Controllo del moto e robotica industriale

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Controllo del moto e robotica industriale Controllo decentralizzato Prof. Paolo Rocco ([email protected])

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Controllo del moto e robotica industrialeControllo decentralizzato

Prof. Paolo Rocco ([email protected])

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Modello decentralizzato

Riprendiamo il modello dinamico del manipolatore:

dove Jmi e Dmi sono momento d’inerzia e coefficiente d’attrito viscoso del motore, mentre τlmi è la coppia di carico per il motore i, pari a:

( ) ( ) ( ) τ=++ qgqqqCqqB &&&& ,

Supponiamo che su ciascun giunto del manipolatore agisca un motore, il cui modello meccanico è dato dall’equazione:

niqDqJ lmimimimimimi ,,1L&&& =τ−τ=+

iilmi nτ=τ

Nell’ipotesi di rigidità degli organi di trasmissione si ha anche:

iimi qnq =

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Modello decentralizzato

Scomponiamo la matrice di inerzia nella somma di un termine diagonale e costante (inerzie “medie”) e un termine residuo:

( ) ( )qBBqB ∆+=

Posto:

{ } { } { } 11,,, −−==== NBNBNDJ rimimmim ndiagDdiagJdiag

riorganizzando le equazioni si trova:

( ) mmmmrm τ=+++ dqDqBJ &&&

con:

( ) ( ) ( )qgNqNqqCNqNqBNd 11111 , −−−−− ++∆= mm &&&&

inerzie medie scalate per il quadrato dei rapporti di trasmissione

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Modello decentralizzato

Le equazioni prima ricavate si lasciano interpretare come le equazioni di un sistema lineare completamente disaccoppiato, soggetto ad un “disturbo” derivante dai termini non lineari ed accoppiati del modello dinamico del robot:

Più elevati sono i rapporti di trasmissione, minore è la rilevanza del termine di disturbo.

+ (Jm+Br)−1qm

N−1∆B(.)N−1

N−1C(.,.)N−1

N−1g(.)

∫ ∫

Dm

τm qm qm...

d

+ ++

+−

NON LINEAREACCOPPIATO

LINEAREDISACCOPPIATO

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Controllo indipendente dei giuntiIl modello decentralizzato della dinamica del robot è alla base del controllo indipendente dei giunti, soluzione largamente adottata nei controllori robotici industriali.Lo schema prevede che ciascuna coordinata di giunto venga controllata in un anello di controllo monovariabile, ignorando gli effetti di accoppiamento dinamico indotti dalla meccanica del robot, che vengono trattati come disturbi.

I singoli problemi di controllo sono assimilabili a quelli del controllo di servomeccanismi.Il metodo si affida pesantemente all’effetto disaccoppiante degli alti rapporti di riduzione delle trasmissioni adottate nella robotica. Senza questo effetto, trascurare la variabilità dell’inerzia del carico e gli effetti di accoppiamento meccanico con gli altri giunti sarebbe poco giustificato

τ2

τn

R1

τ1qmd1

R2

Rn

qmd2

qmdn

qm1

qm2

qmn

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Il servomeccanismo

Come è noto, nei suoi tratti essenziali un servomeccanismo di posizione ècostituito da un motore, un riduttore ed un carico.

Il problema di controllo si pone nei termini di governare il moto del carico, modulando opportunamente la coppia erogata dal motore.

Possono presentarsi diversi scenari per quanto riguarda la sensorizzazione del sistema: si può infatti disporre, per la soluzione del problema di controllo, di misure di posizione o velocità del motore e/o di misure della posizione del carico.

motore

riduttore

carico

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La dinamica elettrica

Supponiamo di adottare un motore a corrente continua, il cui circuito elettrico è, come è noto, il seguente:

Il motore, caratterizzato meccanicamente da un momento d’inerzia Jm, eroga una coppia τm proporzionale alla corrente Inel circuito d’armatura, conseguente all’imposizione di una tensione V. Su questo circuito, avente resistenza R ed induttanza L, agisce anche la forza controelettromotrice E, proporzionale alla velocità angolare ωm del motore.

rotore (armatura)

spazzola

spazzola

commutatore

alloggiamentostatore

(magnete)

R L

EV

I

1

N.B. Le considerazioni che faremo saranno in realtà valide anche per un motore brushless a magneti permanenti, il cui modello elettrico è assimilabile, per mezzo di opportune trasformazioni di variabili, a quello del motore a corrente continua.

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La dinamica elettrica

Il sistema è retto dalle seguenti equazioni:

Traducibili nello schema a blocchi:

R L

EV

I

1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )ttq

tJttKIt

tKtEtEtILtRItV

mm

mm

m

ω=ω=τ

=τω=

++=

&

&

&

V −+ KsL+R1

Jms1

s1

K

I τm

Eqmωm

Si osservi che la forza controelettromotrice accoppia la dinamica elettrica con la dinamica meccanica.

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Il controllo di corrente

Disponendo della misura di corrente, si può chiudere un anello di controllo sulla corrente stessa:

Vista la dinamica veloce legata ai transitori elettrici si potrà progettare RI(s) per ottenere una banda passante molto ampia, dell’ordine delle migliaia di rad/s. Nel progetto del regolatore di corrente si potrà inoltre assumere la forza controelettromotrice come un disturbo di bassa frequenza. Una volta chiuso l’anello di controllo della corrente, questo potrà ritenersi praticamente istantaneo ai fini del progetto del controllore di posizione esterno:

V −+ KsL+R1

Jms1

s1

K

I τm

E

RI(s)+−

Io qmωm

( ) ( ) ( )tKItKIt om ≈=τ

Potremo quindi assumere come variabile di controllo per il controllo posizione/velocità direttamente la coppia motrice τm

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L’approssimazione rigida (1/2)

Un primo modo di affrontare il problema di controllo del moto consiste nell’assumere l’insieme motore, riduttore e carico come un sistema complessivamente rigido. In questo caso le equazioni del sistema sono le seguenti:

lm

llmll

lmmmmmm

nqqnqJ

qDqJ

=τ−τ=

τ−τ=+

netrasmissiocaricomotore

&&

&&&

( ) lrmmmmlrm qDqJJ τ−τ=++ &&&

(Dm: coefficiente di attrito viscoso motore, Jl: momento di inerzia carico, n: rapporto di trasmissione, τlm: coppia trasmessa lato motore, τl: coppia esterna lato carico).Possiamo eliminare ql e τlm dalle equazioni, ottenendo:

con:

nnJ

J llr

llr

τ=τ= ,2

Jq m Jlm ql

τm τl

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L’approssimazione rigida (2/2)

Il sistema rigido si può quindi descrivere in termini di funzione di trasferimento:

con:

Gv(s) s1τm qmqm

.τlr+

( ) ( )lrmmv JJsD

sG++

=1

Se il coefficiente di attrito Dm è trascurabile (caso più sfavorevole, perché l’attrito dà un contributo stabilizzante), si ha:

( )

lrm

v

JJ

ssG

+=µ

µ=

1

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Il controllo P/PI

Chiudiamo un controllore PI sulla velocità, ed un controllore proporzionale sulla posizione:

Lo schema prevede di disporre di due misure, di posizione e velocità, indipendenti. Tipicamente la misura di velocità è fornita da una dinamo tachimetrica.

Si tratta di uno schema di controllo in cascata: si progetta dapprima l’anello interno di velocità su banda ampia, in modo da fornire anche una buona reiezione dei disturbi.L’anello esterno, di posizione, si progetta su una banda più ristretta.

τm qmqm.τlr

+ 1/sGv(s)RPI(s)Kpp++

− −qo

m

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Progetto del regolatore PI di velocità

( )iv

ivpv

ivpvPI sT

sTK

sTKsR

+=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

111

τm qm.τlr

+ Gv(s)RPI(s)+−

qom

.

Funzione d’anello:

Se Tiv è sufficientemente grande, ossia se lo zero del PI è sufficientemente in bassa frequenza, la pulsazione critica è ben approssimata prendendo l’approssimazione di alta frequenza di L: ( ) ,

ssL cv

Posizionamento dello zero del PI.

