin de esa clasificacin es dada en la figura 66.La figura 66 muestra la cantidad relativa de energa contenida en las olas de una frecuencia particular. De primera importancia son las olas denominadas olas gravitacionales, ya que tienen perodos de 1 a 30 seg. Estas olas se han llamado olas de gravedad, debido a que es la gravedad la principal fuerza de restauracin o de equilibrio. Adems como puede verse en la figura este tipo de olas poseen una gran cantidad de energa en relacin a los dems tipos.Las olas de gravedad pueden subdividirse en dos tipos: a) mares (seas), cuando las olas estn bajo la influencia del viento en el rea de generacin; h) swell, cuando las olas se mueven fuera de la zona de generacin y no estn ya sujetas a la accin del viento.Los mares (seas) estn generalmente formados por las olas empinadas con perodos cortos y longitud de onda pequea, la superficie del mar es ms confusa que en el swell. El swell se asemeja y comporta ms como ondas libres.

Figura 66.Clasificacin de la olas de acuerdo a su energa relativa, a su fuerza productora primaria y a su fuerza primaria de restauracin. (Kinsman, citado en U.S Army C.E.R.C., 1977).

Las olas ocenicas son complejas, las suposiciones hechas en el desarrollo de una teora simple deben ser comprendidas ya que no todas las suposiciones se justifican en todos los problemas.Algunas de las suposiciones hechas en el desarrollo de teoras simples de las olas son:a) El fluido es homogneo e Incompresible, por lo que la densidad del mismo es constante.b) La tensin superficial es despreciada.c) El efecto de Coriolis es despreciado.d) La presin de la superficie libre es uniforme y constante.e) El lquido es ideal o sin viscosidad.f) La ola particularmente considerada no interacta con ningn otro movimiento del agua.g) La base (el fondo marino) es horizontal, fijo e impermeable, lo cual Implica que la velocidad vertical en el lecho sea cero.h) La amplitud de la ola es pequea y su forma es invariable en el tiempo y en el espacio.i) Las olas son planas o bidimensionales.

2. TEORA DE LA OLA DE PEQUEA AMPLITUD.La descripcin ms elemental de una onda oscilatoria sinusoidal simple se puede obtener por su longitud de onda (L), altura (H), periodo (T), profundidad (d).La figura 67 muestra una onda progresiva que se propaga en la direccin positiva x.El smbolo denota el desplazamiento de la superficie del agua en relacin al nivel medio del agua y es funcin de x y del tiempo. En la cresta de la ola, es igual a la amplitud de la ola (a) o a 1/2 de la altura de la ola.

Figura 67.Caractersticas de una ola progresiva, sinusoidal simple (U.S Army C.E.R.C., 1977).

A. VELOCIDAD DE FASE, LONGITUD DE ONDA Y PERIODO.La velocidad a la cual una ola se propaga es llamada velocidad de fase o celeridad, ya que la distancia recorrida por la ola durante un perodo de onda es Igual a una longitud de onda, la velocidad de fase se expresa como:

10.1Una expresin que relaciona la velocidad de fase, la longitud de onda y la profundidad del agua es:

10.2Esta ecuacin puede ser escrita como:

Pero como de la ecuacin 10.1 sabemos que L = CT, tenemos que:

10.3El valor 2/L es llamado nmero K y el valor -2/T es Igual a W, la velocidad angular de la ola. De las ecuaciones 10.1 y 10.3 se puede obtener una expresin para la longitud de onda como funcin de la profundidad y del periodo.

