1 N£‘MEROS REALES Como x es una longitud, la soluci£³n v£Œlida es...

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    19-Jul-2020
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  • Página 26

    PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE

    El número áureo

    Para hallar la relación entre la diagonal y el lado del pentágono regular, da los si- guientes pasos:

    a) Demuestra que los triángulos BED y BCF son semejantes.

    Recordamos los ángulos de un pentágono:

    1º. α = = 72°; β = = 54°; 2β = 108°

    2º. γ = = 36°

    3º. ^ B = 108° – 2 · 36° = 36°

    ^ E =

    ^ D = = 72°

    Sabíamos que γ = 36°.

    El triángulo BEC es idéntico al BED :

    ^ C =

    ^ E =

    ^ D = 72° ⇒ ^F = 72°

    Luego los dos triángulos tienen sus ángulos iguales ⇒ son semejantes.

    180° – 36° 2

    180° – 108° 2

    180° – 72° 2

    360° 5

    Unidad 1. Números reales 1

    NÚMEROS REALES1

    C

    B

    D

    E

    A

    F

    α

    β

    β

    108° γ

    γ

    γ

    γ

    36°

    36°

    B

    B E D

    F C

    γ

  • b)Llamando l = = = y tomando como unidad el

    lado del pentágono, = = = = 1, a partir de la semejanza anterior has de llegar a la siguiente ecuación:

    =

    Despejando l obtendrás su valor.

    Por ser semejantes (apartado a)) ⇒ = , es decir: = .

    Despejamos l :

    l (l – 1) = 1 ⇒ l2 – l – 1 = 0 ⇒ l = =

    Como l es una longitud, la solución válida es la positiva:

    l = . Este es el número áureo, Φ

    Página 27

    El rectángulo áureo

    El rectángulo adjunto tiene la peculiaridad de que si le suprimimos un cuadrado, el rectángulo que queda, MBCN, es semejante al rectángulo inicial ABCD. Comprueba que, efectivamente, en tal caso, el rectángulo es áureo, es decir:

    = Φ (número de oro)

    Tomamos como unidad el lado pequeño del rectángulo: = = 1, y llamamos x = = . Así:

    Al ser semejantes los rectángulos, tenemos que: =

    Despejamos x :

    x (1 + x) = 1 ⇒ x2 + x – 1 = 0 → x = = –1 ± √5 2

    –1 ± √1 + 4 2

    1 x

    1 + x 1

    NCMB BCAD

    AB AD

    1 + √5 2

    1 ± √5 2

    1 ± √1 + 4 2

    1 l – 1

    l 1

    — ED — FC

    — BD — BC

    1 l – 1

    l 1

    EFEDBFBC

    ECBDBE

    Unidad 1. Números reales 2

    B

    C

    D

    E

    1

    F

    A

    A M B

    D N C

    1A Bx

    x D CN

    M

    1

    1 1 1

  • Como x es una longitud, la solución válida es la positiva:

    x =

    Hallamos la razón entre los lados del rectángulo:

    = = 1 + x = 1 + = = = Φ

    Obtenemos el número de oro.

    Página 29

    1. Halla gráficamente y .

    2. Inventa dos números irracionales dados en forma decimal.

    Por ejemplo: 2,01001000100001 …

    3,122333444455555 …

    3. Razonando sobre la figura del margen, CONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO ÁUREO, justifica que si = = 1, entonces = Φ.

    • Si = 1, entonces = = = .

    • Si = y = 1, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

    = =

    • Por tanto: = + = + = = Φ

    Página 31

    1. Representa los siguientes conjuntos:

    a) (–3, –1) b) [4, + ∞) c) (3, 9] d) (–∞, 0)

    1 + √5 2

    √5 2

    1 2

    OBODBD

    √5 2

    1√1 + —4OB AB1

    2 OA

    1 2

    ODOCOAAC

    BDACAB

    √13√6

    1 + √5 2

    2 – 1 + √5 2

    –1 + √5 2

    1 + x 1

    — AB — AD

    –1 + √5 2

    Unidad 1. Números reales 3

    √ — 6

    √ — 5

    √ — 13

    2

    2

    1

    1

    3

    a)

    c)

    b)

    d)

    –3

    3

    –1 0

    0 96

    0

    0

    4

  • 2. Representa los siguientes conjuntos:

    a) {x/–2 ≤ x < 5} b) [–2, 5) U (5, 7]

    c) (–∞, 0) U (3, +∞) d) (–∞, 1) U (1, + ∞)

    Página 32

    1. Halla los siguientes valores absolutos:

    a) |–11| b) |π| c) |– |

    d) |0| e) |3 – π| f) |3 – |

    g) |1 – | h) | – | i) |7 – |

    a) 11 b) π c)

    d) 0 e) π – 3 f) |3 – | = 3 –

    g) |1 – | = – 1 h) | – | = – i) |7 – | = – 7

    2. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:

    a) |x| = 5 b) |x| ≤ 5 c) |x – 4| = 2

    d) |x – 4| ≤ 2 e) |x – 4| > 2 f ) |x + 4| > 5

    a) 5 y –5 b) – 5 ≤ x ≤ 5; [–5, 5]

    c) 6 y 2 d) 2 ≤ x ≤ 6; [2, 6]

    e) x < 2 o x > 6; (–∞, 2) U (6, +∞) f) x < – 9 o x > 1; (–∞, –9) U (1, +∞)

    Página 33

    1. Simplifica:

    a) b) c)

    d) e) f)

    a) = b) = c) = y2

    d) = = e) = = = f ) = =

    2. ¿Cuál es mayor, o ?

