UNIDAD 1 NÚMEROS REALES - iescampanillas.es · Unidad 1. Números reales 1 2β ... PARA PRACTICAR...

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Página 28 Número áureo a) Demuestra que los triángulos BED y BCF son semejantes. Recordamos los ángulos de un pentágono: . α = = 72°; β = = 54°; 2β = 108° . γ = = 36° . ^ B = 108° – 2 · 36° = 36° ^ E = ^ D = = 72° Sabíamos que γ = 36°. El triángulo BEC es idéntico al BED : ^ C = ^ E = ^ D = 72° ^ F = 72° Luego los dos triángulos tienen sus ángulos iguales son semejantes. 180° – 36° 2 180° – 108° 2 180° – 72° 2 360° 5 Unidad 1. Números reales 1 2β α β β 108° γ γ γ γ C B D E 36° 36° B B E D F C γ NÚMEROS REALES UNIDAD 1 C B D E A F
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    20-Sep-2018
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  • Pgina 28

    Nmero ureo

    a) Demuestra que los tringulos BED y BCF son semejantes.

    Recordamos los ngulos de un pentgono:

    1.

    = = 72; = = 54; 2 = 108

    2.

    = = 36

    3.

    ^B = 108 2 36 = 36

    ^E =

    ^D = = 72

    Sabamos que = 36.

    El tringulo BEC es idntico al BED :

    ^C =

    ^E =

    ^D = 72 ^F = 72

    Luego los dos tringulos tienen sus ngulos iguales son semejantes.

    180 362

    180 1082

    180 722

    3605

    Unidad 1. Nmeros reales 1

    2

    108

    C

    B

    D

    E

    36

    36

    B

    BE D

    F C

    NMEROS REALESUNIDAD 1

    C

    B

    D

    E

    A

    F

  • b)Llamando l = = = y tomando como unidad el

    lado del pentgono, = = = = 1, a partirde la semejanza anterior has de llegar a la siguienteecuacin:

    =

    Despejando l obtendrs su valor.

    Por ser semejantes (apartado a)) = , es decir: = .

    Despejamos l :

    l (l 1) = 1 l 2 l 1 = 0 l = =

    Como l es una longitud, la solucin vlida es la positiva:

    l = . Este es el nmero ureo, .

    Pgina 29

    Rectngulo ureo

    El rectngulo adjunto tiene la peculiaridad de quesi le suprimimos un cuadrado, el rectngulo quequeda, MBCN, es semejante al rectngulo inicialABCD. Comprueba que, efectivamente, en tal caso,el rectngulo es ureo, es decir:

    = (nmero de oro)

    Tomamos como unidad el lado pequeo del rectngulo: = = 1, y llamamosx = = . As:

    Al ser semejantes los rectngulos, tenemos que: =

    Despejamos x :

    x (1 + x) = 1 x 2 + x 1 = 0 x = = 1 52

    1 1 + 42

    1x

    1 + x1

    NCMBBCAD

    ABAD

    1 + 52

    1 52

    1 1 + 42

    1l 1

    l1

    EDFC

    BDBC

    1l 1

    l1

    EFEDBFBC

    ECBDBE

    Unidad 1. Nmeros reales 2

    A M B

    D N C

    1A Bx

    xD CN

    M

    1

    1 1 1

    C

    B

    A

    D

    EF

    1

  • Como x es una longitud, la solucin vlida es la positiva:

    x =

    Hallamos la razn entre los lados del rectngulo:

    = = 1 + x = 1 + = = =

    Obtenemos el nmero de oro.

    Pgina 33

    1. Representa los siguientes conjuntos numricos:

    a) (3, 1) b) [4, + ) c) {x/2 x < 5}

    d) [2, 5) U (5, 7] e) ( , 0) U (3, + ) f) ( , 1) U (1, + )

    Pgina 34

    1. Halla: a) |11| b) || c) | | d) |0| e) |3 |

    a) 11 b) c) d) 0 e) 3

    2. Averigua para qu valores de x se cumplen las siguientes relaciones:

    a) |x| = 5; b) |x| 5; c) |x 4| = 2; d) |x 4| 2; e) |x 4| > 2

    a) 5 y 5 b) 5 x 5; [5, 5] c) 6 y 2

    d) 2 x 6; [2, 6] e) x < 2 x > 6; (, 2) U (6, +)

    Pgina 35

    1. Simplifica:

    a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f )

    a) b) y 2 c) = c

    d) = e) = f ) = 38343

    229

    2626

    23

    3

    c 23

    c 53

    x 2

    8819

    64686(c2)55

    y 1012x8

    5

    5

    1 + 52

    2 1 + 52

    1 + 52

    1 + x1

    ABAD

    1 + 52

    Unidad 1. Nmeros reales 3

    a)

    d)

    b)

    e)

    c)

    f )

    3

    2

    1 0

    0 5 7

    0

    0 3

    4 0

    0 1

    52

  • 2. Reduce a ndice comn: a) y ; b) y

    a) y ; y b) y

    3. Simplifica: a) ( )8 b) 5

    3

    c) 3

    ( )6

    a) ( )8 = k b) = c) = x

    Pgina 36

    4. Reduce: a) b) c)

    a) =

    b) =

    c) =

    5. Simplifica: a) b) c) d)

    a) 15

    = 15

    = b) 6

    =

    c) 6

    = 6

    = d) 4

    = 4

    = 4

    6. Reduce: a) b) c) d)

    a) 6

    = b) 6

    = =

    c) 10

    = = d) 4

    = = 3

    7. Suma y simplifica: a) 5 + 3 + 2 b) +

    c) + + d)

