Flusso e corrente 1Il caso idraulico

v⋅ndt

dV=dS v⋅ndt

dS

n v

dS’fluido di densità µ

densità di corrente J

vvJ ⋅== µdVdm

dtdm

dtdSdt

dVdmdSd =

⋅⋅⋅=⋅=Φ nvnJflusso elementare

portata attraverso una sezione S

temposuperficieattraverso(volume)massad)( =⋅=Φ ∫

SS SnJJ

Conservazione della massa 2Il caso idraulico

∫=V

dVM µflusso uscente da S chiusa = velocità di diminuzione della massa contenuta nel volume

dtd

dVdtd

dtdMdVdS

vVs

µµ

µ

−=⋅∇=⋅∇

⇓

−=−=⋅∇≡⋅ ∫∫∫

vJ

JnJ

Caso di densità costante 3Il caso idraulico

Liquido incomprimibile o a regime stazionario

∫∫ ⋅=⋅⇒

=⋅∇⇒

21

21

)(0costante

SS

dSdSlsuSeS

nulladivergenza

nJnJ

Jµ

S2

S1

n

[ ][ ]sm3

)(

=⋅∫lS

dSnv

vl

l

Portata volumetrica

Correnti elettriche 4Definizioni

vvJ µ==dVdQdensità di corrente

Flusso (corrente) elementare

dtdqdS

dtdl

dVdqdS

dVdqd n ==⋅=Φ nv

)ampère(AsC

scoulomb

==Unità di misura della corrente elettrica

Conservazione della carica Correnti 5

Legge di conservazione della carica

flusso uscente da S chiusa = velocità di diminuzione della carica contenuta

dtddV

dtddVdS

VS

µµ−=⋅∇⇒−=⋅∇≡⋅ ∫∫∫ JJnJ

Per regime stazionario

00 =⋅∇⇒= Jdtdµ

J è solenoidale

Interpretazione microscopica 6Corrente ed elettroni

ze

v⋅1s

vS3

)(m

zecarichedinumeroN =

v⋅⋅⋅=⋅= ∫ SzeNdSnJIS

pari numericamente alla carica in un cilindro di altezza v⋅1s

Velocità di deriva in Cu 7esempio

Calcolo la velocità degli elettroni in un filo di rame con

S= 1 mm2 e I = 1°A

( )C106.1 19−=ze

( )( ) 3

28

26

3

matomi108.3

106.0264

8900Cudiatomomassa

Cudimmassa≈≈=N

( ) ( ) ( )sm105.7

10106.1103.81v 5

61928−

−− ≈⋅

≈=NzeS

I

Resistenza 8Esempio idraulico

resistenza idraulica in regime viscoso

=

costante di proporzionalità tra caduta di pressione e portata

Jean Léonard Poiseuille (~1850)

pA

pB

2r [ ]/smportata8 34

BA

×=∆

×=−

rLp

portataresistenzapp

πη

Resistenza elettrica R 9Ohm

Legge di Ohm

IRVVV ⋅=−= BAAB

R in ohm

( )ampère

voltohm =Ω

VBVAE

J

I

S

L

+

JEL

SRSJRLEV ⋅=⇒⋅⋅=⋅=AB

resistenza specifica

forma puntuale della legge di OhmS

LRL

SR ρρ =⇔⋅

=

JE ρ=( ) m107.1 8 Ω≈ −ρper Cu

Resistenza elettrica 10Interpretazione

microscopicaConduttore = contenitore con gas di particelle cariche di massa m e carica ze in moto termico a grande velocità che provoca un urto mediamente ogni tempo τ

zem

ES

( )( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )s5.2~

107.1106.1103.8

101.9~

Cuperm107.1

14

821928

31

2

82

−

−−

−

−

=⇒

Ω≈=⇒=

ρτ

τρ

τ

zeNm

zeNmE

mze

NzeJ

L’accelerazione dovuta ad E

mzeEa =

La velocità media èproporzionale ad E e al tempo tra urti τ

Eam

ze ττ =~v

Scale resistività e lunghezze 11confronto

−30 −20 −10

isolantisemi-condutt

ori

metallisupercon-duttori ρ[Ωm]→

m→

nucleo universouomo

lunghezza diPlanck

Le scale di resistività e lunghezze hanno estensioni

enormi e comparabili

0 10 20 30 Log

Combinazione di resistenze 12R in serie

Resistenze in serie

+ + I serie

V1 V2

IVVR

IVR

IVR 21

serie2

21

1+

=⇒==

2121 serie RRRR +=

Combinazione di resistenze 13R in paralleo

Resistenze in parallelo

+

I1 paralleloV

I2

11 I

VR =

22 I

VR =

21

211

2121

11||RR

RRRR

RR+

=

+=

−

21 IIVR+

=

Legge di Joule 14Potenza dissipata in R

Potenza dissipata nella resistenza + legge di Ohm ⇒legge di Joule

Versione “integrale”

L

ES J

RIWR

VW

RIV

VIdtdqVW

2

2

=

=⇒=

== ρ

( )( )( )

ρρ

ρ

2

2

J

EJE

LSJSLEpotenzadidensità

JELSVI

volumepotenza

⇒⋅==

⇒=

=Versione “puntuale”

Forza elettromotrice 15f.e.m.

