Subtema 1.2.3.. Componentes rectangulares de una fuerza en el plano.

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  • Subtema 1.2.3.. Componentes rectangulares de una fuerza en el plano.
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  • Las componentes rectangulares de una fuerza en el plano, las utilizamos en el subtema anterior de clculo de la resultante de un sistema de vectores y vimos que las ecuaciones a utilizar son: Fx = F cos Fy = F sen . A continuacin se mostrarn 4 problemas de utilizacin de estas dos ecuaciones, con magnitudes vectoriales en los 4 cuadrantes del plano cartesiano, tomando el cuenta los signos de las X y las Y en dichos cuadrantes.
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  • 1.- Hallar las componentes rectangulares de una fuerza de 30 Newtons, situado a 40 del eje X en el primer cuadrante como se ve en la figura siguiente:
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  • Y X 30 N = 40
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  • Empleando las ecuaciones: Fx = F cos Fy = F sen . tenemos: Fx = 30 N x cos 40 Fx = 30 N x 0.7660 = 22.98 N. Fy = 30 N x sen 40 Fy = 30 N x 0.6427 = 19.28 N. Las dos componentes X y Y dan resultados positivos, puesto que el vector se encuentra en el primer cuadrante.
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  • 2.- Encuentre las componentes rectangulares de una velocidad de un automvil de 120 km/h que se dirige a 60 al Noroeste.
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  • N S EO V = 120 km/h = 60
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  • Vx = V cos Vy = V sen Vx = -120 km/h x cos 60 Vx = - 120 km/h x 0.5 = - 60 km/h. Vy = 120 km/h x sen 60 Vy = 120 km/h x 0.8660 = 103.9 km/h. La componente X, nos da una cantidad negativa, puesto que el vector velocidad se encuentra en el segundo cuadrante y la componente Y, nos da una cantidad positiva.
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  • 3.- Hallar las componentes rectangulares de un ferrocarril que lleva una velocidad de 90 millas/h si se dirige al suroeste a 70.
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  • N S E O V = 90 mill/h = 70
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  • Vx = - 90 millas/h x cos 70. Vx = - 90 millas/h x 0.3420 = - 30.78 millas/h. Vy = - 90 millas/h x sen 70 Vy = - 90 millas/h x 0.9396 = - 84.56 millas/h. En este caso ambas componentes X y Y, dieron cantidades negativas, puesto que el vector velocidad se encuentra en el tercer cuadrante.
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  • 4.- Hallar las componentes rectangulares de un vector desplazamiento de 60 km, a 45 al sureste.
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  • N S EO 60 km = 45
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  • dx = d cos dy = d sen . dx = 60 km x cos 45 dx = 60 km x 0.7071 = 42.42 km. dy = - 60 km x sen 45 dy = - 60 km x 0.7071 = - 42.42 km. En este caso la componente X, nos da una cantidad positiva, y la componentes Y, una cantidad negativa, puesto que el vector desplazamiento se encuentra en el cuarto cuadrante.
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  • Clculo de la fuerza o vector resultante, a partir de una de las componentes y el ngulo. El vector resultante, se puede obtener, al conocer el valor de una de sus componentes rectangulares, Fx Fy, y el valor del ngulo con el cual se aplica, como se observa en los siguientes ejemplos. Esto se logra al despejar F, a partir de las ecuaciones vistas al principio del subtema: Fx = F cos Fy = F sen .