    a) 10

    b) 3 + 5 = 7

    c) + + = 3 5 + 2 + 2 = 5 3

    d) = 5 3 = 2 2a2a2a2 32 a2 52 a

    2323232322 32 52332222

    x

    18a50a8125027225 29 2xxx

    4

    34 36321081023 2825

    3

    326

    34 363263 3433

    47293

    5162

    9

    33

    332

    3

    ab c1c ab c 5 a 3 b 5 ca 2 b 6 c 66a 1 1a a 3a 4

    6

    a b a 3 b 3a 2 b 215x 2 1x 2 x 3x 5

    4a3 b5 c

    a b3 c3

    6a33a2

    a b

    3a b

    5x3x

    8

    278

    28

    228

    24

    6

    356

    36

    34

    15

    2815

    2315

    25

    8

    24

    226

    33

    95

    23

    2

    6

    x 63

    x 215

    x 108k

    xx10k

    36a 1436a 1512

    28 56112

    29 79112

    13412

    313

    18

    a712

    a53

    134

    31

    Unidad 1. Nmeros reales 4

  • Pgina 37

    8. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:

    a) b) c)

    d) e) f)

    g) + + h) +

    a) = = 1

    b) = =

    c) = = + 1

    d) =

    e) = =

    f ) = = = 5 + 2

    g) + + = + 2 =

    h) =

    Pgina 386

    1. Expresa con un nmero razonable de cifras significativas las siguientes canti-dades:

    Visitantes anuales a cierta exposicin: 1 345 589 personas.

    Asistentes a una manifestacin ecolgica: 125 341 personas.

    Bacterias en 1 dm3 de cierto preparado: 203 305 123 bacterias.

    2 x

    x y

    x +

    y +

    x

    y

    x y

    5 2

    222

    2

    2 1

    1

    2 + 1

    122

    630 + 12 6

    6

    18 + 12 + 12 6

    6

    (3 2 + 2

    3 )2

    18 12

    2 3 +

    5

    7

    2 3 +

    5

    12 5

    2 3 +

    5

    (2 3

    5 ) (2

    3 +

    5 )

    x + y + 2 x y

    x y(

    x +

    y) (

    x +

    y)

    (x

    y ) (

    x

    y )

    a(a 1) (a + 1)

    (a 1)

    (a 1) (a + 1)

    (a 1) (

    a + 1)

    x x x

    y + y

    x y

    y

    x y(x + y) (

    x

    y )

    x y(x + y) (

    x

    y )

    (x +

    y ) (

    x

    y )

    22 1

    2 1

    2 1

    (2 + 1) (

    2 1)

    1

    x +

    y

    1

    x

    y

    1

    2 + 1

    1

    2 1

    1

    2

    32 + 2

    3

    32 2

    3

    1

    23

    5

    x +

    y

    x

    y

    a 1

    a 1

    x + y

    x +

    y

    1

    2 + 1

    Unidad 1. Nmeros reales 5

  • Nmero de gotas de agua que hay en una piscina: 8 249 327 741 gotas.

    Nmero de granos en un saco de arena de 50 kg: 2 937 248 granos.Por ejemplo: (I) 1 300 000 personas.

    (II) 125 000 personas.

    (III) 203 millones de bacterias.

    (IV) 8 000 millones de gotas.

    (V) 3 millones de granos.

    Pgina 39

    2. Da una cota del error absoluto y otra del error relativo en las cantidades quehas expresado en el ejercicio de la pgina anterior.

    Por ejemplo: (I) e. a. < 50 000; e. r. < ; (II) e. a. < 500; e. r. <

    (III) e. a. < 500 000; e. r. < (IV) e. a. < 300 millones; e. r. <

    (V) e. a. < 100 000; e. r. <

    Pgina 41

    1. Opera con la calculadora:

    a) (3,87 1015 5,96 109) : (3,941 106)

    b) 8,93 1010 + 7,64 1010 1,42 109

    a) 3,87 P 15 * 5,96 P 9 / 3,941 P 6 = {\\|}Es decir: 5,85 1012

    b) 8,93 P 10 + 7,64 P 10 - 1,42 P 9 = {|}Es decir: 2,37 1010

    Pgina 42

    1. Halla: a) log2 16 b) log2 0,5 c) log10 1 000

    d) log10 0,01 e) log4 64 f) log7 49

    a) log2 24 = 4 b) log2 21 = 1 c) log10 103 = 3

    d) log10 102 = 2 e) log4 43 = 3 f ) log7 72 = 2

    130

    380

    1405

    1250

    5130

    Unidad 1. Nmeros reales 6

  • Pgina 43

    2. Aplica la propiedad 7 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de lacalculadora:

    a) log2 1 500 b) log5 200 c) log100 200 d) log100 40

    En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciacin.

    a) = 10,55; 210,55 1500 b) = 3,29; 53,29 200

    c) = 1,15; 1001,15 200 d) = 0,80; 1000,80 40

    Pgina 47

    EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

    PARA PRACTICAR

    Nmeros racionales e irracionales

    1 Expresa como fraccin cada decimal y opera:

    0,)12 5,

    )6 0,23

    )+ 3,1

    Recuerda que 5,6)

    = ; 0,23)

    = .

    + = = 2,6)78

    2 Demuestra que el producto 4,0)9 1,3

    )9 es un decimal exacto.

    Comprueba, pasando a fraccin, que los dos factores son decimales exactos.

    4,0)9 = = = 4,1 1,3

    )9 = = = 1,4

    4,0)9 1,3

    )9 = 4,1 1,4 = 5,74

    3 Calcula: a) b)

    a) = = 1,)3 b) = = 0,

    )4

    4 Indica cul, de cada par de nmeros, es mayor:

    a) y b) 0,52)6 y 0,

    )526 c) 4,

    )89 y 2 d) 2,098 y 2,1

    a) b) 0,52)6 c) 4,

    )89 d) 2,0982

    6214099

    23

    49

    43 169

    1,)3

    31, )7

    12690

    139 1390

    36990

    409 4090

    442165

    3110

    2190

    519

    1299

    23 290

    56 59

    log 40log 100

    log 200log 100

    log 200log 5

    log 1500log 2

    Unidad 1. Nmeros reales 7

  • 5 Observa cmo hemos representado algunos nmeros irracionales:

    En el tringulo OAB, = 1, = 1 y = = .

    Por tanto, el punto D representa a .

    Qu nmeros representan los puntos F y H? Justifica tu respuesta.

    F representa , pues = = = ( )2 + 12 =

    H representa , pues = = ( )2 + 12 =

    6 Cules son los nmeros racionales a, b, c, d representados en este grfico?

    a =

    b =

    c =

    d =

    Potencias

    7 Halla sin calculadora: ( )2 ( )1 + 4( )2 ( )1 + 4 = ( )2 ( ) + 4 = 4 + 4 = 0

    8 Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias:

    a) b) c) d)

    Mira, en EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS, el n 4 a).

    a) = b) = =

    c) = = 28 = d) = a 2 c 8

    b 6c 7 a 5 ca 3 b 4 b 2

    1256

    128

    32 52 23

    23 33 22 52

    8027

    24 533

    34 24 32

    51 3552

    36 25 52

    36 26 5

    a3 b4 c7

    a5 b2 c1152 81

    63 10234 16 91

    51 3536 25 52

    93 43 5

    94

    43

    49

    34

    79

    13

    34

    32

    17

    57

    47

    27

    65OGOH6

    32 OD 2 + DC 2OCOF3

    2

    212 + 12OAABOB

    Unidad 1. Nmeros reales 8

    0 1 DB

    H

    GECA

    F 2 3

    1

    2

    a b c

    d

    m es un segmentocualquiera

    m

    m

    m

    m

    m

    m

    m

    m

    1

    0

  • 9 Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccio-nario y simplifica:

    a) b) c)

    a) a 2/5 a 1/2 = a 9/10 =

    b) = x 1/6 =

    c) a 3/4 =

    10 Resuelve, sin utilizar la calculadora:

    a) b) c) d) e) f )

    a) = 2 b) = 7 c) = 5

    d) = = 0,5 e) = 24 = 16 f ) = 0,1

    11 Expresa como una potencia de base 2:

    a) b) (32)1/5 c) ( )4

    a) 21/2

    b) (25)1/5 = 2

    c) 24/8 = 21/2

    12 Calcula utilizando potencias de base 2, 3 y 5:

    a) 4 ( )3 b) ( )4 ( )1 c) d)

    a) 22 = =

    b) = =

    c) = = =

    d) = = 3400

    352 24

    32 52

    2 3 5 23 53

    18125

    2 32

    5353 29 34

    32 52 28 54(5)3 (23)3 (32)2

    32 52 (22 5)4

    9256

    32

    28123

    32

    2124

    92

    32

    2(3)3

    2313

    (30)1 152

    103(5)3 (8)3 (9)2

    152 204

    18

    29

    12

    32

    13

    8

    212

    3

    0,133

    21212 14

    4543

    73525

    3

    0,0013

    840,254

    6253

    3435

    32

    4

    a 3

    6

    xx2/3

    x 1/2

    10

    a 9

    14a3

    3

    x2x

    a5

    a2

    Unidad 1. Nmeros reales 9

  • 13 Expresa en forma de potencia, efecta las operaciones y simplifica:

    a)

    b) 161/4 3

    a) = a 7/4 =

    b) (24)1/4 (22)1/3 (22)1/6 = 2 22/3 21/3 = 20 = 1

    14 Justifica las igualdades que son verdaderas. Escribe el resultado correcto enlas falsas:

    a) = 1 b) (32)3 ( )2 = 1c) = d) ( )2 (3)2 = a) Falsa. =

    b) Verdadera. (32)3 ( )2 = 36 ( )2 = 36 = = 1c) Verdadera. = = =

    = + =

    d) Verdadera. ( )2 (3)2 = 32 = 32 = 9 = =

    15 Demuestra, utilizando potencias, que:

    a) (0,125)1/3 = 21

    b) (0,25)1/2 = 2

    a) (0,125)1/3 = ( )1/3 = ( )1/3 = ( )1/3 = = 21

    b) (0,25)1/2 = ( )1/2 = ( )1/2 = ( )1/2 = (22)1/2 = 21221425100

    12

    123

    18

    1251 000

    809

    81 19

    19

    132

    1(3)2

    13

    815

    15

    13

    (1/3 1/5) (1/3 + 1/5)(1/3 1/5)

    (1/32) (1/52)1/3 1/5

    32 52

    31 51

    36

    36136

    133

    127

    a 4

    b 4a 2 b 2

    a 2 b 2

    809

    13

    815

    32 52

    31 51

    127

    a2 b2

    a2 b2

    14

    7a 3/4 a 1

    a a 1/2

    16

    4 14

    4

    a3 a 1

    a a

    Unidad 1. Nmeros reales 10

  • Pgina 48

    Radicales

    16 Introduce los factores dentro de cada raz:

    a) 2 b) 44

    c)

    d) 3

    e) 2 f)

    a) = b) 3

    = = =

    c) = d) 3

    = 3

    e) = = = f ) 3

    = 3

    = 3

    17 Saca de la raz el factor que puedas:

    a) b) 4 c)

    d) e) f ) +

    g) h) i) +

    a) = 2 b) 4 = 4 2 = 8

    c) = 10 d) = 2a

    e) = f ) =

    g) h) = 2

    i) =

    18 Simplifica:

    a) b) c) 41 + 91680,001660,027

    5a12 25a16 9

    a 2 + 14 (a 2 + 1) 1a4a

    1316 1336 5b5a4 53 a 224 b

    3

    a 23

    23 a 51023 53

    223

    233

    23

    24

    a16

    a9

    4a2 + 416a3

    19

    14125a216b38a5

    1 00083

    16

    325 352 3 553823426424 22 35 33 5253 32 32x 22 3xx 2 23

    3

    163

    243

    42 43432433 233

    1515

    44 25935 3x82x 1433

    Unidad 1. Nmeros reales 11

  • a) 6

    = 6

    = 6

    = ( )3/6 = ( )1/2 = b)

    8

    = 8

    = 8

    = ( )4/8 = ( )1/2 = c)

    4

    = 4

    = ( )2/4 = ( )1/2 = =

    19 Simplifica los siguientes radicales:

    a) b) c)

    d) e)4

    f ) :

    a) = 2

    b) = 33/6 = 31/2 =

    c) = 3

    d) = = =

    e) 4

    = = =

    f ) : = : = 1

    20 Reduce a ndice comn y ordena de menor a mayor:

    a) , ,

    b) ,

    c) ,

    d) , ,

    a) , , ; = <

    b) , ; <

    c) , ; <

    d) , , ; < < 4

    726

    1003

    912

    1000012

    6 56112

    373 248

    5

    104

    620

    1000020

    7 776

    6346

    166

    216

    3

    324

    412

    6412

    8112

    64

    6

    1003

    94

    72

    5

    104

    6

    3

    46

    23

    34

    4

    554528

    54

    324

    3

    223

    23 34

    26

    4

    y24

    y4

    224

    22 y12

    26 y 3

    3

    223

    33 22

    3633

    3

    33

    23 3

    4

    258

    625 81641264 y33

    1086

    273

    24

    52

    54

    54

    54 5242 2516

    151515( 2 )410 24104 1610000 310310310( 3 )310 33103 271000

    Unidad 1. Nmeros reales 12

  • 21 Realiza la operacin y simplifica si es posible:

    a) 4 5 b) 2 c)

    d) ( )2 e) ( )3 f ) :

    a) 20 = 20 = 20 = 180

    b) 2 = 2 = 6

    c) = =

    d) ( )2 = = 2 = 2e) ( )3 = = = 22 = 4f ) : = 2 : = 2

    22 Efecta y simplifica, si es posible:

    a) b) 3

    c) ( )3 d) : En b) y c) puedes expresar los radicales como potencias de bases a y 2, respec-tivamente.

    a) =

    b) =

    c) ( 6 )3 = ( 6 )3 = 6 = = d) : = : =

    23 Expresa con solo una raz:

    a)43

    b)

    32

    4

    c) ( ) : a)

    b) = =

    c) 20

    = = a20

    a20

    a 21 a 15 a 16a 1012

    12812

    2712

    24 23

    12

    4

    a5

    a44

    a384

    6

    36

    226

    22 3322

    3

    22 3

    14

    122 1212 124 2

    5

    29

    aa13a

    3

    a

    6

    1086

    22 33

    34

    3

    2 3

    6

    328

    a 1a3a332

    3

    33

    33

    33

    23 3

    222562156

    25

    3

    183

    2 323

    24 323

    22 3

    12 14 28

    12 92 4 273 822 3433 2 327 6

    3

    33

    246

    323

    12

    182 278 43627

    Unidad 1. Nmeros reales 13

  • 24 Racionaliza los denominadores y simplifica:

    a) b) c)

    d) e)

    a) = = =

    b) =

    c) =

    d) = = =

    e) = = = 8

    25 Calcula y simplifica:

    a) 5 + 6 7 +

    b) + 2

    c) +

    d) ( + ) ( 1)a) 25 + 18 14 + 6 = 35

    b) 2 + 2 3 21 = 20

    c) 5 + 3 3 2 = 2 +

    d) + = 2 + 3 = + 2

    26 Simplifica al mximo las siguientes expresiones:

    a) 3 2 + 5 4

    b) 4 +

    c) 7 2 + 3

    3a5

    3

    3a43

    81a

    84513 18125 25

    3

    23

    543

    2503

    16

    233223318212

    656565

    3

    23

    23

    23

    23

    2

    55555

    632

    244554125

    3

    250215

    3

    543

    23

    16

    8032

    2045125

    8 88

    3 8 + 6 8

    8

    823 32 + 3

    25

    23

    23

    3 32

    3 (3 3 ) 2 3

    9 3 36

    3 (3 3 ) 9 3

    2 22

    (2 1) 2

    2

    3

    42 3

    42

    63

    2 63 2

    2 33 2

    2 32 32

    72 + 3 32

    8

    8

    3

    3 + 3

    2 12

    23

    22318

    Unidad 1. Nmeros reales 14

  • a) 3 2 + 5 4 = 6 10 + 15 4 = 7

    b) 4 + = + =

    c) 7 2 + = 21 2a + = ( 2a)27 Efecta y simplifica:

    a) ( + )2 ( )2

    b) ( + ) 2 c) ( ) ( + )d) (2 3 )2 e) ( 1) ( + 1)a) ( + + ) ( + + ) = 2 2 = 4b) 2 + 2 = 4 + 2

    c) 5 6 = 1

    d) 20 + 18 12 = 38 12

    e) (2 1) =

    28 Racionaliza y simplifica:

    a) b) c)

    d) e) f)

    a) = = = =

    = =

    b) = = = = 1 +

    c) = = =

    d) = = 3 ( + 2) = 3 + 6553 (5 + 2)5 4

    3 (5 + 2)(5 2) (5 + 2)

    3 + 5

    4

    3 + 5

    4

    3 + 5

    2 (3 5)

    (3 + 5 ) 2 (3 5 ) (3 + 5 )

    66

    6 + 66

    (2 3 + 2 ) 32 3

    3

    2 3 + 2

    2 32 3 +

    2

    22 3

    6 13

    2 (6 1)3 2

    2 6 23 2

    (2 3 2 ) 23 2

    2

    2 3 2

    3 22 3

    2

    2 32

    3 6 + 2

    2

    3 3 + 2

    11

    2 5 + 3

    3

    5 2

    1

    2 (3 5 )2

    3 +

    2

    12

    2 3

    2

    18

    33

    1010

    1031012

    62323232323

    32225

    6565256

    2323

    3

    3a1065

    3

    3a5

    3

    3a3

    3a3

    3a5

    3

    3a 43

    34 a

    255345 2529 25125 25 2332 513 2 3253 25

    3

    23

    23

    23

    23

    23

    23

    2 333

    2 533

    24

    Unidad 1. Nmeros reales 15

  • e) = = = 2 3

    f ) = = =

    = = =

    29 Racionaliza y efecta:

    a) b)

    a) = = + 5

    b) = =

    = = 2

    30 Opera y simplifica: +

    + = 1 + + 1 = 2

    Pgina 49

    Notacin cientfica31 Efecta y da el resultado en notacin cientfica con tres cifras significativas:

    a)

    b)

    c)

    a) 1,41 102 b) 1,58 105 c) 2,65 106

    5,431 103 6,51 104 + 385 102

    8,2 103 2 104

    (12,5 107 8 109) (3,5 105 + 185)9,2 106

    (3,12 105 + 7,03 104) 8,3 108

    4,32 103

    3311

    3 +

    3

    1 3

    1

    1 + 3

    3

    1 + 3

    1

    1 + 3

    1 3

    1

    1 3

    1 + 3

    352 7 (2 5 )

    2

    (7 5 + 7 5 ) (7 5 7 5 )7 5

    (7 5 )2 (7 + 5 )2(7 + 5 ) (7 5 )

    233 3 + 3

    2 2

    3 + 2

    2

    3 23 (3 + 2 ) 2 (3 2 )

    (3 2 ) (3 + 2 )

    7 +

    5

    7

    5

    7

    5

    7 +

    5

    2

    3 +

    2

    3

    3

    2

    223 223

    27 2 4

    2

    23

    9 2 32 4

    2

    239

    18 6

    6 + 6

    6 4

    2

    27 4

    (3 6 + 2 2 ) (3 3 2)(3 3 + 2) (3 3 2)

    511 (2 5 3)

    11

    11 (2 5 3)20 9

    11 (2 5 3)(2 5 + 3) (2 5 3)

    Unidad 1. Nmeros reales 16

  • 32 Ordena de mayor a menor los nmeros de cada apartado. Para ello, pasa anotacin cientfica los que no lo estn:

    a) 3,27 1013; 85,7 1012; 453 1011

    b) 1,19 109; 0,05 107; 2 000 1012

    a) 8,57 1013 > 4,53 1013 > 3,27 1013

    b) 5 109 > 2 109 > 1,19 109

    33 Efecta:

    7,268 1012

    34 Expresa en notacin cientfica y calcula:

    = 150

    35 Considera los nmeros: A = 3,2 107 ; B = 5,28 104 y C = 2,01 105.

    Calcula .

    0,00793125 = 7,93125 103

    36 Si A = 3,24 106; B = 5,1 105; C = 3,8 1011 y D = 6,2 106, calcula ( + C ) D.2 749 882,353 2,7499 106

    Aproximacin y error

    37 Redondea a las centsimas:

    a) 185,573 b) 0,077 c) 5,0637

    a) 185,57 b) 0,08 c) 5,06

    38 Expresa con tres cifras significativas:

    a) 958,72 b) 1,593 c)223 679

    a) 959 b) 1,59 c) 224 000

    39 Di una cota del error absoluto y una cota del error relativo que se ha cometi-do al redondear cada nmero en los dos ejercicios anteriores.

    En el ejercicio 37:

    a) e. a. = 0,003; e. r. = 0,000016

    b) e. a. = 0,003; e. r. = 0,04

    c) e. a. = 0,0037; e. r. = 0,0007

    AB

    B + CA

    (6 104)3 (2 105)4

    104 7,2 107 (2 104)5

    60 0003 0,000024

    1002 72 000 000 0,00025

    2 107 3 105

    4 106 + 105

    Unidad 1. Nmeros reales 17

  • En el ejercicio 38:

    a) e. a. = 0,28; e. r. = 0,0003

    b) e. a. = 0,003; e. r. = 0,002

    c) e. a. = 321; e. r. = 0,0014

    40 Aproxima estos nmeros de forma que la cota del error absoluto sea la indi-cada en cada caso:

    a) 7,0852; = 0,001 b) 427,85; = 1

    c) 427,85; = 0,1 d) 13 429,2; = 100

    Da, en cada caso, una cota del error relativo.

    a) 7,085; r < 0,0002 b) 428; r < 0,003

    c) 427,9; r < 0,0003 d) 13 400; r < 0,008

    41 Los tiempos de utilizacin de una red de comunicaciones se redondean porexceso a cuartos de hora. Aproxima de esta forma los siguientes tiempos:39 min; 80 min; 117 min.

    3/4 de hora, una hora y media y 2 horas, respectivamente.

