1. LOS NÚMEROS REALES

Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos

números enteros. Su expresión decimal es exacta o periódica.

Números irracionales son los no racionales, es decir, los que no pueden

obtenerse como cociente de dos números enteros. Su expresión decimal es

infinita no periódica. Por ejemplo, π = 3.14159265359

Al conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama

conjunto de números reales y se designa por R.

TEMA 1 – NÚMEROS REALES -

1.1. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES EN LA RECTA

Representación de números racionales: Pueden existir dos casos:

o FRACCIÓN IMPROPIA: Cuando el numerador es mayor que el

denominador: Ejemplo: 7/5

1. Realizamos la división de 7 entre 5. El cociente y el resto nos

indica como descomponer la fracción impropia.

1. Siempre irá entre el cociente y el siguiente número. En este

caso entre 1 y 2.

2. Trazamos una línea inclinada desde el resultado del cociente.

Dividimos esa línea tantas veces como nos indique el

denominador.

3. Después unimos la última parte de la línea inclinada con el 1 de

la línea de abajo.

4. Trazamos una línea paralela desde la parte que indique el

numerador, en este caso desde el 2.

o FRACCIÓN PROPIA: Cuando el numerador es menor que el

denominador: 2/3

5. Siempre irá entre el 0 y el 1.

6. Trazamos una línea inclinada desde el 0. Dividimos esa línea

tantas veces como nos indique el denominador.

7. Después unimos la última parte de la línea inclinada con el 1 de

la línea de abajo.

8. Trazamos una línea paralela desde la parte que indique el

numerador, en este caso desde el 2.

¡¡OJO!!Si hubiera que representar alguna fracción negativa la recta inclinada se

dibujaría hacia el otro sentido.

1.2. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES EN LA RECTA

Para representar números irracionales en la recta numérica se debe recurrir a los

triángulos rectángulos. Se tienen que descomponer en cuadrados perfectos. Ahora

vamos a observar algunos ejemplos:

a) Representación de 2 , en un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos

miden 1, el valor de la hipotenusa es 2 . 22 112

b) Representación de 5 , en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y

2, el valor de la hipotenusa es 5 . 22 125

c) Representación de 11 , en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y,

2 el valor de la hipotenusa es 11 . 22 2311

Primero represento el número irracional 22 112

1.3. INTERVALOS Y SEMIRRECTAS

¡¡OJO!! Se llama recta real a la recta que representa el intervalo (-∞, +∞)

¡¡OJO!! Los infinitos ya sean + ó – se representan siempre abierto, es decir entre

paréntesis.

Ejemplos:

a) (-2, 1) - | -2<x<1

-2 0 1

b) [-2, 1] -2≤x≤1

-2 0 1

c) (3,4] 3<x≤4

3 4

d) (-∞, 2) x<2

-∞ 2

e) [2, +∞) x≥2

2 +∞

1.4. RAÍCES Y RADICALES

Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe como n a , a un número b que

cumple la siguiente condición: n a = b, si bn = a.

Se llama radical n a

Se llama radicando a

Se llama índice de la raíz n

Se llama raíz b

Ejemplos:

PECULIARIDADES

Raíces positivas:

o Indíce par: Tienen dos soluciones: positiva y negativa ±

o Indíce impar: Tienen una solución +

Raíces negativas:

o Indíce par: No existen

o Indíce impar: Tienen una solución –

La raíz de uno es uno, la raíz de menos uno es menos uno (a no

ser que tenga índice impar) y la raíz de cero es cero

√𝟖𝟏𝒏

= 𝟑 3n=81 Descompongo siempre a en una potencia de base b, es decir,

descompongo el 81 en base 3. 3n=34 La solución es n=4 (Cuando las bases son iguales

la solución es lo de arriba)

√𝒂𝟑 = 𝟓 53=a Resuelvo la potencia a=125

√−𝟐𝟕𝟑

= 𝒃 b3=-27 Descompongo el radicando, es decir “a”, entre el número

más pequeño que se pueda. b3=-33 La solución es b=-3 (Cuando los exponentes son

iguales, la solución es lo de abajo)