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  • 1.- Calcular la fuerza resultante, cuya componente Fx = 80 N, si se aplica con un ngulo de 40. Fx = F cos . Despejando F, tenemos: F = Fx = F = 80 N cos cos 40 F = 80 N = 104.4 Newtons. 0.7660
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  • 2.- Calcular el desplazamiento resultante, cuyo componente en y dy = 50 km si se aplica con un ngulo de 60. dy = d sen . Despejando d, tenemos: d = dy sen d = 50 km = 50 km = 57.7 km. sen 60 0.8660
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  • 3.- Encontrar la velocidad resultante de un automvil, que se desplaza 30 al Noreste, si su componente en X, Vx =100 km/h. Vx = V cos . Despejando V, tenemos: V = Vx = F = 100 km/h cos cos 30 F = 100 km/h= 115.4 km/h. 0.8660
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  • 4. Encontrar la resultante de una fuerza, cuya componente en y Fy = 90 lbf, si se aplica con un ngulo de 70. Fy = F sen . Despejando F, tenemos: F = Fy sen d = 90 lbf = 90 lbf = 95.78 lbf. sen 70 0.9396
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  • Resultante de fuerzas coplanares por mtodos grficos (mtodo del polgono y del paralelogramo). EL METODO DEL POLIGONO Y EL PARALELOGRAMO El mtodo del polgono es el mas til ya que puede ser fcilmente aplicado en la suma de ms de dos vectores a la vez. El mtodo del paralelogramo es muy til para la suma de slo dos vectores a la vez. En ambos casos la magnitud del vector se indica a escala por la longitud de un segmento de recta. La direccin se marca por medio de una punta de flecha al extremo del segmento.
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  • Problema por el mtodo del Polgono Un barco viaja 100 km hacia el norte en el primer da de su viaje, 60 km hacia el noreste en el segundo da y 120 km al este en el tercer da. Encuntrese el desplazamiento resultante por el mtodo del polgono. Utilice una escala de 1 cm= 20 km.
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  • punto de partida 100 km N 60 km 120 km R (10.8 cm) Desplazamiento Resultante. El mtodo del polgono para la adicin de vectores 0 204060 En km 1230 2-2 45 = 41
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  • Solucin del mtodo del polgono 1.- Elija una escala y determine la longitud de las flechas que corresponden a cada vector. 2.- Dibuje a escala una flecha que represente la magnitud y la direccin del primer vector. 3.-Dibuje la flecha del segundo vector de tal manera que su origen coincida con el extremo del primer vector.
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  • 4.-Continu el procedimiento de unir el origen de cada nuevo vector con el extremo del vector procedente, hasta que todos los vectores del problema hayan sido dibujados. 5.-Dibuje el vector resultante partiendo del origen (que coincide con el origen del primer vector) y terminando en el extremo del ultimo vector. 6.-Mida con regla y transportador la longitud y el ngulo que forma el vector resultante para determinar su magnitud y su direccin.
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  • Resultados. 1.- Para este problema en particular, primero se traza 5 cm al Norte, hacia arriba del eje Y que representan los 100 km del primer da de viaje. 2.- Despus se trazan 3 cm, que corresponden a los 60 km del segundo da del viaje al noreste, al no especificar un ngulo, se sobrentiende que es a la mitad del cuadrante es decir a 45. 3.- Despus se trazan 6 cm, al este que representan los 120 km, del tercer da de viaje.
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  • N 100 km 60 km 45 S E O 120 km
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  • 4.- Seguidamente, se mide la longitud, del vector resultante, que se traza al unir el principio del primer vector con el final del ltimo vector y nos da una longitud de 10.8 cm, y utilizando la escala de 1 cm= 20 km, obtenemos que el vector resultante es de: 1 cm 20 km 10.8 cm X X = 20 km x 10.8 cm = 216 km. 1 cm
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  • Para medir el ngulo del vector resultante, se realiza con un transportador y al hacerlo obtenemos que el ngulo tiene un valor de 41. Para comprobar estos valores, obtenga el valor del vector resultante y el ngulo por el mtodo analtico por el Teorema de Pitgoras.
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  • 1.- Se trazan los 3 vectores a partir del origen de los ejes X y Y. 2.- Se obtienen las componentes rectangulares de los vectores, si las tuvieran con las frmulas siguientes, tomando en cuenta los signos de las x y las y en los cuadrantes. Fx = F cos Fy = F cos 3.- Para hallar la resultante se hace la sumatoria de las fuerzas en X y en Y y despus se aplica la frmula del Teorema de Pitgoras. _____________ R = (Fx) 2 + (Fy) 2.
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  • 4.- Para hallar el ngulo del vector resultante, se toma el valor absoluto del cociente del la sumatoria de las fuerza en y entre la sumatoria de las fuerzas en X, y al resultado se le saca la tangente inversa. = tan -1 Fy Fx
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  • Cuadro de fuerzas para hallar las componentes rectangulares. F Comp. XComp Y. 100 km 0 0 100 km 60 km 45 60 cos 45 60 sen 45 120 km 0120 km 0 Fx = 60 cos 45 + 120 km Fy = 100 km + 60 sen 45 Fx = 60 x 0.7071 + 120 km Fx = 42.42 km + 120 km = 162.42 km. Fy = 100 km + 60 x 0.7071 Fy = 100 km x 42.42 km = 142 km.
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  • Aplicacin del Teorema de Pitgoras para hallar la resultante. R = (Fx) 2 + (Fy) 2. _________________ R = (162.42) 2 + (142.42) 2. __________________ R = 26380.25 + 20283.45 _______ R = 46663.7 R = 216 km. Este resultado es el mismo que el obtenido por el mtodo del polgono.
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  • Clculo del ngulo por la funcin trigonomtrica tangente. = tan -1 Fy Fx = tan -1 142.42 = 0.8768 162.42 = tan -1 0.8768 = 41.24. De igual manera, el ngulo obtenido es del mismo valor, que el obtenido por el transportador en el mtodo del polgono.
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  • La resultante de dos fuerzas por el mtodo del paralelogramo El mtodo del paralelogramo, que es til para sumar dos vectores a la vez, consiste en dibujar dos vectores a escala con sus orgenes coincidiendo en su origen comn.(fig 2-3) los vectores forman de esta manera dos lados del paralelogramo, los otros dos lados se construyen dibujando lneas paralelas a los vectores y de igual longitud, formndose as el paralelogramo. La resultante se obtiene dibujando la diagonal del paralelogramo a partir del origen comn de las dos flechas que representan los vectores y el ngulo se mide con el transportador.
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  • Problema por el mtodo del Paralelogramo Dos cuerdas se atan alrededor de un poste telefnico, con un ngulo entre ellas de 120. Si de uno de los extremos se tira con una fuerza de 60 N y del otro con una fuerza de 20 N Cul es la fuerza resultante sobre el poste telefnico?. Utilice una escala de 1 cm = 10 N.
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  • 120 20 N R 60 N EL METODO DEL PARALELOGRAMO PARA ADICION DE VECTORES 0 10 20 30 40 0 1 2 3 4 1 cm = 1 N
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  • Resultados 1.- Se trazan los vectores de acuerdo a la escala convenida, en este caso 2 cm para la fuerza de 20 N, y 6 cm para la fuerza de 60 N. 2.- Se trazan lneas paralelas para obtener el paralelogramo y el vector resultante ser la diagonal del paralelogramo. 3.- Se mide la diagonal y se obtiene su magnitud utilizando como factor de conversin la escala convenida. 4.- El ngulo se obtiene mediante el transportador.
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  • 60 N 20 N = 60
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  • En este caso al medir la diagonal, se obtiene 5.29 cm, es decir la resultante tendr un valor de: 1 cm 10 N 5.29 cm X X = 5.29 cm x 10 N = 52.9 N. 1 cm
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  • Al medir el ngulo del vector resultante obtenemos que tiene un valor de 19.10. Ahora obtenga el valor del vector resultante por el mtodo analtico del Teorema de Pitgoras.
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  • Cuadro de fuerzas F comp Xcomp Y 60 N060 N0 20 N60 -20 x cos 60 20 x sen 60 Fx = 60 N-20 x cos 60.Fy =20 x sen 60 Fx = 60 N-20 x 0.5 Fx = 60 N-10 N = 50 N. Fy = 20 x 0.8660 = 17.32 N.
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  • Aplicacin del Teorema de Pitgoras para hallar la resultante. R = (Fx) 2 + (Fy) 2. _________________ R = (50) 2 + (17.32) 2. __________________ R = 2500 + 300 _______ R = 2800 R = 52.91 N. Este resultado es el mismo que el obtenido por el mtodo del paralelogramo.
