Dérivée de la fonction exp (x)€¦ · manière empirique pour quelques valeurs de a. III - 4...

Fonctions exponentielles et logarithmiques / 8

Dérivée de la fonction expa(x) En utilisant la définition de la dérivée : f '(x) = lim

Δx→0

f(x +Δx)− f(x)Δx

, nous avons :

ax( )! = limΔx→0

ax+Δx −ax

Δx= lim

Δx→0

ax. aΔx −1( )Δx

= ax. limΔx→0

aΔx −1( )Δx

Or limΔx→0

aΔx −1( )Δx

= limΔx→0

a0+Δx −a0( )Δx

qui est la valeur de la dérivée de ax calculée en x=0

et qui vaut donc une constante notée ka qui dépend de la valeur de a

On a donc: ax( )! = ka.ax

Nous allons maintenant essayer de calculer cette constante.

Nous avons : ka = limΔx→0aΔx −1( )Δx

=a0 −10

=00

qui est une forme d'indétermination.

Actuellement, nous n'avons pas de moyens nous permettant de calculer cette constante de manière exacte : cela sera possible lorsque nous disposerons des fonctions logarithmiques. Nous pouvons simplement évaluer cette constante de manière empirique pour quelques valeurs de a.

III - 4 Fonctions exponentielles. 30/07/2010

a = 2 a = 3 a = 2/3 Δx

x12 x

Δ

−Δ

Δx

x13 x

Δ

−Δ

Δx

x1)( x

32

Δ

−Δ

1 1 1 2 1 - 0.3333 0.1 0.71 0.1 1.161 0.1 - 0.397… 0.01 0.6955 0.01 1.1046 0.01 - 0.404… 0.001 0.6933 0.001 1.0992 0.001 - 0.405… 0.0001 0.6931 0.0001 1.0986 0.0001 - 0.405… 0.0000001 0.6931472…. 0.0000001 1.0986123 0.0000001 - 0.405465…

Nous constatons que la constante est négative quand la base a < 1 et positive lorsque a > 1

Ceci correspond bien au résultat attendu puisque ka valant la dérivée de ax calculée en x = 0 représente la pente de la tangente au graphe de ax en x = 0 : l'observation des graphes précédents nous permettait d'anticiper ce résultat.

Nous pouvons donc en déduire le signe de (ax) ' En effet : (ax) ' = ax . ka

Si a > 1 ⇒ ka > 0 Si 0 < a < 1 ⇒ ka < 0 x x ax + + + ax + + + ka + + + ka - - - (ax)' = ax . ka + + + (ax)' = ax . ka - - - Et donc : a > 1 ⇒ (ax)' est toujours positive et la fonction ax est toujours strictement croissante. 0 < a < 1 ⇒ (ax)' est toujours négative et la fonction ax est toujours strictement décroissante

3.3.2 Asymptotes Le domaine des fonctions expa (x) étant R , ces fonctions n'ont pas d'asymptotes verticales.

Asymptotes horizontales :

1er cas : a > 1. On sait que :

∞+lim ax = a+ ∞ = + ∞ et donc la fonction ax n'admet pas d'asymptote horizontale en + ∞

et ∞−→x

lim ax = a - ∞ =∞a1 =

∞+

1= 0

La fonction expa (x) admet pour asymptote horizontale en - ∞, la droite y = 0

2ème cas : 0 < a < 1.

Si nous posons b =a1 alors, b > 1 et comme nous l'avons observé au N° 3.1, le graphe de la fonction f(x) = ax est

symétrique de celui de g(x) = bx par rapport à l'axe des ordonnées.

Nous pouvons donc immédiatement conclure que la fonction f(x) = ax admet alors une asymptote horizontale en + ∞ : la droite y = 0 et n'admet pas d'asymptote horizontale en - ∞

Asymptotes obliques :

1er cas : a > 1. Nous avons montré que la fonction admet une asymptote horizontale en - ∞, elle ne peut donc avoir d'asymptote oblique en - ∞. La recherche d'une éventuelle asymptote oblique ne peut donc se faire qu'en + ∞. Recherchons le coefficient angulaire d'une telle asymptote :

a = x

)x(flim∞+

= x

alimx

∞+=

∞+

+∞ : une forme d'indétermination que l'on va lever par la règle de l'Hospital :

Nous constatons que la constante est négative quand la base a < 1 et positive lorsque a > 1 Ceci correspond bien au résultat attendu puisque ka valant la dérivée de ax calculée en x = 0 représente la pente de la tangente au graphe de ax en x = 0 : l'observation des graphes précédents nous permettait d'anticiper ce résultat.

Nous pouvons donc en déduire le signe de ax( )! En effet ax( )! = ka.ax


a = 2 a = 3 a = 2/3 Δx

x12 x

Δ

−Δ

Δx

x13 x

Δ

−Δ

Δx

x1)( x

32

Δ

−Δ

1 1 1 2 1 - 0.3333 0.1 0.71 0.1 1.161 0.1 - 0.397… 0.01 0.6955 0.01 1.1046 0.01 - 0.404… 0.001 0.6933 0.001 1.0992 0.001 - 0.405… 0.0001 0.6931 0.0001 1.0986 0.0001 - 0.405… 0.0000001 0.6931472…. 0.0000001 1.0986123 0.0000001 - 0.405465…

Nous constatons que la constante est négative quand la base a < 1 et positive lorsque a > 1

Ceci correspond bien au résultat attendu puisque ka valant la dérivée de ax calculée en x = 0 représente la pente de la tangente au graphe de ax en x = 0 : l'observation des graphes précédents nous permettait d'anticiper ce résultat.

