EvapotranspiraçãoCapitulo 08- Método de Penman combinado, 1948

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Capítulo 08- Método de Penman combinado, 1948

8.1 IntroduçãoVamos apresentar o Método de Penman combinado que pode ser aplicado a superficie de

lagos bem com outros valores do albedo. O nome “combinado” se deu porque Penman combinou osmétodos de energia e difusão.

É interessante observar que o Método de Penman é muito usado na India, Austrália, ReinoUnido e partes dos Estados Unidos conforme comenta Subramanya, 2008 mas pouco usado noBrasil.

8.2 Tensão de saturação de vapor “es”.Depende da temperatura do ar.

es= 0,61 x exp [17,27 x T/ (237,3 + T)]Sendo:es= tensão de saturação de vapor (kPa).T= temperatura média do mês (ºC)exp= 2,7183.. (base do logaritmo neperiano)

Conforme Subramanya, 20087:es= 4,584 x exp [17,27 x T/ (237,3 + T)]

Sendo:es= tensão de saturação de vapor (mmHg). Ver Tabela (8.1)T= temperatura média do mês (ºC)exp= 2,7183.. (base do logaritmo neperiano)

Exemplo 8.1Calcular a tensão de saturação de vapor “es” para o mês de março sendo a temperatura de

23,2ºC.es= 0,61 x exp [17,27 x T/ (237,3 + T)]es= 0,61 x exp [17,27 x 23,2/ (237,3 + 23,2)]es=2,837 kPa = 2,837/0,1= 28,37 mb (milibar)es= 28,37mb/1,36=20,86mmHg

Note a conversões de unidades feitas acima.

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Tabela 8.1- Pressão máxima de vapor conforme Villela e Mattos, 1975 em mm Hg

8.3 Pressão de vapor da água à temperatura ambiente

ea= (UR /100) x esSendo:ea= pressão de vapor de água a temperatura ambiente (kPa)UR= umidade relativa do ar média mensal fornecida (%) es= tensão de saturação de vapor (kPa)

Exemplo 8.2Calcular a pressão de vapor de água à temperatura ambiente para o mês de março sendo T= 23,2º C ees=2,837 kPa e a umidade relativa do ar UR= 75%

ea= (UR /100) x esea= (75 /100) x 2,837 =2,120 kPa= 2,12/0,1= 21,2 mb (milibar)ea= 21,2mb/1,36=15,59mmHg

8.4 Transformação de unidades:1 bar= 10 5 Newtons/m2

1 mb (milibar)= 102 N/m2 = 1000dina /cm2=0,0143psi= 0,0295in. Hg1mm Hg= 1,36 mb= 0,04 in Hg1 N/m2 = 1Pa

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Como normalmente achamos os valores de e0 e ea em kPa, dividimos por 0,1 e obtemos osvalores em milibares.

1 bar= 10 5 Newtons/m2

1 mb (milibar)= 102 N/m2 = 1000dina /cm2= 0,0143psi= 0,0295in. Hg1mm Hg= 1,36 mb= 0,04 in Hg

1 N/m2= 1Pa

ETo= evapotranspiração de referência (mm/dia)ETc= evapotranspiração da cultura (mm/dia)

Tabela 8.2-Conversão de unidades

Tabela 8.2-Conversão de unidades

Conversão de unidadesVarejão-Silva, 2005

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8.5 Cálculo de Ea

Exemplo 8.3- Cálculo de EaVelocidade do vento a 2m de altura: u2= 1,5m/ses=21,32mmHgea= 15,93mmHg

Ea= 0,35 . ( 0,2 + 0,55.u2 ) . (es – ea)Ea= 0,35 . ( 0,2 + 0,55x1,5 ) . (21,32 – 15,93)=1,952mm/dia

8.6 Método de Penman combinadoNo método de Penman combinado conforme McCuen, 1998.

ETo= En. ∆/ (∆ +γ) + Ea .γ/ (∆ +γ)ou também pode ser apresentar na forma abaixo, obtida dividindo-se o numerador e o denominadorpor γ:

ETo= (En. ∆/γ + Ea )/ (∆/γ +1)

Sendo:Conforme McCuen, 1998 o valor aproximado de Ea em mm/dia é fornecido pela equação

empírica baseada na lei da difusividade:Ea= 0,35 . ( 0,2 + 0,55.u2 ) . (es – ea)Sendo:u2= velocidade em m/ses e ea em mmHg.

O valor de En pode ser calculado aproximadamente pelo valor deRn.

Rn= Rin – Rosendo Hv= 596 – 0,52.T

T= temperatura em ºCH em g x cal/cm3

En= 10.Rn/ Hv

Sendo:Ro= saida da radiação solar (outgoing)Rin= quantidade de radiação absorvida (incoming)

Conforme McCuen, 1998 o valor aproximado de Ea em mm/dia é fornecido pela equaçãoempirica baseada na lei da difusividade.Ro= σ Ta

4 (0,47-0,077 ea 0,5) (0,2+0,80 n/N)Sendo:

Ro em g x cal/ cm2 x dia eea= em mmHgσ= 1,1777 x 10 -7 cal/ (cm2 x K4 x dia)

Rin= Ra (0,2 + 0,5 n/N) (1-r)Sendo:

Ra em gxcal/cm2 x dia. Deveremos transformar o valor de Ra que está em mmHg e multiplicarpor 58,5 para obter na unidade desejada.

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H= Ra (0,2 + 0,5 n/N) (1-r) – σ Ta4 (0,47-0,077 ea 0,5) (0,2+0,80 n/N)

Sendo:Ra= gx cal / cm2 x diar= albedoTa= em graus Kelvinea= em mmHg

n= duração atual de sol brilhante em horas (estimativa)N= número possível de horas de sol durante o dia em função da latitude conforme parte superior daTabela (8.4)γ = constante psicrométrica (kPa/ºC). É calculada.Δ = derivada da função de saturação de vapor de água (kPa/ºC). É calculada

Ra= radiação solar incidente para fora da atmosfera em uma superfície horizontal fornecida porTabela (8.4)- Appendix 11.1.1.Ta=temperatura média do mês em graus Kelvin Ta= 237,3 + ºCr= coeficiente de reflexão (albedo) dado por Tabela (8.3)Nota: segundo McCuen, 1998 o albedo para aplicação do Método de Penman combinado deveestar no intervalo 0,05 a 0,12.σ=constante de Stefan-Boltzmann=4,903 x 10 -9 MJ/(m2 K4) = 2,00 x 10 -9 mm/diaea= pressão de vapor atuales= pressão de vapor de saturação.Ver Tabela (8.1)u2= velocidade do vento a 2 m de altura

8.7 Pressão atmosférica PA pressão atmosférica depende da altitude z.

P= 101,3 x [(293- 0,0065 x z)/ 293] 5,26

Sendo:P= pressão atmosférica (kPa)z= altura acima do nível do mar (m)

Exemplo 8.4Calcular a pressão atmosférica de um local com altitude z=770m.

P= 101,3 x [(293- 0,0065 x z)/ 293] 5,26

P= 101,3 x [(293- 0,0065 x 770)/ 293] 5,26

P= 92,5 kPa

8.8 Constante psicrométrica γA constante psicrométrica γ é dada pela equação:

γ = 0,665x 10-3 x PSendo:γ = constante psicrométrica (kPa/º C)P= pressão atmosférica (kPa)

Exemplo 8.5Calcular a constante psicrométrica γ para pressão atmosférica P= 92,5 kPa

γ = 0,665x 10-3 x Pγ = 0,665x 10-3 x92,52=0,062 kPa/ºC =0,62mb=0,4559 mmHg

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8.8 Derivada da função de saturação de vapor Δ

Δ = 4098 x es / (237,3 + T) 2

Sendo:Δ=derivada da função de saturação de vapor de água (kPa/ºC)es=tensão de saturação de vapor (kPa)T= temperatura média do mês (ºC)

Exemplo 8.6Calcular a derivada da função de saturação de vapor de água Δ para o mês de março com temperaturamédia mensal de 23,2ºC e tensão de saturação de vapor es=21,32 mmHg.

Δ = 4098 x es / (237,3 + T) 2

Δ = 4098 x 21,32 / (237,3 + 23,2) 2

Δ = 1,288 mmHg

8.9 AlbedoConforme FAO, 1998 uma considerável parte da radiação solar é refletida. A fração α é

denominada albedo, que é muito variável para diferentes superfícies e do ângulo de incidência àsuperfície com declividade.

O albedo pode ser grande como α=0,95 para uma neve recém caída ou pequeno como α=0,05de um solo nu molhado. Uma vegetação verde tem um albedo entre 0,20 a 0,25. A grama usada comovegetação de referência, tem albedo α=0,23.

Chin, 2000 apresenta uma a Tabela (8.3) do albedo conforme o tipo de cobertura do solo.Em superficie de lagos é comum adotar-se albedo igual a 0,05.

Tabela 8.3- Valores do albedo α conforme a cobertura do soloCobertura do solo Albedo αSuperfície da água 0,08Floresta alta 0,11 a 0,16Cultura alta 0,15 a 0,20Cultura de cereais 0,20 a 0,26Cultura baixa 0,20 a 0,26Gramado e pastagem 0,20 a 0,26Solo nú molhado 0,10Solo nú seco 0,35Fonte: Chin, 2000

Exemplo 8.7Calcular o ângulo do por do sol ws em local com latitude Φ= -23,5º (sinal negativo porque está nohemisfério sul) e declinação solarδ = -0,040 em radianos.

23 graus + 30min/ 60 = 23 + 0,5= 23,5ºPrimeiramente transformemos Φ= 23,5º em radianos:

Radiano= -23,5º x PI / 180=-23,5 x 3,1416/180=-0,410= Φws= arccos [-tan(Φ) x tan (δ )]

ws= arccos [- tan(-0,410) x tan (-0,040 )]= 1,59radExemplo 8.8Calcular o número máximo de horas de sol por dia N em horas para o mês de março sendo ws= 1,59rad

N= (24/ PI) x ws

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N= (24/ 3,1416) x 1,59=12,1h

Figura 8.1- Dispositivo para achar o valor de n denominado Campbell Stokeshttp://www.russell-scientific.co.uk/meteorology/campbell_stokes_sunshine_recorder.html

Exemplo 8.9Calcular a relação n/N sendo N= 12,1h e n=5hNebulosidade = n/N = 5/ 12,1= 0,41 ou seja 41%

O valor de “n” pode ser medido no local usando o dispositivo da Figura (8.1).

Nos Estados Unidos existe mapa com estimativa de n/N. Para o Brasil não existem tais dadose quando não dispomos de aparelhos para achar o valor de “n” temos que fazer uma estimativa dashoras observadas de sol durante o dia.

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Tabela 8.4- Valores de N e da Radiação Ra conforme Villela e Mattos, 1975

Na Tabela (8.4) temos os valores de Ra em mmHg. Para converter para g.cal/ cm2 x diatemos que multiplicar os valores por 58,5.

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Exemplo 8.10Aplicação para estimar a evaporação da superficie de um lago em Guarulhos que está nalatitude 23,5º S. A temperatura média de Guarulhos é 20,6ºC, a umidade relativa média anual éde 73%, a precipitaçlão média anual é 1487,8mm e a velocidade média do vento é 1,6m/s queconsta da Tabela (8.5).

Tabela 8.5- Cálculos1 2 3 4 5 6 7 8

velocidadeDias no mes Ordem Precipitaçao Umidade Temperatua do ar vento ea=(RH/100)Xes

(mm) (%) (ºC) m/s mmHg31 Janeiro 1 254,1 75 23,7 1,5 16,5428 fev 2 251,7 75 22,8 1,6 15,5231 mar 3 200,9 75 23,2 1,5 15,9330 abr 4 58,3 73 21,3 1,5 13,9031 maio 5 70,3 75 18,6 1,4 11,9930 junho 6 39,0 75 17,5 1,3 11,2531 julho 7 30,8 73 16,7 1,5 10,3831 agosto 8 24,9 68 18,8 1,4 11,1230 set 9 75,1 72 19,0 1,7 11,8731 out 10 137,4 73 20,8 1,9 13,5130 nov 11 130,5 73 21,5 1,9 14,0431 dez 12 214,7 74 22,9 1,7 15,51

365 Total= 1487,8 73 20,6 1,6

Tabela 8.6- Cálculos (continuação)9 10 11 12 13 14 15 16

Entrada Mudança deunidade

superficie liquida

Tensao saturaçao de vapor Tirado da tabela x 58,5 Albedoes Ea Ra Ra n/N r Hv Rin

mmHg (mm/dia) mmHg g. cal/ (cm2 x dia) g.cal/ cm2 x dia g.cal/ cm2 x dia21,98 1,978 16,800 982,8 0,31 0,05 583,66 33220,82 1,985 15,800 924,3 0,39 0,05 584,15 34521,32 1,952 13,800 807,3 0,42 0,05 583,95 31619,00 1,855 11,600 678,6 0,47 0,05 584,91 28116,07 1,355 9,600 561,6 0,47 0,05 586,33 23315,00 1,175 8,800 514,8 0,49 0,05 586,89 21814,26 1,370 9,300 544,1 0,49 0,05 587,30 23116,27 1,729 10,900 637,7 0,53 0,05 586,25 28316,48 1,857 13,200 772,2 0,37 0,05 586,10 28118,42 2,121 15,200 889,2 0,35 0,05 585,17 31819,23 2,281 16,400 959,4 0,37 0,05 584,84 34920,94 2,184 17,000 994,5 0,33 0,05 584,08 345

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Tabela 8.7- Cálculos (continuação)17 18 19 20 21 22 23

Ro Rn=Rin-Ro En= 10.Rn/ Hv ∆ γ ETo ETo

g.cal/ cm2 x dia mmHg mmHg (mm/dia) (mm/mês)64 268 4,589 1,322 0,456 3,92 12276 269 4,597 1,261 0,456 3,90 10979 236 4,047 1,288 0,456 3,50 10893 187 3,205 1,164 0,456 2,82 85

100 133 2,263 1,006 0,456 1,98 61105 113 1,917 0,947 0,456 1,68 50109 121 2,066 0,906 0,456 1,83 57114 169 2,879 1,017 0,456 2,52 7886 195 3,319 1,028 0,456 2,87 8679 239 4,085 1,133 0,456 3,52 10979 270 4,618 1,177 0,456 3,97 11970 275 4,714 1,267 0,456 4,04 125

1110

Vamos explicar coluna por coluna:

Tabela (8.5)

Coluna 1:São os dias que existem em um mês.

Coluna 2:São os meses do ano.

Coluna 3:É a ordem iniciando em 1 e terminando em 12.

Coluna 4:São as precipitações médias mensais de Guarulhos que não serão usadas, mas servem para se ter umanoção da grandeza da evaporação média mensal que está na coluna 26 da Tabela (8.7).

Coluna 5:É a média mensal da umidade relativa do ar “UR” obtida na Estação Climatológica de Guarulhos daUNG.

Coluna 6:É a temperatura média mensal do ar em Guarulhos fornecido pela Estação Climatologica deGuarulhos da UNG.

Coluna 7:É a velocidade média do vento a 2,00m de altgura obtido pela Estação Climatológica da UNG.

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Coluna 8:É a pressão de vapor da água “ea” à temperatura ambiente.

ea= (UR/100) x es

Tabela (8.6)

Coluna 9:É a pressao de saturação de vapor “es” em mmHg da água que depende da temperatura tirado daTabela (8.1).

Coluna 10:É o cálculo de Ea em mm/dia obtido da equação:

Ea= 0,35 . ( 0,2 + 0,55.u2 ) . (es – ea)

Coluna 11:São os valores de Ra obtido na parte inferior da Tabela (8.4) que é o valor em mmHg.

Coluna 12:É devido a mudanças de mmHg para g.cal/cm2xdia devendo ser multiplicado todos os valores dacoluna 11 por 58,5.

Coluna 13:São os valores n/N fornecido pela Estação Climatológica da UNG.O valor do número total de horas N pode ser obtido na parte superior da Tabela (8.4). Quanto aonúmero de horas de sol brilhante “n” é dificil de estimar e pode ser obtido da seguinte observação:Considerando nebulosidade de 0,60 então a relação n/N será: (1-0,6)=0,4

Coluna 14É o albedo adotado para superficie líquida de um lago.

Coluna 15É o valor Hv em função da temperatura em graus Celsius.

Hv= 596 – 0,52.T

Coluna 16:É o valor Rin em g.cal/cm2 obtido da equação.

Rin= Ra (0,2 + 0,5 n/N) (1-r)

Tabela (8.7)

Coluna 17:É o valor Ro em g.cal/ cm2 x dia obtido de:

Ro= σ Ta4 (0,47-0,077 ea 0,5) (0,2+0,80 n/N)

Coluna 18É o valor: Rn= Rin – Ro

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Coluna 19:É o valor Em.

En= 10.Rn/Hv

Coluna 20É a derivada da função de saturação de vapor Δ em mmHg:

Δ = 4098 x es / (237,3 + T) 2

Coluna 21:É a constante psicrométrica γ em mmHg.

A constante psicrométrica γ é dada pela equação:γ = 0,665x 10-3 x P

Sendo:γ = constante psicrométrica (kPa/º C)P= pressão atmosférica (kPa)

Pressão atmosférica P= 92,5 kPaγ = 0,665x 10-3 x P

γ = 0,665x 10-3 x92,52=0,062 kPa/ºC =0,62mb=0,4559 mmHgColuna 22:É o método de Penman combinado que cálcula de ETo em mm/dia

ETo= En. ∆/ (∆ +γ) + Ea .γ/ (∆ +γ)

Coluna 23Valores médios mensais da evaporação em mm.

A evaporação anual da superfície líquida em Guarulhos conforme Método de Penmancombinado é 1110 mm usando albedo r=0,05.

Observe que usando o método de Jobson para superfícies líquida somente obtivemos o valormédio anual de 1133mm, que é muito próximo do Méetodo de Penman combinado.

8.10 Método de Penman segundo Gupta, 2008Gupta , 2008 apresenta o Método de Penman combinado com alguns coeficientes e unidades

diferentes de McCuen, 1998 e onde o albedo pode ser usado para água no valor de 0,08 e para gramacom valor de 0,23.

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8.11 Bibliografia e livros recomendados-GUPTA, RAM S. Hydrology and hydraulics systems. 3a ed, 2008, 896 páginas.-MCCUEN, RICHARD H. Hydrologic analysis and design. 2a ed. Prentice Hall, 814 páginas, 1998-SUBRAMANYA, K. Engineering Hydrology. 3a ed. Tata McGraw-Hill, New Delhi, 2008, 434páginas. ISBN-978-0-07-015146-8-USEPA. Rates, constants, and kinetics formulations in surface water quality modeling, 2a ed, junhode 1985.-VILLELA, SWAMI MARCONDES E MATTOS, ARTHUR. Hidrologia aplicada. McGraw-Hill,1975, 245 páginas.