funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

Funciones armónicas. Problema de Dirichlet.Fórmulas de Green

Jana Rodriguez HertzCálculo 3

IMERL

7 de abril de 2011

funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

laplaciano

Laplaciano

definición (Laplaciano)

f : Ω→ R3 función C2

Laplaciano de f

4f = ∇2f = ∇.∇f = fxx + fyy + fzz

funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

laplaciano

Laplaciano

definición (Laplaciano)

f : Ω→ R3 función C2

Laplaciano de f

4f = ∇2f = ∇.∇f = fxx + fyy + fzz

funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

laplaciano

Laplaciano

definición (Laplaciano)

f : Ω→ R3 función C2

Laplaciano de f

4f = ∇2f = ∇.∇f = fxx + fyy + fzz

funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

laplaciano

Laplaciano

definición (Laplaciano)

f : Ω→ R3 función C2

Laplaciano de f

4f = ∇2f = ∇.∇f = fxx + fyy + fzz

funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

funciones armónicas

funciones armónicas

definición (función armónica)

f función armónica si

4f = ∇2f ≡ 0

(ecuación de Laplace)

funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

funciones armónicas

funciones armónicas

definición (función armónica)f función armónica si

4f = ∇2f ≡ 0

(ecuación de Laplace)

funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

funciones armónicas

funciones armónicas

definición (función armónica)f función armónica si

4f = ∇2f ≡ 0

(ecuación de Laplace)

funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

funciones armónicas

funciones armónicas

definición (función armónica)f función armónica si

4f = ∇2f ≡ 0

(ecuación de Laplace)

funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

transferencia del calor (solución estacionaria)

Ω corona 2 ≤ r ≤ 4

u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)

u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?

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transferencia del calor (solución estacionaria)

Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla corona

datos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)

u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?

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transferencia del calor (solución estacionaria)

Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:

u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)

u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?

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transferencia del calor (solución estacionaria)

Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)

u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?

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transferencia del calor (solución estacionaria)

Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)

u(2 cos θ,2 sin θ) = 0

cómo se transfiere el calorde un borde al otro?

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transferencia del calor (solución estacionaria)

Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)

u(2 cos θ,2 sin θ) = 0

cómo se transfiere el calorde un borde al otro?

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transferencia del calor (solución estacionaria)

Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)

u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?

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problema de dirichlet

problema de dirichlet

problema de dirichlet

encontrar u : Ω→ R tal que

(D)

4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

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problema de dirichlet

problema de dirichlet

problema de dirichlet

encontrar u : Ω→ R tal que

(D)

4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

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problema de dirichlet

problema de dirichlet

problema de dirichlet

encontrar u : Ω→ R tal que

(D)

4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

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teorema

teorema

teorema (unicidad soluciones (D))

si existe solución de

(D)

4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

entonces es única

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teorema

teorema

teorema (unicidad soluciones (D))si existe solución de

(D)

4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

entonces es única

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teorema

teorema

teorema (unicidad soluciones (D))si existe solución de

(D)

4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

entonces es única

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teorema

teorema

teorema (unicidad soluciones (D))si existe solución de

(D)

4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

entonces es única

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teorema

demostración

al final de esta clase

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fórmula de green 1

fórmula de green 1

fórmula de green 1

u : Ω∗ → R función C2

⇒ ∫∂Ω

ds =

∫∫Ω∇2u dx dy

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fórmula de green 1

fórmula de green 1

fórmula de green 1

u : Ω∗ → R función C2

⇒ ∫∂Ω∇u.~nds =

∫∫Ω∇2u dx dy

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fórmula de green 1

fórmula de green 1

fórmula de green 1

u : Ω∗ → R función C2

⇒ ∫∂Ω

∂u∂n

ds =

∫∫Ω∇2u dx dy

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fórmula de green 1

demostración

teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =

∫∫Ω div ~X dx dy

considerar ~X = ∇u

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fórmula de green 1

demostración

teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =

∫∫Ω div ~X dx dy

considerar ~X = ∇u

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fórmula de green 1

demostración

teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =

∫∫Ω div ~X dx dy

considerar ~X = ∇u

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fórmula de green 2

fórmula de green 2

fórmula de green 2

u : Ω∗ → R función C2

⇒ ∫∂Ω

u∂u∂n

ds =

∫∫Ω

(u∇2u + (∇u)2)dx dy

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fórmula de green 2

fórmula de green 2

fórmula de green 2

u : Ω∗ → R función C2

⇒ ∫∂Ω

u∂u∂n

ds =

∫∫Ω

(u∇2u + (∇u)2)dx dy

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fórmula de green 2

fórmula de green 2

fórmula de green 2

u : Ω∗ → R función C2

⇒ ∫∂Ω

u∂u∂n

ds =

∫∫Ω

(u∇2u + (∇u)2)dx dy

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fórmula de green 2

demostración

teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =

∫∫Ω div ~X dx dy

considerar ~X = u∇u

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fórmula de green 2

demostración

teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =

∫∫Ω div ~X dx dy

considerar ~X = u∇u

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fórmula de green 2

demostración

teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =

∫∫Ω div ~X dx dy

considerar ~X = u∇u

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demostración

demostración unicidad soluciones (D)

sup u1,u2 soluciones de

(D)

4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

u∗ = u1 − u2

FG2:∫∂Ω u∗

∂u∗∂n ds =

∫∫Ω(u∗∇2u∗ + (∇u∗)2)dxdy

0 =∫∫

Ω(∇u∗)2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0

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demostración

demostración unicidad soluciones (D)

sup u1,u2 soluciones de

(D)

4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

u∗ = u1 − u2

FG2:∫∂Ω u∗

∂u∗∂n ds =

∫∫Ω(u∗∇2u∗ + (∇u∗)2)dxdy

0 =∫∫

Ω(∇u∗)2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0

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demostración

demostración unicidad soluciones (D)

sup u1,u2 soluciones de

(D)

4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

u∗ = u1 − u2

FG2:∫∂Ω u∗

∂u∗∂n ds =

∫∫Ω(u∗∇2u∗ + (∇u∗)2)dxdy

0 =∫∫

Ω(∇u∗)2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0

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demostración

demostración unicidad soluciones (D)

sup u1,u2 soluciones de

(D)

4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

u∗ = u1 − u2

FG2:∫∂Ω u∗

∂u∗∂n ds =

∫∫Ω(u∗∇2u∗ + (∇u∗)2)dxdy

0 =∫∫

Ω(∇u∗)2dxdy

∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0

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demostración

demostración unicidad soluciones (D)

sup u1,u2 soluciones de

(D)

4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

u∗ = u1 − u2

FG2:∫∂Ω u∗

∂u∗∂n ds =

∫∫Ω(u∗∇2u∗ + (∇u∗)2)dxdy

0 =∫∫

Ω(∇u∗)2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte

⇒ u∗ ≡ 0

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demostración

demostración unicidad soluciones (D)

sup u1,u2 soluciones de

(D)

4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

u∗ = u1 − u2

FG2:∫∂Ω u∗

∂u∗∂n ds =

∫∫Ω(u∗∇2u∗ + (∇u∗)2)dxdy

0 =∫∫

Ω(∇u∗)2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0