VOLUME OF RESOLUTION

Makalah Ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah

Matematika Sekolah

Dosen Pembina : Dr. Tatag Y. E. Siswono, M.Pd.

Disusun Oleh :

Erica Dian Pertiwi (147785054)

PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

2014

Volume Benda

Integral merupakan salah satu cara yang diciptakan untuk menentukan suatu luas di

bawah suatu kurva fungsi f ( x ). Tetapi penggunaan integral berlanjut lebih jauh di luar

penerapan untuk menentukan luas itu. Bab ini adalah mengupas tentang penggunaan integrasi

untuk menemukan volume jenis tertentu yaitu volume benda padat, yang disebut solid

revolusi.

Benda Putar

Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada suatu sisi dari sebuah garis

tetap dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah itu akan membentuk

sebuah benda putar. Garis tetap tersebut dinamakan sumbu benda putar. Sebagai ilustrasi

perhatikan gambar berikut.

Gambar 1

A. Volume (diputar terhadap sumbu-x)

Titik O merupakan pusat suatu garis, dan OA adalah garis yang melewati titik pusat,

seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.

Gambar 2

Perhatikan daerah antara garis OA dan sumbu x, ditunjukkan dengan daerah arsiran.

Jika daerah tersebut diputar melalui sumbu x sebesar 360o, daerah tersebut akan membentuk

seperti kerucut yang padat, ditunjukkan pada gambar 3.

(a) (b)

Gambar 3

Menghitung volume tersebut dapat diselesaikan dengan menghitung luas daerah di bawah

kurva, dan dapat diilustrasikan dengan contoh berikut.

Contoh 1

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh R yang dibatasi oleh kurva y=√x, sumbu

x, dan garis x=4 apabila R diputar mengelilingi sumbu x!

Penyelesaian

Daerah R, dengan suatu irisan tertentu, diperagakan pada gambar 3a. Bila diputar

mengelilingi sumbu x, daerah ini akan membentuk benda putar dan irisan membentuk sebuah

cakram, benda tipis yang berbentuk seperti mata uang.

Misalkan x meningkat dengan δx . Karena y dan V keduanya fungsi dari x, maka

peningkatan yang terkait dalam y dan V dapat ditulis sebagai δy dan δV . Peningkatan δV

ditunjukkan oleh daerah arsiran pada gambar 3b. Amati diagram lebih rinci yang ditunjukkan

pada gambar 4.

1

Gambar 4

Hal ini ditunjukkan secara lebih rinci dalam diagram kiri di gambar 5. Peningkatan δV

dalam volume yaitu antara dua volume yang nampak seperti silinder, masing-masing lebar δx

dan jari-jarinya adalah y dan y + δy .

δV terletak di π y2δx dan π ( y+δy )2 δx, sehingga δVδx terletak antara π y2 dan

π ( y+δy )2. δx mendekati 0. δVδx mendekati turunan

dVdx . Begitu pula, dengan δy mendekati 0,

sehingga y + δy mendekati y. Ini berarti bahwa

dVdx

=π y2

Jadi V adalah fungsi yang derivatif yaitu π y2, dan karena y=√x, dVdx

=πx, oleh karena itu

V=12π x2+k, untuk beberapa k

Karena volume V=0 dengan x=1, maka

V=12π x2+k

0=12π ×12+k, diberikan k=−1

2π .

Sehingga

V=12π x2−1

2π

Untuk menentukan volume dengan nilai x sampai 4, substitusikan x = 4 ke volume V.

Maka volumenya adalah

V=12π x2−1

2π

V=12π 42−1

2π

V=12π (16−1 )

V=152π

Atau dapat pula menggunakan bentuk integral untuk menyelesaikan lebih efisien.

V=∫1

4

π y2dx

V=∫1

4

πx dx

V=[ 12π x2]1

4

V=12π ×16−1

2π ×1

V=152π

Contoh 2

Tentukan volume daerah di bawah grafik y=1+x2 yang terletak antara x=−1 dan x=1

diputar melalui empat sudut siku-siku terhadap sumbu x!

Penyelesaian:

Daerah diputar melalui empat sudut siku-siku yang dimaksudkan adalah daerah tersebut

diputar terhadap sumbu-x sebesar 360o. Maka volumenya adalah

Daerah di bawah grafik/ kurva y = f (x) antara x = a dan x = b (di man a <b) diputar

terhadap sumbu-x, maka volume benda dapat diperoleh dengan

∫a

b

π ( f (x ))2dx

atau

∫a

b

π y2dx

V=∫a

b

π y2dx

V=∫−1

1

π y2dx

V=∫−1

1

π (1+x2 )2dx

V=∫−1

1

π (1+2 x2+x 4 )dx

V=[π (x+ 23x3+ 1

5x5) ]−1

1

V={(x+ 23+ 1

5 )−((−1 )+ 23

(−1 )3+ 15

(−1 )5)}=5615π

Jadi volumenya adalah 5615π

contoh 3

Buktikan bahwa volume V dari kerucut dengan jari-jari alasnya r dan tinggi h adalah

V=13π r2h.

Gambar 5

Penyelesaian:

Bangun segitiga yang diputar terhadap sumbu-x akan membentuk sebuah kerucut ditunjukkan

pada gambar. Gradien dari OA adalah rh , jadi persamaan adalahy=

rhx.

Oleh karena itu, mengingat bahwa π, r, dan h adalah konstanta dan tidak tergantung pada x,

maka volume kerucut adalah

V=∫a

b

π y2dx

V=∫0

h

π y2dx

V=∫0

h

π ( rh x)2

dx

V=∫0

h

π r2

h2 x2dx

V=π r2

h2∫0

h

x2dx=π r2

h2 [13x3]

0

h

V=π r2

h2×13h3=1

3π r2h

Volume (diputar terhadap sumbu-y)

Pada gambar 6a, daerah antara grafik y=f ( x ) antara y=c dan y=d diputar 360o

terhadap sumbu-y menunjukkan volume benda padat dapat dilihat pada Gambar 6b.

(a) (b)

Gambar 6

Menghitung volume tersebut dapat diselesaikan dengan menghitung luas daerah di bawah

kurva, dan dapat diilustrasikan dengan contoh, sepertinya halnya terhadap sumbu-x

Contoh 4

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh R yang dibatasi oleh kurva x¿√ y, sumbu y

, dan garis y¿d apabila R diputar mengelilingi sumbu y!

Penyelesaian

Daerah R, dengan suatu irisan tertentu, diputar mengelilingi sumbu y, daerah ini akan

membentuk benda putar dan irisan membentuk sebuah cakram.

Misalkan y meningkat dengan δy . Karena x dan V keduanya fungsi dari y, maka

peningkatan yang terkait dalam x dan V dapat ditulis sebagai δx dan δV . Peningkatan δV

dalam volume yaitu antara dua volume yang nampak seperti silinder, masing-masing lebar δy

dan jari-jarinya adalah x dan x + δx.

δV terletak di π x2δy dan π (x+δx )2 δy, sehingga δVδy terletak antara π x2 dan π (x+δx )2

. δy mendekati 0. Sehingga, δVδy mendekati turunan

dVdy . Begitu pula, dengan δx mendekati 0,

sehingga x + δx mendekati x. Ini berarti bahwa

dVdy

=π x2

Jadi V adalah fungsi yang derivatif yaitu π x2, dan karena x=√ y, dVdy

=πy, oleh karena itu

V=12π y2+k , untuk beberapa k

Karena volume V=0 dengan y=c, maka

V=12π y2+k

0=12π ×c2+k, diberikan k=−1

2π c2.

Sehingga

V=12π y2−1

2π c2

Untuk menentukan volume dengan nilai y sampai d, substitusikan y = d ke volume V.

Maka volumenya adalah

V=12π y2−1

2π c2

V=12π d2−1

2π c2

V=12π (d2−c2 )

Atau dapat pula menggunakan bentuk integral untuk menyelesaikan lebih efisien.

V=∫c

d

π x2dy

Contoh 5

Tentukan volume benda yang terbentuk dari pemutaran daerah yang dibatasi oleh kurva y=x3

, sumbu y, dan garis y = 3 mengelilingi sumbu y!

Gambar 7

Penyelesaian

Disini kita mengiris secara mendatar, yang membuat y pilihan yang cocok sebagai peubah

integrasi. Perhatikan bahwa y=x3 serta x=3√ y dan ∆V=π ( 3√ y )2∆ y .

V=π∫0

3

y23 dy

V=π [35y

53 ]

0

3

V=π 9.913

5 =11,76

Latihan Soal

1. Tentukan volume daerah di bawah kurva y= f ( x ) dan dibatasi x=a dan x=b diputar 360o

terhadap sumbu x!

a) f ( x )=x , a=3 , b=5

Penyelesaian:

V=∫a

b

π y2dx

V=∫3

5

π x2dx

V=π [ 13x3]3

5

=983π

b) f ( x )=x2, a=2 , b=5

Penyelesaian:

V=∫a

b

π y2dx

V=∫2

5

π x4dx

V=π [ 15x5]2

5

=30935π

c) f ( x )= 1x , a=1 , b=4

Penyelesaian:

V=∫a

b

π y2dx

V=∫1

4

π ( 1x )

2

dx

V=π [−1x ]1

4

= 34π

2. Tentukan volume daerah di bawah kurva y= f ( x ) dan dibatasi x=a dan x=b diputar 360o

terhadap sumbu x!

a) f ( x )=x+3, a=3 , b=9

Penyelesaian:

V=∫3

9

π ( x+3 )2dx

V=π∫3

9

x2+6x+9 dx

V=π [ 13x3+3 x2+9x ]3

9

V=126 π

b) f ( x )=√x+1, a=0 , b=3

Penyelesaian:

V=∫0

3

π (√ x+1 )2dx

V=π∫0

3

x+1dx

V=π [ 12x2+ x]0

3

V=152π

3. Tentukan volume daerah di atas kurva y=f ( x ) dan dibatasi y=c dan y=d diputar 360o

terhadap sumbu y!

a) f ( x )=x2, c=1 , d=3

Penyelesaian:

V=∫c

d

π x2dy

V=∫1

3

π (√ y )2dy

V=π∫1

3

y dy

V=π [12y2]1

3

V=72π

b) f ( x )=x+1, c=1 , d=4

Penyelesaian:

V=∫c

d

π x2dy

V=∫1

4

π ( y−1 )2dy

V=π∫1

4

( y¿¿2¿−2 y+1)dy¿¿

V=π [ 13y3− y2+ y]1

4

V=17 π