    42 Al medir la longitud de una calle, obtuvimos 1 500 m, con un error absolutomenor que 2 m. Al medir la altura de una habitacin, obtuvimos 2,80 m, conun error absoluto menor que 2 cm.

    Qu medida se hizo con ms precisin?

    Calculamos la cota del error relativo, tomando como valor real el obtenido al medir,que es una aproximacin. La medida ms precisa ser la que tenga ms pequea lacota del error relativo.

    Longitud de la calle error relativo < 0,001

    (error absoluto < 2 m)

    Altura de la habitacin error relativo < 0,007

    (error absoluto < 0,02 m)

    Por tanto, la medida de la calle se hizo con ms precisin.

    Intervalos43 Expresa como desigualdad y como intervalo y represntalos:

    a) x es menor que 5.

    b) 3 es menor o igual que x.

    c) x est comprendido entre 5 y 1.

    d) x est entre 2 y 0, ambos incluidos.

    0,022,80 0,02

    21 500 2

    Unidad 1. Nmeros reales 18

  • a) x < 5; (, 5)

    b) 3 x ; [3, +)

    c) 5 < x < 1; (5, 1)

    d) 2 x 0; [2, 0]

    44 Representa grficamente y expresa como intervalos estas desigualdades:

    a) 3 x 2 b) 5 < x c) x 2

    d) 2 x < 3/2 e) 4 < x < 4,1 f ) 3 x

    a) [3, 2] b) (5, +)

    c) [2, +) d) [2, )e) (4; 4,1) f ) [3, +)

    45 Escribe la desigualdad que verifica todo nmero x que pertenece a estos in-tervalos:

    a) [2, 7] b) [13, + ) c) (, 0)

    d) (3, 0] e) [3/2, 6) f) (, + )

    a) 2 x 7 b) x 13 c) x < 0

    d) 3 < x 0 e) x < 6 f ) < x < +

    46 Expresa como intervalo la parte comn de cada pareja de intervalos (A I B)e (I I J):

    a) A = [3, 2]; B = [0, 5] b) I = [2, ); J = (0, 10)

    a) [0, 2] b) [2, 10)

    47 Escribe en forma de intervalos los nmeros que verifican estas desigualdades:

    a) x < 3 y x 5 b) x > 0 y x < 4c) x 1 y x > 1 d) x < 3 y x 2

    Represntalos grficamente, y si son dos intervalos separados, como en a), es-cribe: ( , 3) U [5, + )

    a) (, 3) U [5, ) b) (0, 4)

    c) (, 1] U (1, ) d) [2, 3)

    32

    32

    Unidad 1. Nmeros reales 19

    5 0

    0 3

    5 0 1

    2 0

    3 20

    0

    4 4,1 5

    2

    3

    5

    2 0

    0

    3/2

  • Pgina 50

    48 Comprueba cules de los nmeros 7; 3; 1; 0; 2; 3,5; 5; 7,5; 143 cumplen ladesigualdad |x 3| 2. Expresa en forma de intervalos los nmeros queverifican |x 3| 2.

    Cumplen la desigualdad: 2; 3,5 y 5

    Todos los nmeros del intervalo [1, 5].

    49 Averigua qu valores de x cumplen:

    a) |x 2| = 5 b) |x 4| 7 c) |x + 3| 6

    a) 7 y 3

    b) 3 x 11; [3, 11]

    c) x 9 y x 3; (, 9) U [3, )

    50 Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener x para que sepueda calcular la raz en cada caso:

    a) b) c)

    d) e) f)

    a) x 4 0 x 4; [4, +)

    b) 2x 1 0 x ; [ , +)c) x 0 x 0; (, 0]

    d) 3 2x 0 3 2x x ; (, ]e) x 1 0 1 x; (, 1]

    f ) 1 + 0 2 + x 0 x 2; [2, +)

    Logaritmos51 Calcula, utilizando la definicin de logaritmo:

    a) log2 64 + log2 log3 9 log2

    b) log2 + log3 log2 1

    a) 6 2 2 =

    b) 5 3 0 = 8

    32

    12

    127

    132

    214

    x2

    32

    32

    12

    12

    1 + x2x 13 2xx2x 1x 4

    Unidad 1. Nmeros reales 20

  • 52 Calcula la base de estos logaritmos:

    a) logx 125 = 3 b) logx = 2

    a) x 3 = 125; x = 5 b) x 2 = ; x = 3

    53 Calcula el valor de x en estas igualdades:

    a) log 3x = 2 b) log x2 = 2

    c) 7x = 115 d) 5x = 3

    a) x = = 4,19 b) 2 log x = 2; x =

    c) x = = 2,438 d) x = = 0,683

    54 Halla con la calculadora y comprueba el resultado con la potenciacin.

    a) log b) log 2,3 1011 c) log 7,2 105

    d) log3 42,9 e) log5 1,95 f) log2 0,034

    a) 1,085 b) 11,36 c) 4,14

    d) 3,42 e) 0,41 f) 4,88

    55 Halla el valor de x en estas expresiones aplicando las propiedades de loslogaritmos:

    a) log x = log 17 + log 13 b) log x = log 36 log 9

    c) log x = 3 log 5 d) log x = log 12 + log 25 2 log 6

    e) log x = 4 log 2 log 25

    Logaritmo de un producto: log x = log (17 13).

