Matemáticas 1º Grado en CC. Químicas Integración múltiple

Alberto Vara 1

INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

Introducción

La integral definida unidimensional aporta las herramientas necesarias para calcular áreas y

volúmenes. Ahora bien, por lo que se refiere al cálculo de volúmenes, no da respuesta al problema de

encontrar el volumen de una figura tridimensional arbitraria, pues sólo se determina el volumen de figuras

con determinadas características. Vamos a ver, entre otras muchas aplicaciones, cómo la integral múltiple

da respuesta general a este problema. En primer lugar, vamos a ocuparnos de la integral doble. El

desarrollo es, en líneas generales, similar al realizado con la integral de una variable. Por ello, en buena

medida, las definiciones y resultados resultarán familiares y se podrá avanzar con cierta rapidez.

Posteriormente, se desarrollará brevemente la integral triple, finalizando el tema con el estudio de algunas

aplicaciones de la integración múltiple.

El volumen bajo una superficie

Considérese una función no negativa f : [a, b]×[c,

d] → R , se desea calcular el volumen del siguiente

subconjunto de R:

A = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f(x, y)},

donde D denota el dominio de f, es decir, el rectángulo

[a, b]×[c, d]. Se trata de un conjunto que tiene por

”techo” la superficie de ecuación z = f(x, y) y cuyo

”suelo” es el dominio de f. La figura siguiente ayuda a

visualizar el conjunto A cuyo volumen se quiere

calcular.

Se traza en el rectángulo [a, b] ×[c, d] una malla

formada por celdas suficientemente pequeñas de forma

que en cada una de estas celdas, Ci, la función f(x, y)

varía de unos puntos a otros muy poco.

Obviamente, el volumen buscado es la suma de los

volúmenes de los prismas (curvilíneos) que tienen por

”suelo” cada celda y por ”techo” el correspondiente

trozo de la superficie z = f(x, y)

i

i

V V C

donde V(Ci) denota el volumen del prisma cuya base

es la celda Ci. El volumen de cada prisma curvilíneo

puede aproximarse (tanto mejor en cuanto las celdas

sean más pequeñas) por

f(xi, yi) · Ar(Ci),

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Por tanto, una aproximación razonable del volumen bajo nuestra superficie viene dada por la

expresión

, .i ii

i

V f x y Ar C

El valor de esta suma cambia al tomar una malla diferente, pero a medida que las celdas son más

pequeñas, el valor que se obtiene da una mejor aproximación al volumen buscado. Esta ideas llevan a

definir el volumen bajo la superficie z = f(x, y) como el límite hacia el que se aproximan estas sumas.

Precisamente, como se verá en las secciones siguientes, esta es la forma de definir la integral doble

, ,

,a b c d

f x y dxdy

La integral doble sobre un conjunto acotado

Sea A un subconjunto acotado de R

2 y f : A → R

una función acotada. Para definir la integral doble de f

en A, se necesita el concepto de sumas de Riemann.

Como A es acotado, puede escogerse un rectángulo [a,

b] × [c, d] conteniendo el conjunto A. Para producir

una malla en el rectángulo, se divide los intervalos [a,

b] y [c, d] en partes iguales de longitudes Δx y Δy,

respectivamente. Al trazar por los puntos de división

rectas paralelas a los ejes coordenados, se produce una

malla cuyas celdas tienen las dimensiones Δx × Δy.

Se denota por C1, ..,Cn la celdas producidas

(numeradas de abajo hacia arriba y de izquierda a

derecha) que interceptan al conjunto A y se escoge en

cada una de ellas un punto intermedio (xi, yi) ∈ A.

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La suma

1

,n

i i

i

f x y x y

se denomina suma de Riemann para la integral doble de f en A. Puede denotarse por

, , , ,i iS f x y x y o, de forma más breve, por S(f,Δx,Δy).

Se dirá que f es integrable (en el sentido de Riemann) en el conjunto A si existe (y es finito) el límite

, 0,01

lim ,n

i ix y

i

f x y x y

en cuyo caso, el valor de este límite se denota por

,A

f x y dxdy

y recibe el nombre de integral doble de f en el conjunto A.

