FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Fungsi Gamma dan Fungsi Beta

Ayundyah Kesumawati

Prodi Statistika FMIPA-UII

March 31, 2015

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Fungsi Gamma

Fungsi Gamma didefinisikan sebagai integral tak wajar berikut:

Γ(α) :=

∫ ∞0

e−xxα−1dx (1)

Integral ini konvergen bila α > 0. Dengan menerapkan integralparsial. diperoleh

Γ(α + 1) : =

∫ ∞0

e−xxαdx

=[−e−xxα

]∞0

+ α

∫ ∞0

e−xxα−1dx

= αΓ(α)

Jadi diperoleh rumus rekursif fungsi gamma sebagai berikut :

Γ(α + 1) = αΓ(α) (2)

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Berdasarkan (1), bila α = 1 maka berlaku:

Γ(1) =

∫ ∞0

e−xdx =[−e−x

]∞0

= 1 (3)

Khususnya bila α bilangan bulat positif, maka denganmenggunakan formula rekursif (2) diperoleh

Γ(α + 1) = αΓ(α)

= α(α− 1)Γ(α)

= α(α− 1)(α− 2)(α− 3)...Γ(1)

= α!

Dengan alasan ini fungsi gamma disebut juga fungsi faktorialatau pengumuman dari faktorial, yaitu

Γ(α + 1) = α! bila α bulat positif (4)

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Pada definisi (1) fungsi Gamma Γ(α) hanya berlaku untukα > 0. Sedangkan untuk α < 0, fungsi gamma didefinisikanmenggunakan rumus rekursif (2) yaitu:

Γ(α) =Γ(α + 1)

α(5)

Dengan (5) maka diperoleh:

Γ(0) =Γ(1)

0tidak terdefinisi karena membagi dengan nol

Γ(−1) =Γ(0)

−1tidak terdefinisi karena Γ(0) tidak terdefinisi

Γ(−2) =Γ(−1)

−2tidak terdefinisi karena Γ(−1) tidak

terdefinisi

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Jadi fungsi Gamma tidak terdefinisi pada nol dan bilanganbulat negatif. Nilai fungsi gamma untuk α bulat positif sangatmudah dihitung dengan menggunakan bentuk faktorial,misalnya:

Γ(5) = 4! = 24, Γ(6) = 5! = 120

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Dilihat dari formulanya, kecuali pada bilangan bulat positif,nilai fungsi gamma tidak mudah diperoleh seperti pada fungsibiasa karena kita dituntut untuk menyelesaikan suatu integral.Beberapa program komputer untuk komputasi telahmenyediakan fasilitas untuk menghitung nilai fungsi gamma.Berikut grafik dari fungsi gamma untuk α < 0:

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Sifat Fungsi Gamma

1 Khusus untuk α = 12 berlaku

Γ

(1

2

)=√π

2 Untuk 0 < α < 1 berlaku:

Γ(α) Γ(1− α) =π

sinπxSifat 1 diatas merupakan kasus khusus dari sifat 2 ini yaitudengan α = 1

23 Formula Stirling untuk n bilangan positif yang besar

maka digunakan aproksimasi berikut:

n! ≈√

2πn(ne

)n4 Rumus duplikat fungsi gamma:

22α−1Γ(α) Γ(α +1

2) =√πΓ(2α)

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Contoh 1. Hitunglah nilai dari Γ(5/2), Γ(−1/2), dan Γ(−5/2)

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Penyelesaian

dengan menggunakan rumus rekursif akan diperoleh

Γ(5/2) = Γ(3

2+ 1)

=3

2Γ(3/2)

=3

2Γ(

1

2+ 1)

=3

2

1

2Γ(1/2)

=3

4

√π

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Berikutnya, karena α bernilai negatif maka digunakan relasi ....Diperhatikan α = −1/2 dan α + 1 = −1/2 + 1 = 1/2.Diperoleh

