MECÁNICA TEÓRICA I MECÁNICA TEÓRICA I

Prof. Ing. Daniel Inciso MelgarejoCorreo: danferim@yahoo.com

Celular: 998815457

CUERPOS RÍGIDOS:

SISTEMAS FUERZA-PAR

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

El producto escalar de dos vectores P y Q, se define como

el producto de las magnitudes de P y Q, y el coseno del

ángulo θ formado por P y Q, que se denota así:

Siendo la expresión un escalar y no un vector.

Se concluye además que el producto escalar es:Conmutativo:

Distributivo:

Con el uso de la propiedad distributiva P . Q se expresa como la suma

de los productos escalares, como:

Luego se concluye que:

θcosQPQP.

PROBLEMA RESUELTO

Una viga de 4,80 m de longitud está sujeta a las fuerzas mostradas en

la figura. Redúzca el sistema de fuerzas dado a:

a.Un sistema equivalente de fuerza-par en A,

b.Un sistema equivalente de fuerza-par en B, y

c.Una sola fuerza o resultante.

NOTA: Como las reacciones en los apoyos no están incluidas en el

sistema de fuerzas dado, el sistema no mantendrá la viga en equilibrio.

SOLUCIÓN:

a.SISTEMA DE FUERZA – PAR EN A: El sistema fuerza – par en A

equivalente al sistema de fuerzas dado consta de una fuerza resultante

R y de un par MAR definidos como:

Luego calculamos el momento de las fuerzas con respecto al punto A:

jN)(600jN)250(jN)(100jN)600(jN)(150FR

km)N(1880RAM

j)250i)x((4,8j)i)x(100(2,8j)600i)x((1,6F)x(rRAM

Luego: El sistema equivalente fuerza – par en A, está dado por:

mN1880RA

M

jN)(600R

SOLUCIÓN:

b. SISTEMA DE FUERZA – PAR EN B: El sistema fuerza – par en

B equivalente al sistema de fuerza – par en A determinada en a., donde

la fuerza resultante R permanece inalterable, pero se debe determinar

un nuevo par MBR luego se tiene que:

Luego calculamos el momento de las fuerzas con respecto a B:

jN)(600R

km)N(1000km)N(2880km)N(1880RBM

jN)600(xim)4,8(km)N(1880RxBARA

MRBM

Luego:

El sistema equivalente fuerza – par en B, está dado por:

mN1000RB

M

jN)(600R

SOLUCIÓN:

c.FUERZA ÚNICA O RESULTANTE: La resultante del sistema de

fuerzas dado es igual a R y su punto de aplicación debe ser tal que el

momento de R con respecto a A sea igual a MAR luego se tiene que:

m3,13600

m)(1880X

km)(1880k(600X)km)(1880jxi(600X)

km)N(1880jN)600(xiX

RAMRxr

SE CONCLUYE:

Que X = 3,13 m. Por tanto la fuerza única equivalente al sistema esta

definida como:

m3,13X

jN)(600R

PROBLEMA RESUELTO:

Se usan cuatro remolcadores para llevar a un trasatlántico a su muelle.

Cada remolcador ejerce una fuerza de 5000 lb en la dirección mostrada

en la figura. Determinar:

a.El sistema equivalente fuerza – par en el mástil mayor O, y

b.El punto sobre el casco donde un solo remolcador más potente

debería empujar al barco para producir el mismo efecto que los cuatro

remolcadores originales.

SOLUCIÓN:

Se descomponen las fuerzas de 5000 lb en kilolibras (klb) en sus

componentes rectangulares:

a. El sistema equivalente fuerza – par en el mástil mayor O, y del

diagrama de la descomposición de fuerzas mostrado.

El sistema fuerza – par en O equivalente al sistema de fuerzas dado,

consta de una fuerza resultante R y un par MOR que se define como

sigue:

kpj)9,79i(9,04R

j)kp3,54i(3,5jj)5(j)kp4i(3j)kp4,33i(2,5R

kilolibra)s(kilopoundkpFR

ft)kp(1035kft)kp(1035RO

M

k248)10622000210400125(390RO

M

j)3,54ij)x(3,5470i(300j)5j)x(70i(400

j)4ij)x(370i(100j)4,33ij)x(2,550i90(RO

M

F)x(rRO

M

b. El remolcador único: La fuerza ejercida por un solo remolcador

debe ser igual a R y su punto de aplicación A debe ser tal que el

momento de R con respecto a O sea igual a MOR.

Se observa que el vector posición de A es: r = x i + 70 j

ft41,08xLuego:

ftkpk1035ft)kkp9,04x(70kXkp9,79

ftkp1035j)9,79i(9,04xj)70i(XRxrROM