Propiedades básicas de la integral doble

1. Condición suficiente de integrabilidad.

Sea A ⊂ R2 un conjunto acotado medible (en el sentido de Riemann) y f : A → R una función

acotada. Si f es continua en A salvo, a lo sumo, en un conjunto de puntos cuya área es cero, entonces f

es integrable en A.

2. Linealidad.

Si f y g son integrables en A y c es una constante real, entonces f + g y cf son integrables en A y

se verifica

a) A A A

f g dxdy f dxdy gdxdy

b)

A A

cf dxdy c f dxdy

3. Aditividad.

Sean A y B dos subconjuntos de R2. Si f es integrable en ambos conjuntos y A ∩ B tiene área

nula, entonces f es integrable en A ∪ B y se verifica

A B A B

f dxdy f dxdy f dxdy

4. Monotonía.

Si f y g son integrables en A y verifican f(x, y) ≤ g(x, y), para cada (x, y) ∈ A, entonces

A A

f dxdy gdxdy

5. La media integral.

Si f es integrable en A y m ≤ f(x, y) ≤ M (∀ (x, y) ∈ A), entonces existe c ∈ [m, M] de modo que

. ( )A

f dxdy c Ar A

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Area de un recinto plano

Se ha visto cómo la integral doble puede usarse para calcular volúmenes. Pero esta no es la única

aplicación geométrica. En ese apartado se verá que la integral doble también puede usarse para calcular

áreas de recintos planos.

Concretamente, se va a mostrar que

1A

dxdy

representa el área del recinto (acotado) bidimensional A.

Si I = [a, b] × [c, d] es un rectángulo conteniendo A, considérese una malla con celdas Ci de

dimensiones Δx y Δy. Nótese que

1

1, ,n

i

S x y x y

con la suma extendida a todas los celdas que cortan al conjunto A. Como éstas recubren A, se sigue que

S(1,Δx,Δy) es una aproximación por exceso al á rea de A

Por último, basta tener en cuenta que, si la integral

1A

dxdy

existe, se puede escoger una malla suficientemente fina (Δx y Δy pequeños) como para que las sumas de

Riemann sean tan próximas como se quiera al valor de la integral anterior, cualquiera que sea la elección

de los puntos intermedios. Esto, junto con las ideas anteriores, justifican que se tome la integral como el

área del recinto A. Cuando la función constantemente igual a 1 es integrable sobre un conjunto A, se dice

que el conjunto A es medible (en el sentido de Riemann). Sólo sobre estos conjuntos tiene sentido

considerar la integral doble.

La integral doble sobre conjuntos proyectables

Se va a considerar dos tipos de conjuntos medibles para los que la integral doble puede calcularse por

integración reiterada.

Definición (Conjuntos x-proyectables). Un subconjunto A de R2 se dice que es x-proyectable si es

de la forma A = {(x, y) ∈ R2 : a < x <b, f1(x) ≤ y ≤ f2(x)}, donde f1 y f2 son funciones continuas en [a, b]

que verifican f1(x) ≤ f2(x), para cada x ∈ [a, b].

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Si existen las integrales involucradas, se verifica:

2

1

, ,

y f xb

A a y f x

f x y dxdy f x y dy dx

Ejemplo. Calcular 2

A

x y dxdy ; siendo A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}.

A es el conjunto x-proyectable. Aplicando la fórmula anterior se obtiene

1 1 3

2 2

0 0 0 03

y xx

A y

yx y dxdy x y dy dx xy dx

11 13 3 3 122

0 00 0

5

3 3 3 12 12

y x

y

y x x xxy dx x dx

Definición. (Conjuntos y-proyectables). Un conjunto A ⊂ R

2 se llama y-proyectable si es de la forma

A = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, g1(y) ≤ x ≤ g2(y)}, siendo g1 y g2 funciones continuas en [c, d] que verifican

g1(y) ≤ g2(y), para todo y ∈ [c, d].

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Gráficamente, los conjuntos y-proyectables tienen la forma que se ve en la figura. Igual que en el caso

anterior, si existen las integrales involucradas se verifica:

2

1

, ,

y f xb

A a y f x

f x y dxdy f x y dy dx

Cambio de variables en la integral doble

Al igual que en el caso unidimensional, existe una fórmula de cambio de variables para la integral

múltiple. Para abordar esta fórmula para el caso de la integral doble, debe recordarse el enunciado en el

caso de una variable.

Teorema. (Cambio de variables en la integral doble).- Sea A ⊂ R2 un conjunto medible y consideremos

el cambio de variables definido por

u : (x1, x2) → (u1(x1, x2), u2(x1, x2)).

Si u es diferenciable con continuidad, inyectiva y su jacobiano, ∂(u1,u2)/∂(x1,x2) , no se anula en A,

entonces se verifica la igualdad

Obervaciones:

1. El Teorema es cierto aún en el caso de que el jacobiano se anule en un conjunto de área 0.

2. Cuando u′ = 0, en el Teorema relativo al cambio de variable en la integral unidimensional no se

exige que u sea inyectiva en [a, b]. Pero, nótese que u es estrictamente creciente o decreciente y, por

tanto, es forzosamente inyectiva. Si se tiene ésto presente, se ve que la fórmula de cambio de variables

para la integral doble presenta una gran analogía con la correspondiente del caso de una variable,

basta sustituir u′(x) por det(u′(x1, x2)) = ∂(u1,u2)/∂(x1,x2).

Ejemplo. Calcular

2 2

B

x y dxdy

siendo B = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x

2 + y

2 ≤ 4}.

La forma del conjunto B aconseja realizar el cambio de las coordenadas cartesianas por las polares:

x = ρ · cos ω, y = ρ · sen ω. La función vectorial que cambia de coordenadas está definida por

(ρ, ω) ∈ [1, 2] × [0, 2π] → (x, y) = (ρ · cos ω, ρ · sen ω) ∈ B.

Es fácil convencerse de que transforma biunívocamente el conjunto A = [1, 2] × [0, 2π] sobre B (basta

tener en cuenta que ρ2 = x

2 + y

2, por lo que las coordenadas polares, (ρ, ω), de cualquier punto (x, y) ∈ B

tienen que verifiar las relaciones 1 ≤ ρ ≤ 2 y 0 ≤ ω ≤ 2π). Si se aplica la fórmula de cambio de variables de

dereha a izquierda:

2 2 2

,

,B A

x yx y dxdy d d

2 2 2

3 3

0 1 0

15 15

4 2A

d d d d d

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La integral triple

Dada la gran analogía entre las

integrales doble y triple, en este apartado

se va a hacer un desarrollo rápido de la

integral triple con un detenimiento

especial en las técnicas, que por ser más

propias de la integral triple, lo requieran.

I) Sumas de Riemann. El punto de

partida es el concepto de intervalo

tridimensional. Se llama así a un conjunto

de la forma

I = [a, b] × [c, d] × [e, f].

Se trata de un paralelepípedo con caras

paralelas a los planos coordenados. Si,

sobre cada eje, dividimos los intervalos

[a, b], [c, d] y [e, f] en partes iguales de

longitud Δx, Δy y Δz, respectivamente, los

planos paralelos a los planos coordenados

pasando por los puntos de división

producen una malla con celdas de

dimensiones Δx × Δy × Δz.

El volumen de cada celda es Δx · Δy · Δz. Dados un conjunto acotado A ⊂ R3 y una función acotada

f : A → R, denotando por C1, ..,Cn las celdas que interceptan al conjunto A. Escogido en cada una de ellas

un punto (xi, yi, zi) ∈ A, se define la suma de Riemann como:

1

, , , , ,n

i i i

i

S f x y z f x y z x y z

Obsérvese que cada sumando es el producto del volumen de una celda Ci por el valor de f en un punto

de Ci ∩ A.