Γ(1/2) = Γ(−1/2 + 1)⇔√π =

(1

2

)Γ

(−1

2

)= −2

√π

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Dengan cara yang sama kita dapat menyelesaikan soalberikutnya:

Γ

(−1

2

)= Γ

(−3

2+ 1

)=

(−3

2

)Γ

(−3

2

)=

(−3

2

)Γ

(−5

2+ 1

)⇔

−2√π =

(−3

2

)(−5

2

)Γ

(−5

2

)⇒ Γ

(−5

2

)=

(− 8

15

)√π

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Jika diperhatikan nilai fungsi gamma Γ(x) dapatdisederhanakan jika fungsi tersebut direduksi menjadi Γ(12),yaitu dengan menggunakan rumus rekursif. Tetapi jika tidakdapat direduksi menjadi Γ(12) maka nilai Γ(x) harus dihitungdengan definisi fungsi Gamma.LatihanHitunglah masing-masing bentuk fungsi gamma di bawah ini:

a.Γ(3)Γ(52)

Γ(102 )

b.6Γ(83)

5Γ(23)

c.Γ(6)

2Γ(3)

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Penggunaan Fungsi Gamma

Fungsi gamma sering digunakan untuk menyelesaikan bentukintegral yang cukup rumit. Untuk menyelesaikan soal-soalintegral dengan menggunakan fungsi gamma kita harusmembandingkan kembali dengan definisi fungsi gamma. Duahal yang ahrus diperhatikan adalah batas integrasinya danintegrannya. Integral-integral ini harus diolah sedemikian rupasehingga menjadi bentuk definisi fungsi gamma.Contoh Hitunglah integral berikut dengan menggunakandefinisi fungsi gamma ∫ ∞

0x4e−xdx

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Penyelesaiandengan melihat bentuk

∫∞0 x4e−xdx , kemudian bandingkan

dengan definisi Γ(α) :=∫∞0 e−xxα−1dx maka tidak ada yang

perlu diubah lagi pada soal karena fungsi tersebut sudahberbentuk fungsi Gamma dengan α− 1 = 4 atau α = 5. Jadi∫ ∞

0x4e−xdx = Γ(5) = 4! = 24

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Bila integral ini diselesaikan dengan cara biasa tanpamenggunakan fungsi gamma maka harus dilakukan integralparsial beberapa kali seperti berikut ini∫

x4e−xdx =

∫x4︸︷︷︸u

e−x︸︷︷︸v

dx

= −[x4e−x − 4

∫x3e−xdx

]= −x4e−x + 4

∫x3︸︷︷︸u

e−x︸︷︷︸v

dx

= ...

Untuk menghabiskan pangkat dari x4 harus dilakukan 4 kaliintegral parsial, suatu pekerjaan yang cukup melelahkan. Tapidengan menggunakan fungsi gamma pekerjaan ini dapatdilakikan dengan sangat mudah.

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

ContohHitunglah integral berikut dengan menggunakan fungsi gamma∫ ∞

0

3√xe−x

3dx

PenyelesaianIntegral

∫∞0

3√xe−x

3dx belum berbentuk fungsi gamma dalam

hal integrannya, namun batas integrasi sudah sama. Subtitusivariabel baru x3 = y maka batas-batasnya tidak berubah dandiperoleh:

x = y13 dan dx =

(1

3

)y−

23 dy

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah Subtitusi hasil ini ke dalam integral pada soal dan diperoleh:∫ ∞0

3√xe−x

3dx =

∫ ∞0

y16 e−y

1

3y−

23 dy

=1

3

∫ ∞0

y−12 e−ydy

=1

3Γ(1/2)

=

√π

3

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Latihan

1. hitunglah integral berikut dengan menggunakan fungsigamma ∫ 1

0

(ln

1

x

)3

dx

2. hitunglah integral berikut dengan menggunakan fungsigamma ∫ 1

0x3 (lnx)2 dx

3. Diketahui variabel random X berdistribusi gamma denganfungsi kepadatan peluang dari X adalah

PX (x) =xα−1e−x/β

βαΓ(α), α, β, x > 0

Hitunglah ekspektasi E (x) dan variansi var(x)