100 101 102 103-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

dB

w (rad/s)

cvωivT1

( ) cvivT

ω÷= 3.01.01

( ) ( ) ( )iv

ivpvvPIv sT

sTs

KsGsRsL

+µ==

1

µ=ω pvcv K

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Progetto del regolatore P di posizione

Il regolatore dell’anello di posizione “vede” l’anello chiuso di velocità, di funzione di trasferimento:

La funzione d’anello è quindi:

( ) ( ) ( )cv

ppvppp ss

Ks

sFKsLω+

==1

1

E’ sufficiente prendere Kpp << ωcv per garantire una banda sull’anello di posizione ωcp≈ Kpp. L’integratore tra velocitàe posizione assicura inoltre la precisione statica a fronte di riferimenti costanti a regime.

qmqm.

1/sFv(s)Kpp+−

qom qo

m.

( )cv

v ssF

ω+≈

11

100 101 102 103-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

dB

w (rad/s)

cpω cvω

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Anticipo di velocità

Per rendere la risposta al riferimento di posizione più pronta, è possibile inserire un contributo di feedforward, noto come “anticipo di velocità”: si deriva il riferimento e si somma questo contributo nel nodo sommatore dell’anello di velocità.Spesso il contributo di feedforward viene pesato da un coefficiente kff compreso tra 0 e 1:

τm qmqm.τlr

+ 1/sGv(s)RPI(s)Kpp++

− −qo

m

s

+

τm qmqm.τlr

+ 1/sGv(s)RPI(s)Kpp++

− −qo

m

kffs

+

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Anticipo di velocità e PID

Se si usa un solo sensore sulla posizione motore e la velocità si ottiene differenziando la misura di posizione, si ottiene uno schema di controllo del tutto equivalente ad un regolatore PID:

τm qmqm.τlr

+ 1/sGv(s)RPID(s)+−

qom

τm qmqm.τlr

+ 1/sGv(s)RPI(s)Kpp++

− −qo

m

s

+

s

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Anticipo di velocità e PID

Risulta:

τm

qm

RPI(s)Kpp++

− −qo

m

s

+

s

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )sqsqsRsqsqKs

sTK

sqsqKssqssqsRs

momPIDm

ompp

ivpv

momppm

omPIm

−=−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=−+−=τ

11

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= D

IPPID sT

sTKsR 11

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

pvpp

ivpI

p

pvD

ivpppvP

KKTK

T

KK

T

TKKK 1 (formule per il

passaggio dal P/PI al PID)

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Limitazioni del modello rigido

Il modello rigido non mette in evidenza nessun significativo limite di banda. In linea di principio si potrebbe quindi rendere il sistema in anello chiuso arbitrariamente veloce.

All’atto pratico tuttavia emergono chiaramente limitazioni, sotto forma di vibrazioni, rumore, saturazioni, ecc..

Evidentemente il modello rigido non è in grado di spiegare bene come si comporta un servomeccanismo.

Occorre complicare il modello….

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L’approssimazione a due masse

Un secondo modo di affrontare il problema di controllo consiste nell’assumere l’insieme motore, riduttore e carico come un accoppiamento elastico tra due corpi rigidi. In questo caso le equazioni del sistema sono le seguenti:

Schema a blocchi:

( ) ( )lmellmellm

llmll

lmmmmmm

qnqDnqqKnqJ

qDqJ

&&

&&

&&&

−+−=ττ−τ=

τ−τ=+

netrasmissiocaricomotore J

D

K

m Jlmel

el

q ,m

q ,lτ lτ

−Jls11

s

τlmDels+Kel Jms + Dm

1 1s

.qm −

n

n

τl

qm

.ql

ql

τm +

+

+

È un sistema di ordine 4 (ci sono 4 variabili di stato)

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Un sistema “SITO”

Concentriamoci sulla risposta del sistema al comando di coppia τm (poniamo τl =0)Il sistema è interpretabile come sistema ad un ingresso e due uscite (SITO: Single Input Two Outputs).

τm

qmqm.

1/sGvm(s)

nql1/sGvl(s)

nql.