    a) log x = log (17 13) x = 17 13 = 221

    b) log x = log x = = 4

    c) log x = log 53 x = 53 = 125

    d) log x = log x =

    e) log x = log 24 log

    log x = log 16 log 5

    log x = log x = 165

    165

    25

    253

    12 2562

    369

    369

    12

    148

    log 3

    log 5

    log 115

    log 7

    110

    2log 3

    19

    19

    Unidad 1. Nmeros reales 21

  • 56 Halla el valor de x que verifica estas igualdades:

    a) 3x = 0,005 b) 0,8x = 17

    c) 1,5x = 15 d) 0,5x = 0,004

    a) x = = 4,82 b) x = = 12,70

    c) x = = 6,68 d) x = = 7,97

    57 Calcula x para que se cumpla:

    a) x2,7 = 19 b) log7 3x = 0,5 c) 32 + x = 172

    a) log x 2,7 = log 19 2,7 log x = log 19 log x = = 0,47

    x = 100,47 = 2,98

    b) 70,5 = 3x x = = 0,88

    c) log 32 + x = log 172 (2 + x) log 3 = log 172 2 + x =

    x = 2 = 2,685

    58 Si log k = x, escribe en funcin de x:

    a) log k2 b) log c) log

    a) 2 log k = 2x

    b) log k log 100 = x 2

    c) log 10k = (1 + x)

    59 Comprueba que = (siendo a 1).

    = =

    Ha de ser a 1 para que log a 0 y podamos simplificar.

    Problemas aritmticos60 Una parcela de 45 m de ancho y 70 m de largo cuesta 28 350 . Cunto cos-

    tar otra parcela de terreno de igual calidad de 60 50 m?

    Calcula cunto cuesta un metro cuadrado.

    16

    1/2 log a

    3 log a

    log a + 1/2 log a

    3 log a

    16

    log (1/a) + log a

    log a3

    12

    12

    10kk100

    log 172

    log 3

    log 172

    log 3

    70,5

    3

    log 19

    2,7

    log 0,004

    log 0,5

    log 15

    log 1,5

    log 17

    log 0,8

    log 0,005

    log 3

    Unidad 1. Nmeros reales 22

  • Hallamos primero el precio del metro cuadrado:

    45 70 = 3 150 m2 tiene la primera parcela

    28 350 : 3 150 = 9 cuesta 1 m2

    La segunda parcela tiene como superficie: 60 50 = 3 000 m2

    Por tanto, costar: 3 000 9 = 27 000

    61 Tres informticos, trabajando 8 horas diarias, hacen un trabajo en 15 das.Cunto tardarn en hacer ese mismo trabajo 5 informticos en jornada de9 horas?

    Cuntas horas lleva hacer todo el trabajo?

    3 8 15 = 360 horas lleva hacer todo el trabajo.

    Trabajando 5 9 = 45 horas diarias, se tardar: 360 : 45 = 8 das.

    62 Tres empresas invierten 1, 4 y 5 millones de euros, respectivamente, en unnegocio que produce, al cabo de un ao, 1 800 000 de beneficio. Cmo serepartirn estos beneficios?

    Cuntos millones se han invertido en total? Qu beneficio corresponde a cadamilln invertido?

    En total se han invertido 1 + 4 + 5 = 10 millones de euros.

    El beneficio que le corresponde a cada milln invertido ser:

    1 800 000 : 10 = 180 000

    Por tanto, se repartira as:

    Primera empresa 180 000

    Segunda empresa 4 180 000 = 720 000

    Tercera empresa 5 180 000 = 900 000

    63 Tres socios aportan 4, 6 y 12 millones, respectivamente, para montar un ne-gocio con la idea de mantenerlo abierto las 24 horas del da. Para compen-sar las diferencias en la inversin, deciden distribuir las horas de trabajo enrelacin inversa al dinero aportado. Cuntas horas diarias debe atender elnegocio cada uno?

    Primer socio aporta 4 millones trabajar x horas

    Segundo socio aporta 6 millones trabajar y horas

    Tercer socio aporta 12 millones trabajar z horas

    Como el tercero aporta el triple que el primero, trabajar la tercera parte:

    z = x = 3z

    Como el tercero aporta el doble que el segundo, trabajar la mitad:

    z = y = 2zy

    2

    x3

    Unidad 1. Nmeros reales 23

  • Adems: x + y + z = 24

    3z + 2z + z = 24 6z = 24 z = 4, y = 8, x = 12El primero trabajar 12 horas, el segundo 8 horas y el tercero 4 horas.

    64 Dos poblaciones A y B distan 350 km. A la misma hora sale un autobs deA hacia B a una velocidad de 80 km/h y un turismo de B hacia A a120 km/h. Cundo se cruzarn?

    Se aproximan a 80 + 120 = 200 km/h. Cunto tardarn en recorrer los 350 km aesa velocidad?

    Si se aproximan a 80 + 120 = 200 km/h, en recorrer 350 km tardarn:

    t = = 1,75 horas = 1 hora y 45 minutos

    Pgina 51

    65 Un automvil tarda 3 horas en ir de A a B y otro tarda 5 horas en ir de B aA. Calcula el tiempo que tardarn en encontrarse si salen simultneamentecada uno de su ciudad.

    Qu fraccin de la distancia AB recorre cada uno en una hora? Y entre los dos?

    El primero recorre 1/3 del camino en 1 hora.

    El segundo recorre 1/5 del camino en 1 hora.

    Entre los dos recorren: + = del camino en 1 hora.

    Tardarn h = 1h 52' 30" en encontrarse.

    CUESTIONES TERICAS66 Explica si estas frases son verdaderas o falsas:

    a) Todo nmero entero es racional.

    b) Hay nmeros irracionales que son enteros.

    c) Todo nmero irracional es real.

    d) Algunos nmeros enteros son naturales.

    e) Hay nmeros decimales que no pueden ser expresados como una fraccin.

    f) Todos los nmeros decimales son racionales.

    g) Entre dos nmeros enteros hay siempre otro nmero entero.

    h) Entre dos nmeros racionales siempre hay infinitos nmeros racionales.

    i) Entre dos nmeros racionales hay infinitos nmeros irracionales.

    j) Los nmeros racionales llenan la recta.

    a) V b) F c) V d) V e) V

    f ) F g) F h) V i) V j) F

    158

    815

    15

    13

    350200

    Unidad 1. Nmeros reales 24

  • 67 Si x , explica si es verdadera o falsa cada una de estas afirmaciones:a) x2 es siempre positivo o nulo.

    b) x3 es siempre positivo o nulo.

    c) solo existe si x 0.

    d) x1 es negativo si lo es x.

    e) x2 es siempre negativo.

    a) V b) F c) F d) V e) F (puede ser nulo)

    68 Es posible que una potencia de exponente negativo sea igual a un nmeroentero? Aclralo con ejemplos.

    S. Por ejemplo: ( )1 = 469 Compara el cuadrado de x con el de x + 1. Cmo vara el cuadrado de un n-

    mero cuando a ese nmero le aadimos una unidad?

    Vara en 2x + 1

    70 Cmo vara el cuadrado de un nmero x cuando a ese nmero x lo multipli-camos por 3? Y si lo dividimos entre 2?

    (3x)2 = 9x 2 Se multiplica por 9

    ( )2 = = Se divide entre 471 Cul es el menor nmero real perteneciente al intervalo [2, 5)? Y el mayor?

    Escribe un intervalo de la recta real que no tenga ni primer elemento ni ltimo.

    El menor es 2. No hay mayor.

    Cualquier intervalo abierto no tiene ni primer ni ltimo elemento.

    72 Si x N y x > 1, ordena estos nmeros:

    x

    < < < < x

    73 Ordena de menor a mayor los nmeros a, a2, 1/a y en estos dos casos:

    1) Si a > 1 2) Si 0 < a < 1

    1) < < a < a 2 2) a 2 < a < < 1a

    aa1a

    a

    1x

    1x + 1

    1x + 1

    1x

    1x 1

    1x

    1x

    1x + 1

    x 2

    4x2

    (x + 1)2 = x 2 + 2x + 1(x)2 = x 2

    14

    3

    x

    Unidad 1. Nmeros reales 25

  • PARA PENSAR UN POCO MS

    74 Los tamaos estndar de papel se denominan A0, A1, A2, A3, A4, A5 Cadauno de ellos es la mitad del anterior y semejante a l.

    I Teniendo en cuenta lo anterior y sabiendo que la superficie de A0 es 1 m2,calcula las dimensiones de una hoja A4 (que es la de uso ms frecuente)redondeando hasta los milmetros. Comprueba el resultado midiendouna hoja A4 que tengas a mano.

    II Demuesta que cualquiera de las hojas anteriores cumple lo siguiente:

    Si le aadimos un cuadrado, el rectngulo que se obtiene MNPQ tiene lapeculiaridad de que al suprimirle dos cuadrados da lugar a otro rectngu-lo MRSQ semejante a l (MNPQ semejante a MRSQ).

    I)

    La superficie de A0 es 1 m2, es decir:

    x y = 1 m2 y =

    Por la semejanza entre A0 y A1, tenemos que:

    = = x 2 y 2 = 2x 2

    ( )2 = 2x 2 = 2x 2 1 = 2x 4 = x 4

    x = 4

    = , y = 4

    2142 12

    12

    1x 2

    1x

    y 2

    2x

    y/2

    y

    x

    1x

    Unidad 1. Nmeros reales 26

    A1

    A2

    A3A5

    A0

    A4

    MA4

    Q

    N

    P

    M R

    SQ

    A1

    A0

    x

    y/2

    y

  • Las dimensiones de A0 son: largo = m, ancho = m

    Las dimensiones de A4 sern:

    largo = = 0,297 m = 29,7 cm = 297 mm

    ancho = = 0,210 m = 21 cm = 210 mm

    II)

    La razn entre los lados del rectngulo (A0, A1, ) es: = = ( )2 =

    (es la misma en A0, A1, pues todos ellos son semejantes).

    La razn entre los lados del rectngulo MNPQ es:

    = = = + 1

    Queremos probar que MRQS es semejante a MNPQ; para ello bastar ver que:

    = + 1

    Vemoslo:

    = = = = = + 1

    Como queramos probar.

    22 + 12 1

    2 + 1(2 1) (2 + 1)

    1

    2 1x/x

    y/x x/xx

    y x

    2MQMR

    22 + 11

    y/x + x/x

    x/xy + x

    x

    2424

    21/

    4

    2

    y

    x

    1

    44

    2

    4

    24

    14

    24

    2

    Unidad 1. Nmeros reales 27

    A4

    A0

    x

    x/4

    y/4

    y

    A4 x/4

    y/4

    x

    x

    xxy x

    Q S P

    M R N

    y

  • 75 Para numerar las pginas de un libro un tipgrafo ha empleado 2 993 dgi-tos. Cuntas pginas tiene el libro? (El 0, el 1, el 2 son dgitos. El nmero525 se escribe con tres dgitos).

    Las 9 primeras pginas 9 dgitos

    De la 10 a la 99 90 2 = 180 dgitos

    De la 100 a la 999 900 3 = 2 700 dgitos

    Llevamos: 9 + 180 + 2 700 = 2 889 dgitos

    Nos faltan: 2 993 2 889 = 104 dgitos, que pertenecen a nmeros de cuatro cifras.

    Luego: 104 : 4 = 26 pginas ms.

    As: 999 + 26 = 1 025 pginas tiene el libro.

    Unidad 1. Nmeros reales 28