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Fungsi Beta

Fungsi beta adalah fungsi Gamma dengan komposisi duaparameter yang didefinisikan sebagai:

B(m, n) :=

∫ 1

0xm−1(1− x)n−1dx (6)

integral ini hanya konvergen bila m, n > 0. Tidak ada definisifungsi beta untuk m, n < 0Bentuk trigonometri dari fungsi beta adalah:

B(m, n) = 2

∫ π2

0sin2m−1θcos2n−1θdx (7)

Karena fungsi beta merupakan fungsi dua variabel maka dalampengerjaannya lebih sedikit sulit daripada fungsi gamma.

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Hubungan Fungsi Gamma dan FUngsi Beta

Fungsi beta dapat dinyatakan melalui fungsi gamma dengancara berikut ini: Dengan memisalkan z2 = x2, maka kitamemperoleh

Γ(u) =

∫ ∞0

zu−1e−zdx = 2

∫ ∞0

x2u−1e−x2dx (8)

Dengan cara yang sama,

Γ(v) = 2

∫ ∞0

y2v−1e−y2dx (9)

Maka

Γ(u)Γ(v) = 4

(∫ ∞0

x2u−1e−x2dx

)(∫ ∞0

y2v−1e−y2dy

)= 4

∫ ∞0

∫ ∞0

x2u−1e−x2y2v−1e−y

2dx dy

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Dengan mentransformasikannya ke koordinat polar,x = ρ cosφ,maka y = ρ sinφ. Sehingga

Γ(u)Γ(v) = 4

∫ π2

φ=0

∫ ∞ρ=0

ρ2(u+v)−1e−ρ2

cos2u−1 φ sin(2v − 1) φ dρ dφ

= 4

(∫ ∞ρ=0

ρ2(u+v)−1e−ρ2dρ

)(∫ π2

φ=0cos(2u − 1)φ sin(2v − 1)φ dφ

)

= 2Γ(u + v)

∫ π/2

0cos2u−1φsin2v−1φdφ

= Γ(u + v)B(u, v)

Jadi diperoleh hubungan fungsi gamma dan fungsi beta adalah

B(m, n) =Γ(m)Γ(n)

Γ(m + n)(10)

FungsiGamma danFungsi Beta

AyundyahSifat lain dari fungsi gamma yang diturunkan dari fungsi betaadalah:∫ ∞

0

xp−1

1 + xdx = Γ(p)Γ(1− p) =

π

sinpπ, 0 < p < 1 (11)

ContohHitunglah nilai fungsi beta berikut

B(5, 2),B(1/2, 3),B(1/3, 2/3)

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Penggunaan Fungsi Beta

Sama seperti pada fungsi gamma, fungsi beta juga banyakdigunakan untuk menyelesaikan bentuk integral yang cukuprumit.ContohHitunglah integral berikut dengan menggunakan fungsi beta∫ 1

0x2(1− x)5dx

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah PenyelesaianIntegral ini sudah berupa fungsi beta. Jadi cukup ditentukannilai m dan n yang bersesuaian lalu bandingkan dengan

B(m, n) :=

∫ 1

0xm−1(1− x)n−1dx

maka m = 3 dan n = 6 sehingga∫ 1

0x2(1− x)5dx = B(3, 6) =

Γ(3)Γ(6)

Γ(9)=

1

168

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Latihan

1. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgibeta ∫ 3

0x4√

9− x2dx

2. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgibeta ∫ π/2

0sin3θcos4 θ dθ

3. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgibeta ∫ π

0sin5θdθ

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah 4. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgibeta ∫ 3

1

dx√(x − 1)(3− x)

5. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgibeta ∫ π/2

0

√tan θ dθ

FungsiGamma danFungsi Beta

Ayundyah

Semangatlah dalam hal yang bermanfaat untukmu, mintatolonglah pada Allah, dan jangan malas (patah semangat).(HR. Muslim no. 2664).