La figura siguiente puede ayudar a comprender mejor el significado geométrico.

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II) Definición de la integral triple. De forma análoga al caso de la integral doble, se dirá que f es

integrable en A si existe el límite (y es finito) de las sumas de Riemann y dicho límite se denota por

, ,A

f x y z dxdydz

Cuando existe la integral

1A

dxdydz

el conjunto A se llama medible. Se va a mostrar que la integral anterior representa el volumen del

conjunto A. Para ello, consideramos una malla con Δx, Δy y Δz pequeños e interpretamos

geométricamente la suma

1

, ,n

i i i

i

f x y z x y z

En este caso la función integrando es constantemente igual a 1, por tanto, la suma tiene la forma

1

, , ,n

i

S f x y z x y z

Es decir, una suma de Riemann es exactamente la suma de los volúmenes de todas las celdas que cortan

al conjunto A y, por tanto, representa una aproximación (por exceso) al volumen de A.

Esta aproximación mejora tanto más en cuanto más fina es la malla.

Los subconjuntos A de R3 medibles son los únicos para los que tiene sentido considerar la integral triple

, ,A

f x y z dxdydz

Las propiedades de esta integral son las mismas que ya se han visto al estudiar la integral doble, con los

cambios oportunos.

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III) Cálculo de integrales triples. Los conjuntos más simples que se pueden considerar son los que se

denominarán proyectables.

1) Conjuntos xy-proyectables.

Un conjunto A se llama xy−proyectable si es de la forma {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y)},

donde D ⊂ R

2 es medible y g1, g2 : D ⊂ R

2 → R son dos funciones continuas que verifican

g1(x, y) ≤ g2(x, y), para cada (x, y) ∈ D. Nótese que A está formado por los segmentos paralelos al eje OZ

que tienen sus extremos en sendos puntos de las superficies z = g1(x, y) y z = g2(x, y). Es fácil probar que

la integral sobre A se calcula como sigue

2

1

, , , ,

z g x

A D z g x

f x y z dxdydz f x y z dz dxdy

en el caso de que existan las integrales involucradas (lo que ocurre, por ejemplo, si f es continua en A

salvo, a lo sumo, en un conjunto de puntos con volumen 0).

De forma similar se procede para calcular una integral triple sobre un conjunto xz-proyectable (caso II), e

yz-proyectable (caso III).

Ejemplo. Calcular el volumen del conjunto limitado por las superficies z = x2 + y

2 y x

2 + y

2 + z

2 = 2

(interior al paraboloide).

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z = x2+y

2 es un paraboloide con eje de revolución el eje OZ y x

2+y

2+z

2 = 2 es una superficie esférica de

centro el origen y radio √2. En la figura se ha representado gráficamente el conjunto intersección de A con

el primer octante, que denotamos por B. El volumen pedido viene dado por

( ) 4 1B

vol A dxdydz

B es xy−proyectable sobre el conjunto D. Por tanto, se puede calcular vol(A) como sigue

2 2

2 2

2

2 2 2 2

( ) 4

4 2

z x y

D z x y

D

vol A dz dxdy

x y x y dxdy

Como ayuda al cálculo de la integral doble anterior,

se puede representar gráficamente el conjunto D en

una figura aparte. Por la forma del conjunto D y del

integrando, es conveniente hacer un cambio a

coordenadas polares. Si (x, y) es un punto de D y (ρ,

ω) son sus coordenadas polares, entonces (ρ, ω)

pertenece al conjunto T = [0, 1] × [0, π/2 ] y

viceversa. Por tanto, la integral doble se convierte en

2 1

2 2

0 0

( ) 4 2

7 8 2

6

vol A d d

IV) Cambio de variables en la integral triple.

Teorema. Sea A ⊂ R3 medible y consideremos el cambio de coordenadas definido por

u(x1, x2, x3) = (u1(x1, x2, x3), u2(x1, x2, x3), u3(x1, x2, x3)),

siendo u diferenciable con continuidad en A, inyectiva y con jacobiano ∂(x1,x2,x3)/∂(u1,u2,u3)

no nulo. Si f está definida y es continua en u(A), entonces se verifica la igualdad

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3 1 2 3

( )

, ,, ,

, ,

, ,

A

u A

x x xf u x x x dx dx dx

u u u

f u u u du du du

Nota. El Teorema es cierto aún en el caso de que el jacobiano se anule en un conjunto de volumen 0.

Ejemplo. Calcular

A

xydxdydz , siendo A el conjunto limitado por el cilindro x2 + y

2 = 1 y los planos

z = 0 y z = 2.

En este caso, lo apropiado es un cambio a cilíndricas. Si P(x, y, z) es un punto que pertenece al conjunto

A, entonces su proyección sobre el plano OXY es el punto de coordenadas (x, y, 0), que pertenece al

círculo de centro el origen y radio 1. Por tanto, sus coordenadas polares (ρ, ϕ) verifican: 0 ≤ ρ ≤ 1 y

0 ≤ ϕ ≤ 2π. Es decir, cuando (x, y, z) recorre el conjunto A, la terna (ρ, ϕ, z) recorre el intervalo

tridimensional I = [0, 1] × [0, 2π] × [0, 2]. Luego la integral triple se transforma de la forma siguiente

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2

2 2 1

3 3

0 0 0

, ,cos

, ,

1cos 2 0

2

A I

I

x y zxydxdydz sen d d dz

z

sen d d dz sen d d dz

Ejemplo. Calcular

A

zdxdydz , siendo A el primer octante de la esfera unidad.

Si (x, y, z) pertenece al primer octante de la esfera unidad, entonces la terna (r, ϕ, θ) pertenece al intervalo

tridimensional I = [0, 1] × [0, π/2 ] × [0, π/2 ]. Por tanto, la integral se transforma como sigue

2

3

, ,

, ,

cos16

A I

I

x y zzdxdydz sen d d d

sen d d d

Aplicaciones de la integral m_ultiple

I) Cálculo de áreas y volúmenes.

a) Cálculo de áreas. El área de cualquier conjunto acotado A ⊂ R2 puede determinarse mediante una

integral doble. Con anterioridad, se ha mostrado que

1A

dxdy

representa el área del conjunto A, caso de que la integral exista y entonces A se llama medible.

b) Cálculo de volúmenes. Podemos determinar el volumen de cualquier subconjunto acotado A ⊂ R3 por

medio de una integral triple. Concretamente, se ha mostrado que vol(A) viene dado por

1A

dxdydz

caso de que exista la integral y entonces A se llama medible. El volumen de algunos conjuntos puede

calcularse también mediante una integral doble. Al comienzo del tema, se ha visto que

,A

f x y dxdy

es el volumen del cuerpo cilíndrico cerrado por arriba por la superficie z = f(x, y) y por la porción del

plano OXY que determina el conjunto A (si f(x, y) ≥ 0).

II) Aplicaciones a las ciencias experimentales.

a) Masa de un sólido con densidad variable. Supóngase que en cierto sólido A ⊂ R3, la masa no está

distribuida homogéneamente y que se conoce la densidad ρ(x, y, z), entonces la masa M del sólido viene

dada por

, ,A

M x y z dxdydz

Si ρ (x, y, z) es constante e igual a ρ, entonces

1 . ( )A A

M dxdydz dxdydz vol A

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b) Soluciones no homogéneas. Considérese un depósito que contiene cierta solución no homogénea, es

decir, la concentración de soluto no es constante sino que es cierta función C(x, y, z). Si el interior del

depósito tiene la forma de cierto conjunto A ⊂ R3, la cantidad de soluto que contiene el depósito viene

dada por

, ,A

C x y z dxdydz

c) Las coordenadas del centro de masas del sólido A vienen dadas por

, ,

,, ,

, ,

,, ,

, ,

, ,

AC

A

AC

A

AC

A

x x y z dxdydz

xx y z dxdydz

y x y z dxdydz

yx y z dxdydz

z x y z dxdydz

zx y z dxdydz