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  • Clculo del ngulo mediante la funcin tangente. = tan -1 Fy Fx = tan -1 17.32 = 0.3464 50 = tan -1 0.3464 = 19.10. De igual manera, el ngulo obtenido es del mismo valor, que el obtenido por el transportador en el mtodo del paralelogramo.
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  • TRES LEYES FUNDAMENTALES DE NEWTON Primera Ley: Ley de la Inercia La fuerza resultante que acta sobre una partcula es cero la partcula permanecer en reposo (si originalmente esta en reposo) o se mover con velocidad constante en una lnea recta (si originalmente estaba en movimiento).
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  • SEGUNDA LEY: Ley de la Proporcionalidad entre Fuerzas y Aceleraciones. Si la fuerza resultante que acta sobre una partcula no es cero la partcula tendr una aceleracin proporcional a la magnitud de la resultante y en la misma direccin que esta ultima. Se enuncia como: F = ma F= Fuerza m= Masa a= Aceleracin.
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  • TERCERA LEY: Ley de la accin y la reaccin. Esta ley establece que para cada fuerza llamada accin, se opone otra fuerza de igual magnitud y direccin pero de sentido contrario llamada reaccin. (F y F).
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  • Ley de la gravitacin universal. Esta Ley se enuncia de la siguiente manera: La fuerza de atraccin entre 2 cuerpos, es directamente proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. F = Gm1m2 r 2
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  • El El mtodo analtico para la suma de vectores, consiste en utilizar las ecuaciones de las componentes rectangulares de los vectores (Fx y FY). Cuyas ecuaciones son: Fx = F cos Fy = F sen . Despus de obtener la sumatoria de las fuerzas en X y en Y se aplica el Teorema de Pitgoras, cuya Frmula es: ____________ R = (Fx) 2 + (Fy) 2.
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  • Finalmente, para obtener el ngulo del vector resultante se hace uso de la funcin trigonomtrica tangente, cuya frmula es: = tan -1 Fy Fx
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  • Problemas para hallar el vector resultante por el mtodo analtico. 1.- Tres sogas estn atadas a una estaca, y sobre ella actan tres fuerzas: A = 20 libras al Este, B = 30 libras a 30 al Noroeste; y C = 40 libras a 52 al Suroeste. Determine la fuerza resultante de forma analtica. Solucin: primeramente se trazan los vectores en las coordenadas cartesianas:
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  • A = 20 lb E B = 30 lb 30 NO = 30 C = 40 lb, 52 SO = 52. E N S O
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  • Primeramente se construye el cuadro de fuerzas. FnguloComp. XComponentes Y 20 lb020 lb0 30 lb30-30 lb cos 3030 lb sen 30 40 lb52-40 lb cos 52-40 lb sen 52 _____________________ ____________________ Fx = 20 lb-30 lb cos 30-40 lb cos 52 Fy= 30 lbsen30-40 lb sen 52 Fx = 20 lb- 30 lb (0.8660)-40 lb (0.6156)Fy= 30 lb (0.5)-40 lb (0.7880). Fx = 20 lb- 25.98 lb- 24.62 lbFy= 15 lb- 31.52 lb Fx = 20 lb- 50.6 lbFy= -16.52 lb Fx = - 30.6 lbFy= -16.52 lb
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  • Una vez obtenidos la sumatoria de fuerzas X y Y, se aplica la ecuacin del teorema de Pitgoras para obtener la resultante. Por los signos de las componentes X y Y (ambos negativos), la resultante se graficar en el tercer cuadrante. ___________ R = (Fx) 2 +(Fy) 2. ______________________ R = (- 30.6 lb) 2 + (- 16.56 lb) 2. __________ R = 1210.59 lb R = 34.8 lb
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  • Para obtener el ngulo de la resultante, se aplica la funcin trigonomtrica tangente: = tan -1 Fy Fx = tan -1 -16.52 lb = 0.5398. - 30.6 lb tan -1 0.5398 = 28.36. R = 34.8 lb, 28.36. Al Suroeste.