10.4El uso de esta ecuacin presenta cierta dificultad ya que la incgnita L aparece en ambas partes de la ecuacin. Sin embargo, existen tablas especiales que permiten la solucin de esta ecuacin.Las olas de gravedad deben tambin ser clasificadas por la profundidad del agua en la cual viajan. La clasificacin se hace de acuerdo a la magnitud d/L y los valores lmites resultantes dados por la funcin tan h (2d/L) dan la siguiente tabla (Tabla 13 ).Los valores de la tabla 11 son vlidos ya que para valores mayores de d/L > 1/2 el valor de tan h (2d/L) es = 1, para los valores Intermedios 1/2 > d/L > 1/25 tan h (2 d/L) = tan h (2d/L) y para d/L < 1/85 la tan h (2d/L) = 2d/L, como puede verse en la figura 68 en donde r = 2d/L.El agua profunda el valor de tan h (2 d/L) alcanza la unidad por lo que la ecuacin 10.2 y 10.3 se reducen a:

TABLA 14Clasificacin de la olas de gravedad de acuerdo a la magnitud de d/L y los valores lmite resultantes dados por la funcin tan h (2d/L)*

Clasificacind/L2d/Ltan h (2d/L)

Agua profunda> 1/2> = 1

Transicional1/25 a 1/21/4 a tan h (2d/L)

Agua bajas < 1/25< 1/42d/L

* U.S Army C.E.R.C., 1977

Figura 68.Valores de las funciones hiperblicas sen h (r), cos h (r) y tan h (r). (Komar, 1976)

10.6A pesar de que el agua profunda ocurre en una profundidad infinita (tan h (2d/L) es igual a la unidad en el infinito) puede decirse que alcanza la unidad en un valor ms pequeo de d/L. Para una profundidad relativa de d/L = 1/2 el valor de tan h (2d/L) = 0.9962, por esta razn cuando la profundidad relativa d/L es mayor que 1/2, las caractersticas de la ola son virtualmente independientes del fondo. Las condiciones de agua profunda estn indicadas por el subndice (o) cobo en L0 y C0. El perodo T permanece constante e independiente de la profundidad para ondas oscilatorias; si se usan unidades de pies y segundos, la constante g/2 es igual a 5.12 ft/s2 y:

10.7

10.8

Si se usa la ecuacin 10.7 para computar la celeridad de la ola cuando la profundidad relativa es d/L = 0.25, se obtendr un error del 9%, por lo que sta profundidad relativa es un lmite adecuado para separar olas de agua profunda de aquellas que ocurren en aguas de profundidad transicional. Si las ondas viajan en aguas transicionales, las ecuaciones 10.2 y 10.3 deben ser empleadas sin simplificacin. Cuando la profundidad relativa del agua se convierte ms baja 2d/L < 1/4 d/L < 1/25 la ecuacin 10.2 puede simplificarse como:

10.9Esta ecuacin atribuida a LaGrange es importante cuando se trabaja con olas de gran periodo, llamadas ondas largas. Entonces cuando una ola viaje en aguas bajas la velocidad de viaje depende solamente de la profundidad.a. Perfil sinusoidal de la ola.La ecuacin que describe la superficie libre de una ola sinusoidal en funcin del tiempo t y de la distancia horizontal "Y" es:

10.10

Donde "y" es la elevacin de la superficie del agua en relacin al nivel medio, y H/2 es 1/2 de la altura de la ola igual a la amplitud A.

b. Algunas expresiones prcticas.Se puede mostrar que al dividir la ecuacin 10.6 y dividiendo la ecuacin 10.4 por la ecuacin 10.8, tenemos que:

10.11

Si ambos lados de la ecuacin 10.11 se multiplican por d/L, tenemos:

10.12El trmino d/L0 ha sido tabulado como funcin de d/L por Wiegel (1954) y se presenta en tablas que incluyen los valores de d/L en funcin de d/L0 junto con otros valores tales como 2d/L y tan h (2d/L).

