UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria IndustrialeUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria IndustrialeProf. Francesco CastellaniProf. Francesco Castellani

[email protected]@unipg.it

Corso di Corso di ““Meccanica Applicata Meccanica Applicata ““ A.A. 2011-2012 A.A. 2011-2012Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni)Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni)

SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI

Frequenza naturali – Vettori modali

Funzione di parametri “interni” al sistema

C e Φ DIPENDONO DA PARAMETRI ESTERNI





Se le condizioni iniziali sono:

Allora avremo:





Da cui si ottiene:

Indicando con U la matrice modale:





N.B. Questo tipo di approccio è attuabile fino ai sistemi con 2 GDL per i sistemi con numero maggiore di GDL non è praticabile questo tipo di soluzione.




SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI

Si ottiene quando collego due sistemi ad 1 GDL identici con una molla di costante elastica molto bassa.





Le equazioni di moto sono:

In forma matriciale avremo dunque:





Si cerca una soluzione del tipo:

Dall’equazione di moto avremo dunque:





L’equazione caratteristica è dunque:





I modi di vibrare risultano dunque essere:





Si ottengono due moti sfasati di 180°:

Una soluzione qualsiasi si scrive nella forma:





Imponendo le condizioni iniziali:

Si ottiene:





Considerando che k<<mgL/a2:

L’equazione di moto diventa:

dove ωB rappresenta la frequenza dei battimenti.




SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA

VETTORE COSTANTECerco una soluzione del tipo:





Se ottengo soluzioni negative vuol dire che ho una fase di 180°:





VETTORE COSTANTECerco una soluzione del tipo:




SISTEMI A 2 GDL SMORZATI: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA




SISTEMI A 2 GDL SMORZATI: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA

La soluzione è dunque:





Se il sistema non è smorzato la matrice impedenza è reale:

Questa soluzione include la fase: l’inversione di segno è dovuta allo

sfasamento di 180°




SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO

RISOLVO IL SISTEMA IPOTIZZANDO PICCOLI SPOSTAMENTI PER LE DUE MASSE.





Ovviamente considero un’unica compontente del moto.





Per piccoli spostamenti avremo:

La forza di gravità introduce dei termini che contribuiscono allo spostamento ma non alle vibrazioni.





Scompongo il moto in contributo statico e contributo vibrazionale.

EQUILIBRIO STATICO EQUILIBRIO DINAMICO





I MODI DI VIBRARE SONO DUNQUE:





Considerando il caso particolare in cui F2=0 e ponendo k=T/L:

Il denominatore è il determinante caratteristico:




SISTEMI A 2 GDL NON SMORZATI: SISTEMA DI ASSORBIMENTO DELLE VIBRAZIONI

N.B. Sistema impiegato per contenere le vibrazioni quando non è possibile variare massa e/o rigidezza del sistema principale.





Nel caso in cui ω=ωa allora:

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale

Documents

Transcript of UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale