pág -1-

EJERCICIOS DE

MATEMÁTICAS DE 2º DE BACHILLERATO

DE CIENCIAS

I.E.S. “Amparo Sanz” Albacete

pág -2-

-- CONTINUIDAD --

1) Resolver las ecuaciones: a) x - 2 = x - 6 b) 1 = x - 4 x

2) Calcular el dominio de las siguientes funciones:

a) 2

2x - 1f(x) = x - 5x + 6

b) 2

2

x - 1f(x) = x - 2x

c) 2xf(x) = - 16

d) 2xf(x) = Ln( - 4) e) 2x +3ef(x) = f) f(x)= tgx

3) Calcular los siguientes límites:

a) ( )x

x +1 - xlim→∞

b) ( )2 2

xx x +1 - - 1 lim

→∞ c)

2x 4

2 - 2x - 4 x - 16lim

→

d) 5

7x 1

x - 1 x - 1lim

→ e)

2

2x 2

x - x - 2 x - 4x + 4lim

→ f)

3x 1

x - 1 x - 1lim

→

4) ¿Tiene límite la función 2

1f(x) = x - 1

en x=1? ¿Y 21f(x) =

(x - 1)?

5) Estudiar la continuidad de las funciones siguientes:

a) 2

x - 2f(x) = x - 7x +10

b) xg(x) = x

6) Representar gráficamente las siguientes funciones y hallar los puntos de discontinuidad

que presenten:

a) 1f(x) = x

b) 2

x + 2f(x) = x - 4

c) x +1 x 0

f(x) = x - 1 x < 0

⎧ ≥⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

d) 2x - 1 x 0

f(x) = 2x - 3 x > 0

⎧ ≤⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ e)

2x 2 - x 2f(x) =

2x - 6 x > 2

⎧ ≤⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

7) Calcular a para que 2

x +1 x 1f(x) =

ax 3 - x > 1

⎧ ≤⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ sea continua.

8) Determinar a y b para que la función

2a(x - 2) x 0

f(x) = bx +1 0 < x < 5

1 x 5x

⎧⎪ ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪ ≥⎪⎪⎪⎩

sea continua.

9) Dada la función

2x + 2x - 1 x < 0

f(x) = ax + b 0 x < 1

2 x 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎪ ≤⎨⎪⎪⎪ ≥⎪⎪⎩

hallar a y b para que sea continua y dibujar

su gráfica.

10) Dada la función

-x x 0

f(x) = x 1 x < 5

2x - 10 x 5

⎧⎪ ≤⎪⎪⎪⎪ ≤⎨⎪⎪⎪ ≥⎪⎪⎩

a) Dibujar la gráfica de f. b) Clasificar sus puntos de discontinuidad.

pág -3-

11) Estudiar la continuidad de la función 1

x 3f(x) = e −

12) Estudiar la continuidad de la función 2x - x +1 x < 0

f(x) = x - 1 x 0

⎧⎪⎪⎪⎨⎪ ≥⎪⎪⎩

13) Siendo senx x

f(x) = 2x + b x >

≤π⎧⎪⎪⎨ π⎪⎪⎩ hallar b para que sea continua en x=π.

14) Dada la función 2xa( - 1)f(x) =

x - 1 estudiar para que valores de a puede definirse f(1)

resultando así una función continua.

15) La función 3 2x x+ + x + af(x) =

x - 1 no está definida en x=1. Hallar a para que sea posible

definir f(1) resultando así una función continua.

16) La función 23

3x - 4f(x) = x + + 8x - 4bx

es discontinua en x=2. Calcular b y clasificar todas

sus discontinuidades.

17) Hallar k para que la función

5 4

4

x x+ 4 x 0kxf(x) =

2 x = 0

⎧⎪⎪ ≠⎪⎪⎨⎪⎪ −⎪⎪⎩

sea continua.

18) Calcular a para que sean continuas las funciones siguientes:

a) 2

2

x + ax x 2f(x) =

x a - x > 2

⎧ ≤⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ b)

axe x 0g(x) =

x + 2a x > 0

≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ c)

2x x 2h(x) =

ax + 3 x > 2

⎧ ≤⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

19) Hallar k para que la función 2

2

x + kx + 5f(x)x 3x 2

=− +

tenga en x=2 una discontinuidad

evitable.

20) Hallar a y b para que la función

x4 x -2

f(x) = asenx + b - < x < 2 2

cosx x 2

π π⎧⎪⎪ ≤⎪⎪⎪⎪ π π⎪⎪⎨⎪⎪⎪ π⎪⎪ ≥⎪⎪⎪⎩

sea continua.

21) La función xf(x) = x +1

a) ¿es continua en [0,1]? ¿Por qué?

b) Hallar una cota superior y otra inferior en [0,1].

c) Hallar su máximo y su mínimo en [0,1].

22) Estudiar la continuidad de la función 2

2x x - 2

f(x) = x 2 < x < 0

senx x > 0

⎧ ≤⎪⎪⎪⎪⎪ −⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

. Estudiar si se verifica el

teorema de Bolzano en el intervalo [-1, 5π/4]. En caso afirmativo hallar los puntos en los

que se verifica la tesis de dicho teorema.

pág -4-

23) Calcular b para que la función 2x - bx + 3 x 2

f(x) = 7x + 2b x > 2

⎧ ≤⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ sea continua. Comprobar si se

cumple el teorema de Bolzano en el intervalo [0,3].

24) Demostrar que la ecuación x = cosx tiene una solución en el intervalo (0,1).

25) Demostrar que las siguientes ecuaciones tienen alguna solución real:

a) 2 - x = Lnx b) x = 3 + senx c) e-x = x – 2

d) 802 2

150x + = 77x sen1 + + x

e) 2

248 2

x - 2 = - xx sen+ x +1

26) Averiguar si la función f(x)= x3-5x+4 tiene algún cero negativo.

27) La función 5f(x) = 3 - x

toma signo distinto en los extremos del intervalo [2,4]. ¿Se anula

en algún punto de ese intervalo? ¿Contradice el teorema de Bolzano? La misma pregunta

para f(x)= tgx en [π/4,3π/4].

28) Podemos aplicar el teorema de Bolzano para asegurar que la ecuación 41x + = 0

x - 2 tiene

alguna solución en el intervalo (0,3), ¿y en el intervalo (-2,0)? Razonar la respuesta.

29) Sea f(x)= x3-x2+x. Demostrar que existe al menos un punto a en el intervalo (1,2), tal que

f(a)= 5 .

30) Determinar los valores del número K para los que la función f(x)=x3-3x+K se anula en

algún punto del intervalo [-1,1].

31) Sean f y g dos funciones continuas en [a,b] tales que f(a) < g(a) y f(b) > g(b). Probar

que f(c)=g(c) para algún número c en (a,b).

32) Si f(x) es continua en [1,9] y es tal que f(1)=-5 y f(9)>0 , ¿podemos asegurar en estas

condiciones que la función definida como g(x)= f(x)+3 tiene al menos un cero en el

intervalo [1,9].

33) Si f(x) es continua en [a,b] siendo c y d pertenecientes al intervalo [a,b] en los que f(c)=10

y f(d)=7. Demostrar que la función g(x)=f(x)+7 es tal que existe α∈(a,b) con g(α)=15.

34) Si f(x) es continua en [5,8] y además f(5)=1 y f(8)=3, entonces:

a) Todos los valores de f(x) están en el intervalo [1,3].

b) Existe un x en [5,8] tal que f(x)= 2 .

c) Se verifica siempre que f(x)>1 en este intervalo.

Razonar la respuesta correcta.

35) Se dice que una raíz de una ecuación está separada cuando se ha encontrado un intervalo

en el que la ecuación tiene esa raíz y esa sola.

Separar las 4 raíces de la ecuación 2x4-8x3+3x2+10x+1=0.

pág -5-

-- DERIVADAS --

1) a) Aplicando la definición de derivada, hallar m para que f'(1)=0 en la función

2mx - 1f(x) = x

.

b) Utilizar la definición de derivada para calcular f '(0) siendo f(x)=2

1 x L 1 +x1 +

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

2) Calcular la derivada de las siguientes funciones y expresar el resultado de la forma más

simple posible:

1) 2xy = Ln(tg( +1)) 2) 2xy = arc sen(2x 1 - ) 3) y = (1 - cosx)tgx

4) 1 + senxy = 1 - senx

5) ( )2xy = Ln x +1 + + 2x +1 6) 2sen xey = ·tgx

7) 2x1 + - 1y = arc tg

x 8) 1 + xy =

1 - x 9) ( )2cos xxy = arc sen

10) 2

xy = arc tgx1 -

3) Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones:

a) 2

3

x x 1

xf(x) = 1 < x 0

x 0 < x

⎧⎪ ≤−⎪⎪⎪⎪ − ≤⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

b) 3

2

1 x - 1 x

xf(x) = - 1 < x 1

x 1 < x

⎧⎪⎪− ≤⎪⎪⎪⎪⎪ ≤⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

c) 3xf(x) = d) 3 2xf(x) =

4) La función f(x)= │x + 1│ no es derivable en un punto. ¿Cuál es? Representa la función y

razona la respuesta.

5) La función f(x)= │x2 - 6x + 8│ no es derivable en dos puntos. ¿Cuáles son? Representa la

función y razona la respuesta.

6) Hallar la ecuación de la tangente y la normal a la parábola de ecuación y= x2 + x + 1 en

el punto de abscisa x=2.

7) Hallar la ecuación de la recta tangente a 22x 1y = 3 + en el punto de abscisa x=0.

8) Obtener los puntos de la gráfica de f(x)= x4 - 7x3 +13x2 + 3x + 4 en los que la tangente

es paralela a y-3x-2=0. (Junio 1990).

9) Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva 3y = (x +1) 3 - x en el

punto P(2,3).

10) Dada la función f(x)= x│x│, estudiar la existencia de su primera y segunda derivada.

11) En el trozo de la parábola y= x2 comprendido entre los puntos A(1,1) y B(3,9), hallar un

punto cuya tangente sea paralela a la cuerda AB.

12) Calcular los siguientes límites:

1) 5

3x 1

x - 1x - 1lim

→ 2)

x senx

3x 0

e e - xlim

→ 3) x

x 0(senx)lim

→

- pág 17 -

4) x 0

x·cotg xlim→

(Ju.89) 5) ( ) 2

3x

x 0 cos2xlim

→ (Ju.90) 6)

1x x x

x 0

+ 3 2 2lim

→

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ (Sep. 91)

7) x

x

8 1 + 5 tgxlim

→∞

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ (Ju.93) 8) ( )1 2x

cos

x4

1 + 5 cos2x limπ→

(Sep. 93) 9) 2

3(x- )

x

x sen 2lim π

→π

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

10) ( )1

3 xx

x - 2x + 3 lim→∞

11) x 1

x 1 - x - 1 Lnxlim

→

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

13) Probar que la ecuación 5x - 5x - 1 = 0 tiene exactamente tres raíces reales. 14) Probar que la ecuación 3 2x x+ 6 + 15x - 23 = 0 tiene una única raíz real. 15) Probar que 18x - 5x + 3 = 0 tiene como máximo dos raíces reales. 16) Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones:

a) 2

Ln(x - 1) 1 < x 2

xf(x) = - 4 2 < x 4

-x +1 4 < x

⎧⎪ ≤⎪⎪⎪⎪ ≤⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(Sep. 92) b)

x

2

e x 0

xf(x) = 1 - 0 < x 1

x 1 < x

⎧⎪ ≤⎪⎪⎪⎪ ≤⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(Ju. 93)

c) 2

cosx x 0

xf(x) = 0 < x 1

1 + Lnx 1 < x

⎧⎪ ≤⎪⎪⎪⎪ ≤⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

EJERCICIOS SOBRE LOS TEOREMAS DE ROLLE, LAGRANGE, CAUCHY. 1) Comprobar si la función f(x)= x3 - 4x2 +4x + 2 cumple el teorema de Rolle en [0,2] y hallar

los puntos c∈(0,2) tales que f '(c)=0.

2) Aplicar si es posible el teorema de Rolle a 22xf(x) = + x

en [-2,1] (Septiembre 1991)

3) Estudiar si la función f(x)= │4x-x2│ cumple el teorema de Rolle en el intervalo [2,6]. (Jun. 92)

4) Calcular a, b y c para que 2x + ax 1 x 3

f(x) = bx + c 3 < x 5

⎧ − − ≤ ≤⎪⎪⎪⎨⎪ ≤⎪⎪⎩ cumpla las hipótesis del teorema

de Rolle en el intervalo [-1,5]. (Septiembre 1993).

5) Sea 2

1 x 1xf(x)

x + x 1; 1 x

⎧⎪⎪ <−⎪⎪= ⎨⎪⎪ − − ≤⎪⎪⎩

estudiar si es posible aplicar el teorema de Lagrange a f(x)

en [-2,3]. En caso afirmativo, encontrar los valores intermedios dados por el teorema. (Septiembre

1989).

6) Si 2

ax 3 x < 4f(x) =

x +10x b x 4

⎧ −⎪⎪⎪⎨⎪ − − ≥⎪⎪⎩ determinar a y b para que f(x) cumpla las hipótesis del

Teorema de Lagrange en [2,6]. (Junio 1990). 7) Estudiar si se puede aplicar el Teorema de Cauchy a las funciones f(x)= x2 -2x +3 y

g(x)= x3 -7x2 +20x -5 en [1,4]. En caso afirmativo, aplicarlo. (Septiembre 1992). 8) Estudiar si se cumple el teorema del valor medio y, en caso afirmativo, hallar los puntos c

cuya existencia asegura el teorema, en las funciones: a) f(x)= x(x-2) en [0,1] b) g(x)= 2x+senx en [0,π]

- pág 18 -

-- EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD --

1) Hallar los valores de "a" y "b" para que la función 2ax + bx 1 si x 1

f (x) =2bx 2 si x > 1

⎧ − ≤⎪⎪⎪⎨⎪ −⎪⎪⎩ sea

continua y derivable en el conjunto de los números reales. (Junio 96)

2) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función 2xf(x) = 2 + 2x + 1+ en el conjunto

de los números reales (Septiembre 96)

3) Estudiar en x=0 y x=2π la continuidad y derivabilidad de la función

cos x ; x 0

2xf (x) = + 2 ; 0 < x < 2

2 sen x ; x 2

⎧⎪⎪ ≤⎪⎪⎪⎪ π⎪⎪⎨⎪ π⎪⎪ π⎪⎪ + ≥⎪⎪⎪⎩

(Junio 97)

4) Calcular a y b para que f(x) sea continua en x=0 y x=1.