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  • El ngulo es debajo del eje x en el tercer cuadrante. La direccin o ngulo del vector resultante tambin se puede expresar como 208.36 al sumar los 180 correspondientes a los dos primeros cuadrantes al valor de 28.36, por lo cual la respuesta tambin se puede expresar como: R = 34.8 lb, 208.36 medidos desde el primer cuadrante.
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  • N S E O R = 34.8 lb = 28.36 Fx = - 30.6 lb Fy = - 16.52 lb
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  • 2.- Encontrar el vector resultante y el ngulo del siguiente sistema de vectores por el Teorema de Pitgoras, medidos desde el Este: F1 = 2.5 N al Norte, F2 = 3 N a 25 al Noreste, F3 = 4 N al Este, y F4 = 2 N a 40 al Suroeste.
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  • N E S O F1 = 2.5 N F2 = 3 N = 25 F3 = 4 N F4 = 2 N = 40
  • Diapositiva 59
  • Cuadro de fuerzas con sus componentes rectangulares. F comp. Xcomp Y 2.5 N00 2.5 N 3 N253 N cos 25 3 N sen 25 4 N04 N 0 2 N0 -2 N cos 40 -2 N sen 40 Fx =3 N cos 25 Fy = 2.5 N + 3 N + 4 N - 2 N cos 40. sen 25- 2 N sen 40 Fx = 3 N x 0.9063 + 4 N 2 N x 0.7660. Fx = 2.7189 + 4 N 1.532 N Fx = 6.7189 N 1.532 N = 5.1869 N. Fy = 2.5 N + 3 N x 0.4226 2 N x 0.6427 = Fy = 2.5 N + 1.2678 1.2854 Fy = 3.7678 1.2854 = 2.4824 N.
  • Diapositiva 60
  • ______________ R = (5.1869) 2 + (2.4824) 2. ___________ R = 26.90 + 6.16 _________ R = 33.06 R = 5.75 Newtons.
  • Diapositiva 61
  • = 2.4824 = 0.4785 5.1869 = tan -1 0.4785 = 25.6.
  • Diapositiva 62
  • R = 5.75 N Fy =2.48 N Y X Fx = 5.18 N = 25.6
  • Diapositiva 63
  • 3.- Encontrar el vector resultante y el ngulo del siguiente sistema de vectores por el Teorema de Pitgoras. V1 = 35 m/seg, al Este, V2 = 30 m/seg a 30 al Suroeste y V3 = 45 m/seg a 60 al Noroeste.
  • Diapositiva 64
  • Diapositiva 65
  • N S EO V1 = 35 m/seg V2 = 30 m/seg =30 V3 = 45 m/seg = 60
  • Diapositiva 66
  • Cuadro de fuerzas y componentes rectangulares. F Comp. XComp. Y 35 m/s035 m/s 0 30 m/s30 - 30 m/s cos 30-30 m/s sen 30 45 m/s60 - 45 m/s cos 60 45 m/s sen 60 Fx = 35 m/s 30 m/s cos 30 Fy = - 30 m/s sen 30 -45 m/s cos 60. + 45 m/s sen 60 Fx = 35 m/s 30 m/s x 0.8660-45 m/s x 0.5= 35 m/s- 25.98 m/s - 22.5 m/s Fx = 35 m/s- 48.48 = - 13.48 m/s. Fy = -30 m/s x sen 30 + 45 m/s x sen 60 Fy = - 30 m/s x 0.5 + 45 m/s x 0.8660. Fy = - 15 m/s + 38.97 m/s = 23.97 m/s.
  • Diapositiva 67
  • ____________________ R = (-13.48 m/s) 2 + (23.97 m/s) 2. ________________________ R = 181.71 m 2 /s 2 + 574.56 m 2 /s 2 ________________ R = 756.27 R = 27.5 m/s.
  • Diapositiva 68
  • Clculo del ngulo de la resultante. = 23.97 = 1.7781 13.48 = tan -1 1.7781 = 60.6
  • Diapositiva 69
  • Grfica del vector resultante y su ngulo.
  • Diapositiva 70
  • N S E O VR =27.5 m/s = 60.6 = 119.4 Fx = - 13.48 m/s Fy = 23.97 m/s