Risolvendo lo schema a blocchi si ottiene:

( ) ( ) elmelmelmlrelmlr

elellrvm KDsDDJKsDJJDsJJ

KsDsJsG

+++++

++= 23

2)(

( ) ( ) elmelmelmlrelmlr

elelvl KDsDDJKsDJJDsJJ

KsDsG

+++++

+= 23)(

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +== mlr

llr JJJ

nJJ ,2

i numeratori sono diversi

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Parametri notevoliPoniamo Dm=0 ed introduciamo i seguenti parametri:

2

2

2

2

21

21)(

pp

p

zz

z

vm ss

ss

ssG

ω+

ω

ζ+

ω+

ωζ

=

ellr

elz

lr

elz

KJD

JK 1

2, =ζ=ω

zpzp ζρ+=ζωρ+=ω 1,1

m

lr

JJ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ =µ

J1

Si ottiene:

2

221

21)(

pp

p

z

z

vl ss

s

ssG

ω+

ω

ζ+

ωζ

=

(rapporto di inerzia)

(puls. naturale e smorzamento degli zeri)

(puls. naturale e smorzamento dei poli)

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Natural frequency e locked frequency

Si può anche rappresentare sinteticamente il sistema con il seguente schema a blocchi:

2

221

21)(

zz

z

z

z

lm ss

s

sG

ω+

ωζ

+

ωζ

+=

τm qmqm.

1/sGvm(s) Glm(s)nql

Il sistema libero oscilla alla pulsazione dei poli di Gvm, ossia ωp: questa pulsazione è detta natural frequency.

Se invece si blocca meccanicamente il motore, il sistema oscilla alla pulsazione dei poli di Glm, ossia ωz: questa pulsazione è detta lockedfrequency.

JD

K

m Jl

el

el

JD

K

m Jlel

el

dove:

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Disposizione di poli e zeri

Come sono messi nel piano complesso poli e zeri di Gvm?

I poli sono a più alta frequenza e piùsmorzati

2

2

2

2

21

21)(

pp

p

zz

z

vm ss

ss

ssG

ω+

ω

ζ+

ω+

ωζ

=

11 >ρ+=ζ

ζ=

ω

ω

z

p

z

pIm

Re

ωzωp

−ζzωz−ζpωp

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Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [24]

Risposta in frequenza

Cha aspetto assume la risposta in frequenza di Gvm?

10-2

10-1

100

101

-20

-10

0

10

20

30

40

w/wz

|Gvm

|

risonanza

antirisonanza

ρ=1ζz=0.1

2

2

2

2

21

21)(

pp

p

zz

z

vm ss

ss

ssG

ω+

ω

ζ+

ω+

ωζ

=

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Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [25]

Controllo P/PI sul motore

Nella robotica industriale i sensori sono di norma disposti solo dal lato motore. Concentrandoci sulla risposta al riferimento (τl=0) si ha:

τm qmqm.

1/sGvm(s)RPI(s)Kpp++

− −qo

m

s

+Glm(s)

nql

τm qmqm.

1/sGvm(s)RPI(s)Kpp++

− −qo

m

s

+Glm(s)

nql

s

Nel caso di velocità ottenuta per derivazione della posizione:

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Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [26]

Controllo PI di velocità motore

τm qm.

Gvm(s)RPI(s)+−

( )iv

ivpv

ivpvPI sT

sTK

sTKsR

+=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

111

( ) ( ) ( )2

2

2

2

21

211

pp

p

zz

z

iv

ivpvvmPIv ss

ss

sTsT

sK

sGsRsL

ω+

ω

ζ+

ω+

ωζ

++µ

==

Funzione d’anello:

Introduciamo il seguente parametro di progetto adimensionale:

È la pulsazione critica di progetto, valutata sul modello rigido (Kpvµ), normalizzata alla pulsazione ωz.z

pvcv

µ=ω~

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Criterio di Bode

ρ=1ζz=0.1

Posizioniamo lo zero del PI una decade prima della pulsazione ωz. Introduciamo un altro parametro adimensionale:

5.0~ =ωcv 5.1~ =ωcv

10-3 10-2 10-1 100 101-50

0

50

100

dB

10-3 10-2 10-1 100 101-200

-100

0

100

deg

10-3 10-2 10-1 100 101-50

0

50

100

150

dB

10-3 10-2 10-1 100 101-200

-100

0

100de

g

Il margine di fase èelevato

[ ]adim.10, =τωτ= ivzivivT

Tracciamo il diagramma di Bode della f.d.t. d’anello:

zωω zωω

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Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [28]

Criterio di Bode

Dal criterio di Bode risulta sempre margine di fase molto elevato. Non emergono limiti significativi…Guardiamo però la risposta in frequenza in anello chiuso lato motore e carico:

C’è una risonanza lato carico che il criterio di Bode non coglie.

