1 VECTORES RECTAS. 2 COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES BASES EN EL PLANO.

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  • VECTORESRECTAS

  • COMBINACIN LINEAL DE VECTORES BASES EN EL PLANO

  • Combinacin lineal de vectoresCualquier vector w se puede poner como combinacin lineal de dos vectores u, v no nulos y no paralelos.Existen dos nmeros y , tales que w= u + vDados dos vectores u, v y dos nmeros y , el vector u + v se dice que es una combinacin lineal de u y v

  • Combinacin lineal de vectoresSean los vectoresDefinimos un tercer vector w como combinacin lineal de u y v:Ejemplo:

  • Combinacin lineal de vectoresOtro ejemplo:Con los mismos vectoresPero con distintos coeficientes

  • Propiedades de la dependencia lineal. Base del plano - Si dos vectores v y w distintos de 0 son linealmente dependientes, tienen la misma direccin.- Dos vectores v y w no nulos con direccin distinta forman siempre un sistema libre.- En el plano, fijado un sistema S de dos vectores linealmente independientes , cualquier otro vector w es combinacin lineal de SEste sistema S libre se llama BASE del plano y los escalares que sirven para formar las combinaciones lineales son las componentes de los vectores: w = ( , )

  • Bases del plano BASEDos vectores no nulos y no paralelos constituyes una BASE del plano.Cada vector del plano tiene unas nicas componentes respecto a una determinada base.BASE ORTOGONAL:Los vectores de la base son perpendicularesBASE ORTONORMAL:Los vectores de la base son perpendiculares y de mdulo 1

  • Bases del plano BASEUn vector tiene distintas componentes si cambiamos la baseBASE ORTOGONAL:BASE ORTONORMAL:Con unas mismas componentes, el vector no es el mismo si cambiamos la base

  • Vectores linealmente dependientes Si dos vectores son linealmente dependientes, sus componentes son proporcionales. Sean v=(v1 ,v2) y w=( w1 , w2) dos vectores en el planoson linealmente independientesSi

  • EL PLANO AFN TRES PUNTOS ALINEADOS PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO SIMTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO

  • Condicin para que tres puntos estn alineadosTres puntos P(p1,p2), Q(q1,q2) y R(r1,r2) estn alineados si:PQRes decir si las componentes de ambos vectores son proporcionales

  • Punto medio de un segmentoSi M(x,y) es el punto medio de dos P(p1,p2) y Q(q1,q2):M(x,y) es el punto medio de P(p1,p2) y Q(q1,q2):Por anlogo procedimiento podremos hallar las coordenadas de los puntos que dividen un segmento en partes iguales

  • Simtrico de un punto respecto de otroPara hallar el simtrico P(x,y) de un punto P(p1,p2) respecto de Q(q1,q2):O bien:Q es el punto medio de PP:

  • Ecuaciones de la recta

    ECUACIN VECTORIAL ECUACIONES PARAMTRICAS ECUACIN CONTNUA ECUACIN GENERAL , IMPLCITA O CARTESIANA ECUACIN EXPLCITA CONDICIN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS

  • Ecuaciones de la recta(1)Para determinar una recta r necesitamos: Un punto de la recta y una direccin Dos puntos de la recta

  • Ecuacin vectorial de la rectaX(x,y)Vamos a determinar la ecuacin de una recta r que pasa por el punto A y tiene por direccin v (vector director de la recta)Sea A el punto de coordenadas A(a1,a2) y v un vector de componentes (v1,v2) Nota: Dando valores al parmetro se obtienen los distintos puntos de la rectaECUACIN VECTORIAL DE LA RECTA

    Sea X(x,y) un punto genrico de la recta

  • Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(a1,a2) y cuyo vector direccional es v=(v1,v2)Dada la ecuacin vectorial de la recta r:Multiplicando por el escalar:Sumando:Igualando componentes:ECUACIONES PARAMTRICAS DE LA RECTADespejando el parmetro e igualando:ECUACIN CONTNUA DE LA RECTA

    Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad:Si llamamos:Tenemos:ECUACIN GENERAL DE LA RECTA

  • Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(2,-3) y cuyo vector direccional es v=(5,-1)Dada la ecuacin vectorial de la recta r:Multiplicando por el escalar:Sumando:Igualando componentes:ECUACIONES PARAMTRICAS DE LA RECTADespejando el parmetro e igualando:ECUACIN CONTNUA DE LA RECTA

    Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad:Tenemos:ECUACIN GENERAL DE LA RECTA

  • Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(a1,a2) y cuyo vector direccional es v=(v1,v2)Ecuacin vectorial :ComoEcuaciones paramtricas :Ecuacin contnua :Ecuacin general, cartesiana o implcita :

  • Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos.Ecuacin de r que pasa por los puntos A(a1,a2) y B(b1,b2)Sustituyendo en la ecuacin contnua de la recta r:ECUACIN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

    Su vector director puede serA(a1,a2)B(b1,b2)rA(a1,a2)B(b1,b2)P(x,y)

  • CONDICIN DE PARALELISMO ENTRE RECTASrsvrvsSi dos rectas r y s son paralelas, tambin lo son sus vectores directores:Sean vr y vs los vectores directores de dos rectas r y s paralelas.(Sus componentes sern proporcionales)

  • CONDICIN DE PARALELISMO ENTRE RECTASCoincidirn si se cumple:

    Sern paralelas si:ECUACINvectorialparam-tricascontnuageneral

  • PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES DEFINICIN PROPIEDADES MDULO DE UN VECTOR NGULO QUE FORMAN DOS VECTORES NGULO QUE FORMAN DOS RECTAS CONDICIN DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS POSICIN RELATIVA DE DOS RECTAS PENDIENTE DE UNA RECTA ECUACIN PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTA DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

  • Producto escalar de dos vectores(1)Dados dos vectores u y v llamaremos producto escalar de u por v al nmero real que resulta:Producto de los mdulos por el coseno del ngulo que formanPROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR1. 2. 3. 4. (El mdulo del vector nulo es 0). El producto del vector nulo por otro cualquiera es 0Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero. (cos 90=0)Si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, son perpendicularesPropiedad conmutativa5. Propiedad asociativa6. Propiedad distributivaR

  • Propiedades del producto escalar (2)8. 7. Si una base es ortonormalB = { u1,u2}El producto escalar de dos vectores es igual al producto de uno de ellos por el vector proyeccin del otro sobre l(Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios)9. El mdulo de un vector es igual a la raz cuadrada del producto escalar de dicho vector consigo mismo.

  • Expresin analtica del producto escalarSea una base ortonormal y sean dos vectoresB = { u1,u2}Como la base es ortonormalExpresin del producto escalar de dos vectores y del mdulo de un vector si la base es ortonormal(Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios)

  • Coseno del ngulo de dos vectoresEn una base ortonormal o cannica :Expresin del coseno del ngulo que forman dos vectores si la base es ortonormal. Si dos vectores son perpendiculares :A partir de ahora trabajaremos solamente con bases ortonormalesDado un vector u (a,b), un vector perpendicular podra ser v(-b,a) y viceversa: a(-b)+ba=0

  • ngulo que forman dos rectas.

    Se llama ngulo de dos rectas al menor de los ngulos que forman stas. Lo podemos calcular a partir del ngulo que forman sus vectores direccionalesValor absoluto de un nmero realMdulo de un vectorAl tomar un valor positivo, el ngulo ser agudo (el menor de los ngulos que forman)

    Posicin relativa de dos rectas.

    SecantesParalelas no coincidentesCoincidentesDos rectas en el plano pueden ser:

  • Ecuacin explcita de una recta. Pendiente de una rectaSi en la ecuacin general de la recta r, despejamos y:rSi llamamos:La ecuacin explcita de la recta ser:m nos indica la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen (Para x=0, y=n)n

  • Ecuacin punto-pendiente.Pendientes de dos rectas paralelas o perpendiculares.Para hallar la ecuacin punto-pendiente de un recta r, conocida su pendiente m y un punto P(x0,y0) perteneciente a ella:y = m x + nFalta determinar n ( m ya lo conocemos)Ponemos la ecuacin de la recta en funcin de la pendiente:y0 = m x0 + nLa recta debe pasar por P(x0,y0)Restando ambas expresiones:y - y0 = m (x - x0 )Para hallar la pendiente de una recta conocidos dos de sus puntos:

  • Condicin de paralelismo y perpendicularidad entre rectasy=mx+nmx-y+n=0Dada la ecuacin de una recta r:Relacin entre las pendientes de dos rectas perpendiculares

    Vector direccionalSern paralelas si:Sern perpendiculares si:ECUACINry=mx+nsy=mx+nrAx+By+C=0sAx+By+C=0

  • DISTANCIAS EN EL PLANO DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

  • Distancia entre dos puntosLa distancia entre dos puntos A(a1,a2) y B (b1,b2) es el mdulo del vector AB (o del BA):Basta aplicar el Teorema de Pitgoras:Por ejemplo, la distancia entre los puntos A(-3,8) y el B(3,5):

  • Distancia de un punto a una recta (1)El valor absoluto de un nmero es positivo e igual al de su opuesto

    La distancia es siempre una cantidad positiva.Recordemos que:Un vector perpendicular al vector puede ser el vector (Su producto escalar es cero)Un vector direccional de la recta ax+by+c=0 es El producto escalar de dos vectores perpendiculares es ceroSi un punto A(m,n) pertenece a la recta ax+by+c=0, verifica su ecuacin. Es decir: am+bn+c=0

  • Distancia de un punto a una recta (2)Vamos a hallar la distancia del punto P(x0,y0) a la recta r de ecuacin ax+by+c=0. Sea A(x1,y1) un punto cualquiera de la recta r.ax1+by1+c=0d(P,r)=d(P,Q)=La distancia de un punto P a una recta r ser igual a la distancia de P al pie de la perpendi-cular a r que pasa por P (lo llamaremos Q)FRMULA DE LA DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTALa distancia es siempre una cantidad positivaax1+by1= -c

  • Distancia de un punto a una recta (Ejemplo)Vamos a hallar la distancia del punto P(-3,5) a la recta r de ecuacin x-3y+7=0. En el numerador, basta con sustituir las coordenadas del punto P en la ecuacin de la rectaEn el denominador, la raz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes de la x y la y

  • Distancia entre dos rectas paralelasPara hallar la distancia entre dos rectas paralelas, bastar con hallar la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta.rsPr(x0,y0)Sean r y s dos rectas paralelas:Sea Pr(x0,y0) un punto de la recta r, es decir:Ax0+By0=-C

  • Teora y ejercicios:http://personales.unican.es/gonzaleof/#

    http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/Index/index.htm

    Maneja vectores:http://www.xtec.es/~jbartrol/vectores/index.html

    Hoja de problemas con soluciones:http://www.educa.aragob.es/iesitaza/DAPARTAM/matemat/06geometriaplano.pdf