*Si al descomponer no me salen los exponentes iguales, simplifico hasta obtener uno

de los exponente con un “1” y resuelvo la potencia*

√𝟔𝟒𝟑

= 𝒃 b3=64 Descompongo el radicando, es decir “a”, entre el número más

pequeño que se pueda. b3=26 Como no son iguales los exponentes, simplifico entre

3 ambos exponentes y quedaría así: b=23 y ahora resuelvo la potencia b=8

PROPIEDADES

1. FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES

√𝑎1𝑛= 𝑎

1𝑛 ⁄ Ejemplo: √3

4 = 31/4

√𝑎𝑚𝑛= 𝑎

𝑚𝑛 ⁄ Ejemplo: √325

= 32/5

2. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

√𝑎𝑝𝑛·𝑝= √𝑎

𝑛= 𝑎

1𝑛 ⁄ Ejemplo: 4 9 = 4 23 = 32/4 = 31/2 = 3

3. POTENCIA DE UN RADICAL

pn a = n pa pues: pn a =

n

pp

n aa

1

n pa

o Ejemplo: 432 = 122 = 212/2 = 26 = 64

4. RAÍZ DE UN RÁIZ

m n a = nm a* , pues: m n a = nmmn aa */1/1/1 = nm a*

o Ejemplo: 3 2 = 6 2

5. PRODUCTO DE RÁICES DEL MISMO ÍNDICE

√𝑎 · 𝑏𝑛

= √𝑎𝑛

· √𝑏𝑛

√15 · √20=√15 · 20 = √300

6. COCIENTE DE RAÍCES DEL MISMO ÍNDICE

√𝑎 ∶ 𝑏𝑛

= √𝑎𝑛

: √𝑏𝑛

√60: √20=√60: 20 = √3

7. PRODUCTO DE RÁICES DE DISTINTO ÍNDICE

√𝑎𝑛

· √𝑏𝑚

= √𝑎𝑚 · 𝑏𝑛𝑚𝑐𝑚 (𝑛,𝑚)

Se hace el mínimo común múltiplo de los índices y después al dividir se

eleva lo que hay.

√3 · √23

= √336· √226

= √33 · 226= √108

6

8. COCIENTE DE RÁICES DE DISTINTO ÍNDICE

√𝑎𝑛

: √𝑏𝑚

= √𝑎𝑚: 𝑏𝑛𝑚𝑐𝑚 (𝑛,𝑚)

Se hace el mínimo común múltiplo de los índices y después al dividir se

eleva lo que hay.

√3: √23

= √336: √226

= √33: 226= √

33

22

6

= √27

4

6

9. EXTRACCIÓN DE FACTORES

o PARA LA EXTRACCIÓN DE FACTORES ES NECESARIO QUE LOS

EXPONENTES DE LA RAÍZ SEAN IGUAL O MAYORES QUE EL ÍNDICE, SINO ES ASÍ NO SE PUEDE EXTRAER FACTORES FUERA DE LA RAÍZ. SI SE PUDE EXTRAER, HAY QUE SEGUIR LOS SIGUIENTES PASOS:

√24003

1. DESCOMPONER EL RADICANDO: 2400= 25 · 52 ·3

√24003

= √25 · 52 · 33

2. DIVIDIR EL EXPONENTE DEL RADICANDO ENTRE EL ÍNDICE DE LA RAÍZ:

VIENDO LOS EXPONENTES, SE QUE SE PUEDE EXTRAER

SOLO EL 2:

DESPUÉS DE

EXTRAER:

21 √22 · 52 · 33

Y RESUELVO:

2√22 · 52 · 33

10. Suma y resta de raíces

Dos radicales distintos no pueden sumarse si no es obteniendo sus expresiones

decimales aproximadas. Solo pueden sumarse radicales idénticos. Por ejemplo:

o 3 + 2

NO SE PUEDEN

o 7 - 3 7

En cambio si se podrían estos casos:

o 7 5 + 11 5 - 5 = 17 5

o 32 + 18 - 05 = 52 + 2*32 - 2*52 = 4 2 +3 2 -5 2 =2 2

11. Racionalización

Al proceso por el cual hacemos desaparecer los radicales del denominador se les

llama racionalización de denominadores.

CASOS DE RACIONALIZACIÓN

Raíces cuadradas: Multiplicamos arriba y abajo por la raíz del

denominador.

o Ejemplo: 2

1

2

1·

2

2=

2

2

Otras raíces:

o Ejemplo: 5 27

1

Racionalizamos elevando el radicando un número más

5 27

1·

5 3

5 3

7

7=

5 5

5 3

7

7=

√735

7

o (a+b) * (a-b) = a2 – b2

o A la expresión a - b se le llama conjugado de a + b y viceversa.