B. VELOCIDADES Y ACELERACIONES LOCALES DE LOS FLUIDOS.En los estudios de fuerza de las olas, es necesario saber las velocidades y aceleraciones para valores diferentes de z y t, durante el paso de la ola. La componente horizontal u y la componente vertical w, de la velocidad son:

10.15

10.14Estas ecuaciones expresan las componentes de la velocidad del lquido a cualquier distancia (z+d) sobre el fondo. La velocidad es armnica en x y en t. Para un valor dado del ngulo de fase = (2x/L - 2t/T) las funciones hiperblicas en funcin de z resultan en un decaimiento exponencial de la magnitud de los componentes de su velocidad a medida que se incrementa la distancia abajo de la superficie libre, la velocidad mxima positiva horizontal ocurre cuando = 0, 2, etc., mientras que la mxima horizontal negativa cuando = , 3 etc. Por otro lado, la mxima velocidad vertical positiva ocurre cuando = /2, 5/2, etc., y la mxima velocidad vertical negativa cuando = 3/2, 7/2, etc.La aceleracin local de las partculas de agua es obtenida al derivar las ecuaciones de velocidad en funcin del tiempo t, y son las siguientes:

10.15

10.16C. DESPLAZAMIENTO DE LAS PARTCULAS DE AGUA.Otro aspecto importante de la mecnica de la ola lineal es el del desplazamiento individual de las partculas de agua dentro de la ola. Las partculas de agua generalmente se mueven en rbitas elpticas en aguas bajas o transicionales, y en rbitas circulares en aguas profundas, si la posicin promedio de la partcula se considera en el centro del crculo entonces, el desplazamiento vertical con respecto a la posicin promedio no puede exceder de H/2, la integracin de las ecuaciones 10.13 y 10.14 nos da el desplazamiento vertical y horizontal en relacin a la posicin media:

Figura 69.Velocidades y aceleraciones locales de las partculas de agua bajo la superficie libre de la ola. (U.S Army C.E.R.C., 1977).

10.17

10.18Las ecuaciones anteriores pueden simplificarse por el uso de la siguiente relacin:

Escribiendo las ecuaciones anteriores en la forma siguiente:

Y sumando las ecuaciones anteriores tenemos:

Lo cual puede expresarse como:

10.21

10.22

10.23

La ecuacin 10.21 es la ecuacin de una elipse con su eje mayor horizontal igual a A y su eje vertical igual a B, son medidas del desplazamiento horizontal y vertical de las partculas del agua (figura 70).

Figura 70.Desplazamiento de las partculas de agua bajo la ola en aguas someras y en aguas poca profundas. (U.S Army C.E.R.C., 1977).

Un examen de las ecuaciones 10.22 y 10.23 muestra que para condiciones de agua profunda A y B son iguales y las trayectorias de las partculas se hacen circulares, las ecuaciones se convierten en;

10.24

Para aguas someras:

10.25Es decir que en aguas profundas la rbita de la partcula es circular y que a medida que el agua se va haciendo ms somera, la elipse se va alargando, la amplitud del desplazamiento de las partculas de agua decrece exponencialmente con la profundidad, y en regiones de agua profunda se hace ms pequea en relacin a la altura de la ola en una profundidad igual a la mitad de la longitud de onda cuando, es igual a = cos/2.En aguas someras el desplazamiento horizontal de las partculas cerca del fondo puede ser grande. En efecto, esto es lo que sucede en regiones costeras atrs de la zona de rompimiento donde la ola y la turbulencia levantan los sedimentos del fondo y los ponen en suspensin.D. PRESIN SUBSUPERFICIAL.La presin subsuperficial bajo la ola es la suma de dos factores componentes, que son la presin esttica y la presin dinmica, y est dada por:

10.26Donde P' es la presin total o absoluta, Pa es la presin atmosfrica y es igual a W/g es la densidad del agua (para agua marina = 2.0 slugs/pie; para agua dulce = 1.94 slugs/pie). E1 primer trmino de la ecuacin representa una componente dinmica, debido a la aceleracin, mientras que el segundo trmino es la componente esttica de la presin.Por conveniencia, la presin se toma como presin manomtrica definida como:

10.27La ecuacin 10.27 puede ser escrita como:

10.28

Dnde:

10.29La relacin:

Se denomina factor de respuesta a la presin. Entonces la ecuacin 10.28 puede escribirse como:

10.30El valor de K en el fondo, cuando z = -d es igual a:

Y se tabula como funcin de d/L0 y d/L en tablas.A veces es necesario calcular la altura de la ola basndose en mediciones de la presin subsuperficial, para lo cual la ecuacin 10.30 puede escribirse como:

Donde z es la profundidad abajo del nivel de restauracin donde se encuentra el manmetro, y H un factor de correccin igual a la unidad cuando se aplica la teora de Airy.E. VELOCIDAD DE GRUPO.La velocidad con la cual un grupo de olas viaja no es igual a la velocidad de viaje de las olas individualmente, la velocidad de grupo se representa como Cg; le velocidad individual de la ola, es la velocidad de fase o celeridad de la ola y est dado por las ecuaciones:

10.31

10.32Para olas que se propagan en aguas profundas o transicionales con la gravedad como fuerza primaria de restauracin, la velocidad de grupo deber ser menor que la velocidad de fase (para aquellas olas que se propagan baja la influencia primarla de la tensin superficial, ondas capilares, la velocidad de grupo puede exceder la velocidad de una ola individual).

El concepto de la velocidad de grupo puede ser descrito considerando la interaccin de dos trenes de olas sinusoidales que se mueven en la misma direccin con perodos y longitud de onda ligeramente diferentes. De tal forma que la ecuacin de la superficie libre del agua ser:

10.33Donde 1 y 2 son la contribucin de cada uno de las dos componentes. Pueden ser sumados ya que la superposicin de las soluciones es permitida en la teora lineal. Para simplificar, las alturas de las dos olas se han asumido iguales mientras que las longitudes se han asumido ligeramente diferentes, para algunos valores de x en un tiempo dado (t) los dos componentes estarn en fase y la altura de la onda observada ser 2H; para otros valores de x las dos olas estarn completamente fuera de fase y el valor resultante de la altura ser igual a cero. El perfil superficial hecho por la suma de las dos ondas est dado por la ecuacin 10.33 y se muestra en la figura 71.

Figura 71.Formacin de grupos de olas por la suma de dos sinusoides que tienen diferentes periodos. (U.S Army C.E.R.C., 1977).

Las olas mostradas en la figura 71 aparecen viajando en grupos descritos por la ecuacin de la curva envolvente:

10.34La velocidad de estos grupos (velocidad de propagacin de la envolvente) representa la velocidad de grupo. El lmite de velocidad de grupo se acerca a L2 a medida que se hace ms grande (a medida que la longitud de onda L1 se acerca a L2 y consecuentemente el perodo T1 alcanza a T2) la velocidad del grupo y puede ser descrito como:

10.35Dnde:

En aguas profundas el trmino (4d/L)/(sen h(4d/L)) es aproximadamente igual a cero y por lo tanto.

10.36O sea que en aguas profundas la velocidad de grupo es igual a un medio de la velocidad de fase.En el mar profundo un tren de olas en movimiento avanza slo la mitad de lo que avanzan las olas individuales, lo que se muestra en la figura 72.

Figura 72.Un tren de olas en movimiento avanza a slo la mitad de las olas Individuales. En la parte superior est un tren de olas en su posicin inicial. En la parte inferior el tren y su energa se han movido solamente la mitad de la distancia que la ola 2. Mientras que la ola 1 ha muerto, la ola 4 se ha formado al final del tren para reemplazarla. (Scientific American, 1977).

En la parte superior de la figura 72 est un tren de olas individuales en su posicin Inicial. En la parte inferior el tren y su energa se han movido solamente la mitad de la distancia que la ola 2. Mientras tanto la ola 1 ha muerto, pero al final del tren se ha formado la ola 4 para reemplazarla. As las olas que llegan a la costa son solamente descendientes remotas de las olas que se haban generado inicialmente.En aguas someras sen h {4d/L) = 4d/L y:

10.37Entonces en aguas someras la velocidad de grupo y la celeridad de la ola son iguales. Debido a que la celeridad est completamente determinada por el fondo, todas las olas componentes de un tren de ondas viajan a la misma velocidad. En aguas profundas y transicionales, la celeridad de la ola depende de la longitud de onda, de tal forma que las olas ligeramente mayores viajan a velocidades ligeramente ms grandes produciendo las pequeas diferencias de fase que se observan en los grupos de ola. Estas olas se dice que son dispersivas porque se propagan en un medio dispersivo donde la celeridad depende de la longitud de onda.La velocidad de grupo es importante porque es con esta velocidad con la cual se propaga la energa de la ola.F. ENERGA Y PODER DE LA OLA.La energa total de un sistema de olas es la suma de su energa cintica y potencial. La energa cintica es aquella parte de la energa total debida a la velocidad de las partculas de agua asociadas con el movimiento de la ola. La energa potencial es aquella parte de la energa que resulta como parte de la masa fluida ubicada arriba del nivel del valle. De acuerdo con la teora de Airy si la energa potencial es determinada en relacin al nivel medio del agua (nivel de restauracin) y todas las olas se propagan en la misma direccin, los componentes de la energa cintica y potencial son iguales, y la energa total de la ola, en una longitud de onda, por unidad de ancho de cresta estar dada por la siguiente relacin:

10.38El promedio de la energa total de la ola por unidad de rea superficial, denominado energa especfica o densidad de energa, est dado por:

10.39La tasa de flujo de energa es transmitida en la direccin de propagacin de la ola a travs del piano perpendicular a la direccin de avance de la ola extendindose hacia abajo, hasta el fondo. El promedio del flujo de energa por unidad de ancho de cresta transmitida por un plano perpendicular al avance de la ola es:

10.40El flujo de energa P es llamado frecuentemente poder de ola.

10.41Si un plano diferente al de la direccin perpendicular de la ola es considerado, entonces:

Donde es el ngulo entre el plano a travs del cual se transmite la energa y la direccin de avance de la ola.Para agua profunda y somera tenemos:

En una regin donde las olas estn pasando se puede tener un balance de energa, para un estado esttico la cantidad de energa que entra a la regin debe ser igual a la cantidad de energa que sale de la misma, cuando no se le agrega o extrae energa al sistema. Cuando las olas se mueven en esta forma sus crestas se mueven paralelas al contorno del fondo, entonces:

10.42Si:

Entonces la ecuacin 10.42 se puede escribir como:

10.43Cuando las crestas de las olas no se desplazan paralelas a los contornos del fondo, la ola es refractada y la ecuacin 10.43 no puede ser aplicada.

Tabla 15.Resumen de las ecuaciones de la teora de Airy.(U.S Army C.E.R.C., 1977).

3. Teora de la ola Cnoidal.Las olas largas de amplitud finita y de forma permanente que se propagan en aguas someras son frecuentemente mejor descritas como olas cnoidales y se representan mediante la teora de la ola cnoidal. La existencia de estas olas en aguas someras fue reconocida por vez primera en 1877 por Boussinesq. El trmino cnoidal se emplea porque el perfil de la ola est dado por la funcin del coseno elptico Jacobiano, generalmente denotado por cn.Masch y Wiegel (1961) presentaron las caractersticas de las olas cnoidales tales como longitud, celeridad y perodo en forma grfica y tabular, para facilitar su aplicacin en la teora cnoidal.El rango aproximado de validez para la teora cnoidal segn Laitone (1963) es d/L < 1/8, y el parmetro de Ursell Ur = L2H/d3 > 26 (Figura 73). A medida que la longitud de onda de la ola se hace ms grande y se aproxima al infinito, la teora de la ola cnoidal se reduce a la teora de la ola solitaria. Tambin a medida que la razn entre la altura de la ola y la profundidad se hace ms pequea el perfil de la ola se aproxima al perfil sinusoidal descrito por la teora lineal.La descripcin de las velocidades particulares, aceleraciones locales, energa y poder de las olas cnoidales no se incluyen en estos apuntes por ser demasiado complicadas, sin embargo, dichos parmetros pueden ser evaluados en forma grfica segn los trabajos realizados por Wiegel (1960, 1964) y Masch (1964).Las caractersticas de la ola se describen en trminos paramtricos del mdulo K de las integrales elpticas, mientras que K no tiene significado fsico, se usa para expresar la relacin entre los parmetros de la ola. De los trabajos de Wiegel (1960, 1964) y Masch (1964) se pueden obtener presentaciones tabulares de las integrales elpticas.La ordenada a la superficie del agua Ys medida desde el fondo est dada por:

10.44Donde Yt es la distancia desde el fondo hasta el valle de la ola, cn es el coseno elptico, K (k) es la integral elptica completa de la primera clase y k es el mdulo de la integral elptica.

Figura 72.Regiones de validez para diferentes teoras del oleaje. (U.S Army C.E.R.C., 1977).

El argumento cn2 es frecuentemente denotado por ( ), por lo que la ecuacin 10.44 puede ser escrita como:

10.45El coseno elptico es una funcin peridica que tiene su mxima amplitud igual a la unidad. El mdulo K est definido en el rango comprendido entre 0 y 1. Cuando K es igual a cero el perfil de la ola se convierte en un sinusoide, como en la teora lineal, y cuanto K es igual al el perfil de la ola corresponde al de la ola solitaria.La distancia del fondo al valle de la ola (Yt), est dada por:

10.46Donde Yc es la distancia del fondo a la cresta de la ola y E (k) es la integral elptica completa de la segunda clase. La longitud de onda est dada por:

10.47Y el periodo:

10.48

Las olas cnoidales son peridicas y de forma permanente por lo que L = CT.La presin bajo una ola cnoidal en cualquier elevacin Vt sobre el fondo depende de la velocidad local del fluido, y es por lo tanto muy compleja. Sin embargo puede aproximarse en forma hidrosttica de acuerdo a:

10.49Esto es, que puede asumirse que la distribucin de la presin vara linealmente desde gYs en el lecho hasta cero en la superficie.Las figura 74 y 75 muestran los perfiles dimensionados de la ola cnoidal para varios valores del mdulo al cuadrado de la Integral elptica K2, mientras que las figuras 76 a 80 presentan graficas de las dimensiones que caracterizan a las olas cnoidales. Las ordenadas de la figura 76 y 77 deben leerse con cuidado, ya que los valores de K2 son extremadamente cercanos a la unidad.Los mejores clculos de las olas en aguas poco profundas se pueden lograr por medio de la teora de la oa cnoidal, sin embargo no se tienen disponibles procedimientos sencillos para aplicarla, por lo que casi siempre se emplea la teora lineal, a pesar de sus limitaciones esta teora puede ser aplicada mediante el uso de las grficas dadas en las figuras 74 a 80.

Figura 74.Perfiles superficiales de la ola Cnoidal. (U.S Army C.E.R.C., 1977).

Figura 75.Perfiles superficiales de la ola Cnoidal, como funcin de K2 (U.S Army C.E.R.C., 1977).

Figura 76.Relaciones entre K2, H/d y (U.S Army C.E.R.C., 1977).

Figura 77.Relaciones entre K2, y L2H/d3 (U.S Army C.E.R.C., 1977).

Figura 78.Relaciones entre K2, y L2H/d3 y entre (Yc d)/H, (Yt d)/H +1 y L2H/d3 (U.S Army C.E.R.C., 1977).

Figura 79.Relaciones entre , Yt/d, H/ Yt y L2H/d3 (U.S Army C.E.R.C., 1977).

Figura 80.Relacin entre , H/Yt y L2H/d3 (U.S Army C.E.R.C., 1977).

4. TEORA DE LA OLA SOLITARIA.Las teoras de oleaje consideradas anteriormente se refieren a ondas oscilatorias o casi oscilatorias en las cuales las partculas de agua se mueven hacia atrs y haca delante al paso de cada ola, donde adems son evidentes dis