Nous pouvons donc en déduire le signe de (ax) ' En effet : (ax) ' = ax . ka

Si a > 1 ⇒ ka > 0 Si 0 < a < 1 ⇒ ka < 0 x x ax + + + ax + + + ka + + + ka - - - (ax)' = ax . ka + + + (ax)' = ax . ka - - - Et donc : a > 1 ⇒ (ax)' est toujours positive et la fonction ax est toujours strictement croissante. 0 < a < 1 ⇒ (ax)' est toujours négative et la fonction ax est toujours strictement décroissante

3.3.2 Asymptotes Le domaine des fonctions expa (x) étant R , ces fonctions n'ont pas d'asymptotes verticales.

Asymptotes horizontales :

1er cas : a > 1. On sait que :

∞+lim ax = a+ ∞ = + ∞ et donc la fonction ax n'admet pas d'asymptote horizontale en + ∞

et ∞−→x

lim ax = a - ∞ =∞a1 =

∞+

1= 0

La fonction expa (x) admet pour asymptote horizontale en - ∞, la droite y = 0

2ème cas : 0 < a < 1.

Si nous posons b =a1 alors, b > 1 et comme nous l'avons observé au N° 3.1, le graphe de la fonction f(x) = ax est

symétrique de celui de g(x) = bx par rapport à l'axe des ordonnées.

Nous pouvons donc immédiatement conclure que la fonction f(x) = ax admet alors une asymptote horizontale en + ∞ : la droite y = 0 et n'admet pas d'asymptote horizontale en - ∞

Asymptotes obliques :

1er cas : a > 1. Nous avons montré que la fonction admet une asymptote horizontale en - ∞, elle ne peut donc avoir d'asymptote oblique en - ∞. La recherche d'une éventuelle asymptote oblique ne peut donc se faire qu'en + ∞. Recherchons le coefficient angulaire d'une telle asymptote :

a = x

)x(flim∞+

= x

alimx

∞+=

∞+

+∞ : une forme d'indétermination que l'on va lever par la règle de l'Hospital :

a > 1 ⇒ ax( )! est toujours positive et la fonction ax est toujours strictement croissante

0 < a < 1 ⇒ ax( )! est toujours négative et la fonction ax est toujours strictement décroissante


La fonction exponentielle Néperienne Nous avons montré : ax( )! = ka.ax où ka = limΔx→0

aΔx −1Δx

est une constante qui dépend

de la base choisie

Nous avons calculé cette constante de manière empirique pour quelques valeurs de a et avons obtenu : k2= 0,69, k3 = 1,098 et k-2 = - 0,405

�Le mathématicien Néper qui vécut au 16ème siècle a eu l'idée de rechercher la base de la fonction exponentielle pour laquelle ka= 1. Il s'agit donc d'une fonction exponentielle constamment égale à sa dérivée. Cette base a été notée e (initiale d'exponentielle). On se doute que cette base est comprise entre 2 et 3 (car k2= 0,69 et k3 = 1,098) Nous allons maintenant déterminer cette base. Evaluation du nombre e Première méthode : On peut montrer qu'une fonction y = f(x) peut être approximée par un polynôme infini sous la forme : f(x) = p(x) = a0 +a1 x+a2 x2 +a3 x3 +a4 x4 +…( développement en série de Taylor) Considérons ce développement lorsque f(x) = ex

a) Il faut alors que la fonction et son polynôme d'approximation soient égaux pour toute valeur de x Notamment , pour x = 0 , on a : e0= p(0) ⇒ 1 = a0 On sait que (ex)'= ex et donc comme ex =p(x),on a p'(x)=p(x) c.àd.: a1 +2a2 x+3a3 x2 +4a4 x3 +... = a0 +a1 x+a2 x2 +a3 x3 +a4 x4 +… En égalant les coefficients de même puissance, nous avons : a0 =a1 a1=2a2 a2 =3a3 a3 =4a4 .... En utilisant la valeur trouvée pour a0, nous obtenons successivement :

a0=1 a1=1 a2=12

a3= 16

a4= 124

a5= 124

Et donc on peut écrire :

ex =1+ x1+x2

2+x3

6+x4

24+x5

120+ ...= xi

i!i=0

∞

∑

On peut ainsi obtenir une formule donnant la valeur du nombre e :

e = e1 = p(1) =1+1+ 12+16+124

+1120

+ ...=1+1+ 12!+13!+14!+15!+ ...= 1

i!i=0

∞

∑

En calculant jusqu'à l'ordre n, nous obtenons les valeurs suivantes d'approximation de e : Le nombre e ne connaît pas la célébrité du nombre π, et pourtant on lui trouve de très nombreuses ressemblances. Comme π, e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique. Ses premières décimales sont :

e = 2,7182818284590452353602874713526624977572470936999… Le nombre e est également un nombre transcendant. On dit qu’un nombre est transcendant s’il n’est solution d’aucune équation à coefficients entiers.

Le nombre 2 par exemple, est irrationnel mais n’est pas transcendant puisqu’il est solution de l’équation x2 = 2. Un tel nombre est dit "algébrique"


a) Il faut alors que la fonction et son polynôme d'approximation soient égaux pour toute valeur de x Notamment , pour x = 0 , on a : e0= p(0) ⇒ 1 = a0 On sait que (ex)' = ex et donc, comme ex = p(x), on a p' (x) = p(x)

c. à d. : a1 + 2 a2 x + 3 a3 x2 + 4a4 x3 + … = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + …(*) En égalant les coefficients de même puissance, nous avons : a0 = a1 a1= 2a2 a2 = 3a3 a3 = 4 a4 ….et donc :

a1 = a0 a2 = 2a1 a3 = 3

a 2 a4 = 4a3 …..

En utilisant la valeur trouvée pour a0, nous obtenons successivement :

a1 = 1 a2 = 21 a3 = 2.3

1 a4 = 2.3.41

Notation : n! = n . (n – 1) . (n – 2) ….2 . 1 : qui se lit : factorielle de n avec la convention : 0! = 1 Nous avons :

a0 = 1 a1 = 1 a2 = !21 a3 = !3

1 a4 = !41

Et de même : an = !n

1 quelle que soit la valeur de n ⇒ p(x) = 1 + x + !2

x2+

!3x3

+!4

x4+ ….

En remarquant que 0! = 1 et 1! = 1, nous pouvons écrire : ex = p(x) = ∑∞

=0i

i

!ix

Or : e = e1 = p(1) = ∑∞

=0i !i1 = 1 + 1 +

!21 +

!31 +

!41 + ….

En calculant jusqu'à l'ordre n, nous obtenons les valeurs suivantes d'approximation de e : Le nombre e ne connaît pas la célébrité du nombre π et pourtant on lui trouve de très nombreuses ressemblances. Comme π, e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique. Ses premières décimales sont : e = 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274… Le nombre e est également un nombre transcendant. On dit qu’un nombre est transcendant s’il n’est solution d’aucune équation à coefficients entiers. Le nombre 2 par exemple, est irrationnel mais n’est pas transcendant puisqu’il est solution de l’équation x2 = 2. Un tel nombre est dit "algébrique"

5.2 Autre évaluation du nombre e Le nombre e peut aussi se retrouver dans différentes situations. L'exemple suivant nous le montre. Supposons que "Petit-futé" place une somme de 1€ dans une banque au taux de 100 % durant une période déterminée. Après une période complète, la banque lui remboursera donc 1+1 €, soit 2 €. Comme il espère gagner plus, il propose à son banquier de lui accorder 50 % au bout de la moitié de la période et de replacer la somme obtenue à ce moment au taux de 50 % pendant une seconde demi-période. Il constate qu'il obtient alors (1 + 0,50) + (1 + 0,50).0,50 € = (1 + 0,50)2 € = 2,25 € à la fin d'une période complète.

Fier de son calcul, il propose alors à son banquier de lui accorder 10% durant 101 de la période, puis 10% de la

somme obtenue à ce moment durant le second dixième de la période, et ainsi de suite pendant les dix dixièmes de la période. Il constate qu'il obtient à la fin de la période : (1+0,1)10 € = 2,59 €. Pourquoi alors, se dit-il, ne pas continuer le procédé ? (c. à d. diviser la période initiale par un nombre n de plus

en plus grand et obtenir un taux d'intérêt de n1 . 100% )

La somme obtenue à la fin de la période vaut alors : n

n11

+ € , où n représente le nombre de subdivisions de la

période initiale.

n pn (1) 2 2.5 3 2.6666 4 2.70833 5 2.71666 6 2.71805


Deuxième méthode : On cherche la base a de la fonction exponentielle telle que la constante ka=1

Il faut que ka = limΔx→0aΔx −1Δx

=1 cela signifie que aΔx −1Δx

doit être proche de 1 si Δx proche de 0

Il faut donc, en supposant Δx proche de 0 : aΔx −1Δx

≅1⇒ aΔx −1≅ Δx ⇒ aΔx −1≅ Δx ⇒ aΔx ≅ Δx +1⇒ a ≅ Δx +1( )1Δx

Donc la valeur de la base recherchée vaut limΔx→0

Δx +1( )1Δx

Ce nombre est donc le nombre e

e = limΔx→0

Δx +1( )1Δx

Encore une autre évaluation du nombre e Le nombre e peut aussi se retrouver dans différentes situations. L'exemple suivant nous le montre. Supposons que "Petit-futé" place une somme de 1€ dans une banque au taux de 100 % durant une période déterminée. Après une période complète, la banque lui remboursera donc 1+1 €, soit 2 €. Comme il espère gagner plus, il propose à son banquier de lui accorder 50 % au bout de la moitié de la période et de replacer la somme obtenue à ce moment au taux de 50 % pendant une seconde demi-période. Il constate qu'il obtient alors (1 + 0,50) + (1 + 0,50).0,50 € = (1 + 0,50)2 € = 2,25 € à la fin d'une période complète. Fier de son calcul, il propose alors à son banquier de lui accorder 10% durant 1

10de la période, puis

10% de la somme obtenue à ce moment durant le second dixième de la période, et ainsi de suite pendant les dix dixièmes de la période. Il constate qu'il obtient à la fin de la période : (1+0,1)10 € = 2,59 €. Pourquoi alors, se dit-il, ne pas continuer le procédé ? (c. à d. diviser la période initiale par un nombre n de plus grand et obtenir un taux d’intérêt de 1

n.100%

La somme obtenue à la fin de la période vaut alors 1+ 1n

!

"#

$

%&

n

€, où n représente le nombre de

subdivisions de la période initiale. Le tableau ci-contre reprend toutes les sommes obtenues pour n variant de 1 à 100 000 par multiples de 10. On constate que la somme atteinte à la fin de la période augmente de plus en plus et se rapproche de 2,71..., et donc que l'augmentation des bénéfices réalisés n'est pas infinie. Plus précisément, cette somme se rapproche de e.

Nous avons ainsi obtenu une autre manière d’approcher le nombre e :

e = limn→∞

1+ 1n

#

$%

&

'(

n

30/07/2010 Fonctions exponentielles. III - 7

Le tableau ci-contre reprend toutes les sommes obtenues pour n variant de 1 à 100 000 par multiples de 10. On constate que la somme atteinte à la fin de la période augmente de plus en plus et se rapproche de 2,71…, et donc que l'augmentation des bénéfices réalisés n'est pas infinie. Plus précisément, cette somme se rapproche de e. Nous avons ainsi obtenu une autre

manière d'approcher le nombre e : e = n

n n11lim

+

∞→

6. Dérivées des fonctions exponentielles

6.1 Dérivée Par définition même de la fonction exponentielle Népérienne, nous avons : (ex) ' = ex et en appliquant la dérivée

de la composée de 2 fonctions, nous obtenons : (ef(x) ) ' = f ' (x) ef(x)

Et nous avons : (ax)' = ax ka et (af(x))' = f' (x) . af(x) ka

Actuellement, nous ne sommes pas encore en mesure de calculer ka : nous le ferons dans le prochain chapitre. En résumé.

(ex) ' = ex (ef(x) ) ' = f ' (x) ef(x)

6.2 Exercices Calculer les dérivées des fonctions suivantes 1. f(x) = e x x3 2 12 − + 2. f(x) = sin x . e2X 3. f(x) = arccos e-x

7. Exercices.

7.1 Résoudre les équations (ou inéquations) suivantes. 1. 23x-2 – 2x-1 = 0 2. (0.3)2x-1 = 1

3. 31-2x -2x

31

= 0

4. 313

2x <

5. 1xx32 4)25.0( −− >

6. 49

32 x3

<

7. e4x - 1 = 0 8. 10x = 0,01

9. e3x + 1 = 12e

10. 2x + 2x+1 = 3 11. 3x +1 = 108 – 3x + 2 12. 102x – 11 . 10x = - 10 13. 4x – 10 . 2x + 16 = 0 14. 3 . 9x – 28 . 3x = - 9

Solutions : 1. x = 0.5 2. x = 0.5

3. x = 32

4. S = ∅ 5. x > 0.5

6. x > -32

7. x = 0 8. x = -2 9. x = –1 10. x = 0

11. x = 2 12. x = 1 ou x = 0 13. x = 3 ou x = 1 14. x = 2 ou x = -1

7.2 Déterminer les domaines des fonctions suivantes

1) f1(x) = 42

2x31x3 −

−−

2) f2(x) = 5.04 2x −− 3) f3(x) = 1x)1.0(001.0 +−

Sol : 1) dom f1 = R/{1} 2) dom f2= [1.5 ; + ∞[ 3) dom f3 = [2 ; + ∞ [

7.3 Résoudre les équations suivantes par approximations successives. (Résoudre à 0,001 près par dichotomie et par la méthode de Newton)

n n

n11

+

1 2 10 2,59374246

100 2.704814 1000 2.716924

10000 2.718146 100000 2.718268


Généralisation a étant un réel strictement positif, distinct de 1

• Si une fonction vérifie les conditions suivantes :

( )( )( )

k.f(x)(x)f .3

a0f1f 2.

C0f .1

=′

=

=

Alors ( ) (0)fk où a.Cxf x ′== • La fonction f(x) = ax est appelé fonction exponentielle de base a • Si f(x)(x)f =′ pour toute valeur réelle de x, alors :

( ) ...67182818284,2e où e.Cxf x ==

• La fonction f(x) = ex est appelé fonction exponentielle Néperienne

• La fonction réciproque de la fonction f(x) = ax est la fonction logarithme de base

a et est notée xloga

• La fonction réciproque de la fonction f(x) = ex est la fonction logarithme Néperienne et est notée lnx

• La fonction xe est une fonction de référence pour toutes les autres fonctions

exponentielles car on peut écrire : ax = elna.x


Etude de la fonction expa(x) Lorsque a est un réel strictement positif, distinct de 1, on définit la fonction expa

xa0a a)x(expx:RR:exp =→→ + fonction exponentielle de base a.

Si a=e, on obtient la fonction exponentielle Néperienne Conséquences : • La fonction expa(x) est continue en tout réel • La fonction expa(x) est strictement positive • Le domaine de la fonction expa(x) est l’ensemble R • La fonction expa(x) est une bijection de R dans R+

0 Propriétés • La dérivée de toute fonction exponentielle en est multiple : ax( ) ' = ka.ax

• Dans le cas ou la base vaut e : ex( ) ' = ex

• Lorsque a>1 +∞=

+∞→xexplim ax

et 0xexplim ax=

−∞→

Lorsque 0<a<1 0xexplim ax

=+∞→

et +∞=−∞→

xexplim ax

• Lorsque a>1, expa(x) est stictement croissante Lorsque 0<a<1, expa(x) est stictement déroissante • Le graphe cartésien de chaque fonction expa(x) comprend le point (0 ;1) • y x yexpxexp aa =⇔= • 1a si y, x yexpxexp aa ><⇔< • 1a0 si y, x yexpxexp aa <<>⇔< Démontre la formule de dérivation de la fonction f(x)=ax


Etude de la fonction de la fonction loga(x) Soit a, un nombre réel strictement positif et différent de 1. Nous avons définis la fonction exponentielle de base a (expa(x)). Cette fonction est une bijection de R dans R0+. Dés lors, la fonction exponentielle expa possède une réciproque de R0+ dans R. Cette fonction réciproque s'appelle fonction logarithme de base a et se note loga .

Exemples :

34 = 81⇔ log3 81= 4 2−3 = 18⇔ log2

18= −3 8

23 = 4⇔ log8 4 =

23

Les fonctions logarithmes principales Si a=e, on obtient la fonction logarithme Néperienne que l’on note y= ln x

y = lnx⇔ x = ey Si a=10, on obtient les logarithmes décimaux Lorsqu’aucune base n’est indiquée, il s’agit de la base 10 : logx = log10 x

y = logx⇔ x =10y Conséquences : • La fonction loga(x) est continue en tout réel strictement positif • Le domaine de la fonction loga(x) est l’ensemble R0+ • La fonction loga(x) est une bijection de R+

0 dans R Propriétés : Si a est un réel strictement positif distinct de 1 • Le graphe cartésien de toute fonction loga(x) comprend le point (1 ;0)

• Lorsque a>1 loga(x) est stictement croissante

Lorsque 0<a<1 loga(x) est stictement déroissante

• Lorsque a>1 −∞=+→

xloglim a0x

et +∞=+∞→

xloglim ax

Lorsque 0<a<1 +∞=+→

xloglim a0x

et −∞=+∞→

xloglim ax

• y x ylogxlog aa =⇔= • 1a si y, x ylogxlog aa ><⇔< • 1a0 si y, x ylogxlog aa <<>⇔< • Pour tour réel x, xalog x

a =

Démontre la formule de dérivation de la fonction f(x)=loga(x)

loga : R0+ → R : x → loga(x) y = loga x⇔ x = ay


Propriétés des logarithmes ∀ a,b ∈R0+ a,b ≠1 ∀ x,y ∈R0

+ : 1. loga1= 0 car a0 =1

2. loga x.y( ) = loga x + loga y

Soit loga (x) = R ⇔ x = aR et loga (y) = S ⇔ y=aS Dés lors x.y = aR . aS = aR+S Donc loga (x . y) = R + S = loga x + loga y On a donc: loga x.y( ) = loga x + loga y

3. loga1x= −loga x

Soit loga (x) = R ⇔ x = aR ⇔ 1x= a−R ⇔ loga

1x= −R = −loga x

Cette valeur est appelée cologarithme de x et désigne le logarithme de l’inverse de x

4. logaxy= loga x − loga y

Soit loga (x) = R ⇔ x = aR et loga (y) = S ⇔ y=aS

Dés lors xy=aR

aS= aR−S

Donc logaxy=R −S = loga x − loga y

On a donc: logaxy= loga x − loga y

5. loga xn = n.loga x

Soit loga (x) = R ⇔ x = aR ⇔ xn = aR( )n= aR.n

Donc loga xn = n.R = n.loga x

On a donc: loga xn = n.loga x

6. loga x =logb xlogb a

loga (x) = R ⇔ x = aR ⇔ logb x = logb aR ⇔ logb x =R.logb a⇔

logb xlogb a

=R

On a donc: loga x =logb xlogb a

Cas particuliers loga b =1

logb a loga x =

log xlog a

loga x =lnxlna


Formules de dérivation – résumé En supposant que les conditions d’existence sont vérifiées, on a :

ax( )!= ax. ln a af(x)!

"#

$

%&

'= af(x). 'f (x). ln a

ex( )!= ex e

f(x)!

"#

$

%&

'= ef(x). 'f (x)

( )x1 xln =′ ( )

)x(f)x('ff(x) ln =′

( )a ln . x

1xloga =′ ( )a ln . )x(f

)x('f)x(floga =′

Plus généralement :

Dérivée logarithmique ( )( ) ( ) )fln.g.(gf)fln.g.(eeegf fln.gfln.ggfln ′=′=′

=′

=′⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

))'x(fln).x(g.()x(g )x(f)x(g )x(f =′⎟⎠⎞⎜⎝

⎛

Exemples : Détermine le domaine et dérive les fonctions suivantes

f1(x)=eArcsinx

f2(x)=5.3x

f3(x)=1000.57

!

"#$

%&

2x−1

f4(x) = ln7 x3( )

f5(x) = log0,5 −x2 +3x( )


Exercices 1. Ecris les nombres suivants sans exposant négatif, ni fractionnaire et simplifie tes réponses :

1) 169

!

"#

$

%&

-0,5

2) 8−

23 3) 9

-12.27

23 4) 4-0,5.16

12

320,2

2. Calcule et interprète graphiquement :

( ) 1x-

xx2

x-

35,0 lim )42 lim 3)54 lim 2)4 lim )1 −

∞−

∞+∞+∞⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

3. Calcule :

( ) ( ) x2

0x

1x4

xh1

0h

n2

nx31lim )4

x31lim )3 h21lim )2

n11lim )1 −

→

−

∞→→∞→−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

4. Résous dans R :

1) 23x-2 − 2x−1 = 0 5) 0,25( )1−3x

> 42x+3 9) e3x −1= 0 13) 2x + 2x+1 = 3

2) e1−2x =1e2

6) 34

"

#$%

&'

2x

<169

10) e2x-1 −1e> 0 14) 3x+1 =108−3x+2

3) 41-2x −1

16

"

#$

%

&'

x2= 0 7) 102x−1 = 0,01 11) e2x +ex − 2 = 0 15) 102x −11.10x = −10

4) 3x2

≤13

8) 2x = 5 12) e2x −3 = 4.e-2x 16) 3.9x − 28.3x = −9

5. Résous dans R :

1x221x

21x

x 2334 −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

−=− (juillet 2008)

6. Donne une équation cartésienne des courbes suivantes, si l’on te dit qu’elles ont été obtenues à

partir de la courbe d’équation x2y = :


7. Détermine le domaine des fonctions suivantes:

1) f1(x) = 3x − 223x−1 − 4

2) f2(x) = 4x−2 −0,5 3) f3(x) = 0,001− 0,1( )x+1

8. Détermine le domaine et dérive les fonctions suivantes:

1) f(x) = x.ex 5) f(x) = sin e2x 9) f(x) = 2 x

2) f(x) = 2.ex2

6) f(x) = 1-e2x 10) f(x) = cos x. 72x

3) f(x) = ex +e−x

27) f(x) = eArcsinx 11) f(x) = 3

x−1x+1

4) f(x) = esin2x 8) f(x) = ex. Arctg x 12) f(x) = ex −e−x

ex +e−x

9. Calcule les limites suivantes:

1) limx→0

e2x −13.e−x −3

3) limx→0

ex +e−x − x2 − 2sin2 x − x2

2) limx→∞

x.e−x( ) 4) limx→±∞

e3x +3x2

4ex + 2x2

10. Etudie les fonctions suivantes:

f1(x) = e−x2 f2(x) = 1x

.e1

x f3(x) = ex

xf4(x) = x2.ex

11. Sachant que ln2 = 0,693 , calcule, sans utiliser ta calculatrice :

a) ln8 b) ln0,5 c) ln 132

d) ln 324

12. Exprime sous forme d’un seul logarithme:

1) loga− 12

logb+ logc 3) log25− log5− log3− log15

2)3log2− 2log3+ log81 4) 13

lna+ 15

lnb− 12

lnc

13. Sachant que log10 a = 2,3 et log210 = 3,32 , calcule, sans utiliser la calculatrice log2 a

14. Simplifie les expressions suivantes :

1) log5

1

125

!

"#

$

%& 4) log0,532 7) ln e23 10) e2ln5

2) log 1000 5) exp12

12

log12

8!

"##

$

%&& 8) 3

2.lne711) e−ln3

3) log54

0,64 6) elnx +e−lnx + 2lnex 9) ln 1e2

!

"#

$

%&

3

12) e2( )ln3x


15. Transforme en utilisant les propriétés des logarithmes:

1) log2x2y3 3) log2

x3

y5) log x.y3

z34

2) log2

8x3y4

z5 4) log2x( )

36)

log8xlog2x

16. Détermine x tel que:

1) log2x = 5 3) log22 = x 5) logx125 = 3 7) logx 2 = −2

2) logx5 =1 4) log2x = −4 6) logx 4 = 4 6) log9x = −2

17. Résous les équations et inéquations suivantes :

1) log3x − log3 x − 2( ) =1 6) 12

lnx2 ≤ ln 2x +1( )− ln3

2) log2x +1= 0 7) log0,5 x2 −9( ) <1

3) 2ln2+ ln x2-1( ) = ln 4x −1( ) 8) ln 2x +1( )− 2ln3 ≤ 0

4) log2 x2 −1( )− log2 4x +1( ) = −1 9) ln2x( )

3−3 ln2x( )

2− ln2x +3 < 0

5) log32x + log9x2 = 2 10) log2 x +1( )− log4 11− x( ) = log81

18. Détermine le domaine et dérive les fonctions suivantes :

1)ln(3x2 − 6x) 7)log5xx +1

"

#$

%

&' 13)log1

2(x2 + x)

2)ln( x) 8)x.lnx − x 14)ln lnx( )

3)log3(3x2 − 6x) 9) 1

lnx15)x2.ln3 x

4)ln(x5) 10)x2.lnx 16) 1lnx +1

5)ln 1x

"

#$%

&' 11)ln5 x 17)ln(x4 − x3)

6)ln 1+ x1− x

"

#$

%

&' 12)ln 1+ x2( ) 18) x

2 + xlnx

19. Etudie les fonctions suivantes :

( )

1xln2xln)x(f )4

x1xln)x(f )3

1x²xln)x(f )2xxln)x(f )1

33

21

−−=+=

+−==


20. A chaque équation cartésienne, associe une courbe dessinée :

( )

xln2 y)6ln2lnx y)4ln2x y)2

2xln2 y)5ln2lnx y)32xln y)1

=−==

+=+==

21. Problèmes : 1) La population du Costa Rica double tous les 18 ans. Actuellement, il y a 2 millions d’habitants. La

population de la Bolivie est de 6 millions d’habitants, celle de la Turquie de 40 millions, et leurs populations doublent tous les 27 ans. A quelles dates le Costa Rica rattrapera-t-il ces pays ?

2) Le prix du beefsteak augmente de 2,5% tous les ans. Mon salaire horaire augmente de 1,4% tous les ans. Actuellement, je travaille une demi-heure pour me payer un bon beefsteak. Dans combien de temps mon steak me reviendra-t-il à 1 heure de travail, 2 heures, etc… ?

3) L’iode 128 a une période de 25 minutes (c’est-à-dire qu’il perd la moitié de sa masse pendant cette période). A des fins d’analyses, un malheureux cobaye en absorbe 12 milligrammes. Combien de temps faudra-t-il attendre popur que son corps n’en contienne plus que des traces infilmes de 1 microgramme ? (0,001 milligramme)

22. Vrai ou faux ? Si l’énoncé est vrai, justifie-le ! S’il est faux, corrige-le !

1) Quel que soit le réel x, xa xalog =

2) ( )( ) 23log X23 =

′, quel que soit le réel x.

3) Les courbes d’équations y=log2x et y=log0,5x sont symétriques par rapport à l’axe x d’un repère orthonormé du plan. 4) Pour tout réel a strictement positif et pour tout réel b strictement positif différent de 1, on a :

)balog(blogalog −=

5) Si a>0, alors ln a est le coefficient angulaire de la tangente à la courbe y=ax au point d’abscisse 0. 6) Si x et a sont des réels strictement positifs : alog.xlnaln.xlog = 7) ab=eb.lna, pour tout réel a strictement positif.


EXERCICES RECAPITULATIFS

1. Démontre : ∀a,b,c,d,f ∈ IR0+ loga b.logb c.logc d.logd f.logf a =1

2. Démontre : ( )²xlog 21xlog.xlog IR,x,a aaa0 2 =∈∀ +

3. Résoudre :

)15x4(log21xlog)3

3²xlogxlog)22xlog.xlog)1

93

22

164

++=

=+=

4. Résoudre :

1) 2.ln3 x −9.ln2 x − 2.lnx +9 = 0 6) log2 2x −5( )log3 2

+ log3 2x−3 =1

2) 7.e−5x −8.e−3x +e−x = 0 7) 8.log23x − 45.log8

2 x −32.log4 x +10 = 0

3) e3x+1 − 2.e2x+1 +ex+1 = 0 8) log3 3x +1( )− log3 4+ x + 2 = 0

4) ln(elnx +e−lnx + 2lnex) =1− lnx 9) logx x2 + 2x −3( ).logx+3 x −logx+3 xlog3 x

= logx x

5) xlogx 9 = x −1 10) logx 2x −3( )− 1logx+6 x

+1

logx+2 x= 3.log5 23 .log2 5

5. Résoudre les systèmes:

1)x + y = 65logx + logy = 3

!"#

3)x + y = e(e+1)lnx + lny = 3

!"#

2)logx e+ logy e = 7

3

ln(x.y) = 72

!

"$$

#$$

4)x.y = a2

ln2 x + ln2 y = 209

ln2 a

!

"$

#$


ECHELLE LOGARITHMIQUE Pour représenter des données, l'échelle habituelle (linéaire) n'est pas toujours bien adaptée à la représentation des petites quantités.

Exemple: Les dimensions caractéristiques des objets suivants sont:

mouche: 5 mm = 0.005 m homme: 2 m terrain de football: 100 m village: 1 km = 1000 m pays: 1000 km = 1 000 000 m planète terre: 12 000 km = 12 000 000 m

Représentation linéaire Dans une représentation linéaire, où une longueur donnée (entre deux graduations successives) correspond à l'addition d'une quantité fixée (par exemple 2000 km), les petites variations sont indiscernables. Ainsi, le graphique ci-dessus ne permet pas de distinguer la dimension d'une mouche de celle d'un terrain de football.


Représentation logarithmique Dans la représentation logarithmique, une longueur fixe (entre deux graduations successives) correspond à la multiplication par un nombre donné (par exemple 100).

Ce type de représentation sera donc utilisée lorsque la grandeur à représenter varie fortement (par exemple, de plus d'un facteur 100).


Echelle logarithmique Système de graduation dans lequel le nombre étiqueté n est placé à une distance log(n) de l'origine, la fonction log étant la fonction logarithme décimal.

• L'origine du repère correspond donc à 1 car log(1)=0 • La distance qui sépare 1 de 10 est la même que celle qui sépare 10 de 100 et

celle qui sépare 0,1 de 1. Chacun de ces intervalles s'appelle un module. • La distance qui sépare 1 de 2 est égale à celle qui sépare 10 de 20 mais est

supérieure à celle qui sépare 2 de 3 L'échelle logarithmique est une alternative à l'échelle linéaire. Elle peut s'avérer préférable lorsqu'on étudie un phénomène utilisant une gamme étendue de valeurs. A ce moment, l'échelle linéaire est mal adaptée. On lui préfère une échelle logarithmique qui dilate les valeurs faibles et rapproche les valeurs fortes. Exemple de graphique :

Le schéma ci-dessus permet de visualiser les deux types d'échelles :

• Pour l'échelle linéaire, deux graduations dont la différence vaut 10 sont à distance constante.

• Pour l'échelle logarithmique, deux graduations dont le rapport vaut 10 sont à distance constante.


Exemples d’utilisation :

• Echelle de Richter Pour mesurer les tremblements de terre, deux échelles sont utilisées: l'échelle (subjective) de Mercalli et l'échelle (objective) de Richter. Celle de Richter est pratiquement la seule utilisée actuellement, l'échelle de Mercalli se révélant utile pour évaluer les séismes du passé. L'échelle de Mercalli a été développée en 1902 et modifiée en 1931. Elle indique l'intensité d'un séisme sur une échelle de I à XII. Cette intensité est déterminée par deux choses: - l'ampleur des dégâts causés par un séisme - et la perception qu'a eu la population du séisme Il s'agit d'une évaluation qui fait appel à une bonne dose de subjectivité. De plus, la perception de la population et l'ampleur des dégâts vont varier en fonction de la distance à l'épicentre, des normes de construction en vigueur dans une région, etc. L'échelle de Richter a été instaurée en 1935. Elle fournit la magnitude d'un séisme, calculée à partir de la quantité d'énergie dégagée au foyer. Elle se mesure sur une échelle logarithmique ouverte: la magnitude, dite de Richter, correspond au logarithme de la mesure de l'amplitude des ondes de volume (de type P et S), à 100 kilomètres de l'épicentre. La formule utilise le logarithme décimal :

ML = log A – log A0 où A représente l'amplitude maximale relevée par le sismographe et A0 une amplitude de référence. Ainsi, par exemple, cela signifie que les ondes sismiques d'un séisme de magnitude 6 ont une amplitude dix fois plus grande que celles d'un séisme de magnitude 5. A ce jour, le plus fort séisme a atteint 9,5 sur l'échelle de Richter (Chili). Le graphique qui suit met en relation, la magnitude des séismes, sur échelle linéaire, et l'énergie dégagée au foyer, sur échelle logarithmique.


• Potentiel hydrogène pH Le pH se calcule selon la formule pH = -log[H+] où [H+] indique le nombre réel sans dimension qui mesure la concentration de ions H+, exprimé en moles par litre (aussi connu sous le nom de molarité). La concentration des ions hydrogènes dans l’eau pure étant égale à 10-7 mole par litre, on a : pHeau = -log 10-7 = 7 • Les décibels dB En acoustique l’intensité se mesure en décibels (dB). C'est une unité qui utilise le logarithme soit du rapport de l'intensité sonore sur l’intensité de référence exprimées en watts par mètre carré (W0 = 10 –12 W.m-2), soit du rapport de la pression produite sur la pression de référence, exprimées en pascals (P0 = 2.10-5 Pa). Elle a été choisie ainsi parce que cela permet d’avoir des chiffres aisément manipulables, qui ne deviennent pas extrêmement grands ou petits et parce que cette approche correspond mieux à ce que perçoit l’oreille humaine en terme de sensation sonore. 0 dB correspond au minimum que l’oreille humaine peut percevoir appelé seuil d'audibilité, et non au silence absolu. Cette valeur a été choisie par expérimentation pour un son de fréquence 1000 Hz (elle vaut 10 –12 W.m-2). Cependant, la plupart des personnes ont un seuil d’audibilité supérieur à 0 dB (environ 4 dB). Le seuil de douleur est de 130 dB, mais l’oreille peut subir des dommages à partir de 85 dB. Les décibels gradués sur le bouton de volume d’une chaîne Hi-fi ne correspondent pas du tout à des niveaux acoustiques mais à des puissances électriques de sortie de l’amplificateur, ce qui n'a quasiment rien à voir : la valeur 0 dB représente bien souvent la puissance maximale que l’amplificateur est capable de délivrer. Exercices : 1. Compare l’intensité du séisme de magnitude 8 de Mexico en 1985 avec celui

de magnitude 6 de Saguenay en 1988. 2. Calcule la concentration [H+] d’ions d’hydrogène en moles par litres d’une

solution : 1) de lait dont le pH est 6,6 2) de pH strictement supérieur à 6

3. Le niveau sonore d’un bruit d’intensité I est donnée en décibels (dB) par la

formule 0IIlog.10=α , où 0I est l’intensité du son le plus faible qui soit

perceptible par l’oreille humaine 1) Quel est le niveau sonore d’une conversation dont l’intensité est de

10 000 0I ? 2) Un concert de rock a atteint le niveau sonore de 120 dB (un tel

niveau peut entrainer une surdité partielle définitive)

Calcule dans ce cas 0II .


5. AUTRES APPLICATIONS des fonctions exponentielles et logarithmes L’importance des fonctions logarithmes et des fonctions exponentielles est considérable pour la modélisation de phénomènes dans des domaines très diversifies. En voici quelques exemples :

Dérivée de la fonction exp (x)€¦ · manière empirique pour quelques valeurs de a. III - 4...

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