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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria IndustrialeUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria IndustrialeProf. Francesco CastellaniProf. Francesco Castellani
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Corso di Corso di ““Meccanica Applicata Meccanica Applicata ““ A.A. 2011-2012 A.A. 2011-2012Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni)Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni)
SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI
Frequenza naturali – Vettori modali
Funzione di parametri “interni” al sistema
C e Φ DIPENDONO DA PARAMETRI ESTERNI
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SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI
Se le condizioni iniziali sono:
Allora avremo:
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SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI
Da cui si ottiene:
Indicando con U la matrice modale:
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SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI
N.B. Questo tipo di approccio è attuabile fino ai sistemi con 2 GDL per i sistemi con numero maggiore di GDL non è praticabile questo tipo di soluzione.
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SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI
Si ottiene quando collego due sistemi ad 1 GDL identici con una molla di costante elastica molto bassa.
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SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI
Le equazioni di moto sono:
In forma matriciale avremo dunque:
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SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI
Si cerca una soluzione del tipo:
Dall’equazione di moto avremo dunque:
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SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI
L’equazione caratteristica è dunque:
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SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI
I modi di vibrare risultano dunque essere:
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SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI
Si ottengono due moti sfasati di 180°:
Una soluzione qualsiasi si scrive nella forma:
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SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI
Imponendo le condizioni iniziali:
Si ottiene:
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SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI
Considerando che k<<mgL/a2:
L’equazione di moto diventa:
dove ωB rappresenta la frequenza dei battimenti.
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SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI
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SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA
VETTORE COSTANTECerco una soluzione del tipo:
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SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA
Se ottengo soluzioni negative vuol dire che ho una fase di 180°:
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SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA
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SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA
VETTORE COSTANTECerco una soluzione del tipo:
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SISTEMI A 2 GDL SMORZATI: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA
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SISTEMI A 2 GDL SMORZATI: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA
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SISTEMI A 2 GDL SMORZATI: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA
La soluzione è dunque:
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SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA
Se il sistema non è smorzato la matrice impedenza è reale:
Questa soluzione include la fase: l’inversione di segno è dovuta allo
sfasamento di 180°
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SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO
RISOLVO IL SISTEMA IPOTIZZANDO PICCOLI SPOSTAMENTI PER LE DUE MASSE.
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SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO
Ovviamente considero un’unica compontente del moto.
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SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO
Per piccoli spostamenti avremo:
La forza di gravità introduce dei termini che contribuiscono allo spostamento ma non alle vibrazioni.
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SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO
Scompongo il moto in contributo statico e contributo vibrazionale.
EQUILIBRIO STATICO EQUILIBRIO DINAMICO
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SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO
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SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO
I MODI DI VIBRARE SONO DUNQUE:
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SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO
Considerando il caso particolare in cui F2=0 e ponendo k=T/L:
Il denominatore è il determinante caratteristico:
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SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO
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SISTEMI A 2 GDL NON SMORZATI: SISTEMA DI ASSORBIMENTO DELLE VIBRAZIONI
N.B. Sistema impiegato per contenere le vibrazioni quando non è possibile variare massa e/o rigidezza del sistema principale.
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SISTEMI A 2 GDL NON SMORZATI: SISTEMA DI ASSORBIMENTO DELLE VIBRAZIONI
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SISTEMI A 2 GDL NON SMORZATI: SISTEMA DI ASSORBIMENTO DELLE VIBRAZIONI
Nel caso in cui ω=ωa allora:
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SISTEMI A 2 GDL NON SMORZATI: SISTEMA DI ASSORBIMENTO DELLE VIBRAZIONI
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