71

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Las coordenadas de dos puntos P1 y P2 son respectivamente (0 m; 4 m) y (3 m; - rad2

3π ). La

distancia entre los puntos P1 y P2 es:

A) 7 m

B) 1m

C) 7

D) 5 m

E) 1

2. Un segmento tiene por extremos los puntos (−2 m; 1 m) y (2 m; −2 m). La longitud del

segmento es, en dm:

A) 5 B) 500 C) 50 D) 30 E) Ninguno de los anteriores

3. Dos aviones se mueven en círculos concéntricos de radios

R1 = 850 mile y R2 = 400 mile, tal como se representa en la figura

derecha. La mínima distancia entre los aviones es, en km :

A) 0

B) 450

C) 724,2

D) 7,24 105

E) Ninguno de los valores anteriores

4. Dos ardillas juegan sobre la superficie de un tronco seco, tal como

se representa en la figura. El diámetro de la sección circular del

tronco es 3 m y y la longitud del tronco es 4 m. La mayor

distancia a la que pueden estar las ardillas es, en m

A) 7 B) 4 C) 5 D) 7 E) Ningún valor

anterior

72

5. El conjunto de vectores Ar

, Br

, Cr

, Dr

todos de igual módulo, están orientados tal como se

representa en la siguiente figura:

Relativo al conjunto de vectores Ar

, Br

, Cr

, Dr

se dan los siguientes enunciados: I. El vector A

r + Br

posee igual módulo que el vector Ar

− Br

II. El vector A

r + B

r es paralelo al vector B

r − C

r

III. El vector Ar

− 2 Br

+ Cr

es perpendicular al vector Cr

IV. El vector A

r + B

r + C

r + D

r es de mayor módulo que el módulo del vector A

r

V. Los vectores ( Ar

+ Br

) y (Cr

− Dr

) son iguales. VI. El vector A

r + B

r es el vector opuesto de D

r − C

r

VII. El vector ( Ar

+ Br

− Cr

+ Dr

) es el vector 2 Ar

Los enunciados verdaderos son:

A) Todos B) I, II, IV,VI C) II, III, V, VII D) I, II, III, VII E) Ninguna de las anteriores

6. Los vectores A

r , Br

, Cr

, Dr

, Rr

y Sr

todos poseen módulo igual a 2 m y se encuentran orientados

tal como se representa en la figura que se muestra a continuación:

Relativo al conjunto de vectores mostrados anteriormente, se dan los siguientes enunciados: I. El vector A

r + B

r + C

r es el vector nulo.

II. El vector Ar

+ Cr

es igual al vector Sr

. III. El vector B

r + D

r + S

r es igual al vector − R

r.

IV. El vector Cr

+ Br

es igual al opuesto del vector Ar

; es decir Cr

+ Br

= − Ar

V. El vector A

r − C

r + S

r es igual al cuádruple del vector A

r; es decir A

r − C

r + S

r = 4 A

r

De los enunciados anteriores son falsos:

A) Todos B) Ninguno C) I , II, III D) Sólo IV y V E) III, IV, V

73

7. Sobre cuatro bloques M1, M2, M3 y M4 se aplican conjuntos de fuerzas diferentes, tal como se

representa en los diagramas siguientes. Todas las fuerzas poseen módulo igual a 10 N.

Selecciona el enunciado falso: A) La fuerza resultante sobre M1 es N j10− . B) La fuerza resultante sobre M2 es N i10

C) La fuerza resultante sobre M3 es N j310− D) La fuerza resultante sobre M4 es cero.

E) Ninguna de las anteriores. 8. Sobre un bloque actúan dos fuerzas

perpendiculares entre sí 1Fr

y 2Fr

. Del conjunto de

pares de fuerzas que se muestran en la tabla a la

derecha, selecciona el par de fuerzas que pueden

representarlas.

9. Sobre un bloque actúan dos fuerzas paralelas 1F

r y

2Fr

. Del conjunto de pares de fuerzas que se

muestran en la tabla a la derecha, selecciona el par

de fuerzas que pueden representarlas.

10. Sobre un bloque en reposo actúan dos fuerzas

opuestas 1Fr

y 2Fr

. Del conjunto de pares de

fuerzas que se muestran en la tabla a la derecha,

selecciona el par de fuerzas que pueden

representarlas.

A) 1Fr

= (1; -1) N y 2Fr

= ( - 3 i + 3 j ) N B) 1F

r = ( - i - j ) N y 2F

r= ( i + j ) N

C) 1Fr

= (4 N; rad2π ) y 2F

r= (1 N; rad

23π )

D) 1Fr

= (1 ; 1) N 2Fr

= (4 N; rad2

3π )

E) 1Fr

= (1; -1)N y 2Fr

= -3 k N

A) 1Fr

= ( - 3 i - j ) N y 2Fr

= (1 ; 3 ) N B) 1F

r = ( i - j ) N y 2F

r= ( i + j )N

C) 1Fr

= (4 N; rad2π ) y 2F

r= (1 N; rad

23π )

D) 1Fr

= (1 ; 1) N y 2Fr

= (4 N; rad2

3π )

E) 1Fr

= (2 N; π rad) y 2Fr

= -3 k N

A) 1Fr

= ( - 3 i - j ) N y 2Fr

= (1 ; 3 ) N B) 1F

r = ( i - j ) N y 2F

r= ( i + j ) N

C) 1Fr

= (4 N; - rad2π ) y 2F

r= (4 N; rad

23π )

D) 1Fr

= (2 N; - π rad) y 2Fr

= 2 i N E) 1F

r = (2 N; π rad) y 2F

r= -3 k N

4Fr

2Fr

M2

1Fr

1Fr

3Fr

2Fr

M1

6Fr

5Fr

4Fr

M3

150°

60°

74

11. Se tienen los siguientes vectores: = (2; rad 4

3π ), = ( i 3 − j ), Cr

= ( 3 ; 1) y

Dr

= ( 2 ; rad 4

5π− ). De los enunciados que se dan a continuación, seleccione el falso:

B) Los vectores y Cr

son perpendiculares A) Los vectores y Cr

tienen igual módulo.

C) El módulo vector Dr

es el menor valor. D) Los vectores y D

r son

paralelos E) Los vectores y D

r son opuestos

12. El vector Ar

= ( 3 i - 3 j ) es perpendicular al vector Br

, entonces el vector Br

puede ser:

A) (1;-1) B) - 3 j C) ( -3 i + 3 j ) D) ( 3 2 ; - 135º) E) Ninguno de los anteriores

13. Dados los vectores Ar

= ( 3 i - 3 j ) y Br

= (-3 i - 3 j ). El vector Ar

- Br

en coordenadas polares

es:

A) (6 ; 3π rad) B) (2 3 ; 4) C) ( 6; 0 rad) D) (6; 4π) E) Ninguno de las anteriores

14. Los vectores Ar

, Br

y Cr

forman un triángulo. Si Ar

= ( -3 i - 3 j ) y Br

es perpendicular al vector

Ar

. El vector unitario en la dirección del vector Cr

puede ser :

A) 2

1 i − 2

1 j B) (1 ; -135º) C) -

21 i +

21 j D) - j

E) Ninguno de los

anteriores

15. Se dan los vectores = (−2 i − 32 j ) y = (4;120º). Si C

r = − y D

r = + ; los

vectores Cr

y Dr

son respectivamente, en coordenadas polares:

A) ( 34 ;2π rad )

(4; π rad)

B) (0; 4 3 )

(−4;0)

C) (8;3π rad )

(0; 0)

D) (0; -150º)

(8; 2π rad)

E) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

rad; 127

32

( )195º 32;

75

16. Tres vectores , y Cr

forman un triángulo. Si el vector = (-3 i + 4 j ) y el vector

= ( i - 2 j ), entonces las coordenadas del vector Cr

podrían ser:

A) ( -2 i - 2 j ) B) (2 i - 2 j ) C) (- 4 i - 6 j ) D) (4 i + 6 j ) E) (2 i + 2 j )

17. Sobre un bloque actúan dos fuerzas 1Fr

y 2Fr

. La fuerza resultante Fr

que actúa sobre el cuerpo es Fr

= 1Fr

+ 2Fr

. Si las fuerzas Fr

y 2Fr

son

los vectores opuestos que se representan en la figura a la derecha y el

módulo de la fuerza total es 10 N, entonces la fuerza 1Fr

es, en N:

A) 0

r

B)10(-

23

i + 21

j ) C) 10 ( 23

i - 21 j ) D) 20( -

23

i + 21

j ] E) Ningún valor

anterior

18. Se tiene un bloque sujeto a tres fuerzas que lo mantienen

en reposo sobre un plano inclinado. En la figura a la

derecha se muestran dos de las tres fuerzas que actúan

sobre el bloque: el peso Pr

= N j3− y la fuerza normal

Nr

de módulo igual a 3 N. Considere que la unidad de

escala en ambos ejes coordenados es de 1 N. La fuerza

faltante Fr

en el diagrama, para que el bloque se

encuentre en reposo es, en N:

A) -1,5 i - 0,4 j B) 1,5 i + 0,4 j C) 1,5( 3− i j1 - ) D)1,5( 3 i + j1 ) E) Ningún

valor anterior

19. Dos fuerzas Fr

1 y 2Fr

aplicadas a cuerpo un forman un ángulo entre si de 120°. Si la fuerza

Fr

1= 3 i N y el módulo de F2 = ( )135,1 + N, entonces la fuerza resultante Fr

= 1Fr

+ 2Fr

es en coordenadas polares:

A( 5,1 N; rad 3π )

B) (6,2 N; 0,61 rad)

C) (3,7 N; rad

125

π ) D) (5,1 N; rad 6π )

E) Ningún valor anterior

2Fr

TFr

60°

30°

76

20. El módulo de la fuerza resultante Fr

= 1Fr

+ 2Fr

aplicada a un cuerpo es ( )31200 + N . La fuerza

1Fr

es de módulo F1 = 200 N y forma un ángulo de 30° con el vector fuerza resultante. El ángulo

que forman los vectores 1Fr

y 2Fr

, y el módulo 2Fr

son: A) 30° ; 429,1 N B) 15°; 386,4 N C) 45°; ( )31400 + N D) 45° ; 386,4 N E) Ningún valor

anterior

21. Sobre un cuerpo actúan tres fuerzas 1Fr

= (-4 i -3 j ) N, 2Fr

y 3Fr

= (3 i +4 j N. Si la fuerza

resultante es cero, Fr

= 1Fr

+ 2Fr

+ 3Fr

= 0r

, entonces la fuerza 2Fr

es:

A) ( 2 N; -45° ) B) (- i - j ) N C) ( 2 N; 45° ) D) (- i + j ) N E) 0

r

22. Sean los vectores A

r , B

r , C

r y D

r

representados en el sistema cartesiano que se

muestra en la gráfica a la derecha.

Relativo al conjunto de vectores Ar

, Br

, Cr

y

Dr

se dan los siguientes enunciados:

I. El vector DB

rr− es igual al vector 2 D

r.

II. El vector j es perpendicular al vector

suma Ar

− Br

.

III. El vector Ar

es perpendicular al vector kji ˆˆ2 ++

IV. El vector Ar

+ Br

+ Cr

− Dr

es el vector nulo.

V. El vector Cr

es paralelo al segmento definido por los puntos de coordenadas (−1;−1) y (0;0).

VI. La suma de los vectores Ar

+31 Cr

es un vector perpendicular al vector unitario i

De los enunciados anteriores son verdaderos:

A) Todos B) Ninguno C) III , IV, V D) I, II, III E) I, V, VI

4 Y B

r D

r 2

j i

-4 -2 0 2

Ar

Cr

-2 -4

X

77

23. Un vector que restado al vector , representado en la figura a

la derecha, dé un vector en coordenadas polares perpendicular

al eje y, podría ser:

A) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π rad

2 ; 3 B) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π rad

4 ;23 C) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π rad

43 ;23 D) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π rad

21- 3; E) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ πrad

45 ;-23

24. Relacionada con la figura del problema anterior, considera un vector perpendicular al vector

. Si ≠ 0, el vector suma Sr

= + podría ser:

A) ( − i − j ) B) ( 0 ; 0 ) C) (3 i + 3 j ) D) (−6 i ) E) (− i + j )

25. Sean los vectores Ar

, Br

, Cr

y Dr

representados en el

sistema cartesiano que se muestra en la gráfica a la

derecha.

El vector definido por Sr

= DCBArrrr

+−+ , está

representado gráficamente por cuál de los siguientes

vectores:

A)

B) C) D) E)

26. Relacionada con la figura del problema anterior, el vector opuesto al vector ( B

r + C

r) en

coordenadas polares, es:

A) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π rad

4 3 ; 2 B) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π rad

4 ;2 C) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π rad

45 ;2 D) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π rad

43- ;2 E) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π rad

41 ;-2

-2 0

Ar -2

78

27. El vector es paralelo al eje z, el vector = -4 i + 10 j y la suma + + Cr

= 6 i . El valor

de la componente del vector Cr

paralela al eje x, es:

A) −10 B) - 6 C) 2 D) 10 E) Ningún valor anterior

28. Se dan los vectores Mr

= (4 ; 60°) , Nr

= 4 i – 4 j y Sr

= 3 i – 2 j . Seleccione la expresión que se corresponde con un vector paralelo al aje x: A) M

r + S

r B)

21 Nr

− Mr

C) Mr

- Nr

- Sr

D) Nr

– 2Sr

E) Ninguna expresión anterior

29. Sean los vectores Ar

= 2 i + j , Br

= j , Cr

= − i + 2 j y Dr

= 2

1 ( i + k ). A continuación se dan los

siguientes enunciados:

I. El vector Ar

− Cr

es el vector 3 i − j . II. El vector A

r es perpendicular al vector D

r.

III. El vector Ar

es paralelo al vector Cr

. IV. El módulo del vector A

r − B

r es igual a D

r2 .

V. El vector Ar

− Br

+ Cr

es perpendicular al vector ji2 −− . VI. El módulo del vector 0,5( B

r− Ar

) + Cr

+ D2r

es mayor que el módulo del vector 2 B

r

Son verdaderos los enunciados: A) Todos .

B) Ninguno.

C) I, II ,V.

D) Sólo I, IV y VI

E) I, IV, V

30. Tres vectores , y Cr

forman un triángulo isósceles. Si el vector = (-3 i + 3 j ) y el vector = - 6 i , entonces las coordenadas cartesianas del vector C

r podrían ser:

A) ( -9 i + 3 j ) B) (9 i - 3 j ) C) ( 3 i - 3 j ) D)( -3 i - 3 j ) E) Ninguna de las

anteriores

31. Considere el semieje positivo X como eje polar. El valor de jiA +=r

y el de ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

= rad23;1B

r.

En la expresión j4i2CB6A2 −=+−rrr

, el valor de Cr

es:

A) ji ˆ4ˆ2 + B) ji ˆ4ˆ2 −− C) 0r

D) ji ˆ8ˆ4 −− E) Ninguno de las anteriores

32. Un vector unitario perpendicular al vector jiN ˆ3ˆ4 −=r

es el vector :

A) 0,2(3 i - 4 j ) B) i3− j4+ C) k D) 4 i + 3 k E) Ninguno de las anteriores

79

33. Se dan dos vectores jiA ˆ3ˆ +−=r

y jiB ˆˆ −−=r

. El ángulo agudo que forman entre sí las rectas que definen las direcciones de los vectores A

r y B

r es:

A) º30 B) º45 C) º60 D) º75 E) Ninguno de las anteriores

34. Sobre un bloque actúan las fuerzas 1Fr

, 2Fr

, 3Fr

y 4Fr

tal como se representa en la figura a la derecha.

La fuerza resultante TF

r que actúa sobre el bloque definida

por TFr

= 1Fr

+ 2Fr

+ 3Fr

+ 4Fr

está representada por el

vector la figura.

35. Relacionada con la figura del problema 34 se dan los siguiente enunciados, seleccione el enunciado correcto:

A) La fuerza resultante que actúa sobre el bloque es (1N; 4π rad).

B) La fuerza resultante que actúa sobre el bloque es N j1− .

C) Al aplicar al bloque una quinta fuerza 5Fr

= (1N; 2π3 rad) la fuerza resultante es cero.

D) Al aplicar al bloque una quinta fuerza 5Fr

= (1N; 2π3 rad) la fuerza resultante se duplica.

E) Al aplicar al bloque una quinta fuerza 5Fr

= − 1Fr

la fuerza resultante es )j1i3( + N.

36. El vector A

r tiene por módulo 4 y su dirección y sentido coincide con la del vector C

r. Si

C2BArrr

=+ entonces el vector Br

es:

A) 4 Cr

B) C21C4 rr

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛− C) C2

C41

rr

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

D) CC

rr4

E) Ninguno de las

anteriores

80

37. Considere el eje semieje positivo X como eje polar. A un cuerpo se aplican las siguientes

fuerzas: NjiF )ˆ2ˆ2(1 −=r

, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= radNF

2;22πr

, NjiF )ˆˆ(3 −−=r

. La fuerza resultante es, en N:

A) ji ˆˆ3 − B) ji ˆˆ − C) ji ˆˆ +− D) j− E) Ninguna de las anteriores

38. Se tienen los vectores Ar

ji ˆ4ˆ3 −= , =Br

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π rad

2; 4 , =C

r k5 y =D

rkji ˆ3 ˆ2 ˆ2 ++ . Al

comparar los módulos Ar

, Br

, Cr

y Dr

de los vectores, se obtiene que:

A) CBrr

+ > Br

+ Cr

B) Dr

> Ar

C) Cr

> BArr

+ D) Ar

+ Cr

< Br

E) Ninguna anteriores correcta.

39. Los vectores Ar

y Br

tienen igual módulo. Los vectores ( Ar

− Br

) y ( Ar

+ Br

) son

vectores que cumplen que:

A) El módulo Ar

es mayor que el módulo BArr

− .

B) El módulo Br

es menor que el módulo ABrr

+

C) El módulo del vector ( )BArr

+ es mayor que el módulo del vector ( )BArr

− , si el menor

ángulo entre ellos es mayor de rad 2π .

D) El módulo del vector ( )BArr

+ es menor que el módulo del vector ( )BArr

− , si el menor

ángulo entre ellos es mayor de rad 2π .

E) La suma del Ar

+ Br

es igual al módulo ABrr

+ .

40. Si al vector ( )ji3 4 − le restamos el vector Ar

se obtiene como resultado un vector que es un

tercio del vector ( )ji12 9 + . El vector Ar

es:

A) ji ˆ ˆ −− B) ji ˆ7 ˆ −− C) ji ˆ7 ˆ + D) ji ˆ7 ˆ − E) Ninguno de las anteriores

81

41. El segmento de recta NM se encuentra orientado, tal

como se muestra en la figura a la derecha.

Seleccione el enunciado correcto:

A) La menor distancia entre el origen y el segmento de recta NM es 3 cm

B) El vector −4 i + 2 j es paralelo al segmento NM

C) El vector −2 i + j es perpendicular al segmento NM

D) La longitud segmento NM es igual al módulo del vector 2 i − 4 j

E) Ninguno de los anteriores. 42. El módulo m del vector definido por: CBA

rrr−− ,

cumple con la condición:

A) 5 < m < 10 B) m = 10

C) m = 0 D) 0 < m < 5

E) Ninguno de los anteriores.

43. Los cinco vectores de la figura a continuación, forman un

polígono irregular cuyo perímetro P cumple con la

desigualdad:

A) 12 cm < P < 17 cm B) P = 0 cm

C) 7 cm < P < 12 cm D) P > 17 cm

E) Ninguno de las anteriores.

82

44. Los vectores Ar

= (3; -4) , Br

= 6 i y Cr

forman la figura de un triángulo isósceles.

Relativo al conjunto de vectores mencionados anteriormente, se dan los siguientes enunciados: I. El vector C

r podrá ser C

r= ( −3;−4).

II. El vector Ar

es perpendicular al vector Cr

. III. El vector A

r + B

r es igual al vector C

r.

IV. El vector Br

− Ar

podría ser igual al vector Cr

.

V. El menor ángulo φ entre los vectores Br

y Cr

, cumple con la desigualdad rad 4π < φ <

3π rad.

VI. El vector Dr

= (−4;−3) es perpendicular al vector Cr

. De los enunciados anteriores son verdaderos: A) I , II, III B) II, IV, VI C) III,IV,V D) I ,IV,V E) Ninguna de las anteriores

45. En la ecuación cxbarrrr

264 =+− 4 , si jia −= 2r , jib −=

r y jic −= 3

r , el vector xr es:

A) j i −2 B) i C) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ rad ;

452 π D) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − rad ;

42 π

E) Ninguno de los anteriores

46. Los vectores Ar

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ rad;cm

63 π y B

r= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ rad;cm

24 π constituyen los lados de un

paralelogramo. La longitud L de la diagonal más larga del paralelogramo cumple con la condición:

47. La alternativa que muestra tres vectores que forman un triangulo rectángulo es:

A) i2 ; j2 ; −2 i + j3 B) j4 ; ji 22 − ; ji 22 −−

C) i6 ; ji 43 − ; ji 43 + D) i8− ; ji 44 +− ; ji 412 −

E) Ninguna de las anteriores

48. Si al triple del vector x

r le sumamos el vector ( )rad 7 ; 2 π , se obtiene el doble del vector xr .

El valor del vector xr es, entonces:

A) ( )rad 2 ;1 π B) j2 C) i3− D) j3 E) i2

A) 3 cm < L < 5 cm B) L = 5 cm C) 6 cm < L < 7 cm D) 7 cm < L < 10 cm

E) Ninguna de las anteriores