Il campo elettrostatico Es è conservativo. Presente dentro e fuori la batteria. Il campo elettromotore Em è presente solo nella batteria e hacircuitazione non nulla

+

−

Em− Es =

A

B

Forza elettromotrice 16f.e.m.

A circuito aperto all’interno della batteria non passano cariche e il campo è nullo

"fuori""dentro"00

stot

smtot

EEEEEJ

==+=⇒=

La forza elettromotrice (f.e.m.) è la circuitazionedi Em e anche VAB a circuito aperto

BA

B

smA

f.e.m. VVdd −=⋅−=⋅= ∫ ∫ lElE

Bipoli elettrici 17bipoli elettrici = dispositivi con due terminali (poli)

RA

I

BRIV =ABresistenza 2RIW =

AC

BC

QE2

2

s =CQV =ABcapacità

AV

B+ Generatore di VVIW =VV == .f.e.mAB

Reti elettriche 18Definizioni

Reti elettriche = insieme di bipoli con morsetti tra loro collegati mediante conduttori di resistenza trascurabile

Ramo = tratto tra due nodi (=contatti tra poli) caratterizzato da un’unica corrente

maglia = cammino chiuso con partenza e arrivo ad un nodo costituito da rami percorsi una sola volta

Reti elettriche 19Leggi di Kirchhoff

Legge dei nodi(conservazione della carica elettrica) = somma algebrica nulla delle correnti in un nodo

I1

I30321 =−− III

I2

D

A

B

C

Legge delle maglie= somma nulla delle cadute di potenziale di una maglia

0DACDBCAB =+++ VVVV

Reti elettriche 20Esempio

21 III +=

R2R1

I2

I1

I R

Vg

01122 =− RIRI011g =++− RIIRV

segni dei bipoli 21convenzioni

corrente

ad ogni ramo si assegna un verso; la corrente è positiva se le cariche + si muovono nel verso

←+ I<0

+→ I>0

generatore di f.e.m.

il valore della f.e.m. èV=VA−VB e il segno + identifica il primo nodo (A), non necessariamente il polo positivo

+

A

B

V

segni nelle maglie 22maglia

verso di percorrenza arbitrario; segno meno se I ha verso opposto alla percorrenza e se il secondo polo del generatore è quello segnato con +

0CDAB =++− VVIRVA B

D C

V R

+

Resistenza interna 23Resistenza interna r del generatore

C

BA

+

C

V R

interno esterno

r R

W

rVW

2

f.e.m. max =

rVWR 4

max2

. =

( )22

2

RrrVrIWr

+==

( )22

2

RrRVRIWR

+==

RrVVIW+

==2

f.e.m.

r

Scarica condensatore 29 I(t)

V(t)RC + +

dtdQI

IRCQ

−=

=

RCdt

QdQ

−=

( )( )( )RCtItI

RCtVtVRCtQtQ

/exp)0()(/exp)0()(/exp)0()(

−=−=−=

V(t)/V(0)

t/RC 0 2

1

0

Carica condensatore 30

V(t)R1 +

+

CVb

R V(t)

t /RC 0 42

0

CQ

dtdQRV

dtdQI

CQIRV

+=⇒=

+=b

b

−−=⇒

−=

⇒−=⇒−=⇒=

−=

RCtV

CtQ

RCtqtq

RCt

qdq

CV

qQ

CVQq

exp1)(exp)0()(

)0(0)0(

b

b

b

Sicurezza elettrica 31Messa a terra

220 V

neutro

fase

ENEL

R

RcRt

Rl

Rl Imax

Messa a terra della carcassa dell'apparato utilizzatore: sistema passivo affidabilema insufficiente.

I(danno)<10 mA quando Rc(contatto) ~5 kΩ

⇓V(carcassa )< 50V

terra

utente

Vmax(caracassa) ≈Imax(~14 A)×Rt(terra)<50V⇓

Rt(terra)<3 Ω

Il valore stimato per Rt (tipicamente ~ decine di Ω) è difficile o impos-sibile da realizzare e mantenere. Con più utenti (da 3 kW) Imax cresce.

Sicurezza elettrica 32Il salvavita

|If-In|>Is ?

If

In

SalvavitaStacca il contatto sulla

fase quando lo sbilancio tra

corrente sulla fase If e corrente sul neutro Insupera per un tempo t(intervento) ~ 100 s

la soglia Is(~10 mA)