5.1~ =ωcv

10-2 10-1 100 101 102-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

rad

motorecarico

zωω

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Anello di velocità: luogo delle radici

Tracciamo il luogo delle radici al variare di ωcv:

Ci sono dei poli complessi il cui smorzamento prima aumenta e poi diminuisce.

Lo smorzamento massimo si ottiene per:

( )zcv

cv

ω≈ω

≈ω

7.0

7.0~

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real Axis

Imag

Axi

s~

N.B. In questo e nei successivi luoghi, per maggiore generalità, gli assi sono normalizzati rispetto a ωz

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Controllo P di posizione

qmqm.

1/sFv(s)Kpp++

−qo

m

s

+Glm(s)

nql

( ) ( )( )sL

sLsF

v

vv +

=1

Anello chiuso di velocità

La funzione d’anello per il controllo di posizione è: ( ) ( )s

sFKsL v

ppp =

Introduciamo anche in questo caso un parametro di progetto normalizzato:

z

pppp

=γÈ la pulsazione critica di progetto, valutata sul modello rigido (Kpp), normalizzata alla pulsazione ωz.

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Anello di posizione: luogo delle radici

Tracciamo il luogo delle radici al variare di γpp, per diversi valori di ωcv:

All’aumentare della banda dell’anello di velocità si generano dei poli in anello chiuso poco smorzati.

5.0~ =ωcv 1~ =ωcv 5.1~ =ωcv

-1 -0.5 0 0.5 1-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s

-2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s

-3 -2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s

~

( ) ( )s

sFKsL v

ppp =

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Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [32]

Simulazioni

Simuliamo in Simulink il sistema completo:

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Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [33]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

t (s)

motorecarico

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

t (s)

motorecarico

Simulazioni

Sistema: ωz=200, ρ=1, ζz=0.1

PI di velocità: τiv=10 P di posizione: γpp=0.1

5.0~ =ωcv 5.2~ =ωcv

disturbo di coppia

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Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [34]

Limiti di prestazione

Abbiamo visto che all’aumentare della banda dell’anello di velocità degradano le prestazioni del sistema di controllo, lato carico. È possibile quantificare questo degrado di prestazioni?Consideriamo la funzione di trasferimento dal riferimento alla posizione lato carico:

)()()(

sFsqsnq

lmom

l =

ρ=1ζz=0.03τiv=10γpp=0.1

Il picco di risonanza aumenta all’aumentare di cvω~

10-1 100 101 102-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

wc/wz

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Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [35]

Limiti di prestazione

Studiando l’andamento del picco di risonanza della risposta in frequenza (cosiddetta norma H∞) si trova un andamento approssimabile dalla seguente funzione:

ζ≈≡

∞∞ ˆ21)(sFQL lm

ρ+ρ

ω+ζ=ζ

1~21ˆ

cvz

La norma dipende da:parametri dimensionali del servo e un parametro di progetto del controllo

La relazione approssimata supporta il progetto congiunto (progetto meccatronico) di servo e controllo

10-1 100 101-5

0

5

10

15

20

wc/wz

QL inf esatta QL inf approx.

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Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [36]

Controllo P sul carico e PI sul motore

In molte altre applicazioni, come nelle macchine utensili, l’anello di posizione èchiuso lato carico:

Nel caso di velocità motore ottenuta per derivazione della posizione:

τm qmqm.

1/sGvm(s)RPI(s)Kpp++

− −

s

+Glm(s)

nqlnqol

τm qmqm.

1/sGvm(s)RPI(s)Kpp++

− −

s

+Glm(s)

nql

s

nqol

Page 37: Controllo del moto e robotica industriale

Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [37]

Controllo P di posizione

( ) ( )( )sL

sLsF

v

vv +

=1

Anello chiuso di velocità: nulla cambia nel suo progetto

La funzione d’anello per il controllo di posizione è ora:

( ) ( ) ( )sGs

sFKsL lm

vppp =

qmqm.