    Reducimos a índice común:

    = ; =

    Por tanto, es mayor . 4 √31

    12 √28561

    3 √13

    12 √29791

    4 √31

    3 √13

    4 √31

    √38√348√813√43√229√269√64√26√236√8

    5 √y103√x2

    12 √x84√x3

    12√x9

    8 √81

    9 √64

    6 √8

    5 √y10

    12 √x8

    12 √x9

    √50√50√2√3√3√2√2√2

    √2√2

    √5

    √50√3√2√2

    √2

    √5

    Unidad 1. Números reales 4

    a)

    c)

    b)

    d) 0 1

    0 5–2 –2 0 5 7

    0 3

  • 3. Reduce a índice común:

    a) y b) y

    a) = ; = b) = ;

    4. Simplifica:

    a) (√ — √ —

    )8 b) 5√ —3√ —

    c) 3√ — ( )6

    a) ( )8 = k b) = c) = x

    Página 34

    5. Reduce:

    a) · b) · c) · ·

    a) · = b) · = c) · · =

    6. Simplifica:

    a) b) c) d)

    a) = = b) 6

    =

    c) 6

    = 6

    = d) 4

    = 4

    = 4

    7. Reduce:

    a) b) c) d)

    a) 6

    = b) 6

    = =

    c) 10

    = = d) 4

    = = 3

    8. Suma y simplifica:

    a) 5 + 3 + 2 b) + –

    c) + – – d) – + + e) – √18a√50a√8√12√50√27√8√2√50√18

    √2√25 · 2√9 · 2√x√x√x

    4√34√ 363210√810√23√ 2825

    3√326√34√ 36326√3√ 3433

    4√729 √3

    5√16 √2

    √ – 9

    3√ – 3

    3√32

    √3

    √ ab c1c√ ab c5√ a3 b5 ca2 b6 c66√a–1√ 1a√ a3a4

    6√a b√ a3 b3a2 b2√x–2√ 1x2√ x3x5

    4√a3 · b5 · c √a · b3 · c3

    6√a3 3√a2

    √a · b 3√a · b

    5√x 3√x

    8√278√28√228√246√356√36√34 15√2815√2315√25

    8√24√2√26√33√95√23√2

    6√x63√x2 15√x108√k

    √xx10√k

    9 √132650

    9 √132651

    3 √51

    36 √a14

    18 √a7

    36 √a15

    12 √a5

    9 √132 650

    3 √51

    18 √a7

    12 √a5

    Unidad 1. Números reales 5

  • a) 10

    b) 3 + 5 – = 7

    c) + – – = + – – =

    = 3 + 5 – – 2 = 5

    d) – + + = 3 –5 + 2 + 2 = 5 – 3

    e) – = 5 – 3 = 2

    Página 35

    9. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:

    a) b) c) d) e)

    f) g) h) i ) j )

    a) = b) = = c) = =

    d) = = e) = = =

    f) = = = = g) = =

    h) = = = =

    i) = = = =

    j) = = = =

    10. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:

    a) b) c) d) e)

    f) g) + + h) + 1

    √ – x + √

    – y

    1

    √ – x – √

    – y

    1

    √ – 2 + 1

    1

    √ – 2 – 1

    1

    √ – 2

    3√ – 2 + 2√

    – 3

    3√ – 2 – 2√

    – 3

    1

    2√ – 3 – √

    – 5

    √ – x + √

    – y

    √ – x – √

    – y

    a – 1

    √ – a – 1

    x + y

    √ – x + √

    – y

    1

    √ – 2 + 1

    3√10 5

    2 3√10 10

    2 3√2 · 5 2 · 5

    2 3√22 · 52

    2 3√100

    3√6 2

    3 3√6 6

    3 3√2 · 3 2 · 3

    3 3√22 · 32

    3 3√36

    3√25 10

    3√52 10

    1

    2 3√5

    2 3√23 · 5

    1 3√40

    2 3√5 5

    2 3√52

    2 3√25

    2√2 3

    4√2 6

    4

    3√2 4

    √2 · 32 4

    √18

    3√2 10

    3

    5√2 3

    √2 · 52 3

    √50 √a a2

    1

    a √a 1

    √a3

    √21 3

    √7 √3√ 733

    3√2 2

    3 3√22

    3 3√4

    5√7 7

    5

    √7

    2 3√ — 100

    3 3√ — 36

    1 3√ — 40

    2 3√ — 25

    4

    √18

    3

    √50 1

    √a3√ 7333√—45√7

    √2a√2a√2a√2 · 32 · a√2 · 52 · a

    √2√3√2√3√2√3√23√22 · 3√2 · 52√33

    √2√2√2√2√2

    √23√2√2 · 52√2 · 32√8√2√50√18

    √2√2√2√2

    √x

    Unidad 1. Números reales 6

  • a) = = – 1

    b) = =

    c) = = + 1

    d) =

    e) = =

    f ) = = = 5 + 2

    g) + + = + 2 =

    h) =

    Página 37

    1. Calcula en not