Suma y restas de raíces (Conjugado): Multiplicamos arriba y abajo por

el conjugado, es decir, si tenemos una resta multiplicamos por una suma

y viceversa.

o Ejemplo:35

1

Conjugado35

1

·

35

35

=

√5+√3

(√5)2

−(√3)2 =

35

35

=

2

35

1.8. NÚMEROS APROXIMADOS. NOTACIÓN CIENTÍFICA

APROXIMACIONES Y ERRORES

Ejemplo: Al medir una piscina se obtiene 718900 litros.

Es decir 718900 dm3, es decir 718,900 m3. Pero sería más razonable decir

que tiene 719 m3. Entonces la última cifra significativa (9) designa unidades

de m3. Entonces el error absoluto es menor que medio metro cúbico (error <

0.5 m3).

o El error relativo es Er < 719

5.0<0.0007.

Ejemplo: Dado el número 3,784, Calcula el error absoluto y relativo al

redondearlo a las centésimas.

3,78

o El error absoluto es: Ea =|3,784 – 3,78|= |0,004|=0,004

o El error relativo es Er = 784,3

004,0= 0,0010570824524313

Se llaman cifras significativas las que se usan para expresar un número aproximado. Sólo se

deben utilizar aquellas cuya exactitud nos conste y de modo que sean relevantes para lo que

se desea transmitir.

Error absoluto de una medida aproximada es la diferencia entre el valor real y el valor

aproximado. Error absoluto = |Valor real – Valor aproximado|

El valor exacto, generalmente, es desconocido. Por tanto, también se desconoce el error

absoluto. Lo importante es poder acotarlo: el error absoluto es menor que… Una cota del

error absoluto se obtiene a partir de la última cifra significativa utilizada

Error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real.

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Los números en notación científica son aquellos que tienen un número decimal

multiplicados por una potencia de 10.

El número decimal siempre tiene que ser mayor o igual que 1 y menor que 10.

La potencia de 10, siempre debe tener un exponente entero.

Si el exponente es positivo, se pone la parte decimal sin la coma y se le pone

ceros ¿Cuántos? Pues el exponente menos el número de cifras que hay

después de la coma.

Si el exponente es negativo, se pone 0, y después ceros y después la parte

decimal sin la coma. ¿Cuántos ceros? Pues el exponente menos el número de

cifras que hay después de la coma.

Ejemplos

o 3,845 · 109 = 3.845.000.000

o 9,8 · 10-11= 0,000000000098

Operaciones con notación científica

Suma y resta:

Para sumar y/o restar en notación científica, deben tener la misma potencia

de 10. Si no es así, debemos ponerlo en la misma potencia (Recomendable

pasarlo al exponente mayor).

o Si queremos poner un exponente más grande, movemos la coma hacía

la izquierda tantas veces como sea necesario:

3,845 · 105 0,03845 · 107

o Si queremos poner un exponente más pequeño, movemos la coma

hacía la derecha tantas veces como sea necesario:

0,03845 · 107 3,845 · 105

Una vez que las tenemos con la misma potencia, lo que hacemos es sumar y/o

restar los números decimales y dejar la potencia tal cual.

Ejemplo: 1,325 · 10 5 + 2,04 · 105 = (1,325 + 2,04) · 105 = 3,365 · 105

Multiplicación y división:

En la multiplicación, se multiplica los números decimales y se suman los

exponentes de las potencias:

Ejemplo:(1,325 · 10 5) x (2,04 · 105) = (1,325 · 2,04) · (105 · 105) = 2,703 · 1010

En la división, se divide los números decimales y se restan los exponentes de

las potencias:

Ejemplo:(10,32 · 10 9) : (2,4 · 105) = (10,32 : 2,4) · (109 : 105) = 4,3 · 104

1.9. LOGARITMOS El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar

la base para obtener el número. Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1. No existe el logaritmo de cero.

2. El logaritmo de 1 es cero.

3. El logaritmo en base a de a es uno.

4. Producto de un logaritmo.

5. Cociente de un logaritmo.

6. Potencia de un logaritmo.

.

7. Raíz de un logaritmo.

8. Cambio de base de un logaritmo.

9. Logaritmo neperiano ln

ln e = 1

ln 1 = 0

Ejemplos: