EL NÚMERO COMPLEJO - Blog de Matemáticas de · PDF file1, , n i S x y x y ' ' '...

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  • Matemticas 1 Grado en CC. Qumicas Integracin mltiple

    Alberto Vara 1

    INTEGRACIN MLTIPLE

    Introduccin

    La integral definida unidimensional aporta las herramientas necesarias para calcular reas y

    volmenes. Ahora bien, por lo que se refiere al clculo de volmenes, no da respuesta al problema de

    encontrar el volumen de una figura tridimensional arbitraria, pues slo se determina el volumen de figuras

    con determinadas caractersticas. Vamos a ver, entre otras muchas aplicaciones, cmo la integral mltiple

    da respuesta general a este problema. En primer lugar, vamos a ocuparnos de la integral doble. El

    desarrollo es, en lneas generales, similar al realizado con la integral de una variable. Por ello, en buena

    medida, las definiciones y resultados resultarn familiares y se podr avanzar con cierta rapidez.

    Posteriormente, se desarrollar brevemente la integral triple, finalizando el tema con el estudio de algunas

    aplicaciones de la integracin mltiple.

    El volumen bajo una superficie

    Considrese una funcin no negativa f : [a, b][c,

    d] R , se desea calcular el volumen del siguiente

    subconjunto de R:

    A = {(x, y, z) : (x, y) D, 0 z f(x, y)},

    donde D denota el dominio de f, es decir, el rectngulo

    [a, b][c, d]. Se trata de un conjunto que tiene por

    techo la superficie de ecuacin z = f(x, y) y cuyo

    suelo es el dominio de f. La figura siguiente ayuda a

    visualizar el conjunto A cuyo volumen se quiere

    calcular.

    Se traza en el rectngulo [a, b] [c, d] una malla

    formada por celdas suficientemente pequeas de forma

    que en cada una de estas celdas, Ci, la funcin f(x, y)

    vara de unos puntos a otros muy poco.

    Obviamente, el volumen buscado es la suma de los

    volmenes de los prismas (curvilneos) que tienen por

    suelo cada celda y por techo el correspondiente

    trozo de la superficie z = f(x, y)

    ii

    V V C

    donde V(Ci) denota el volumen del prisma cuya base

    es la celda Ci. El volumen de cada prisma curvilneo

    puede aproximarse (tanto mejor en cuanto las celdas

    sean ms pequeas) por

    f(xi, yi) Ar(Ci),

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    Alberto Vara 2

    Por tanto, una aproximacin razonable del volumen bajo nuestra superficie viene dada por la

    expresin

    , .i iii

    V f x y Ar C

    El valor de esta suma cambia al tomar una malla diferente, pero a medida que las celdas son ms

    pequeas, el valor que se obtiene da una mejor aproximacin al volumen buscado. Esta ideas llevan a

    definir el volumen bajo la superficie z = f(x, y) como el lmite hacia el que se aproximan estas sumas.

    Precisamente, como se ver en las secciones siguientes, esta es la forma de definir la integral doble

    , ,

    ,a b c d

    f x y dxdy

    La integral doble sobre un conjunto acotado

    Sea A un subconjunto acotado de R

    2 y f : A R

    una funcin acotada. Para definir la integral doble de f

    en A, se necesita el concepto de sumas de Riemann.

    Como A es acotado, puede escogerse un rectngulo [a,

    b] [c, d] conteniendo el conjunto A. Para producir

    una malla en el rectngulo, se divide los intervalos [a,

    b] y [c, d] en partes iguales de longitudes x y y,

    respectivamente. Al trazar por los puntos de divisin

    rectas paralelas a los ejes coordenados, se produce una

    malla cuyas celdas tienen las dimensiones x y.

    Se denota por C1, ..,Cn la celdas producidas

    (numeradas de abajo hacia arriba y de izquierda a

    derecha) que interceptan al conjunto A y se escoge en

    cada una de ellas un punto intermedio (xi, yi) A.

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    Alberto Vara 3

    La suma

    1

    ,n

    i i

    i

    f x y x y

    se denomina suma de Riemann para la integral doble de f en A. Puede denotarse por

    , , , ,i iS f x y x y o, de forma ms breve, por S(f,x,y).

    Se dir que f es integrable (en el sentido de Riemann) en el conjunto A si existe (y es finito) el lmite

    , 0,01

    lim ,n

    i ix y

    i

    f x y x y

    en cuyo caso, el valor de este lmite se denota por

    ,A

    f x y dxdy

    y recibe el nombre de integral doble de f en el conjunto A.

    Propiedades bsicas de la integral doble

    1. Condicin suficiente de integrabilidad.

    Sea A R2 un conjunto acotado medible (en el sentido de Riemann) y f : A R una funcin acotada. Si f es continua en A salvo, a lo sumo, en un conjunto de puntos cuya rea es cero, entonces f

    es integrable en A.

    2. Linealidad. Si f y g son integrables en A y c es una constante real, entonces f + g y cf son integrables en A y

    se verifica

    a) A A A

    f g dxdy f dxdy gdxdy

    b)

    A A

    cf dxdy c f dxdy

    3. Aditividad. Sean A y B dos subconjuntos de R

    2. Si f es integrable en ambos conjuntos y A B tiene rea

    nula, entonces f es integrable en A B y se verifica

    A B A B

    f dxdy f dxdy f dxdy

    4. Monotona.

    Si f y g son integrables en A y verifican f(x, y) g(x, y), para cada (x, y) A, entonces

    A A

    f dxdy gdxdy

    5. La media integral.

    Si f es integrable en A y m f(x, y) M ( (x, y) A), entonces existe c [m, M] de modo que

    . ( )A

    f dxdy c Ar A

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    Alberto Vara 4

    Area de un recinto plano

    Se ha visto cmo la integral doble puede usarse para calcular volmenes. Pero esta no es la nica

    aplicacin geomtrica. En ese apartado se ver que la integral doble tambin puede usarse para calcular

    reas de recintos planos.

    Concretamente, se va a mostrar que

    1A

    dxdy

    representa el rea del recinto (acotado) bidimensional A.

    Si I = [a, b] [c, d] es un rectngulo conteniendo A, considrese una malla con celdas Ci de

    dimensiones x y y. Ntese que

    1

    1, ,n

    i

    S x y x y

    con la suma extendida a todas los celdas que cortan al conjunto A. Como stas recubren A, se sigue que

    S(1,x,y) es una aproximacin por exceso al rea de A

    Por ltimo, basta tener en cuenta que, si la integral

    1A

    dxdy

    existe, se puede escoger una malla suficientemente fina (x y y pequeos) como para que las sumas de

    Riemann sean tan prximas como se quiera al valor de la integral anterior, cualquiera que sea la eleccin

    de los puntos intermedios. Esto, junto con las ideas anteriores, justifican que se tome la integral como el

    rea del recinto A. Cuando la funcin constantemente igual a 1 es integrable sobre un conjunto A, se dice

    que el conjunto A es medible (en el sentido de Riemann). Slo sobre estos conjuntos tiene sentido

    considerar la integral doble.

    La integral doble sobre conjuntos proyectables

    Se va a considerar dos tipos de conjuntos medibles para los que la integral doble puede calcularse por

    integracin reiterada.

    Definicin (Conjuntos x-proyectables). Un subconjunto A de R2 se dice que es x-proyectable si es

    de la forma A = {(x, y) R2 : a < x

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    Alberto Vara 5

    Si existen las integrales involucradas, se verifica:

    2

    1

    , ,

    y f xb

    A a y f x

    f x y dxdy f x y dy dx

    Ejemplo. Calcular 2A

    x y dxdy ; siendo A = {(x, y) R2 : 0 x 1, 0 y x}.

    A es el conjunto x-proyectable. Aplicando la frmula anterior se obtiene

    1 1 3

    2 2

    0 0 0 03

    y xx

    A y

    yx y dxdy x y dy dx xy dx

    11 13 3 3 122

    0 00 0

    5

    3 3 3 12 12

    y x

    y

    y x x xxy dx x dx

    Definicin. (Conjuntos y-proyectables). Un conjunto A R2 se llama y-proyectable si es de la forma A = {(x, y) R2 : c y d, g1(y) x g2(y)}, siendo g1 y g2 funciones continuas en [c, d] que verifican g1(y) g2(y), para todo y [c, d].

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    Alberto Vara 6

    Grficamente, los conjuntos y-proyectables tienen la forma que se ve en la figura. Igual que en el caso

    anterior, si existen las integrales involucradas se verifica:

    2

    1

    , ,

    y f xb

    A a y f x

    f x y dxdy f x y dy dx

    Cambio de variables en la integral doble

    Al igual que en el caso unidimensional, existe una frmula de cambio de variables para la integral

    mltiple. Para abordar esta frmula para el caso de la integral doble, debe recordarse el enunciado en el

    caso de una variable.

    Teorema. (Cambio de variables en la integral doble).- Sea A R2 un conjunto medible y consideremos el cambio de variables definido por

    u : (x1, x2) (u1(x1, x2), u2(x1, x2)).

    Si u es diferenciable con continuidad, inyectiva y su jacobiano, (u1,u2)/(x1,x2) , no se anula en A,

    entonces se verifica la igualdad

    Obervaciones:

    1. El Teorema es cierto an en el caso de que el jacobiano se anule en un conjunto de rea 0.

    2. Cuando u = 0, en el Teorema relativo al cambio de variable en la integral unidimensional no se

    exige que u sea inyectiva en [a, b]. Pero, ntese que u es estrictamente creciente o decreciente y, por

    tanto, es forzosamente inyectiva. Si se tiene sto presente, se ve que la frmula de cambio de variables

    para la integral doble presenta una gran analoga con la correspondiente del caso de una variable,

    basta sustituir u(x) por det(u(x1, x2)) = (u1,u2)/(x1,x2).

    E