1/sFv(s)Kpp++

s

+Glm(s)

nqlnqol

2

221

21)(

zz

z

z

z

lm ss

s

sG

ω+

ωζ

+

ωζ

+=

Page 38: Controllo del moto e robotica industriale

Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [38]

-3 -2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s

-3 -2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s

-3 -2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

sLuogo delle radici

Tracciamo il luogo delle radici al variare di γpp, per diversi valori di :

All’aumentare della banda dell’anello di velocità si complica il progetto dell’anello di posizione. Anche per piccoli valori di Kpp il sistema può diventare instabile

cvω~

5.0~ =ωcv 1~ =ωcv 5.1~ =ωcv

5.0max ≈γ pp63.0max ≈γ pp07.1max ≈γ pp

( ) ( ) ( )sGs

sFKsL lm

vppp =

Page 39: Controllo del moto e robotica industriale

Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [39]

Simulazioni

Simuliamo in Simulink il sistema completo:

Page 40: Controllo del moto e robotica industriale

Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [40]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

t (s)

motorecarico

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t (s)

motorecarico

Simulazioni

Sistema: ωz=200, ρ=1, ζz=0.1

PI di velocità: τiv=10 P di posizione: γpp=0.1

5.0~ =ωcv 5.2~ =ωcv

disturbo di coppia

Page 41: Controllo del moto e robotica industriale

Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [41]

Simulazioni

Sistema: ωz=200, ρ=1, ζz=0.1

PI di velocità: τiv=10 P di posizione: γpp=0.7

5.1~ =ωcv

Il sistema èinstabile

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

6

t (s)

motorecarico

Page 42: Controllo del moto e robotica industriale

Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [42]

Limiti di prestazione

Anche in questo caso è possibile quantificare il degrado di prestazioni connesso all’aumento della banda dell’anello di velocità.Consideriamo la funzione di trasferimento dal riferimento alla posizione lato carico:

)()()(

sFsqsnq

lol

l =

ρ=1ζz=0.03τiv=10γpp=0.1

Il picco di risonanza aumenta all’aumentare di cvω~

10-1 100 101 102-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

w/wz

Page 43: Controllo del moto e robotica industriale

Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [43]

Limiti di prestazione

Studiando anche in questo caso l’andamento del picco di risonanza della risposta in frequenza (la norma H∞) si trova un andamento approssimabile dalla seguente funzione:

ζ≈≡

∞∞ ˆ21)(sFQL l

ρ+ω

γ+

γ−ρ+

ρω

+ζ=ζ

11

~1

5.01~2

1

ˆ

cv

pp

ppcv

z

Il degrado di prestazioni è molto piùevidente rispetto al caso di chiusura dell’anello di posizione lato motore.

10-1 100 101-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

wc/wz

QL inf esatta QL inf approx.

Page 44: Controllo del moto e robotica industriale

Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [44]

Identificazione dei parametri

Per il progetto del controllore, o anche per valutare i limiti di prestazione, occorre disporre di stime di ζz, ωz e ρ. Per identificarne sperimentalmente i valori, si possono utilizzare gli strumenti di analisi forniti da alcuni CN commerciali.

0 5 10 15 20 25 30-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

( )22

2 141

)(

)(

ρ+

ρζ

≈ω

ω

zzm

pm

jF

jF

Utilizzando un controllore che conferisce banda passante molto blanda, la funzione di trasferimento d’anello si sovrappone a quella in anello chiuso Fm(s) . Inoltre:

10-1 100 101 102 103-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

w (rad/s)

dB

anello chiusoanello aperto

R(s)qm

qmKt

I

sinusoidalsweep

frequencyresponse

+ + +o o

Gvm (s) s1qm

.

Page 45: Controllo del moto e robotica industriale

Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [45]

Procedura d’identificazione

Possiamo formalizzare una procedura di identificazione nei seguenti passi:

1. Progettare un controllore PID con ωc << ωz dove ωz è una stima approssimata di ωz

2. Eseguire un esperimento in anello chiuso e riportare su grafico l’andamento del modulo |Fm(jω)|

3. Dal diagramma ricavare ωz and ωp come le pulsazioni di minimo e massimo e: ∆dB=|Fm(j ωp)|dB − |Fm(j ωz)|dB

4. Calcolare:

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

ρ+ρ

∆=ζ

−ω

ω=ρ

=∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

121

1

10

2

2

20

z

z

p

dB

^ ^