3

cos x ; si x 0

xf (x) = a + ; si 0 < x < 1

b ; si x 12x

⎧⎪⎪⎪ ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪ ≥⎪⎪⎪⎩⎪

Para los valores de a y b obtenidos, estudiar

la derivabilidad en x=0, y x=1. (Septiembre 97)

5) Calcular a y b para que f(x) sea continua en x=0 y x=1.

x

2

e + a ; x 0

axf (x) = + 2 ; 0 < x 1

b ; x > 12x

⎧⎪⎪⎪ ≤⎪⎪⎪⎪⎪ ≤⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪

(Septiembre 98)

Para los valores de a y b obtenidos anteriormente, estudiar la derivabilidad de f(x) en x=0.

6) Determinar a y b para que f(x) sea continua en x= -1 y x=1 3 2

x 1

x ax2 + 1 ; x 1af (x) = ; 1 < x 12xe + 2b ; x > 1−

⎧⎪ − ≤−⎪⎪⎪⎪⎪ − ≤⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

. (Septiem- 98)

Para los valores de a y b obtenidos anteriormente, estudiar si f(x) es derivable en x=1

7) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función:

2

3x + 5, si x 1

f(x) = 2, si 1 < x 1

x 3x +1, si x 1

⎧⎪ ≤−⎪⎪⎪⎪ − ≤⎨⎪⎪⎪ − >⎪⎪⎩

(Junio 99)

- pág 19 -

8) Calcular x

2

tg x - 8 sec x + 10limπ→

(Septiembre 99)

9) Dada la función f(x)=

2x , si x 0

a bx, si 0 < x 1

3 , si x > 1

⎧⎪ ≤⎪⎪⎪⎪ + ≤⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

, determinar a y b de modo que sea continua.

Para los valores que se obtengan, estudiar la derivabilidad. (Junio 2000)

10) Calcular x 0

x sen x tg x - sen xlim

→

− (Septiembre 2000)

11) Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función:

f(x)= 2

1 , si x 12 x x + 4x 2 , si x > 1

⎧⎪⎪ ≤⎪⎪ −⎨⎪⎪ − −⎪⎪⎩

. (Septiembre 2000)

12) Dada la función f(x)= 2

2x + 5 si x 1

x + k si x > 1

⎧ ≤⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

a) Determina k para que f(x) sea continua en x=1

b) ¿Es la función f(x) para el valor de k calculado derivable en x=1? (Junio 2001)

13) Calcula 2xx 0

1 cos x e( 1)lim

→

−−

(Junio 2001)

14) Dada la función f(x)= 2

2x 1 si x 2ax bx si 2 x 4

x 4 si 4 x

+ ≤ −⎧⎪ + − < ≤⎨⎪ − <⎩

, determina a y b de modo que sea

continua. Para los valores que se obtengan, estudia la derivabilidad. (Setiembre 2001)

15) Enuncia la regla de L´Hôpital y calcula el siguiente límite: x 0

4(x ln(1 x))limx ln(1 x)→

− ++

;

(ln= logaritmo neperiano). (Setiembre 2001)

- pág 20 -

-- APLICACIONES DE LA DERIVADA –

1) Sea f(x)= 2x6 + x +Ln

4 se pide: 1) Dominio de f(x).

2) Máximos y mínimos relativos. (Junio 89)

2) Calcular los máximos y mínimos de la función 22xf(x) =

(1 + x). Estudiar su crecimiento.(Ju-89)

3) Calcular los extremos relativos y absolutos de 2xf(x) 3 2x= + − en el intervalo [-2,4].(Se. 91)

4) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de 2

x

x2 - 3xf(x) = e

.

Calcular los máximos y mínimos relativos. (Junio 92) 5) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de f(x)= x2Lnx. Obtener sus máximos y mínimos

relativos.(Junio 93) 6) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos de la función y= x·ex. 7) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función siguiente, según los valores de m:

mxf(x) = (m 0)x - 1

≠

8) Hallar los máximos y mínimos relativos de las siguientes funciones:

a) 2x +1y = x - 1

b) y= (x3-4x2+7x-6).ex c) y= x·e-x d) x

2

ey =

x

e) y= │x3-9x│ f) y= x4·ex g) y= sen4x 9) Determinar el máximo y el mínimo de la función f(x)= x5 + x + 1 en el intervalo [0,2]. 10) Dada la función f(x)= ax3+bx2+cx+d, hallar el valor de a,b,c y d para que tenga un máximo

en el punto M(-2,21) y un mínimo en el punto m(-1,6). 11) Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del

camino cuesta 800 pts/m y la de los otros 100 pts/m, hallar el área del mayor campo que pueda cercarse con 288.000 pts.

12) Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de radio 5. (Junio 89)

13) Un jardinero ha de construir un parterre en forma de sector circular de perímetro 20 m. ¿Cuál será el radio del parterre de área máxima? ¿Cuál será la amplitud en radianes del sector?

14) Los barriles que se utilizan para almacenar petróleo tienen forma cilíndrica y una capacidad de 160 litros. Hallar las dimensiones del barril para el que la chapa empleada en su construcción sea mínima.

15) Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm. y los laterales 1 cm. Calcular las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.

16) Dos antenas de televisión separadas 10 m son fijadas al suelo mediante un único cable tensor. Si el cable se ata a 4 m. de altura en una antena y a 7 m. en la otra, se desea conocer el punto de fijación del cable en el suelo de forma que la longitud del cable sea mínima.

17) Hallar los puntos de la curva y2 = 6x cuya distancia al punto (4,0) sea mínima.

- pág 21 -

18) Sobre un edificio de 30 m. de altura hay situado un cartel de 10 m. de altura. ¿A qué distancia del edificio verá mejor el cartel un hombre de 1,70 m. de altura?

19) De todas las rectas que pasan por (2,3), ¿cuál determina con los ejes un triángulo de área mínima?

20) ¿Qué sector hay que cortar a un círculo de radio r, para formar con el resto un embudo (cono) de volumen máximo?

21) Estudiar el crecimiento y la concavidad de la función Lnxf(x) = x

. (Junio 91)

22) Calcular los intervalos de concavidad, convexidad y los puntos de inflexión de la función 2x - 1f(x) = - Lnx2x

(Septiembre 93).

23) Calcular los puntos de inflexión de f(x)= x4 -4x3 +12x -12. Escribir la tangente a f(x) en uno de sus puntos de inflexión. (Septiembre 92)

24) Hallar los intervalos de concavidad y convexidad así como los puntos de inflexión de la función f(x)= (x-1)ex.

25) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de las siguientes funciones:

a) x ey = b) 2

1y = x4 -

c) y= x3·(x-1)4

d) 3

Lnx x 0f(x) =

x - x x > 0

⎧ ≤⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ e)

2sen x x < 0f(x) =

1 - cosx x 0

⎧⎪⎪⎨ ≥⎪⎪⎩ f) y= x2·Lnx

26) Dada la función x + 3y = x - 1

se pide: 1) Campo de existencia. 2) Asíntotas (Septiembre 89)

27) Dada la función 3

2

xy =

x - 1 estudiar:

1) Asíntotas 2) Máximos y mínimos 3) Puntos de inflexión 4) Simetrías 5) Crecimiento y decrecimiento 6) Puntos de corte con los ejes (Sept-90)

28) Determinar cuales de las siguientes funciones son pares, impares o periódicas: a) f(x)= senx b) f(x)= sen2x c) f(x)= 2 + cos2x d) f(x)= │x3│ + 2 e) f(x)= │tgx│ f) f(x)= cosx2

29) Dibujar la gráfica de las siguientes funciones: 1) y= x3-6x2+12x+4 2) y=│x3-3x2+3x-1│ 3) y= x2-x4

30) Representar gráficamente las siguientes funciones:

1) y= Ln(x+2) 2) 2

x - 2y = x

3) 3

2

xy =

x1 - 4)y=│x6-16x2│

5) 2xy = - 4 6) y= x·e1/x 7) y= xex 8) y=x2Lnx

9) y= sen2x 10) 2xy = + x +1 11) y= (1-x)ex 12) Lnxy = x

13) xey =

x 14) y= esenx 15) y= xx 16) 2xy = x + 4

17) x + 3y = x - 1

18)y=Ln(x2-4) 19) y= senx+cosx 20)2

2

x - 1y = x - 4

- pág 22 -

-- EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE APLICACIONES DE LA DERIVADA --

1) Determinar el dominio, crecimiento y extremos relativos de la función

2

1f (x) = x + 2x

. (Junio 96)

2) La recta y=2x+6 es una asíntota oblicua de la función 2x2 +1f (x) =

x - k

Hallar el valor de k. (Junio 96)

3) Determinar los extremos relativos, concavidad y asíntotas de la función

2x - x - 1f (x) = 2x

(Septiembre 96)

4) Dadas las funciones 3x +1f (x) = 3x - 2

2x - 1g (x) =

x - 1 se pide:

(i) Dominio de las funciones f y g.

(ii) Calcular [ ] g ( x )

x f (x)lim

→ ∞ y [ ] f ( x )

x g (x)lim

→ ∞ . (Septiembre 96)

5) Determinar las asíntotas de 2

1f (x) = x1 +

. Estudiar la concavidad y convexidad. Determinar

los puntos de inflexión. (Junio 97)

6) Se considera la función 2xf (x) =

x - 1; obtener sus asíntotas. Estudiar el crecimiento y

decrecimiento. Calcular los máximos y mínimos relativos. (Septiembre 97)

7) Determinar las asíntotas de f(x)=3

2

x x - 4

y estudiar el crecimiento de la función. (Junio 98)

8) Estudiar la concavidad y convexidad de y=2

4x + 3

. Determinar si tiene puntos de inflexión.

(Sept. 98) 9) Se desea construir un depósito de latón con forma de cilindro de área total igual a 54 m2.

Determinar el radio de la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máximo.(Junio 99)

10) Hallar los máximos y mínimos relativos, los puntos de inflexión y los intervalos de

crecimiento y de decrecimiento de la función

3

2

xf(x) = x - 1

(Septiembre 99)

11) El coste de producción de x unidades de un producto viene dado por la expresión

C=x2-300x+100 ptas. y el precio de venta de una unidad es U=1000-x ptas. ¿Cuántas

unidades se deben vender para que el beneficio sea máximo? (Junio 2000)

12) Halla las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base

cuadrada, de 100 metros cúbicos de capacidad que tenga un revestimiento interior de coste

mínimo. El precio del m2 de revestimiento lateral es 100 euros, el precio del m2 de

revestimiento del fondo es 200 euros. Halla también el coste mínimo. (Septiembre 2001)

- pág 23 -

-- PRIMITIVAS --

Calcular las siguientes primitivas:

1) 3 x x dxx 4

⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ 2) tg x dx∫ 3) 2tg x dx∫

4) 3tg x dx∫ 5) 2

3

x dx1 x+∫ 6) 2 3x xsen( ) dx∫

7) dx dxx·Ln x∫ 8) Lnx dx∫ 9) arcsenx dx∫

10) 4cos x dx∫ 11) 3sen x dx∫ 12) 3 2sen xcos x dx∫

13) cos x·cos 3x dx∫ π 14) sen2x·sen3x dx∫ 15) 2 3sen2x·cos x dx2⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫

16) 5-xe(2 + 3x) dx∫ 17) 2senx· x dx∫ 18) 1 dxsen x∫

19) 2 4

2x dx(x 3)+∫ 20)

3

2

x 1 dxx 5x 4

+− +∫ 21) 2x ·arctgx dx∫

22) 3 2

4x 1 dxx 6x 10x

+− +∫ 23) 2

1 dxx 3x 2− +∫ 24)

4 2

4 2

x x 2x 1 dxx (x 1)+ + +

+∫

25) 2 x 2 x

dxa e b e−+∫ 26)

2

3 2

3x 2x 4 dxx x x 1

+ ++ + +∫ 27) 3

dxx(x 1)+∫

28) 4 2

2x 1 dxx x++∫ 29) 3 -2xx e. dx∫ 30)

2

2

2x x 2 dx(x 3)(x x 1)

− −− + +∫

31) xe ·senx dx∫ 32) cos(Lnx) dx∫ 33) 2

x 4 dx(x 1)(x 2)

+− +∫

34) 2

x dxcos x∫ 35)

3

2

sen x dx1 cos x+∫ 36)

2

x·arcsenxdx

1 x−∫

37) 2x25 - dx∫ 38) 1 - 3x dx∫ 39) x

x

e 1 dxe 1−

+−∫

40) dx

1 1 x+ +∫ 41) 2

dx4 x+∫ (Ind: x= 2tgt)

- pág 24 -

-- INTEGRALES DEFINIDAS -- 1) Calcular las siguientes integrales:

a) e1Lnxdx∫ b) 0cos(2x) dxπ

∫ c)2

01 2

(arcsenx) dx

x1 - −∫ d) e1

3 dxx∫

e) 63x x - 2 dx∫ f) 2 2

0 x4 - dx∫ g) 3 23 xsen( ) dx∫ h) 0

2x·senx dxπ∫

2) Aplicar el teorema del valor medio del cálculo integral a las siguientes funciones en los intervalos que se indican:

a) f(x)=x2 en [0,1] b) f(x)=a+b·cosx en [ ],−π π c) f(x)= sen2x en [0,π ] 3) Hallar f(0) y f '(0) sabiendo que f es continua y que: x 2

0 xF(x) = f(t) dt = + sen2x + cos2x - 1∫

4) Sea x1 2

tF(x) = dtcos t−∫ , definida en (-1,1). Probar que F alcanza un mínimo absoluto en

este intervalo. Calcular su valor. 5) Dibujar la región del plano limitada por las curvas y=x2 ; y=2-x2 ; y=4. Calcular su área.

(Junio - 94).

6) Calcular 2

x·dx(x 1)(x 1)− −∫ (Junio 94)

7) Calcular el área encerrada por las curvas y= x2 - 2x - 5 ; x + y =1. 8) Calcular el área limitada por el eje de abscisas y la gráfica de la función f(x)= -x3+3x2+x-3.

9) Determinar a y b para que la función

x

2

+ a si x -12

f(x) = ax + b si - 1 < x 0

3x 2 si x > 0

⎧⎪ ≤⎪⎪⎪⎪⎪ ≤⎨⎪⎪⎪ +⎪⎪⎪⎩

sea continua y después

calcular la integral definida de f(x) entre -2 y 2. 10) Deducir la fórmula del área del círculo de radio R. 11) Deducir la fórmula del volumen de una esfera de radio R. 12) Deducir la fórmula del volumen de un cono de altura h y radio r. 13) Calcular el volumen del cuerpo de revolución engendrado por el arco de curva y=2senx+1

0 x≤ ≤ π al girar en torno al eje X. 14) Esbozar la gráfica de 2xy = . x + 4 y obtener el volumen del sólido de revolución

engendrado al girar, alrededor del eje OX, la región limitada por el semieje de abscisas negativas y la gráfica de la función.

15) Calcular el volumen del sólido engendrado al girar en torno al eje OX la curva f(x)= cos2x para x comprendido entre 0 y π .

16) Calcular el área encerrada entre las curvas de ecuaciones y= x-1; y= x2 - 2x + 1. 17) Determinar el área de la región del plano delimitada por:

a) f(x)= x2 - 5x + 4 y las rectas x+5=0 y x-5=0. b) El eje OX, la gráfica de la función f(x)=x3-x y las rectas: x+2=0 y x-3=0.

c) La parábola y= x2 y la función y= x3. d) La parábola x=4y2 y la recta x+y=0.

- pág 25 -

-- EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE CÁLCULO INTEGRAL --

1) Hallar el área comprendida entre la curva y=Ln(x+5) y las rectas y=0; x= 9- 2

; x=1.

Selectividad Univ.Córdoba 2) Dada la función f:[0,3]→ definida por f(x)= x +1 , comprobar la verificación del teorema

del valor medio del cálculo integral. Selectividad Univ.Santiago

3) Determinar el área acotada por f(x)=x2Ln x , su tangente en el punto de abscisa x=e y el eje

OX Selectividad Univ.Madrid

4) Calcular la integral: 2

2

x4 - 4x + 2 dxx(x - 1)( +1)

∫ Selectividad Politécnica-Valencia Jun-1987 (4º de 4)

5) Calcular el área limitada por la circunferencia x2+y2=1, y las rectas y=0 y x= 12

en el primer

cuadrante. Selectividad Autónoma-Madrid Jun-1983 (4º de 4)

6) Calcular 1

20

dxx - x - 2∫ Selectividad Autónoma-Madrid Jun-1985 (3º de 4)

7) Calcule el área de la región limitada por el eje de abscisas y la gráfica de la función f:[0,π]→

definida por f(x)=ex·sen x Selectividad Autónoma-Madrid Jun-1987 (4º de 4)

8) Calcular el área acotada entre las curvas y=x(x-2) e y=x+4 Selectivi. Aut.Madrid Jun-1984 (3º de 4)

9) Calcular 2x3x e dx∫ ⋅ Selectividad Autónoma-Madrid Set-1984 (2º de 4)

10) Calcule el volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar alrededor del eje de abscisas

la región A={ }2 - (x, y) ; x , 1 tg x y 44 4π π∈ ≤ ≤ + ≤ ≤

UNIVERSIDAD CASTILLA-MANCHA

11) Calcular el volumen del sólido encerrado por la circunferencia x2+(y-3)2=1 al girar alrededor

del eje de abscisas. Selectividad Castilla-Mancha Junio 1986 (3º de tres Co=Ed.)

12) Hallar el conjunto de las primitivas de la función f(x)=2

3 2

x - 3x x- 2 + x - 2

Dichas primitivas, ¿están definidas en x=2? Selectividad Castilla-Mancha Junio 1988 (3º)

13) Calcular el área de la figura plana limitada por las gráficas de y=2x- x +1

2 ; y=x+1

S electividad Castilla-Mancha Junio 1989(repetidores) (3º b) 14) Representar gráficamente y=6x-x2 e y=2x ; y determinar el área limitada por ambas. Selectividad Castilla-Mancha Junio 1989 (3º a)

15) Calcular 2x2 + 5x - 1 dx

x(x - 1)(x + 2)∫ Selectividad Castilla-Mancha (1º b)

16) Calcular 2x ·sen2x dx∫ Selectividad Castilla-Mancha Setiembre 1989 (3º b)

17) i) Enunciar el Teorema Fundamental del Cálculo Integral.

ii) Calcular el área encerrada por la gráfica de: y=2

1x4 +

el eje de abscisas y las rectas

x=2 y x=2 3 Selectividad Castilla-Mancha Junio 1990 (4º a)

- pág 26 -

18) Resolver la integral 4 3

3 2

x x- 3 - 3x - 2 dxx x- - 2x

∫

Selectividad Castilla-Mancha Junio 1990 (1º b)

19) Calcular 2

x dxx + 2x + 3

∫ Selectividad Castilla-Mancha Junio 1991 (4º a)

20) Interpretación geométrica del Teorema de la Media del Cálculo Integral. Selectividad Castilla-Mancha Junio 1991 (3º b ii)

21) Calcular 3

4

cos x dxsen x

∫

Selectividad Castilla-Mancha Setiembre 1991 (2º a) 22) Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado

por las gráficas de y=6x-x2 ; y=x. Selectividad Castilla-Mancha Junio 1992 (2º b)

23) Calcular 3 2

3x +1 dxx x- - x +1

∫ Selectividad Castilla-Mancha Junio 1992 (4º a)

24) Dibujar el recinto limitado por las gráficas de y=2x ; y=x2-8. Calcular el área de dicho

recinto. Selectividad Castilla-Mancha Setiembre 1992 (4º a)

25) Calcular 2

3 2

x + 2x + 3 dxx x+ - x - 1

∫ Selectividad Castilla-Mancha Setiembre 1992 (3º b)

26) Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las

gráficas de y=2x-x2 ; y=-x+2 Selectividad Castilla-Mancha Junio 1993 (2º b)

27) Calcular 2cos x·cotg x dx∫ Selectividad Castilla-Mancha Junio 1993 (3º a)

28) Dibuja la gráfica de f(x). Calcular5

-2

f (x) dx∫ , siendo:

f(x)=2

| x | ; x 1

-9 ; 1 < x < 3

x - 6x ; x 3

⎧⎪ ≤⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪ ≥⎪⎪⎩

(Observa que f(x) está definida mediante "trozos" de funciones sencillas) Selectividad Castilla-Mancha Setiembre 1993 (2º b) 29) Calcular el área del recinto plano limitado por las rectas y=x; y=2x; y la parábola y=x2.

(Junio 96) 30) Calcular 2 x 1x e dx− −∫ ⋅ . (Setiembre 96)

31) Dibujar el recinto limitado por y=x2; y= 1x

; y= x4

; y el eje OX. Calcular su área.

(Junio. 97)

32) Calcular 2

2

x2 - 4x +1 dx .xx( - 2x +1)

∫

(Junio 97) 33) Calcular cos 3x dx .∫ (Setiembre 97)

34) Dibujar el recinto limitado por y=x2-4x; y=2x-5. Calcular su área.

- pág 27 -

(Setiembre 97) 35) Dibujar el recinto limitado por las gráficas de y2=2x; 2x-y-2=0. Calcular su área. (Junio 98) 36) Calcular 5xe(2x + 4) dx −∫ ⋅ (Junio 98)

37) Hallar la ecuación de la recta tangente a y=x2+2, en el punto de abscisa x=1.

Calcular el área del recinto limitado por y=x+2, la tangente anterior y el eje OY. (Sept. 98)

38) Calcular la integral 2

2

x + 4 dx x - 5x + 4

∫ (Setiembre 98)

39) Calcular el área de la región del plano limitada por las gráficas de las funciones:

y=-x2+4x-4 e y=2x-7. (Junio 99)

40) Calcular 2

2

x + 1 dxx - 4x + 13

∫ . (Junio 99)

41) Calcular 2x3 4x e dx−∫ ⋅ . (Septiembre 99)

42) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y=x2-2x e y=-x2+4x. (Septiembre- 99)

43) Calcular 3 2

x + 1 dxx x + - 6x

∫ (Junio 2000)

44) Calcular el área del recinto limitado por las curvas y=x2-1, y=11-x y el eje OX. Dibujar

el recinto. (Junio 2000)

45) Hallar el área del recinto plano delimitado por las curvas de ecuación: y=x2-2 e

y= -│x│. Dibujar el recinto. (Junio 2000)

46) Calcular 2

3x dxx + 2x + 3

∫ (Septiembre 2000)

47) Resuelve 2

2

x - 1 dxxx( + 1)

∫ (Junio 2001)

48) Dada la parábola y=2x

4

y la recta y=x.

a) Dibuja las gráficas de la parábola y de la recta.

b) Señala el recinto plano comprendido entre las dos gráficas anteriores.

c) Calcula el área del recinto plano señalado. (Junio 2001)

49) Calcula 3 2

x 2 dxx 4x 4x

+− +∫ (Setiembre 2001)

- pág 28 -

MÉTODO DE GAUSS -- 1) Resolver por el método de Gauss los siguientes sistemas:

- x - y + z = 1

x + 2y + 3z = 2

2x + 3y + z = 0

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x + 3y - 7z = - 1

3x + 4y - 6z = 5

5x - 2y + 4z = - 7

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

8x + y + 4 z = 9

5x - 2y + 4z = 6

x + y = 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2) Las cifras de un número suman 18. Si a ese número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, se obtiene 594; la cifra de las decenas es media aritmética de las otras dos. Hallar dicho número. (El sistema debe resolverse aplicando el método de Gauss).

3) Discutir según los valores del parámetro a los siguientes sistemas de ecuaciones:

ax - y = 1

-2x + (a - 1)y = 2

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

ax + 3y = 2 3x + 2y = a

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

5x - 11y + 9z = a

x - 3y + 5z = 2

2x - 4y + 2z = a

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x - 3y + 5z = 2

2x - 4y + 2z = 1

5x - 11y + 9z = a

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x - 5y = 0

4x - 6y + 2z = 0

5x - 4y + az = 0

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x + y + az = 0

3x + 2y + 4az = 0

2x + y + 3z = 0

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

4) Dado el sistema x + 2y = 8 x - my = 4

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ determinar m para que tenga:

a) Solución única. b) Solución múltiple. c) La solución x=0. d) La solución x=8. e) La solución x=K. f) Para que sea incompatible.

5) Dado el sistema

x + 2y - z = 8

2x - 3y + z = - 1

3x - y + Kz = 5

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a) Hallar el valor de K que hace el sistema incompatible. b) Hallar el valor de K para el cual el sistema es compatible y además z=-1. c) Para el valor de K hallado en b), resolver el sistema.

6) Demostrar que el sistema

x - y + 2z = 2

2x + y + 3z = 2

5x + y + Kz = 6

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

tiene solución si K≠8. Resolver el sistema si

K=8. 7) Discutir según los valores del parámetro a los siguientes sistemas:

2a x + y + az =

x + ay + z = a

ax + y + z = 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x + y + z + at = a

x + y + az + t = a x + ay + z + t = a

ax + y + z + t = a

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

- pág 29 -

PROBLEMAS DE MATRICES --

1) Se consideran las matrices A=1 2 1

2 1 21 2 3

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ y B=

01 1 1 2 1

01 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

a) Calcular A+B, A-B, A⋅B, B⋅A, A2, B2, A3.

2) Calcular A2-3A-I, siendo A=2 3

1 1⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

y I=01

0 1⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

.

3) Hallar todas las matrices A que satisfacen la ecuación: 0 0 01 1

A = 0 0 02 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⋅ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4) Se consideran las matrices A=1 1 1

0 1 10 0 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

, B=0 1 1

0 0 10 0 0

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

, I=0 01

0 010 0 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

a) Calcular B3.

b) Calcular A3. (Sugerencia:A=B+I)

5) Dadas las matrices A=1 1

1 1⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

, B=a 1

a0⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

, C=1 1 1

1 1 11 1 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

Calcular An, Bn,Cn.

6) Calcular An siendo A=1 1/n 1/n

0 010 0 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

.

7) Calcular mediante la definición, la matriz inversa de las siguientes matrices:

A=0 01

0 020 0 3

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

, B=1 4 4

0 2 40 0 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

, C=01 1

0 1 10 01

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

8) Demostrar que si A⋅B=A y B⋅A=B, entonces la matriz A cumple A2=A.

9) Demostrar que si A2=A y B=2A-I, entonces B2=I.

10) Estudiar según los valores de t el rango de las siguientes matrices:

A=1 1 1

2 2 2t3 3

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ , B=

t1 2 3 2 4 6 83 6 9 12

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ , C=

01 -1t 0 3

-t4 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

11) Dada la matriz X=

1 1 1 10 1 1 1

0 0 1 10 0 0 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

, hallar X2 y X3.

- pág 30 -

PROBLEMAS DE DETERMINANTES --

1) Calcular los siguientes determinantes de orden 3:

1 2 3 3 -2 1 1 1 1 1 2 3 5 1 2 41 1 11 3 -1 3 45 1 1 -1 3 1 5 8 7 6 3 2 1 0 5 5 1 -2 4 1 14 6 8

5 50 0 -52 3 4 1 -1 4 6 -1 1 2 -41 62 2 3 4 4 -2

2) Sabiendo que a cb

p q r u v w

es 25, calcular el valor de2a 2c 2b

2u 2w 2v 2p 2r 2q

.

3) Demostrar, sin desarrollar que el determinante 5 015 5 2

52 2 es múltiplo de 15.

4) Demostrar, sin desarrollar que el determinante

a1 b + ca + c 1 b

c1 a + b vale 0.

5) Si

x y z

0 3 2 = 51 1 1

, calcular, sin desarrollar, los siguientes determinantes:

2x 2y 2z x y z x - 1 y - 1 z - 103 1a) b) 3x 3 3y 3z + 2 c) 4 1 3

21 1 1x +1 y +1 z +11 1 1

+

6) Sin desarrollar los determinantes, demostrar la identidad:

2 3 2

2 3 2

2 3 2

a a1 a abc 1 = ca b b b b

c c1 c cab

7) Calcular los siguientes determinantes:

01 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 1 -1 2x 5-1 1 1 1 -1 1 1 3 3 2 2 3 2 -2

x-1 -1 1 1 -1 -1 1 3 6 3 2 2 4 2 1x 5 5-1 -1 -1 1 -1 -1 -1 6 4 3 3 1 -3

8) Averiguar, utilizando determinantes, si existe algún valor de m para el cual sean linealmente

dependientes los vectores (2,1,3,1), (1,0,1,0) y (3,m,0,1).

9) Encontrar el valor de t que haga que los vectores u=(1,1,1), v=(2,2,t) y w=(1,3,-1) sean

dependientes.

10) Comprobar que existe la inversa de la siguiente matriz cualquiera que sea el valor de a y

calcularla:1 -3 + a

M = -1 2 - a⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

.

- pág 31 -

11) Dadas las matrices 1 3 1

0A -1 23 1 -2

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ y

0 1 3B -1 2 1

3 1 2

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ comprobar que:

det(A)⋅det(B)=det(A⋅B)

12) Dada la matriz2 3

A = 2 1⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

, se llaman "valores propios" de dicha matriz a los valores delλ ,

tales que el determinante de la matriz A - Iλ sea nulo. Hallar los valores propios de A.

13) Siendo 01 2

A = 2 -1 401 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ y

0 02B = 1 -1 2

02 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠, calcular A-1⋅B⋅A.

14) Estudiar el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro t:

t5 t0 7 -t 1 2 31 1 1 -1

tA = 3 4 ; B = 0 0 ; C = t ; D = 2 4 6 8-1 3 15 t07 t 3 6 9 121 -2 -2 2t

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎟⎟ ⎟⎜⎜⎜ ⎜⎟⎟⎟ ⎟⎜⎜⎜ ⎜⎟⎟⎟ ⎟⎜⎜⎜ ⎜⎟⎟⎟ ⎟⎜⎜⎜ ⎜⎟⎟⎟ ⎟⎜⎜⎜ ⎜⎟⎟⎟ ⎟⎜⎜⎜ ⎜⎟⎟⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎟⎝ ⎠

15) Calcular las matrices inversas de las siguientes matrices:

01 2 301 -1 1 1 1-3 2 1

0 0 010 0A = 2 1 2 ; B = 0 ; C = 1 ; D = 1 -1

1 1 1 10 0 1 1 1 1-2 -2 2

0 2 1 2

⎛ ⎞⎟⎜⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎜⎟⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎜⎟⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎜⎟⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎜ ⎜⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎜ ⎜⎟⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝⎜ ⎠

16) Calcular el rango de las siguientes matrices:

1 2 35-1 1 2 -1 2 3 4 6

-1 1 10A = 1 1 ; B = 1 2 1 3 2 1 ; C =

53 30 02 1 1 4 4 7 7

0 3 4

⎛ ⎞⎟⎜⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

17) Calcular los siguientes determinantes de orden n:

... n n n n ... n1 2 3 4 1

... n n n n ... n0-1 3 4 2

... n n n n ... n0-1 -2 4 3 ; ... n n n n ... n0-1 -2 -3 4

.. .. .. .. ... .. .. .. .. .. ... ..... n n n n ... n0-1 -2 -3 -4

18) Demostrar que si A y B son matrices cuadradas que tienen inversas, entonces

(A⋅B)-1 = B-1⋅A-1.

19) ¿Es cierto que det(A+B) = det(A) + det(B)?, siendo A y B matrices cuadradas. Si es falso

poner un contraejemplo.

20) Demostrar que toda matriz A que cumple A2 + 2A = I tiene inversa.

- pág 32 -

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE MATRICES Y DETERMINANTES --

1) Se da la matriz

a 1 1aA = 0 con a 01

a0 0

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ≠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

. Comprobar que existe la matriz inversa de A y

hallarla. (Junio 88) 2) Define rango de una matriz. ¿Cuál es el mínimo rango que puede tener la siguiente matriz?

2

2 3

x x0 1xx x1

0 0 0 1

x0 01

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

(Junio 89)

3) Estudio del rango de la siguiente matriz según los valores del parámetro t ∈ .

t 0-1

t 0-12 -2 t - 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ (Junio 89)

4) Estudiar el rango de la matriz

2t1 tA = 1 1 1

1 -1 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ según los valores del parámetro t ∈ . ¿Para

qué valores de t ∈ existe A-1? (Septiembre 89)

5) Define rango de una matriz. Muestra una matriz de orden 3 x 4 que tenga rango 2.

Calcula el rango det t0 0

A = 4 -6 8 -2-2 3 -4 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠, para los distintos valores de t ∈ (Junio 90)

6) i) Muestra con ejemplos las propiedades de los determinantes.

ii) Hallar una matriz X tal que:0 0 01 2 1 2

0-1 1 3 ·X = -1 3 1-5 -5 04 -1 -1 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (Junio 90)

7) Dada la matriz01 2tt0A = 1

0 0 2

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠, averiguar para qué valores de t ∈ no existe A-1. Obtener

A-1 para t= 12

. (Septiembre 90)

8) Encontrar una matriz X que verifique la ecuación A⋅X + B = C, siendo:

0 0 0 01 0 0 31

50A = 1 2 , B = 0 0 , C = 2 2101 2 4 0 0 1 31

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎟⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(Junio 91)

9) Estudiar el rango det t 0

A = t t1t 1 3 - t

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, para los diferentes valores de t ∈ . ¿Para qué valores

de t ∈ existe A-1? (Septiembre 91)

- pág 33 -

10) Calcular el rango de la matriz A según los diferentes valores de t ∈ , siendo:

t t 0

A = 2 t +1 t - 10-2t - 1 t + 3

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

¿Para qué valores de t ∈ , existe A-1? (Junio 92)

11) i) Define rango de una matriz. Escribir una matriz de orden 3x4 que tenga rango 2.

ii) Hallar la matriz X que cumple la ecuación:01 3 0 01 2

1 1 -1 X = 0 03 3-52 3 0-4 -1 6

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(Septiembre 93)

12) Hallar una matriz X que cumpla la condición X·B+B=B-1 siendo

B=1 -1 1

1 1 1 -12

-1 1 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ (Jun-96)

13) Estudiar, según los valores de “t”, el rango de la siguiente matriz:

-t t2 2

0A = 3 2 4t t -5 2

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ (Set-96)

14) Calcular la matriz X, tal que X·B+A=C ; siendo

A=4 -2 1

5 1 -3⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

; B=0 03

0 2 10 -3 2

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠; C=

51 -3 -2 4 -6⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

(Junio-97)

15) Encontrar la matriz X, sabiendo que B(A-I)=AXA.

A=3 -2 -1

-4 1 -102 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠; B=

1 -1 20 -1 1

0 -1 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ (Septiembre-97)

16) Resolver la ecuación matricial A2⋅X-B=A2 y determinar la matriz X, siendo:

A=0 01

0 020 0 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

; B=0 0-1

0 0-30 0 -1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

(Junio- 98)

17) Estudiar el rango de A, según los valores del parámetro a ∈

A=

- a aa + 1 10 1 a + 1 2a

a 01 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

Razona si para algún valor de a existe A-1. (Junio- 98)

18) Determinar la matriz X, sabiendo que X⋅A2+B⋅A=A2, siendo:

- pág 34 -

A=0 0 - 1

0 0- 10 0- 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

; B=0 0 -2

0 020 0-2

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

(Set- 98)

- pág 35 -

19) Estudiar el rango de la matriz A, según los valores de t ∈

A=

1 1 0 1

0 t 1 0

1 t 1 t t 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎟

Razonar si para algún valor de t, existe A-1. (Septiembre- 98)

20) Dada la matriz A=

x0101 1

x 0 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ , hallar los valores de x para los cuales la matriz no es

inversible. Hallar la inversa de A para x=2. (Junio- 99)

21) Determinar la matriz X que verifica: AXA-B=0 00 0⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

, siendo A=3 1-2 -1⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

y B=5 -21 3⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

.

(Sept- 99)

22) Resolver el sistema de ecuaciones matriciales 3X-2Y=7 3

16 4⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

y X+3Y=6 12-2 27⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

(Junio-2000)

23) Hallar una matriz X que verifique la condición A+BX=C, siendo:

A=1 2 1

- 1 6 - 21 -1 2

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ B=

0- 1 10 020- 1 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ y C=

0 2 101 2

0 - 1 3

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠. (Set-2000)

24) Dadas las matrices A=03 2

0 0 10 01

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

y B=210

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

a) Halla paso a paso la inversa de la matriz A

b) calcula la matriz X que verifique la ecuación AX=B (Junio-2001)

25) Dadas las matrices A=1 1 31 0 31 2 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, B=1 01 2

0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y C=0 1 22 1 1−⎛ ⎞

⎜ ⎟− −⎝ ⎠

1º- Halla la inversa de A-BC. 2º- Resuelve la ecuación matricial AX-BCX=A (Sept-2001)

- pág 36 -

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES –

1) Resolver los siguientes sistemas por el método de Cramer:

x + y + z = 3 x + y z = 11 x 4y 8z = 8

1) x y + z = 7 2) 2x - y + z = 5 3) 4x 8y z = 76

x y z = 1 3x 2y + z = 24 8x y 4z = 110

− + + − −

− + −

+ − + − −

⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩

x + y + z = 2 2x + y - z = 15 2x - 3y + z = - 4

4) 2x + 3y + 5z = 11 5) 5x - y + 5z = 16 6) 3x + y - 2z = - 10

x - 5y + 6z = 29 x + 4y + z = 20 x + 2y - 3z = - 16

⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2) Discutir los siguientes sistemas según los valores del parámetro, resolviendo los casos

compatibles:

x + 2y = 3 x + ay = 3 x + 3my = 1

1) 2) 3) 2x + y = a ax + 4y = 6 mx - 3my = 2m + 3

⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩

2

3x + 2y + az = 1 ax + y + z = 1 ax + y + z = 1

4) 5x + 3y + 3z = 2 5) x + ay + z = 1 6) x + ay + z = a

ax + y + az = ax + y - z = 1 x + y + az = 1

⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩⎪ ⎪⎩ ⎩

⎪⎪⎪

x + ay + z = a 2 (a 2)x + y + z = a 1 2x ay + 4z = 0

7) x + y + az = 2(a 1) 8) ax + (a 1)y + z = a 1 9) x + y + 7z = 0

ax + y z = a ax y + 13z = 0(a 1)x + (a 1)z = a 1

+ + − −

− + − −

+ −+ + −

⎧ ⎧⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎩⎪⎩

3) Hallar m para que los siguientes sistemas tengan soluciones distintas de la trivial y resolverlos:

3x + 3y - z = 0 2x - my + z = 0 y + 2z = 0

1) -4x - 2y + mz = 0 2) x + y + 7z = 0 3) 3y + z = 0

my + z = 03x + 4y + 6z = 0 x - y + 12z = 0

⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎩⎩ ⎩

4) Sea el sistema de ecuaciones x cos a + y sen a = 1 x sen a - y cos a = 1

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1) Resolverlo determinando x e y en función de a. 2) Calcular a para que x+y=1.

5) Dado el sistema mx - y = 1 x - my = 1

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ hallar m para que:

a) No tenga solución. b) Tenga infinitas soluciones. c) Tenga solución única. d) Tenga una solución en la que x= 3.

- pág 37 -

6) Discutir los siguientes sistemas según los valores del parámetro m, resolviendo los casos

compatibles:

x - 2y - z = 6mx + y + z + t = m

x + my + z + t = m x + my + 3z = 601) 2) x + y + mz + t = m 5x - 6y + 3z = 38

x + y + z + mt = m ax + 5y + 3z = 4

⎧⎧ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎩

7) Dado el sistema 3x - 2y + z = 5 2x - 3y + z = 4

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

a) Añadir una ecuación lineal de forma que el sistema resultante sea incompatible. b) Añadir una ecuación lineal de forma que el sistema resultante sea compatible e

indeterminado. Resolver el sistema así formado. 8) Hallar el menor valor posible de t entre los números naturales tal que el sistema

2 3

2

x + y = 1t t x + y = 0t

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ admita solución. Resolverlo.

PROBLEMAS de SELECTIVIDAD de SISTEMAS DE ECUACIONES --

1) En un sistema de ecuaciones la matriz de los coeficientes es1 2 -1

02 11 -1 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠. Los términos

independientes son por este orden 1, 2, a. Determinar el valor de a para que el sistema sea

compatible. Eligiendo un valor adecuado de a, comprobar que se puede suprimir una ecuación,

resultando un sistema equivalente al dado. (Septiembre 88)

2) Discutir el sistema:

5x - 11y + 9z = t

x - 3y + 5z = 2

2x - 4y + 2z = 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

según los valores del parámetro t, y resolverlo cuando

sea compatible. (Septiembre 89)

3) Discutir el sistema según los valores del parámetro t.

2x + 3y + tz = 0

ty - z = 0

tx + ty + tz = 0

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Resolverlo cuando sea posible. (Septiembre 90)

- pág 38 -

4) Discutir el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro t ∈ .

x + (t +1)y + tz = t +1

x + (t +1)y + z = 0

x + y = 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Resolver el sistema anterior, si es posible, para t=0. (Junio 93)

5) Discutir el siguiente sistema de ecuaciones, según los valores del parámetro t ∈ , y resolverlo

cuando sea compatible indeterminado.

x + y = 1

ty + z = 0

x + (1 + t)y + tz = t +1

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(Septiembre 93)

6) Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver el

sistema para ese valor de m:

x - y + z = 7

2x + my - 4z = m

x + y - z = 1

-x + y - z = 3

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(Junio 94)

7) Discutir, para los diferentes valores de m, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

3x + my + z = m - 2

x + y + 2z = 0

mx + y - z = m - 2

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Resolver el sistema (si es posible) para m=-1. (Septiembre 94)

8) Dado el sistema de ecuaciones 2x+y+z=1 ; x-y+z=2. Se pide:

a) Estudiar su compatibilidad.

b) Añadir al sistema dado una ecuación de tal forma que el sistema resultante tenga

solución única. Justificar la respuesta y encontrar dicha solución.

c) Añadir al sistema dado una ecuación de tal forma que el sistema resultante sea

incompatible. Justificar la respuesta. (Jun-96)

9) Estudiar la compatibilidad del sistema de ecuaciones

- pág 39 -

2x y z t

x + ty + z = 5

x y z = 4

⎧⎪ − − =⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪ + +⎪⎪⎩

y resolverlo cuando tenga solución. (Set-96)

10) Estudiar el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro a ∈ .

ax + y + z = 2a

x - y + z = a - 1

x + (a - 1)y + az = a + 3

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

Resolverlo (si es posible) para a= -1. (Junio-97)

11) Estudiar el sistema según los valores del parámetro a ∈ .

x + ay + z = 3a

x - y + z = 2

ax + y = 4a

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

Resolverlo (si es posible) para a=2. (Septiembre-97)

12) Discutir y resolver, según los diferentes valores del parámetro a, el sistema de ecuaciones

lineales:

x + y +(a +1)z = 1

ax = 2

ay + 2z = 0

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(Septiembre- 99)

13) Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales según los diferentes

valores del parámetro a, y resolverlo cuando sea posible:

x - y = 5

y + z = a x - 2z = 3

2x - 3z = a

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(Junio-2000)

14) Discute y resuelve - en los casos que sea posible - el siguiente sistema:

ax y z = 1

x 2y z 2

x 3y z 0

⎧⎪ + −⎪⎪⎪⎪ + + =⎨⎪⎪⎪ + − =⎪⎪⎩

(Junio-2001)

- pág 40 -

15) Clasifica el sistema según los valores de m y resuelve cuando m=-1, 2

x 2y 3z 22x 5y 4z 1x 3y m z 3m

+ + =⎧⎪ + + = −⎨⎪ + + =⎩

(Sept-2001)

- pág 41 -

ESPACIO AFÍN --

1) Hallar las ecuaciones paramétricas y continuas de las rectas:

a) pasa por A(1,0,-2) con vector director v=(2,1,-3).

b) pasa por B(2,0,-2) con vector director v= (-1,-1,5).

2) Ecuaciones de las rectas que pasan por:

a) A(3,0,1) y B(2,-3,0) b) C(-3,-1,2) y D(0,-1,0)

3) Hallar las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas: x - y - z = 0

a) 2x - y + 1 = 0

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

3x - y + 3 = 0 b)

2x - y - z = 0

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

4) Hallar las ecuaciones paramétricas y cartesianas de los ejes y planos coordenados.

5) Ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,1,2), B(-1,3,5) y C(4,-3,8).

6) Escribir la ecuación paramétrica del plano 3x + 2y - 7z = 9.

7) Dada la recta r: x + 2 y - 1 z = = 3 2 4

, hallar las ecuaciones de dos planos que determinen r.

8) Hallar los puntos de corte de las siguientes rectas y planos:

a) x - 1 y z - 3 = = 2 3 5

con los planos coordenados.

b) la recta

x = 1 -

y = -3 -

z = 4 -

⎧⎪ λ⎪⎪⎪⎪ λ⎨⎪⎪⎪ λ⎪⎪⎩

con el plano x - y + 3z + 1 = 0.

c) la recta del apartado a) con el plano 3x - 2y - 5z + 7 = 0.

9) Los puntos A(1,2,0), B(5,3,0) C(2,6,0) y D(3,4,3) son los vértices de un tetraedro. Comprobar

que los puntos medios de los segmentos AB, BD, DC, CA son los vértices de un paralelogramo

y por lo tanto están en un mismo plano. Hallar la ecuación de este plano y comprobar que es

paralelo a las aristas CB y AD.

10) Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

a) 1 2x - 2 y z x y - 1 z - 1r r: = = : = =

3 -1 4 -1 2 -3

b) 1 2

x = - tx - 3 y z + 1r r: = = : y = 1 + 5t

2 -5 9z = 1 + 9t

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

11) Dadas las rectas 1 2x - 2 y - k z x + 2 y - 1 z - 3r r: = = y : = = 2 3 -1 -1 2 3

a) Hallar k para que se corten en un punto.

b) Hallar la ecuación del plano que determinan.

- pág 42 -

12) Determinar k para que las rectas 5x y 2kz 7 04x 5y 2z = 3

y kx 3y 4z = 5 10x 9y + z 9 = 02

⎧ + + − =⎪⎧ + + ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪+ + + +⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎩

sean

paralelas. 13) Hallar la ecuación del plano que pasa por A(1,0,1) y es paralelo a las rectas

x - 1 y z + 1 x y + 2 z - 1 = = y = = 2 3 1 2 4 5

14) Dada la recta r: x + 2 y - 1 z = = 3 2 4

:

a) Hallar la ecuación de dos planos que determinen r. b) De todos los planos que pasan por r, hallar la ecuación del que pasa por A(0,-3,2).

15) Probar que las rectas 1 2

x - y - 2z = -1 x + 2y + z = 8r r: y :

7x - 2y + z + 2 = 0 2y + z - 7 = 0

⎧ ⎧⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩ determinan un plano y

estudiar la posición relativa de este plano con la recta 3

3x - 2y + z = 0r :

5x - y - 3z = 0

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩.

16) Se consideran las rectas r, s, t de ecuaciones paramétricas: r: x = 1 + 2a , y = 3 - a , z = 1 + a s: x = 2 - 4b , y = 1 + 2b , z = -2b t: x = 1 + 4c , y = 1 + c , z = 3 + c

a) Discutir dos a dos la posición relativa de estas dos rectas. b) Cuando dos de ellas determinen un plano hallar la ecuación del mismo.

17) Se consideran las rectas 1 2

x 2y 1 = 0 x + y + z 1 0r r: y :

y z 2 = 0 2y 2z a = 0

⎧ − − ⎧ − =⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪− − − + −⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩ , determinar el valor

de a para que estén en un mismo plano. Obtener la ecuación de este plano. 18) Escribir la ecuación del plano que pasa por el origen y es paralelo a las rectas

x - 3 y - 7 z - 8r : = = y s : x = y = z 2 3 4

19) Dados los puntos A(1,0,2), B(0,1,3), C(-1,2,0) y D(2,-1,3), hallar la ecuación del plano π que contiene a la recta que pasa por AB y es paralelo a la recta que pasa por CD.

20) Determinar m y n para que sean paralelos los dos planos siguientes: 3x - my + 4z + 9 = 0 y 9x - 3y + nz - n = 0.

21) Siendo r la recta determinada por las ecuaciones x - 2y - 2z = 1

x + 5y - z = 0

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ y el planoπ definido por π :

2x + y + mz = n, determinar m y n de modo que: a) r y π sean secantes. b) r y π sean paralelos. c) r esté contenido en π .

- pág 43 -

22) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y corta a las rectas:

x y - 1r : = = z 2 3

y s: x = 2y = z - 1.

23) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,1,2) y corta a las rectas: x - 1 y z - 1 x y z + 1r : = = y s : = = 3 2 -1 2 1 2

24) Estudiar según los valores del parámetro la posición de los siguientes planos:

3x + 3y - z = 0 2x - ay + z = 0 y + 2z = 0

1) -4x - 2y + mz = 0 2) x + y + 7z = 0 3) 3y + z = 0

my + z = 03x + 4y + 6z = 0 x - y + 12z = 0

⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎩⎩ ⎩

2

3x + 2y + az = 1 ax + y + z = 1 ax + y + z = 1

4) 5x + 3y + 3z = 2 5) x + ay + z = 1 6) x + ay + z = a

ax + y + az = ax + y - z = 1 x + y + az = 1

⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x ay + z = a 2 (a 2)x + y + z = a 1 2x ay + 4z = 0

7) x + y + az = 2(a 1) 8) ax + (a 1)y + z = a 1 9) x + y + 7z = 0

ax + y z = a ax y +13z = 0(a 1)x + (a 1)z = a 1

⎧ ⎧⎧ ⎪ ⎪⎪ + + + − −⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪− + − −⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+ −+ + −⎪ ⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎩⎪⎩

25) Se consideran las rectas

x = 1 + 4tx - 3 y - 3 z + ar : = = y s : y = - 1 + 3t

2 -1 2z = -4 + 5t

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

determinar a para que

se corten. )Pueden ser coincidentes?

26) Determinar a para que las rectas x - 2z = 1 x + y + z = 1

r : y s : y - z = 2 x - 2y + 2z = a

⎧ ⎧⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩ estén situadas en un

mismo plano. Hallar la ecuación de éste.

- pág 44 -

– ESPACIO EUCLIDEO –

1) Dados los vectores u = (3, -1, 4), v = (-1, 3, -2) y w = (5,0,2), calcular: a) u v, u w , v w

b) u v, u w, v w

c) u (v w)

⋅ ⋅ ⋅

∧ ∧ ∧

⋅ ∧

2) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,-5,3) y es perpendicular al plano

x = 2 - 3 + 5

: y = 4 -

z = + 2

⎧⎪ α β⎪⎪⎪⎪π α β⎨⎪⎪⎪ α β⎪⎪⎩

3) Hallar el plano perpendicular que pasa por el punto medio de los puntos (2,1,-3) y (-4,2,2).

4) Hallar tomando dos a dos la distancia entre los puntos A(2,1,-3), B(0,4,-1) y C(2,3,7).

5) Calcular la distancia del punto (2,-1,3) al plano 3x+2y+3z+5=0.

6) Distancia al plano (x,y,z,)= (2,0,3)+ α (-4,9,2)+ β (5,-3,8) del punto (0,-5,2).

7) Distancia entre los planos 2x+5y-z+5=0 y 2x+5y-z+9=0.

8) Distancia del punto (-2,1,3) a la recta x - 1 y + 2 z = = 2 3 -2

.

9) Distancia entre las rectas:

a) x - 2 y +1 z + 3 x - 4 y + 6 z = = ; = = 3 4 -2 3 4 -2

b) x - 1 y + 2 z - 1 x + 2 y - 2 z + 5 = = ; = = 2 3 2 -5 4 -3

10) Distancia de la recta x - 2 y - 1 z +1 = = 3 4 2

al plano 2x-y-z+6=0.

11) Dados los puntos A(3,1,-2), B(4,0,-4), C(4,-3,3) y D(6,-2,2) hallar el ángulo que forman las

rectas AB y CD.

12) Ángulo entre la recta x - 1 y - 2 z - 5 = = 3 1 4

y el plano 2x+7y-6z+1=0.

13) Ángulo entre los planos 2x-y+z-7=0 y x+y+2z-11=0.

14) Calcular el área del triángulo de vértices A(1,0,3), B(-2,5,4) y C(-1,4,7).

15) Calcular el volumen del tetraedro de vértices (1,1,1), (2,-1,3), (5,4 -2) y (3,-7,5).

16) Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,2,2) y es perpendicular a las

rectas de ecuaciones: 1 2

x + 2y - 3z = 1 3x - y + 3z = 0r r: :

x + 2y - z = 0 x + 4y - 2 = 0

⎧ ⎧⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩

- pág 45 -

17) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(1,0,2), es paralelo a la recta x - 1 y - 2 z - 1 = = 2 3 1

y es perpendicular al plano 2x-y+z-1=0.

18) Hallar el simétrico del punto (0,1,4) respecto de :

a) El punto (-1,2,3).

b) La recta x - 1 y + 2 z - 3 = = 1 2 3

.

c) El plano 4x-2y-3z+4=0.

19) Dadas las rectas 1 2

x = 1 + x =

r : y = - r : y = - 2

z = 2 - 3 z = 2 - 3

⎧ ⎧⎪ ⎪λ λ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪λ λ⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪λ λ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩

determinar dos puntos P y Q en r1 y r2

respectivamente para que el vector PQ sea perpendicular a ambas rectas. Calcular la

distancia entre esas rectas.

20) Calcular la ecuación del plano paralelo a las rectas

x - 1 y z x y - 1 z + 2 = = y = = 2 3 -1 3 2 -2

y que determine con los planos coordenados un tetraedro de volumen 3.

21) Un tetraedro tiene tres vértices A(2,1,0), B(3,4,0) y C(5,1,0) en el plano OXY y el cuarto

vértice D sobre la recta

x = 1 -

y = 2 +

z = 3 +

⎧⎪ λ⎪⎪⎪⎪ λ⎨⎪⎪⎪ λ⎪⎪⎩

, hallar las coordenadas del cuarto vértice D para que el

volumen del tetraedro valga 6.

22) Las rectas r1, r2 y r3 determinan tres puntos de corte A, B y C respectivamente sobre el plano

π : 5x-4y+7z+1=0. Hallar el área del triángulo ABC.

1 2 3

x y z x - 1 y z x - 2 y - 2 zr : = = r : = = r : = = 1 1 1 2 3 2 -1 2 3

23) Determinar un punto de la recta x - 1 y +1 z + 2 = = 2 3 2

que equidiste de los planos 3x+4y-1=0 y 4x-3z-1=0. ¿Es única la solución?

24) Hallar la ecuación del plano paralelo al de ecuación 2x-2y+z-8=0 y que equidiste 6 unidades del

mismo.

25) Hallar la ecuación del plano que pasando por A(0,2,0) y B(0,0,2) corte al eje OX en un punto

C tal que el área del triángulo ABC valga 4 unidades.

26) Hallar el volumen del tetraedro que forman los planos y=0; z=0; x-y=0 y 3x+2y+z-15=0.

27) Un tetraedro tiene de vértices A(1,1,1), B(-2,1,0), C(2,3,-1) y D(4,6,-5). Hallar la longitud de la

- pág 46 -

altura correspondiente a la cara ABC.

28) Hallar un punto del plano y=0 que esta sobre la recta que siendo perpendicular al plano del

triángulo (0,0,0), (1,0,0) (1,1,1) pasa por el baricentro de este triángulo.

29) Hallar la ecuación del plano perpendicular a la recta de ecuación x - y + z = 0

y + z = - 1

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ y que dista

una unidad del origen de coordenadas. ¿Existe una única solución?

30) Un cubo (exaedro regular) tiene los vértices de una de sus caras en los puntos de coordenadas

A(3,0,0), B(0,3,0), C(-3,0,0), D(0,-3,0) y los otros cuatro vértices A', B', C' y D' tienen su

tercera coordenada positiva (siendo AA', BB', CC' y DD' aristas del cubo). Se pide:

a) Determinar razonadamente las ecuaciones de las seis caras del cubo y las de los planos

ACB' y BDA'.

b) Determinar el coseno del ángulo formado por los dos últimos planos citados.

31) Se considera el plano de ecuación x+3y+z=7, y los puntos A(1,1,1) y B(2,1,-1). Se pide:

a) Ver que A y B están al mismo lado del plano.

b) Encontrar el punto C situado sobre la perpendicular al plano que pasa por B, a igual

distancia del plano que B, pero al otro lado (es decir, C es el simétrico de B respecto

del plano).

c) Determinar el punto D en que la recta AC corta al plano.

d) Ver que D es el punto del plano cuya suma de distancias a A y B es mínima.

32) Encontrar la ecuación del plano paralelo al de ecuación x+y+z=1, determinado por la

condición de que el punto A(3,2,1) equidiste de ambos.

33) Encontrar los puntos situados a distancia 5 del origen y pertenecientes a la recta que pasa por

A(1,2,5) y B(6,5,6).

34) Para cada t se consideran los planos tπ de ecuación (1+2t)x + (1-t)y +(1+3t)z +2t - 1= 0

Demostrar que todos los planos tπ pasan por una recta r y hallar la distancia entre la recta r

y la recta s: x - 1 y + 1 z - 2 = = 1 2 3

.

35) Hallar el volumen del tetraedro de vértices A(0,a,a), B(a,0,a), C(a,a,0) y D(a,a,a).

pág 47

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA DE SELECTIVIDAD

1) Estudiar la compatibilidad del sistema:

x + 2y + z = 1

3x - 4y + 5z = 4

2x - y + 3z = 2

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Si las ecuaciones del mismo representan, respectivamente a los planos P1, P2, P3, aplicar el estudio que acaba de hacerse para decidir si:

a) los tres planos son incidentes. b) el vector 1 2v = p p∧ es paralelo a los tres planos (siendo 1 2 y p p los vectores característicos de los planos P1, P2) (Junio 88) 2) Dados los puntos del espacio tridimensional: P(4,0,-1); Q(2,2,3), se pide:

a) la ecuación del plano π , sabiendo que Q es simétrico de P respecto de dicho plano.

b) la ecuación del plano paralelo al anterior e incidente con P. (Septiembre 88) 3) Estudiar la posición relativa de los siguientes planos:

1π : ax + y + z = 1

2π : x + ay + z = 1

3π : x + y + az = 1 según los valores del parámetro a ∈ . (Junio 89)

4) Razonar si los puntos A(0,-1,2), B(1,3,4), C(0,1,7) y D(1,-1,2) son coplanarios o son los vértices de un tetraedro. Si forman un tetraedro, hallar su volumen. (Junio 89)

5) Dadas las rectas x - y + z - 1 = 0 x - y - 3 = 0

r : s : x + 2y + z + 2 = 0 2y + z = 0

⎧ ⎧⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩

comprobar razonadamente que se cruzan. (Junio 89) 6) Sean los puntos A(1,1,1), B(3,0,2), C(5,-2,2) y D(2,1,t). Hallar t para que los cuatro

puntos determinen un plano. Hallar el área del polígono ABCD para el valor de t hallado previamente.(Junio 89 y Junio 90)

7) Dadas las rectas 5x - 2y - 1 = 0 x + 3 y - 4 z - 5r : y s : = = 3x - 2z - 3 = 0 3 2 2

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ que se cruzan, se pide

determinar el plano paralelo a ambas y equidistante de ambas. (Septiembre 89)

8) Dados los puntos A(3,-2,0) y B(1,-2,-2) y la recta r: x=y=z. Calcular la distancia desde el punto B al plano que contiene a r y al punto A. (Junio 90)

9) Ecuación del plano que pasa por el punto P(-1,1,2), es perpendicular al plano x - y - 2z =

0 y paralelo a la recta x - y = 0

r : z = 2

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ (Septiembre 90)

10) Obtener la ecuación de un plano que contenga a la recta r y sea perpendicular al plano •,

pág 48

siendo:

xx 1 y 1 z 1r : = = y s : y

2 3 1z

⎧ = λ − µ⎪⎪⎪− − + ⎪⎪ = λ⎨⎪− − ⎪ = µ⎪⎪⎪⎩

(Junio 91)

11) Calcular "t" para que las rectas r y s se corten en un punto. Encontrar ese punto

x + 2y + z = tx - 1 y + 4 z +1r : = = s : 2x - y - z = - 22 3 5

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ (Junio 91)

12) Determinar las ecuaciones de la recta simétrica de la recta r: x-1 = y-2 = z-3 respecto

del punto P(3,2,1). (Septiembre 91)

13) A(1,3,2) y B(2,5,1) son dos vértices de un triángulo que tiene su tercer vértice situado en

un punto arbitrario (variable) de la recta:

x - 2 y - 4 z - 3r : = = 2 4 -2

Calcular el área de los diferentes triángulos formados por A, B y el tercer vértice en r. ¿El

valor de dicha área depende de donde se sitúe el tercer vértice? (Septiembre 91)

14) Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(5,0,1): B(4,1,0) y es paralelo a la

recta

x - 2y + 3z = 0

r : 2x + y - z = 5

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ (Junio 92)

15) Calcular la distancia entre las rectas r y s, siendo:

x - 3y - 11 = 0x - 2 y z - 1r : = = s : 4y - z + 4 = 03 1 4

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ (Junio 92)

16) Determinar t ∈ para que las rectas r y s se corten en un único punto. Obtener el

punto de corte.

x + y + z = 2 tx - y - z = 1

r : s : x + 2y - 3z = 8 x - y + z = - 2

⎧ ⎧⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩ (Septiembre 92)

17) Hallar la ecuación del plano que es perpendicular al plano 2x - y + 3z -1= 0, paralelo a

la recta x +1 y z - 8 = = 2 3 -1

, y pasa por P(1,1,1). (Septiembre 92)

18) Estudiar la posición relativa de los siguientes planos:

1

x = 1 + 3t + s

: y = - 2t

z = t - s

⎧⎪⎪⎪⎪⎪π ⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2π : x + 2y + z + 3 = 0

Calcular la distancia entre ambos planos. (Junio 93)

19) Estudiar si los puntos A(2,-1,0); B(3,0,1) y C(-1,2,1) están alineados. Calcular a y b para

que el punto D(a,b+1,2) pertenezca a la recta AB. (Junio 93)

pág 49

20) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta x + y = 2

r : y = 2z

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ y pasa por los puntos

P(1,0,-1) y Q(2,1,2). (Septiembre 93)

21) Dados los puntos A(1,2,3), B(0,1,1), C(-1,2,0) y D(0,1,3) estudiar si son coplanarios. Si

no lo fueran, obtener el volumen del tetraedro que forman. Hallar la distancia de C al

plano determinado por A,B,D. (Septiembre 93)

22) Dada la recta "r" de ecuaciones x=1+t; y=t; z=-1-t; y la recta "s" de ecuaciones

x+y+2=0; x-z+1=0. Se pide: (i) Estudiar su posición relativa.

(ii) Hallar la ecuación de una recta que pase por el origen de coordenadas y sea

perpendicular a las rectas dadas. (Junio-96)

23) Hallar las coordenadas del punto simétrico de A(-2,-2,-3) respecto del plano de ecuación

general 2x+y+z-3=0. (Junio-96)

24) Los puntos A(1,2,0) B(2,5,0) y C(3,3,1) son tres vértices consecutivos del paralelogramo

ABCD. Se pide:

i) Coordenadas del vértice D.

ii) Coordenadas del centro del paralelogramo.

iii) Distancia del vértice B a la diagonal AC. (Septiembre-96)

25) Hallar la ecuación de un plano que contiene a la recta "r" de ecuaciones 3x-2y-5=0;

x+z+1=0 y es perpendicular al plano 2x-3y+z-4=0. (Septiembre-96)

26) Estudiar la posición relativa de las rectas r y s.

x + 3y + 4z - 6 0

r : 2x + y - 3z + 2 = 0

⎧ =⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩;

x = 2t - 1

s : y = t + 1

z = - 3t + 2

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

. Calcular la distancia entre ambas rectas. (Junio-97)

27) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,2,-1), es perpendicular a la recta 3y + z = 7

r : x + 4y + z = 8

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ y paralela al plano 2x+y-z=3. (Junio-97)

28) Posición relativa de la recta x - 3 y - 1 z + 2 = = 5 2 - 1

, y el plano x-3y-z+6=0.

Calcular la distancia entre la recta y el plano. (Septiembre-97)

29) Ecuación de la recta que pasa por A(2,-1,3) y es perpendicular al plano que pasa por

los puntos B(1,1,0), C(0,-1,2) y D(-2,2,1). Calcular el volumen del tetraedro ABCD. (Septiembre-97)

pág 50

30) Estudiar la posición relativa de las rectas

x = - 7 + 4t

r : y = 1 - t

z = 2

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

; x - 3 y + 4 z s : = = 2 - 3 - 2

Hallar la ecuación de un plano que contenga a ambas rectas. (Junio- 98)

31) Hallar el ángulo que forman la recta r: x - 1 y - 2 z + 1 = = 2 1 1

y el plano: x+2y-z-3=0.

Obtener el punto de corte de la recta y el plano. (Junio- 98)

32) Estudiar si las rectas r y s son coplanarias. En caso afirmativo, dar la ecuación del

plano que las contiene: 2x - 3y + 13 = 0

r : 2y - z - 4 = 0

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ ; x - 1 y + 2 z - 1s : = =

3 2 4

(Septiembre- 98) 33) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P:(3,-4,7) y es perpendicular al plano

π :2x-3y+z-11=0. Hallar el punto simétrico de P respecto del plano π . (Set- 98)

34) Hallar la ecuación de la proyección ortogonal r' de la recta x - 1 y - 1 z - 2r : = = 2 1 2

sobre el plano α : x-3y+2z+12=0. (Junio- 99)

35) Dados el punto P(2,1,2) y la recta

x = 2 + t

r : y = 3 - t

z = 4 - 3t

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

determinar la ecuación del plano que

contiene a ambos. (Junio- 99)

36) Dados los planos α :x+y+z=1, β :ax+y=1 y γ :x+(a+1)z=0, determinar los valores

de a para los cuales: 1) los planos se cortan en un sólo punto; 2) se cortan en una

recta de puntos. (Junio- 99)

37) Dadas las rectas x =

x - 3 y z - 1r : = = y s : y = - 2 1 1

z = -

⎧⎪ µ⎪⎪⎪⎪ µ⎨⎪⎪ µ⎪⎪⎪⎩

, hallar los puntos que dan la

mínima distancia y determinar la ecuación de la perpendicular común a ambas rectas. (Set- 99)

38) Hallar la distancia del punto P(1,2,3) a la recta r de ecuaciones ,

x = t

r : y = 6 - t

z = 2 + t

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

determinando el punto de la recta que dista menos de P. (Septiembre- 99)

39) Hallar la distancia del punto P(2,4,1) al plano α : 3x+4y+12z-8=0, y encontrar el

punto del plano que da la mínima distancia del punto P. (Junio-2000)

40) Hallar el punto simétrico del punto A(1,2,3) respecto a la recta:x - y + 1 = 0

r : 2x - z - 1 = 0

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

pág 51

(Junio-2000)

41) Dados los puntos A(-2,-4,-3) y B(2,6,5), y la recta x - y + z = 1

r 2x + y - 3z = 2

⎧⎪⎪⎪≡ ⎨⎪⎪⎪⎩, averiguar si

existe alguna recta tal que contenga los puntos A y B y corte a la recta r. Razonar la

respuesta. (Set-2000)

42) Hallar el punto simétrico del punto A(2,-3,5) respecto del plano α ≡ x-3y+4z+21=0. (Set-2000)

43) Estudiar la posición relativa de los planos α ≡ x+y=1, β ≡ ax+z=0 y γ ≡ x+y+z=2,

según los diferentes valores del parámetro a. (Set-2000)

44) Dadas las rectas

x = 1 +

r y =

z = -

⎧⎪ λ⎪⎪⎪⎪≡ λ⎨⎪⎪⎪ λ⎪⎪⎩

x =

s y = 2 + 2

z = 0

⎧⎪ µ⎪⎪⎪⎪≡ µ⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a) Estudia la posición relativa de las rectas r y s.

b) Halla la ecuación de una recta que sea perpendicular simultáneamente a r y s. (Junio-2001)

45) Determina las coordenadas del punto simétrico del A(-2,1,6) respecto de la recta

x + 1 y - 3 z + 1r = = 1 2 2

≡ (Junio-2001)

46) Halla el valor de k para que las rectas x y 2

ry z 3+ =⎧

≡ ⎨ − =⎩ y

y 3z ks

y 2z 2− =⎧

≡ ⎨ − =⎩ se corten.

Halla el punto de corte. (Setiembre-2001)

47) Halla • para que el plano • 2x y z 1≡ + λ − = y la recta x y 1

r2x y z 2

+ =⎧≡ ⎨ + − =⎩

sean

paralelos.

¿Puedes encontrar otro valor de • para que sean perpendiculares? (Setiembre-2001)

pág 52

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS DE 2º DE

BACHILLERATO

Página 1

1) a) x=4

b) x=2 ± 5 , x=2± 3

2)

a) (-∞,2)∪(2,3)∪(3,+∞)

b) (-∞,-1]∪(0,1]∪(2,+∞)

c) (-∞,-4]∪[4,+∞)

d) (-∞,-2)∪(2,+∞)

e)

f) -{(2k+1)π/2} (Todos los reales menos

los múltiplos impares de π/2)

3) a) -∞ b) 0 c) - 116

d) 57

e) ±∞ f) 3

4) No. Si.

5) a) En x=2 discontinuidad evitable y en

x=5 discontinuidad de salto infinito.

b) Discontinuidad de salto finito en x=0.

6)

a) x=0 discontinuidad de salto infinito.

b) Discontinuidad evitable en x=-2 y de

salto infinito en x=2.

c) y d) x=0 discontinuidad de salto finito.

e) Continua en .

7) a=1

8) 1 4a = b = -4 25

9) a=3, b=-1

10) x=0 continua por la izquierda. En x=1

continua por la derecha y en x=5 discontinua

de salto finito.

Página 2

11) x=3 discontinuidad infinita

12) Continua en .

13) b= - 2π

14) a=0 pero entonces f(x)=0.

15) a=-3

16) b=-5 y en x=1 y x=2 discontinua de

salto infinito.

17) k=-2

18) a) a= -8 b) a= 12

c) a= 12

19) K= - 92

20) 1 1a = - b = 32 32

21) a) mínimo y cota superior x=0

Máximo y cota inferior en x=1.

22) x=-2 discontinuidad de salto finito.

Si, c= 0 y c= π

Página 3

23) b= - 74

. No.

Del 24) al 29) Aplicar el teorema de

Bolzano.∈

30) k ∈ [-2,2]

32) Si.

34) a) Falsa, b) Verdadera y c) falsa.

35) x1∈(-1,-0.5); x2∈(-0.5, 0); x3∈(2, 2.5);

x4∈(2.5, 3)

Página 4

1) a) m=-1

b)

2) ------

3) a) x=-1 discontinua y x=0 continua y

derivable.

b) x=-1 discontinua, x=1 continua y no

derivable.

pág 53

c) Continua y derivable en �.

d) Continua en , no derivable en x=0.

4) x=-1

5) x=2 y x=4

6) Tangente:5x-y-3=0; Normal: x+5y-37=0

7) Tangente: y=3

8) x=0, x=2, x=134

9) TG: y =3 ; Normal: x=2

10) La primera derivada existe en todo y la

segunda no existe en x=0.

11) 4x-y-4=0

12) 1) 53

; 2) 16

; 3) 1;

Página 5

4) 1 ; 5) e-6; 6) 6 ; 7) e40 ; 8) e5;

9)38e− ; 10) 1 ; 11) 1/2

16) a) En x=2 continua y no derivable.

En x=4 discontinua.

b) En x=0 es continua y no derivable

y en x=1 discontinua.

c) En x=0 no es continua y en x=1

continua y no derivable.

Ejercicios sobre los teoremas de Rolle,

Lagrange, Cauchy

1) Si lo cumple y c=2/3 c∈[0,2].

2) No es posible pues no es continua en x=0.

3) No pues no es continua en x=4.

4) a=10/3, b=-8/3, c=9.

5) Si es posible y es c=13/20.

6) a=2, b=19.

7) Si se puede y es c=2.

8) a) Si y es c=1/2

b) Si y c=π/2

Ejercicios de Selectividad de Continuidad y

Derivabilidad Página 6

1) a=1/3, b=2/3

2) Continua en todo

y derivable en -{-1}

3) En x=0 discontinuidad de salto finito,

en x=π/2 si es continua pero no derivable

4) a=1, b=4 ;en x=0 si es derivable

f’(0)=0 pero en x=1 no es derivable

5) a=1, b=6; en x=0 no es derivable

6) a=2, b=0 y no es derivable en x=1

7) Es continua en -{1} y no es derivable

además de en el x=1, en el x= -1

Página 7

8) 0

9) a=0, b=3 ; no es derivable ni en x=0 ni

en x=1 en el resto de si es derivable

10) 1/3

11) Es continua en todo y derivable

también excepto en x=1

12) a) k=6 b) Si es derivable

13) 1/2

14)Para que sea continua a= 14

− ; b=1

Si es derivable en { }4−

15) 2

Página 8

Aplicaciones de la Derivada

1) 1) 2) x= -1/2 mínimo

2) Crece en (-1,1) y decrece en el intervalo

( ) ( ), 1 1,−∞ − ∪ ∞ Máximo en x=1.

3) Mínimos absolutos en x=-1 y x=3.

Máximos absolutos en x=-2 y x=4.

Máximo relativo en x=1.

4) Crece:(1/2,3). Decrece: ( ) ( )1, 3,2−∞ ∪ +∞

Mínimo en x=1/2. Máximo en x=3

5) Crece en ( 1 ,e+∞ ). Decrece en (0, 1

e).

Mínimo relativo en 1e

.

pág 54

6) Crece : (-1,+∞). Decrece en (-∞,1).

Mínimo relativo en x=-1.

7) Si m<0 crece en -{1}.

Si m>0 decrece en -{1}.

8) a) Máximo en x=1- 2 .

Mínimo en x=1+ 2 .

b) Mínimo en x=-1.

c) Máximo en x=1.

d) Mínimo en x=2.

e) Máximos en : x= 3± y

mínimos en: x=0 y x=±3.

f) Mínimo en x=0 y máximo en x=-4.

g) Máximos relativos en x = (2K +1)2π y

mínimos en x=Kπ con K ∈ Z.

9) Mínimo absoluto en x=0 y

máximo absoluto en x=2.

10) a=0, b=135, c=81

11) El lado del camino vale 160 m. y el otro

lado 720 m.

12) Cuadrado de lado l=5 2 .

13) R=5, α= 2 radianes.

14) R=2'942. h=2R

15) Los lados valen 5 cm y 10cm.

16) A 3'7 m. de la antena de 4 m.

17) P(1, 6 ) y Q(1,- 6 )

Página 9

18) 32'9m

19) x y + = 14 6

20) α=2π(1- 63

)

21) Crece: (0,e). Decrece (e,∞).

Máximo en x=e

Cóncava hacia abajo ∩ en (0,e3/2)

Cóncava hacia arriba ∪ en (e3/2,∞)

Punto de inflexión en x=e3/2.

22) C. hacia abajo (∩) en (0,1)

C. hacia arriba (∪) en (1,∞)

Punto de inflexión en x=1.

23) x=0 ; x=2

Tangente en x=0: 12x -y -12=0

Tangente en x=2: 4x + y -4 =0

24) C. hacia abajo (∩) en (-∞,-1)

C. hacia arriba en (∪) (-1,+∞)

Punto de inflexión en x=-1.

25) a) C. hacia arriba (∪) en

b) C. hacia arriba (∪) en su dominio.

c) C. hacia abajo (∩) en:

(-∞,0)∪( 3 - 27

, 3 + 27

)

C. hacia arriba(∪) en:

(0, 3 - 27

)∪( 3 + 27

,+∞)

d) Cóncava hacia arriba (∪) en (0,∞)

e) P. inflex en x = - (4n - 3)4π y en

(2n - 1)2π .

f) C. hacia abajo (∩) en (0,e-3/2)

C. hacia arriba (∪)en (e-3/2,∞)

26) Dominio= (-∞,-3]∪(1,∞)

Asíntota Vertical: x=1,

Horizontal: y=1

27) 1) A. Vertical. x=-1, x=1.

A. Oblicua. y=x

2) Máx: x= - 3 . Mín: x= 3

3) P. Inflexión : x=0

5) Crece en (-∞, - 3 )∪( 3 ,∞)

Decrece en : ( - 3 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 3 )

28) a) Impar; b) par; c) par; d) par ;

e) par ; f) par

Página 10

Ejercicios de Selectividad de

pág 55

Aplicaciones de la Derivada

1) Dominio: -{-2,0}. Si x<-1, crece.

Si x>-1, decrece. Máximo relativo (-1,-1).

2) k=3

3) Es creciente en todo su dominio. Cóncava

hacia arriba (∪) en (-∞,0) . Cóncava hacia

abajo (∩) en (0, +∞).

As. Vertical x=0. As. Oblicua y=1/2x-1/2

4) i) Domino de f: -{2/3}.

Domino de g: -{1}

ii) e; ∞

5) As. horizontal y=0 por el -∞ y por +∞.

Si x< 13− ó x> 1

3− es C. hacia arriba∪

Si: 1 1x3 3− < < es C. hacia abajo ∩

Puntos de Inflexión x= 13±

6) As. Vertical x=1. As. Oblicua y=x+1.

Crece en (-∞ ,0) ∪ (2,+ ∞ ). Mín.rel (2,4)

Decrece en (0,1) ∪ (1,2). Max. rel. (0,0)

7) As. Verticales x=2, x= -2.

As. Oblicua y=x.

Creciente en (-∞ , 12− ) ∪ ( 12 ,+∞ )

Decreciente en el resto de su dominio

8) Cóncava hacia arriba(∪ )en

(-∞ ,-1) ∪ (1,+∞ )

Cóncava hacia abajo (∩ ) en (-1, 1).

Puntos de inflexión (-1,1) y (1,1)

9) r = 3 ππ

, h= 6 ππ

10) Máximo relativo ( )3 33 , 2− −

Mínimo relativo ( )3 33 , 2

Punto de Inflexión (0,0)

Creciente en (-∞ , - 3 )∪ ( 3 ,+∞ )

Decreciente ( - 3 ,-1)∪ (-1,1)∪ (1, 3 )

11) x=325 unidades

12) Lado de la base= 3 100 =altura.

Coste=12926’61 €

Soluciones a los EJERCICIOS de

PRIMITIVAS Página 11

1) 21 x6 x - x + k10

2) -ln|cosx| +k

3) tagx - x +k

4) 2

1ln | cosx | + + kcos2 x

5) 32 x1 + + k3

6) 31 x- cos( ) + k3

7) ln|lnx| + k

8) x(lnx -1) + k

9) 2xx.arcsenx + 1 - + k

10) 3 1 1 x + sen2x + sen4x + k8 4 32

11) 31 cos x - cos x + k3

12) 5 31 1cos cosx - x + k5 3

13) 1 1.sen( - 3)x + sen( + 3)x + k

2( - 3) 2( + 3)π π

π π

14) 1 1senx - sen5x + k2 10

15) 1 1 7- cos x- cos x + k2 7 2

16) 5-xe .(-3x - 5) + k

17) 21 1 1x - xsen2x - cos2x + k4 4 8

18) xln | tag | +k2

19) 32

1- + kx3( + 3)

20) 2x 2 65 + 5x - ln | x - 1 | + ln | x - 4 | +k

2 3 3

pág 56

21) 3

2 2x 1 1x x.arctgx - + ln( +1) + k3 6 6

22) 21 1 43

xln | x | ln( 6x 10)+ arctg(x 3)+k10 20 10

− − + −

23) x - 2- ln | x - 1 | + ln | x - 2 | +k = ln + kx - 1

24) 3

1 1- - + kxx +1 3

25) xb a earctag( ) + ka b

26) 25 1 3xln | x +1|+ ln( +1)+ arctagx +k2 4 2

27) 31 xln | x | - ln | + 1 | +k3

28) 21 x2 ln | x | - - ln( +1) - arctagx + kx

29) -2x 3 21 3 3 3e x x( - - x - ) + k2 2 2 2

30) 1 3 2 3x+ 32xln | x - 3 |+ ln( +x+1)+ arctg +k2 3 3

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

31) x1 e (senx - cosx) + k2

32) ( )1 x cos(lnx) + sen(lnx) + k2

33) 3 5 2- ln | x + 1 | + ln | x - 1 | + ln | x + 2 | +k2 6 3

34) xtgx + ln | cosx | +k

35) cosx - 2 arctg(cosx) + k

36) 2x- 1 - arcsenx + x + k

37) 225 x 1 xarcsen + x. 25 - + k2 5 2

38) 2- (1 - 3x). 1 - 3x + k9

39) - ex - 2ln|1-ex| + k

40) ( )34 1 + 1 + x - 4 1 + 1 + x + k3

41) 2xln( + 4 + x) + k

Página 12

Ejercicios de Integrales Definidas

1) a) 1; b) 0 ; c) 3

24π ; d) 3 ; e) 326

15

f) π ; g) 0 ; h) 1 ;

2) a) c= 33

b) c =2π± c) c =

4π

3) f(0)=2 y f '(0)=-2

4) Mínimo en (0, 2'173)

5) 8

6) 1 x - 1 1ln -4 x +1 2(x - 1)

7) Solución:1256

8) 8

9) a=3/4 y b=2. Integr.= 1 3+ +144 ln2 8

13) 3π2 + 8π

14) 204815

π

15) 23

8π

16) 1/6

17) a)397/3 b) 75/4 c) 1/12 d)1/96 Página 13

Ejercicios de Selectividad de Cálculo

Integral

1) 5'9

2) c=1'41

3) 3e + 218

4) 23 2xln | x - 1 | + ln(1 + ) - arctgx + k2 3

5) 4 - 3 324

π

6) 4- ln23

7) 1 e( +1)2

π

8)8π2-2π

9) 1256

10) 2x 21 e x.( - 1) + k2

11) 6π2

12) 21 2 8xln | x - 2 | + ln(1 + ) + arctgx + k5 5 5

pág 57

13) 16/3

14) 32/3

15) 1 x + 22 ln | x - 1 | - ln + k2 x

16) 21 1 1x- cos2x x·sen2x + cos2x k2 2 4

+ +

17) π/24

Página 14

18) 21 5 8

x 2x ln x ln x 1 ln x 2 k2 3 3

− + + + − − +

19) 21 2 x +1xln( + 2x + 3) - arctg( ) + k2 2 2

21) 3

1 1- + ksensenx 3 x

22) 6253π

23) 1 1l n x +1 ln x 1 k2 2(x 1)

− − − − +−

24) 36

25) 31 1 (x 1)+ ln + k

x +1 2 x +1−

26) π/5

27) 1 senx + ksenx

− −

28) 1856

−

29) 7/6

30) - x2 e-x-1-2xe-x-1-2e-x-1+k

31) Dudoso recinto; sin eje OX,

sería 21ln2128

−

32) 1L | x | +L x 1 + kx 1

− +−

33) 2 3x·sen 3x cos 3x + k3⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

34) 32/3

35) 9/4 Página 15

36) 5x 5x(2x 4) 2e e k5 25

− −+− − +

37) Recta Tangente y=2x+1. Área=1/2

38) 5 20L x 1 L x 4 x + k3 3

− − + − +

39) 32/3

40)

( )2 4 x 2x 2L x 4x 13 arc tg k

3 3−

+ − + − +

41) 2 22 4x 4x1 1x e e k

8 32− −− − +

42) 9

43) 1 2 3L x L x 3 L x 2 + k6 15 10

− − + + −

44) Dudoso recinto: ó 116/3 ó 335/6

45) 7/6

46) 23 3 x 1L x 2x 3 arc tg k2 2 2

⎛ ⎞+ ⎟⎜+ + − +⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

47) -L|x|+L|x2+1|+k

48) c) 8/3

49) 1 1 2ln x ln x 2 C2 2 x 2

− − − +−

Página 21

Ejercicios de Selectividad de Matrices y

Determinantes

1) 2 3

-1

2

1 1 (a - 1)- - aa a

= 0 1 1A - aa

0 0 1a

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟⎜ ⎟

2) Si x=1 o x=-1 rango=3 , si no es 4

3) a)Si t≠1 y t≠-1 ⇒ rg=3 ;

b) Si t=1 ⇒rg=1; c) Si t=-1 ⇒ rg=2. 4) a)Si t≠1 y t≠-1 ⇒rg=3 ; b) Si t=1 ⇒ rg=2 ; c) Si t=-1 ⇒ rg=2. Existe inversa para t≠1 y t≠-1.

pág 58

5) t=0 ⇒ rg=1 ; Si t≠0 ⇒ rg=2.

6) 0- 10 8 30X = 25 - 22 - 2 0- 12 11 2

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

7) Para t=0 1

2 1 1/4A 1 1 1/4

0 0 1/2

−

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

8) 2 0 0

X = 0 2 1

1 3- - 02 4

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠⎜ ⎟

9) a)Para t≠0 , t≠1 y t≠3/2 ⇒ rg(A)=3 y existe A-1 b) Si t=0 ⇒ rg(A)=2 c) Si t=1 ⇒ rg(A)=2

d) Si t=3/2 ⇒ rg(A)=2.

Página 22

10) a)Para t≠0 , t≠1 y t≠2 ⇒ rg(A)=3

y existe A-1

b) Si t=0 ⇒ rg(A)=2;

c) Si t=1 ⇒ rg(A)=2

d) Si t=2 ⇒ rg(A)=2.

11) 5 010 30

0X = - 13 - 37 - 3 0- 3 - 10 - 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

13) Si t≠-1 ⇒ rg(A)=3;

Si t=-1 ⇒ rg(A)=2;

14) 29/12 3/2 11/ 4

5/ 4 7 /2 1/ 4X

−

−

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

15)

22 46 73

X 50 106 168

40 84 133

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜− − − ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

16)

0 0 0

X 0 1/4 0

0 0 0

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

17) Si a≠0 ⇒ rg(A)=3;

Si a=0 ⇒ rg(A)=2. No

18)

1 0 0

X 0 3 0

0 0 1

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ − ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

Página 23

19) Si t≠0 ⇒ rg(A)=3;

Si t=0 ⇒ rg(A)=2. No

20) x=±1 1

1/3 0 2/3

A 1/3 1 2/3

2/3 0 1/3

−

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜

21) 4 3

X3 2

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

22) 3 3

X4 6

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ,

1 3Y

2 7

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

23)

1 2 1

X 0 2 1

0 2 2

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ − ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

24) a) 1

1/3 2/3 0

A 0 0 1

0 1 0

−

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

b)

0

X 0

1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

25) 1º) 1

7 1 3

(A BC) 5 1 2

6 1 3

−

⎛ ⎞− − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− = − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜− ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

2º)

11 13 21

X 8 9 10

10 12 18

⎛ − ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎟

Página 24

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES

1. 1) x=4,y=2,z=5 ; 2) x=4,y=5,z=2

3) x=16,y=2,z=4 ; 4) x=1,y=-2,z=3

5) x=5,y=4,z=-1 ; 6) x=1,y=5,z=9

pág 59

2.1) Compatible ∀a, x=2a - 13

, y= a2- 3

2.2) Si a≠±2 sistem. compat. determinado

x= 6a + 2

,y= 3a + 2

;

si a=2 comp.indet. x=3-2λ, y=λ;

si a=-2 sist. incompatible.

2.3) Si a=0 sist.incompat.;

si a=-1 sist. incompatible;

si a≠0 y a≠-1 sist.comp.det.

x=2(a + 2)a +1

, y= (a + 3)-3a(a +1)

2.4) Si a=8/3 sist.incompat.;

si a=1 sist. incompatible;

si a≠8/3 y a≠1 sist.comp.det.

x= a - 4(3a - 8)(a - 1)

,y=2

2

a2( - 4a + 5)a3 - 11a + 8

,

z= 2 - a(3a - 8)(a - 1)

2.5)Si a≠1 y a≠-2 sist.compat. determinado

x=y=z= 1a + 2

;

si a=1 sist. comp. indet. biparamétrico,

x=1-y-z;

si a=-2 sistema incompatible.

2.6) Si a≠1 y a≠-2 sist. compat. determ.

x= a +1- a + 2

, y= 1a + 2

,z=2(a +1)

a + 2

si a=1 sist. comp. indet. biparamétrico,

x=1-y-z;

si a=-2 sistema incompatible.

2.7) Si a≠1 y a≠-2 sist.compat.determinado

x= aa - 1

, y= a + 2a - 1

, z= 2(a +1)- a - 1

si a=1 sist. incompatible;

si a=-2 sistema compatible indeterminado.

x= 3 + 43

λ , y= 3 + 23

λ , z=λ

2.8) Si a≠0 , a≠1 y a≠-1 sistema

compatible

determinado x= a - 2a +1

, y= 2a +1

,

z= 1a +1

;

si a=-1 sist. incompatible;

si a=0 sist. compatible indeterminado.

x=-1-λ, y=1+λ, z=λ ;

si a=1 sist. homogéneo con solución

distinta de la trivial x=-λ, y=2λ, z=λ.

2.9) Si a≠3 , a≠-12/7 sist.homogéneo con

solamente la solución trivial;

si a=3 sistema con solución distinta de la

trivial x=-5λ, y=-2λ, z=λ;

si a=-12/7 sistema con solución distinta

de la trivial, x=28λ, y=-35λ, z=λ.

3.1) m=46/3 ; x=22λ/3, y=-7λ, z=λ.

3.2) a=-36/5 ; x=-19λ/2, y=5λ/2, z=λ.

3.3) Ningún valor de m.

4) x=cosa+sena, y=sena-cosa;

a= + 2k6π π ó a= 5 + 2k

6π π

5) a)m=-1 ; b)m=1;

c)si m≠1 y m≠-1 ; d)m=-2/3.

Página 25

6.1)Si m≠1, m≠-3 sist. comp. determinado

x= mm + 3

=y=z=t;

si m=-3 sist. incompatible;

si m=1 sist. compatible indeterminado

triparamétrico.

6.2) Si m≠-7 , m≠-25/7 sist.incompatible;

si m=-7 sist. compatible determinado

x=-26/7,y=-50/7 z=32/7;

si m=-25/7 sist. compatible determinado

pág 60

x=-14, y=-14,z=8.

7.b) x= - 7-5

λ , y= - 25

λ , z=λ .

8) Si t≠0 , t≠1 sist. compat. determinado

x= 1t(t - 1)

, y=3

1- (t - 1)t

;

si t=0 sist.incompatible;

si t=1 sist.incompatible;

luego es t=2; solución es x=1/2 , y=-1/8.

EJERCICIOS de SELECTIVIDAD de

SISTEMAS DE ECUACIONES

1) a=1 sistema compatible, se puede

suprimir la 3ª ecuación.

2)Si t≠4 sistema incompatible;

si t=4 sist. compatible indeterminado

x=-5/2+7-λ, y=-3/2+4λ, z=λ. 3)Si t≠0 y t≠1 sist. homogéneo con sólo la solución trivial; si t=0 con solución distinta de la trivial x=-3λ, y=2λ, z=0; si t=1 con solución distinta de la trivial x=-2λ, y=λ, z=λ.

Página 26

4)Si t≠0 y t≠1 sist. compatible determinado;

si t=1 sistema incompatible;

si t=0 sistema compatible indeterminado

x=1-λ, y=λ, z=-1.

5)Si t≠0 y t≠1 sist. compatible determinado,

x= 11 + t - 1

, y= 1- t - 1

, z= t t - 1

;

si t=1 sistema incompatible;

si t=0 sistema compatible indeterminado

x=1-λ, y=λ, z=0.

6) Sist. incompatible para todo valor de m.

7) Si m≠-2 y m≠2 sist. compat. determinado

si m=2 sistema homogéneo con solución

distinta de la trivial;

si m=-2 sistema incompatible;

para m=-1 compatible determinado

x=-3, y=-3, z=3. 8) i)Es compatible indeterminado

ii) z=0 y la solución es x=1, y=-1, z=0

iii) x-y+z=3

9) Si t≠1⇒ Sist. compatible determinado 2t 4 1 t 9t 11x , y , z

3 t 1 3(t 1)+ − + −= = =

− −,

Si t=1⇒ Sist. incompatible

Página 27

10) Si a≠1 y a≠-1/2 ⇒ Sist. compatible

determinado.

Si a=1 ⇒ Sistema incompatible

Si a=-1/2 ⇒ Sistema incompatible

Para a=-1: x=0, y=0 , z=-2

11) Si a≠0 y a≠-1 ⇒ Sist. compatible

determinado.

Si a=0 ⇒ Sistema incompatible

Si a=-1 ⇒ Sistema incompatible

Para a=2: x=4/3 , y=4/3 , z=2

12) Si a≠0, a≠1, a≠-2 ⇒ Sist. compat.

determinado.

2 2

2 2(a 2) a 2x , y , za a(a a 2) a a 2

− − −= = =+ − + −

Si a=0 ⇒ Sistema incompatible

Si a=1 ⇒ Sistema incompatible

Si a=-2 ⇒ Sistema incompatible

13) Si a≠10 ⇒ Sist. Incompatible.

Si a=10 ⇒ Sist. compatible

determinado.

Solución : x=11, y=6, z=4

14) Si a=1/5 ⇒ Sist. Incompatible.

Si a≠1/5 ⇒ Sist. compat.determinado.

pág 61

9 2(a 2) 3(2a 1)x , y , z5a 1 5a 1 5a 1− − − − −= = =

− + − + − +15) Si m≠1 y m≠-1 ⇒ Sist. compatible

determinado (solución única).

Si m=1 ⇒ Sist. incompatible

Si m=-1 ⇒ Sist. compat. indet. x 12 7 , y 5 2 , z= − λ = − + λ = λ

Página 31

EJERCICIOS DE ESPACIO EUCLIDEO 1) a) -14, 23, 9

b) (-10,2,8),(-2,14,5),(6,-8,-15)

c) -34

2) x - 2 y + 5 z - 3 = = 9 11 -17

3) 6x-y-5z+5=0

4) d(A,B)= 17 ,d(A,C)=2 26 ,

d(B,C)= 69

5) d(P,π)= 9 2211

3'83

6) d(P,π)= 111993

3'52

7) d(π,π')= 2 3015

0'73

8) d(P,r)=15 3417

5'14

9) a) d(r,s)= 70229

b)d(r,s)= 103834

3'57

10) d(r,π)= 5 63

4'08

11) α=60°

12) α=13°13'8"

13) α=60°

14) S= 1 3602

9'48

15) V=22/3=7'33 u3

16) x - 1 y - 2 z - 2 = = 13 26 6

Página 32

17) x-2z+3=0

18) a)P'(-2,3,2) b)P'(22/7,-19/7,38/7)

c)P'(80/29,-11/29,56/29)

19) P(4/5,1/5,13/5) Q(-1/10,1/5,23/10)

d(r1, r2)=3 1010

20) 4x-y+5z+ 3 360 =0

21) D(0,3,4)

D(8,-5,-4)

22) S= 99 102 64⋅

2'44

23) A(19/8,17/16,-5/8)

B(3/10,-41/20,-27/10)

24) 2x-2y+z+10=0

2x-2y+z-26=0

25) los planos son: x y z + + = 16 2 2

;

x y z + + = 1- 6 2 2

26) 75/2=37'5 u3

27) hD=789

0'74 u.

Página 33

28) P(2/3,0,2/3)

29) 2x+y-z+ 6 =0

2x+y-z- 6 =0

30) ABCD: z=0, A'B'C'D': z=3 2 ,

AA'BB': x+y=3, CC'DD': x+y=-3,

AA'DD': x-y=3, BCB'C': x-y=-3.

ACB': 2 1y-z=0, BDA': 2 2x-z=0

b) cosα=1/3 , α=70°31'43''

31) b) C(28/11, 29/11, -5/11)

c) D(99/55, 91/55, 23/55)

32) x+y+z-11=0

33) P=(0,7/5,24/5);

Q=(-18/7,-1/7,30/7)

34) d(r,s)= 1935

33'21 u.

pág 62

35) V=a3/6 u3. SOLUCIONES DE EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRÍA

Página 34 1)Rg(A)=2 y rg(AM)=3 por lo tanto no son incidentes y como las tres submatrices de orden 2x3

que se pueden formar con las filas de A son de rango 2 cada dos planos se cortan en una

recta que es paralela al tercer plano (forman superficie prismática) por lo tanto el vector

1 2v = p p∧ es paralelo a los tres planos. (Junio 88) 2) a) π x-y-2z=0 b) x-y-2z-6=0 (Septiembre 88) 3)i)Si a≠1, a≠-2 ⇒ rg(A)=3=rg(AM) ⇒ los tres planos se cortan en un único punto

P 1 1 1 , , a + 2 a + 2 a + 2⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

ii)Si a=1 ⇒ rg(A)=1=rg(AM) ⇒ los tres planos son coincidentes.

iii) Si a=-2 cada dos planos se cortan en una recta paralela al otro plano (superficie prismática) (Junio 89)

4) Forman un tetraedro de volumen 8/3. (Junio 89) 5) Las rectas se cruzan ya que det( r s r s , , A A v v )=4≠0 (Junio 89)

6) t=2 . Los puntos B,C y D están alineados y SABCD=SABD=32

. (Junio 89 y Junio 90)

7) Plano 8x+10y-22z+33=0 (Septiembre 89)

8) Plano π:2x+3y-5z=0 Distancia(B,π) = 638

. (Junio 90)

9) Plano x-y+z=0 (Septiembre 90) 10) Plano 4x+3y-z-8=0 (Junio 91)

Página 35

11) t= 554

, y el punto P 114 149 271 , , 4 4 4

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ (Junio 91)

12) r': x-5 = y-2 = z+1 . (Septiembre 91)

13)Área del triángulo S= 142

que no depende de donde se sitúe el tercer vértice C. Los vectores

AB y rv son paralelos por lo tanto la base del triángulo es d(A,B) y la altura es la

distancia entre las rectas r y AB (paralelas). (Septiembre 91) 14) El plano es 2x+y-z-9=0 (Junio 92)

15) d(r,s)= 3 9126

=5'61 u. (Junio 92)

16) t=2, punto de corte P(1,2,-1). (Septiembre 92) 17) plano x-y-z+1=0. (Septiembre 92)

18) Los planos son paralelos , d(π1, π2) = 2 63

(Junio 93)

pág 63

19) No están alineados. a=4 y b=0 y el punto D(4,1,2). (Junio 93)

20) Las rectas r y PQ se cruzan por lo tanto no existe el plano pedido. (Septiembre 93)

Página 36

21) No son coplanarios. El volumen del tetraedro V= 23

u3. d(C,π)= 2 u. (Septiembre 93)

22) i) Se cortan. ii) x 0, y 2 , z 2= = λ = λ

23) A’(6,2,1)

24) i)D(2,0,1) ii) Centro (2,5/2,1/2) iii) d= 356

25) π ≡ 3x+6y+12z+27=0

26) Se cruzan. d= 21 10 1' 5821 10 2

5=

27) x 1 y 2 z 12 7 3− − += =−

28) La recta es paralela a el plano. Distancia = 811

29) π ≡ 4x+7y-5z-11=0. Volumen=5/2 u3

30) Las rectas se cortan. Planoπ ≡ x+4y-5z+13=0

31) 30α = . Punto de corte (-1,1,-2)

Página 37

32) Si son coplanarias ( son paralelas ). Plano π ≡ 6x+5y-7z+11=0

33) x 3 y 4 z 72 3 1− + −= =

− Punto (-1,2,5)

34) x y 4 z25 23 22

−= =

35) 2x-y+z-5=0

36) 1) Si a≠0 se cortan en un solo punto. 2) Si a=0 se cortan en una recta.

37) Pr= 2 7 1 , ,3 6 6⎛ ⎞⎟⎜ − − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ Qs=

2 2 2 , ,3 3 3⎛ ⎞⎟⎜ − − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ Perp. común

2x 34y 3

z

⎧⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪ = − −λ⎨⎪⎪⎪ = λ⎪⎪⎪⎩

38) d= 6 Punto P(2,4,4)

39) d=2. Punto P=( )20 44 11 , ,13 13 13−

40) Punto simétrico ( )7 10 5 , ,3 3 3

41) No se pueden cortar las 2 rectas.

42) Punto simétrico A’(-2,9,-11)

pág 64

Página 38 43) Si a≠0 se cortan formando un triedro. Si a=0 los 3 planos se cortan 2 a 2 pero no se

cortan los 3.

44) a) Las rectas se cruzan b) Perpendicular

x 1 2

y

z

⎧⎪ = − + λ⎪⎪⎪⎪ = −λ⎨⎪⎪⎪ = λ⎪⎪⎩

45) Punto simétrico A’(2,9,-4)

46) k=1; Punto de corte (-2,4,1)

47) Para que sean paralelos λ=1; Para que sean perpendiculares Imposible.